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Simulado Matemática – UNICAMP – 2014- 2013

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1. (Unicamp 2014) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia.

Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a a) 178,240 milhões de tep. b) 297,995 milhões de tep. c) 353,138 milhões de tep. d) 259,562 milhões de tep. 2. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.

O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a

a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1.

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3. (Unicamp 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma

população de micro-organismos, ao longo do tempo t.

Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é a) q(t) at b.

b) tq(t) a b .

c) 2q(t) at bt.

d) bq(t) a log t.

4. (Unicamp 2014) Considere a matriz

1 a 1

M b 1 a ,

1 b 1

onde a e b são números reais distintos.

Podemos afirmar que a) a matriz M não é invertível. b) o determinante de M é positivo.

c) o determinante de M é igual a 2 2a b . d) a matriz M é igual à sua transposta. 5. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a

a) 1

.4

b) 2

.5

c) 2

.3

d) 3

.5

6. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%.




7. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x 3y 12 intercepta os eixos

coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas

a) 4

4, .3

b) (3, 2)

c) 4

4, .3

d) (3, 2).

8. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo 2014 1987z i i é igual a

a) 2. b) 0.

c) 3. d) 1.

9. (Unicamp 2014) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a 2

.9

Se a soma das

duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem a) 12 anos. b) 13 anos. c) 10 anos. d) 15 anos. 10. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x. O valor de sen x é

a) 3 1

.2

b) 1 3

.2

c) 5 1

.2

d) 1 5

.2

11. (Unicamp 2014) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve a) lucro de R$ 6,00. b) nem lucro nem prejuízo. c) prejuízo de R$ 6,00. d) lucro de R$ 6,50. 12. (Unicamp 2013) A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há um determinado risco de alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento?




a) 2 dias. b) 4 dias. c) 6 dias. d) 10 dias. 13. (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.

ABC 1234 ABCD 123

Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) mais que o quádruplo. 14. (Unicamp 2013) A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

a) R 3

r 4 e

H 16.

h 9

b) R 9

r 16 e

H 4.

h 3

c) R 4

r 5 e

H 25.

h 16

d) R 16

r 25 e

H 5.

h 4

15. (Unicamp 2013) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740°C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40°C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

t 120 AR ART t T T 10 T

sendo t o tempo em minutos, 0T a temperatura inicial e ART a temperatura do ar. Com essa

função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140°C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10:

a) 12 log 7 1 minutos.




b) 12 1 log 7 minutos.

c) 12log 7 minutos.

d) 1 log 7 12 minutos.

16. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 17. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S φ e T ,φ

podemos afirmar que a razão S T ,φ φ quando 2φ π radianos, é

a) 2.π

b) 2 .π c) .π d) 4.π




18. (Unicamp 2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo

tal que 2i 1.

Então 0 1 2 3 2013i i i i i vale a) 0. b) 1. c) i. d) 1 i.

19. (Unicamp 2013) Sejam r, s e t as raízes do polinômio 3

3 2 bp x x ax bx ,

a

em que

a e b são constantes reais não nulas. Se 2s r t, então a soma de r t é igual a

a) b

a.a

b) b

a.a

c) b

a .a

d) b

a.a

20. (Unicamp 2013) Para repor o teor de sódio no corpo humano, o indivíduo deve ingerir aproximadamente 500 mg de sódio por dia. Considere que determinado refrigerante de 350 mL contém 35 mg de sódio. Ingerindo-se 1.500 mL desse refrigerante em um dia, qual é a porcentagem de sódio consumida em relação às necessidades diárias? a) 45%. b) 60%. c) 15%. d) 30%. 21. (Unicamp 2013) Um automóvel foi anunciado com um financiamento “taxa zero” por R$24.000,00 (vinte e quatro mil reais), que poderiam ser pagos em doze parcelas iguais e sem entrada. Para efetivar a compra parcelada, no entanto, o consumidor precisaria pagar R$720,00 (setecentos e vinte reais) para cobrir despesas do cadastro. Dessa forma, em relação ao valor anunciado, o comprador pagará um acréscimo a) inferior a 2,5%. b) entre 2,5% e 3,5%. c) entre 3,5% e 4,5%. d) superior a 4,5%. 22. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km.




23. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de

bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o comprimento do segmento

CE é:

a) 5

a3

b) 8

a3

c) 7

a3

d) a 2




Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Somando os percentuais indicados em cinza: 9,1% + 13,5% + 18,5% + 5,5% = 46,6%.

557 milhões 100% 557 46,6 x

x milhões 46,6% 100

x 259,562 milhões.

Resposta da questão 2: [D]

Do gráfico, sabemos que g(1) 0 e f(1) 1. Logo, como f(0) 1 e g( 1) 0, obtemos

f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)

1 0

1.

Resposta da questão 3: [B]

A lei da função q não pode ser q(t) at b, pois o gráfico de q não é uma reta. Além disso,

como o ponto (0,1000) pertence ao gráfico de q, segue-se que a lei de q não pode ser

2q(t) at bt nem bq(t) a log t, para quaisquer valores reais de a e b. Portanto, a única

possibilidade é tq(t) a b .

Resposta da questão 4: [B] Temos

2 2

2

1 a 1

detM b 1 a

1 b 1

1 a b 1 ab ab

(a b) .

Logo, sabendo que a b (o que implica em M não ser simétrica), tem-se 2(a b) 0 para

quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M

é invertível. Resposta da questão 5: [B]




Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de

50 reais e o número total de cédulas, isto é, n x y. Logo, para um saque de 400 reais,

temos:

20x 50y 4005n 40 3x

n x y.0 x 20

0 x 200 y 8

0 y 8

Como 40 3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos

2{(x, y) ; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}.Ω

Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade

pedida é igual a 2

.5

Resposta da questão 6: [A]

Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como

2V r h,π segue-se que a variação percentual pedida é dada por

2

2

2

r2h r h

2100% 50%,

r h

π π

π

isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro. Resposta da questão 7: [D]

A equação segmentária da reta AB é

x y2x 3y 12 1.

6 4

Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB

tem coordenadas

6 0 0 ( 4), (3, 2).

2 2


Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1, vem




2014 1987

4 503 2 4 496 3

4 503 2 4 496 3

z i i

i i

(i ) i (i ) i

1 i.

Portanto,

2 2| z | | 1 i | ( 1) 1 2.

Resposta da questão 9: [C]

Se x é a idade de Pedro, e a soma das duas idades é igual a 55 anos, então a idade do pai

de Pedro é igual a 55 x.

Portanto, sabendo que a razão entre as idades é igual a 2

,9

obtemos

x 211x 110 x 10.

55 x 9


Sabendo que senx

tgx ,cosx

com x k2

ππ e 2 2cos x 1 sen x, vem

2

2

2

senxcos x tgx cos x

cos x

cos x senx

sen x senx 1

111senx

42

1 5senx

2 2

5 1senx .

2


Seja a

b

o quociente da divisão de a por b, com a, b e a

.b

Nos dois primeiros meses, o investidor comprou 200 200

22 28 509 7

ações, ao custo

total de 22 9 28 7 198 196 R$ 394,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço

unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de 8 50 394 R$ 6,00.

Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro mês.




Resposta da questão 12: [B] Observando o gráfico podemos notar que em quatro dias Campinas teve risco de alagamento.

Resposta da questão 13: [A] Total de placas possíveis no modelo em estudo: 264 103

Total de placas possíveis no modelo atual: 263 104

Razão entre os dois valores: 4 3

3 4

26 .102,6.

26 .10

Portanto, o aumento será de 2,6 – 1 = 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro. Resposta da questão 14: Gabarito Oficial: [C] Gabarito SuperPro®: [A] e [C]

22 2

2

Volumes iguais.

R h.r .h .R .H (I)

Hr

R 5 h2 .R.H 1,25.2 r.h (II)

r 4 H

substituindo (I) em (II), temos:

π π

π π

2

2

R 5 R 5 R R 4 H 251 e

r 4 4 r r 5 h 16r

Como :

H 25 H 16

h 16 h 9

R 4 R 3

r 5 r 4

As alternativas [A] e [C] estão corretas. Resposta da questão 15:




[C] De acordo com os dados do problema, temos:

t 120 AR ART t T T 10 T

t 12

t 12

t 12

t 12 1

140 740 40 10 40

100 700 10

110

7

log10 log7

tlog7

12

t 12 log7 minutos

Resposta da questão 16: [B]

o

o

22 2

2 2 2

HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ

3BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF

2

36 K2AGF~ QPF K 4

3 K

3 5No GBH : GH 2 GH

2 2

No HPQ: HQ 4 3 HQ 5

Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ

Δ

Δ

Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm. Resposta da questão 17: [A]




Sejam 2 90 ,φ π R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

22 2 2 2

22 2

22 2

x x 2R x 2.R

1R

S( ) R R21T( ) x 2Rx x2

ππ

φ π π

φ

Resposta da questão 18: [D] Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos:

2014 20 1 2 3 2013 1.(i 1) i 1 2 (1 i)i i i i i i 1

i 1 i 1 i 1 (1 i)

Resposta da questão 19: [D] s2 = r t implica que as raízes deste polinômio estão em Progressão Geométrica, o que nos permite escrever que :

s

r, s, t , s, s q ,q

em que q é a razão da P.G.

Utilizando as relações de Girard para soma e produto das raízes, podemos escrever:

3b

s bas s q s

q 1 a

a br s t r t a

1 a

Resposta da questão 20: [D] 350 mL ..............35 mg 1500 mL ............ x




Logo x = 150 mg. Em relação ao total recomendado, temos:

150 3030%

500 100

Resposta da questão 21: [B] Dividindo 720 por 24.000, temos:

7200,03 3%

24000

Resposta da questão 22: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.

htan 15 h 3,8 tg 15

3,8





2 2 2

2 22

2

a 3 a 2aNo CMB : cos30° x

x 2 x 3

a3 a a2No ENB : cos30° y

y 2 2y 3

ˆCBE 180 30 30 120

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:

CE x y 2.x.y.cos120

4a a 2a a 1CE 2

3 3 23 3

5aCE

Δ

Δ

2 2

22

2a

3 3

7aCE

3

7CE a.

3


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