Atividade

Série SuperLogo – Desafios Geométricos

Nível: Ensino Médio

Este material está licenciado sob uma licença Creative Commons.

Secretaria de Educação a Distância

Ministério da

Ciência e Tecnologia

Ministério

da Educação

Desenvolvido por

MDMat – Mídias Digitais para Matemática

Com o apoio da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Em parceria com o

Instituto de Matemática da UFRGS

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FICHA TÉCNICA

Nível de ensino

Ensino Médio

Descrição

Esta atividade apresenta um método para a obtenção de uma

fórmula para o cálculo da área de polígonos regulares e

implementa essa fórmula no software SuperLogo.

Conteúdos matemáticos envolvidos

Geometria Plana e Trigonometria:

Área de polígonos regulares, ângulos internos e externos de

polígonos e funções trigonométricas.

Objetivos

Desenvolver o raciocínio geométrico e dedutivo.

Relacionar diferentes propriedades dos polígonos regulares.

Tempo necessário

Duas aulas

INTRODUÇÃO

Alguns conceitos geométricos podem ser explorados no

ambiente SuperLogo através de uma linguagem de

programação simplificada capaz de desenvolver o raciocínio

geométrico do aluno, tornando-o capaz de fazer deduções e

estabelecer relações matemáticas de uma maneira divertida

e desafiadora.

Nesta atividade, o desafio consiste em criar um

procedimento capaz de calcular a área de qualquer polígono

regular. Para isso, dividiremos a atividade em duas partes: a

primeira consiste na dedução de uma fórmula para o cálculo

da área de qualquer polígono regular; a segunda consiste na

implementação da fórmula obtida no software SuperLogo

acrescentando um comando para que a tartaruga desenhe os

polígonos regulares.

Ao longo do texto utilizaremos alguns conceitos

geométricos que, por esse motivo, precisam ser discutidos e

trabalhados previamente ou ao longo da atividade.

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Parte 1 – Deduzindo a fórmula

Observe os seguintes polígonos regulares:

Sabemos que polígonos regulares podem ser inscritos em circunferências de centro , tal

que seja equidistante aos vértices do polígono. Podemos encontrar o centro das

circunferências através da intersecção das bissetrizes dos ângulos internos dos polígonos, como na

figura abaixo:

Dessa forma, dividimos cada polígono regular em triângulos congruentes. Observe que o

número de triângulos é exatamente o número de lados do polígono.

Para lembrar...

Polígonos regulares são

polígonos que possuem todos

os seus lados congruentes e

todos os seus ângulos

internos congruentes.

Bissetriz de um ângulo é uma

semirreta interna ao ângulo,

com origem no vértice do

ângulo e que o divide em dois

ângulos congruentes.

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Assim, para calcularmos a área de cada polígono regular basta calcularmos a área de um dos triângulos que compõe o polígono

e então, multiplicar o valor da área de um triângulo pela quantidade de triângulos.

Para calcularmos a área de um triângulo, basta utilizarmos a fórmula

, onde e são as medidas da base e da altura

do triângulo, respectivamente. Note que, neste caso, coincide com a medida do lado do polígono, sendo então necessário, apenas

descobrir a altura do triângulo.

Descobrindo o valor de : Para obtermos a altura do triângulo, podemos utilizar a função tangente. Para isso, vamos

considerar os triângulos retângulos de base

, onde é a medida do lado do polígono, altura e ângulo que é oposto à , conforme

a figura abaixo:

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Dessa forma,

(

) e, portanto, (

).

Contudo, ainda precisamos conhecer o valor do ângulo , pois a altura depende de .

Observe que o ângulo externo de um polígono regular tem medida

, onde é o número de

lados do polígono e o ângulo interno de um polígono regular tem medida ângulo externo,

isto é,

. Por exemplo, observe as figuras abaixo:

Pergunta

Podemos utilizar as

funções seno ou cosseno

no lugar da função

tangente para descobrir

o valor de ?

Resposta:

Para usarmos as funções

seno ou cosseno

precisaríamos conhecer

o valor da hipotenusa do

triângulo retângulo que,

neste caso é o raio da

circunferência, o qual é

desconhecido.

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Note que o ângulo externo do triângulo equilátero mede que é exatamente igual a

. No quadrado o ângulo externo é que é exatamente igual a

.

O ângulo interno do triângulo equilátero é igual a que é igual a . O ângulo

interno do quadrado é igual a –

Como isto ocorrerá com todos os polígonos regulares, podemos descobrir o valor do ângulo

a partir do número de lados do polígono em questão.

Um ângulo interno de um

polígono é aquele formado

entre dois lados consecutivos.

Nos polígonos regulares, o

ângulo externo é

suplementar ao ângulo

interno, isto é, somam

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Temos que o valor de é igual à metade da medida do ângulo interno do polígono, isto é,

Neste momento, possuímos todos os dados necessários para o cálculo da área de polígonos

regulares. Assim, obtemos a seguinte fórmula:

( )

( ( ) ( ))

( (

) (

))

A fórmula encontrada calcula a área de qualquer polígono regular. Basta escolhermos

quantos lados o polígono terá (variável ) e o tamanho de cada lado (variável ).

Observe

A fórmula encontrada

depende exclusivamente do

número de lados do polígono

regular e da medida de cada

lado. Além disso, o valor 𝑛

deve ser um número natural

maior do que (lembre-se

que não existe polígono com

1 ou 2 lados) e o valor 𝐿 pode

ser qualquer número real

positivo.

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Parte 2 – Ensinando a tartaruga

Agora, vamos criar um procedimento no software SuperLogo para calcular a área de um polígono regular qualquer, utilizando a

fórmula encontrada. Nesse procedimento a tartaruga deverá desenhar o polígono regular e calcular a sua área. As entradas deverão

ser o número de lados do polígono e o tamanho de cada lado.

Para isso, precisaremos utilizar dois comandos básicos do SuperLogo: “escreva” e “repita”.

O comando escreva será responsável por escrever na janela de comandos o valor da área do polígono regular em questão. O

comando repita será necessário para que a tartaruga desenhe o polígono regular.

Para desenhar o polígono regular, a tartaruga precisará andar para frente o tamanho do lado do polígono e após, girar para

direita a medida do ângulo externo do polígono, e então, andar para frente e girar para direita a medida do ângulo externo do

polígono novamente, e assim sucessivamente, até que todos os lados do polígono tenham sido desenhados. Por exemplo, para que a

tartaruga desenhe um quadrado cuja medida do lado é 100, devemos dar os seguintes comandos:

pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90

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Observe que o número de vezes que a tartaruga executa os comandos pf e pd em sequência é exatamente o número de lados

do polígono em questão. Por exemplo, para desenhar o quadrado devemos repetir 4 vezes os comandos pf e pd em sequência.

Como o número de lados do polígono é , ela precisará repetir esses comandos vezes. Isto pode ser ensinado para tartaruga

através do comando repita, da seguinte forma:

repita :n[pf :L pd 360/:n]

Onde :n é o número de lados do polígono e :L é o tamanho de cada lado. Lembre-se que pf significa “andar para frente”, pd

significa “girar para direita” e 360/:n é o ângulo externo do polígono, como vimos anteriormente.

Ainda precisamos ensinar para a tartaruga a fórmula que encontramos. Isso pode ser feito através do seguinte comando:

escreva :n*(:L*(tan (180-360/:n)/2)*:L/2)/2

Observe que o comando acima é exatamente a fórmula encontrada na primeira parte da atividade

Combinando os dois comandos acima, obtemos o seguinte procedimento, que chamaremos de “polígono”:

aprenda polígono :n :L

escreva [A área deste polígono é]

escreva :n*(:L*(tan (180-360/:n)/2)*:L/2)/2

repita :n[pf :L pd 360/:n]

fim

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Utilizando o procedimento

Na janela de comando, escrevemos o nome do procedimento (polígono) e os valores das variáveis :n e :L. Por exemplo, se

escrevermos na janela de comandos “polígono 4 100” estaremos pedindo que a tartaruga desenhe um quadrado cujo lado mede 100 e

calcule sua área. Caso desejemos saber a área de um pentágono regular cuja medida do lado é 30, bastará escrever na janela de

comandos “polígono 5 30”. É importante ressaltar que o SuperLogo utiliza um ponto no lugar da vírgula na notação decimal.

Veja abaixo alguns polígonos regulares com lado medindo 100 u.c..