Segmentos proporcionais

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

Razão e proporção........................................................................................................... 1

Propriedades das proporções.................................................................................... 2

Propriedade fundamental ...................................................................................... 2

Propriedade da soma............................................................................................. 2

Propriedade da diferença ...................................................................................... 2

Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3

Segmentos proporcionais ................................................................................................ 5

Feixe de retas paralelas ................................................................................................... 6

Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6

Teorema de Tales............................................................................................................ 8

Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10

Teorema da bissetriz interna de um triângulo ........................................................ 11

Referências bibliográficas............................................................................................. 14

1

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Razão e proporção

A razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente do primeiro pelo

segundo: ba : ou b

a.

Por exemplo:

1) A razão entre 8 e 6 é 6:8 ou 34

68 = .

2) A razão entre 20 e 15 é 15:20 ou 34

1520 = .

Nos exemplos acima, verificamos que as razões 68

e 1520

são iguais:

34

1520

34

68

=

= ⇒⇒⇒⇒

1520

68 =

Dizemos, então, que as razões 68

e 1520

formam uma proporção ou, ainda, que os

números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem, proporcionais.

Então:

Proporção é a igualdade entre duas razões.

Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem, proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.

d

c

b

a =

2

Em toda proporção d

c

b

a = , temos:

a e d � extremos

b e c � meios

Propriedades das proporções

Vamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções:

Propriedade fundamental

{ {

meios dos produto

extremos dosproduto

cbdad

c

b

a ⋅=⋅⇒=

Propriedade da soma

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a +=++=+⇒= ou

Propriedade da diferença

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a −=−−=−⇒= ou

3

EXERCÍCIOS A

(1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razão entre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por

15:35 ou por 3515

. Seu valor na forma de fração irredutível é 73

. Calcule em seu

caderno:

a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe;

b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas;

c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos.

(2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção.

(3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção: 15

10

6

4 = .

Razão de dois segmentos

Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.

Exemplos:

a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD , sendo AB = 6 cm e CD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB .)

21

126

CDAB ==

A razão é 21

.

b) Dados MN e PQ , cujas medidas são, repectivamente, 2 cm e 5 cm,

determinar a razão ente MN e PQ .

52

PQMN =

A razão é 52

.

4

c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE , sabendo-se que AB = 2 m e DE = 60 cm?

Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para a mesma unidade:

AB = 2 m = 200 cm

DE = 60 cm

310

60200

DEAB ==

A razão é 3

10.

Você pode perceber, pelos exemplos, que a razão entre dois segmentos é sempre um número real positivo.

Sendo um número real, a razão pode ser:

• um número racional →→→→ neste caso dizemos que os segmentos são comensuráveis.

{

racionalnúmero

61

CDAB = →→→→ AB e CD são segmentos comensuráveis

{

racionalnúmero

310

DEAB = →→→→ AB e DE são segmentos comensuráveis

• um número irracional →→→→ neste caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis.

{

irracionalnúmero

52

PQMN = →→→→ MN e PQ são segmentos incomensuráveis

5

Segmentos proporcionais

Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro segmentos, AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:

AB , CD , EF, GH são, nessa ordem, proporcionais, quando GHEF

CDAB = .

Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade pra formar a proporção.

Exemplos:

a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção, pois:

6

4

12

8

GH

EF6

4

CD

AB

==

= ⇒⇒⇒⇒

GH

EF

CD

AB =

b) Quatro segmentos AB , MN , PQ e XY , nessa ordem, são proporcionais.

Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY ?

Como AB , MN , PQ e XY são proporcionais ⇒⇒⇒⇒ XY

PQ

MN

AB =

Mas 3

1

15

5

MN

AB == .

Então:

cm12XY3

1

XY

43

1

XY

PQ

=

=

=

6

EXERCÍCIOS B

(1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ ,

nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ .

(2) AB , CD, CD e EF, nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.

Feixe de retas paralelas

Você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem pontos em comum, ou seja:

{ s//rparalelas

{ =∩ srointersecçã

∅

Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retas paralelas, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas.

Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal.

feixe de retas paralelas:

r // s // m // u // v

t: transversal

Propriedades de um feixe de retas paralelas

Vamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t. Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB , BC, CD e DE , como mostra a figura seguinte.

7

Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter:

AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE

≅ (Congruente)

Vamos, agora, traçar uma reta m, transversal ao feixe de paralelas, determinando os segmentos MN , NP, PQ e QR .

Medindo os segmentos,vamos obter:

MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm ⇒ MN ≅ NP ≅ PQ ≅ QR

Podemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe de paralelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si.

Dizemos então:

Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra

transversal.

8

Teorema de Tales

Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.

a // b // c ⇒ NP

MN

BC

AB =

OBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema de Tales, tais como:

• MP

MN

AC

AB = MP

NP

AC

BC = NP

BC

MN

AB =

Exemplos:

a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.

Pelo teorema de Tales, temos:

6,110

16

1610

8210

8

2

10

=

=

=⋅=

=

x

x

x

xx

9

b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas.

Pelo teorema de Tales, temos:

y

x=9

5

Aplicando as propriedades da soma nas proporções:

1014

140

14014

28514

28

5

145

95

=

=

=⋅=

=

+=+

x

x

x

xx

x

yx

Como:

18

1028

2810

28

=−==+

=+

y

y

y

yx

EXERCÍCIOS C

(1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x.

a)

d)

b)

e)

c)

10

Aplicações do teorema de Tales

Consideremos o ∆ABC (Figura 1).

Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC, que irá interceptar os lados AB e AC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2).

Se traçarmos pelo ponto A uma reta s, paralela a r, obteremos três retas paralelas

(BC, r e s) e duas transversais (AB e AC).

r // s // BC

Pelo teorema de Tales:

PC

AP

MB

AM =

Podemos enunciar, então:

Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são

proporcionais.

11

Exemplo:

a) Na figura abaixo, RS // BC. Determinar a medida de x.

Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos:

2

02ou0

0)2(

02

0422

)4()1(21

42

2

22

==−=

=−=−

=−−++=+

++=

x

xx

xx

xx

xxxx

xxxxx

x

x

x

Como x = 0 não serve, então x = 2.

Teorema da bissetriz interna de um triângulo

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o

ângulo considerado.

Se AS é bissetriz do ângulo Â, então:

SC

BS

AC

AB = ou SC

AC

BS

AB =

12

Exemplo:

a) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado

NP os segmentos NC e CP cuja razão é 3

2

CP

NC = . Sabendo-se que M = 12 cm,

determinar a medida do lado MP.

Pelo enunciado do problema, temos a figura ao lado, onde x é a medida do ladoMP.

Pelo teorema da bissetriz interna:

CP

NC

MP

MN =

CP

NC12 =x

Mas, 3

2

CP

NC =

182

36

362

31223

212

=

=

=⋅=

=

x

x

x

xx

Então, MP = 18 cm.

13

EXERCÍCIOS D

(1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada.

a) BC//MN

c) BC//DE

b) AB//PQ

d) MP//AB

(2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x.

a) AD é a bissetriz do ângulo A

c) BP é a bissetriz do ângulo B

b) CM é a bissetriz do ângulo C

d) AD é a bissetriz do ângulo A

14

Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando

matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:

Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e

descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José

Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São

Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.