3Segmentos

Dividir um segmento dado em um número qualquer de partes iguais é uma das construções básicase frequentemente vamos precisar usá-la. Neste sentido, iniciamos abordando o caso mais geral,

ou seja, o de dividir um segmento em partes proporcionais à segmentos dados.Destacamos que deste capítulo em diante será permitido o uso de esquadros para o traçado de

perpendiculares e paralelas. Também reforçamos que a graduação da régua continuará sendo utilizadaapenas para colocar dados no papel e para medir possíveis respostas.

3.1Divisão Gráfica de Segmentos

3.1.1 Divisão de Segmentos em Partes Proporcionais

Vamos dividir um segmento AB em partes proporcionais a dois segmentos de medidas 2 e 3.

1. Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (por exemplo,por A;

2. Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1 e P2 taisque AP1 = 2u e P1P2 = 3u;

3. Traça-se a reta que contém P2B e, por P1, a paralela a ela, a qual intersecta AB em Q1.

4. O ponto Q1 divide AB nas partes desejadas.

De forma geral, temos os seguintes processos:

1. Considere um segmento AB e vamos dividi-los em segmentos proporcionais aos números a1, a2,. . ., an.

(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;

(b) Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2,. . ., Pn tais que AP1 = a1u, P1P2 = a2u, Pn−1Pn = anu;

(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, as quaisintersectam AB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.

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Capítulo 3. Segmentos

Figura 3.1: Divisão do Segmento AB em Partes Proporcionais a 2 e 3

A B

u

u

u

u

u

P1

P2

Q1

Fonte: Autor

(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.

2. Considere um segmento AB e vamos dividi-los em segmentos proporcionais a segmentos decomprimentos a1, a2, . . ., an.

(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;

(b) Marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2, . . ., Pn tais que AP1 = a1, P1P2 = a2, Pn−1Pn = an;(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, as quais

intersectam AB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.

Esses processos estão fundamentados no seguinte resultado:

Teorema 3.1.1: Teorema Fundamental da Proporcionalidade

Se uma reta, paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então ela osdivide na mesma razão.

3.1.2 Divisão de Segmentos em Partes Iguais

1. 1o Método:

(a) Traça-se uma reta r qualquer passando por uma das extremidades do segmento AB (porexemplo, por A;

(b) Adota-se uma unidade u, arbitrária e conveniente, e marca-se, sobre r, os os pontos P1, P2,. . ., Pn;

(c) Traça-se a reta que contém PnB e, por Pn−1, . . ., P2 e P1, paralelas a ela, a qual intersectaAB em Qn−1, . . ., Q2 e Q1.

(d) O ponto Q1, Q2, . . ., Qn−1 dividem AB nas partes desejadas.

2. 2o Método:

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3.1. Divisão Gráfica de Segmentos

(a) Traçamos por A e B retas paralelas: AC ‖ BD;(b) Adota-se um unidade u, abitrária e conveniente, e marca-se em AC n pontos P1, P2, . . .,

Pn tais que AP1 = P1P2 = Pn−1Pn;(c) Com a mesma unidade, marca-se em BD n pontos Q1, Q2, . . ., Qn tais que BQ1 = Q1Q2 =

Qn−1Qn;(d) Unindo os pontos A − Q1, P1 − Qn−1, . . ., Pn−1 − Q1 e Pn − B obtemos a divisão do

segmento AB.

O segundo método é justificado através do resultado:

Teorema 3.1.2

Suponha que três retas paralelas, a, b e c, cortam as retas m e n nos pontos A, B e C e nospontos A′, B′ e C ′, respectivamente. Se o ponto B encontra-se entre A e C, então o ponto B′encontra-se entre A′ e C ′. Se AB = BC, então também têm-se A′B′ = B′C ′.

3.1.3 Quarta Proporcional

Definição 3.1.1. Chama-se quarta proporcional entre os segmentos a, b e c, citados nesta ordem,o segmento x que se obtém na proposição:

a

b= c

x

Encontra-se também na literatura a seguinte notação para a proposição a

b= c

x:

a : b :: c : x

Determinação Gráfica da Quarta Proporcional

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Capítulo 3. Segmentos

3.1.4 Terceira Proporcional

Determinação Gráfica da Terceira Proporcional

3.2Operações com Segmentos

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3.2. Operações com Segmentos

Média Geométrica entre Dois Segmentos

Raiz Quadrada de um Segmento

No procedimento da média geométrica, tomamos AB = a e b = 1.

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Capítulo 3. Segmentos

3.3Divisão Áurea

Também conhecida como Divisão na Média e Extrema Razão.

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3.3. Divisão Áurea

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Capítulo 3. Segmentos

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