sérgio ferreira silva geometria analítica: caminhos para

1

Srgio Ferreira Silva

Geometria Analtica: caminhos para aprendizagem

Dissertao de Mestrado

Dissertao apresentada como requisito parcial para obteno do grau de Mestre pelo Programa de Ps-Graduao em Matemtica do Departamento de Matemtica da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Marcos Craizer

Rio de Janeiro Julho de 2015

DBDPUC-Rio - Certificao Digital N 1311556/CA

2


Geometria Analtica: caminhos para aprendizagem

Dissertao apresentada como requisito parcial para obteno do grau de Mestre pelo Programa

de Ps-Graduao em Matemtica do Departamento de Matemtica do Centro Tcnico

Cientfico da PUC-Rio. Aprovada pela Comisso Examinadora abaixo assinada.

Prof. Marcos Craizer Orientador

Departamento de Matemtica - PUC-Rio

Prof Dbora Freire Mondaini Departamento de Matemtica - PUC-Rio

Profa. Dirce Uesu Pesco Instituto de Matemtica e Estatstica - UFF

Prof. Jos Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro

Tcnico Cientfico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 28 de julho de 2015


3

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total

ou parcial do trabalho sem a autorizao da universidade,

da autora e do orientador


Graduao em Matemtica pela Federao das Faculdades

Celso Lisboa, em 1993. Ps-Graduao Lato Sensu em

Novas Tecnologias no Ensino de Matemtica pela

Universidade Federal Fluminense, em 2009, onde escreveu

a monografia Contribuies do Software de Matemtica

Geogebra na Prtica Educativa do Ensino Fundamental.

professor efetivo da Secretaria Estadual de Educao do

Rio de Janeiro e da Secretaria Municipal de Educao de

Duque de Caxias.

Ficha Catalogrfica

CDD: 510

Silva, Srgio Ferreira

Geometria analtica: caminhos para aprendizagem / Srgio Ferreira Silva ; orientador: Marcos Craizer. 2015.

81 f. : il. (color.) ; 30 cm

Dissertao (mestrado)Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemtica, 2015.

Inclui bibliografia

1. Matemtica Teses. 2. Geometria analtica. 3. Geogebra. 4. Ensino de geometria. I. Craizer, Marcos. II. Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemtica. III. Ttulo.


4

Dedico esta dissertao a minha famlia em especial a minha esposa,

Regina, pelo convvio dirio, sempre lado a lado, parceira, cmplice,

colaboradora, incentivadora no meu caminhar profissional e aos

meus filhos Rafael e Carolina.


5

Agradecimentos

Ao meu orientador, professor Marcos Craizer pelo incentivo, orientaes

importantes para o aprimoramento deste estudo.

A todos os professores e colegas que convivi no Profmat PUC Rio pela

troca de saberes.

s professoras Dbora Freire Mondaini e Dirce Ueso Pesco que aceitaram

participar da banca e pelas contribuies para melhoria deste estudo.

Ao meu amigo professor Hlio Fernandes pelas nossas discusses na busca

de novos caminhos para o ensino da matemtica.


6

Resumo

Silva, Srgio Ferreira; Craizer, Marcos. Geometria Analtica:

Caminhos para aprendizagem. Rio de Janeiro, 2015. 81p.

Dissertao de Mestrado Departamento de Matemtica,

Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro.

A presente pesquisa tem como tema o processo de ensino e

aprendizagem de geometria analtica, assunto no qual os alunos do ensino mdio

tm apresentado dificuldades. Por isto se faz necessrio que o professor utilize um

maior nmero de ferramentas pedaggicas, explorando os caminhos algbrico e

geomtrico para resoluo de problemas. O objetivo deste estudo propor

caminhos para o ensino da geometria analtica tendo como base trs eixos

norteadores: A histria das geometrias, a proposio de problemas matemticos

que podem ser resolvidos tanto pela geometria plana como pela geometria

analtica e o uso da ferramenta tecnolgica atravs do software Geogebra.

Utilizamos neste trabalho materiais didticos disponibilizados em escolas pblicas

estaduais do Estado do Rio de Janeiro, material voltado para a formao do

professor de matemtica e livros sobre a histria da matemtica.

Palavras-Chave Geometria Analtica; Geogebra; Ensino de Geometria.


7

Abstract

Silva, Srgio Ferreira; Craizer, Marcos (Advisor). Analytic Geometry:

pathways to learning. Rio de Janeiro, 2015. 81p.

MSc. Dissertation Departamento de Matemtica, Pontifcia

Universidade Catlica do Rio de Janeiro.

The topic of this research is the process of teaching and learning

analytical geometry, a theme in which the students from high school have great

difficulties. It is necessary that the teacher use a greater number of educational

tools, exploring the algebraic and geometric aspects for problem solving.

The aim of this study is to propose new methods for teaching analytical geometry

based on three guiding principles: The history of geometry, the proposition of

mathematical problems that can be solved either by analytical geometry or by

plane geometry and the use of a technological tool, the software Geogebra.

In this work, we use teaching materials available in public schools of the state of

Rio de Janeiro, material focused in the training of mathematical teachers and

books of history of mathematics.

Keywords Analytic Geometry; Geogebra; Teaching of Geometry.


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Sumrio 1. INTRODUO 12

2. HISTRIA DAS GEOMETRIAS 15 2.1 Breve Histria a.C 15 2.2 Breve Histria da Geometria Analtica 19 3. ATIVIDADES DE GEOMETRIA ANALTICA PLANA GA 23

4. O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA 56 4.1 O Uso das TICs no Ensino da Matemtica 56 4.2 Apresentao do software GeoGebra 58 4.3 Uso do software GeoGebra para Soluo de Problemas de Geometria Analtica Plana 61 4.3.1 Constatao dos dois pr-requisitos 62 4.3.2 Trs problemas de geometria solucionados pela geometria plana e analtica 63 4.3.3 Resoluo de trs problemas clssicos do desenho geomtrico baseados na obra de Apolnio 66 5. CONSIDERAES FINAIS 79 6. REFERNCIAS 80


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Lista de figuras Figura 1. Rotao de um segmento de um ngulo de 90 24

Figura 2. Ponto mdio de um segmento 24

Figura 3.1. Segmentos equipolentes 25

Figura 3.2. Segmentos equipolentes 26

Figura 4. Distncia entre dois pontos 26

Figura 5.1. Perpendicularismo de segmentos quaisquer 27

Figura 5.2. Perpendicularismo de segmentos quaisquer 28

Figura 6.1. Distncia de um ponto a uma reta 29


Figura 7.1. rea de um tringulo 30

Figura 7.2. rea de um tringulo 31

Figura 8.1. Ponto de interseco das diagonais do retngulo 32



Figura 9.1. Ponto de interseco das diagonais do paralelogramo 36

Figura 9.2. Ponto de interseco das diagonais do paralelogramo 37

Figura 10.1. Mediana relativa a hipotenusa de um tringulo retngulo 37



Figura 11.1. Base mdia de um tringulo 39



Figura 12.1. Distncia do vrtice ao baricentro G 41



Figura 13.1. reas dos tringulos ABD e ACD 42



Figura 14.1. Comprimento da mediana do lado AB 44



Figura 15.1. rea do tringulo ADE 45


10






Figura 17.1. Ortocentro de um tringulo 50




Figura 18.1. Altura relativa hipotenusa 52



Figura 19.1. Distncia do vrtice A ao ponto P 54

Figura 19.2. Distncia do vrtice A ao ponto P 54

Figura 20. Geogebra Reta de Euler 59

Figura 21. Geogebra Protocolo de Construo 59

Figura 22. Geogebra Geogebra Ponto mdio de um segmento 62

Figura 23.1. Geogebra Rotao de um Segmento de 90 63

Figura 23.2. Geogebra Rotao de um Segmento de 90 63

Figura 24.1. Geogebra Interseco das diagonais 64

Figura 24.2. Geogebra Interseco das diagonais 64

Figura 25. Geogebra Base mdia de um tringulo 65

Figura 26. Geogebra Ortocentro de um tringulo 66

Figura 27. Apolnio PPR - caso 1 67

Figura 28. Apolnio PPR - caso 2 68

Figura 29.1. Geogebra Apolnio PPR 69

Figura 29.2. Geogebra Apolnio PPR 69

Figura 30. Apolnio PRR caso 1 70



Figura 33.1. Geogebra Apolnio PRR 72



Figura 34. Apolnio PPC 74


11

Figura 35.1. Geogebra Apolnio PPC caso 1 75







12

1 INTRODUO:

As pesquisas brasileiras desenvolvidas sobre o processo de ensino e

aprendizagem de geometria analtica foram levantadas na dcada de 90 por Di Pinto

em sua dissertao sobre o Ensino e Aprendizagem da Geometria Analtica: as

pesquisas brasileiras da dcada de 90, defendida em 2000, em que se concluiu:

[...] as pesquisas analisadas mostraram que, independentemente

do objeto a ser estudado, deve-se buscar a sua significao,

utilizando-se do maior nmero de recursos possveis, explorando

os quadros algbrico e geomtrico concomitantemente, mesmo

que a dificuldade dos educandos em cada uma dessas reas acabe

intervindo em sua aprendizagem. oportuno lembrar, a todo

momento, que s quando o aluno constri e articula um objeto

matemtico ele lhe dar um significado. A abstrao dos

conceitos que tanto se deseja s ser concretizada

(compreendida) quando o educando conseguir visualizar o objeto

matemtico como um todo. Sendo capaz de agir sobre ele,

externando seus conhecimentos a [seu] respeito em qualquer

linguagem conhecimentos esses que o permitam fazer

generalizaes sobre o objeto estudado. (DI PINTO apud

JUNHO, 2011, p.99)

Segundo essas pesquisas os processos de construo do conhecimento da

matemtica voltada para aprendizagem da geometria analtica so complexos e,

necessitam que o professor proponha caminhos possveis, entre eles o uso de

ferramentas tecnolgicas para a soluo dos problemas propostos. Dessa forma, o

professor em sua prtica pedaggica assume o papel de mediador do processo de

ensino e aprendizagem de seus alunos.

Partindo dessas premissas, o presente estudo tem como objetivo propor

caminhos para o ensino da geometria analtica tendo como base trs eixos

norteadores: a histria das geometrias, a proposio de problemas matemticos que

podem ser resolvidos tanto pela geometria plana quanto analtica e o uso da

ferramenta tecnolgica atravs do software Geogebra.

A metodologia utilizada para o desenvolvimento deste estudo foi a pesquisa

bibliogrfica que teve como base materiais didticos de geometria analtica, sendo

selecionados: dois livros didticos disponibilizados em escolas pblicas estaduais


13

de ensino mdio1 e um livro didtico para o ensino universitrio e uma revista

voltada para formao de professores de matemtica.2

Para o desenvolvimento de cada um destes eixos norteadores foram utilizadas

como fundamentao terica as ideias e/ou teorias de alguns autores. No eixo da

histria das geometrias o conhecimento histrico da matemtica que tem sua

relevncia no apenas pela sua descoberta, mas tambm pela reflexo que este

conhecimento gera no processo de ensino e aprendizagem, utilizamos GARBI,

Gilberto G.3 e EVES, Howard4.

Na demonstrao dos pr-requisitos para a soluo dos problemas de

geometria analtica plana e na breve anlise do perfil das solues utilizou-se

LIMA, Elon L.5

O estudo est estruturado em trs captulos sendo que um dos captulos

aborda uma breve histria das geometrias a partir dos trs sculos iniciais da

matemtica grega com as contribuies de Tales, de Euclides e de Apolnio antes

de Cristo e a partir do sculo XVII a inveno da geometria analtica pelos franceses

Ren Descartes e Pierre de Fermat.

No outro captulo so apresentadas demonstraes como pr-requisitos

bsicos para soluo de problemas de geometria analtica plana, os problemas que

foram retirados de materiais didticos (livros, revista e site do Profmat) com suas

respectivas solues e uma breve anlise do perfil das solues pela geometria

analtica em problemas de geometria.

O ltimo captulo apresenta as caractersticas do software GeoGebra, o qual

permite a realizao de investigaes sobre propriedades geomtricas que

1 O autor desta pesquisa professor de matemtica e utiliza esses livros com seus alunos na

sala de aula, nas escolas pblicas estaduais de ensino mdio em que leciona. 2 O autor desta pesquisa teve acesso a esses materiais em curso de formao de professores

que realizou no Instituto de Matemtica Pura e Aplicada - IMPA 3 Vencedor do 40 Prmio Jabuti da categoria Cincias Exatas, Tecnologia e Informtica

com o seu livro O Romance das Equaes Algbricas que representa algo inovador no Brasil em

relao aos mtodos de ensino da matemtica. 4 Foi um matemtico especializado em geometria e histria da matemtica, nascido nos

Estados Unidos em 1911 e faleceu em 2004. 5 Matemtico brasileiro, pesquisador titular do Instituto Nacional de Matemtica Pura e

Aplicada (IMPA), instituio na qual foi diretor em trs perodos distintos. autor de vinte e cinco

livros sobre matemtica, seis dos quais se destinam formao e aperfeioamento de professores

do ensino mdio.


14

dificilmente se consegue observar sem o uso de uma ferramenta computacional.

Dessa forma, utilizou-se dois pr-requisitos: ponto mdio de um segmento e rotao

de um segmento de um ngulo de 90 graus, de trs problemas de geometria

solucionados pela geometria plana e analtica apresentados no captulo 2 e a

resoluo de trs problemas clssicos do desenho geomtrico baseados na obra de

Apolnio.


15

2 HISTRIA DAS GEOMETRIAS

2.1 Breve Histria a.C.

Nesta breve histria se pretende abordar os trs sculos iniciais da matemtica

grega com destaque aos esforos de Tales por uma geometria demonstrativa, os

Elementos de Euclides que apresentam a geometria como um sistema lgico e as

contribuies de Apolnio que, segundo Eves (2004), constituem um perodo de

realizaes extraordinrias.

No perodo 2000 a.C. a 1600 a.C. os babilnios relacionavam a geometria

com a mensurao prtica. Dessa forma, a principal caracterstica da geometria

babilnica o seu carter algbrico. Pois, segundo Eves (2004, p.61), Os

problemas mais intricados expressos em terminologia geomtrica so

essencialmente problemas de lgebra no-triviais.

Os aparecimentos de novas civilizaes nas costas da sia Menor, na parte

continental da Grcia, na Siclia e no litoral da Itlia, trouxeram mudanas

econmicas e polticas levando o homem a questionar o como e o porqu. Segundo

Eves:

Pela primeira vez na matemtica, como em outros campos, o

homem comeou a formular questes fundamentais como: Por

que os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais? e

Por que o dimetro de um crculo divide esse crculo ao meio?

Os processos empricos do Oriente antigo, suficientes o bastante

para responder questes na forma de como, no mais bastavam

para as indagaes mais cientficas na forma de por qu.

Algumas experincias com o mtodo demonstrativo foram se

consubstanciando e se impondo, e a feio dedutiva da

matemtica, considerada pelos doutos como sua caracterstica

fundamental, passou para o primeiro plano. (EVES, 2004, p.94)

A geometria demonstrativa teve incio com Tales de Mileto, que no Egito,

no sculo VI a.C., ao admirar a Grande Pirmide (Quops) ficou interessado em

calcular a altura deste monumento. Segundo Garbi:

Para respond-la, empregou um mtodo, por ele mesmo criado e

que ainda hoje nos cativa pela simplicidade e preciso: plantou

sobre a areia, verticalmente, um basto de madeira, cujo

comprimento conhecia, e mediu-lhe a sombra. Aps fazer o

mesmo com a sombra da pirmide deduziu-lhe a altura porque

sombras e alturas, tanto em pirmides quanto em bastes,

quaisquer que sejam seus tamanhos, so sempre proporcionais.

No momento em que a altura de um basto igual sua sombra,


16

a altura da pirmide tambm ser igual sombra do monumento.

(GARBI, 2007, p.205)

A proporcionalidade entre alturas e sombras um contedo que est

presente nas aulas de matemtica at hoje nas escolas, denominado Teorema de

Tales, podendo ser aplicado na soluo de vrios problemas. Segundo Eves, na

geometria creditam-se a Tales os seguintes resultados elementares:

1-Qualquer dimetro efetua a bisseco do crculo em que

traado. 2-Os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais.

3-ngulos opostos pelo vrtice so iguais.

4-Se dois tringulos tm dois ngulos e um lado em cada um

deles respectivamente iguais, ento esses tringulos so iguais.

(Tales talvez tenha usado esse resultado na determinao que fez

da distncia de um navio praia.)

5-Um ngulo inscrito num semi-crculo reto. (Este resultado era

do conhecimento dos babilnios cerca de 1.400 anos antes.)

6-O valor desses resultados no deve ser aquilatado por eles

mesmos, mas antes pela crena de que Tales obteve-os mediante

alguns raciocnios lgicos e no pela intuio ou

experimentalmente. (EVES, 2004, p.95)

Pode-se observar, por exemplo, que Tales ao nomear os quatro ngulos

formados pela interseo de duas retas, identificou um ngulo comum a dois

ngulos rasos, concluindo que os outros dois ngulos (opostos) eram iguais,

utilizando para esta concluso o raciocnio lgico e, no mais apenas a intuio ou

o experimento.

Segundo Garbi: ... Tales revolucionou o pensamento matemtico ao estabelecer

que as verdades precisam ser demonstradas, com o que criou a

matemtica dedutiva. Euclides manteve este conceito, mas fez

nele uma ressalva que, por si s, bastaria para imortaliz-lo: nem

todas as verdades podem ser provadas; algumas delas, as

mais elementares devem ser admitidas sem demonstrao.

(GARBI, 2007, p.19)

Euclides foi o primeiro a utilizar o mtodo, denominado axiomtico. No

sculo III a.C., na Universidade de Alexandria escreveu os Elementos em 13 livros,

sistematizando os conhecimentos da Geometria elementar com os meios que

dispunha na poca. Dessa maneira, alguns dos seus resultados foram intuitivos, sem

demonstrao, mas a ideia bsica dos Elementos influenciou toda a produo

cientfica at hoje em dia, admirada pelos filsofos e matemticos, pela pureza do

estilo geomtrico e pela conciso luminosa da forma, com as definies, os axiomas

ou postulados e os teoremas no aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos

numa ordem perfeita.


17

Segundo Eves:

A maioria dos matemticos gregos antigos fazia distino entre:

postulados e axiomas. Pelo menos trs distines eram

advogadas pelas vrias partes.

1.Um axioma uma afirmao assumida como auto-evidente e

um postulado uma construo de algo assumida como auto-

evidente; assim, os axiomas e os postulados esto entre si, em

grande parte, como os teoremas e os problemas de construo.

2.Um axioma uma suposio comum de todas as cincias ao

passo que um postulado uma suposio peculiar a uma cincia

particular em estudo.

3. Um axioma uma suposio de algo que , ao mesmo tempo,

bvio e aceitvel para o aprendiz; um postulado uma suposio

de algo que no nem necessariamente bvio nem

necessariamente aceitvel para o aprendiz (Essa ltima uma

distino necessariamente aristotlica.) Na matemtica moderna

no se faz nenhuma distino nem se leva em conta a qualidade

da auto-evidncia ou a da obviedade. Houve alguns gregos

antigos que adotaram este ponto de vista. (EVES, 2004, p.179)

No h uma preciso em qual definio de axiomas e postulados Euclides

empregou, mas para Eves (2004) h evidncias de que utilizou a segunda definio

com conceitos e proposies admitidos sem demonstrao que constituem os

fundamentos especificamente geomtricos e fixam a existncia dos entes

fundamentais: ponto, reta e plano, ao definir os cinco axiomas ou noes comuns e

cinco postulados geomtricos.

Os cinco axiomas so:

A1 Coisas iguais mesma coisa so iguais entre si.

A2 Adicionando-se iguais a iguais, as somas so iguais.

A3 Subtraindo-se iguais de iguais, as diferenas so iguais.

A4 Coisas que coincidem uma com a outra so iguais entre si.

A5 O todo maior do que a parte. (EVES, 2004, p.179 e 180)

Os cinco postulados so:

P1 possvel traar uma linha reta de um ponto qualquer a outro

ponto qualquer.

P2 possvel prolongar uma reta finita indefinitivamente em

linha reta.

P3 possvel descrever um crculo com qualquer centro e

qualquer raio.

P4 Todos os ngulos retos so iguais entre si.

P5 Se uma reta intercepta duas retas formando ngulos interiores

de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se

essas duas retas indefinidamente elas se encontraro no lado em

que os dois ngulos so menores do que dois ngulos retos.

(EVES, 2004, p.180)


18

Euclides pede para o leitor aceitar as cinco proposies geomtricas que

formula nos postulados a partir de trs conceitos fundamentais o ponto, a reta e o

crculo que servem de base para toda a geometria euclidiana. Vale ressaltar que os

postulados dos Elementos de Euclides se restringem ao uso dos instrumentos (a

rgua e o compasso).

Segundo Eves (2004) Euclides escreveu outros tratados alm dos Elementos,

a saber:

- Os Dados - tendo como referncia os primeiros livros dos

Elementos. Pode-se definir um dado como um conjunto tal de

partes ou relaes de uma figura que, tendo-se todas, menos uma

delas, ento a restante est determinada.

- Diviso de Figuras - Encontramos nesta obra problemas de

construo em que se pede a diviso de uma figura por meio de

uma reta, impondo-se que as reas das partes estejam numa razo

dada

- Pseudaria ou livro das falcias geomtricas.

- Porismas uma proposio que expressa uma condio que se

traduz num certo problema solvel.

- Cnicas um tratado em quatro livros que foi mais tarde

ampliado por Apolnio. (EVES, 2004, p.180 e 181)

H outros trabalhos de Euclides que se referem matemtica aplicada os

quais destacam-se dois: Os Fenmenos, obra que focaliza a geometria esfrica

necessria para a astronomia de observao e a ptica, tratado elementar de

perspectiva.

Segundo Garbi:

Depois de Euclides, ainda no perodo ptolemaico, passaram pela

Universidade de Alexandria outros grandes matemticos, como

Aristarco (310 a.C. 230 a.C.); Arquimedes (287 a.C. 212

a.C.), o maior gnio da Antiguidade e um dos trs maiores de

todos os tempos; Eratstenes (274 a.C. 194 a.C); Apolnio

(262 a.C 190 a.C.) autor de magistral obra sobre as seces

cnicas e Hiparco (180 a.C 125 a.C), o criador da

Trigonometria. (GARBI, 2007, p.20 e 21)

Apolnio pela sua magistral obra sobre as seces cnicas e, entre outros,

pelo seu tratado sobre tangncias conhecido como O Problema de Apolnio, ser

tambm apresentado neste captulo. Ele nasceu em torno de 262 a.C., em Perga no

sul da sia Menor, e quando jovem foi para Alexandria para estudar com os

assessores de Euclides, ficando por l um bom tempo. Mais tarde foi para Pergamo,

no oeste da sia Menor, onde existia recentemente uma universidade e uma


19

biblioteca nos moldes de Alexandria. Um tempo depois, voltou para Alexandria

onde faleceu por volta de 190 a.C.

Apolnio era um astrnomo que escreveu sobre mltiplos assuntos

matemticos. Algumas de suas obras se perderam, mas foram resgatadas por

Pappus, que viveu no final do sculo III. Segundo Pappus na obra Os contatos

que so tratados os problemas de tangncia propostos por Apolnio.

No captulo 4 deste trabalho sero apresentadas trs construes entre as dez

propostas por Apolnio atravs do desenho geomtrico e, tambm, do uso do

software Geogebra.

2.2. Breve Histria da Geometria Analtica

No incio do sculo XVII vivia-se uma revoluo cientfica na qual os

Elementos, de Euclides j no atendiam as necessidades da poca e a matemtica

precisava se renovar para continuar a ser a base das transformaes cientficas, no

s ampliando seu campo de ao, mas na busca de novos mtodos.

Os historiadores divergem sobre quem inventou a Geometria Analtica e a

poca desta inveno, mas segundo Eves:

As apreciaes precedentes sobre a geometria analtica parecem

confundir o assunto com um ou mais de seus aspectos. Mas a

essncia real desse campo da matemtica reside na transferncia

de uma investigao geomtrica para uma investigao algbrica

correspondente. Antes de a geometria analtica poder

desempenhar plenamente esse papel, teve que esperar o

desenvolvimento do simbolismo e dos processos algbricos.

Assim, parece mais correto concordar com a maioria dos

historiadores que consideram as contribuies decisivas feitas no

sculo XVII pelos matemticos franceses Ren Descartes e

Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto. Sem

dvida, s depois da contribuio dada por esses dois homens

geometria analtica que esta ganhou os contornos iniciais da

forma com que estamos familiarizados. (EVES, 2004, p.383)

Em concordncia com as argumentaes que Eves utiliza para afirmar que foi

no sculo XVII que os franceses Ren Descartes e Pierre de Fermat foram os

inventores da geometria analtica, sero descritas nesta breve histria as

contribuies de cada um deles. Inicia-se apresentado os fundamentos de Ren

Descartes (1596-1650) um grande expoente fundamental para o desenvolvimento

da matemtica e da cincia.


20

A obra prima de Ren Descartes o Discurso do Mtodo para Bem Conduzir

a Razo e Procurar a Verdade nas Cincias (Discours de la Mthode pour Bien

Conduire sa Raison et Chercher la Vrit dans les Sciences) este tratado era

acompanhado de trs apndices, sendo o ltimo voltado para a geometria (La

gometrie), sua nica publicao matemtica, em 1637. Tendo na primeira parte a

explanao de alguns princpios da geometria algbrica revelado um avano em

relao aos gregos, que consideravam que uma varivel correspondia ao

comprimento de um segmento, o produto de duas variveis rea de algum

retngulo e o produto de trs variveis ao volume de algum paraleleppedo

retngulo. Dessa forma:

Para Descartes, por outro lado, x no sugeria uma rea, antes

porm o quarto termo da proporo 1 : x = x : x, suscetvel de

ser representado por um segmento de reta fcil de construir

quando se conhece x. Usando-se um segmento unitrio

possvel, dessa maneira, representar qualquer potencia de uma

varivel, ou um produto de variveis, por meio de um segmento

de reta e ento, quando se atribuem valores a essas variveis,

construir efetivamente o segmento de reta com os instrumentos

euclidianos. (EVES, 2004, p.384)

Nesta primeira parte, com a aritmetizao da geometria, Descartes marcava x

num eixo dado e ento um comprimento y, formando um ngulo fixo com esse eixo

com o objetivo de construir pontos cujo x e cujo y satisfizessem uma relao.

Na segunda parte da geometria de Descartes feita uma classificao de

curvas agora superada e um mtodo interessante de construir tangentes a curvas e

na terceira parte aborda a resoluo de equaes de grau maior que dois.

Segundo Eves:

La gomtrie no de maneira nenhuma, um desenvolvimento

sistemtico do mtodo analtico, e o leitor obrigado a quase

construir o mtodo por si mesmo, a partir de certas informaes

isoladas. H trinta e duas figuras no livro, mas em nenhuma delas

se encontram colocadas explicitamente os eixos coordenados. O

texto foi escrito intencionalmente de maneira obscura e como

resultado era difcil de ler, o que limitava muito a divulgao de

seu contedo. (EVES, 2004, p.388)

Pesquisas sobre a histria da matemtica tm demonstrado que o resgate

histrico do conhecimento leva a uma maior compreenso da evoluo do conceito

matemtico favorecendo a aprendizagem da evoluo dos conceitos da geometria


21

analtica, conforme cita AMBRZIO6 (2010), tendo como base esta afirmao

destacamos duas lendas descritas por EVES (2004) sobre a viso inicial de

Descartes sobre a geometria analtica:

De acordo com uma delas isso ocorreu num sonho. Na vspera

do dia de So Martinho, 10 de novembro de 1616, no

acampamento de inverno se sua tropa s margens do Danbio,

Descartes passou pela experincia de trs sonhos singularmente

vividos e coerentes que, segundo ele, mudaram o curso de sua

vida. Os sonhos, conforme suas palavras, iluminaram os

propsitos de sua vida e determinaram seus futuros esforos

revelando-lhe uma cincia maravilhosa e uma descoberta

assombrosa. Descartes nunca revelou explicita ou exatamente

do que se tratava, mas h suposies de que essa cincia seria a

geometria analtica, ou a aplicao da lgebra geometria. S

dezoito anos mais tardes ele iria expor algumas de suas idias em

seu Discours. Outra lenda, parecida com a histria da queda da

maa de Isaac Newton, d conta de que o estalo inicial da

geometria analtica teria ocorrido a Descartes ao observar uma

mosca que caminhava pelo forro de seu quarto, junto a um dos

cantos

. Teria chamado a sua ateno que o caminho da mosca sobre o

forro poderia ser descrito se, e somente se, a relao ligando as

distncias dela s paredes adjacentes fosse conhecida. (EVES,

2004, p. 388-399)

A contribuio de Descartes fez com que os indivduos passassem a

enxergar um ponto como um par ordenado de nmeros no plano cartesiano. Dessa

forma as retas, os crculos e outras figuras geomtricas so representadas por

equaes em x e y nascendo desta forma a geometria analtica a qual faz uso da

lgebra para soluo de problemas geomtricos.

Pierre de Fermat foi um gnio matemtico francs que tambm estudava as

bases da geometria analtica. Dentre suas contribuies encontramos a equao

geral da reta e da circunferncia e uma discusso sobre hiprboles, elipses e

parbolas. Conforme EVES:

Num trabalho sobre tangentes e quadraturas, concludo antes de

1637, Fermat definiu muitas curvas novas analiticamente. Onde

Descartes sugeriu umas poucas curvas novas, geradas por

movimentos mecnicos, Fermat props muitas curvas novas,

definidas por equaes algbricas. As curvas = a, = a e = a so ainda conhecidas como hiprboles, parbolas e espirais de Fermat. (EVES, 2004, p.389)

6 Http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses

/MATEMATICA /Artigo_Beatriz.pdf acessada em 25/03/2015 as 19 h.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_tesesDBDPUC-Rio - Certificao Digital N 1311556/CA

22

Fermat contribuiu, tambm, para a fundao da moderna teoria dos nmeros

uma outra rea da matemtica que no relataremos neste captulo por no fazerem

do objeto deste estudo.


23

3 ATIVIDADES DE GEOMETRIA ANALTICA PLANA GA

Neste captulo sero abordados 12 (doze) problemas de geometria, com a

apresentao das demonstraes que so pr-requisitos para solucion-los e o

desenvolvimento das solues, utilizando ferramentas da geometria sinttica plana

e da geometria analtica plana. Dessa forma, contribuindo para que os alunos

compreendam que a geometria analtica plana mais um caminho que eles tm para

resolver problemas envolvendo a geometria em geral.

Os problemas de geometria analtica sero retirados de materiais didticos,

onde sero destacadas atividades voltadas para a aprendizagem de Geometria

Analtica Plana (GA) propostas nos seguintes livros didticos: Matemtica Dante7,

Matemtica Cincia e Aplicaes8, Geometria Analtica e lgebra Linear9, na

Revista do Professor de Matemtica10, site Profmat11 com o objetivo de demonstrar

que esses exerccios de enunciados aparentemente especficos de geometria

sinttica plana podem ser solucionados com os recursos aprendidos na geometria

analtica plana.

Primeiramente sero demonstrados os pr-requisitos necessrios para a

soluo dos problemas, baseados em LIMA (2005), a saber:

- Rotao de um Segmento de um ngulo de 90

Dado o ponto P = (x, y), submetamos o segmento de reta OP a

uma rotao de 900 no sentido positivo em torno do ponto O = (0, 0), obtemos assim o segmento OQ. Quais so as coordenadas

do ponto Q ?

7 DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico: livro do professor. 1.ed. So Paulo:

tica.2005. 8 IEZZI, G. DOLCE, O. DEGENSZAJN, D. PRIGO, R. ALMEIDA, N. de. Matemtica

Cincia e Aplicaes, 3 srie : ensino mdio. 2 ed. So Paulo: Atual, 2004. 9 LIMA, Elon Lages. Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA,

2005. 10 NERY, Chico. A Geometria Analtica no ensino mdio. Artigo da Revista do Professor

de Matemtica n 67, 3 quadrimestre de 2008. Sociedade Brasileira de Matemtica com o apoio

da USP Universidade de So Paulo. 11 www.profmat-sbm.org.br


24

Figura 1: Rotao de um Segmento de um ngulo de 90

A rotao de 900 no sentido positivo leva o ponto (x, 0) no ponto (0, x), logo transforma o retngulo que tem diagonal OP

no retngulo de diagonal OQ. Segue-se que Q = (-y, x).

Se tivssemos submetido o segmento OP a uma rotao de

-900 (isto , de 900 no sentido negativo), teramos obtido o segmento OQ, onde Q = (y, -x). (LIMA, 2005, p.11 e 12)

- Ponto Mdio de um Segmento

Dados os pontos A = (a, b) e A = (a, b), quais so as

coordenadas do ponto mdio M = (x, y) do segmento de reta

AA ?

Figura 2: Ponto Mdio de um Segmento


25

Suponhamos inicialmente que a a e b b , isto , o

segmento AA no vertical (paralelo ao eixo OY) nem

horizontal (paralelo ao eixo OX). Ento , considerando os pontos

P = (x, b) e Q = (a, y), vemos que APM e MQA so tringulos

retngulos cujas hipotenusas AM e MA tm o mesmo

comprimento, j que M o ponto mdio de AA.

Alm disso, os ngulos agudos PM e QA so congruentes porque os lados AP e MQ so paralelos. Portanto

APM e MQAso tringulos congruentes.

Da resulta que os segmentos AP e MQ tm o mesmo

comprimento. Logo, pondo 0 = (a, 0), 0 = (x, 0) e 0 = (a,

0), conclumos que 0 o ponto mdio do segmento 00 no

eixo OX. Segue-se ento que x = (+)

2 , que o ponto mdio de

um segmento localizado sobre um eixo. De modo anlogo se v

que, y = ( + b)

2. (LIMA, 2005, p. 15 e 16)

- Segmentos Equipolentes

So dados o segmento de reta orientado AA, com A = (a,

b) , A = (a, b) e o ponto C = (c, d), fora da reta AA. Quer-se

determinar as coordenadas do ponto C = (x, y) de modo que CC

seja o segmento orientado (comeando em C) obtido quando se

translada AA paralelamente at fazer A coincidir com C.

Figura 3.1: Segmentos Equipolentes

Em termos mais precisos: dados os pontos A, A e C, quer-

se obter C tal que AA e CC sejam os lados opostos de um

paralelogramo cujos outros lados opostos so AC e AC. Pomos

C = (x, y) e nos propomos a calcular x e y.

Da Geometria Plana, sabemos que as diagonais de um

paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio. Assim os

segmentos AC e AC tm o mesmo ponto mdio. Isto nos d +

2=

+

2 e

+

2 =

+

2

Da x = c + (a - a) e y = d + (b- b)


26

Os segmentos AA e CC so chamados de segmentos

equipolentes. Portanto, se A = (a, b), A = (a, b), C = (c, d) e

C = (c, d) os segmentos AA, CC, no situados sobre a mesma

reta, so equipolentes se, e somente se, tem-se :

a - a = c- c e b- b = d- d.

Em particular, se transladarmos paralelamente o segmento

AA at fazer o ponto A coincidir com a origem O = (0,0) do

sistema de coordenadas ento o ponto A cair sobre C = (a -

a, b- b) = ( , ), onde = a - a e = b- b. (LIMA, 2005,

p.18,19 e 20)

Figura 3.2: Segmentos Equipolentes

- Distncia entre dois Pontos

Sendo P = (x, y) e Q = (u, v) pontos com abscissas e

ordenadas diferentes a distncia entre eles pode ser obtida da

forma abaixo.

Figura 4: Distncia entre dois pontos


27

Considerando o ponto S = (u, y), vemos que PSQ um

tringulo retngulo cuja hipotenusa PQ. Como P e S tm a

mesma ordenada, enquanto S e Q tm a mesma abscissa, segue-

se que d(P, S) = | | e d(S, Q) = | |. Pelo Teorema de Pitgoras, podemos escrever

(, )2 = (, )2 + (, )2. Portanto,

(, )2 = ( )2 + ( )2,

Logo d(P, Q) = ( )2 + ( )2 . Em particular, a distncia do ponto P = (x, y) origem O

= (0, 0) D(O, P) = 2 + 2 . (LIMA, 2005, p. 23, 24 e 25)

- Perpendicularismo de segmentos quaisquer

Dados os pontos P = (x, y) e Q = (u, v), qual a condio,

em termos dessas coordenadas, que assegura o

perpendicularismo dos segmentos OP e OQ, onde O = (0, 0) a

origem ?

Figura 5.1: Perpendicularismo de segmentos quaisquer

Pelo teorema de Pitgoras, os segmentos OP e OQ so

perpendiculares se, e somente se,

(, )2 = (, )2 + (, )2. A frmula da distncia entre dois pontos nos permite

escrever esta equao como

( )2 + ( )2 = 2 + 2 + 2 + 2 , Ou seja:

2- 2ux + 2 + 2 -2vy + 2 = 2 + 2 + 2 + 2

Simplificando:

-2ux 2vy = 0

E da

ux + vy = 0.

A igualdade ux + vy = 0 expressa portanto a condio

necessria e suficiente para que os segmentos OP e OQ sejam

perpendiculares, quando O origem, P = (x, y) e Q = (u, v).

Se os segmentos perpendiculares OP e OQ tm o mesmo

comprimento ento OQ resulta de OP por uma rotao de 900 em torno da origem. Neste caso se P = (x, y) ento Q = (-y, x) ou


28

Q = (y, -x), conforme a rotao seja no sentido positivo ou

negativo. claro que x(-y) + yx = 0 e xy + y(-x) = 0, confirmando

que OP e OQ so perpendiculares.

Mais geralmente, sejam A = (a, b), A = (a, b), C = (c, d)

e C= (c, d) com A A e C C.

Figura 5.2: Perpendicularismo de segmentos

quaisquer

Transladando paralelamente os segmentos AA e CC de

modo a fazer os pontos A e C coincidirem com a origem O = (0,

0), obtemos os pontos A = (, ) e C = (, ) tais que OA

paralelo a AA e OC paralelo a CC .

Sendo = a- a , = b - b, = c - c, = d - d.

Alm disso os segmentos AA e CC so perpendiculares

se, e somente se, OA perpendicular a OC , ou seja +

= 0.

Assim a condio de perpendicularismo dos segmentos de

reta AA e CC se exprime, em termos das coordenadas dos

pontos extremos desses segmentos, como

(a - a)(c - c) + (b - b)(d - d) = 0. (LIMA, 2005, p.24,

25 e 26)

- Distncia de um Ponto a uma Reta

Observao : Para demonstrar a distncia de um ponto a

uma reta suposto que o aluno conhea as formas da equao de

uma reta e a condio de retas perpendiculares.

Determinemos primeiramente a distncia entre as retas

paralelas ax + by = c e ax + by = c. Ambas so perpendiculares

reta bx ay = 0, que passa pela origem e as corta nos pontos P

q Q respectivamente. As coordenaqdas desses pontos so obtidas

resolvendo os sistemas

{ + = = 0

e { + = = 0.


29

Figura 6.1: Distncia de um Ponto a uma Reta

Facilmente obtemos

P = (

2+ 2 ,

2+ 2) e Q = (

2+ 2 ,

2+ 2)

A distncia entre as duas retas dadas a distncia entre os pontos

P e Q. Outro clculo fcil nos d

d(P, Q) = | |

2+2 .

Para calcular a distncia do ponto P = (0, 0) reta r, dada por ax + by = c, observamos que a reta paralela a r passando por P

tem a equao ax + by = c , onde c = a0 + b0 , e que a distncia de P a r igual distncia entre essas duas retas

paralelas mesma distncia de P a Q.

Figura 6.2: Distncia de um Ponto a uma Reta

Pelo que acabamos de ver, tem-se ento a expresso

d(P, r) = |a0 + b0 |

2+2


30

para a distncia do ponto P = (0, 0) reta ax + by = c. (LIMA, 2005, p.24, 25 e 26)

- rea de um Tringulo

Consideremos inicialmente um tringulo 1, 2, 3 do qual o vrtice 3 = (0, 0) a origem. Sejam 1 = (1, 1) e 2 = (2, 2). A numerao foi feita de modo que o lado 13 no vertical, isto , 1 0.

Figura 7.1: rea de um Tringulo

Seja 13 a base do tringulo. Assim, a distncia de 2

at a reta 13 a sua altura. Como a equao da reta 13 1x - 1y = 0 temos:

rea de 123 = 1

21

2 + 12 .

|12 12|

12+ (1)

2

=

1

2|12 21|.

No caso geral, temos um tringulo 123 onde os vrtices 1 = (1, 1), 2 = (2, 2) e 3 = (3, 3) so pontos quaisquer. A partir da Origem O, traamos os segmentos OP e

OQ, respectivamente equipolentes a 31 e 32, logo P = (1,1) e Q = (2,2), com 1 = 1 - 3,1 = 1 - 3 , 2 = 2 - 3 , 2 = 2 - 3.


31

Figura 7.2: rea de um Tringulo

Uma translao leva o tringulo 123 para a posio PQO.

Ento a rea de 123 = rea de OPQ = 1

2|1 2

2 1|, ou seja: rea de 123 = 1

2|(1 3)(2 3)

(2 3)(1 3)|. Tradicionalmente se escreve 12 21 como

determinante:

12 21 = |1 21 2

|.

Assim, 12 + 23 + 31 - 21 - 32 - 13 , em valor absoluto, o dobro da rea do tringulo 123, onde 1 = (1, 1), 2 = (2, 2) e 3 = (3, 3). Lembrando esta notao, no preciso transladar o tringulo. (LIMA, 2005, p.61, 62 e 63)

Aps estas demonstraes sero apresentados os exerccios de GA dos livros

didticos e da revista os quais sero solucionados por geometria sinttica plana e,

resolvidos tambm com recursos de geometria analtica plana. Este grau de

satisfao da atividade baseia-se nas afirmaes segundo Nery12:

No nego que devemos valorizar as frmulas, afinal a GA

basicamente isso, um estudo da GP por meio das equaes.

Mas, se a GA isso, primordial que ns, professores,

revisitemos a GP para resolver alguns exerccios de enunciados

aparentemente especficos de GP, porm utilizando recursos aprendidos

na GA.

Caso contrrio, fazendo uma analogia seria acreditar que dar

uma caixa de ferramentas para um aluno j seria suficiente para

transform-lo num mecnico.

Eu, particularmente, gosto de olhar estas duas geometrias como

irms gmeas. Passo a maior parte do meu trabalho em frente lousa,

interagindo, se possvel, com os meus alunos e noto que alguns deles

preferem a GA (e no so poucos?) assim como outros se sentem mais

12 O autor utiliza a abreviatura de GA para a Geometria Analtica Plana e de GP para a Geometria

Plana.


32

vontade com a GP. Muitos deles ficam encantados ao ver o mesmo

exerccio sendo resolvido de duas maneiras. (NERY, 2008, P.20)

A seguir com base nestas contribuies de Nery sero apresentados e

comentados 12 (doze) exerccios sendo um do site do Profmat, um de um livro

didtico e dois dos outros dois livros didticos, supracitados e cinco da revista.

Proposta de Exerccio retirados do site Profmat do Exame Nacional de

Qualificao 2012.1, Questo 4. (www.profmat-sbm.org.br)

Exerccio 1:

Enunciado:

ABCD um quadrado, M o ponto mdio do lado BC e N o ponto

mdio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P.

a) Mostre que

=

2

3

b) Calcule a razo

c) Se AB = 1 calcule a rea do quadriltero PMCN.

Obs: Para mostrar os itens (b) e (c) voc pode usar o resultado do item (a)

mesmo que no o tenha demonstrado.

Soluo pela Geometria Analtica Plana: Encaixemos o quadrado

ABCD no primeiro quadrante do plano cartesiano, fazendo os lados AD e AB

ficarem contidos, respectivamente, nos eixos x e y.

Figura 8.1: Quadrado


33

Item (a):

Assim as coordenadas do ponto P(, ) podem ser obtidas encontrando a

interseco das retas suporte dos segmentos AM e BN : { =

1

2

= 2 + 2

Ento: = 4

5 a e =

2

5 a e os segmentos PB e PN podem ser obtidos

pela frmula da distncia entre dois pontos, onde,

d(P, B) = (4

5a a)2 + (

2

5a 0)2 =

5

5 a

d(P, N) = (4

5a

2)2 + (

2

5a a)2 =

35

10 a

Portanto

=

. 5

5

.35

10

= 2

3

Item (b):

Obtendo os segmentos PA e PM ,

d(P, A) = (4

5a 0)2 + (

2

5a 0)2 =

25

5 a

d(P, M) = (4

5a a)2 + (

2

5a

2)2 =

5

10 a

Portanto

=

.25

5

.5

10

= 4

Item (c):

Como AB = 1 temos os pontos P = ( 4

5 ,

2

5 ) , M = ( 1,

1

2 ) , N = (

1

2 , 1 ) ,

C = ( 1, 1).

A rea do quadriltero PMCN igual soma das reas dos tringulos PNM

e NMC, que so obtidas, em valores absolutos, calculando a metade dos

determinantes gerados utilizando as coordenadas dos vrtices desses tringulos.

rea do tringulo PNM = 1

2 [

1 1 1

] = 1

2 [

4

5

1

21

2

51

1

2

1 1 1

] = 1

2 (

4

5 . 1 . 1 +

1

2 .

1

2 . 1 + 1.1.

2

5 1.1.1

1

2 .

2

5. 1

4

5 . 1 .

1

2 ) =

3

40 (em valor absoluto).


34

rea do tringulo NMC = 1

2 [

1 1 1

] = 1

2 [

1

21 1

11

21

1 1 1

] = 1

2 (

1

2 .

1

2 .1 +

1 .1 .1 + 1 .1 . 1 1 .1

2 . 1 1 . 1 . 1

1

2 . 1 . 1 ) =

1

8 (em valor absoluto).

Portanto a rea do quadriltero PMCN = 3

40 +

1

8 =

1

5

interessante observar, que aps os eixos cartesianos terem sidos

colocados, a soluo pode ser planejada utilizando as ferramentas da geometria

analtica.

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana:

Item (a):

H vrias maneiras de se calcular esta proporo. Vejamos duas:

Primeira: Bastar mostrar que

=

2

5 . Como AM perpendicular a BN,

ento os tringulos BPM e BCN so semelhantes. Logo,

=

.

Isso implica

=

.

2.

Como 2 = 2 + 2 = 5

4 2 e 2BM = BC, todos os termos do lado

direito deve ser colocados em funo de BC e a igualdade segue.


Segunda: De fato no necessrio usar a perpendicularidade, pois a

afirmao vale mesmo que ABCD seja um paralelogramo. Seja F o ponto mdio

de AB. O segmento NF corta AM em E que o ponto mdio de AM.


35

Ento FE = 1

2 BM =

1

4 BC e EM =

3

4 BC. Como os tringulos PMB e PEN so

semelhantes, segue que

=

=

1 2

3 4

=

2

3


Item (b):

Aproveitando a construo da segunda soluo de (a), a mesma semelhana

de tringulos nos d

=

2

3 e sendo AE = PE + PM, segue que AE = (

3

2 + 1 ).PM

=

+

=

5

2 +

3

2 = 4.

Item (c):

Usaremos [ ] para denotar a rea do polgono . Evidentemente

[] = 1

4. Queremos calcular [] =

1

4 - []. Mas por causa da

semelhana entre os tringulos BPM e BCN, compartilhando o ngulo oposto a

PM e NC, respectivamente,

[]

[] =

.

. =

2

5 .

1

2 =

1

5 .

Portanto [] = 1

4 -

1

5.

1

4 =

1

5.


36

Exerccio 2:

Enunciado: Prove que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao

meio. (IEZZI et al, 2004, exerccio 51, p.90)

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: A escolha

dos eixos importante para facilitar a resoluo por geometria analtica, usar os

eixos como suporte dos lados das figuras geomtricas e explorando a simetria

existente.

No caso do problema proposto iremos apoiar um dos lados do

paralelogramo sobre o eixo das abscissas onde teremos de imediato o Ponto O(0,0)

como o primeiro vrtice do paralelogramo e R(a,0) como um segundo vrtice, sendo

a o comprimento de um dos lados.

Figura 9.1: Ponto de interseco das diagonais do paralelogramo

Iremos neste problema considerar que o aluno conhece a frmula que obtm

o ponto mdio de um segmento dado as coordenadas das suas extremidades.

Assim, teremos M(x,y) o ponto de interseo das diagonais e do

paralelogramo ORQP.

Como, as coordenadas do ponto mdio do segmento so encontradas

fazendo a mdia aritmtica das coordenadas correspondentes dos pontos O e Q,

teremos: x = 0+(+)

2 =

+

2 e y =

0+

2 =

2 , logo as coordenadas do ponto mdio

de = (+

2 ,

2)

Analogamente, achando as coordenadas do mdio de teremos:

x = +

2 e y =

0+

2 =

2 , logo as coordenadas do ponto mdio de = (

+

2 ,

2)


37

Portanto as diagonais cortam-se ao meio no ponto M(+

2 ,

2).

Uma soluo usando Geometria Plana poderia ser construda com os

alunos, como a desenvolvida abaixo.

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Utilizando

o caso de congruncia ALA (ngulo, Lado, ngulo) temos os tringulos PMQ e

RMO congruentes, pois possuem os ngulos MR = M e MO = M e os

lados PQ = OR .

Figura 9.2: Ponto de interseco das diagonais do paralelogramo

Assim PM = MR e OM = MQ , logo M o ponto mdio das diagonais.

Proposta de Exerccios retirados do livro didtico: Matemtica

(DANTE, 2005)

Exerccio 3:

Enunciado:

Seja ABC um tringulo retngulo de catetos medindo m,

medindo n e hipotenusa . Mostrar que a mediana mede a metade da hipotenusa. (DANTE, 2005, p.412)

Figura 10.1: Mediana relativa hipotenusa de um tringulo retngulo


38

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: O mais

conveniente colocar os dois catetos sobre os eixos coordenados; portanto, o

vrtice A deve coincidir com a origem:


Assim, A(0, 0), B(0, m) e C(n, 0) so as coordenadas dos vrtices, e M(

2,

2).

O comprimento da hipotenusa d(B, C) = 2 + 2 e o comprimento da

mediana d(A, M) = (

2)2 + (

2)2 =

2

4+

2

4 =

1

22 + 2

Assim, d(A, M) = 1

2 d(B, C).

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Traando uma

perpendicular a passando por M, obtemos o ponto D mdio de , logo os

tringulos MDA e MDC so congruentes, caso LAL (lado, ngulo, lado).



39

Portanto a mediana = (metade da hipotenusa).

Exerccio 4:

Enunciado:

Mostre que o segmento que une os pontos mdios de dois lados

de um tringulo:

a) paralelo ao terceiro lado; b) tem comprimento igual metade do comprimento do terceiro

lado.

(DANTE, 2005, p.412)

Figura 11.1: Base mdia de um tringulo

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Visando

simplificar a resoluo do problema, vamos adotar um sistema eixos coordenados

onde o eixo das abcissas serve de suporte para o lado e o eixo das ordenadas

passa pelo vrtice C do tringulo.



40

Assim, A(a, 0), B(b, 0) e C(0, c) so as coordenadas dos vrtices, M(

2,

2) e

N(

2,

2) as coordenadas dos pontos mdios de e respectivamente. Logo a reta

suporte do segmento tem coeficiente angular =

2

2

2

2

= 0, portanto a reta

suporte de horizontal, isto , paralela reta suporte de .

O comprimento d(M, N) = (

2

2)2 + (

2

2)2= (

2

2)2 =

2 , portanto o comprimento metade do comprimento .


Traando pelo vrtice B uma paralela a e a seguir prologando

encontramos o ponto D. Obtemos assim os tringulos congruentes CNM e BND,

caso ALA (ngulo, lado, ngulo), sendo = o lado entre os ngulos iguais.

Ento = , = e como = , temos = e assim o

quadriltero AMDB um paralelogramo.


Portanto a mediana paralela ao lado e como = , temos:

=

2

Proposta de Exerccios retirados da RPM Revista do Professor de

Matemtica 67 (NERY, 2008)

Exerccio 5 :

Enunciado:

Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lado 9 e os pontos P e

Q dividem o lado CD em trs segmentos congruentes. Calcule a

distncia do vrtice A ao baricentro G do tringulo BPQ.


41

Figura 12.1: Distncia do vrtice A ao baricentro G

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Encaixemos o quadrado ABCD no primeiro quadrante do

plano cartesiano, com o vrtice D coincidindo com a origem.

Sendo A = (0,9), B = (9,9), P = (3,0) e Q = (6,0) conhecido que

as coordenadas do baricentro G so:


= + +

3 =

9+3+6

3 = 6,

= + +

3 =

9 + 0+0

3 = 3,

Portanto, G = (6,3).

A distncia procurada :

= ( ) 2 + ( )

2 = (6 0) 2 + (3 9) 2

= 72

= 62



42

Seja M o ponto mdio de PQ que tambm o ponto mdio de

DC. Traamos BM a AC que se cortam em E. Os tringulos ABE

e CME so semelhantes e , como AB = 2MC, temos BE = 2EM.

Logo, E o baricentro do tringulo BPQ e os pontos G e E

coincidem. Assim, AG = 2

3 AC =

2

3 x 92 = 62.


(NERY, 2008, p.20)

Exerccio 6 :

Enunciado: Problema: Os catetos de um tringulo ABC, retngulo em A,

medem AB=10 cm e AC=15 cm. Se AD bissetriz do ngulo A,

calcule as reas dos tringulos ABD e ACD.

Figura 13.1: reas dos tringulos ABD e ACD

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Coloquemos o tringulo ABC encaixado no 1 quadrante do

plano cartesiano, de modo que o vrtice A coincida com a

origem. Teremos: A=(0,0), B=(0,10) e C=(15,0).


43


A reta AD tem equao y = x, pois passa pelo ponto (0,0) e tem

coeficiente angular m = tg 45 = 1.

A reta BC tem equao segmentria

15+

10= 1, pois determina

nos eixos x e y segmentos de medidas 15 e 10 respectivamente.

O ponto D, p da bissetriz AD na hipotenusa BC, que

interseco dessas duas retas, pode ser obtido resolvendo-se o

sistema formado pelas suas respectivas equaes:

{ =

15+

10= 1

, ou seja, D = (6,6).

A partir desse momento, podemos calcular as reas tanto por GA

como por GP. O tringulo ACD tem vrtices A = (0,0), C = (15,0)

e D = (6,6) e o tringulo ABD tem vrtices A = (0,0), B = (0,10)

e D = (6,6); logo, suas reas so:

= 1

2|

0 0 115 0 16 6 1

| = 45, =

2

=15 6

2= 45 2

= 1

2|0 0 10 10 16 6 1

| = 30, =

2

= 10 6

2= 30 2


A partir da figura



44

Como D equidista dos lados AB e AC, ento as reas dos

tringulos ABD e ACD so proporcionais a 10 e 15 (ou seja, a 2

e 3). Como a rea do tringulo ABC 75, as reas dos dois

tringulos so 30 e 45. (NERY, 2008, p.21)

Exerccio 7 :

Enunciado:

As medianas AM e BN de um tringulo ABC so perpendiculares

e medem, respectivamente, 9cm e 12 cm. Calcule o comprimento

da terceira mediana desse tringulo.

Figura 14.1: Comprimento da mediana do lado AB

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: O

encontro das medianas o baricentro G do tringulo ABC.

Usando o fato de que as medianas AM e BN se cortam

perpendicularmente em G, coloquemos esse tringulo no plano

cartesiano com origem em G.


Usando a conhecida proporo em que G divide as medianas,

temos:


45

{ = 9 = 6 = 3

= 12 = 8 = 4 , ou seja, A = (0,6).

M = (0, -3), B = (-8, 0) e N = (4, 0), As equaes segmentrias

das retas NA e BM so, respectivamente,

4+

6= 1 e

8+

3=1

Resolvendo o sistema anterior, encontramos o ponto C = (8, -6).

O comprimento da terceira mediana 3

2 da distncia entre C e

G: 3

2( )

2 ( )2 =

3

2(8 0)2 (6 0)2

= 15 cm.

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Trace CG, que, como tambm mediana, corta AB no seu ponto

mdio P. Pela Propriedade do baricentro, temos AG = 6 e BG =

8.

Logo AB = 10 e GP = PA = PB = 5. Se GP = 5, ento CP = 15.

(NERY, 2008, P.22)


Exerccio 8 :

Enunciado: Calcule a rea do tringulo ADE retngulo em E, inscrito num

trapzio retngulo ABCD, com AB = 10 cm, AD = 30 cm e CD

= 20 cm


46

Figura 15.1: rea do tringulo ADE

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Encaixemos o trapzio ABCD no primeiro quadrante do plano

cartesiano, fazendo os lados AD e AB ficarem contidos,

respectivamente, nos eixos x e y.


Como a reta BC tem coeficiente angular m =

=

2010

300 =

1

3 e coeficiente linear 10, sua equao reduzida y =

1

3 x + 10.

A circunferncia de dimetro AD, com centro M = (15, 0), passa

pelo ponto E e tem equao:

( 15)2 + 2 = 152. O ponto E dado pela soluo do sistema:

{ =

1

3 + 10

( 15)2 + 2 = 225

Ou seja, E = (6,12) ou E = (15, 15). Portanto, a rea do tringulo

ADE :

= 1

2[

0 0 130 0 16 12 1

] = 180 2 ou 1

2[

0 0 130 0 115 15 1

] = 225 2

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Tomemos os pontos F em CD, e H em AD, de modo que BF seja

perpendicular a CD e EH perpendicular a AD, com L na

interseco de BF com EH.

Sendo EL = x, e sendo semelhantes os tringulos BLE e BFC,

com CF = 10 e BF = 30, temos BL = 3x. Assim AH = 3x e HD =

30 3x.

No tringulo retngulo AED, temos 2 = AH . HD, ou seja, (10 + )2 = 3.(30 3x), de onde tiramos x = 2 ou x = 5. A rea do tringulo AED pode ser: 1

2 AD . EH =

1

2 . 30 . 12 = 180 2ou

1

2 . 30 . 15 = 2252


47


(NERY, 2008, p.23)

Exerccio 9 :

Enunciado:

ABCD um retngulo com AB = 60 e BC = 80. Calcule a distncia da diagonal AC ao centro de uma circunferncia que

tangencia os lados AD, AB e BC. (NERY, 2008, p.23 e 24)

Com a construo da figura temos: O ponto E como centro da circunferncia

que tangencia os lados AD, AB e BC. O ponto G como o p da perpendicular a AC

que passa por E , sendo EG a distncia solicitada no problema.

Figura 16.1: Distncia de um ponto a uma reta

Soluo utilizando recursos da geometria analtica plana:


48

Colocando os eixos x e y com origem no ponto E obtemos a figura onde M

o ponto de AB e N o ponto mdio de CD e temos os vrtices A(-30, 30) e C(50,

30). Portanto precisamos achar a distncia do ponto E(0, 0) reta AC.


Como a reta AC tem coeficiente angular m = 30(30)

50(30) =

6

8=

3

4 , podemos

escrever 30

50 =

3

4 obtendo a equao da reta AC: 3x -4y - 30 = 0.

Sabemos que expresso que fornece a distncia (d) de um ponto (x, y) a uma

reta dada por : d = |.+.+|

2 + 2 . Sendo E = (0, 0) e a reta AC : 3x -4y - 30 = 0.

temos: d = |7.04.030|

32 + 42=

30

25 = 6


Os tringulos AHL e ADC como os tringulos AHL e EGL so

semelhantes, caso de semelhana AA (ngulo, ngulo).


49


Ento :

=

, LH = 60.

30

80 =

45

2 , logo EL = 30 -

45

2 =

15

2

Aplicando Pitgoras no tringulo ALH pra obtermos AL.

AL = 302 + (45

2 )2 =

5625

4 =

75

2

Pela semelhana dos tringulos AHL e EGL temos:

=

, portanto EG = 30.

15

275

2

= 6.

Proposta de Exerccios retirados do livro: Geometria Analtica e

lgebra Linear (LIMA, 2005)

Exerccio 10:

Enunciado:

Dado um tringulo ABC, provar que suas trs alturas se

encontram no mesmo ponto.


50

Figura 17.1: Ortocentro de um tringulo

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Podemos escolher o sistema de eixos coordenados onde o eixo

OX contm o lado AB e o eixo OY contm a altura baixada do

vrtice C sobre o lado AB.


Com esse sistema de eixos coordenados obtemos os pontos:

A = (a, 0) , B = (b, 0) e C = (0, c), onde c 0. A altura baixada

do vrtice B encontra a altura OC no ponto P = (0, y). Os

segmentos BP e AC so perpendiculares. Utilizando-se a

condio de perpendicularismo de dois segmentos obtemos :

(0 b).(0 a) + (y-0).(c 0) = 0 , ou seja, ab+ cy = 0.

Por sua vez, a altura baixada do vrtice A encontra a altura OC

no ponto

Q = (0,z). Novamente, os segmentos AQ e BC so

perpendiculares e utilizando a mesma relao obtemos (0 a).(0

b) + (z 0).(c 0) = 0, ou seja, ab + cz = 0. Vemos ento que

z = y = -

, portanto P = Q = (0, -

) o ponto de encontro das

trs alturas do tringulo ABC. (LIMA, 2005, p.33 e 34)


51

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Traando por

cada vrtice A, B e C uma paralela ao lado oposto do tringulo ABC obtemos um

novo tringulo DEF e diversos paralelogramos.


No paralelogramo ABCD temos AB = DC e no paralelogramo ABEC temos

AB = CE, assim temos DC = CE, logo a altura traada do vrtice C mediatriz do

segmento DE, lado do tringulo DEF, analogamente as outras duas alturas so

mediatrizes dos outros dois lados do tringulo DEF.


Como os pontos das mediatrizes de um segmento so equidistantes dos

extremos do segmento, tomando as mediatrizes duas a duas do tringulo DEF

verificamos que os ponto Q e P so os mesmos. Portanto as trs alturas de um

tringulo se encontram num mesmo ponto.


52

Exerccio 11:

Enunciado:

Num tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa a

mdia geomtrica das projees(ortogonais) dos catetos sobre

essa hipotenusa. Prove este fato escolhendo um sistema de

coordenadas onde a hipotenusa est sobre o eixo OX e o vrtice

do ngulo reto sobre o eixo OY.

Provar : h = . (LIMA, 2005, p.36)

Figura 18.1: Altura relativa hipotenusa

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Podemos

escolher o sistema de eixos coordenados onde o eixo OX contm o lado AB e o

eixo OY contm a altura baixada do vrtice C sobre o lado AB.


Com esse sistema de eixos coordenados obtemos os pontos:

A = (m, 0) , B = (n, 0) e C = (0, h). Os segmentos AC e CB so perpendiculares.

Utilizando-se a condio de perpendicularismo de dois segmentos obtemos:

(0 m).(n 0) + (h-0).(0 h) = 0 , ou seja, - mn - 2 = 0.


53

Portanto 2 = - mn , onde, de acordo com a figura: m um nmero negativo

e n um nmero positivo.

Soluo utilizando recursos da Geometria Sinttica Plana: Podemos

aplicar o teorema de Pitgoras nos tringulos AHC, BHC e ACB.


Temos : 2 = 2 + 2 , 2 = 2 + 2 e 2 = ( + )2 = 2 + 2.

Ento, ( + )2 = 2 + 2 +2 + 2

Assim, 2 + 2 + 2.m.n = 2 + 2 +2 + 2

Logo, 2 = m.n

Portanto, a altura relativa hipotenusa a mdia geomtrica das projees

dos catetos sobre essa hipotenusa, isto , h = .

Exerccio Proposto

Exerccio 12:

Enunciado: Dado um quadrado ABCD de lado 4, sabendo que M o ponto

mdio do lado AB e N o ponto mdio do lado AD, achar a distncia do vrtice A

ao ponto de interseo de DM com BN.

Soluo utilizando recursos da Geometria Analtica Plana: Podemos

escolher o sistema de eixos coordenados onde o eixo OX contm o lado AB e o

eixo OY contm o lado AD.


54

Figura 19.1: Distncia do vrtice A ao ponto P

Com esse sistema de eixo coordenados obtemos os pontos:

A = (0,0), B = (4,0), C = (4,4), D = (0,4), M = (2, 0) e N = (0, 2).

Podemos obter escrever a equao da reta DM como y = -2x + 4 e BN como

y = -

2 + 2 , assim o ponto P a soluo do sistema:

{ = 2 + 4

=

2 + 2

P = ( 4

3 ,

4

3 )

Logo a distncia AP (d) pode ser obtida por ()2 = (4

3 0)2 + (

4

3 0)2,

portanto a distncia AP = 42

3


Como os tringulos retngulos NAB e MAD so congruentes, caso LAL

(lado, ngulo, lado), ento as alturas PH e PK so iguais. Os tringulos BAN e

BHP so semelhantes assim,

4 =

2

4 , e obtemos h =

4

3 e aplicando Pitgoras no

tringulo AHP temos,

()2 = 4

3

2 +

4

3

2.


55

Figura 19.2: Distncia do vrtice A ao ponto P

Portanto a distncia AP = 42

3.

Os doze problemas geomtricos apresentados foram resolvidos usando no

s a geometria sinttica plana mas tambm a geometria analtica atravs da

introduo no plano de um sistema de coordenadas que se acha mais conveniente

para a resoluo de cada exerccio. Assim, na verdade as coordenadas so colocadas

nos problemas, pois os enunciados dos problemas no so formulados com a

presena de um sistema de coordenadas. Apesar dos problemas no fazerem uma

meno a um sistema de coordenadas, h um convite no prprio enunciado para o

uso deste sistema.

Segundo Nery (2008):

A Geometria Analtica Plana (GA), aquela que se estuda

no plano cartesiano, costuma aparecer na 3 srie, e as vezes na

2 srie, do ensino mdio, depois de o aluno ter tido bastante

contato com a tradicional Geometria Plana (sinttica) (GP). Essa

mudana de geometria costuma ser um balde de gua fria na

vida dos dois personagens envolvidos: do aluno e do professor.

Geralmente, com o decorrer das aulas, dependendo de

como a GA lecionada, o aluno acaba vendo um apanhado de

frmulas a serem decoradas: frmulas de ponto mdio, baricentro

e distncia entre dois pontos; as vrias equaes da reta (geral,

reduzida, segmentria, etc.), as condies de paralelismo,

perpendicularismo, distncia entre ponto e reta (cuja frmula

raramente o professor deduz); as duas equaes da circunferncia

reduzida e geral) e as condies de tangenciamento. (NERY,

2008, p.19)

Nery reflete sobre as condies do ensino da geometria plana que em sua

maioria apresenta frmulas seguidas de exerccios com meras aplicaes diretas,

por isso a importncia de se revisitar a geometria clssica introduzindo os sistemas

de eixos coordenados, como uma ferramenta, para resolver problemas envolvendo

geometria em geral.


56

4 O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Este captulo aborda as contribuies das tecnologias da informao e

comunicao TICs na prtica educativa, apresentando as caractersticas do

software GeoGebra e sua explorao que permite a realizao de investigaes

sobre propriedades geomtricas que dificilmente se consegue observar sem o uso

de uma ferramenta tecnolgica.

4.1 O Uso das TICs no Ensino da Matemtica

A Lei de Diretrizes e Bases da Educao Nacional LDB n 9394/96

em sua proposta estabelece as diretrizes gerais para a organizao curricular nas

unidades escolares, atravs das Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNS) de

carter obrigatrio e prope os Parmetros Curriculares Nacionais para o ensino

fundamental e mdio de carter orientador voltado para as propostas curriculares.

Os Parmetros Curriculares Nacionais, de 1998, voltados para a prtica

educativa, do terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental voltados para o ensino

da Matemtica enfatizam entre outros aspectos a importncia da interao entre

professor-aluno e entre alunos para o desenvolvimento das capacidades cognitivas,

afetivas e de insero social num ambiente escolar que estimule o aluno a criar,

comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias.

Os Parmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.44) fazem uma

previso da utilizao em maior escala dos computadores nas escolas e destaca

vrias finalidades desta tecnologia nas aulas de Matemtica, como: fonte de

informao; auxiliar no processo de construo do conhecimento; meio para

desenvolver a autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e

criar solues; ferramenta para realizar determinadas atividades; possibilidade de

desenvolver atividades que se adapta a distintos ritmos de aprendizagem e permita

que o aluno aprenda com seus erros.


57

Estes referenciais nacionais enfatizam que o bom uso do computador na

sala de aula, tambm, depende da escolha de softwares educacionais que atendam

a concepo de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo de ensino-

aprendizagem. Para Valente:

O computador pode ser um importante recurso para promover a

passagem da informao para o usurio ou promover a aprendizagem.

No entanto, da anlise dos software possvel entender que o aprender

no deve estar restrito ao software, mas interao do professor - aluno

- software. Alguns software apresentam caractersticas que favorecem

a atuao do professor, como no caso da programao; outros, em que

certas caractersticas no esto presentes e requerem um maior

envolvimento do professor para auxiliar o aluno a aprender, como no

caso do tutorial. Assim, a anlise dos software educacionais em termos

do aprender e do papel que o professor deve desempenhar para que o

aprendizado ocorra, permite classific-los em posies intermedirias

entre os tutoriais e a programao. No entanto, cada um dos diferentes

software usados na educao como os tutoriais, a programao, o

processador de texto, os software multimdia (mesmo a Internet), os

software para construo de multimdia, as simulaes e modelagens e

os jogos, apresentam caractersticas que podem favorecer, de maneira

mais explcita, o processo de construo do conhecimento. isso que

deve ser analisado quando escolhemos um software para ser usado em

situaes educacionais. (VALENTE, 2009, p.89)

No ensino da matemtica, quando se utiliza os recursos de um software

disponvel nos computadores de uma escola pblica de educao bsica para

demonstrar uma propriedade ou um teorema, provoca-se ainda muitas controvrsias

entre os matemticos, pois toda demonstrao necessita de rigor e formalidade e,

com o uso de um software pode-se estar sujeito aos erros de um programa de

computador ou falhas da prpria mquina.

Por exemplo: quando se usa o software Geogebra para mostrar a existncia

do ortocentro, ponto notvel de um tringulo, onde se intersectam as trs alturas

relativas, isto , as perpendiculares traadas dos vrtices at os lados opostos (ou

seus prolongamentos), pode ocorrer a dvida que uma das alturas passe bem

prximo da interseo das outras duas e que no seja possvel visualizar no

software. No entanto, essa incerteza, pode contribuir para que o professor aproveite

o interesse por parte dos alunos para desenvolver uma demonstrao mais rigorosa

em sala de aula.


58

Por outro lado, durante uma atividade como essa em uma sala de informtica

com a visualizao dos objetos geomtricos e o uso dos diversos recursos existentes

nesse software, possibilita-se que o professor explore outros temas, como ngulos,

perpendicularidade, criando novos caminhos e colaborando no processo de

investigao de um problema geomtrico e a observao das regularidades

apresentadas.

A potencialidade de um software como o Geogebra pode fazer com que a

aprendizagem da matemtica alcance um resultado mais eficaz, sendo mais uma

ferramenta importante na superao de obstculos e no despertar do interesse dos

alunos no processo da demonstrao em matemtica.

As consideraes apresentadas no incio deste captulo contribuem no

olhar crtico e investigador do professor para o conhecimento tcnico e pedaggico

do software GeoGebra. Na seo seguinte sero apresentadas as caractersticas

desta ferramenta.

4.2 Apresentao do software GeoGebra

O GeoGebra um software livre e gratuito de matemtica dinmica que

rene recursos de geometria, lgebra e clculo, criado por Markus Hohenwarter,

disponvel, em portugus, na Internet para vrios sistemas operacionais inclusive

para Linux que existe nas escolas pblicas do Rio de Janeiro e pode ser localizado

no endereo eletrnico http://www.geogebra.at/.

Todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria

dinmica como pontos, segmentos, retas e sees cnicas esto presentes no

GeoGebra. Um dos seus diferenciais est na visualizao de duas janelas, uma

algbrica e a outra geomtrica possibilitando ao aluno visualizar duas

representaes diferentes de um mesmo objeto, sua representao geomtrica e sua

representao algbrica que interagem entre si (Figura 20.1). Por exemplo:

http://www.geogebra.at/DBDPUC-Rio - Certificao Digital N 1311556/CA

59

Figura 20: Geogebra - Reta de Euler

Um outro diferencial presente no software GeoGebra o protocolo de

construo onde em uma tabela so apresentadas todas as etapas da construo

geomtrica realizada pelo aluno, possibilitando aos alunos comparar as construes

realizadas por outros colegas de classe que chegaram a mesma soluo do

problema. A Figura 20.2 mostra um exemplo desta tabela.

Figura 21: Geogebra - Protocolo de Construo

A informao da gratuidade da verso em portugus disponvel na Internet

so pontos favorveis desse software para a sua implantao nas escolas pblicas,


60

que esto sendo equipadas por computadores, por polticas governamentais de

incluso digital, que ainda no do conta de criar salas de aula informatizadas.

Essas iniciativas tm possibilitado a construo de laboratrios

informatizados que podem e devem ser utilizados pelos professores e alunos. A

realidade retratada por Gomes e Costa, infelizmente ainda est presente e precisa

ser derrubada

sérgio ferreira silva geometria analítica: caminhos para

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