sergio bassi, 2009_p.o. aplicada a área de logística

7/31/2019 SERGIO BASSI, 2009_P.O. aplicada a rea de Logstica

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SRGIO BASSI

PESQUISA OPERACIONAL APLICADA REA DE LOGSTICA DETRANSPORTES RODOVIRIOS EM PROJETOS DE GRANDE PORTE

Trabalho de Formatura apresentado Escola Politcnica da Universidade deSo Paulo para a obteno do Diploma

de Engenheiro de Produo

So Paulo2009


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SRGIO BASSI

PESQUISA OPERACIONAL APLICADA REA DE LOGSTICA DETRANSPORTES RODOVIRIOS EM PROJETOS DE GRANDE PORTE

Trabalho de Formatura apresentado Escola Politcnica da Universidade deSo Paulo para a obteno do Diploma

de Engenheiro de Produo

Orientadora:Prof Dra. Dbora Pretti Ronconi

So Paulo2009


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FICHA CATALOGRFICA

Bassi, SrgioPesquisa operacional aplicada rea de logstica de trans -

portes rodovirios em projetos de grande porte / S. Bassi. -- SoPaulo, 2009.

p. 213

Trabalho de Formatura - Escola Politcnica da Universidadede So Paulo. Departamento de Engenharia de Produo.

1. Pesquisa operacional 2. Logstica 3. Roteirizao I. Univer-sidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Enge-nharia de Produo II. t.


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minha famlia, meus amigos e a todos aqueles que,de um modo ou outro, contriburam para esta vitria.


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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeo a Deus por ter me permitido chegar a este momento, por ter

mudado o rumo de minha trajetria anos atrs, por ter feito eu acreditar que era possvel.

Agradeo minha famlia pelo suporte em todos sentidos , compreenso,

dedicao; por ter me apoiado e tambm me contrariado. Cada passo, cada atitude, foi

fundamental para o meu crescimento, minha contnua formao e pela chegada a este

objetivo.

Registro tambm meus mais sinceros agradecimentos professora Dbora Pretti

Ronconi, que tanto me incentivou e apoiou, exercendo de fato o papel de orientadora.

Obrigado pela oportunidade, pelo conhecimento, pelas discusses e, principalmente, pela

disponibilidade e prontido de atendimento.

Agradeo tambm aos demais professores por suas contribuies no somente como

facilitadores de aprendizado, mas pelas suas experincias pessoais passadas em classe e fora

dela bem como pelo tempo aplicado por acreditar no crescimento de cada aluno. Minha

lembrana e muito obrigado tambm aos demais funcionrios do departamento.

Cabe aqui tambm agradecer Promon Engenharia, especialmente equipe de

Suprimentos, que me possibilitou a realizao deste trabalho, com a cesso de dados econtatos para a realizao do mesmo.

A meus caros companheiros de curso e de faculdade que fizeram questo de me

manter confiante e que acreditaram em mim nos momentos mais difceis, em especial,

Brbara Moraes, Felipe Lemos, Arthur Wetzel, Edgard Rinaldi e Thiago Chicaroni. Grato

pela companhia e fidelidade.

A todos os outros que confiaram em minha capacidade e mantiveram minha motivao

durante o curso: meu muito obrigado.Por vocs, com vocs e a vocs: minha profunda gratido.


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muito melhor arriscar coisas grandiosas, alcanar triunfos e glrias, mesmo expondo-se derrota, do que formar fila com os pobres de esprito que nem gozam muito nem sofrem

muito, porque vivem nessa penumbra cinzenta que no conhece vitria nem derrota.(Theodore Roosevelt)


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RESUMO

Este trabalho tem o objetivo de estudar o processo de gerenciamento de coletas de

carga em fornecedores de uma empresa de engenharia que atua na rea de projetos de grande

porte, especialmente em regime EPC Engineering, Procurement and Construction. Tal

transporte feito por terceiros, porm a empresa tem total liberdade de definio de roteiros

bem como de estruturao e programao das coletas. Atravs desta anlise ser proposto um

modelo a ser aplicado para que o aproveitamento dos veculos utilizados seja o mximo

possvel e, conseqentemente, os custos sejam reduzidos. Tal caso caracterizado como um

problema de roteirizao de veculos, com coleta fracionada, frota heterognea, janelas de

tempo e custos escalonados, que consistem em faixas de custeio que variam, em patamares,

conforme a faixa de distncia percorrida. Para sua resoluo, sero aplicadas tcnicas de

Pesquisa Operacional, com o desenvolvimento de uma programao que ter por base um

algoritmo da literatura, com as devidas adaptaes e premissas. Tal programao ser

desenvolvida no ambiente Microsoft Excel em linguagem VBA Visual Basic for

Applications , cuja difuso no ambiente empresarial ampla. Numa etapa anterior

heurstica haver a utilizao do software de otimizao Xpress para a resoluo exata de uma

verso reduzida do problema. A viabilidade da aplicao do modelo desenvolvido,considerando os ganhos a serem obtidos, poder ser observada pela comparao com dados de

demanda e custos reais de um projeto recentemente finalizado pela empresa. Deste modo, ser

comprovado que as tcnicas de Pesquisa Operacional so de grande valia tomada de deciso

em casos combinatrios como este e ajudam a promover reduo de custos e melhorias nos

processos atuais das empresas.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional. Logstica de transportes. Roteirizao.


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ABSTRACT

This report has the goal of studying the management process of load collects in

suppliers of an Engineering enterprise that acts in the area of large projects, especially in EPC

Engineering, Procurement and Construction regime. Such transportation is done by third-

party, however the enterprise has total freedom to define itineraries and to structure and to

program collects. Through this analysis, a model will be proposed to be applied for the

obtaining of the best vehicle using and, consequently, the reducing in costs. The case in focus

is characterized as a routing problem with split delivery, mix vehicle, time windows and

scaled costs, that consists in values of costing that vary , in levels, according to ranges of

traveled distance. For its resolution, techniques of Operations Research will be applied,

resulting in the development of a programming that uses for basis an algorithm from specific

literature, with the necessaries adaptation and assumptions. This programming will be

developed in the Microsoft Excel environment, in VBA Visual Basic for Applications

language, whose diffusion in the business environment is wide. Before the development of the

heuristics, there will be the use of the optimization software Xpress to the exact resolution of

a reduced version of the problem. The feasibility of application of the developed model,

considering the earnings to be obtained, will be possible to be observed through thecomparison with demand data and real costs of a project recently finished by the company. In

this way, it will be proved that Operations Research techniques are important in decision

processes in combinatory cases like this and help to promote cost reduction and

improvements in current processes of the companies.

Keywords: Operations Research. Logistics. Routing.


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Fluxograma tpico de um empreendimento tipo EPC. .............................................. 20

Figura 2: Organograma tpico de um empreendimento tipo EPC. ........................................... 21

Figura 3: Fluxograma da rea de Suprimentos. ........................................................................ 22

Figura 4: Inter-relacionamento entre as reas de Suprimentos................................................. 23

Figura 5: Curva exemplo da questo de custos escalonados do problema. .............................. 27

Figura 6: Fluxograma da rea de logstica de transportes. ....................................................... 28

Figura 7: Esquema das coletas atuais. ...................................................................................... 30

Figura 8: Esquema da proposta de roteamento a ser aplicada nas coletas ............................... 31

Figura 9: Esquema de coletas exclusivas (Chen et al., 2007) .................................................. 38Figura 10: Esquema de utilizao de coleta fracionada (Chen et al., 2007) ............................ 38

Figura 11: Esquema da proposta de roteamento a ser aplicada utilizando coletas fracionadas.

.................................................................................................................................................. 39

Figura 12: Coleta no-otimizada feita nos ns B e C. .............................................................. 44

Figura 13: Coleta otimizada realizada nos ns B e C. .............................................................. 44

Figura 14: Fornecedores a serem atendidos e depsito central. ............................................... 46

Figura 15: Definio da semi-reta de origem e do sentido de rotao. .................................... 46Figura 16: Resultado grfico do roteamento pelo mtodo de varredura. ................................. 47

Figura 17: Exemplo de funo de custos sem descontinuidade(Extrado de Winston, 2004).. 48

Figura 18: Funo de custos com descontinuidade presente neste problema........................... 50

Figura 19: Exemplo de formao de sub-rota(pelo veculo 1) evitada pelo conjunto de

restries (20). .......................................................................................................................... 57

Figura 20: Planilha de insero de dados para obteno do mapa plotado. ............................. 65

Figura 21: Mapa plotado representando os fornecedores a serem visitados. ........................... 66

Figura 22: Viso aproximada dos fornecedores a serem atendidos no estado de So Paulo.

67

Figura 23: Funo de custos com descontinuidade presente neste problema........................... 73

Figura 24: Malha de testes, com localizao dos fornecedores e demandas. ........................... 75

Figura 25: Resultado da otimizao da malha de teste. ............................................................ 76

Figura 26: Resultado da aproximao dos experimentos a um modelo exponencial. .............. 78

Figura 27: Resultado da aproximao dos experimentos a um modelo potencial.................... 78

Figura 28: Descrio do algoritmo de Dullaert(2002), extrada de Belfiore (2006). ............... 82

Figura 29: Descrio do algoritmo de Dullaert(2002) adaptado pelo autor. ............................ 84


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Figura 30: Rotas a serem percorridas pelos veculos de 1 a 4 da semana 11. .......................... 95

Figura 31: Rotas a serem percorridas pelos veculos de 5 a 7 da semana 11(viso aproximada

da figura 29).............................................................................................................................. 96

Figura 32: Mudana no nmero de veculos, por tipo, com a proposta de roteirizao. .......... 98

Figura 33: Mudana percentual na utilizao dos veculos, por tipo, com a proposta de

roteirizao. .............................................................................................................................. 99

Figura 34: Mudana na utilizao dos veculos, por tipo, conforme cada cenrio de incluso

de veculo analisado................................................................................................................ 103

Figura 35: Mudana percentual na utilizao dos veculos, por tipo, conforme cada cenrio

analisado ................................................................................................................................. 103

Figura 36: Mudana na utilizao dos veculos, por tipo, conforme cada cenrio de aumentodo valor do frete de carreta analisado ..................................................................................... 105

Figura 37: Framework sugerido por Wagner & Krause (2009) para desenvolvimento de

fornecedores............................................................................................................................ 108


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LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Dimenses e caractersticas de um problema de roteirizao de veculos (Belfiore,

2006). ........................................................................................................................................ 36

Tabela 2: Latitudes e longitudes dos fornecedores e centro de distribuio. ........................... 64

Tabela 3: Viso parcial da tabela de distncias entre os fornecedores. .................................... 69

Tabela 4: Tabela de fator mdio de circuito por pas (Ballou et al., 2002). ............................. 71

Tabela 5: Tipos de veculo e suas respectivas capacidades. ..................................................... 72

Tabela 6: Custos conforme cada tipo de veculo e faixa de distncia percorrida. .................... 73

Tabela 7: Distncias entre os pontos da malha de teste(valores em km). ................................ 76

Tabela 8: Tempo de execuo da modelagem em relao quantidade de fornecedores. ....... 77Tabela 9: Estimativas de tempo de execuo. .......................................................................... 79

Tabela 10: Viso parcial do relatrio de truckload. ................................................................. 91

Tabela 11: Viso parcial do relatrio de coletas especiais. ...................................................... 92

Tabela 12: Viso parcial do relatrio detalhado de coletas roteirizadas. ................................. 93

Tabela 13: Viso parcial do relatrio gerencial de coletas roteirizadas. .................................. 94

Tabela 14: Correspondncia entre pontos da semana 11 e seus respectivos fornecedores. ..... 95

Tabela 15: Comparativo de custos de transporte do projeto. ................................................... 97Tabela 16: Comparativo entre cenrios das anlises de sensibilidade de incluso de veculos

................................................................................................................................................ 101

Tabela 17: Comparativo entre cenrios das anlises de sensibilidade dos preos de carreta . 104

Tabela 18: Comparativo financeiro entre os cenrios de aumento de preo das carretas ...... 105


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LISTA DE SIGLAS

CD Centro de distribuio

CLM Certificado de liberao de materiais

NF Nota fiscal

PMBOK Project Management Body of Knowledge

EPC Engineering, Procurement and Construction

PMI Project Management Institute

F.o. Funo objetivo

S.a. Sujeito a


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SUMRIO

1. INTRODUO .................................................................................................................... 15

2. DESCRIO DA EMPRESA ............................................................................................. 17

2.1. Caractersticas gerais ..................................................................................................... 17

2.2. Centros de competncias ............................................................................................... 18

2.3. Principais obras ............................................................................................................. 19

2.4. rea de atuao na empresa .......................................................................................... 19

3. DEFINIO DO PROBLEMA .......................................................................................... 25

3.1. Descrio do problema .................................................................................................. 25

3.2. Processo atual ................................................................................................................ 273.3. Objetivo do trabalho ...................................................................................................... 29

4. ESTUDO DO PROBLEMA ................................................................................................ 33

4.1. Roteirizao de veculos ................................................................................................ 33

4.2. Roteirizao de veculos com coletas fracionadas ........................................................ 37

4.3. Roteirizao de veculos com janelas de tempo ............................................................ 39

4.4. Roteirizao de veculos com frota heterognea ........................................................... 41

4.5. Heursticas-base ............................................................................................................. 434.6. Custos escalonados ........................................................................................................ 48

4.7. Formulao do modelo proposto ................................................................................... 50

4.8. Detalhamento do modelo proposto ................................................................................ 54

5. COLETA E ANLISE DE DADOS ................................................................................... 63

5.1. Dados de localizao dos fornecedores ......................................................................... 63

5.2. Demais dados pertinentes ao problema ......................................................................... 71

6. RESOLUO DO PROBLEMA ........................................................................................ 75

6.1. Programao e resoluo exata do modelo.................................................................... 75

6.2. Heurstica a ser utilizada e adaptaes .......................................................................... 79

6.3. Implementao computacional da heurstica ................................................................. 86

7. ANLISE DOS RESULTADOS ......................................................................................... 89

7.1. Premissas do experimento computacional heurstico .................................................... 89

7.2. Resultados obtidos ......................................................................................................... 91

7.3. Anlises de sensibilidade ............................................................................................... 99

7.4. Desenvolvimento de fornecedores............................................................................... 107

7.5. Anlise crtica e consideraes .................................................................................... 109


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8. CONCLUSES E PRXIMOS PASSOS ........................................................................ 111

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 113

APNDICE A PROGRAMAO NO XPRESS ............................................................... 115

APNDICE B ARQUIVO DE INICIALIZAO DO XPRESS ..................................... 119

APNDICE C RESULTADO DO XPRESS IMPRESSO ................................................ 120

APNDICE D TELAS DE RESULTADO DO XPRESS ................................................. 125

APNDICE E MACRO PARA PLANILHA DE DISTNCIA ENTRE

FORNECEDORES ................................................................................................................ 127

APNDICE F PROGRAMAO DA HEURSTICA DE INSERO DE

DULLAERT(2002) ADAPTADA .......................................................................................... 129

APNDICE G RELATRIO DE TRUCKLOADS ........................................................... 150

APNDICE H RELATRIO DE COLETAS ESPECIAIS ............................................. 153

APNDICE I RELATRIO DETALHADO DE VECULOS ROTEADOS ................... 155

APNDICE J RELATRIO GERENCIAL DE VECULOS ROTEADOS .................... 196

APNDICE L DETERMINAO DE PREOS DOS VECULOS .....................................

INTERMEDIRIOS A SEREM UTILIZADOS NA ANLISE DE SENSIBILIDADE ... 207

APNDICE M PLANILHA DE CORRESPONDNCIA ................................................ 211

ANEXO 1 LINHAS DE TENDNCIA (EXCEL) ............................................................. 213


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1. INTRODUO

Uma empresa de projetos de engenharia de grande porte muitas vezes concentra sua

ateno na elaborao de plantas, esquemas e desenhos, alm da parte de construo,

focando-se muito no resultado e esquecendo-se, por vezes, dos procedimentos intermedirios

necessrios para que os materiais cheguem em perfeito estado e do modo mais rpido e barato

possvel.

Este trabalho ser realizado na Promon Engenharia, empresa esta que realiza

empreendimentos de grande porte em diversos ramos da engenharia, sendo uma das mais

importantes empresas de seu setor, e apresenta um estudo voltado para seu departamento deSuprimentos mais especificamente para a rea de logstica de transporte, interna mesma ,

rea esta que, apesar de no ser o centro das atividades de uma empresa deste ramo,

desempenha um importante papel pois a maioria dos custos incorridos em seus projetos passa

por essa rea atravs de gastos com aquisies de materiais, equipamentos e servios e fluxo

dos mesmos. A anlise da situao apresentada neste trabalho possvel devido ao vnculo

entre o aluno e a empresa atravs de estgio na rea de Suprimentos de um projeto realizado

pela mesma, sendo possvel, assim, observar procedimentos e obter informaes necessriaspara o estudo no grau de aprofundamento desejado.

O foco deste trabalho a reduo dos custos de transporte terrestre, para a qual ser

realizado um estudo que resultar na indicao das rotas e veculos a serem utilizados, com a

finalidade de propiciar um melhor aproveitamento da capacidade dos mesmos nas coletas de

materiais nos fornecedores haja visto que, atualmente, o resultado que se tem no to

satisfatrio. Para tanto, sero empregadas tcnicas de Pesquisa Operacional que auxiliaro na

otimizao do caso. A motivao para este estudo a melhor estruturao da rea de logstica

de transportes com vistas reduo dos gastos e a busca por diferenciais competitivos com

relao ao mesmo departamento de outras empresas.

O trabalho estruturado em 10 captulos, conforme o que se segue.

O captulo1 consiste na introduo e motivao do trabalho, bem como no

esclarecimento do vnculo entre aluno e empresa e objetivos gerais.

O captulo 2 apresentar a Promon Engenharia e versar brevemente sobre suas

histria e principais obras, abordando aspectos organizacionais e estruturais da empresa, como

diagrama de relacionamento entre as reas da empresa, organograma tpico de um

empreendimento EPC Engineering, Procurement and Construction e o fluxograma do


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processo coordenado pela rea de Suprimentos. Este captulo d o embasamento necessrio

para contextualizar o leitor das peculiaridades de uma empresa do ramo de projetos.

O captulo 3 aborda a definio do problema e o objetivo proposto para este trabalho.

Explicando mais a fundo a rea de logstica de transportes, h a apresentao do fluxograma

desta rea e as rotinas da mesma, que se encarrega do recebimento das notas fiscais dos

fornecedores e da programao das coletas com a transportadora terceirizada, sobre a qual se

tem influncia gerencial e deciso sobre os roteiros. O processo atual de coletas com todas

suas restries ser abordado e o objetivo de reduo de gastos ser definido.

O captulo 4 far um estudo do problema, abordando a reviso da literatura para cada

um dos tpicos que compe o caso em anlise. Ainda ser sugerida a modelagem matemtica

para a situao e cada uma das restries ser detalhada, evidenciando sua real funo nomodelo.

O captulo 5 versar sobre a coleta de dados para sua posterior utilizao na resoluo

do problema. A localizao dos fornecedores e o modo como so tratados os dados para

obteno das distncias, bem como as ferramentas utilizadas nessa etapa e premissas

utilizadas so claramente apresentadas e justificadas. Outros dados necessrios, que podem

ser obtidos de forma mais direta, so tambm abordados.

O captulo 6 iniciar com um estudo sobre a resoluo exata de um problema destetipo em verso reduzida. A seguir, a implementao da heurstica ser abordada, atravs da

explicao mais detalhada do algoritmo proposto por Dullaert(2002) e todas as alteraes

necessrias para que o mesmo seja adequado resoluo do problema deste trabalho. A

implementao computacional tambm brevemente discutida neste captulo.

A anlise dos resultados o tema do captulo 7. As premissas utilizadas na formulao

so explicadas de modo a embasar melhor os resultados que so apresentados na seqncia. A

seguir, so apresentados os resultados sob a forma de relatrios simples, mas que podem serutilizados no dia-a-dia da empresa. Neste captulo ser feito o estudo da viabilidade financeira

e de aplicao do modelo proposto empresa, bem como a anlise crtica dos resultados.

O captulo 8 apresenta as concluses deste estudo e os pontos de melhoria e

continuidade do mesmo. O captulo 9 trata, das referncias bibliogrficas, componentes

importantes do desenvolvimento do trabalho.

Estruturado desta forma, permite o adequado acompanhamento do raciocnio utilizado

na resoluo do caso, onde as tcnicas aprendidas por um Engenheiro de Produo, sobretudo

as da rea de Pesquisa Operacional, foram essenciais para o estudo e posterior resoluo do

caso.


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2. DESCRIO DA EMPRESA

Nesta seo do relatrio sero abordadas caractersticas gerais da empresa na qual o

trabalho ser realizado, tais como seu histrico, principais ramos de atuao, estrutura interna,

conceito de centros de competncia, fluxogramas e organogramas tpicos de seus

departamentos e a responsabilidade de cada uma das partes da empresa no resultado final.

Ainda, ser apresentada qual a espcie de vnculo do aluno com a empresa bem como

a rea de atuao do mesmo e seus respectivos desdobramentos, evidenciando as

responsabilidades e atividades pertinentes a cada uma das micro-reas que a compe.

2.1. Caractersticas gerais

A Promon S.A. uma empresa brasileira criada no ano de 1960 pela aliana entre duas

empresas: a americana Procon Inc. (Incorporation) e a brasileira Montreal Montagem e

Representao Industrial S.A. e atua nas reas de projeto, construo e gerenciamento de

complexas e grandes solues de infra-estrutura em setores-chave da economia nacional, tais

como nas reas de leo e gs, termoeltricas, hidroeltricas, indstrias de minerao emetalurgia, construo civil, transportes urbanos, telecomunicaes e tecnologia da

informao.

As operaes da empresa, atualmente, se estruturam divididas em trs frentes: Promon

Engenharia (subsidiria integral), Promon Logicalis (fuso da Promon Tecnologia com as

operaes do Grupo Logicalis na Amrica Latina que est em processo de separao da

Promon S.A.) e Trpico (que uma joint venture com CPqD Centro de Pesquisa e

Desenvolvimento em Telecomunicaes e Cisco).O estgio foi realizado na Promon Engenharia, empresa que passaremos a nos focar

daqui em diante, responsvel por projetos de todo portflio com exceo dos projetos que

versam sobre Tecnologia da Informao e Telecomunicaes.

A Promon Engenharia doravante denominada apenas por Promon tem como uma

de suas peculiaridades algo de carter inovador: atrelar todo o seu capital s mos dos

funcionrios ativos da empresa. Todos eles so incentivados a adquirirem aes da empresa e,

assim, trabalharem pelo que deles prprios. Isso faz parte do ideal da companhia fornecer

uma vida profissional mais gratificante aos funcionrios bem como valorizar o esprito

colaborativo entre os mesmos com vista a um objetivo comum de fazer o negcio prosperar.


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2.2. Centros de competncias

As competncias estratgicas da companhia so promovidas pelos chamados Centros

de competncias e tm a finalidade de assegurar que todo o conhecimento tcnico seja

utilizado pela empresa e da forma mais adequada s operaes, gerindo tambm os

profissionais e suas prticas. So quatro seus centros de competncia: gerenciamento de

projetos, engenharia, gesto de fornecimentos e construo e montagem. Tais reas no esto

fisicamente separadas, sendo que os profissionais participantes de cada uma delas so

alocados em uma delas conforme a sua funo exercida, recebendo treinamentos conforme a

sua rea atuao. Abaixo segue uma breve explanao sobre os centros com base em

informaes divulgadas pela prpria empresa, que sintetizam os focos para o domnio das

tcnicas de engenharia e gerenciamento bem como para a capacitao e qualificao de uma

equipe apta a atuar em projetos de grande porte.

- Gerenciamento de Projetos: fundamental para os objetivos do negcio, afinal esse o core

da empresa. Todos os trabalhos de gerenciamento de projetos so divididos em nove reas de

conhecimento propostas pelo PMI (Project Management Institute), conforme abordam

Carvalho e Rabechini Jr. (2006): integrao, escopo, prazo, risco, comunicao, qualidade,

custo, suprimentos e recursos humanos. H um alto nvel de especializao em gerenciamentode projetos e suas atividades, com base nos fundamentos do PMI, especificamente nas

prticas sugeridas pelo PMBOK (Project Management Body of Knowledge), o que culminou

no desenvolvimento de melhores prticas de gerenciamento, que levaram ao desenvolvimento

do SPG Sistema Promon de Gerenciamento.

- Engenharia: preza pelo nvel e conhecimento tcnico profissional e passa por treinamentos e

desenvolvimentos constantes em capacitaes e especializaes tcnicas. Possuem foco nas

seguintes disciplinas tcnicas: mecnica, tubulao, processos, instrumentao, civil eeltrica.

- Gesto de Fornecimentos: a empresa sabe que muito de seu trabalho dependente de seus

fornecedores em termos de disponibilidade e qualidade de matria-prima e tambm da

confiabilidade nos produtos e datas de entrega acordados. Assim, a empresa faz questo de

manter uma forte rede de relacionamentos com seus parceiros e fornecedores a fim de

consolidar e gerir eficientemente seus contatos, que devem ser capazes de cobrir com

qualidade, rapidez e competitividade as demandas criadas por cada projeto.- Construo e Montagem: atravs da crescente demanda de contratos do tipo EPC

(Engineering, Procurement and Construction) , a Promon tem se especializado cada dia mais


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nessa rea, que transforma em realidade tudo o que foi projetado, implementando e dando

forma ao que foi contratado. Alm de se utilizar da experincia em outros ramos e promover

treinamentos para os funcionrios desta rea, h o aprimoramento constante dos processos de

trabalho e uma forte preocupao com questes relacionadas segurana, qualidade, meio-

ambiente e com o prprio material humano da empresa. As principais atividades realizadas

em campo so os treinamentos, diligenciamento, comissionamento, start-up e questes

relacionadas pr-operao alm da montagem propriamente dita.

2.3. Principais obras

A Promon j participou, no decorrer de sua histria, de vrios eventos de sucesso.

Alguns exemplos a serem citados, nas duas ltimas dcadas so:

- Implantao da Linha Vermelha no Rio de Janeiro (via urbana entre o Aeroporto

Internacional do Rio de Janeiro e o centro da cidade);

- Participao da construo do Metr de Lisboa;

- Expanso da fbrica da Ford em Taubat;

- Implantao da Usina Termeltrica de Uruguaiana;

- Ampliao do plo industrial da Petrobrs em Guamar;

- Unidade de gerao de hidrognio da REFAP;

- Expanso de usina da Cia. Siderrgica de Tubaro;

- Contrato de ampliao da Fosfrtil;

- dentre outros.

2.4. rea de atuao na empresa

O vnculo com a empresa foi estabelecido atravs de estgio realizado na rea de

Suprimentos da Promon Engenharia (cujos membros compem o Centro de competncias de

gesto de fornecimentos), mais precisamente dentro do projeto da REVAP Refinaria

Henrique Laje, que foi realizado em consrcio com outras duas empresas.

O projeto no qual houve a insero na empresa era do tipo EPC. Ou seja, a Promon era

incumbida de projetar a refinaria por inteiro, desde as partes de projeto de engenharia quetraariam os componentes das mquinas e plantas do local e definiriam as necessidades


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posteriores , passando pela parte de suprimentos que incumbida de ir ao mercado e

adquirir os componentes necessrios previstos inicialmente no projeto e chegando na parte

de construo que se instala no local onde o projeto deve tomar forma e deve promover,

alm da montagem, os testes, comissionamento e partida do empreendimento.

Um fluxograma tpico de um projeto EPC pode ser visto na figura 1.

Figura 1: Fluxograma tpico de um empreendimento tipo EPC

No fluxograma da figura 1, pode-se ver o processo em etapas: inicia-se com o cliente

necessitando de um projeto e estabelecendo os requisitos que o mesmo deve possuir. Aps a

concorrncia de vrias empresas e consrcios pelo empreendimento cada um deles

apresentando suas propostas, a negociao feita para que um licitante seja vencedor e assine

o contrato. Depois disso, so definidas as atividades de cada uma das reas de conhecimentodo PMI e a engenharia com suas 6 disciplinas (mecnica, eltrica, tubulao, processo,

instrumentao e civil) comea a montar efetivamente o projeto e requisitar os materiais,

equipamentos e servios necessrios ao departamento de suprimentos, que se encarrega de sua

compra e fornecimento. Ao chegar na obra, os materiais so utilizados e a engenharia se

encarrega de transformar o projeto at ento no papel em realidade.

Um exemplo de organograma de um empreendimento deste tipo apresentado na

figura 2.


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Figura 2: Organograma tpico de um empreendimento tipo EPC

A rea de Suprimentos da empresa responsvel, em linhas gerais, por receber as

requisies de materiais da Engenharia do projeto e iniciar um processo de contratao de

tudo o que ser necessrio para a constituio fsica do projeto. Aplicando os processos do

SPG que, como dito anteriormente, possuem por base os mesmos princpios do PMI, a rea de

Suprimentos pode ser dividida em quatro micro-reas: planejamento estratgico, compras,

diligenciamento e inspeo e logstica de transportes. Na figura 3, temos um fluxograma da

rea de Suprimentos, que apresenta os principais procedimentos executados.


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22

Apoio nacomposio dos

custos emconcorrncias

Fechamentodo

contrato?

Coletas de preoso enviadas

Fim

Fornecedoranalisa e envia

propostas

Recebimento daspropostas

comerciais etcnicas

Anlise daspropostasrecebidas

NegociaoEscolha dosfornecedores

Emisso dospedidos de comprae contratos

Diligenciamento Inspeo dosprodutos

Gerenciamentoda entrega e doscontratos

Necessitade mais

produtos?

Fim do contrato

Emisso desuplementos de

pedidos de compra

SIM

NO

NO

SIM

Entrega

Figura 3: Fluxograma da rea de Suprimentos

A micro-rea de planejamento estratgico atua prioritariamente no incio do projeto e

cuida das questes de oramentao, em estabelecer as diretrizes a serem seguidas quanto

diviso de tarefas dentro da rea e quanto s necessidades do projeto e atravs de cotaes ou

estimativas compe uma prvia dos custos dentro do mesmo. Toma decises tendo em visto

os cronogramas, realoca funcionrios e tem profundo conhecimento daquilo que ocorre em

todas as outras trs micro-reas.


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23

PlanejamentoEstratgico

Compras

Logstica detransporte

Diligenciamento

e inspeo

Figura 4: Inter-relacionamento entre as reas de Suprimentos

A micro-rea de compras aquela que d incio a todo o processo de aquisio,

inclusive tendo por base as diretrizes de Gesto de Aquisies do PMBOK. Ela recebe as

listas de necessidades do projeto com relao a materiais, equipamentos e servios necessrios

e vai ao mercado buscar cotaes com a finalidade de verificar quais so as melhores

oportunidades existentes para os produtos necessrios.

Segundo Carvalho e Rabechini Jr. (2006), os principais processos de aquisies so:

planejamento das aquisies, planejamento da solicitao, solicitao, seleo das fontes,

administrao de contratos e encerramento dos contratos. Estes processos praticamente

descrevem a rea de compras. Explicando em outras palavras, ela o principal intermediador

entre as rea de engenharia e construo com os fornecedores, responsvel por receber as

propostas tcnicas e comerciais dos proponentes e analisando-as num momento posterior. A

rea de compras separa os itens conforme as disciplinas de trabalho, verifica em uma lista

(Vendor List) quais so os fornecedores pr-selecionados para tal fornecimento, elabora as

coletas de preo com os itens a serem cotados e condies de fornecimento esperadas bem

como as cartas-convite que so enviadas junto com o pedido de cotao para convidar o

fornecedor a participar do processo de coleta. Em seguida, so recebidas as propostas dos

interessados e so comparadas em termos de, prioritariamente, preo e tambm de prazo de

fornecimento. Aps a deciso do melhor fornecedor para cada tipo de material, iniciado o

processo de negociao com a finalidade de obter maiores descontos na aquisio. Sendo


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24

fechado o acordo, o pedido de compra emitido internamente, com a colocao de dados no

sistema e impresso de vias para o fornecedor e tambm para a aprovao da diretoria.

Cabe a compras elaborar aditivos de pedidos, que complementem os pedidos j

efetuados, bem como toda a comunicao com fornecedores referente s propostas e

negociao. Toda a documentao conferida e arquivada por este departamento de

Suprimentos.

A micro-rea de diligenciamento e inspeo tem a preocupao de saber como est o

andamento das operaes de fabricao e entrega dos materiais, bem como se encarrega de

monitorar o processo de inspeo de todas as aquisies. Ela recebe relatrios das quantidades

j fabricadas, em qual fase da operao as peas se encontram, as datas previstas e revisadas

para a disponibilizao para inspeo. Tem grande contato com a empresa contratada parainspeo dos materiais e equipamentos e recebe relatrios regularmente para ter controle das

atividades j realizadas e por realizar e tambm para ter conhecimento da qualidade dos

produtos que esto sendo apresentados.

J a micro-rea de logstica de transportes responsvel pelas coletas de materiais nos

fornecedores ou pontos de entrega, em geral e levar os produtos at a obra, onde sero

efetivamente utilizados. Esse processo envolve a escolha da transportadora que tenha o

servio que melhor atenda as necessidades da operao e tambm um preo competitivo,afinal o papel da logstica fazer os produtos sarem de um ponto e chegarem a outro de

forma otimizada, seja no aspecto de prazo ou no aspecto de custo.

Cabe tambm logstica toda a parte de verificao de notas fiscais, para que no

ocorram erros nas entregas (faltas de produtos).


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25

3. DEFINIO DO PROBLEMA

Neste captulo, o foco ser dado micro-rea de logstica de transportes. Ser descrito

o processo atual de coletas bem como as partes envolvidas na questo operacional. Atravs da

anlise da situao atual das coletas realizadas, ser definido o problema, ou seja, a situao

que pode ser melhorada e, portanto, ser o foco deste trabalho: a no eficiente utilizao da

capacidade dos veculos utilizados, o que implica em maiores gastos por parte da empresa.

Sero abordadas, ainda, idias iniciais de alteraes que devam ser feitas ao processo

para que, num prximo momento, possamos modelar matematicamente a situao.

3.1. Descrio do problema

Dentro da rea de logstica de transportes, como j abordado anteriormente, temos

como principal atividade a coleta de materiais nos fornecedores e a entrega dos mesmos na

obra (cliente final). Porm o processo atual contm pontos a serem melhorados e sobre este

assunto que o presente trabalho versar.

As atividades da rea de logstica so, sobretudo, de gerenciamento da empresaterceirizada contratada, programando as coletas assim que os fornecedores a avisam que

determinado lote de material j est pronto (fabricado e inspecionado) bem como de controlar

o recebimento das notas fiscais de compra e a emisso de notas fiscais de venda dos produtos

ao cliente final. Deste modo, a transportadora envia na data e local combinados o veculo do

tipo especificado para coletar o material e lev-lo at o devido local de destino.

Porm, embora exista uma data de entrega no pedido de compra para que os materiais

estejam prontos, imprevisibilidades acontecem e os materiais no ficam prontos todos em umamesma data, ocorrendo atrasos e adiantamentos. Alm disso, muitas vezes as fbricas

(fornecedores) ligam para programar a coleta sem os produtos ainda estarem prontos,

ocasionando uma grande espera para o incio do carregamento dos veculos na data de

programao marcada.

Um outro fato que incentiva os fornecedores a entregarem os materiais pouco a pouco

que, medida que eles liberam o material e as notas ficais, o prazo para receber o

pagamento comea a ser contado. Ou seja, quanto antes o material for decretado liberado,

mais cedo a empresa pode receber o pagamento pelos produtos fornecidos. Isso explica o fato

de muitas vezes eles se precipitarem em marcar as coletas: na nsia da liberao dos produtos


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que num breve futuro resultar no recebimento do capital, eles prevem uma data de entrega

otimista, sendo um fato externo logstica que acaba atrapalhando suas operaes, pois um

caminho pode gastar mais horas do que o combinado para a realizao desse carregamento.

Assim, verifica-se a existncia de uma situao na qual h uma certa aleatoriedade nas

coletas. Isto afeta diretamente o aproveitamento dos caminhes utilizados e poucas so as

vezes em que possvel fazer um aproveitamento de veculos em rotas que passem por mais

de um fornecedor. Isso resulta em custos altos que podem ser diminudos com o auxlio de

uma sistemtica que concentre as coletas e utilize a roteirizao de veculos de modo a

otimizar a utilizao dos caminhes com o objetivo de reduzir os custos com transporte.

Por histrico de outros projetos EPC realizados na empresa, atravs de conversas com

gestores e supervisores do departamento, sabe-se que um valor aceitvel a ser gasto comlogstica at 4% do valor gasto com a compra de materiais e equipamentos. Ou seja, na

teoria, o oramento mximo de logstica poderia ser calculado como 4% da soma de tudo o

que compras gastou na aquisio de matria-prima.

Neste projeto em especfico, a REVAP, o oramento inicial de logstica estava

previsto em cerca de 5 milhes de reais mas encerrou na casa dos 8 milhes. Isto pode parecer

ruim primeira vista, mas sabendo-se que o projeto como um todo estava com gastos acima

do planejado e que o valor percentual gasto com logstica foi cerca de 3,6% do total deaquisies, verificamos que o resultado no desastroso. Porm, h uma grande chance de

melhoria otimizando os gastos atravs da adequao dos procedimentos e metodologias

dentro desta rea com vistas a ter um gasto ideal de 2% na rea, que o recorde histrico de

gasto logstico na empresa nas operaes j realizadas dado obtido com pessoas de grande

experincia em projetos na empresa. Assim, uma oportunidade a ser desenvolvida para

prximos projetos.

Outra caracterstica deste problema a questo dos custos serem fixos para um mesmocaminho quando as distncias percorridas por eles esto dentro da mesma faixa ou variveis

quando a distncia percorrida ultrapassa um determinado limite sendo que, a partir deste

momento os custos se tornam variveis. A figura 5 apresenta a variao de custos de um

caminho deste caso em funo da distncia percorrida.


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Figura 5: Curva exemplo da questo de custos escalonados do problema

Assim, ser abordado um problema de deciso sobre roteirizao de veculos com

frota heterognea (diversos tipos de caminhes que realizam os transportes), janelas de tempo

nos fornecedores e o melhor aproveitamento dos veculos atravs da utilizao de coleta

fracionada com restries de capacidade dos veculos para atingir o objetivo da minimizao

de custos, dado que tais custos no formam uma funo contnua.

3.2. Processo atual

Como j inicialmente descrito acima, no processo atual temos praticamente uma

programao de coletas informal, pois assim que o material finalizado, as coletas vo sendo

programadas e definido, sem uma metodologia fixa, qual o veculo que deve realizar a

coleta, em que data e em que local. Geralmente, o veculo que realizar o trabalho escolhido

conforme a tabela de disponibilidade da transportadora e conforme o peso e o volume das

mercadorias a serem transportadas. A utilizao do espao interno dos caminhes deixa a

desejar.

Detalhando, podemos dizer que o processo de transporte dos materiais e equipamentos

pode ser dividido, em geral, em duas etapas. A primeira, quando o fornecedor entra emcontato com a Promon e esta se incumbe de programar a coleta dos produtos, enviando um


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veculo adequado empresa em data ento especificada. A transportadora terceirizada coleta

o material e, aps conferncia, o leva at seu CD (centro de distribuio), onde o material fica

estocado esperando a concluso de um procedimento fiscal especfico. Este procedimento

consiste no recebimento da nota fiscal de compra do material nota esta que fora coletada

juntamente com o material e enviada ao escritrio da Promon , conferncia dos dados tais

como endereo, data, preo e peso e verificao de consistncia com o Certificado de

Liberao de Materiais, oriundo da Inspeo, e posterior emisso da nota fiscal de venda dos

mesmos materiais com uma certa margem de lucro. Num projeto do tipo EPCos materiais so

comprados e revendidos, possibilitando ganhos tambm nessa operao.

A segunda etapa do processo de transporte comea quando a nota fiscal de venda j foi

emitida e ento ela enviada para o CD da transportadora de onde o material sair comdestino obra tambm em veculo adequado e com horrio programado e ser recebido por

pessoal do cliente, que efetuar a conferncia do material descrito com o enviado no veculo.

Aps a finalizao deste procedimento, o pagamento Promon realizado.

Na figura 6, apresentamos um fluxograma para melhor ilustrar o que ocorre na rea de

logstica de transportes.

Material pronto Fornecedor

contata logstica

Logstica programa

coleta

Veculo enviado

ao fornecedor

Veculo chegapara coleta

Carregamento, NF econferncia

NF enviada aoescritrio e material

ao CD

Verificar sequantidadesem CLM e NF

conferem

Esperarcorrees

Efetuar pagamentoe emitir NF de

venda

No

Sim

NF encaminhada transportadora

Material levado obra

Material recebido na obra

Conferncia edescarregamento

Pagamento efetuado

Figura 6: Fluxograma da rea de logstica de transportes


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29

Atualmente, o caminho que seguido pelo motorista da transportadora terceirizada

definido por ele prprio, conforme sua experincia.

3.3. Objetivo do trabalho

O objetivo deste trabalho melhorar as atividades da empresa na rea de logstica

atravs da utilizao de tcnicas e metodologias de Pesquisa Operacional, ou seja, sugerir para

a empresa um modo de programar as coletas, utilizar os veculos e estabelecer rotas que

levem em considerao todas as restries que a realidade impe por meio de um estudo

aprofundado da situao.

Posteriormente ser desenvolvido um algoritmo que traduza matematicamente ascircunstncias que permeiam o caso, permita a minimizao dos custos de transporte que a

empresa incorre atualmente pela falta de uma sistemtica apropriada para o desenvolvimento

de suas atividades.

Trata-se de um problema de roteirizao de veculos com frota heterognea e janelas

de tempo nos fornecedores, sujeito a restries de capacidade dos veculos no qual

trabalharemos a insero da coleta fracionada como um modo de melhor aproveitar a baixa

ocupao dos caminhes que, em alguns casos, chega a ser de menos de 10% de sua

capacidade em peso.

O custo total do servio segue uma tabela de preos que, conforme a distncia

percorrida e o veculo utilizado, d o valor da viagem feita. A Promon pode interferir nas

operaes da transportadora e definir qual o trajeto que ser percorrido e em quais

fornecedores o veculo deve passar. Se a rota for deixada por conta da transportadora, corre-se

o risco de termos caminhos mais longos e que tragam lucro maior transportadora e maiores

gastos Promon. Ou seja, proveitoso um estudo que determine a roteirizao dos veculos

de modo que se tenha um melhor resultado (reduo de gastos) para a empresa.

Caso seja necessrio, haver a sugesto de melhorias de procedimentos

organizacionais que favoream a melhor aplicao das tcnicas de Pesquisa Operacional. Este

um caso que envolve no somente a rea de logstica de transportes mas tambm todos os

trmites fiscais, necessidade (urgncia) da obra e questes de cunho financeiro que realizam

os pagamentos aos fornecedores e cobram os clientes atravs das medies das entregas.

Por exemplo, uma grande restrio que ocorre na rea que impede que as coletas

sejam acumuladas por muito tempo para que um mesmo caminho possa fazer uma coleta


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30

milk run1 o prazo de pagamento existente aps a liberao da nota fiscal. Normalmente,

aps a emisso da nota fiscal de compra (oriunda do fornecedor), a Promon possui apenas 21

dias para liberar o pagamento. Ou seja, a coleta, a conferncia e o pagamento devem ser

efetuados dentro desse prazo. interessante que o material j tenha sido vendido ao cliente

final para que, com parte deste dinheiro, possa se pagar o fornecedor. Para tanto, necessrio

que a nota fiscal de venda seja emitida e o material tenha sido entregue e aceito no cliente.

Assim, pode-se verificar que tempo uma grande restrio nesse caso haja visto que o no

cumprimento do pagamento no prazo pode resultar em aes judiciais de cobrana dos

fornecedores sobre a Promon. Uma mudana que poderia ser proposta seria a negociao do

aumento desse prazo para 28 dias (corridos), prevendo isto inclusive contratualmente, o que

deixariam os processos mais aliviados no que se refere presso por tempo.As figuras 7 e 8 apresentam a mudana que este trabalho pretende implementar nas

atividades de coleta da empresa.

Figura 7: Esquema das coletas atuais

1

Milk run: planejamento de coletas programadas no qual o objetivo traar uma rota que passe apenasuma vez em cada local durante seu trajeto e otimize a capacidade do veculo, resultando na reduo dos

custos de transporte. (Moura & Botter, 2002)

CD

Obra

F2F3

F4

F5F6

F7

F1

F8

F9


43/225

31

Figura 8: Esquema da proposta de roteamento a ser aplicada nas coletas

As figuras acima relatam, respectivamente, a situao atual e a proposta a ser feita. No

caso atual, os veculos partem do CD (Centro de distribuio) e vo a cada fornecedor (F1,F2, F3, etc.) e voltam com a carga pega at o CD. Como j citado anteriormente, muitas vezes

esta coleta feita sem uma programao prvia e no se espera acumular uma quantidade de

coletas que justifique a utilizao de toda a capacidade de um veculo. No se pode esperar

muito tempo devido s questes de NF, porm o prazo de uma semana pode ser suficiente

para coletar uma maior quantidade de materiais sem prejudicar tais procedimentos internos da

empresa.

A proposta da figura 8 visar a fazer uma programao, utilizando os veculos

apropriados e percorrendo o caminho que otimize a utilizao de suas capacidades e a reduo

dos custos, conforme tabela de custeio acordada com a transportadora. Um veculo passar em

vrios locais em vez de passar em um ou dois (ou seja, em poucos) fornecedores, como feito

hoje em dia no projeto, resultando na baixa utilizao da capacidade do veculo em grande

parte das vezes.

CD

Obra

F2F3

F4

F5

F6

F7

F1

F8

F9


44/225

32


45/225

33

4. ESTUDO DO PROBLEMA

Neste captulo, sero abordados os principais autores e obras que versam sobre a

questo do roteamento (ou roteirizao) de veculos desde os casos mais simples, evoluindo

at chegarmos no problema abordado: o roteamento de veculos com coletas fracionadas, frota

heterognea e janelas de tempo.

Alguns modelos baseados em programao matemtica sero apresentados, bem como

o raciocnio envolvido nas restries e funes objetivo dos mesmos. Por fim, ser

apresentado um modelo de programao que traduz matematicamente as circunstncias do

problema, apresentando as restries necessrias e condizentes ao caso abordado, com suas

devidas explicaes.

4.1. Roteirizao de veculos

A preocupao com a roteirizao de veculos algo que vem ganhando relevncia no

cenrio logstico, haja visto que esta cincia a logstica tem adquirido cada vez mais um

foco estratgico nas empresas pois, atravs de investimentos e estudos nesta rea, podem ser

conquistados diferenciais de atendimento, com ganhos em tempo, custo e qualidade para

todos os interessados no transporte das cargas fornecedores, transportadora e clientes.

Segundo Christofides(1985), um problema bsico de roteirizao de veculos (ou

roteamento de veculos ou simplesmente PRV) consiste na programao de veculos que se

encontram em um depsito central a fim de que os mesmos possam atender aos clientes

dispersos em uma determinada regio, conforme a demanda de cada um e a capacidade de

cada veculo, de maneira a minimizar os custos despendidos nesta operao ou minimizar o

tempo de percurso, entre outros. Em outras palavras, deve-se usar uma metodologia para que

sejam definidas as melhores trajetrias para que, dentro das restries do problema real,

tenha-se a otimizao como, por exemplo, a minimizao dos gastos para o transporte dos

produtos.

Trata da resoluo de um sistema de roteamento que, conforme Goldbarg e

Luna(2000) um conjunto organizado de meios que possui como meta atender demandas

localizadas em arcos ou ns de uma rede de transportes. Neste sistema (que podemos tambm

chamar de malha ou rede), veculos devem ser utilizados para cobrirem as demandas

associadas ao grafo com o menor custo possvel, caracterizando a soluo tima.


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34

Uma formulao para o problema clssico introduzido acima apresentada por Fisher

e Jaikumar (1981) apudTsuda(2007) e consiste no seguinte:

Parmetros

NV: nmero de veculos disponveis para serem utilizados na roteirizao

n: nmero total de clientes/fornecedores a serem atendidos, sendo que 0 representa o depsito

central e os ndices de 1 a n representam as diversas localidades a serem atendidas pelos

veculos

vC : capacidade do veculo v (em peso ou volume)

ijc : custo da viagem da localidade (cliente/fornecedor) i para a localidadej

id : demanda da localidade i

S: Subgrafo qualquer do problema, excludo o depsito central

Variveis

v

ijx : 1, se a rota de i atj percorrida pelo veculo v

0, caso contrrio

vijy : 1, se a demanda de i for atendida pelo veculo v

0, caso contrrio

Formulao

Funo objetivo: i j v

vijijxcmin (1)

Sujeito a:

=v

v NVy0 (2)

=v

viy 1 i = 1, ..., n (3)

i vii Cyq v = 1, ...,NV (4)


47/225

35

=i

vj

vij yx j = 1, ..., n; v = 1, ...,NV (5)

=j

vi

vij yx i = 1, ..., n; v = 1, ...,NV (6)

1,

Sji

vij Sx { } NVvnSnS ,...,1;12;,...,1 = (7)

{ }1,0vijx i = 1, ..., n;j = 1, ..., n; v = 1, ...,NV (8)

{ }1,0viy i = 1, ..., n; v = 1, ...,NV (9)

A funo objetivo do problema clssico (1) visa a minimizao dos custos totais das

viagens realizadas para atender todos os pontos do grafo. Pode ser utilizada tambm para

minimizar as distncias totais percorridas caso substituamos os valores de custos por valores

de distncias.

A restrio (2) garante que todas as rotas comecem e terminem no depsito (indicado

por i = 0). J o conjunto de restries (3), garante que cada ponto(fornecedor/cliente) seja

visitado por apenas um veculo. O conjunto de restries (4) representa a limitao de

capacidade do veculo a ser utilizado.

Os conjuntos de restries (5) e (6) so restries de conservao de fluxo e,

respectivamente, impedem que um veculo termine sua rota em um n que no seja o depsito

central: para cada ponto h um arco de entrada para o veculo e um arco de sada.

O conjunto de restries (7) impede a formao de sub-rotas. Os conjuntos de

restries (8) e (9) definem as variveis vijx eviy como binrias.

Esta formulao bsica pode ser incrementada o que, normalmente, ocorre na

prtica. Existem vrias restries, das mais diversas ordens, que interferem na elaborao de

um modelo matemtico que descreva a situao como ela realmente se apresenta. Com

relao a isto, Belfiore(2006) realizou uma ampla anlise dos diferentes parmetros que

podem ser levados em considerao na composio de um modelo desta rea da Pesquisa

Operacional.

Em sua obra, Belfiore(2006) apresenta agrupados tais parmetros que possuem

influncia num problema de roteamento de veculos. Um resumo adaptado das caractersticas

mais relevantes e/ou associadas ao caso, baseado na classificao feita por Belfiore(2006) se

encontra a seguir, na tabela 1:


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36

Tabela 1: Dimenses e caractersticas de um problema de roteirizao de veculos (Belfiore, 2006)

Dimenso Caractersticas

Minimizar custos de distribuio: fixos e variveis

Minimizar distncia total percorridaMinimizar o nmero de veculosMinimizar a durao total das rotasLimite de capacidade em peso e volumeOperao de carga e descarga dos veculosLimitao do nmero de veculos disponvel de cada tipoJanelas de tempoAtendimento parcial ou total das demandasRestrio de servio em algum dia da semanaRoteiro que cada veculo deve percorrerQual veculo deve atender cada cliente em cada viagemQuantidade transportada de cada fornecedor no veculoInstante do incio de atendimento de cada cliente da rotaColetaEntregaColeta e entrega simultaneamenteFracionadaDe lotaoDeterminsticaProbabilsticaLocalizada nos nsLocalizada nos arcosLocalizada nos ns e nos arcos

LimitadaIlimitadaHomogneaHeterogneaUm nico depstioVrios depsitosDuraoHorrio de almoo e demais interrupesPermisso para viagens de mais de um diaCada veculo pode visitar cada cliente uma vez na rotaCada cliente pertence a uma nica rotaUm cliente pode pertencer a mais de uma rota

Outrashipteses

Tamanho dafrota

Tipo de frota

Depsitos deveculos

Jornada detrabalho

Tipos deoperao

Tipo de carga

Tipo de demanda

Localizao dademanda

Funo objetivo

Restries dosveculos

Restries juntoa fornecedores

Variveis dedeciso

Com os parmetros acima podemos varrer uma vasta gama dos problemas de

roteirizao de veculos e comear a estruturar uma linha de raciocnio prxima da realidade

da empresa estudada neste trabalho.

Interessante verificar a lista de possibilidades e variveis que esto envolvidas nesse

problema de deciso no qual as tcnicas de Pesquisa Operacional sero de grande valia para

resoluo.


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No caso estudado, haver um problema de roteamento de veculos com coletas

fracionadas, janelas de tempo e frota heterognea de veculos. Importante ainda, salientar que

o modelo clssico se refere a entregas e utilizaremos o mesmo raciocnio para coletas.

4.2. Roteirizao de veculos com coletas fracionadas

Por coleta fracionada, entendamos quando um veculo que passe por um fornecedor

coletando o material ali disponvel no colete obrigatoriedade todo o material ali disponvel.

Isto pode acontecer em duas situaes: quando a carga a ser pega excede a capacidade do

veculo ou ento quando o problema combinatrio indica que mais vivel dividir a cargaentre dois veculos para um melhor aproveitamento do espao interno de ambos, que propicia

que o mesmo se dirija a outro fornecedor e l colete mais carga.

Neste caso, diferentemente do problema tradicional, um mesmo fornecedor pode

receber a visita de mais de um veculo. Em sua obra, Tsuda (2007) aborda a questo das

coletas fracionadas em uma empresa importadora de produtos japoneses, onde as entregas

deveriam ser realizadas por duas vans de modo a percorrer a menor distncia possvel. No

caso do problema abordado neste trabalho, temos uma preocupao semelhante pois a tabela

de custos escalonada conforme o caminho e a distncia total percorrida, mas o foco

continua sendo no global: reduzir o custo total por meio da otimizao do todo em custos e

no pelas distncias.

Chen et al. (2007), abordando a questo de roteamento de helicpteros, apresenta um

exemplo que ilustra bem o conceito e a utilidade da coleta fracionada que pode ser aplicado

nas atividades de uma empresa. Abaixo seguem duas figuras 9 e 10 que trazem um

comparativo entre duas abordagens de carregamento:


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38

Figura 9: Esquema de coletas exclusivas (Chen et al., 2007)

Figura 10: Esquema de utilizao de coleta fracionada (Chen et al., 2007)

Nas figuras 9 e 10 apresentado um caso onde h um depsito central e 3fornecedores a serem atendidos. Os custos de cada viagem so colocados em cada seta. A

carga a ser coletada est entre parnteses (2 unidades em cada um dos fornecedores). Sabe-se

que a frota neste caso homognea e tem capacidade de carregamento de 3 unidades. No

primeiro caso, opta-se por cada veculo coletar a carga de cada um dos fornecedores

separadamente e o custo total dessa operao 18. H ociosidade nos caminhes, pois so

coletadas apenas duas unidades quando a capacidade de 3.

No segundo caso, dois veculos distintos passam por um mesmo fornecedor, cada um

deles pegando uma parcela da carga ali disponvel. Isso implica em aproveitamento da

capacidade interna do veculo e, na reduo de custos para 14, conforme custos indicados na

0

3

2(2)

(2)

(2)

333

3

33Veculo AVeculo BVeculo C

0

32

(2)

(2)

(2)

33Veculo AVeculo B

3 3

11


51/225

39

figura 10. Ou seja, o fornecedor 2 no atendido exclusivamente por um veculo com este

tipo de coleta, configurando assim a coleta fracionada ou split delivery. A incluso de

possibilidades fracionadas na coleta amplia a questo combinatria j existente num problema

normal de roteamento de veculos.

Utilizando este mesmo raciocnio no esquema apresentado nas figuras 7 e 8

poderamos ter como resultado uma configurao como mostrada na figura 11.

Figura 11: Esquema da proposta de roteamento a ser aplicada utilizando coletas fracionadas

A suposta configurao tima apresentada acima(em resposta ao arranjo da figura 7)

corresponde a um caso onde ocorrer coleta fracionada nos fornecedores 6 e 9 a melhor

soluo para o problema em termos de aproveitamento de capacidade e conseqente reduo

de custos.

4.3. Roteirizao de veculos com janelas de tempo

Janelas de tempo so os limites mnimos e mximos de horrio no qual a localidade a

ser visitada pode receber um veculo para as aes de entrega ou coleta.

CD

Obra

F2 F3

F4

F5F6

F7

F1

F8

F9


52/225

40

Recorrendo literatura, verifica-se que Solomon (1987) aborda a questo de janelas de

tempo em roteamento de veculos, sobretudo com heursticas, que podem trazer como

resultado uma aproximao muito boa com o que seria a situao tima. Ele se utiliza de sete

tipos de heursticas construtivas:

- Heurstica de economia: tendo como base o raciocnio de Clark & Wright (1964), explicado

na prxima seo, busca agrupar na mesma rota pontos a serem visitados, utilizando um nico

veculo que suporte a demanda dos mesmos;

- Heurstica de econmica com tempo limite de espera: variao da heurstica anterior,

acrescida da utilizao de um tempo mximo de espera para evitar que dois pontos com

distncia temporal muito elevadas sejam unidos na mesma rota;

- Heurstica do vizinho mais prximo, com orientao temporal: busca-se adicionar na mesmarota o ponto mais prximo, ponderando tal escolha em termos de distncia, tempo e urgncia;

- Heurstica de insero I1, I2 e I3: inicia-se a rota de cada veculo com o ponto mais distante,

analisando o limite superior de sua janela de tempo e aqueles pontos que resultariam na menor

soma de tempo e distncia com relao ao depsito e insere outros pontos a serem includos

na rota segundo critrios de ponderao de distncia e tempo;

- Heurstica de varredura com orientao temporal: com base na heurstica de Gillet & Miller

(1974), agrupa num determinado sentido de rotao com referencial no depsito, fornecedoresque no extrapolem a capacidade do veculo. Tal raciocnio explicado de modo mais

detalhado na prxima seo.

Aps tal explanao, Solomon se utiliza de 6 conjuntos de pontos a serem visitados

utilizando tais heursticas e faz uma anlise do tempo computacional de cada uma delas.

Arenales et al. (2007) abordam o problema bsico de roteamento de veculos incluindo

a restrio de janelas de tempo, definido como o intervalo de tempo no qual o servio deve ser

iniciado para o fornecedor i. Assim, cada fornecedor pode possuir uma janela de tempoprpria no qual deve ser atendido. O centro de distribuio poderia tambm possuir uma

janela de tempo, mas isto no ocorre em nosso problema.

Isto posto, apresentada por Arenales et al. (2007) a adio de algumas restries para

que o problema seja modelado. Considerando:

vis : instante de chegada do veculo v ao fornecedor i

vjs : instante de chegada do veculo v ao fornecedorj (fornecedor diretamente visitado aps i)

ijt : tempo de trajeto entre os fornecedores i ej

ia : incio da janela de tempo no fornecedor i


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ib : trmino da janela de tempo no fornecedorj

0)( + vjijvi

vij stsx i = 0, ..., n; j = 0, ..., n; v = 1,...,NV (10)

ivii bsa i = 0, ..., n; v = 1,...,NV (11)

O conjunto de restries (10) diz que se vijx for igual a zero, a restrio j estar

satisfeita pois a multiplicao que acontece no primeiro membro deve ter um valor menor ou

igual a zero; j se vijx for igual a 1, ou seja, se for percorrido o caminho direto do fornecedor i

para o fornecedor j pelo veculo v, a desigualdade 0)( + ijvi

vj tss deve ser satisfeita, ou

seja, o instante em que o veculo chega em j deve ser, no mnimo, o instante em que elechegou em i mais o tempo de trajeto (e de carregamento em i).

J o conjunto de restries (11), apenas limita que o instante em que o veculo v chega

ao ponto i deve estar dentro da janela de tempo apropriada.

Exemplificando, podemos ter casos onde os fornecedores s recebam veculos das 8h

at s 17h. Outro fornecedor pode receber das 6h s 20h. Assim, a restrio de janelas de

tempo visam no permisso de coleta em todo e qualquer horrio.

4.4. Roteirizao de veculos com frota heterognea

Os problemas de roteirizao de veculos normalmente apresentam formulaes com

uma frota homognea de veculos, ou seja, com veculos de mesma capacidade. Em nosso

caso, temos disposio alguns tipos de veculo distintos para serem utilizados nas coletas.

A respeito disso, alguns estudos j foram feitos sobre fleet size and mix vehicle

routing problems(FSMVRP), como Golden et al. (1984) que apresentam tal situao como aevoluo de um problema simples de roteamento(com nmero pr-determinado de veculos,

todos com mesma capacidade) em conjuntura com o problema de dimensionamento de frota

(determinar qual o tamanho da frota necessria e quantos veculos de cada tipo devem ser

adquiridos ou alugados para satisfazer as demandas que so impostas). Aps esta definio,

ele apresenta um algoritmo segundo Liu et al. (2009), a primeira formulao para problemas

de FSMVRP que visa a minimizar a soma dos custos de aquisio dos veculos e dos gastos

nas rotas do trajeto a ser percorrido.


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O problema de roteamento de veculos com frota homognea j considerado NP-

rduo (Liu, 2009) do ingls,NP-hard(nondeterministic polynomial time hard) , ou seja,

exige um grande esforo computacional, cujo tempo para resoluo cresce exponencialmente

conforme o nmero de pontos de anlise considerados, o que pode inviabilizar a resoluo por

um algoritmo exato que demore muito tempo para conseguir a soluo tima. Assim, na

maioria das vezes, estes problemas so solucionados atravs de heursticas e meta-heursticas.

Dullaert et al. (2002), prope uma heurstica para o problema de roteamento de

veculos de frota heterognea, com janelas de tempo e dimensionamento de frota, tendo por

base a heurstica de insero de Solomon (1987), utilizando inclusive os dados de seu

problema para testar sua nova heurstica com relao eficincia computacional. Porm o

grande trunfo de seu trabalho ampliar o modelo de Solomon para uma frota heterognea.Porm, antes de aplic-la para os fornecedores que possuem demanda maior que a capacidade

do maior veculo, o modelo prev que seja enviado do CD um caminho que ser inteiramente

carregado e voltar ao ponto de origem. Este passo necessrio para a aplicao da heurstica

em questo. Como critrio de inicializao, as rotas iniciais so compostas pelo fornecedor

mais distante ainda no roteado. A partir de ento esta heurstica construtiva de insero passa

a escolher a posio onde se dar a melhor insero para reduo do custo e qual fornecedor

deve ser inserido. Para tanto, vale-se em suas anlises de ponderaes de acrscimo dedistncia, tempo e, especialmente, de custo fixo dos veculos de diferentes dimenses.

Belfiore (2006) apresenta um problema que envolve a frota heterognea e tambm

entregas fracionadas e janelas de tempo, ou seja, um problema de transporte que envolve a

deciso de quanto coletar de carga em cada cliente e com qual veculo. Deve ser definido

ainda qual o tipo deste veculo e o instante de incio da coleta, dada a possibilidade da

demanda no ser pega integralmente por um s veculo e as restries de janela de tempo e

tipos de veculo que podem ser recebidos impostas por cada um dos clientes. Como objetivo,deve ser feita a minimizao do custo total desta operao.

Para atingir seu objetivo, Belfiore coleta dados de janelas de tempo, restrio a

veculos e a demanda de cada um dos clientes, bem como as distncias entre cada um deles.

Para a resoluo, ela aplica heursticas de economias e de insero para conseguir

solues iniciais e depois aplica a meta-heurstica Scatter Search com intuito de aprimorar os

resultados. Este procedimento baseia-se na anlise de solues presentes no chamado

conjunto de referncia(que vem a ser uma srie de boas solues iniciais) do problema,

atravs da ponderao da combinao destas solues.


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Em sua obra, Belfiore aborda detalhadamente alguns tipos de problemas de

roteamento de veculos, evoluindo dos casos mais simples at os mais complexos, como o que

ela mesma aprofunda como tema de seu trabalho. um trabalho que apresenta a eficincia do

Scatter Search sobre o resultado das heursticas e possui uma grande similaridade com o

problema a ser solucionado no presente trabalho.

4.5. Heursticas-base

Esta seo ir apresentar as principais heursticas que so base para os estudos de

muitos outros autores da rea, no que diz respeito a trabalhos de roteamento de veculos:Clarke & Wright e Gillet & Miller. Como elas so base para compreenso de vrias

resolues de problemasNP-hard interessante que se entenda o raciocnio presente para, no

futuro, ter maior base para estruturar uma heurstica a ser utilizada na resoluo do caso, se

necessrio.

A utilizao de savings algorithms, como o de Clarke & Wright (1964) comum para

problemas deste nvel de complexidade. Eles fornecem uma soluo aproximada para o

problema de uma maneira mais simples e rpida do que mtodos exatos.

O algoritmo proposto por Clarke & Wright um algoritmo de economias que parte de

uma soluo inicial e vai melhorando o resultado conforme o andamento das iteraes de

modo a minimizar, por exemplo, a distncia total percorrida em uma rota. O princpio bsico

do algoritmo de Clarke & Wright, inclusive utilizado por Miura (2003) em sua dissertao

sobre roteamento de veculos em uma empresa transportadora de frota homognea, descrito

a seguir.

Tomemos um caso onde veculos devem coletar materiais em determinados ns,

saindo de um determinado depsito e devendo retornar ao armazm aps a coleta (situao

semelhante com o que ocorre na figura 7). Temos que este o pior caso de aproveitamento

dos veculos: ele percorre a maior distncia possvel. No caso da figura 12, podem ser

utilizados dois veculos, um para percorrer cada rota (ida e volta) simultaneamente ou um

nico veculo que pode percorrer as duas rotas.


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Figura 12: Coleta no-otimizada feita nos ns B e C

Temos que a distncia percorrida total no caso da figura 12 :

acab ddD 22 +=

O algoritmo de Clark & Wright prope a melhoria da soluo atual buscada, isto ,

minimizar a distncia percorrida. Para tanto, se vale da idia da desigualdade triangular2 e

calcula a economia gerada pela substituio das voltas (no caso de um abd e de um acd ) pela

ligao direta entre os ns (ou seja, pela incluso de um bcd ). Assim, a figura 13 ilustra a

situao otimizada.

Figura 13: Coleta otimizada realizada nos ns B e C

2 A desigualdade triangular afirma que, num tringulo, a soma de dois lados sempre maior ou igual que o

comprimento do terceiro lado.


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Atravs deste exemplo, podemos calcular a distncia percorrida nesta segunda

configurao e, posteriormente, calcular a economia que se obteve.

bcacab dddD ++='

E a economia de:

Pode-se notar que o raciocnio proposto por Clarke & Wright sempre melhora a

situao, a no ser no caso onde os trs pontos se localizam sobre uma mesma reta, onde este

raciocnio apenas iguala a primeira configurao.

Esta heurstica baseada em um raciocnio simples, mas que num caso complexo pode

auxiliar bastante na simplificao. Em uma rede com uma quantidade maior de ns, devemos

calcular quais so as economias geradas entre cada par de ns, conforme o exemplo acima, e

orden-los em ordem decrescente de economias, realizando as trocas at que todos os ns da

rede tenham sido atendidos. O objetivo atender a todos os fornecedores, minimizando o total

a ser percorrido, com cada rota comeando e terminando no depsito, a demanda de cadafornecedor no pode exceder a carga do caminho e cada fornecedor s pode ser atendido por

um caminho.

Outra heurstica bastante conhecida para roteamentos a de Gillet & Miller (1974). O

sweep algorithm ou algoritmo de varredura consiste em, havendo um mapa de localizao

dos fornecedores a serem atendidos e a localizao do depsito, definir um sentido de

carregamento e rotacionar uma semi-reta com origem no depsito e incorporando os clientes

varridos por esta semi-reta, num algoritmo de agrupamento-roteamento (GILLETT &MILLER apudSOSA et al., 2007).

Nas figuras a seguir, ser apresentado simplificadamente o mtodo de varredura,

importante para a compreenso da resoluo de um problema de roteamento de grande porte,

sem que seja necessrio recorrer a uma soluo exata, apenas vivel.

A figura 14 mostra a configurao inicial de um depsito central do qual devem sair

veculos que atendam a 15 localidades e retornem.

bcacabbcacabacab ddddddddDDe +=+++== )(22'


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Figura 14: Fornecedores a serem atendidos e depsito central

Segundo o algoritmo de Gillett & Miller, o prximo passo definir uma semi-reta de

origem e um sentido de rotao para que seja iniciado o roteamento, conforme a figura 15.

Figura 15: Definio da semi-reta de origem e do sentido de rotao

Devem ser unidos os fornecedores cujas demandas somadas no extrapolem a

capacidade do veculo utilizado. Assim, podemos ter a configurao da figura 16 como vivel.


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Figura 16: Resultado grfico do roteamento pelo mtodo de varredura

Tanto Clarke & Wright quanto Gillet & Miller originalmente possuem algoritmos

(heursticas) prprios para lidar com situaes em que a frota homognea e precisa-se fazer

um roteamento e conseqente dimensionamento da frota necessria, porm so a base do

raciocnio para autores que abordam heursticas de roteamento para frotas heterogneas. So

possveis adaptaes como a que Belfiore (2006) traz em sua obra para o raciocnio de Clarke

& Wright, na qual o roteamento deveria ser feito, inicialmente, com o veculo de menor

capacidade e conforme esta fosse extrapolada.

Liu et al. (2009) projetam e implementam um chamado algoritmo gentico (meta-

heurstica que traa uma analogia das combinaes cromossmicas com a questo

combinatria deste tipo de problema) para casos de FSMVRP com e sem custo fixo e o aplica

numa srie de casos, trazendo com resultados tabela com as solues timas obtidas e o

tempo necessrio para a resoluo computacional. Em seu estudo, faz um amplo estudo dostrabalhos j realizados sobre o tema, citando outros artigos que j trataram do FSMVRP,

sempre levantando a questo das heursticas e da complexidade computacional porm sem

janelas de tempo.

Desrochers & Verhoog (1991) tambm se valem dos estudos feitos anteriormente com

relao a heursticas de resoluo para propor uma nova forma de resoluo destes problemas

de grande ordem combinatria. Ressalta que os poucos algoritmos existentes at ento eram

oriundo de Clark & Wright, adaptaes do saving algorithm inicial. O problema dedimensionamento e roteirizao de uma frota heterognea de veculos, segundo estes autores,


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seria algo importante a ser estudado pois um problema que atinge os trs nveis de

planejamento: estratgico, ttico e operacional.

Assim, para este tpico do trabalho podemos encontrar vrios autores que sugerem

procedimentos heursticos devido alta caracterstica combinatria de um problema desta

espcie ainda mais quando unida com a peculiaridade de coleta fracionada.

4.6. Custos escalonados

Esta seo visar explicar o tpico de custos e mostrar um caso especial de formulao

j desenvolvido e afirmar que o caso em questo possuir um conceito de formulaoinovador para esta questo.

Como j dissemos anteriormente, alm das caractersticas de coleta fracionada,

roteirizao e dimensionamento de frota heterognea e janelas de tempo, o problema conta

com a peculiaridade de possuir custos escalonados, ou seja, para cada tipo de veculo utilizado

e determinada distncia percorrida com o mesmo, os custos so diferentes e nem sempre so

lineares. Ser apresentada na formulao do problema uma forma de lidar com esta situao.

Winston (2004) apresenta uma formulao a ser usada para funes de custo sem

descontinuidade.

Figura 17: Exemplo de funo de custos sem descontinuidade(Extrado de Winston, 2004).


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Caso fosse necessria a utilizao de uma funo deste tipo, como o da figura 17, na

formulao de um problema de otimizao, poderia-se particionar esta funo, estabelecendo

diferentes funes para cada trecho e focar em cada um dos pontos de mudana de funo.

Sendo n os pontos de mudana, Winston (2004) descreve que )(xf poderia ser substituda

por )(...)()( 2211 nn bfzbfzbfz +++ e acrescentadas as seguintes restries:

112132321211 ;;...;;; +++ nnnnn yzyyzyyzyyzyz (12)

1... 121 =+++ nyyy (13)

1...21 =+++ nzzz (14)

}1,0{iy i = 1, 2, ..., n-1 (15)

0iz i = 1, 2, ..., n-1 (16)

As variveis iz sero responsveis pela ponderao da interpolao que ser feita

quando se quer o valor da funo de um nmero que esteja entre os extremos de um intervalo

(por exemplo, o valor da funo de um nmero que esteja contido entre 1b e 2b ). O valor de

iy definir o intervalo a ser considerado, ou seja, ser de valor 1 e liberar as restries (12)

para que iz possa ser positivo.

Assim, no caso da figura 16, deveriam ser considerados os pontos

)1000(),500(),0( fff e )1500(f para a utilizao de seus valores nas restries, o que

possibilitaria pelo conjunto de restries, que fosse possvel obter o valor de )700(f , por

exemplo.

Importante ressaltar, nesse ponto, que, para o problema abordado, existe uma tabela de

custeio das coletas que apresenta um valor a ser cobrado dependendo do tipo de veculoutilizado e da distncia percorrida pelo mesmo. Para os quatro primeiros tipos de trecho, a

quantia fixa e diferente para cada tipo de veculo. No ltimo tipo de trecho, os custos

comeam a ser variveis e cobrados por quilmetro percorrido, conforme j apresentado na

figura 5.

Assim, em nosso caso no ser possvel a utilizao das restries sugeridas por

Winston pois no se trata de um caso onde os custos so uma funo contnua, mas sim so

escalonados e, a partir de certa distncia, comeam a ser variveis. Para ser utilizado, para


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cada valor de distncia, deveramos ter um nico valor de custo, porm nos limites dos

intervalos isto no ocorre. uma funo descontnua, como pode-se ver na figura 18.

Figura 18: Funo de custos com descontinuidade presente neste problema

Assim, ser necessria uma formulao diferenciada, caract

sergio bassi, 2009_p.o. aplicada a área de logística

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