semana 1 capitulo1

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Cálculo I

Olá Aluno(a)!

O objeto fundamental do Cálculo são as funções. Este capítulo, abrindo o caminho de nossos estudos, tem como objetivo discutir as idéias básicas sobre funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los e transformá-los. Bons estudos!

Você já pensou sobre a importância de saber que duas grandezas podem se relacionar em pares? A equipe de um piloto de Fórmula 1 registra em com-putadores a velocidade de seu piloto em cada instante (velocidade versus tempo); o gerente de uma empresa acompanha a receita obtida na venda de uma determinada quantidade de um artigo (receita versus quantidade); um biólogo acompanha o crescimento diário de uma planta (altura versus tem-po). Até o movimento de um martelo pode ser descrito por uma função!

O termo função apareceu pela primeira vez em 1692, num artigo escrito pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Von Leibniz (1646 – 1716). O surgimento das variáveis na Matemática e a criação da Geometria Analítica fizeram com que, já no século XVII, os matemáticos apresen-tassem para o termo uma definição, muito próxima da atual, que adian-te vamos conhecer.

Hoje, graças às equações, aos gráficos no plano cartesiano e à teoria dos conjuntos, a idéia de função tornou-se muito mais simples e acessível às pessoas, mesmo as mais jovens ou as iniciantes no estudo da Matemática.

1.1 Definição

Para iniciarmos, considere a seguinte situação:

Exemplo 1

Numa padaria, o pão é vendido a R$ 6,00 o quilo. A Tabela 1 relaciona a quantidade de pão comprada com o valor total a ser pago.

FUNÇÕES

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Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Quantidade comprada Total a ser pago250 g 0,250 x 6 = R$ 1,50500 g 0,500 x 6 = R$ 3,001 kg 1,000 x 6 = R$ 6,002 kg 2,000 x 6 = R$ 12,00

3,5 kg 3,500 x 6 = R$ 21,007 kg 7,000 x 6 = R$ 42,00

Repare que se a quantidade comprada for x quilos, será pago o valor V, ob-tido pela expressão V = 6x reais.

Função: Dados dois conjuntos A e B, uma função f: A → B (lê-se “uma função de A em B”) é uma regra que diz como associar a cada elemento x de A um elemento y = f(x) de B. O conjunto A chama-se o domínio e o B, é o contra-domínio da função. Para cada elemen-to x de A, o elemento f(x) de B chama-se imagem de x.

Na situação apresentada anteriormente, podemos observar os conjun-tos A (conjunto das quantidades compradas) e B (dos valores pagos), além da regra que permite associar os elementos de A com os de B. A regra é “multiplicar cada elemento de A por 6” , o que fica expresso pela fórmula V = 6.x.

Vamos analisar outra situação:

Exemplo 2

Em uma safra, um produtor de morangos tem um custo de R$ 0,50 por caixa produzida, relativo a sementes, defensivos agrícolas, embalagens, etc., além de uma despesa fixa de R$ 1.500,00, relativa ao aluguel do terreno onde produz, ao maquinário e ao salário de empregados.

Se representarmos a quantidade de caixas produzidas por C e a despesa para essa produção por D, montamos a relação D = 0,50.C + 1500, que é a regra da nossa função. Essa regra também poderia ser expressa em palavras: “multiplicar C por 0,50 e depois somar com 1500”.

Capítulo 1Capítulo 1

Tabela 1 – Quantidade de Pão versus Valor Pago

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Cálculo I

Observe a Tabela 2:

Caixas produzidas (C) Despesa total em reais (D)100 0,50 x 100 +1500 = 1550500 0,50 x 500 +1500 = 1750

1000 0,50 x 1000 +1500 = 20002000 0,50 x 2000 +1500 = 25005000 0,50 x 5000 +1500 = 4000

10000 0,50 x 10000 +1500 = 6500

A respeito da situação acima, algumas perguntas podem ser feitas, como por exemplo:

Quantas caixas de morangos podem ser produzidas aplican-•do-se R$15.000,00?

Solução

Nesse caso, temos D = 15.000 e queremos encontrar C. Assim, basta resol-ver uma equação do 1º grau.

0,50.C + 1500 = 15000

0,50.C = 15000 – 1500

0,50.C = 13500

C = 27000

Logo, podem ser produzidas 27.000 caixas.

•Seforemproduzidas50.000caixas,qualdeveráseropreçodeven-da de cada caixa para se obter um lucro total de R$ 10.000,00?

Solução:

Primeiro, encontramos o total a ser gasto para a produção das 50000 caixas:

D = 0,50.50 000 + 1500

D = 25000 + 1500

D = 26500

Funções

Tabela 2 – Caixas produzidas versus Despesa total em Reais

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Conforme o resultado acima, serão gastos 26.500 reais. Então, para obter-se o lucro de 10.000 reais, será necessária uma arrecadação de 26.500 + 10.000 = 36.500 reais com as vendas (para pagar as despe-sas e sobrar 10.000). Assim, para encontrar o preço de venda de cada caixa, basta dividir 36.500 por 50.000.

36 500 ÷ 50 000 = 0,73.

Portanto, cada caixa deverá ser vendida por R$ 0,73.

ATIVIDADE 1:

A) Em relação à situação anterior, muitas outras perguntas pode-riam ser feitas. Use sua imaginação e elabore e responda a mais duas perguntas. Exercite sua criatividade!

B) Um vendedor recebe, por mês, um valor fixo de R$ 160,00 mais um adicional de 2% das vendas efetuadas por ele no mês. Qual a função que expressa o valor do seu rendimento mensal em função de sua venda mensal?

Pessoal, vamos analisar mais um exemplo de função presente no nosso dia-a-dia.

Exemplo 3

a) Uma bomba para transferência de produtos derivados de petróleo (in-flamáveis) tem capacidade de transferir 70 litros de gasolina por minuto. Imagine que um posto de gasolina tenha instalado essa bomba e esteja ven-dendo um litro de gasolina por R$ 2,65.

Perguntamos:

Qual é a expressão matemática que relaciona o volume V (em •litros) de combustível transferido com o tempo t (em minu-tos) gasto para a transferência?

Solução:

Em 1 minuto, a bomba transfere 70 litros; em 2, a bomba transfere 2 × 70 = 140 litros; em 3, transfere 3 × 70 = 210 litros. Continuando esse raciocínio, em t minutos ela transferirá t × 70 = 70t litros.

Capítulo 1

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Cálculo I

Assim, a expressão matemática que relaciona V e t é V = 70t.

Qual é a expressão matemática que fornece o valor (em reais) •da gasolina transferida em minutos?

Solução:

Se o volume transferido em t minutos é V = 70t litros e o preço de cada litro de gasolina é R$ 2,65, então o preço de 70t litros é 70t × 2,65 = 185,5t reais.

Assim, a expressão matemática é R=185,5t, em que R é o valor da gasoli-na transferida em t minutos. Na prática, isso significa que, utilizando-se a bomba acima para transferência de gasolina, consegue-se transferir o equi-valente a R$185,50 de gasolina por minuto.

b) Uma grande empresa comprou 10.500 litros de gasolina no posto mencionado. Ela vai transportar o combustível num caminhão-tan-que. Quanto tempo demorará para transferir os 10.500 litros para o caminhão-tanque, utilizando-se, ao mesmo tempo, de duas bombas de vazão de 70 litros por minuto?

Solução:

Com as duas bombas trabalhando juntas, consegue-se transferir 140 litros por minuto. Logo, a fórmula que relaciona V com t é V = 140t litros. Temos V = 10.500 e queremos encontrar t. Para isso, basta dividir 10.500 por 140; logo, o resultado é 75.

Portanto, serão gastos 75 minutos, ou seja, 1 hora e 15 minutos para a transferência.

ATIVIDADE 2:

A) Uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo, pelo qual escoa água a uma vazão constante. Ao meio-dia de certo dia, ela foi enchida e, às 6 da tarde desse dia, só havia 850 litros. Como se relaciona o volume V de água na caixa (em litros) com o tempo t decorrido (em horas) após meio-dia (t 40≤40 )?

B) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00 , ela deverá fabricar e vender mensalmente quantas bolsas?

Funções

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1.2 Domínio, Imagem e Gráfico de uma Função

Vamos agora nos aprofundar mais um pouco no estudo de funções. Para isso, observe com bastante atenção os exemplos:

Exemplo 4

A área A de um círculo depende do seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação A = � . r2 . A cada número r positivo associa-se um único valor de A, e dizemos que A é uma função de r.

Exemplo 5

A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela 3 fornece es-timativas da população mundial P(t) no instante t, para determinados anos.

Ano População (milhões)

1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25201960 30201970 37001980 44501990 53001996 5770

Observe que em 1950 a população era de 2.520.000.000. Representamos isso matematicamente escrevendo P(1950) = 2.520.000.000. Da mesma for-ma, temos P(1940) = 2.300.000.000 e assim por diante.

Para cada valor do tempo t existe um valor de P correspondente; dizemos que P é uma função de t.

Com base no que foi observado nos dois exemplos anteriores, podemos elaborar uma definição alternativa de função, equivalente à já apresentada.

Definição alternativa de função

Uma função f é uma lei que para cada elemento x em um conjunto A, faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x) em um conjunto B.

Capítulo 1

Tabela 3 – Ano vs População (milhões)

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Cálculo I

O conjunto A é chamado de domínio da função. O número f(x) é o valor de f em x e deve ser lido como “f de x”. A variação de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função f é chama-do de variável independente, e o que representa um número qualquer na variação de f é chamado de variável dependente. No exemplo 4, a variável independente é r, enquanto A é a dependente.

É muito proveitoso considerar uma função como sendo uma máquina. Se x estiver no domínio da função f, quando x entrar na máquina, ele será aceito como input (entrada), e a máquina produzirá um output (uma saída) f(x), de acordo com a lei que define a função. Assim, podemos pensar o domínio como sendo o conjunto de todos os inputs, enquanto a variação é o conjun-to de todos os outputs possíveis (Figura 2).

Considerando a função D = 0,50.C + 1500, analisada no exemplo 2, se o valor de entrada for 100, o valor de saída será 1550, ou seja, D(100) = 1550. No exemplo, todas as entradas possíveis são números naturais (quantidades de caixas produzidas) e as saídas são números racionais positivos (valores pagos pela produção).

O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( , )x y do plano coordenado, tais que ( )y f x= e x está no domínio de f.

O gráfico de uma função f nos dá uma imagem rica do comportamento ou da “história de vida” de uma função, uma vez que podemos interpretar o valor ( )y f x= como a altura do ponto, no gráfico, acima de x (Figura 3).

Figura 2 – Função considerada como uma máquina

Funções

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O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x e a variação (imagem) sobre o eixo y, conforme Figura 4.

Exemplo 6

Na figura abaixo, temos os gráficos de duas funções f e g.

a) Calcule os valores de f(4) e g(-3).

b) Descubra para quais valores de x tem-se f(x) = g(x).

c) Estime a solução da equação f(x) = -1.

d) Encontre o domínio e a imagem das funções f e g.

Capítulo 1

Figura 3 – y =f(x) visto como altura

Figura 4 – Domínio e imagem de uma função

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Cálculo I

Solução:

a) Vemos na figura que (4) 1f = − e ( 3) 2g − = , aproximadamente.

b) Os valores de x tais que f(x) = g(x) correspondem aos pontos em que os dois gráficos se cruzam (se intersectam). Isso ocorre em dois pontos: em

2x = e, em 2x = − .

c) Temos que descobrir os pontos cuja altura seja de 1 unidade, mas abaixo do eixo x. Isso ocorre em 2 pontos: em 4x = e, em 3x = − . Portanto, a so-lução da equação f(x) = -1 é { 3,4}S = − .

d) Vamos analisar, inicialmente, o gráfico de f. O ponto mais à esquerda é 4x = − e o mais à direita é 4x = . Isso significa que o domínio da função

é o intervalo de -4 a 4. Ou seja, ( ) [ 4,4]D f = − . Da mesma forma, o ponto mais baixo ocorre em 2y = − e o mais alto em 3y = . Portanto, a imagem da função é o intervalo de -2 a 3. Assim, Im( ) [ 2,3]f = − .

Fazendo a mesma análise, mas em relação ao gráfico de g, descobrimos que ( ) [ 4,3]D g = − e que Im( ) [0,5;4]g = .

Exemplo 7

Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10 m³. O comprimento da base é o dobro do da largura. O material da base custa R$ 10,00 o metro quadrado. Já o material das laterais custa R$ 6,00 o metro quadrado. Ex-presse o custo total do material em função da largura da base.

Solução:

Primeiramente vamos fazer uma figura relativa ao problema, completan-do-a com os dados fornecidos.

Funções

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Na Figura 5, x representa a largura da base, 2x representa o comprimento da base (que é o dobro da largura) e h representa a altura da caixa.

O segundo passo é calcular as áreas de cada face da figura. A área da base é 222 xxx =⋅ . As laterais da direita e da esquerda têm área 1002 2 =⋅ hx 1002 2 =⋅ hx cada uma. As

laterais da frente e de trás têm área 1002 2 =⋅ hx 1002 2 =⋅ hx cada uma.

O terceiro passo é observar que o volume da figura, que é 10m³, pode ser obtido multiplicando-se a área da base pela altura da caixa. Assim:

102 2 =⋅hx ⇒ 22

5210

xxh ==

Agora, substituímos 2

5x

h = nas áreas das faces e multiplicamos cada uma delas pelo custo do m² do material utilizado em sua fabricação:

Área da base = • 22x ⇒ Custo da base =22 20102 xx =⋅ .

Custo das laterais da direita e da esquerda =•xx

xxh 606.2.5.62 2 =

=⋅⋅

Custo das laterais da frente e de trás =• xxxxh 1206.2.5.2622 2 =

=⋅⋅ .

Finalizamos o problema somando os custos de cada parte:

xx

xxxCustototal

180201206020 22 +=++=

Capítulo 1

Figura 5 – Caixa retangular aberta

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Cálculo I

ATIVIDADE 3

A) Um retângulo tem perímetro (soma das medidas dos lados) de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um dos seus lados.

B) Uma caixa retangular aberta com volume de 2m³ tem a base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como função de um dos lados da base.

1.3 Determinando o Domínio de uma Função

Muitas vezes, quando estamos resolvendo um problema, precisamos determinar o domínio de uma função. Ou seja, precisamos determinar os valores possíveis para a variável independente. Como fazer isso?

Considere a função y = 2x – 1. Note que não há restrição quanto aos valores que x pode assumir, pois qualquer número real x pode ser multiplicado por 2 e, em seguida, pode-se subtrair 1 do resultado sem nenhum problema. Nesse caso, dizemos que o domínio da função é o conjunto dos números reais, que representamos pela letra ℜ .

Observe agora a função 21)(−

==x

xfy . Perceba que x não pode ser

2, senão ficaríamos com a conta 01

=y , que não faz sentido. Nesse caso, dizemos que o domínio da função é todo o conjunto dos números re-ais, exceto o número 2. Representamos assim: }2{)( −ℜ=fD ou, ainda,

}2/{)( ≠ℜ∈= xxfD .

Tenha cuidado principalmente em dois casos:

1º caso - quando a variável aparece no denominador.

Nesse caso, devemos lembrar que não existe divisão por zero. Assim, basta excluir os valores da variável que anulam o denominador.

Exemplo 8

Para encontrar o domínio da função 972)( 2

23

−+−+

==x

xxxxfy , desco-brimos os valores que anulam o denominador:

Funções

20


092 =−x

92 =x3=x ou 3−=x .

Agora excluímos esses valores: }3,3{)( −−ℜ=fD ou }3/{)( ±≠ℜ∈= xxfD .

2º caso - quando a variável aparece como radicando de uma raiz índice par.

Nesse caso, devemos lembrar que não existe raiz real de números negativos quando o índice da raiz for um número par. Basta obrigar que o radicando seja um número não negativo.

Exemplo 9

Como encontrar o domínio da função xxf −= 2)( ?

Como o índice da raiz é par (no caso é 2), basta obrigar o radicando x−2 a ser um número não-negativo: 02 ≥− x ⇒ 2≤x .

Assim, o domínio da função é }2/{)( ≤ℜ∈= xxfD .

ATIVIDADE 4

Encontre o domínio de cada uma das funções:

1) 4)( −= xxf

2) 262

+−

=xxy

3) 11)(−

=x

xf

4) 3

3

2133−−

=x

xy

5) 2

3+−

=x

xy

Capítulo 1

21

Cálculo I

1.4 Funções Pares e Ímpares

As funções podem, ainda, ser classificadas em funções pares ou ímpares, dependendo do tipo de simetria que seu gráfico apresentar. Vamos ver isso detalhadamente.

Na Tabela 4, temos alguns valores da função ²)( xxf = .

Repare que, aplicando a função em quaisquer dois números de sinais opos-tos, o resultado obtido é o mesmo. Sempre que isso acontecer, dizemos que a função é par.

Valor de ²)( xxf = Valor de ²)( xxf =

-2 4+2 4-3 9+3 9-10 100+10 100-20 400+20 400

Agora vamos analisar a função 3)( xxf = .

Repare que, aplicando a função em quaisquer dois números de sinais opos-tos, os resultados obtidos são opostos (Tabela 5). Sempre que isso acontecer, dizemos que a função é ímpar.

Valor de ²)( xxf = Valor de 3)( xxf =-2 -8+2 +8-3 -27+3 +27-10 -1000+10 +1000-20 -8000+20 +8000

Tabela 4 – Valores da função f(x) = x²

Tabela 5 – Valores da função f(x) = x³

Funções

22


Função par - Uma função )()( xfxf −=− é chamada de par se cumprir a condição )()( xfxf =− , qualquer que seja o elemento x em seu domínio.

Função ímpar - Uma função )()( xfxf −=− é chamada de ímpar se cum-prir a condição )()( xfxf −=− , qualquer que seja o elemento x em seu domínio.

Na Figura 6, temos os gráficos das funções ²)( xxf = e 3)( xxf =

. Repare que o gráfico de ²)( xxf = apresenta simetria em relação ao eixo y. Essa é uma característica importante das funções pares. Todas elas são simétricas em relação ao eixo y.

Já o gráfico da função 3)( xxf = apresenta outro tipo de simetria. Tente descobrir qual é e depois descreva-o com suas palavras.

1.5 Funções Crescentes e Decrescentes

O gráfico da função )(xfy = representada na Figura 7 se eleva de A para B, cai de B para C e se eleva novamente de C para D. Dizemos, então, que a função é crescente nos intervalos e e decrescente no intervalo ],[ ba e

],[ dc e decrescente no intervalo ],[ cb .

Capítulo 1

Figura 6 – Gráficos das funções f(x) = x2 e f(x) = x3

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Cálculo I

Função crescente - Uma função f é crescente em um intervalo I se

21 xx < então )()( 21 xfxf < , quaisquer que sejam os elementos 1x e 2x de I.

Função decrescente - Uma função f é decrescente em um inter-valo I se 21 xx < então )()( 21 xfxf > , quaisquer que sejam os elementos 1x e 2x de I.

Observações:

A função • ²)( xxf = é crescente pra valores de x positi-vos, e, decrescente, para valores de x negativos.

Já a função • 3)( xxf = é crescente em todo o seu domínio.A função que fornece a população do planeta Ter-•ra é exemplo de uma função crescente em todo o seu domínio.

A função • 2)1()( −= xxf é crescente para valores acima de 1, ou seja, no intervalo [,1[ +∞ e decrescente para va-lores abaixo de 1, ou seja, no intervalo ]1,] ∞− .

ATIVIDADE 5

A) Dadas as funções abaixo, determine os intervalos em que elas são crescentes e os intervalos em que são decrescentes:

1) 5)( += xxf

2) 82)( += xxf

Figura 7 – Crescimento e decrescimento de uma função

Funções

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3) 4)( 2 −= xxf

4) 2)3()( −= xxf

5) 2)42()( += xxf

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Capítulo 1

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