CAPÍTULO 1INTRODUÇÃO, DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

Este capítulo introduz a experiência das duas placas para que o leitor perceba de forma lógica que, diferentemente de um sólido, um fluido não pode atingir o equilíbrio estático quando é submetido a uma força resultante do efeito tangencial. Entretanto, deve-se ressaltar o fato de que é possível se atingir o equilíbrio numa determinada velocidade, isto é, um equilíbrio dinâmico.Por meio dessa discussão aparecem em seqüência lógica as idéias de Princípio da Aderência, construção de diagrama de velocidades, deslizamento entre as camadas do fluido e o conseqüente aparecimento de tensões de cisalhamento entre elas.A lei de Newton da viscosidade, simplificada para escoamento bidimensional, introduz de forma simples as idéias de gradiente de velocidades e de viscosidade dinâmica, para o cálculo da tensão de cisalhamento.Além da viscosidade dinâmica, são apresentadas as definições de massa específica ou densidade, peso específico e viscosidade cinemática, propriedades dos fluidos usadas ao longo deste livro.Apesar da utilização quase que exclusiva do Sistema Internacional de Unidades, é necessário lembrar a existência de outros sistemas, já que, na prática, o leitor poderá se defrontar com os mesmos, e alguns dos exercícios referem-se à transformação de unidades, de grande utilidade no dia a dia.

Solução dos exercícios

Exercício 1.1Objetivo: manuseio das propriedades e transformação de unidades.

Lembrar que ao transformar a unidade utiliza-se a regra seguinte:

Valor da grandeza Valor da grandezaUnidade nova x Fator de

= X transformaçãona unidade nova na unidade velha Unidade velha

Exemplo

Transformar 3 m em cm.

3 m = 3 m × cm

m×100

= 3 ×100 cm = 300cm

Solução do exercício.μ = νρ

γ = γr γ = 0,85 ×1.000 kgf = 850 kgfH 2 O m 3 m 3

γ 850 utmρ = = =85g 10 m

3

μ = 0,028 ×85 = 2,38 kgf .s

m2

N ×9,8kgf .s

kgf.s kgf N.sμ = 2,38 = 2,38 = 23,3

m2

m2

m2

5dina ×10

N .sN

N.s dina.sμ = 23,3 = 23,3 = 233 ou poisecm

2 ×10m

24 cm

2

m 22

m

Exercício 1.2

γ = γr γH O = 0,82 ×1.000 = 820kgf

2 m3γ

ρ = = 820 =82 utm

g 10 m3

ν * =

μMK*S =

5 ×10−4

= 6 ×10−6 m 2 = νSIρ 82 sMK S *

MK S

m2 × cm2 ×104

cm 2

νCGS = 6 ×10−6 m 2

= 6 ×10−2

ou Sts

s

Exercício 1.3

V = 3 dm3 = 3x10-3 m3

γ =G

=23,5

= 7833N

V 3 ×10−3 m3

ρ = γ = 7833 = 783,3 kg

g m310

μSI = νρSI =10−5 × 783,3 = 7,83 ×10−3 N.s

não esquecer que kg

m2

5dina ×10

N .s

−3 N.s −3 N −2 dina.sμCGS = 7,83 ×10 = 7,83 ×10 = 7,83 ×10 ou poisem2 cm2 ×10 4 cm2

m 2

2

mkgf

N .s

−3 N.s N ×9,8 −4 kgf .sμ * = 7,83 ×10 = 7,83×10 −3 = 8 ×102 2 2MK S m m m

min

N.sN.s

N. minμN. min = 7,83 ×10

−3= 7,83 ×10−3 s × 60

=130,5m2 km2 km2

km2

m2

2

×10

6

mÉ preciso deixar claro que esta última unidade só foi considerada para que se pratique a transformação.

Exercício 1.4

τ = μ v0

ε

ν = 0,1St oucm2

= 0,1×10 −4 m2 = 10−5 m2

s s sN.s

μ = νρ =10 −5 ×830 =8,3 ×10 −3

m 2

τ =8,3 ×10−3 × 4 =16,6 N

×10−3 m22Exercício 1.5

Sendo constante a velocidade da placa, deve haver um equilíbrio dinâmico na direção do movimento, isto é, a força motora (a que provoca o movimento) deve ser equilibrada por uma força resistente (de mesma direção e sentido contrário).

G sen 30o = F

t

G sen 30o = τA

G sen 30o = μ v A

εε G sen 30

o 2 ×10

−3 × 20 ×sen 30

o−2 N.s

μ = = = 10vA 2 ×1×1 m

2

Exercício 1.6

G = τA ⇒ mg = μ

v0

πDL ⇒ v0 = εmg

μπDLε

ε =D e − D i =

10 − 9= 0,5cm; μ =

νγ=

10−4 ×8.000= 0,08

N.s

2 2 g 10 m2

v0 =0,5 ×10−2 ×0,5 ×10

= 22,1m

0,08 × π×0,09 × 0,05 s

Exercício 1.7

Para o equilíbrio dinâmico, a força de tração será igual ao peso do esticador somada à força tangencial provocada pelo lubrificante na fieira.

T = Ft + G

Logo :F

tmáx = T − G =1 − 0,9 = 0,1N

F = τA = μ v A ε = 0,6 − 0,5 = 0,05 mmt ε 2

v = πnD = π×30

× 0,2= 0,314m

60 sεF εF 0,05 ×10

−3 × 0,1 N.s

μ = t = t = = 0,1

0,314 × π× 0,5 ×10−3

m2

vA vπdL × 0,1

M = T D =1× 0,2 = 0,1N.m22

Exercício 1.8

G1 = G 2 + 2Ft

π D 2 π D 2 v v 8μvγ1 L = γ2 L + 2μ πDL ⇒ γ1D = γ2 D + 8μ ⇒ γ2

= γ1 −4 4 ε ε εD

ε = 10,1 −10 = 0,05cm2

γ2 = 20.000 −8 ×10−2 × 2

=16.800N

0,05 ×10−2× 0,1 m3

Exercício 1.9

v3 = 0,5m/sv2

v1

G

a) M τ = M G

μ εv

2πR 2 LR 2 = GR 3

ε = R 2 − R1 =10,1 −10 = 0,1cm

v = GR 3 ε = 10 × 0,2 ×0,1×10 −2 =1,04 m / sμ2πLR 2

2 0,1× 2 × π×0,3 × 0,1012

v2 = v3R

2 = 0,5 ×0,101 = 0,2525 m / sR 3 0,2

v1 = v + v2 =1,04 + 0,2525 =1,29 m / s

v1 = 2πn1R1 → n1 =v1

=1,29

× 60 =123rpm2πR1 2× π× 0,1

b) M e = τA1R1 = μv

2πR1LR1 = 2πμ v

LR12

ε ε

M e = 2 × π× 0,1× 0,11×

,0410−2 × 0,3 × 0,12 = 2 N.m

Exercício 1.10

vi = 2πnR1 = 2 × π×100

60 × 0,299 = 3,13 m

s

ε i = R 2 − R1 = 30 − 29,9 = 0,1cm

ve = 2πnR 3 = 2 × π×100

60 × 0.301 = 3,15 m

s

εe = 30,1 − 30 = 0,1cm

μ = νρ =10−4 ×800 = 0,08 N.s

m2

M = μvi 2πR 2 hR 2 + μ

ve 2πR 2 hR 2 = μ2πR 2

2 h ( v e + vi )ε

iε

e εMε 10 × 0,1×10−2

h = = = 0,035m = 3,5cmμ2πR 22 ( v e + vi ) 0,08 × 2 × π× 0,32 ×(3,15 + 3,13)

Exercício 1.11

a)M

τint=

M

τext

μv1 − v2 πD2 L

D2 = μv3 πD3 L

D3

2ε1,2 2 ε

3,4

ε1,2

= D2 − D1 = 12,05 −12 = 0,025 mm

2 2ε

3,4 =D4 − D3 = 15,1 −15,05 = 0,025 mm

2 2v

1− v 2 D3 2 15,05 2

= = =1,56

D2v3 12,05

πnD ′1 − πn D 2 =1,56′

πn D3

n′ =

nD1

=

120.000 ×12

= 40.531rpm1,56D3 + D2 1,56 ×15,05 +12,05

b) M = 2μ v πD1L D1 =πμLD1

2(πD1n − πD2 n′)

ε 2 ε

M =π2μLD

12

(D 1n − D2 n′)ε

M =π 2 × 8 × 10 − 3 × 0,02 × 0,012 20,012 ×

120.000− 0,01205 ×

40.531= 0,14N.m

0,025 ×10−360 60

Exercício 1.12

F = μ v πDL → ε = De − Di = 50,2 −50 = 0,1cm2τ ε i 2

Fτ =10−3

×

0,1×210−2

×π×0,5 ×

π2

=

2 N

Fmot = G − Fτ = 50 − 2 = 48 N

Mmot = Fmot d

2 = 48 × 0

2,1

= 2,4 N.m

M = μ v1 πD L Di → ω = 2v =2 ×2 = 40rd → v = ω Di = 40 ×0,5 =10m

ε s 2 sres i 2 d 0,1 1 2M

res =10−3 × 10 ×π×0,5 × 2 ×0,5 = 2,5 N.m0,1×10−2

π 2M = 2,5 − 2,4 = 0,1N.m a favor do movimento (motor).

Exercício 1.13

r+dr

r

dMt = τdAr = μ v1 − v2 2πrdr.r = μ(ω1 −ω2 )r

2πrdr.rε ε

dM t =2πμ(ω1 − ω2 ) r 3dr

εM

t 2πμ(ω − ω2) R

∫0dM t = 1

∫0r3dr

ε

2πμ(ω − ω2) R 4 D

M t =1

mas, R =ε 4 22πμ(ω − ω

2) D4

M t =1

ε 4 ×16

ω1 − ω2 =

32εM t

πμD4

Exercício 1.14

v = ay2 + by + cpara y = 0 → v = 0 ⇒ c = 0

para y = 0,1m → v = 2,5m ⇒ 2,5 = 0,01a + 0,1b (1)s

dv dvpara y = 0,1m → = 0 → = 2ay + b ⇒ 0 = 0,2a + b ⇒ b = −0,2a (2)

dy dy

(2) em (1) 2,5 = 0,01a − 0,02a ⇒ a = −250 e b = 50

v = −250y2 + 50y ⇒dv

= −500y + 50dydv −1 dv dina

= 50s ⇒ τy=0 = 4 ×50 = 200 2= μ

cmdy y=0dy

y=0

dv −1 dv dina= 25s ⇒ = 4 × 25 =100 2τy=0,05m = μ

cmdy y=0,05m dy y=0,05m

dv = 0 ⇒ τy=0,1m

dv = 4 × 0 = 0= μ

dy y=0,1m dy y=0,1m

Exercício 1.15

v = 20yvmáx −100y2 vmáx

−1dv

= 20vmáx − 200yvmáx = 20 × 4 − 200 × 0,2 × 4 = −80 s

dy y=0,2m

−1dv

= 20vmáx =80 s

dy y=0

−2 Ndv

τy=0 = μ =10 ×80 = 0,8

m2

dy y=0F = τA = 0,8 × 4 = 3,2 N

Exercício 1.16

a) v = ay2 + by + c

para y = 0 → v = 2m ⇒ c = 2s

para y = 2 → v = 5 m ⇒ 5 = 4a + 2b + 2 ⇒ 4a + 2b = 3

dvs

dvpara y = 2 → = 0 → = 2ay + b ⇒ 0 = 4a + b ⇒ 4a + b = 0dydy

b = 3; a = −3

= −0,75 ⇒ v = −0,75y2+ 3y + 24

dv −1 dv −2 N

b) = −1,5y + 3 = 3s = 3 × 10 2⇒ τ

y=0 = μ

mdy

y=0dy

y=0

Exercício 1.17

a) τ1 = μ1v = 3 ×10 −2 × 5 =150 N

10−3 m2ε1

b) F2 = F − τ1A1 = 400 −150 × 2 =100 N

τ2 =F2 = 100 = 50 N

2 m 2A1

c)v = AY + B

para Y = 0 → v = 0 ⇒ B = 0

para Y =10−3→ v = 5 ⇒ 5 = A ×10−3 ⇒ A = 5.000

Logo : v = 5.000Y

d) v = ay2 + by + c

para y = 0 → v = 0 ⇒ c = 0

para y = 0,5 → v = 5 ⇒ 5 = a × 0,25 + b × 0,5

para y = 0,5 → τ = 50 N

m 2

τ 1 50τ2 = μ

dv

→dv

= = =12,52

μ1 4dy y=0,5 dy y=0,5

dv dvcomo = 2ay + b então = 2a × 0,5 + b =12,5

dy dy y=0,5

deve − se resolver o sistema :

0,25a + 0,5b = 5

a + b =12,5

resul tan do : a = 5 e b = 7,5

log o : v = 5y2+ 7,5y

dve) =10y + 7,5

dy y=0

Ndv

τy=0

= μ2 = 4 × 7,5 = 30

m2

dy y=0

R = τy=0 × A = 30 × 2 = 60 N

Exercício 1.18

ρ1 =p1 ; ρ2 =

p2

RT2RT1

ρ(% )=ρ

1− ρ

2ρ

2p

2T

1

ρ ×100 = − ρ × T ×1001

1

1×100 = 1 −

p1 2

ρ(% )= 150.000 50 + 2731 − × ×100 =17,5%

200.000 20 + 273

Exercício 1.19

ρar

= p=

9,8×104

=1,186kg

⇒ γar = ρarg =1,186 ×9,8 =11,62N

RT 287 ×288 m3 m3

N γ 7 kgγ = γr γar = 0,6×11,62 = 7 ⇒ ρ = = =0,71

m3g 9,8 m3

R =p

=9,8×104

= 479m2

ρT 0,71× 288 s2K

Exercício 1.20

ρar =p

=441×103

= 4,94kg

R ar T 287 ×311 m3

γar = ρar g = 4,94 ×10 = 49,4 mN

3

Exercício 1.21

Isotérmico

p1V1 = p2 V2

p = pV

1=133,3 ×

10= 666,5 kPa(abs)

2 1 V 22

Adiabático

Vk

10 1,28p = p 1 =133,3 × =1.046 kPa(abs)

V2 1 22