Segunda Lista de Exercícios de Matemática Discreta

I) 1.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela

Base 10 Base 2 Base 3 Base 5 Base 7 Base 8 Base 16 0

1

2

3

.

.

49

50

60

70

80

90

100

200

2.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela

n Base 2 Base 10 Base 8 Base 16 100012 -

3B7

2518

6AD16

3217658

56208

110101011012 -

4F5H

3.- Efetuar as seguintes operações na base 2. Conferir os resultados

100101 1001 11110 1010.11 101101 101101 11101 1111

100110 1010 11111 1001.01 -1111 - 11101 - 11111 * 101

+100111 +1011 +101101 +1100.00

II) Matrizes: 1.- Dadas as matrizes A, B, 3x3 a seguir

2 3 1

5 2 1

1 3 1

A

;

2 11 1

3 2 1

1 7 5

B

;

Calcule

i) A+ B, ii) 2A - 3B, iii) AB e BA, iv) (AB)t

, Bt A

t , v) ½ ( A + A

t), vi) ½ ( A - A

t)

ii) Dada a matriz A= 7 4

9 5

. Mostre por indução que An

= 1 6 4

9 1 6

n n

n n

Segunda Lista de Exercícios de Matemática Discreta

2.- Sendo

1 1

2 2

1 1

2 2

A

. Calcule A2

, A3

, o que deve ser An ?.

c) Sendo 1 1

1 1A

e

1 1

1 1B

calcule A2 . Se A fosse simétrica ainda valeria o resultado.

Calcule ainda, B2 , B

3, em gera que pode-se concluir.

III) 1.- Usando algoritmo de Euclides calcule o MDC(a,b) = d , e expressar na forma de Bezout, ie,

d= λa + ηb, se:

i) a= 420, b= 66; ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84. v) a=100, b=36.

2.- Prove a fórmula de Pascal, para 1 k n-1,

nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck

3.- Use o teorema binomial e expanda a expressão a seguir

i) ( 2x – 3)4 , ii) ( 2 – x/3)4 , iii) ( 2x – x2

1)4 , iv) ( x +

x

1)4

4.- Encontrar a parcela indicada na expansão binomial i) o coeficiente do quinto monômio de ( 2x – 3)7

ii) o termo constante de ( x +x

1)6 e de ( x –

x

1)8 , iii) desenvolver ( 1 +

x

1)4

5.- Considere o conjunto A={ 1, 2, 3, ....400}.

i) Quantos números não são quadrados perfeitos, ii) quantos não são múltipos de 4.

iii) quantos não são quadrados perfeitos nem múltiplos de 4.

7.- Encontre o número de permutações simples da palavra LOVE.

nas quais L esta em 1º lugar ou O está em 2º lugar .

Sugestão faça A1 ={ permutações em que L esta em 1º lugar}, A2 = etc, usar o principio de inclusão e exclusão.

12.- Encontrar o numero de soluções, em inteiros positivos de X1 + X2 + X3 = 25, com X1 4 , X2 6, X3 5.

13.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -2 e 2 inclusive.

14.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -3 e 3 inclusive.

[A] é relacionado ao principio da casa dos pombos.

1.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é

divisível por 2.

b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é

divisível por 3.

2.- Mostre que num quadrado de lado 2, ao considerar 5 pontos quaisquer existem pelo menos dois

pontos que cuja distancia é menor ou igual a 2 .

3.- Numa festa de aniversario com 61 crianças pelo menos 6 nasceram o mesmo mês

4.- Mostre que em qualquer grupo de

a.- 30 pessoas pelo menos 5 nasceram no mesmo dia da semana

b.- 50 pessoas pelo menos 8 nasceram no mesmo dia da semana

a.- 20 pessoas pelo menos 3 nasceram no mesmo dia da semana.

5.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é

divisível por 2.

b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível

por 3. c.- dados 6 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é

divisível por 5.