UNIVERSIDADE FEREDERAL DO RIO DE JANEIRO

Engenharia Naval e Oceânica

MATERIA:

Matemática para engenharia I

PROFESSOR:

Severino Fonseca Da Silva Netto

ALUNOS:

LEONIDAS MAURICIO CONDORI

JULIO CÉSAR PÉREZ TIPIANA

PERIODO 2015 – I

Matemática para Engenharia Naval e Oceânica .

PROF: SEVERINO FONSECA DA SILVA NETO | 2015-I

PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS

R2.

lim𝑥→0

(1

𝑥2 + 𝑥−1

𝑥)

Operando:

lim𝑥→0

(𝑥 − 𝑥2 − 𝑥

𝑥2(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→0(

−𝑥2

𝑥2(𝑥 + 1))

lim𝑥→0

(−1

𝑥 + 1) = −1

Gráficos parciais:

A) 𝑥2

B) 𝑥2 + 𝑥

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C) 1

𝑥

D) 1

𝑥2+𝑥

E) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2+𝑥−

1

𝑥

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E2)

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)2𝑥

Calculando:

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)2𝑥 = lim

𝑥→∞(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)lim𝑥→∞

2𝑥

= 1∞

Chamaremos:

𝑓(𝑥) =3𝑥 + 2

3𝑥 − 2

𝑔(𝑥) = 2𝑥

ℎ(𝑥) = 1 + 𝑓(𝑥) =4

3𝑥 − 2

Temos:

lim𝑥→∞

(𝑓(𝑥))𝑔(𝑥) = lim𝑥→∞

(1 + ℎ(𝑥))𝑔(𝑥) = lim𝑥→∞

(1 + ℎ(𝑥))1

ℎ(𝑥).ℎ(𝑥).𝑔(𝑥)

= lim𝑥→∞

[(1 + ℎ(𝑥))1

ℎ(𝑥)]lim𝑥→∞

ℎ(𝑥).𝑔(𝑥)

Sabemos:

lim𝑥→𝑎

(1 + 𝑟(𝑥))1

𝑟(𝑥) = 𝑒

Então:

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)2𝑥 = 𝑒

lim𝑥→∞

ℎ(𝑥).𝑔(𝑥)=𝑒

lim(𝑥→∞

43𝑥−2

.2𝑥)= 𝑒

lim𝑥→∞

(8𝑥

3𝑥−2)

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)2𝑥 = 𝑒

lim𝑥→∞

(8

3−2𝑥

)

Como: 𝑥 → ∞ temos que 2

𝑥= 0

Então:

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 2

3𝑥 − 2)2𝑥 = 𝑒

83

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Gráficos parciais:

A) 𝑥

B) 2𝑥

C) 3𝑥

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D) 3𝑥 + 2

E) (3x + 2)2

F) (3x + 2)2x

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G) (3x)2x

H) (3x)2

I) 1

3x

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J) 1

3x−2

K) (1

3x−2)2x

L) (1

3x)2x

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M) 𝑓(𝑥) = (3𝑥+2

3𝑥−2)2𝑥

T2.

lim𝑥→0

1 − cos3 𝑥

𝑡𝑔23𝑥

Calculando:

lim𝑥→0

1 − cos3 𝑥

𝑡𝑔23𝑥=0

0

Sabemos:

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)

𝑘𝑥= 1; 𝑡𝑔(𝑥) =

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒 sec(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠𝑥

Aplicando a Regra de L’Hospital:

lim𝑥→0

(1 − cos3 𝑥)′

(𝑡𝑔23𝑥)′= lim

𝑥→0

3. cos2 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥

6. 𝑡𝑔3𝑥. sec3 3𝑥

Passando a senos y cosenos temos:

lim𝑥→0

3. cos2 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥

6.𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

.1

cos2 3𝑥

=1

2. lim𝑥→0

cos2 𝑥 . cos3 3𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥=1

2∗ lim𝑥→0

(cos2 𝑥 . cos3 3𝑥) ∗ lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 3𝑥

=1

2∗ lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥

. 𝑥

𝑠𝑒𝑛 3𝑥3𝑥

. 3𝑥=1

6

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Gráficos parciais:

A) 𝑐𝑜𝑠𝑥

B) cos3 𝑥

C) 1 − cos3 𝑥

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D) 𝑡𝑔𝑥

E) 𝑡𝑔3𝑥

F) 𝑡𝑔23𝑥

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G) 𝑓(𝑥) =1−cos3 𝑥

𝑡𝑔23𝑥