secretaria de estado da educaÇÃo · ender melhor os conceitos matemáticos. ... introdução à...
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃOPRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: O Ensino e Aprendizagem da Matemática por meio da História: O despertar da Álgebra.
Autor Rosana Cristina Rocha Souza
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Engenheiro Jose Faria Saldanha – ensino fundamental e médio
Município da escola Munhoz de Mello
Núcleo Regional de Educação Maringá
Professor Orientador Lucieli Maria Trivizoli da Silva
Instituição de Ensino Superior UEM
Resumo Este trabalho pretende apresentar uma possibilidade metodológica para o ensino da álgebra por meio do uso da história da matemática, vendo nesta estratégia condições para que haja uma aprendizagem mais significativa do aluno. Optamos pela Álgebra por ser um conteúdo onde os alunos apresentam dificuldades relacionadas ao pensamento algébrico, conteúdo este que está presente em todos os programas curriculares. Sendo assim, a partir de estudos bibliográficos referentes à história da álgebra, propomos desenvolver atividades pedagógicas que englobam a história do desenvolvimento algébrico, levando os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola da Rede Pública do Estado do Paraná a construir o conhecimento algébrico de forma que permita reflexões, análises, investigações e generalizações, proporcionando aos alunos o desenvolvimento de uma aprendizagem mais significativa e relevante.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) História da matemática; álgebra; aprendizagem
Formato do Material Didático Unidade Didático-Pedagógica
Público Alvo Alunos do 7 º ano do Ensino Fundamental
INTRODUÇÃO
Muitas vezes no decorrer de minha carreira profissional me deparei com situa-
ções de angústia, tanto dos alunos quanto minhas relacionadas à aprendizagem de de-
terminados conteúdos matemáticos, as quais me levaram a questionar as metodologias
utilizadas por nós, profissionais da educação.
A “Álgebra”, em particular, é um conteúdo onde os alunos apresentam dificulda-
des, além de ser um dos ramos da Matemática que está presente em todos os progra-
mas curriculares. Muitas vezes, podemos identificar que o processo algébrico que o
aluno desenvolve torna-se mecânico em determinados momentos e passa a usá-lo
sem compreender o significado conceitual e sem estabelecer relações importantes que
as idéias algébricas envolvem.
Passaram aproximadamente 3000 anos para que a Álgebra se apresentasse da
forma que a conhecemos atualmente. Registros indicam que as idéias relacionadas à
álgebra apareceram primeiramente no Egito e na Babilônia e logo após se espalharam
chegando a Grécia, a Índia, a Europa etc, sendo os responsáveis pela sua criação Dio-
fanto (250 d.C.), Al-Khowarizmi (aproximadamente 825 d.C.) e Viète (1600 d.C.).
O desenvolvimento histórico pelo qual atravessou a Álgebra nos faz perceber o
quanto foi difícil a construção da sua linguagem e o quanto este conteúdo é complexo.
Pensando em favorecer a construção do conhecimento algébrico, sua lingua-
gem, regras e símbolos, procuramos uma metodologia que leve o aluno a compreender
os motivos e as razões pelas quais esse conteúdo é tão importante dentro da matemá-
tica possuindo fundamental importância na resolução de determinados problemas do
nosso cotidiano.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE) –Matemáti-
ca :
A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de ativida-des, na criação das situações problema, na busca de referências para compre-ender melhor os conceitos matemáticos. Possibilitando ao aluno analisar e dis-cutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos.(...) a história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática (PARANÁ, 2008, p.66).
Sendo assim, esta Unidade Didática pretende apresentar uma possibilidade me-
todológica para o ensino da álgebra por meio do uso da história da matemática, na qual
os alunos poderão perceber que a Matemática não foi inventada, e sim construída den-
tro de uma necessidade social e teórica de determinadas épocas, e que até hoje é usa-
da para resolver muitos dos problemas da sociedade, podendo assim, ajudar na com-
preensão dos significados matemáticos, além de compreender a importância e motivos
pelos quais estudamos determinados conteúdos.
Uma sequência de atividades pedagógicas que englobam a história do desenvo-
lvimento algébrico será apresentada aos alunos 7º ano do Ensino Fundamental, a fim
de contribuir com a formação dos conceitos envolvidos, proporcionando aos alunos o
desenvolvimento de uma aprendizagem mais significativa e relevante.
ATIVIDADE 11 - Equação do 1º grauDuração: 5horas/aulas Recursos: slides e atividades impressas.
Com essa atividade o aluno poderá:
• Conhecer a história da origem da equação do 1º grau.
• Compreender a importância dos símbolos matemáticos na representação de si-
tuações-problemas.
• Utilizar símbolos matemáticos para representar diferentes situações-problemas.
• Conceituar equação do 1º grau.
A contextualização histórica permite ao aluno perceber que as equações não
surgiram do acaso, e sim, como uma maneira de simplificar a linguagem dos problemas
possibilitando a sua interpretação e resolução de maneira mais ágil e eficaz.
Nessa atividade formaremos grupos com quatro alunos, nos quais espera-se
que haja discussão sobre os questionamentos.
Depois dos grupos formados farei um breve comentário sobre a importância dos
registros, e de como os registros antigos contribuíram e continuam contribuindo para os
1 Esta atividade foi baseada na atividade de Mendes (2010) que se encontra disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25412
estudos atuais, sendo assim, os passos realizados por eles para a resolução dos prob-
lemas deverão ser registrados para posteriores comentários.
Apresentarei em seguida slides contendo a história da equação de 1º grau, para
que eles possam conhecer melhor o processo pelo qual as equações foram passando
até chegarem à forma que conhecemos hoje.
Os hindus realizavam competições públicas, onde cada competidor apresentava
um problema para o outro resolver, era um tipo de quebra-cabeça, apesar dos proble-
mas terem um caráter ‘matemático’ não era utilizado nenhum tipo de símbolo dos quais
utilizamos hoje (+, - , x, :, entre outros), os poucos que conseguiam resolver tais proble-
mas eram considerados sábios e em alguns casos demoravam dias, até meses para
encontrar as respostas.
Hoje utilizamos uma linguagem algébrica que facilita a escrita e a compreensão
dos problemas e que nos ajudam a representá-los matematicamente.
Equação é uma maneira de resolver situações que envolvem valores desconhe-
cidos e se tem uma igualdade.
A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar,
pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala,
que significa “ser igual a“, de novo a ideia de igualdade. Por serem desconhecidos, es-
ses valores são representados por letras.
A primeira referência à equações de que se têm notícias consta do papiro de
Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há
mais ou menos 4000 anos.
Imagem 1 - Papiro de Rhind
Fonte: http://www.fisica-interessante.com/image-files/egito-rhind1.jpg
O papiro de Rhind (datado de cerca de 1650 anos a. C) é um texto matemático
em forma de manual. Esse documento contém 85 problemas, sendo a principal fonte
de informação da matemática egípcia antiga. Entre eles, há vários problemas envolven-
do equações em que a incógnita, ou seja, o valor desconhecido é chamado de aha ou
montão...
Exemplo: um aha mais a sétima parte de aha é 19. Qual o valor de aha?
Vamos pensar em um problema mais simples.
Exemplo: um aha mais 8 unidades é 19. Qual o valor de aha?
Haverá um tempo para que os alunos possam pensar, discutir e resolver esse
problema. Em seguida, discutiremos o processo que cada grupo utilizou para encontrar
sua resposta e se ela satisfaz a pergunta.
Em seguida pedirei que tentem resolver o problema do papiro Rhind.
Assim vou apresentando outros problemas, no qual os alunos terão a liberdade
de resolverem da maneira que eles acharem mais conveniente.
- Eu tinha uma quantia, ganhei mais 4 reais e fiquei com 12 reais. Qual a quantia
que eu tinha?
- Ao somar um determinado número com sua metade, obtém-se 33. Qual é esse
número?
- Um número multiplicado por 5 é igual a 35. Encontre o número.
- As pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos, no Egito, fazem parte das sete
maravilhas do mundo antigo. A altura da pirâmide de Quéops é de 146 metros e a
diferença entre sua altura e a de Miquerinos é de 81 metros. Qual é a altura da
pirâmide de Miquerinos2?
- O ano da invenção da imprensa foi em 1440. Quantos anos se passaram para
se chegar ao ano atual3?
- Preciso trocar R$ 100,00 em moedas de R$ 0,25. Quantas moedas serão
necessárias para dar esse valor4?
Após a discussão e resolução dos problemas por parte dos alunos, levantarei
questionamentos a turma.
Por exemplo:
- O que todas essas resoluções têm em comum?
- Como posso representar o aha hoje?
Com base nas respostas dos alunos irei registrando no quadro as principais ca-
racterísticas de uma equação percebida por eles. Farei assim um paralelo apresentan-
do formalmente como seria esta mesma resolução usando a linguagem algébrica.
Por fim entregarei uma ficha, para que cada aluno escreva sua conclusão refe-
rente ao significado e características de uma equação.
2 Problema retirado de http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254343 Problema retirado de http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254344 Problema retirado de http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25434
ATIVIDADE 2 – Introdução à ÁlgebraDuração: 8horas/aulas Recursos: Texto, slides, softwares e atividades impressas.
Esta atividade tem como objetivo apresentar aos alunos a História da Álgebra,
através de slides, além de:
• Associar o equilíbrio da balança (igualdade de quantidades) às
equações;
• Explorar as mudanças que ocorrem nas equações sem alterar a
igualdade dos seus membros:
• Acrescentar ou tirar números iguais aos dois membros;
• Duplicar, triplicar; etc.; as quantidades nos dois membros; etc.
Nesta aula além de explorar a parte histórica da álgebra, apresentarei o fato de
que tanto as equações do 1o grau quanto as balanças estão associadas ao equilíbrio
ou igualdade de quantidades.
A palavra álgebra apareceu no século IX, escrito por Mohammed ebn-musa AL-
Kwarizmi por volta 825 d.C. e deriva da expressão al-jabr que significa adicionar
termos iguais aos dois lados de uma equação.
A História da Matemática teve uma mudança expressiva por volta do ano 400
d.C, com um homem chamado Diofante de Alexandria (325 a 409 d.C), ele utilizou
símbolos em suas pesquisas para facilitar à escrita e os cálculos matemáticos. Naquela
época os cálculos matemáticos eram feitos totalmente com palavras, no entanto a
guerra que provocou a queda do Império Romano, impediu que muitos dos estudos
que estavam sendo desenvolvidos na época não fossem divulgados, dentre esses
estudos podemos citar aqueles sobre as nomenclaturas de Diofante.
Por volta do ano de 650, aproximadamente, os estudos matemáticos foram
retomados.
De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma
noites) surgiram grandes centros comercias, fazendo com que as atividades comercias
provocassem um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e criou
em Bagdá um centro de ensino, no qual um dos contratados estava Mohamed Ibn
Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que
significa ‘restauração’ e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma
equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.
Após breve exploração da história que será feita por meio de slides, a aula
passará para um segundo momento que deverá acontecer no laboratório de informática
da escola, lá os alunos deverão acessar5 a atividade Resolvendo Equações através
da balança, que deverá estar salva nos computadores do laboratório.
Após acessarem a atividade, pediremos aos alunos para observarem como está
a balança. Neste momento, os alunos devem perceber que a balança está em
equilíbrio, veja a figura a seguir:
Depois apresentarei algumas situações que deverão ser realizadas pelos
alunos, como: coloquem 6 tomates no primeiro prato da balança – a cada situação
5 A atividade referida se encontra em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254
apresentada interromperei a aula para levantar uma série de questionamentos que
futuramente servirão para completa compreensão do que se deseja – por exemplo:
- Depois de colocarem os seis tomates na balança o que aconteceu com a
mesma?
- O que fazer para que ela volte a ficar equilibrada?
Irei propor aos alunos que repitam a atividade colocando desta vez quantidades
diferentes de tomates nos pratos da balança. Também será sugerido que os alunos
representem no caderno o que está acontecendo na tela do computador. Esta
representação pode ser livre, os alunos podem representar por meio de desenhos,
símbolos adotados por eles, ou ainda por meio da escrita – todas essas formas de
representação deverão ser enfatizadas em momentos posteriores e servirão para a
compreensão de que, historicamente, também se apresentaram diversas formas de
representação, sendo necessária uma adoção universal de símbolos. Em seguida,
questionarei:
- Que prato ficará na posição mais alta se colocarmos 3 tomates no primeiro
prato e 5 tomates no segundo? Represente esta situação na balança.
- O que devemos fazer para que a balança fique em equilíbrio?
Em seguida, entregarei uma folha contendo a tabela abaixo para os alunos
completarem:
Ao questionar ‘O que fazer para equilibrar a balança?’, pretendo fazer com que o
aluno perceba que é preciso realizar a operação inversa sempre que tivermos uma
balança em desequilíbrio.
Em todo o momento os alunos serão incentivados a registrarem no caderno as
representações que estão sendo trabalhadas.
Quando houver uma oportunidade adotarei, juntamente com a turma, símbolos
que representem as principais partes da equação como, por exemplo, a igualdade.
Após o preenchimento da tabela acima, farei os seguintes questionamentos:
- Uma balança tem 3 tomates no primeiro prato e 3 no segundo prato. O que
acontecerá quando:
- Retirarmos um tomate do primeiro prato?
- Retirarmos 1 tomate de cada prato?
- Acrescentarmos dois tomates ao segundo prato?
- Acrescentarmos 2 tomates a cada prato?
- Multiplicarmos por 3 os tomates do primeiro prato?
- Multiplicarmos por 3 os tomates dos dois pratos ?
Ao introduzir os termos retirar, acrescentar e multiplicar, retomarei a discussão
sobre ‘O que fazer para que a balança volte a ter equilíbrio?`. Com isso, espero que a
turma perceba que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Com o término das questões, pedirei para os alunos escreverem a que
conclusão eles chegaram com as atividades realizadas nessa aula.
Depois do trabalho com o software, a seqüência de atividades se dará na sala
de aula com a exposição da introdução histórica dos símbolos nas equações.
Como vimos a balança precisa de equilíbrio, assim como a álgebra, então
pudemos perceber que al-Khowarizmi deu sua contribuição, porém, não conseguiu
expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois,
quando França e Espanha estavam em guerra, isso no século XVI, naquela época os
franceses e espanhóis usavam códigos em suas mensagens para que seus planos não
fossem descobertos. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois,
sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente
descobriam seus planos militares.
Os espanhóis acreditavam que os franceses tinham um pacto com o “diabo”,
chamaram até o papa para tentar resolver o problema. Na realidade o que os franceses
tinham era um advogado apaixonado por álgebra: seu nome era François Viète, um
homem capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas. Sua
contribuição foi de fundamental importância para a matemática, ele introduziu os
símbolos na matemática, substituindo palavras por símbolos, representou a incógnita
por vogal, a palavra ‘mais’ pelo símbolo ‘p’ e a palavra ‘menos’ por ‘m’, e mais tarde
adotou o símbolo de + para substituir p e o símbolo – para substituir m, etc. Devido as
suas contribuições ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
ATIVIDADE 3 – Valor desconhecidoDuração: 3 horas/aulas Recursos: Texto, quadro negro e atividades impressas.
Esta aula tem como objetivo:
Possibilitar ao aluno a compreensão da necessidade do consenso na utilização
de símbolos para compreensão da álgebra.
Estabelecer os sinais de igualdade e incógnita
Apresentar o contexto histórico do surgimento de tais símbolos
Incentivar a utilização dos símbolos aceitos universalmente
A turma será dividida em equipes de quatro alunos, e cada equipe receberá uma
ficha contendo um problema escrito utilizando o termo ‘coisa’ para representar a incóg-
nita, e ainda expressões como adicionando, tirando, acrescentando, entre outras para
representar a soma e subtração.
Por exemplo: Cinco coisas adicionadas a nove coisas resultam em vinte e oito
dessas coisas.
Cada equipe deverá reescrever o problema adotando símbolos determinados
pela equipe para representar a incógnita, as operações e a igualdade.
Depois que todos tiverem terminado de reescrever a equação, irei expor no qua-
dro a reescrita das equipes afim de que os demais alunos tentem decifrar o problema
proposto.
A partir disso a turma estará apta a uma discussão sobre a necessidade da ado-
ção universal de uma única simbologia. Em seguida haverá a apresentação histórica do
surgimento e adoção dos termos utilizados na álgebra.
Historicamente tem-se que a evolução da álgebra ocorreu de forma lenta e com
vários contratempos, pois além de serem usados vários símbolos para um mesmo ob-
jetivo, muito ainda era apresentado de forma escrita.
Al-Khwarizmi utilizou a palavra ‘coisa’, em seu livro Al-jabr, para representar um
valor desconhecido, e depois disso, muito da produção matemática apresentava o ter-
mo ‘coisa’ para representar a incógnita numa equação matemática.
Assim uma expressão do tipo:
x3 + 7x – 5x2 = x + 6
Era expressa por:
O cubo e sete coisas menos cinco quadrados é igual a seis a mais do que a coi -
sa.
Com o tempo e a necessidade de facilitar a escrita vários matemáticos em mo-
mentos diferentes foram formalizando a escrita com a utilização de símbolos.
Na última década do século XVI, François Viète, passou a utilizar letras tanto
para constantes como para incógnitas. Segundo Viète:
Para que este trabalho possa apresentar alguma arte, vamos distinguir as quantidades dadas das incógnitas indeterminadas por um símbolo constante, permanente muito clara, por exemplo: designando as quanti-dades desconhecidas por meio de uma letra ‘A’ ou alguma outra vogal... e as quantidades dadas pos meio de B, G, D ou outras consoantes (apud BERLINGHOFF e GOUVÊA 2010).
No século XVII, muitas notações surgiram quase simultaneamente, dentre os
seus autores destacamos, Thomas Harriot, em 1620 na Inglaterra, Pierre Hérigone, em
1634, James Hume, 1636 em Páris, mas foi o método de Descartes que se tornou final-
mente a notação padrão. Ele usou letras minúsculas do final do alfabeto para incógni-
tas e letras minúsculas do início do alfabeto para constantes.
O sinal de igual como conhecemos hoje foi instituído em 1557, por Robert Re-
corde na Inglaterra, onde foi amplamente utilizado. No entanto, na Europa a igualdade
era denotada principalmente pelo sinal ~, Provavelmente a adoção universal do símbo-
lo = para representar a igualdade deve-se a sua adoção por Isaac Newton e Gottfried
Leibniz em seus trabalhos.
ATIVIDADE 4 –
Duração: 11 horas/aulas
Recursos: atividades impressas, vídeos, internet e quadro negro.
Irei propor nessa atividade uma competição envolvendo problemas históricos,
questionários e pesquisas os quais terão que ser resolvidos e respondidos pelos
membros de cada equipe.
Cada atividade terá uma pontuação diferenciada, conforme o grau de sua
complexidade.
Dividirei a turma em equipes com 6 alunos cada, Estas equipes deverão
permanecer as mesmas durante a realização de todas as atividades.
Utilizarei a sala de aula e o laboratório de informática, conforme a necessidade
de cada atividade.
Todas as equipes devem cumprir as tarefas propostas, mesmo que fora do
tempo determinado, se a equipe interromper a tarefa, perderá 10 pontos.
Atividade 4.a
Duração: 3 horas/aulas
Para esta atividade apresentarei o vídeo: O homem que calculava que se
encontra no site: http://rafaelnink.com/blog/2009/06/30/video-o-homem-que-calculava/.
Logo após assistir ao vídeo entregarei para cada equipe uma folha impressa
com o problema6 relatado no vídeo.
Obs: O vídeo será interrompido quando chegar a 1min32´, pois neste ponto do
vídeo começa a explicação da resolução. O desafio consiste em chegar a uma
resposta para a questão proposta no vídeo e o que se propõe é a resolução do
problema por meio de equações, mesmo que essa resolução não apareça dentre as
sugeridas pela equipe, apresentá-la-ei aos alunos.
Quando o tempo se esgotar (10 minutos) pontuarei a equipe que conseguir
chegar à resolução, sendo esta pontuação equivalente a 30 pontos e depois retornarei
ao final do vídeo para que os alunos possam conhecer a resolução proposta por Malba
Tahan.
Para completar essa atividade, os alunos receberão um questionário sobre
Malba Tahan, no qual deverão realizar uma pesquisa na internet para encontrar as
respostas.
Obs: Para cada resposta correta a equipe deverá ganhar 5 pontos
A- Malba Tahan era:
• ( ) árabe
• ( ) brasileiro
• ( ) italiano
• ( ) turco
B- Malba Tahan era:
• ( ) físico
• ( ) professor de matemática
• ( ) químico
• ( ) engenheiro
C- Seu livro mais famoso chama-se
• ( ) O Homem que calculava
6 Problema: 3 irmãos devem dividir 35 camelos da seguinte forma; 1 deles deverá receber metade dos
camelos, o outro 1/3 e o último 1/9.
• ( ) Lendas da Matemática
• ( ) Matemática e histórias
• ( ) Cálculos e causos.
D- O que Júlio Cesar de Melo e Souza tem haver com Malba Tahan
• ( ) São a mesma pessoa
• ( ) São amigos
• ( ) Nasceram no mesmo país
• ( ) Eram irmãos
Atividade 4.b
Duração: 1 horas/aulas
Passarei o vídeo: Diofante de Alexandria para os alunos assistirem, vídeo que
se encontra em http://youtu.be/vVUBIi_A7nQ, e que deverá ser interrompido a 1min15’.
Logo após, os alunos receberão o problema7 por extenso, que consistirá em
uma atividade complementar na qual os alunos poderão realizar em casa, com base
em pesquisas se necessário, no entanto a pontuação (20 pontos) só será computada
se a equipe conseguir apresentar a resposta e argumentações corretas. Apesar de que
as equipes podem apresentar vários modos de resoluções é interessante que se
aborde também a resolução das equações por meio das operações inversas que se
daria da seguinte forma.
Considerando x como a idade de Diofante temos:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
x = (14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336)/84
7 Em seu túmulo estava escrito o seguinte enigma: “Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de
Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre – quão longos foi a sua vida, cuja sexta parte
constituiu sua formosa infância. E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de
pêlos se cobriu o seu rosto. E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.
Passou um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho, que entregou à
terra seu corpo, sua formosa vida, que durou a metade da de seu pai. E com profundo pesar desceu à
sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho. Diga-me: quantos anos viveu
Diofante quando lhe chegou a morte?”
x = (75x + 756)/84
84x = 84.(75x + 756)/84
84x = 75x + 756
84x – 75x = 75x + 756 – 75x
9x = 756
(9x)/9 = 756/9
x = 84
Atividade 4.c
Duração: 3 horas/aulas
O problema descrito a seguir é originário do Manuscrito de Bakhshali, os alunos
serão convidados a realizar uma pesquisa sobre o manuscrito. Em seguida, haverá
uma discussão sobre o que cada equipe encontrou a respeito.
Após a discussão, as equipes receberão o problema e o questionário descrito a
seguir, no qual deverão encontrar a solução do problema e as respostas do
questionário. Obs: a pontuação do problema corresponderá a 30 pontos.
”Oh sábio homem! Um certo rei deu a cinco cavaleiros 57 moedas. Cada pessoa, por
ordem, obteve o dobro e mais uma moeda do que o seu antecessor. Quanto é que
obteve o primeiro e cada um dos outros?8
Obs: Para cada resposta correta a equipe deverá ganhar 5 pontos
A- Onde foi encontrado este manuscrito
• ( ) Índia
• ( ) Grécia
• ( ) Babilônia
B- Em que século este manuscrito foi encontrado aproximadamente
• ( ) entre o séc. III e o séc. XII d.C
8 Disponível em: http://www.cursoraizes.com.br/resources/10575428032012Historia_da_Matematica_Aula_5.pdf
• ( ) entre o séc. V e o séc. XII d.C
• ( ) entre o séc. III e o séc. X d.C
C- Onde está guardado atualmente o Manuscrito de Bakhshali
• ( ) no museu de Alexandria, Egito
• ( ) na biblioteca de Moscou
• ( ) numa biblioteca da Universidade de Oxford, Inglaterra
D- Quem encontrou este manuscrito
• ( ) foi um faraó
• ( ) foi um agricultor
• ( ) foi um arqueólogo
Atividade 4-d
Duração: 2 horas/aulas
Bhaskara foi um matemático da Índia. Como era comum em sua época, ele
redigia os problemas propostos de forma poética. Veja um desses problemas.
De um enxame de abelhas pretas, a raiz quadrada da metade voou para um
jasmineiro e oito nonos das abelhinhas ficaram para trás. Sobraram duas,
uma femeazinha voando em torno de uma flor de lótus, cuja fragrância
acabou capturando um zangão, que lá ficou a zunir. Então, diga-me tão
encantadora garota, quantas abelhas havia no enxame todo?
Após ser apresentado o problema, as equipes serão convidadas a elaborarem
um problema poético que traga um enunciado onde haja um número a ser descoberto.
Cada equipe apresentará seu problema com a devida solução, recebendo 20 pontos
pela sua resolução e apresentação, sendo que no próximo encontro trarei todos os
problemas digitados que deverá ser resolvido pelas demais equipes, recebendo assim
mais 10 pontos por cada problema resolvido corretamente.
Atividade 4.e
Duração: 2 horas/aulas
Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o
lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a
previsão do tempo, etc.
Com a evolução das equações, utilizamos hoje outras variáveis, para descobrir o
valor desconhecido de uma equação, chamamos o termo desconhecido de incógnita,
que é uma palavra originária do latim incognitu, que quer dizer “coisa desconhecida”.
Obs: O próximo desafio valerá 20 pontos e as equipes terão 20 minutos para
resolver cada problema.
Problema 1
Para a balança ficar em equilíbrio, qual deve ser o valor de x?
Problema 2
Meu pai pediu para eu ir ao supermercado fazer compras. Na hora de pagar, eu
peguei uma nota de cinquenta reais e a moça do caixa me voltou dezessete reais de
troco. Chegando em casa, meu pai me pediu o ticket da compra e eu percebi que o ha-
via perdido. Ele então me perguntou qual foi o valor pago pela compra.
Problema 3
Em uma lanchonete, a gorjeta tem que ser divida entre quatro garçons. Na
segunda feira, teve um movimento fraco e, com isso, cada garçom recebeu apenas 21
reais de “gorja”. Qual foi o total arrecadado de gorjeta nesse dia?
Problema 4
Uma bolsa de 100 dólares deve ser dividida entre quatro homens, A, B, C e D,
de modo que B possa ter quatro dólares a mais que A, C possa ter oito dólares a mais
que B e D possa ter duas vezes a mais que a quantia de C. Qual é a parte do dinheiro
de cada um?9
Ao término da competição explicarei que independentemente da colocação de
cada equipe, todos os alunos ganharam, pois todos aprenderam, apresentando assim o
resultado a classe.
ATIVIDADE 5 - Duração: 5 horas/aulas Recursos: cartolinas, canetinhas coloridas, fita adesiva.
Para mostrar aos alunos a necessidade da aprendizagem do conteúdo de
equações do primeiro grau, e devido a toda preparação do Brasil frente às próximos
eventos esportivos: Copa do Mundo 2014 e os jogos Olímpicos de 2016 que estão
prestes a ocorrer no país, escolhi o tema Olimpíadas para desenvolver um trabalho
referente ao conteúdo matemático escolhido.
O aluno poderá:
- Reconhecer que a equação do 1º grau, pode estar envolvida em várias situações coti -
dianas do aluno;
- Resolver equações do 1º grau.
Símbolo das Olimpíadas
9 Problema retirado do livro “ A MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS TEMPOS” de BERLINGHOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q (p.126)
Fonte: http://www.skatecultura.com/2011/05/skate-nas-olimpiadas-do-rio.html
Por volta de 2500 a.C., os gregos realizavam festivais esportivos em honra a
Zeus, principal deus grego. Estes eventos eram realizados no santuário de Olímpia – o
que originou o termo olimpíada. O evento era tão importante que as cidades gregas in-
terrompiam até as guerras.
Participavam apenas os cidadãos que falavam o idioma grego, disputando pro-
vas de atletismo, luta, boxe, corrida de cavalo e pentatlo (que incluía luta, corrida, salto
em distância, arremesso de dardo e de disco), as mulheres não podiam participar des-
se evento, pois, o mesmo ocorria em uma área sagrada para os homens – Olímpia – e
esta era dedicada ao deus Zeus.
Os vencedores recebiam uma coroa de louros e viravam celebridades, os vitorio-
sos recebiam benefícios tais como ter toda a sua alimentação paga pelo resto da vida,
entre outros. Mais tarde, os atletas se profissionalizaram e passaram a receber prêmios
em dinheiro.
As Olimpíadas perdem prestígio com o domínio romano na Grécia, no século II
a.C.. Em 392, o imperador Teodósio I converte-se ao cristianismo e proíbe todas as
festas pagãs, inclusive as Olimpíadas.
Em 1896, em Atenas, é realizada pela primeira vez a versão moderna dos festi-
vais esportivos gregos, por iniciativa do francês Pierre de Fredy (1863-1937), o barão
de Coubertin. Nessa época, 285 atletas de 13 países disputaram provas de atletismo,
ciclismo, esgrima, ginástica, halterofilismo, luta livre, natação e tênis. Os vencedores fo-
ram premiados com medalha de ouro e ramo de oliveira.
A bandeira olímpica - cinco anéis entrelaçados, nas cores azul, vermelho, verde,
amarelo e preto sobre o fundo branco - foi concebida por Coubertin e estava represen-
tando os cinco continentes.
Em seguida, iniciarei uma discussão sobre a classificação dos países e conta-
gem das medalhas.
- Qual país obterá melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista
três medalhas de ouro e uma de prata ou aquele que consegue oito medalhas de bron-
ze?
Após uma discussão sobre as opiniões dos alunos acerca do questionamento
anterior, irei propor à turma, organizada em quatro grupos, a seguinte atividade:
Cada grupo deverá escolher um dos países, construir numa cartolina a tabela
correspondente ao país escolhido e preencher os campos das duas últimas colunas da
tabela “QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS”.
Para preencher a coluna “PONTUAÇÃO DE CADA MEDALHA”, basta atribuir
uma quantidade de pontos a cada tipo de medalha e para preencher a coluna “TOTAL”,
é preciso calcular a pontuação final do país correspondente.
QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS
PAÍS OURO PRATA BRONZETOTAL DE
MEDALHAS
PONTUAÇÃO DE
CADA MEDALHATOTAL
CHINA 10 5 2 17O P B
______ ____ ____ ____
QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS
PAÍS OURO PRATA BRONZETOTAL DE
MEDALHAS
PONTUAÇÃO DE
CADA MEDALHATOTAL
E.U.A 6 6 6 18O P B
________ ____ ____ ___
QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS
PAÍS OURO PRATA BRONZETOTAL DE
MEDALHAS
PONTUAÇÃO DE
CADA MEDALHATOTAL
AUSTRÁLIA 6 3 5 14O P B
_______ ____ ____ ___
QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS
PAÍS OURO PRATA BRONZETOTAL DE
MEDALHAS
PONTUAÇÃO DE
CADA MEDALHATOTAL
BRASIL 0 0 2 2O P B
________ ____ ____ ____
Cada grupo deverá fixar a sua tabela no quadro negro e expor suas soluções,
com os devidos cálculos. Em seguida, os alunos deverão estabelecer um ranking com
estes países. Caso os grupos tenham atribuídos valores diferentes para cada tipo de
medalha (ouro, prata e bronze) discutirei com eles sobre a impossibilidade de estabele-
cer um ranking com pesos diferentes para cada medalha, e então estabelecer uma
pontuação única para cada medalha e organizar um novo ranking dos países em ques-
tão.
Com o objetivo de formalizar a idéia de “premiação” utilizada em competições de
um modo geral, irei propor os seguintes questionamentos: Considerando os aspectos
abordados no estabelecimento do ranking no momento anterior, é possível um país
com nenhuma medalha de ouro ficar mais bem colocado do que um país com uma me-
dalha de ouro? Espero que os alunos considerem o aumento nas pontuações de me-
dalhas de prata e ouro para compensar a pontuação de medalhas de ouro, convém
lembrar que no ranking oficial das Olimpíadas isso não seria possível, pois o valor de
uma medalha de ouro não é superado por qualquer quantidade de medalhas de prata
ou de bronze.
Ainda com a turma organizada em grupos, entregarei a seguinte atividade:
- Calcule a pontuação atribuída à medalha de bronze que torna válido o total de
pontos apresentado na tabela QUAL É A PONTUAÇÃO DA MEDALHA DE BRONZE?
Que deverá ser registrada no quadro negro.
Observação: Cada grupo deverá escolher um dos países, ficando a critério dos mes-
mos a permanência com o país escolhido anteriormente.
QUAL É A PONTUAÇÃO DA MEDALHA DE BRONZE?
PAÍSOURO
(Pontuação = 2)
PRATA
(Pontuação = 1)
BRONZE
(Pontuação = ?)TOTAL DE PONTOS
BRASIL 10 5 4 45
E.U.A 5 2 4 32
CHINA 4 3 2 21
AUSTRÁLIA 4 2 1 15
Os grupos apresentarão as suas soluções, logo após, discutirei as estratégias
de cada grupo para determinar seus resultados, como também as dificuldades encon-
tradas durante a realização dessa atividade.
Nesse momento, denominarei a expressão algébrica referente aos cálculos efe-
tuados (Exemplo, no caso do Brasil, 10.2 + 5.1 + 4.x = 45) como equação do 1º grau e
o valor desconhecido como variável dessa equação, e ainda, que o seu grau é determi-
nado pelo expoente dessa variável.
Com o intuito de apresentar a unicidade do valor da variável numa equação do
1º grau, discutirei com os alunos a resposta para o seguinte questionamento: É possí-
vel encontrar mais de um valor para o peso da medalha de bronze que torne válida a
totalização de pontos apresentada na tabela? QUAL É A PONTUAÇÃO DA MEDALHA
DE BRONZE?
Outras atividades como a que foi proposta poderão ainda ser trabalhadas como,
por exemplo, problemas onde são dados os pesos das medalhas e que se deve deter-
minar a quantidade de certo tipo de medalha para que o país tenha uma determinada
pontuação.
AVALIAÇÃO
A participação ativa dos alunos será incentivada a todo o momento. O processo
de avaliação será no decorrer das aulas durante a realização das atividades, onde os
alunos serão avaliados nos seguintes aspectos: compromisso no desenvolvimento das
tarefas; envolvimento com a pesquisa; participação; comunicação; interação com o
outro; criatividade; a forma com que os alunos conseguem expor suas idéias; a
capacidade de diagnosticar e analisar as partes de uma equação e de reconhecer a
importância da aprendizagem dos conceitos algébricos.
REFERÊNCIASBERLINGHOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q.. A Matemática através dos tem-pos. 2 ª. ed. São Paulo: Blucher, 2010.
SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica – SEED. Curitiba, 2008.
GUELLI, Oscar. CONTANDO A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: Equação: O Idioma da Álgebra. 8ª. ed. São Paulo: Editora Ática, 1997.
GUELLI, Oscar. CONTANDO A HISTÓRIA DA MATEMATICA: Números com sinais: uma grande invenção. 3ª ed. São Paulo: Editora Ática, 2000.
A ORIGEM das Equações do 1º grau. Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582,>. Acesso em: 27 nov. 2012
HISTÓRIA das Olimpíadas. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/educacao-fisica/historia-das-olimpiadas.htm>. Acesso em: 17 nov. 2012.
PAPIRO Rhind. Disponível em: <http://www.fisica-interessante.com/image-files/egito-rhind1.jpg>. Acesso em: 10 out. 2012.
PROBLEMAS . Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25434>. Acesso em: 05 out. 2012.
PROBLEMA Histórico. Disponível em: <http://www.cursoraizes.com.br/resources/10575428032012Historia_da_Matematica_Aula_5.pdf>. Acesso em: 25 nov. 2012.
RESOLVENDO equações através de balança. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254>. Acesso em: 05 out. 2012.
SÍMBOLOS olímpicos. Disponível em: <http://www.skatecultura.com/2011/05/skate-nas-olimpiadas-do-rio.html>. Acesso em: 17 nov. 2012.
VIDEO: Diofante de Alexandria. Disponível em: <http://youtu.be/vVUBIi_A7nQ>. Acesso em: 10 nov. 2012.
VIDEO: O Homem que Calculava. Disponível em: <http://rafaelnink.com/blog/2009/06/30/video-o-homem-que-calculava/.>. Acesso em: 05 out. 2012.