sebenta da disciplina mmc, zuzana dimitrovová, dec/fct/unl ... · x e v y induzem tracção, ou...

Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 3. Tensão

1. Existência das forças internas

2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy

3. Vector das tensões no ponto P

3.1 Componentes cartesianas

3.2 Componentes intrínsecas

4. Tensor das tensões no ponto P

4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões

4.2 Componentes de tensão

4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

5. Equações de equilíbrio

5.1 Prova em 2D

6. Cálculo das componentes do vector das tensões

7. Carácter tensorial das tensões

7.1 Prova de lei de transformação em 2D

8. Notas sobre 3D

9. Tensões principais

10. Estados de tensão

11. Outras designações

12. Outras representações

12.1 Elipse de Lamé

12.2 Quadricas de Cauchy


1. Existência das forças internas

Tal como referido no capítulo anterior, a tensão é uma das repostas do meio contínuo (MC) ao

carregamento. No entanto, ao contrário da deformação (que será dada no próximo capítulo), a

tensão é uma grandeza física fictícia, porque não se visualiza. A existência das tensões justifica-

se através do conceito de equilíbrio. Veja a animação no slide 2.

Um corpo, ou a sua parte, tem que estar sempre em equilíbrio. Neste contexto considera-se

apenas o equilíbrio estático. Fazendo um corte e separando o corpo em duas partes, o

equilíbrio tem que ser mantido. Por este motivo, deverão existir umas forças distribuídas,

chamadas densidade das forças internas, sobre a área de corte que asseguram o equilíbrio de

cada parte cortada. Na parte A , actuam as forças distribuídas que asseguram o equilíbrio da

parte A , e representam assim o efeito da parte cortada B . Na parte B , actuam as forças

distribuídas que asseguram o equilíbrio da parte B e representam assim o efeito da parte

cortada A . Assim, em cada ponto de corte actua uma força distribuída por área, e este vector

é mutuamente oposto em relação à parte A ou B . Torna-se por isso necessário designar

claramente a parte do corpo considerada. Para este efeito usa-se normal exterior unitária. O

vector da normal é perpendicular à área de corte e aponta para o vazio. Cada corte tem duas

facetas, com normais exteriores opostas e vectores da força interna distribuída opostos.

2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy

Originalmente, a definição do vector das tensões foi introduzida pelos cientistas Euler e

Cauchy, que usavam um corte de uma parte interna do corpo e não o corte como visualizado

na figura acima. Veja o slide 3.

3. Vector das tensões no ponto P

Os vectores das forças internas distribuídas, ou seja a densidade das forças internas, usa-se

para definir o vector das tensões. A cada ponto P que pertence ao corte, pode-se associar da

maneira única a normal exterior n e ao conjunto ,P n um único vector de tensão n

Pt

definido pelo


0lim

n

PA

Ft

A

onde F é a resultante da densidade das forças internas actuante na área de corte

infinitesimal A . Visto A ser infinitesimal, não é necessário considerar o momento

resultante, mas apenas a força resultante.

Para atribuir sentido a esta definição, é preciso provar que o valor de n

Pt não depende da

maneira como a área de corte tende para o zero, e é indiferente da superfície de corte, desde

que a normal no ponto P seja igual, ou seja, o resultado da operação limite é

inequivocamente definido. O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma

dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua. O sentido do vector

das tensões relacionado às duas facetas que pertencem ao mesmo corte é oposto.

A unidade das componentes do vector de tensão é

2

NPa

m

Visto que esta unidade é muito pequena, usam-se frequentemente

310 Pa=kPa , 610 Pa=MPa , 910 Pa=GPa , 2

kNkPa

m ,

2

NMPa

mm

3.1 Componentes cartesianas

As componentes cartesianas do vector das tensões, correspondem às projecções aos eixos

cartesianos. Por esta razão, há 2 componentes em 2D, e 3 em 3D. De acordo com a figura

acima, as componentes do mesmo vector da tensão actuante nas duas facetas que pertencem

ao mesmo corte, têm o sinal oposto.


3.2 Componentes intrínsecas

As componentes intrínsecas não dependem do referencial, porque são definidas de seguinte

maneira:

A componente normal tem a direcção da normal exterior à faceta e a componente tangencial

(ou de corte) está contida na área de corte (da faceta). Por esta razão, existem sempre apenas

duas componentes intrínsecas, quer em duas, quer em três dimensões. O sinal da componente

normal está convencionado como:

Positivo, quando o seu sentido coincide com o sentido da normal exterior, ou seja quando a

sua actuação provoca tracção

Negativo, quando o seu sentido é oposto ao sentido da normal exterior, ou seja quando a sua

actuação provoca compressão

Pode-se facilmente concluir que o sinal da componente normal é igual nas duas facetas. No

entanto, não se pode atribuir sinal à componente tangencial sem alguma ligação ao

referencial. Em 2D é possível atribuir o sinal quando o respectivo referencial tem eixos

alinhados com a normal e a tangencial à faceta. Este sinal segue as regras das facetas positivas

e negativas, que será explicado mais tarde. Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal

da componente tangencial seria também igual. Este facto está ligado com a construção da

circunferência de Mohr. A componente tangencial nas facetas que pertencem ao mesmo corte

roda no mesmo sentido e por isso tem o mesmo sinal.

Nota: Os pontos da circunferência de Mohr correspondem às componentes intrínsecas

actuantes nas todas as possíveis facetas que passam pelo mesmo ponto. As componentes

actuantes nas facetas que pertencem ao mesmo corte formam um único ponto da

circunferência.

4. Tensor das tensões no ponto P

4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões

Como explicado anteriormente, mantendo o mesmo ponto P e alterando o corte, ou seja

alterando a normal, as componentes do vector de tensão alteram-se. Isso comprova que a

tensão não é um vector. É preciso determinar quantos vectores de tensão é necessário saber

para se poder dizer que o estado das tensões neste ponto é plenamente definido, ou seja


para se poderem calcular as componentes relacionadas a qualquer faceta que passe pelo

mesmo ponto P .

É possível provar que é necessário saber o vector das tensões relacionado a 3 facetas

diferentes em 3D (2 facetas diferentes em 2D), que também passam pelo ponto P . Este facto

já foi mencionado no primeiro capítulo, onde se explicou que um tensor de segunda ordem em

3D (3D) é definido pelos 3 (2) vectores actuantes em 3 (2) planos distintos não paralelos. Prova

em 2D está representada em animação no slide 8. Por razões de simplicidade, assume-se que

as facetas em que se conhecem as componentes do vector das tensões são mutuamente

perpendiculares. Por isso, é possível escolher um referencial cujos eixos são alinhados com as

facetas. Nas facetas podem colocar-se as componentes cartesianas do vector das tensões.

Recorda-se que em cada prova é preciso introduzir as grandezas físicas nos seus sentidos

positivos. A prova mostra, que usando as componentes conhecidas é possível calcular as

componentes cartesianas na faceta inclinada.

cos sinn x y

x x xt t t

cos sinn x y

y y yt t t

ou seja

n x y

x x x x

n x yyy y y

t t t n

nt t t

Usando as componentes intrínsecas, verifica-se que neste caso a actuação delas é oposto à

actuação das componentes cartesianas (veja a definição das facetas positivas e negativas e a

actuação das componentes do tensor de segunda ordem no Capítulo 1). Por isso:

n x y

x xn t

n x yyy t n

t nt t

nt t t

4.2 Componentes de tensão

Foi comprovado, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas é suficiente para

determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja, é suficiente para definir o estado

das tensões no ponto P . O estado das tensões representa-se por isso unicamente pelas

componentes de tensor de segunda ordem. As componentes do tensor de facto correspondem

às componentes intrínsecas nas facetas definidas pelo referencial. Na representação

geométrica, cada faceta representa-se nas suas duas formas e assim recorta-se um rectângulo

elementar em 2D (um paralelepípedo em 3D) do meio contínuo. Visto que o sinal da

componente tangencial não está definido, convenciona-se o seguinte:

Faceta positiva: define-se como faceta em que o sentido da normal coincide com o sentido do

eixo coordenado.


Faceta negativa: define-se como faceta em que o sentido da normal é oposto ao sentido do

eixo coordenado.

O sentido positivo das componentes do tensor de tensão nas facetas positivas, coincide com

os eixos coordenados, e nas facetas negativas é oposto aos eixos coordenados. Facilmente

confirma-se que estas regras estão em concordância com a regra de sinal das componentes

normais intrínsecas e atribui unicamente o sinal às componentes tangenciais.

A figura acima, representa a situação em 2D por razões de simplicidade. Analogamente,

representam-se as componentes em 3D o que se vai mostrar no texto a seguir. O índice da

componente normal, coincide com a designação do eixo paralelo com a normal à faceta.

Verifica-se facilmente que as componentes normais, x e y induzem tracção, ou seja,

apontam para fora do rectângulo elementar (da vizinhança rectangular) do ponto P .

O índice da componente tangencial está composto por duas letras, a primeira coincide com a

designação da normal, a segunda com a designação da direcção. Verifica-se que as

componentes tangenciais positivas apontam para quadrantes positivos, ou seja, para I. e III.

quadrante.

Representação das componentes na forma matricial: x xy

yx y

Verifica-se que as componentes na faceta de x correspondem à primeira linha da matriz de

componentes.

Em resumo, pode-se ver que no rectângulo elementar, as componentes de tensão e as

componentes de vector das tensões, têm as mesmas direcções. O que faz a diferença é o

sentido positivo. Também chama-se à atenção para a designação diferente, ou seja t para

vector das tensões e para tensor das tensões, mais ainda, para componentes normal

do tensor das tensões, e para componente tangencial.

Usando a matriz de componente definida acima, pode-se concluir que as componentes do

vector das tensões calculam-se


n

x x yx x

nxy y yy

t n

nt

ou seja

Tn

t n

No entanto, vai se provar que o tensor de tensão é simétrico, e assim a operação transposta

vai ser possível omitir.

O estado das tensões num ponto deveria ser correctamente dito como “numa vizinhança

elementar em torno deste ponto”. Convenciona-se uma vizinhança rectangular (na forma de

um paralelepípedo) e as componentes do tensor representam as componentes intrínsecas

actuantes nas arestas (faces) desta vizinhança, quando representada em 2D (3D).

4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

Esta prova, representa equilíbrio dos binários na vizinhança elementar rectangular em torno

do ponto P , mergulhada no meio contínuo. Usando a figura abaixo

escreve-se

0xy yxy x x y

o que implica a igualdade das componentes tangenciais. É preciso salientar que o equilíbrio

tem que envolver as componentes de forças, e não de tensão. Visto que as componentes de

tensão representam forças distribuídas, tem que se estabelecer uma força resultante. Devido

ao facto que os lados do rectângulo são infinitesimais, assume-se a distribuição uniforme e por

isso, por exemplo, a força resultante vertical na faceta positiva de x é dada por xy y ,

etc. O binário correspondente às forças verticais nas facetas de x é xy y x e roda no

sentido anti-horário. x representa o braço destas forças. Salienta-se, que as forças de

volume e as variações de tensão entre facetas não foram consideradas, porque contribuem

com o termo de ordem maior, ou seja desprezável.


5. Equações de equilíbrio

5.1 Prova em 2D

Para simplificar, as provas serão representadas em 2D. As componentes de tensão têm que

verificar as equações de equilíbrio em todos os pontos do meio contínuo. Assim, existem dois

tipos destas equações, um que tem que ser verificado nos pontos internos, e outro para os

pontos de superfície. No interior as componentes de tensão têm que equilibrar o

carregamento na forma de forças de volume, na superfície têm que equilibrar as forças

externas de carregamento de superfície.

Interior.

Esta prova representa-se na vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P ,

mergulhada no meio contínuo. Usando a figura abaixo

Escreve-se para componentes de forças horizontais

0xyx

x x xy xy xy x y x y x f x yx y

ou seja, após simplificação

0xyx

xfx y

e analogamente para as forças verticais

0xy y

yfx y

Na forma matricial escreve-se


/ 0

/ 0

x xy x

xy y y

fx

fy

Salienta-se que já foi introduzida a simetria do tensor das tensões. Os termos da figura

anterior envolvem as componentes de tensão com um acréscimo. Para a sua determinação

correcta explica-se o seguinte: o acréscimo da componente tem que se representar no sentido

positivo dos eixos cartesianos. Por isso, as componentes nas facetas negativas não têm

acréscimo, mas as componentes nas facetas positivas sim. O acréscimo corresponde ao

primeiro termo de expansão de Taylor, por isso quando o crescimento da componente

efectua-se na direcção x , a derivada tem que ser também de x .

Nota-se que duas equações não são suficientes para resolver 3 componentes de tensão, o

problema é hiperestéticos, e é preciso definir outras equações para resolução completa do

problema.

Como foi dito anteriormente, ainda são exigidas as equações de equilíbrio nos pontos de

superfície. Estas equações têm o significado matemático de condições de fronteira, visto que

no interior são definidas equações diferenciais. O grau de derivadas é 1 e por isso as equações

de equilíbrio na superfície envolvem as componentes de tensão sem derivadas.

Superfície

Na superfície recorta-se uma vizinhança triangular. A parte inclinada corresponde à superfície,

ou seja, onde está aplicada a carga externa. A carga pode ser introduzida via componentes

cartesianas ou intrínsecas, na figura abaixo usaram-se as componentes cartesianas. Nas

facetas recortadas no interior representam-se as componentes de tensão nos seus sentidos

positivos.

Equilíbrio na direcção horizontal dita:

0, 0x xy xy x p s

Nota-se que não entraram as forças de volume e as variações de componentes. Estas

contribuições representam os termos de ordem maior, e por isso desprezável. Regra geral,

quando se formula uma equação válida usando os termos de ordem zero, os termos de ordem

maior são desprezáveis, tal como aqui. Quando os termos de ordem zero cancelam-se, é


preciso usar os termos de ordem 1. A diferença entre termos de ordem 1 e zero, é que os

termos de ordem 1 contêm na sua definição o termo absoluto e estão multiplicados pelo

termo infinitesimal com expoente 1. Este caso foi representado nas equações de equilíbrio nos

pontos internos.

Introduzindo na equação acima

sinx s , cosy s

obtém-se

0,x x x xy yp n n

e analogamente

0,y xy x y yp n n

Na forma matricial

0p n

6. Cálculo das componentes do vector das tensões

Na explicação anterior definiu-se o vector das tensões, no entanto a regra de cálculo a partir

de componentes de tensão ainda não foi introduzida. Nota-se que a vizinhança triangular

usada nas condições de fronteira pode ser usada também neste caso. A única diferença será

que a face inclinada será recortada no interior e não vai corresponder à superfície. Neste caso,

na face inclinada não actuam as componentes de carga, mas sim, as componentes do vector

das tensões. Repetindo a dedução anterior, escreve-se que as componentes cartesianas do

vector das tenções calculam-se como:

t n

Esta fórmula permite escrever a condição de fronteira na forma:

0t p

Depois o cálculo das componentes intrínsecas efectua-se de acordo com a definição, ou seja a

componente normal calcula-se como projecção à normal


cosT

n n n

nt t n t n

E a componente tangencial com a componente contida na faceta, ou seja

22

n n n

t nt t t

Tal como dito anteriormente, a componente normal será positiva quando o sentido coincide

com o sentido da normal exterior e a componente tangencial não tem sinal atribuído, e por

isso calcula-se sempre como positiva. Em consequência, o valor numérico não permite

determinar o sentido de actuação real. Nota-se que em 3D nem a direcção da componente

tangencial resulta da fórmula dada acima. A componente normal designa-se como tensão na

direcção n . Juntando as duas fórmulas, pode-se concluir que

Tn

nt n n

Em 2D pode-se ainda introduzir um outro vector s contido na faceta

e com sentido arbitrário. Depois

T Tn

tt s n n s

Define o valor da componente tangencial com sinal. Este sinal serve para representar o sentido

real da componente, e pode ser determinado da seguinte maneira: valor positivo indica

sentido igual ao vector s e o valor negativo, o sentido oposto ao vector s .

7. Carácter tensorial das tensões

7.1 A prova da lei de transformação em 2D

A prova que as componentes de tensão obedecem lei de transformação baseia-se novamente

no equilíbrio. Por razões de simplicidade, mostra-se a prova em D, usando uma vizinhança

triangular mergulhada no meio contínuo. Neste caso, os termos absolutos definem uma

equação válida e por isso não é preciso introduzir as forças de volume e a variação de

componentes.


Escrevendo o equilíbrio na direcção de eixo x , obtêm-se:

cos sin sin cos 0x xy y xy xy x s

ou seja:

2 2cos sin 2 sin cosx x y xy

Na direcção x é válido:

2 2sin cos cos sinxy x y xy

E analogamente pode-se provar que

2 2sin cos 2 sin cosy x y xy

Mas para isso seria necessário efectuar outra rotação ou cortar outra faceta, porque na figura

acima, esta componente não se visualiza.

As formulas derivadas correspondem às formulas de rotação o que comprova que

T

R R

ou seja caracter tensorial.

8. Notas sobre 3D

Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas),

visualiza-se na figura abaixo.


As equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior do meio contínuo, escrevem-se na seguinte

forma:

0xyx xz

xfx y z

0xy y yz

yfx y z

0yzxz z

zfx y z

A representação das componentes na forma matricial é:

x xy xz

y yz

zsim

9. Tensões principais

As tensões principais calculam-se conforme Capítulo 1.

10. Estados de tensão

Assume-se a distribuição das componentes do tensor de tensão uniforme. Quando se verifica,

que apenas algumas das componentes são diferences de zero, o estado de tensão designa-se

de uma forma especial. Por exemplo, o primeiro caso corresponde à tracção pura, ou seja,


existe apenas uma componente horizontal de tracção e por isso de tensão principal máxima (a

outra componente é nula). O caso ao lado, representa o estado de compressão pura, ou seja,

existe apenas uma componente horizontal de compressão e por isso de tensão principal

mínima (a outra componente é nula). Último caso representa pressão hidrostática, caso que

tem representação em componentes

0

0

p

p

em qualquer referencial.

Na figura acima visualiza-se o estado de corte puro. Nota-se que esta designação, como as

outras anteriores, depende do referencial. Neste caso, rodando o referencial pelo 45º, o

estado de tensão passa a ter uma componente de tracção e outra de compressão no valor da

tensão de corte. Este facto usa-se na execução de alguns ensaios. É mais fácil introduzir no

provete tracção e compressão, do que a componente tangencial.

O estado de corte puro visualiza-se na circunferência de Mohr, em que o centro da

circunferência está colocado em zero.

max

max

0

0

m

m

Isostáticas

Isostáticas são curvas que em cada ponto são tangentes às direcções principais. No caso da

tracção ou compressão pura, formam assim uma rede de rectas horizontais e verticais, e no

caso tangencial puro, uma rede de rectas inclinadas a 45º (slide 20).

11. Outras designações

Tensor esférico e tensor desviador de tensão

D

m I

O tensor esférico, e o tensor desviador de tensão, correspondem à separação na parte

volúmica e desviatórica do tensor de tensão.

Tensão octaédrica


Tensão octaédrica, corresponde às componentes intrínsecas do vector de tensão no plano

octaédrico. O plano octaédrico correspondente ao primeiro octante, tem a normal exterior na

forma 1

1,1,13

, outros planos definem-se da forma semelhante. As componentes da tensão

octaédrica são invariantes.

1 / 3oc mI , 2

1 2 2

2 23

3 3

D

oc I I I

Tensão von Mises

23vM I

Tensão von Mises define-se de acordo com a fórmula acima, e corresponde também a um

invariante. O seu valor é sempre positivo e não depende do estado hidrostático. Forma um

valor essencial na definição do limite de cedência no comportamento dos materiais

isotrópicos, principalmente metais. Outras formulações são:

Em 2D 2 2 2 2

1 1 2 2 3vM m R

Em 3D 2 2 2

1 2 1 3 2 3

1

2vM

12. Outras representações

Matéria não obrigatória.

sebenta da disciplina mmc, zuzana dimitrovová, dec/fct/unl ... · x e v y induzem tracção, ou...

Documents