Revolues conceituais e histria da matemtica:dois estudos no crescimento do conhecimento (1984) *

JOSEPH DAUBEN

Na maioria das cincias h uma gerao de lgrimas para baixo que uma outra construiu, e o que uma criou outra desfaz. Cada gerao sozinha constri um novo piso para a antiga estrutura.

Hermann Hankel

Je le vois, je ne le Mais crois pas.

Georg Cantor

Transformao, atravs da apresentao de cada conceito anterior, a teoria, lei ouprincipie como a ocasio de uma inovao, focaliza a ateno sobre a causa, opossvel razo pela qual apenas um dos muitos cientistas a quem a idia cientficaera conhecido produzido a transformao em questo.

I. Bernard Cohen

Tem sido frequentemente argumentado que as revolues no ocorrem na histria damatemtica e que, ao contrrio das outras cincias, matemtica acumulaconhecimento positivo sem revolucionar ou rejeitar o seu passado. Mas hcertos momentos crticos, mesmo em matemtica, que sugerem que as revoluesacontecem, que as novas encomendas so trazidas e, eventualmente, servir para suplantar uma matemtica mais antia. Embora existam muitos exemplos importantes de tais inovaes na histria da matemtica, dois so particularmente instrutivo: a descoberta pelos gregos antigos de magnitudes incomensurveis, e a criao da teoria dos conjuntos transfinitos por Georg Cantor, no sculo XIX.

Ambos os exemplos so to diferentes em carter como eles so separados no tempo emas cada um fornece um exemplo claro de uma grande transformao no pensamento da matemtica. Descoberta dos gregos de magnitudes incomensurveis trouxe mudanas que no foram menos significativa do que a transformao revolucionria matemtica experimentou no sculo XX como resultado de Georg Cantor.

Teoria dos conjuntos de Cantor. Tomando cada um destes como marcao de transio importante dos perodos em matemtica, este ensaio uma tentativa de investigar o carter de tais transformaes.

Recentemente, tem havido uma considervel interesse no crescimento e natureza da matemtica e sua relao com o desenvolvimento dos saberes em geral.

No Outono de 1974, na reunio cinquentenrio da Histria da CinciaSociedade, uma sesso inteira foi dedicada historiografia da matemtica eao relacionamento entre crescimento do conhecimento e padres foram descritos em Thomas S. Kuhn 's livro A estrutura da revoluo cientfica (1962, segunda edio, ampliada, 1970a). Naturalmente, a questo da revolues se levantou, e com ele as transformaes ou revolues ocorrem. Quando convidado a considerar o exemplo da teoria Cantoriana, aproveitei a oportunidade para sugerir que as revolues, de fato, ocorrer em matemtica, embora o exemplo a teoria dos conjuntos transfinitos parecia implicar que Trabalho revolucionrio de Cantor no se encaixava modelo do quadro do Professor Kuhn de anomalia-crise-revoluo. Tampouco h, talvez, qualquer razo para esperar que uma disciplina puramente logico-deductive como a matemtica deve sofrer o mesmo tipo de transformaes, revolues ou como as cincias naturais.

Interesse semelhante na natureza do conhecimento matemtico e seu crescimento foievidenciado no Workshop sobre a Evoluo da Matemtica Moderna realizada noa Academia Americana ou Artes e Cincias, em Boston, 07-09 agosto de 1974. Detodos os participantes no workshop, ningum questionou o fenmeno da revolues na matemtica de forma to direta como o fez o Professor Michael Crowe doUniversidade de Notre Dame. Em um breve artigo preparado para o workshop eposteriormente publicado em Historia Mathematica, ele concluiu enfaticamentecomo sua dcima 'lei' que nunca "revolues ocorrem em matemtica. Minha inteno aqui, no entanto, argumentar que as revolues podem ocorrer nahistria da matemtica, e que a descoberta grega de medidas de incomensurveismagnitudes e criao de George Cantor da teoria dos conjuntos transfinitos soexemplos especialmente apropriado de tais transformaes revolucionrias.

4.1. Revolues e histria da matemtica

Se possvel discernir revolues em qualquer disciplina depende do que sequer dizer com o termo "revoluo". Em insistir que as revolues nunca ocorrem emMatemtica, Professor Crowe explica que a razo para afirmar isso como "lei"depende de sua prpria definio de revolues. Como ele diz, "negao de sua existncia baseia-se numa definio um tanto restrito de "revoluo", que emmeu ponto de vista implica a especificao de que uma entidade previamente aceita dentro da matemtica propriamente dito para ser rejeitado "(Crowe 1975, p.470). Dito isto, no entanto, ele est disposto a admitir que a geometria no-euclidiana, por exemplo, "fez levar a uma mudana revolucionria nas vistas quanto natureza da matemtica, mas no dentro da prpria matemtica (Crowe 1975, p. 470).

Certamente pode-se questionar a definio Professor Crowe adota para"Revoluo". desnecessariamente restritiva, e, no caso da matemtica quedefine revolues de tal forma que eles so inerentemente impossvel dentro do seuquadro conceitual. No entanto, momentos revolucionrios foram identificados, no s por historiadores, mas igualmente por matemticos Em vez dedizer que o sentido da revoluo, no h razo para no permitir sua possibilidade e sim em legitimamente descrever certas mudanas penetrar na evoluo damatemtica. No entanto, antes das mudanas ainda a afirmao de que as revoluesnunca ocorrem na histria da matemtica, importante considerar que o significado da revoluo como um conceito histrico. Aqui temos a sorte em ter um estudo recente do professor Cohen para nos guiar. um resumo muito sucinto de resultados, devido em grande parte a pesquisa do professor Cohen sobre objecto de revolues.

O conceito de revoluo fez sua primeira apario com referncia aoeventos cientficos e polticos no sculo XVIII, embora com confuso e ambigidade quanto ao significado do termo, de tal contextos. Em geral, a palavra foi considerado no sculo XVIII como indicando uma quebra de continuidade, uma mudana de grande magnitude, apesar de a revoluo velho sentido astronmico como um tambm um fenmeno cclico que persistiu. Mas, na Revoluo Francesa, o novo significado ganhou pretgio e, posteriormente revoluo comumente pode implicar uma radical mudana ou novos modos tradicionais de ser, ou, pode ser aceitvel um pensamento. como uma srie de descontinuidades de tal magnitude que constitui quebra definitiva. Aps tais episdios, pode-se dizer que no h retorno para o antigo que foi substitudo.

Bernard de FonteneUe pode muito bem ter sido o primeiro autor a aplicar a palavra"Revoluo" para a histria da mathernatica, ele refere-se ao pensamento do clculo infinitesimal de Newton e Leibniz. "O que Fontenelle foi percebida uma mudana to grande de uma ordem como ter alterado completamente o estado da matemtica. Na verdade, foi to Fontene de identificar a data em que esta revoluo se reuniu tanta fora que a sua era inconfundvel. Em seu elogio do matemtico Rolle, publicadona Histoire de enguias eu Acadmie RoyaIe Cincias de 1719, refere Fontenellepara a obra do Marqus de l'Hpital, sua Analisar infinimentsimos:No livro do Marqus de l'Hpital tinha aparecido, e quase todos osmatemticos comearam a virar para o lado de A nova geometria de A infinito, at ento pouco conhecida. A universalidade superando os seus mtodos, a brevidade elegante de suas manifestaes, as solues finesses e objetividade e a sua singularnovidade sem precedentes, que embalaram o esprito e criou, no mundo da geometria, uma revoluo inconfundvel.

evidente que esta revoluo foi no s qualitativa, como rcvolucionria. Foi umrevoluo que Fontenelle percebida em termos de carter e magnitude,sem invocar qualquer deslocamento princpio de qualquer rejeio do anteriormatemtica antes de a natureza revolucionria da nova geometria doinfinito poderia ser proclamado. Para Fontenelle, geometria de Euclides tinha sidoultrapassou de uma forma radical pela geometria um novo no clculo eeste foi sem dvida um marco revolucionrio.

Tradicionalmente, ento, as revolues tm sido os episdios da histria emque a mais nova autoridade, o sistema aceita tem sido prejudicada e melhores autoridades aparecem em seu lugar. Tais revolues representam violaesem continuidade, e so de tal grau, como Fontenelle diz que eles soinconfundvel, mesmo para o observador casual. Fontenelle nos ajudou, de fato, porenfatizando a descoberta do clculo como um evento como esse, e ele mesmoleva o trabalho de I'Hpital como o marcador de identificao, tanto quanto de Newton em Principia de 1687 marcou a revoluo cientfica em fsica ou o GloriosoRevoluo do ano seguinte marcada revoluo poltica da Inglaterra a partir dea monarquia Stuart. A monarquia, como sabemos, persistiu, mas sob condies muitotermos diferentes.

Em grande parte o mesmo sentido, as revolues tm ocorrido em matemtica,No entanto, devido natureza especial da matemtica, no sempre ocaso em que uma velha ordem refutada ou virado para fora. Embora possa persistir, a velha ordem, no entanto, f-lo em termos diferentes, em radicalmente alterados ouexpandiu contextos. Alm disso, muitas vezes claro que as novas idias nuncaforam permitidos dentro de uma interpretao estritamente interpretada do velhomatemtica, mesmo que a nova matemtica acha possvel acomodar as descobertas antigas de uma forma compatvel ou consistente. Muitas vezes, muitos dosteoremas e descobertas da matemtica LHE mais velhos so relegados a umposio significativamente menor, como resultado de uma revoluo conceitual que traz toda a teoria inteiramente nova ou disciplina matemtica para a ribalta. Esta foicertamente, como Fontenelle considerado o clculo. Da mesma forma, tambm possvel interpretar a descoberta de magnitudes incomensurveis na Antiguidade como a ocasio para a primeira transformao grande em matemtica, ou seja, a suatransforrnation de uma matemtica de nmeros discretos e suas relaes a umnova teoria de propores, tal como apresentado no Livro V dos Elementos de Euclides.

4.2. A DESCOBERTA Pitgoras de grandezas incomensurveis

Aristteles relata a doutrina pitagrica que todas as coisas eram nmeros, esupe que esta viso, sem dvida, teve origem em vrios tipos de empricaobservao. Por exemplo, em termos de teoria musical pitagrica o estudo daharmonia havia revelado as constncias marcante matemtica da proporcionalidade.Quando as relaes de comprimentos de corda ou colunas flauta foram comparados, oharmnicos produzidos por outros comprimentos, mas proporcionalmente similar, foram os mesmos. Os pitagricos tambm sabia que qualquer tringulo com lados de 3, 4, 5, qualquer unidade possam ser tomadas, era um tringulo riqht. Isso tambm apoiaram o seu e crena de que os rcios de nmeros inteiros reflete certas invariante e universal e em propriedades. Alm disso, a astronomia pitagrica ligados terrestres, tais harmonias com os movimentos dos planetas, onde a harmonia numrica, ouregularidade cclica do dirio, as revolues mensal ou anual, foi to marcante comoas harmonias musicais os planetas foram acreditados para criar como eles se mudaram em seus ciclos eternos. Ali essas invariantes deu substncia de Pitgorasdoutrina de que os nmeros-os nmeros e suas relaes who1e foram responsveispara a estrutura oculta da natureza ali, como comentrios de Aristteles:

Os pitagricos como so chamados, iniciaram a pesquisa do 10 em matemtica e terfeito grandes progressos na mesma, foram levados por esses estudos para assumir que o utilizado em principios da matemtica se aplica a coisas ali existentes ... eles eram mais do que nunca dispostos a dizer que os elementos das coisas que ali eram existentes encontram-se em nmeros.

Mas quais foram esses nmeros? Para os novos pitagricos, Aristteles indicaque eram, aparentemente, algo como fsica "mnadas", Na Metafsica, por exemplo, uma passagem oferece a elaborao seguinte redaco: [A Pitagricos] compor todo o cu de nurnbers, no de nmeros no sentido puramente aritmtica, embora, mas assumindo que mnadas tm tamanho.

Este tipo de trabalho encontrou sua realizao no pitagricos "busca aassociar nmeros com coisas ali, e para determinar as propriedades internas, e as relaes entre nmeros em si. Assim nmeros e pedras foram necessrios para delinear a figura de um homem ou um cavalo foi tomada pelo PitgorasEurytus como o "nmero" para o homem ou a cavalo. "A essncia de tais coisas eraexpressa por um nmero particular. Alm disso, alguns pitagricos procuraramestabelecer o nmero de justia, ou para o casamento. Outros distinguidosnmeros que eram perfeitos (o Tetractys, por exemplo, 1 + 2 + 3 + 4 = 10),amigvel, ou amigvel. Figurate nmeros, incluindo pentagonal e slidonmeros, foram temas a1so de grande interesse. contra esse pano de fundo deNumerologia pitagrica, em que o yo de todas as coisas foi pensado para serprincipie uma invariante de universo, expresso em termos de nmeros inteirose suas relaes, que a descoberta de magnitudes incomensurveis deve servisualizada. Os pitagricos "arithmology sem dvida, teria fornecidoincentivo suficiente para sua busca por os nmeros escondidos, o prevalecentelogos que regem o misticismo r mais importante objetos, por exemplo, opentgono ar a seo urea. Tambm possvel que a descoberta foi feitaem contextos menos rarefeito, atravs do estudo dos mais simples de tringulos retngulos, o tringulo issceles.

Exatamente quando magnitudes incomensurveis foram primeiramente descobertos no particularmente relevante para o argumento aqui. Da mesma forma, os detalhes da descoberta inicial tambm so de importncia secundria, e podemos dispensaro dilema de se a descoberta foi feita pela primeira vez no contexto de queAristteles relata que, ao estudar a relao entre o comprimento da borda de um quadrado com sua diagonal, ar se, como tem sido defendido por K. von Fritz (1945) e por S.Heller (1958), que Hippasus incornmcnsurability encontrados em considerar aconstruo do pentagon.l regular "O que nos preocupa a descoberta eseus efeitos posteriores. Filosoficamente, teria certamente representou umcrise para os pitagricos.! "Tendo sido tentados pela harmonia sedutorade generalizao, alguns pitagricos tinham levado longe demais a sua universalprincpio de que todas as coisas eram nmeros. A generalizao completa foiinadmissvel, e essa percepo foi um grande golpe para o pensamento pitagrico, seno para a matemtica grega. ln fato, um esclio de Livro X dos Elementos de Euclides reflete a gravidade da descoberta de magnitudes incommensurab1e nabem conhecida fbula do naufrgio e o afogamento de Hippasus:

sabido que o homem que pela primeira vez a teoria do pblico de irracionais pereceram em um naufrgio, a fim de que o inefvel e inimaginveldeve sempre permanecer velado ... e assim o homem culpado, quefortuitamente e tocou em estas coisas a esse aspecto, foi levado para o lugar onde comeou e h sempre batido pelas ondas.

O que merece ateno aqui so palavras "indizvel" e inimaginvel. difcil, seno impossvel, para ns a apreciar o quo difcil deve ter sido conceber algo que no poderia determinar ou nome-do inconcebvel-e isso foi exatamente o me dado diagonal:Isso reflete o duplo sentido logos deA palavra como palavra, como o dizvel ounomevel, e agora o irracional, como o indizvel. Neste contexto, fcil de entender o comentrio: tinha medo desses homens da teoria dos irracionais, pois foi, literalmente, a descoberta do "impensvel".

Em ltima anlise, no entanto, os gregos consideravam a descoberta no como uma crise, mas como um grande avano. Quer ar no descoberta de magnitudes incomensurveis precipitou uma crise na matemtica grega, e, em caso afirmativo, se afetado apenas os fundamentos da matemtica e no a prpria matemtica, aquesto importante diz respeito resposta matemticos foram forados a fazeruma vez que a existncia de magnitudes incomensurveis haviam sido divulgados eera uma questo de conhecimento geral.

Qual o efeito final que esta descoberta tem sobre o contedo e natureza daMatemtica grega? Acima de tudo, as teorias de Teeteto e Eudoxo no incio do sculo IV aC (390-350 aC) serviu para inverter a nfase da matemtica antes. Considere, por exemplo, a declarao de Arquitas (um incio de Pitgoras e professor de Eudoxo), quefoi enftico que a aritmtica era superior a geometria para o fornecimento deprovas satisfatrias. Aps a descoberta de grandezas incomensurveis,tal declarao seria praticamente impossvel de justificar o fato, o opostoestava mais perto da verdade, como o desenvolvimento de geomtrica grega.

Basicamente, a transformao de uma teoria torta sim de mensurvel propores (onde a geometria e aritmtica pode ser considerado como coextensivo)a uma teoria capaz de incorporar o magnitudes incomensurveis (para o qualaritmtica era inadequada) gira em torno das contribuies de Thcaetetus eEudoxo. No entanto, sabemos fram Teeteto de Plato de que um grande passopara a melhor compreenso do irracional. Theodorus, que estabeleceu a incomensurabilidade de certos magnitudes de at (mas no incluindo) por meio de construes geomtricas. Apesar de conquistas Theodorus eram limitados devido sua falta de uma teoria aritmtica suficientemente desenvolvido, alguns historiadores que ele comeou a desenvolver uma geometria mtrica capaz de lidar com a aritmticapropriedades em muito a forma de proposies no Livro II dos Elementos de Euclides.

Aps o seu professor Teodoro, Teeteto se interessou pelopropriedades gerais de incomensurveis e produziu a classificao queto impressionado Scrates no Teeteto, de Plato, 148b-147C). Alm disso,Teeteto percebeu que, para tratar com sucesso incomensurveis, geometriateve que incorporar mais dos resultados da teoria aritmtica, e assim ele procuroutraduzir os resultados necessrios algbrica em termos geomtricos. Aqui ele se concentrou em a aritmtica propriedades dos nmeros primos relativos, usando o processo de determinao maiores fatores comuns por meio de sucessiva subtrao Este Teeteto ativado para reformular a teoria da proporo de incluir certas magnitudes incomensurveis que ele classificou como o medial, binomial, e estas foram suficientes para os resultados em que ele estava interessado. Teeteto mas aparentemente no foi inspirada para estudar nova teoria de proporo algo em si, a morte de sua prematura certamente excluda.

Eudoxo, no entanto, percebeu que o mtodos tinha trazido parageometria da aritmtica para a finalidade de estudar incomensurveisrealmente pode fornecer a base para uma teoria ainda mais abrangente deproporo. Ao estudar a construo do pentgono regular,dodecaedro e icosaedro, Eudoxo parece ter percebido que estes, comosegmentos dividida em razo mdia e extrema, envolvidos em incomensurveismagnitudes que no foram includos nas trs classes tratadas por Theactetus(Knorr 1975, pp 286-8). Por causa de seu interesse em um formal, maisteoria abrangente de propores, ele transformou os mtodos de Teeteto concentrando-se na teoria da prpria proporo e produzir em grande medida, os teoremas claborated no Livro V de Euclides Elementos, onde o conceito de mltiplos iguais, foi possvel desenvolver umteoria da proporo que era geralmente aplicveis a incomensurveis. Ovantagens da teoria LHE Eudoxan novos eram considerveis, e comparaocom a abordagem anthyphairetic Theactetus fez c1ear as diferenasAristteles, na verdade, contrastcd LHE dois em vrias ocasies, e assinalou formulao de Eudoxo y.

Tendo produzido uma teoria abrangente de proporo, no entanto,Eudoxo e seus seguidores, talvez o principal deles Hermotimus deColofo, tambm tiveram interesse em proporcionar um desenvolvimento systemalic da nova teoria que, eventualmente, desde a estrutura bsica para o livro de Euclides Vdo Elentents, um livro por scholiast tentativcly atributos para Eudoxo. Emlidar com magnitudes incomensurveis ", desconhecido e problemtico"conceitos como Morris Kline (1972, p. 50) descreveu-os, a necessidade deformular axiomas e deduzir conseqncias, um por um, para que nenhum erropossa ser feito foi de especial importncia. Esta nfase, na verdade, refleteInteresse de Plato, na certeza de dialtica da matemtica e foi sintetizado ema grande sntese euclidiana, que procurou trazer o rigor daargumentao axiomtica para a geometria. Era com esse esprito que Eudoxo,comprometeu-se a fornecer LHE base precisa lgica para as relaes incomensurveis,e, assim fazendo, deu grande impulso lgica, axiomtica, a priorirevoluo identificada por Kant (1781-7) como LHE grande transformao operadana matemtica por LHE gregos.

Ao concluir este breve resumo do mathernatics gregos e ostransformao causada pela descoberta de magnitudes incomensurveis,vrios aspectos dessa transformao merecem destaque especial, principalmente,duas coisas eram inaceitveis aps a descoberta de incomensurveis: (I) aPitgoras interpretao da relao, e (2) a entrada em jogo de provastinham dado sobre magnitudes comensurveis. A nova teoria foinecessrios para acomodar irracional magnitudes e este foi fornecido pelaTheactetus e Eudoxo. A transformao menos dramtica da definio deo coneept nmero foi um processo, mas ao longo de sculos,levou a admisso de nmeros irracionais como sendo to aceitvelontologicamente como nmeros naturais ou fraes.

Totalmente parte mais lento, mais sutil do nmeroconceito, no entanto, foi o dramtico, a transformao muito mais rpido docarter da matemtica grega em si. Porque a aritmtica poderia Pythagorcanno acomodar magnitudes irracional, lgebra geomtrica (pesadose fosse), desenvolvido em seu lugar. No processo, a matemtica grega foidiretamente transformado em algo mais poderoso, mais geral, maiscompleta. Central para essa transformao foram elementos auxiliares que refletiaa transformao em curso. Uma nova interpretao da matemtica deve terdescartado como insustentvel a doutrina de Pitgoras mais velhos que todas as coisas foram nmero havia agora as coisas que no tinha nmeros naPitgoras sentido da palavra e sua viso do nmero foicorrespondentemente inadequada. O mais velho conceito de nmeros foi severamente limitada,e na realizao dessa inadequao e da criao de um remdio para resolv-locarne da revoluo. Novas provas substitudo ones.Soon idade de uma nova teoria daproporo surgiu, e como resultado, depois de Eudoxo, ningum podia olhar paramatemtica e acho que foi a mesma que tinha sido para os pitagricos.No era possvel afirmar que Eudoxo tinha apenas acrescentou algo umteoria de que anteriormente estava perfeitamente bem. A lio do irracional foique nem tudo estava bem. Como resultado da nova teoria de proporo, omtodos e contedos da matemtica grega foram muito diferentes, eComparao do Livro V de EucIid com LHE Pitgoras livros VII-IX (talvezreftecting diretamente anteriormente aritmtica Irom LHE sculo anterior) revela a profundatransformao que Eudoxo e sua teoria da proporo trouxe para o gregomathernatics. Os mtodos antigos foram suplantados, e evenluaIIy, embora omesmas palavras, "nmero" ou "proporo", pode continuar em uso, seu significado,escopo e contcnt no seria o mesmo.

Na verdade, a transformao na conceituao de magnitudes irracionalnmeros irracionais representou uma revoluo prpria no nmeroconceito, embora este no era um transfonnation realizado pelos gregos.Nem foi uma reviravolta de alguns anos, assim como as revolues mais poltico, mas uma mudana bsica, fundamental. Mesmo que a evoluo foi relativamente lenta, isto faz no alterou o efeito final de transformao LHE. O antigo conceito de nmero, embora a palavra foi mantida, se foi, e em seu lugar, os nmeros includosirracionais tambm.

Esta transformao do conceito de nmero, no entanto, implicou mais deapenas por estender o antigo conceito de nmero pela adio de-LHE irracionais doconceito de nmero inteiro era inerentemente mudado, transmutado por assim dizer, a partir de uma viso de mundo em que s estavam inteiros nmeros, a uma viso do nmero que acabou por ser relacionada com a integridade das syslem inteiro de reaisnmeros.

Na mesma maneira, a criao de Georg Cantor dos nmeros transfinitos emdo sculo XIX transformou a matemtica atravs da ampliao de seu domniofinita para nmeros infinitos. Acima de tudo, passo o conceitual a partir de conjuntos transfinitos para nmeros tansfinite representa uma mudana que foi em muitos aspectos o mesmo que a mudana de magnitudes irracional nmeros irracionais. Do concreto para o abstrato, a transformao em ambos os casos revolucionou a matemtica no acommodate magnitudes irracional, lgebra geomtrica (pesadose fosse), desenvolvido em seu lugar. No processo, a matemtica grega foidiretamente transformado em algo mais poderoso, mais geral, maiscompleta. Central para essa transformao foram elementos auxiliares que retlecteda transformao em curso. Uma nova interpretao da matemtica deve terdescartado como insustentvel a doutrina de Pitgoras mais velhos que as coisas ali eram nmeros - foram agora claramente coisas que no tm nmeros naPitgoras sentido da palavra e, consequentemente, ver o seu nmero era decorrespondentemente inadequada. O mais velho conceito de nmero foi severamente limitada, e na realizao dessa inadequao e da criao de um remdio para resolv-lo vieram as provas revolution.New substitudo os antigos. Em breve uma nova teoria de proporo surgiu, e como resultado, depois de Eudoxo, ningum podia olhar paramatemtica e acho que foi a mesma que tinha sido para os pitagricos.No era possvel afirmar que Eudoxo tinha mereIy acrescentou algo a umteoria de que anteriormente estava perfeitamente bem. A lio do irracional foique nem tudo estava bem. Como uma teoria deA novo resultado de proporo, omtodos e eontent da matemtica grega foram muito diferentes, eComparao do Livro V de Euclides com LHE Pitgoras livros VII-IX revela a profunda transformao que Eudoxo e sua teoria da proporo trouxe para o gregomatemtica. Os mtodos antigos foram suplantados e, eventualmente, embora omesmas palavras, "nmero" ou "proporo", pode continuar em uso, seu significado, mbito e contedo no seria o mesmo.

Na verdade, a transformao na conceituao de magnitudes irracionalpara nmeros irracionais representou uma revoluo de seu nmero inthe prpriaconceito, embora isso no foi uma transformao realizada pelos gregos.Nem foi uma reviravolta de alguns anos, assim como as revolues mais poltico, mas uma mudana bsica, fundamental. Mesmo evoluo ifthe foi reJativeJy lento, isso fazno alterou o efeito final da transformao. O antigo conceito de nmero,embora a palavra foi mantida, se foi, e em seu lugar, os nmeros includosirracionais tambm.

Esta transformao deA ofnumber eoneept, no entanto, implicou mais deapenas estender a coneept velha de nmero pela adio na irracionais-aconceito de nmero inteiro era inerentemente mudado, transmutado por assim dizer, a partir de uma viso de mundo em que s estavam inteiros nmeros, a uma viso do nmero que foi eventuaIIy relacionadas com a integridade de todo o sistema de realnmeros.

Da mesma maneira, a criao de Georg Cantor dos nmeros transfinitos emo dcimo nono eentury transformada matemtica, ampliando seu domnio definita para nmeros infinitos. Acima de tudo, passo a eoneeptual a partir de conjuntos transfinitos aos nmeros transfinitos representa uma mudana que foi em muitos aspectos o mesmo que a mudana de magnitudes irracional nmeros irracionais. Do concreto para o abstrato, a transformao em ambos os casos revolucionou a matemtica.

4.3. DESENVOLVIMENTO GEORG CANTOR DA TEORIA transfinitos

Nascido em So Petersburgo (Leningrado), em 1845, Georg Cantor deixou a Rssia para Alemanha com seus pais em 1856.Following estudar no Ginsio deWiesbaden, escolas particulares em Frankfurt-am-Main ea Realschule emDarmstadt, ele entrou em uma Gewerbeschule Hhere (Trade School), tambm emDannstadt, onde se formou em 1862 com o aval de que ele foi um aluno muito talentoso e muito trabalhador "(Fraenkel 1930, p. 192). Mas seu interesses em matemtica levou-o a ir para a universidade, e a bno dos pais, ele iniciou seus estudos avanados no Outono do mesmo ano na Polytechnicum em Zurique. Infelizmente, seu primeiro ano tinha interrompido no incio de 1863 pela morte sbita de seu pai, embora dentro do ano ele retomou seus estudos, na Universidade de Berlim. L, ele estudou matemtica, fsica e filosofia, e foi muito influenciado por trso maior mathernaticians do dia thc: Kummer, Weierstrass e Kronecker.

Aps o perodo de vero de 1886, que passou em Gttingen, Cantorvoltou a LHE Universidade de Berlim onde se formou em dezembrocom 'magna cum laude "a distino (Fraenkel 1930, p. 194). Seguintetrs anos de ensino local e estudo como um membro da prestigiadado seminrio para professores, Cantor Ieft Berlim para Halle, em 1869, a aceitar uma nomeao como um Priuaidozent no Departamento de Matemtica. Lele veio sob a influncia de uma ofhis colegas seniores, Eduard Heine, queera apenas complcting um estudo de sries trigonomtricas. Heine Cantor pediu parapor sua vez seus talentos para um problema particularmente interessante, mas extremamente difcil:o de estabelecer a exclusividade da representao de arbitrriafunes por meio de uma srie trigonornetric. Dentro dos prximos trs anos,Cantor publicou trabalhos tiva o assunto. A mais importante delas foi:o ltimo, publicado em 1872, no qual ele apresentou um notvel geral esoluo inovadora para o problema de representao.

Com habilidade impressionante Cantor foi capaz de mostrar que qualquer funo representada por uma srie trigonomtrica no s foi representada exclusivamente, mas que no intervalo de representao de um nmero infinito de pontos pode ser exceo contanto que o conjunto de pontos excepcionais, ser distribudos em um determinado condio dum modo limitou-se a conjuntos de Cantor descrito como ponto de conjuntos de a primeira espcie (Dauben 1979, pp 41-2). Dado um conjunto P, a coleo de todos os limites de pontos p em P defincd seu primeiro conjunto derivada, P '. Da mesma forma, representou a segunda derivada conjunto de P, e tem pontos limite ali de P '. Processo analogamente, para qualquer conjunto P Cantor foi capaz de gerar uma seqncia inteira com conjuntos derivados P ', P ", P .... foi descrito como um ponto se! das primeiras espcies de ir, poralguns I! ndice P "= 0.

Conforme descrito no artigo de 1872, set-theorctic elernentcry Cantor conceitosno podia romper em uma nova autonomia prpria. Embora ele teve a idia bsica nmeros transfinitos deA na seqncia de conjuntos derivados P ',P ", ..., P