revisao-prevupe

Escola Estadual Professor José Vicente Barbosa

3ª Série do Ensino Médio

MMMMAAAATTTTEEEEMMMMÁÁÁÁTTTTIIIICCCCAAAA

PPPPrrrrooooffffeeeessssssssoooorrrr

AAAAnnnnsssseeeellllmmmmoooo GGGGuuuueeeerrrrrrrraaaa JJJJúúúúnnnniiiioooorrrr

Revisão para o processo seletivo do PREVUPE Aluno: _________________________________________________ 3º Ano ____

Função Polinomial do 1º Grau (Função Afim)

Denominamos de função polinomial do 1

o grau ou afim a

toda função real expressa por baxxfxIRIRf +=→→ )(,: , com 0≠a . Um exemplo

corriqueiro é o da tarifa de um táxi, que é composta de uma parte fixa (a bandeirada) e uma parte variável (que depende da quilometragem percorrida). Seu gráfico é representado por uma reta não vertical. O coeficiente a da função baxxf +=)( é chamado de coeficiente angu-lar ou declividade da reta representada no plano carte-siano, enquanto que o coeficiente b é denominado coe-ficiente linear. Exemplos: f(x)=5x – 3, g(x)=1+x, h(x)= –2x+4, p(x)=50x+100

Estudo Gráfico Observe os gráficos abaixo de baxxf +=)( , que ilustram duas situações distintas:

Se a<0 a função é decrescente e se a>0 a função é crescente. Nos gráficos acima, os coeficientes são am-bos não nulos, logo a função é dita afim. As interseções com os eixos coordenados são determinadas facilmen-te. A interseção com o eixo dos y é encontrada anulan-do-se o valor do x na expressão da função:

bbaf =+= 0)0( , indicando que b é a interseção com o eixo das ordenadas. Já a interseção com o eixo dos x é encontrada anulando-se o valor do y na expressão da função: y=f(x)=0, ou seja, ⇒=+= 0)( baxxf abx /−= , indicando que -b/a é a interseção com o eixo das abs-cissas (também chamada de raiz ou zero da função). Determinar as interseções com os eixos coordenados é suficiente para se traçar a reta que representa o gráfico de uma função afim. No entanto, não precisamos dese-nhar o gráfico, caso queiramos estudar o sinal de uma função afim: se a>0, o intervalo onde a função é positiva é ),/( ∞+− ab , sendo negativa no intervalo )/,( ab−−∞ ; senão, se a<0, então a função é positiva em )/,( ab−−∞ , e negativa no intervalo ),/( ∞+− ab .

Função Linear

Caso particular de uma função afim onde b=0, ou seja, f(x)=a x. Seu gráfico é representado por uma reta que passa pela origem. Veja na figura abaixo os gráficos das funções lineares f(x)= –2 x e f(x)=x (a função identida-de):

O gráfico da função identidade é a bissetriz do 1o e 3o quadrantes.

Inequações do 1º grau

Define-se inequação do 1o grau na variável x como sen-

do toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: 0≥+ bax , 0>+ bax , 0≤+ bax ou 0<+ bax , a, b reais e a não nulo. Resolve-se ao se isolar a variável x, explicitando-a. O resultado é o conjunto solução cujos elementos tornam verdadeira a inequação ao substitu-irmos a variável x pelo valor em questão. Pode-se ter uma inequação onde se precisa, antes de tudo, reduzir à forma de inequação do 1o grau.

Ex: 1)2(22

−+≤++ xxxx pode ser reduzida à forma

03 ≥−x . Também se pode ter um sistema de inequa-ções do 1o grau, que é um conjunto de inequações que devem todas ser satisfeitas por cada elemento do con-junto-solução. O conjunto solução de um sistema é a interseção dos conjuntos-soluções das inequações. Ex:

≤−

≥+

013

022

x

x .

Inequações Produto do 1º Grau

Dadas as funções f (x) e g (x) afins, chamamos de ine-quação produto a toda inequação que pode assumir uma das seguintes formas: 0)()( >⋅ xgxf , 0)()( ≥⋅ xgxf ,

0)()( <⋅ xgxf ou 0)()( ≤⋅ xgxf . A solução será através do quadro de sinais que se obtém a partir do estudo de sinais de cada função. Os intervalos da solução são






obtidos ao se marcar num eixo de números reais, todos os limites de intervalos do estudo de sinais de cada função, e ao se fazer a multiplicação dos sinais das duas funções em cada intervalo.

Inequações Quociente do 1º Grau Dadas as funções f (x) e g (x) afins, chamamos de ine-quação produto a toda inequação que pode assumir uma das seguintes formas: 0)(/)( >xgxf , 0)(/)( ≥xgxf ,

0)(/)( <xgxf ou 0)(/)( ≤xgxf , com 0)( ≠xg . A solução é análoga ao de inequações produto.

Pensando no que aprendeu 1. Construa o gráfico das seguintes funções reais e faça o estudo dos sinais: a. f(x)=3x+1 b. f(x)=-2x+4 c. y=-(2/3)x – 2

d. y=3 - 2x e. f(x)=-5x 2. Obtenha a função afim que passa pelos seguintes pares de pontos: a. (1, 1) e (2, -3)






b. (-1, -1) e (2, 2) c. (0, 2) e (3, 0) d. (0,0) e (-1, -3) 3. Encontrar em IR as soluções das inequações: a. 2(3x+1)-3(4x-2)>2

b. 0)62)(3( ≥+−− xxx

c. 32

32>

−−

−

x

x

d. 0)1(

)2()3(10

45

≥−

−−

x

xx

e. 4 < 3x-2 < 6






Treinando para o Vestibular 1. (FGV) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y=50-x/2. Sabendo-se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$1.250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de (unidades): a. 25 b. 50 c. 40 d. 35 e. 20 2. (Mack-SP) A função é definida por f(x)=ax+b. Sabe-se que f(-1)=3 e f(1)=1. O valor de f(-3) é? 3. (UPE) Uma função f real, do 1o grau, é tal que f(0)=1+f(1) e f(-1)=2-f(0). Determine f(-3/2). 4. (FGV) A solução do sistema de inequações

51323 ≤−≤− xx é: a. }21|{ ≥≤∈ xouxIRx

b. }25/4|{ ≤≤∈ xIRx

c. }2|{ ≤∈ xIRx

d. }1|{ ≤∈ xIRx

e. }1|{ ≥∈ xIRx

5. (CESGRANRIO) Dada a inequação

0)2()5()23(23

>−−− xxxx , tem-se como solução, nos reais: a. }523/2|{ <<<∈ xouxIRx

b. }023/2|{ <<<∈ xouxIRx

c. }23/2|{ ≤≤∈ xIRx

d. }23/2|{ <<∈ xIRx

e. }0|{ <∈ xIRx

6. (Covest) A despesa de uma empresa com os encar-gos sociais é dada pela função D(x)=20+x/10, onde x é o número de funcionários e D(x) é dada em milhares de reais. Se em determinado mês a despesa foi de 24,4 milhares de reais, qual é o número de funcionários? 7. (FEI-SP) Resolva o sistema de inequações:

>−

<−

−

04

)6(3

25

2

3x

xx .

8.(Vunesp-SP) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 Kg, recolhe-se a um spa onde se anunci-am perdas de peso de até 2,5 Kg por semana. Supo-nhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a. Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo P que essa pessoa poderá atingir após n semanas.

b. Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 Kg de peso. 9. (PUC-SP) A solução da equação )2(3)1(2 xx −=+

satisfaz a desigualdade: a. 1−<x

b. 01 <<− x

c. 10 << x

d. 21 << x

e. 2>x 10. (UFRN) O conjunto solução da inequação

2)2/()2( >−+ xx é o intervalo: a. [,2] +∞

b. [4,1]

c. [6,] ∞−

d. [6,2]

e. [,6] +∞− 11. (EAESP-FGV) A solução do sistema de inequações:

≤−

≤−

513

123

x

x

a. }21|{ ≥≤∈ xouxIRx

b. }21|{ ≤≤∈ xIRx

c. }2|{ ≤∈ xIRx

d. }1|{ ≤∈ xIRx

e. }1|{ ≥∈ xIRx

12. (Covest) O salário de uma vendedora é uma função afim do total de suas vendas. Quando ela vendeu R$ 1200,00 seu salário foi de R$ 300,00 e quando vendeu R$ 1800,00 seu salário foi de R$ 360,00. Quantos reais ela precisa vender para ter um salário de R$ 500,00? 13. (Covest) A altura h de um homem varia com o ta-manho F do seu fêmur de acordo com a fórmula (em cm): h=69,089+2,238F. Se a idade ultrapassa 30 anos subtrai-se 0,06 cm por cada ano após os 30 anos. Qual a altura estimada de um homem de 40 anos cujo fêmur mede 40 cm? 14.(Covest)-Um hotel da orla cobra R$ 60,00 a diária por quarto duplo e R$ 52,00 a diária por quarto simples. No dia 5 de fevereiro o hotel arrecadou R$ 9.480,00 de diárias. O gerente afirmou que se a diária do quarto duplo tivesse sido aumentada para R$ 64,00 e a do quarto simples reduzida para R$ 49,00 o hotel teria ar-recadado R$ 9.530,00 naquele dia. Quantos quartos simples estavam ocupados naquele dia?






15. (Covest)-Um jornaleiro compra os jornais FS e FP por R$ 1,20 e R$ 0,40, respectivamente, e os comercia-liza por R$ 2,00 e R$ 0,80, respectivamente. Analisando a venda mensal destes jornais sabe-se que o número de cópias de FS não excede 1.500 e o número de cópias de FP não excede 3.000. Supondo que todos os jornais comprados serão vendidos e que o dono da banca dis-põe de R$ 1.999,20 por mês para a compra dos dois jornais, determine o número N de cópias de FS que devem ser compradas por mês de forma a se maximizar o lucro. Indique a soma dos dígitos de N. 16. (Covest)- A loja de tecidos F promove a seguinte liquidação: “pague x metros de linho e leve (2x+0,3) metros”. Imediatamente, a loja concorrente J realiza a seguinte promoção: “pague x metros de linho e leve (3x+0,2) metros”. Considerando estes dados, analise as afirmações seguintes:

0-0) Se o preço do metro de linho é o mesmo nas duas lojas, então paga-se mais na loja F sem-pre que se deseje levar mais que meio metro de linho.

1-1) Se o preço do metro de linho é o mesmo nas duas lojas, então pagando-se o mesmo preço que na loja F, sempre se leva uma peça maior comprando na loja J.

2-2) Se o preço do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preço da loja F, então nunca se paga-rá o mesmo preço nas duas lojas pela mesma peça de linho.

3-3) Se o preço do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preço da loja F, então o preço na loja F sempre será menor que na loja J para a mesma peça de linho.

4-4) Se o preço do metro de linho na loja F for mai-or que 2/3 vezes o preço da loja J, então o preço da loja F sempre será maior que o da lo-ja J para a mesma peça de linho.

Função Polinomial do 2º Grau (Função Quadrática)

A função RRf →: dada por cbxaxxf ++=

2)( , com a, b

e c reais e a não nulo, denomina-se função polinomial do 2o grau, ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que se a=0 temos uma função do 1o grau ou uma função constante. Exemplos de funções quadráticas:

1)(,3)(,4)(,)(2222

−+=+−=−== xxxixxxhxxgxxf π . Seu domínio mais amplo é o conjunto dos números reais.

Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

O gráfico de uma função quadrática cbxaxxf ++=

2)( é

uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y. O eixo de simetria é a reta em relação à qual a parábola se divide em dois braços que são um o reflexo do outro, como se fosse num espelho (figura 1). Quando a>0 a concavidade da parábola fica voltada para cima (figura 1) e, quando a<0, ela fica voltada para baixo (figura 2).

A figura 1 é o gráfico da função 20155)(

2−−= xxxf ,

enquanto que a figura 2 é o gráfico da função 20155)(

2++−= xxxf . O vértice da parábola é o seu

ponto extremo, no que se refere à coordenada y: é o ponto de máximo quando a concavidade está para baixo, ou é o ponto de mínimo, quando a concavidade está voltada para cima. O vértice é o único ponto da parábola onde a função nem cresce, nem decresce. Os pontos da parábola com coordenadas x menores que a coordenada x do vértice (chamemos de pontos anteriores ao vértice), são tais que, neles a função possui comportamento distinto dos pontos com coordenadas x maiores que a coordenada x do vértice (chamemos de pontos posteriores ao vértice). Quando a concavidade está para cima, a função é decrescente nos pontos anteriores ao vértice, e é crescente nos pontos posteriores ao vértice. Quando a concavidade está para baixo, a função é crescente nos pontos anteriores ao vértice, e decrescente nos pontos posteriores ao vértice. Veja as figuras 3 e 4.

Para construirmos o gráfico da função cbxaxxf ++=

2)(

podemos fazer uso de uma tabela, onde atribuímos alguns valores para x, calculamos y e desenhamos a curva que liga os pontos de coordenadas (x, y) escolhidos. Uma outra opção, mais usada, é determinar os pontos essenciais do gráfico: 1.Pontos onde a parábola intersecta o eixo dos x, caso existam. Estes são chamados de raízes da função quadrática;






2.O ponto onde a parábola intersecta o eixo dos y: calculando f(0) obtém-se o ponto (0, c). A constante c é o termo independente da expressão de f. 3. O vértice ),( VV yxV . Calcule as coordenadas do

vértice, as quais são dadas por:

a

bxV

2

−= e

ayV

4

∆−=

Onde �= b2 – 4ac, é o discriminante de f. É preciso que

se note que a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes da função quadrática, caso estas existam. Isto por que o vértice está localizado no eixo de simetria da parábola, e por que as raízes são abscissas de pontos simétricos da curva. Além dos pontos essenciais, observe a concavidade da parábola (o sinal de a). De um modo geral, dependendo da natureza das raízes e da concavidade, o gráfico de uma função quadrática se assemelha a um dos seguintes casos: 1. 0>∆ : a função possui duas raízes distintas, ou seja, a parábola intersecta o eixo dos x em dois pontos distintos (figuras 5 e 6).

2. 0=∆ : a função possui duas raízes iguais, ou seja, a parábola intersecta o eixo num único ponto (ou seja, ela tangencia o eixo das abscissas) (figuras 7 e 8).

3. 0<∆ : a função não possui raízes reais, ou seja, a parábola não intersecta o eixo das abscissas (figuras 9 e 10).

As raízes de f, quando existem, são obtidas a partir da

expressão: a

bx

2

∆±−=

Conjunto-Imagem de uma função quadrá-tica

A projeção ortogonal dos pontos do gráfico de uma fun-ção qualquer sobre o eixo das ordenadas nos dá o con-junto-imagem dessa função. Na determinação do con-junto-imagem da função cbxaxxf ++=

2)( , temos duas

situações a considerar:

1. a>0: concavidade para cima. Calcule

ayV

4

∆−= e

conclua que: }4/|{)Im( ayRyf ∆−≥∈= (figura 11).

2. a<0: concavidade para baixo. Calcule a

yV4

∆−=

e conclua que: }4/|{)Im( ayRyf ∆−≤∈= (figura 12).

Valor máximo ou valor mínimo de uma função quadrática

Um valor de máximo (absoluto) de uma função real num dado intervalo, quando existe, é o extremo superior do conjunto-imagem para valores tomados no intervalo, enquanto que o valor de mínimo (absoluto) num dado intervalo, quando existe, é o extremo inferior do conjun-to-imagem para valores tomados no intervalo. Uma fun-ção quadrática RRf →: dada por f(x)=ax

2+bx+c, possui

exatamente um único valor de máximo ou de mínimo, para valores tomados em todo o seu domínio. Como já foi visto, o vértice da parábola é o ponto extremo, onde ocorre o valor de máximo, quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), ou de mínimo, quando a con-cavidade está voltada para cima (a>0). Portanto, se a<0, f possui um valor de máximo, que corresponde a

)4/( ayV ∆−= , não possuindo nenhum valor de mínimo. A

abscissa do vértice, )2/( abxV −= , é chamada de ponto

de máximo (absoluto). Se a>0, f possui um valor de mínimo, que corresponde a )4/( ayV ∆−= , não possuindo

nenhum valor de máximo. A abscissa do vértice, )2/( abxV −= , é chamada de ponto de mínimo (absoluto).

Lembre-se que VV yxf =)( . Veja novamente as figuras 3






e 4 do fascículo anterior. O estudo de máximos e mínimos de funções nos permite resolver problemas interessantes, seja dentro da própria Matemática, seja em outras ciências como Física e Economia.

Estudo do Sinal da Função Quadrática Como já foi visto no tratamento de funções afins, estu-dar o sinal de uma função é observar o sinal de

)0,0,0()( <=>= yyyxfy , dependendo dos valores que a variável x assume no seu domínio IR. Em se tratando de uma função quadrática, é suficiente que calculemos as suas raízes, caso existam, e façamos um esboço do gráfico observando, é claro, a concavidade da parábola.

Em ambos os casos das figuras 1 e 2, temos duas raízes distintas. Na figura 1, a>0, f(x)=0, para x=X’ ou x=X” (as raízes), f(x)>0 para x<X’ ou x>X” e f(x)<0 para X’< x<X”. Na figura 2, a<0, f(x)=0, para x=X’ ou x=X” (as raízes), f(x)<0 para x<X’ ou x>X” e f(x)>0 para X’< x<X”.

Nas figuras 3 e 4, temos uma raiz dupla. Na figura 3, a>0, f(x)=0, para x=X’=X” (a raiz), f(x)>0 para 'Xx ≠ , ou seja, com exceção da raiz (seu ponto de mínimo), a função é sempre positiva. Na figura 4, a<0, f(x)=0, para x=X’=X” (a raiz), f(x)<0 para 'Xx ≠ , ou seja, com exceção da raiz (seu ponto de máximo), a função é sempre negativa. Nas figuras 5 e 6, não há raízes. Na figura 5, a>0, a função é sempre positiva. Na figura 6, a<0, a função é sempre negativa.

Inequações do 2º Grau Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

02

≥++ cbxax , 02

>++ cbxax , 02

≤++ cbxax ou 0

2<++ cbxax , com 0,,, ≠∈ aIRcba . Uma inequação

do 2o grau é resolvida a partir do estudo de sinal da função quadrática presente na inequação e o conjunto-solução é obtido observando-se o sinal de desigualdade da inequação. No caso de um sistema de inequações deve-se resolver cada inequação separadamente e depois fazer a interseção das respectivas soluções.

Para inequações produto e quociente, deve-se aplicar as mesmas idéias estudadas no fascículo de inequação do 1o grau.

Pensando no que aprendeu 1. Dada a função 45)(

2+−= xxxf , calcule f(0), f(4), f(-

1), f(2) e f(1). 2. Dada a função 1210)(

2+−= xxxf , determine os

valores reais de x para que se tenha: f(x)=12, f(x)=-13 e f(x)=0. 3. Dada a função 143)(

2−−= xxxf calcule k de forma

que f(k-1)=0.






4. Encontre uma função do 2o grau tal que f(0)=-2, f(2)=4 e f(-1)=-2. 5. Construir o gráfico da função 32)(

2++−= xxxf .

6.Construir os gráficos das seguintes funções e fazer um estudo do comportamento (crescimento e decrescimento): a) 44)(

2++= xxxf

b) 42)(

2++−= xxxf

c) 4)(2

++−= xxxf d) 4)(

2−−= xxf

7. Determine se as seguintes funções possuem valor de máximo ou de mínimo, e a seguir calcule esse valor:

263)(2

+−= xxxf , 142)(2

−+−= xxxg , 1)(2

−= xxh e 2

4)( xxl −= .






8.A função )5(4)(2

α++−= xxxf tem valor mínimo igual a 2. Calcule α . 9.Considere todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máxima. Qual será essa área? 10. Faça o estudo do sinal das funções

34)(2

−+−= xxxf e xxxg 6)(2

+= .

11.Na função 123)(2

++−= xxxf , para que valores de x tem-se 0)( ≤xf ? 12.Determinar k de modo que as expressões

kxkkx +−+ )12(2 assumam valores positivos para todo x

real. 13. Se as funções 2)2()(

2−−+−−= kxkxxf k

são

estritamente negativas para todo x real, então quais são os valores que k está assumindo? 14. Resolver a inequação 0134

2<++− xx






15.Resolver o sistema de inequações

≥−

+−<+−

03

116222

x

xxxx

16.Resolver a inequação 0)2()45(

22<++−⋅+− xxxx

17.Resolver a inequação 0209

141622

2

≤+−

+−

xx

xx

Treinando Para o Vestibular 1.(UFMG) Suponha que um trinômio cbxaxy ++=

2 tenha duas raízes negativas e possua concavidade para baixo. A afirmativa certa é: a)a>0, b>0, c<0 b)a<0, b<0, c<0 c)a<0, b>0, c<0 d)a<0, b>0, c>0 e)a<0, b<0, c>0 2.(Covest) Considere a função 0,)(

2≠+= abxaxxh .

Admita que a imagem de h é o intervalo ]4,(−∞ . Indique se cada alternativa é falsa ou verdadeira:

a) 4)2

( =−

a

bh b)a>0

c)4 é o valor mínimo de h.

d)O gráfico de h intercepta a reta a

by

2

2−

= e)O

gráfico de h passa pela origem. 3. (Covest) Qual o maior valor assumido pela

Rf →− ]10,7[: definida por 95)(2

+−= xxxf ? 4. (Covest) Responda se falso ou verdadeiro: se a é um número real positivo, então o gráfico de

Rxxxay ∈+= ),2(2 ,

a)é uma parábola que passa pela origem (0,0). b)é simétrico em relação à reta x= –1. c)é uma parábola cujo vértice é o ponto (–1, a). d)está contido na reunião dos 3 (três) primeiros quadrantes. e)não intercepta a reta y= –a. 5. (Covest) Qual é o maior valor assumido pela função

definida por: 2

42)(

xxf

−= ?

6. (UFPR) Se 32 =+ yx , o valor mínimo de 22 yx + é:

a)1/5 b)2/5 c) 7/45 d)

5/45 e) 3 7.(Covest) Dentre as desigualdades abaixo, qual delas garante que a reta de equação y=ax e a parábola de equação cbxxy ++=

2 interceptam-se em dois pontos distintos? a) 04)(

2>−− cba b) 04

2>− acb

c) 04)(2

>−− bca

d) 042

>− bca e) 04)(2

>+− cba 8.(Covest) Sobre as raízes da equação do segundo grau

02

=++ cbxax ,onde a, b e c são números reais e 0≠a , podemos afirmar que (falso ou verdadeiro): a)elas são reais e distintas se c=0; b)elas são reais e distintas se b=0 e ac>0; c)são positivas se ac<0; d)se a, b e c são positivos, as raízes reais são negativas, caso existam;






e) se a, b e c são negativos, as raízes reais são negativas, caso existam. 9.(UFES)Determine os possíveis valores reais que a e b podem assumir para que o gráfico da função dada por

12

++= bxaxy encontre o eixo OX em um único ponto P=(3,0). 10. (Cesesp-PE) Seja IRIRf →: a função dada por

65)(2

+−= xxxf . Assinale a alternativa que contém

apenas os valores de IRx ∈ que tornam f(x) maior que zero. a) 32 ≥≤ xoux b)2<x<3 c) 32 ≤≤ x d) 5,2≤x e)

32 >< xoux 11. (Cesesp-PE) Considere a função IRIRf →: definida por 323)(

2++= xxxf . Qual das seguintes alternativas é

a FALSA? a)f atinge o máximo para x= – 1/3. b)Para x menor que – 1/3, f é uma função decrescente. c) Para x maior que – 1/3, f é uma função crescente. d)Existe pelo menos um x real tal que f(x)>0. e)O gráfico de f é uma parábola. 12. (F.Objetivo-SP) O número de soluções inteiras do

sistema

≤+−

>+−

056

0652

2

xx

xx é:

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

13. O mais amplo domínio da função real 4

)(2

−=

x

xxf

é o conjunto de valores de x tais que: a) 22 >−< xoux b) 20 <≤ x

c) 22 <<− x d) 22 ≠−≠ xex e) 022 ≤<−> xoux 14. (Covest) Se a equação 322

2++= pxxy define

uma função real y=f(x) cujo domínio é o conjunto dos reais, encontre o maior valor que p pode assumir. 15. (FGV-SP) Para que a função real f dada por

cbxxxf ++= 2/1)(2 seja definida por qualquer x real,

os números b e c devem ser tais que: a) 0

2≠< becb b) 0

2≠> cecb c)

cb <2

d) 02

≥< cecb e) 02

>> becb 16. (Covest, adapt.) Considere a equação

033)4(2

=+−−− kxkx . Indique os valores de k, para os quais o número real 3 está compreendido entre as raízes desta equação. a)k=0 b)k>4 c)k=– 1 d) k<4 e)k=1 ou k=2. 17. As soluções de 02

2<− xx são os valores de x per-

tencentes ao conjunto:

a) [2;0] b) [0;] ∞− c) [;2] +∞ d)

[,2][0,] +∞∪∞− e) [;0] +∞ 18. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a desigualdade 0)3()9(

752<−⋅− xx é:

a) }3|{ −<∈ xIRx b) }33|{ <<−∈ xIRx c) }3|{ >∈ xIRx d) }93|{ <<∈ xIRx e) }9|{ >∈ xIRx

19. (Fuvest-SP) Resolva a inequação 03

1

2

2

≥

−

−−

xx

xx .

20.(FGV-SP) A receita mensal (em reais) de uma em-presa é 2

200020000 ppR −= , onde p é o preço de venda de cada unidade ( 100 ≤≤ p ). a)Qual é o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$50.000,00? b)Para que valores de p a receita é inferior a R$37.500,00? 21. (FGV-SP) Uma função quadrática tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3,–4). Sabe-se que 2 é uma raiz da função. a)Obtenha a expressão da função f. b)Para que valores de x tem-se f(x)>0? 22. (Covest) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por

2100510.2 nnC +−= . Quantas unidades deverão ser

produzidas para se obter o custo mínimo? 23. (Mack-SP) Se 022

2>+− aaxx qualquer que seja

IRx ∈ , o maior valor inteiro que a pode assumir é: a)15 b)16 c)18 d)20 e)22 24. (FGV-SP) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3000 dólares no ano de 1985, e de 3600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a)Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x=0 para o ano de 1985, x=1 para o ano de 1986, x=2 para o ano de 1987 e assim por diante. b)Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 1985?

25. (FGV-SP) A solução da inequação 011

≥−

−+ x

x

x

x é:

a) 11 ≥−≤ xoux b) 101 <≤−< xoux c) 101 >≤<− xoux d) 0≤x e) 11 ≠−≠ xoux 26. (IME-RJ) Seja IRIRf →: uma função quadrática, tal que cbxaxxf ++=

2)( , com IRxa ∈∀≠ ,0 . Sabendo que

51 21 =−= xex são as raízes e que f(1)= –8. Pede-se: a)Determinar a, b, c.






b)Calcular f(0). c)Verificar se f(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando sua resposta. d)As coordenadas do ponto extremo. 27. (Unitau-SP) Para quais valores de a tem-se

21

≥+a

a ?

28. (Covest) Dentre as desigualdades abaixo, qual delas garante que a reta de equação axy = e a parábola de equação cbxaxy ++=

2 interceptam-se em dois pontos distintos? a) 04)(

2>−− cba b) 04

2>− acb c)

04)(2

>−+ cba

d) 042

>− bca e) 04)(2

>+− cba 29. (Covest) Qual é o perímetro do retângulo (em cm) de área máxima inscrito no triângulo isósceles de base 4cm e altura 6cm? (O retângulo tem dois vértices localizados na base do triângulo, e os outros dois vértices localizados nos outros dois lados). a)8 b)10 c)12 d)9 e)11 Gabarito: 1-B 2-VFFVV 3-59 4-VVFVF 5-16 6-D 7-A 8-FFFFV 9-a=1/9 e b= – 2/3 10.E 11.A 12.D 13.E 14.16 15.C 16.B 17.A 18.A 19. }32/)51(|{ >−≤∈ xouxIRx 20.a)R$5,00 b) 105,75,20 ≤<<≤ poup 21.a) 32244)(

2+−= xxxf b) }42|{ ><∈ xouxIRx 22.

50 23.A 24.a)y=75x+3000 b)2025 25. B 26.a)a=1,b=-4 e c=-5 b)-5 c)mínimo, pois a>0 d) (2,-9) 27.a>0 28. A 29.B

Porcentagem

É frequente o uso de expressões que refletem acrés-cimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exem-plos:

A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em to-das as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jo-gam no Grêmio, 90 são craques.

Razão Centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de ou-tras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas ta-xas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos ca-valos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a por-centagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.






Exercícios Resolvidos

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Fator multiplicativo

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um de-terminado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multi-plicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação

10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplica-ção será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na for-ma decimal)

Veja a tabela abaixo:

DescontoFator de

Multiplicação

10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 te-mos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Quebrando a Cabeça

01. (COVEST) Quando o preço da unidade de deter-minado produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% durante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto? 0-0) a) 8% 0-0) b) 10% 0-0) c) 12% 0-0) d) 15% 0-0) e) 30%

02. (COVEST) O valor do dólar, em reais, subiu 10%

em um dia e 22% em outro dia , No intervalo desses dois dias o dólar subiu :

a) 32,2% b) 32% c) 33,2% d) 34,2% e) 34,0% 03. (COVEST) Determinadas frutas frescas contêm

70% de água e quando secas apresentam 20% de água. Quantos quilos dessas frutas frescas serão necessários para se obter 30 Kg de frutas secas ?

a) 80 b) 60 c) 64 d) 70 e) 75 04. (FESP) A política de reposição salarial da empresa

Pernambuco S/A é de reajustes salariais trimes-trais. No 1o. trimestre foi de 20%, no 2o. de 30% , no 3o. foi de 25% e no 4o. foi de 40%. Então o aumento anual concedido pela empresa foi de :

a) 115% b) 143% c) 173% d) 138,4% e) 185,2%






05. (COVEST) Se o comprimento do raio de um círcu-lo é aumentado em 30% de seu valor, então a sua área aumenta em:

a) 60% b) 69% c) 80% d) 35% e) 43%

06. (COVEST) Um cubo tem suas arestas aumentadas em 50% , então seu volume ficará aumentado em :

a) 100% b) 200% c) 155,5% d) 257,5% e) 237,5% 07. (COVEST) Um produto que custava R$ 1.500,00,

sofreu um aumento de 50% , com a queda das ven-das o comerciante passou a dar um desconto de 20% sobre o novo preço. Por quanto será vendida esta mercadoria ?

a) R$ 1.600,00 b) R$ 1.750,00 c) R$ 1.950,00 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.530,00 08. (COVEST) Um investidor decidiu aplicar certa quan-

tia em ações de uma empresa. Após um mês o valor destas ações subiu 5%. No segundo mês subiu 10% e no 3o. mês caiu 5%. A porcentagem de ganho deste investidor nos últimos 3 meses foi

a)Maior que 12% b)Entre 10 e 12% c)Igual a 10% d)Entre 8 e 10% e)Abaixo de 8% 09. (COVEST) Um trabalhador, ao receber determinada

quantia em reais gastou 30% com despesas de alu-guel e despendeu, com alimentação 50% do que sobrou , ficando com R$ 49,00 de resto. Determine o valor em reais , correspondente a 10% da quantia recebida por este trabalhador

10. ( COVEST / M1) A quantidade de sangue no corpo

de um homem é 1/11 do peso de seu corpo. Se o sangue contém 80% de água, quantos litros de água existem no sangue de um homem pesando 55Kg ?

11. (COVEST) A partir do início do ano o preço de de-terminado produto sofreu dois aumentos sucessivos , um de 10% e outro de 20% .Indique a percenta-gem de variação do preço do produto do início do ano até agora

a) 31% b) 30% c) 33% d) 32% e) 34% 12. (COVEST) A concentração de determinada subs-

tância , após atingir um máximo, num certo instante , diminui 15% ao fim de cada hora, podemos dizer que duas horas após o mencionado instante , a concentração da substância terá diminuído em :

a) 30% b) 32,25% c) 27,75% d) 31% e) 28% 13. (COVEST) Um recipiente contém 2565 litros de uma

mistura de combustível, sendo 4% constituídos de álcool puro . Quantos litros deste álcool devemos adicionar ao recipiente, a fim de termos 5% de ál-cool na mistura ?

a) 20 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29

revisao-prevupe

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