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Revisão – Aula 2 – Unidades Usuais e

Trigonometria

Área e perímetro de um circulo, quadrado/retângulo e triângulos

Unidade de medida linear – metro, seus múltiplos e submúltiplos.

Unidade de medida de superfície – metro2, seus múltiplos e

submúltiplos

Km – hm – dam – m – dm – cm - mm

Km2(106), hm2(104), dam2(102), m2, dm2(10-2), cm2(10-4), mm2(10-6), ha = 10.000 m2

Semiperímetro = (∑lados)/2

Fórmula de Heron – A = √p(p-a).(p-b).(p-c)

Unidade de medida angular – sistema sexagesimal, centesimal e

radiano.

Revisão – Aula 2 – Unidades Usuais e

Trigonometria

Relações trigonométricas – seno, cosseno e tangente.

2π = 360° = 400 grados

Sen α = CO/H ; Cosα = CA/H ; Tgα = CO/CA

Lei do seno – a/senA = b/senB = c/senC

Lei do cos – cosA = (b2 + c2 – a2)/2xbxc

- cosB = (a2 + c2 – b2)/2xaxc

- cosC = (a2 + b2 – c2)/2xaxb

Topografia

Aula 3 – Planimetria -

GramometriaAgronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil

Prof. Luiz Miguel de Barros

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Planimetria

A Planimetria é a parte da Topografia que estuda o

terreno levando em consideração somente dimensões e

coordenadas planimétricas. Nesse caso não se tem

ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se

apenas suas distâncias e ângulos horizontais.

Planimetria

Dentro dos objetivos de topografia de representar no

papel uma porção limitada da superfície terrestre e o

controle geométrico das obras de engenharia, há a

necessidade de se medir grandezas.

As grandezas mais comuns, medidas dentro destes

objetivos são:

Distâncias (m)

Ângulos

Áreas (m2)

Planimetria

Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no plano

horizontal.

Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância medidaentre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal.

Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos

que seguem a inclinação da superfície do terreno.

Planimetria

Planimetria – Goniologia

Gramometria

Planimetria

Gramometria – estuda os processos e instrumentos, usados

nas determinações de distâncias entre dois pontos. Tal

distancia pode ser obtida por processos diretos e indiretos.

Direto – quando o alinhamento a ser medido é percorrido

e comparado a uma unidade de medida, determinando-

se quantas vezes esta unidade está contida nele.

Instrumentros – Diastímetros.

Planimetria

Indiretos – Neste caso, do alinhamento materializa-se apenas as

extremidades e a distancia é obtida através da medida de outras

grandezas relacionadas matematicamente com a distancia

horizontal procurada (p. ex. coordenadas das extremidades).

Instrumentros – Distanciômetro – aparelho de medida com uso de

visadas.

Ópticos

Mecânicos

Eletronicos (MEDs)

Planimetria

GRAMOMETRIAMÉTODOS DIRETOS

Classificação dos processps diretos segundo sua precisão

Baixa precisão (Técnicas

expeditas)

Passo (pedômetro) odômetro veicular

Régua graduada, estimativa visual

Cadeia de agrimensor

Média precisão Trenas

De Lona

De aço

De fibra de vidro

Alta precisão Fio Invar

Planimetria

Diastímetros

Métodos Diretos

Passo médio – medidas que não exija maior precisão.

Variações – Operador - Velocidade de marcha, Estado de fadiga,

Estatura, Idade, etc.

Variações – Terreno – maior ou menor inclinação, aderência,

obstáculos.

Circunstâncias variadas – vento, temperatura, dentre outras.

Métodos Diretos

Odômetro - É um instrumento que faz o registro do número de voltas

dado por uma roda (p. ex. odômetro veicular).

Raio conhecido(arco) – acumula o número de voltas em um

alimnhamento percorrido.

Fonte de erros - irregularidades do terreno. Em veículos automotores

a precisão nominal varia de 100 a 1000m.

Métodos Diretos

Corrente ou cadeia de agrimensor - Pode ser

considerada uma ancestral da trena atual.

A cadeia é constituída por uma série de elos de ferro,

geralmente com 20 cm de comprimento.

Comprimento de 10, 20 ou 30 metros. Nas

extremidades possuíam elos maiores (punhos) para

facilitar o esticamento.

Métodos Diretos

Diastímetro – Trena

Lona, linho e seda com malha metálica, aço, fibra de

vidro, etc.

2 m, 5 m, 10 m, 20 m, 30 m e 50 m.

Distâncias feitas duplamente – Ida e volta

Métodos Diretos

Trenas – acessórios

Baliza – instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com

o objetivo de torna-lo visível.

Métodos Diretos

Métodos Diretos


Nível de Cantoneira – utilizado para detectar a vertical de outro

instrumento. Pode ser adaptado numa baliza ou mira.

Métodos Diretos


Fichas – São usadas para marcar os lances efetuados com a Trena

(Diastímetro) quando a distância a ser medida ultrapassa o

comprimento deste.

Métodos Diretos

Na medição de distâncias, alguns erros devem ser corrigidos, e

outros, evitados.

Erro total – resultante de conjuntode erros.

Erro no comprimento do diastímetro.

Erro de dilatação do diastímetro.

Falta de horizontalidade do diastímetro.

Erro de catenária.

Desvio vertical da baliza.

Erro de desvio lateral do diastímetro.

Enganos.

Métodos Diretos

Métodos Diretos

ERRO NO COMPRIMENTO DO DIASTÍMETRO

Tamanho nominal da trena ≠ tamanho real da trena.

Ex. usando a trena medimos a distância AB resultando 101,01m.

Depois constatamos que a trena estava com 20,04m em lugar

dos 20m exatos. Corrigir a distância medida.

REGRA DE 3 INVERSA

20,04 – 101,01

20,00 – X

X = 101,01.(20,04/20,00) = 101,21 m

R: a distância real entre os pontos AB é 101,21 m

A trena que vamos usar mede 19,99m e devemos marcar uma

distância de 100m. Se considerarmos que a trena tem 20 m,

quanto devemos marcar para termos os 100m?

Métodos Diretos

ERRO NO COMPRIMENTO DO DIASTÍMETRO

REGRA DE 3 INVERSA

20,00 – 100,00 m

19,99 – xX = 100,00.(20,00/19,99) = 100,05 m

Marcando 100,05 m com a trena errada estaremos marcando 100 m corretamente

Erro desprezível nas medidas atuais das práticas de topografia.

Corrigidas quando ocorre grande diferença de temperaturas da

medição e aferição.

e = L . α . (T – t) onde,

e = erro

L = distância medida

a = coeficiente de dilatação

T temperatura ambiente (momento da medição)

t = temperatura de aferição (+/- 20°C)

Métodos Diretos

ERRO DE DILATAÇÃO DODIASTÍMETRO

Uma trena de aço com 10 m é aferida à temperatura de 20°C. Qual

será seu comprimento real quando utilizada a 40°C? Considere

coeficiente de dilatação do aço igual a 12x10-6 °C -1.

e = L . α . (T – t)

Métodos Diretos

ERRO DE DILATAÇÃO DODIASTÍMETRO

e = 10 . 12 . 10-6 . (40 – 20)

e = 0,0024 m

Ou seja, a trena terá 10,0024 m

Em terrenos com aclive/declive, a tendência do operador é

segurar a trena mais próxima do piquete. Esta é uma das maiores

fontes de erro. Nesse caso, as distâncias ficam superestimadas.

Auxilio de uma terceira pessoa verificando a posição do

diastímetro.

ERRO DE HORIZONTALIDADE DODIASTÍMETRO

Métodos Diretos

Métodos Diretos

erro = aB - AB

Ocasionado pelo peso do diastímetro, o mesmo tende a formar

uma curva com concavidade voltada para cima. Mede-se

nesse caso, um arco em vez de uma reta.

Esticar as extremidades, medir trechos menores ou adotar

escoras intermediarias.

Métodos Diretos

ERRO DE CATENÁRIA

Em virtude de as balizas não estarem perfeitamente na vertical,

a distância medida poderá ser maior ou menor que a distância

real.

Métodos Diretos

DESVIO VERTICAL DA BALIZA

Erro que acontece devido ao desvio lateral da trena. Acontece

normalmente em trenas metálicas

Métodos Diretos

ERRO DE DESVIO LATERAL DO DIASTÍMETRO

Erro que acontece pela inabilidade do operador (erros grosseiros

ou enganos).

Posição do zero no diastímetro

Erro de leitura

Omissão de trenadas

Anotação errada.

Métodos Diretos

ENGANO

As seguintes medidas foram feitas usando uma trena, cujo

comprimento nominal é de 20 m e comprimento real de 20,02 m.

Corrigir os comprimentos medidos

Linha Comprimento medido

1-2 50,08m

2-3 41,20m

3-4 78,04m

4-5 12,20m

Métodos Diretos

EXERCÍCIO

GRAMOMETRIAMÉTODOS INDIRETOS

Diastanciômetro

Métodos Indiretos

Estação Total – utilizados nas medidas de ângulos e distancias, de

forma eletrônica.

Teodolito eletrônico digital com distanciômetro eletrônico,

montados em bloco único, com memória interna para armazenar

pontos observados em campo.

Métodos Indiretos

Estação Total - O alcance da visada é função da onda

portadora e da quantidade de prisma usado.

Luz Comum – propagação retilínea mas penetração atmosférica

baixa. Alcance de 300 m a 500 m, com um prisma, podendo

alcançar 1000 m com 3 prisma.

Infravermelho – tem propagação retilinta e boa penetração

atmosférica. Alcance entre 2,5 km a 7,5 km.

Laser – tem baixa dispersão em condições favoráveis. Pode

alcançar até 60 km.

Micro-onda – possui propagação quase retilínea, mas

penetração baixa. Alcance varia de acordo com o

comprimento da onda, mas pode chegar a 200 km.

Métodos Indiretos

Estação Total – a precisão é expressa em milímetros (termo de

constante aditiva) e em partes por milhão indica o erro

dependente da distância (fator escala)

P = A(mm) + B (ppm)

Topografia de precisão = +/- (3mm + 2ppm)

Controle de deslocamento e calibração de equipamentos = +/-

(1mm + 1ppm)

Métodos Indiretos

Métodos Indiretos

Trena digital (laser) – obtém distância horizontal, inclinada e

vertical até um obstáculo, ou anteparo.

Algumas tem mira, tecnologia bluetooth e memória. Baixo custo.

Alcance entre 5 cm a 200 m e precisão de +/- 2mm.

Métodos Indiretos

Taqueômetro – são teodolitos com luneta portadora de retículos

estadimétricos, constituídos de 3 fios horizontais e 1 vertical.

Associados as miras verticais, obtém-se a distancia horizontal e a

diferença de nível de dois pontos.

Métodos Indiretos

Taqueometria – Acessório

Mira falante – Instrumento utilizado para medir a distância

vertical de um ponto até o plano horizontal do nível.

Métodos Indiretos


Mira falante

Métodos Indiretos

1 cm

1 cm


Mira falante

Métodos Indiretos

Métodos Indiretos

Taqueometria – Fios estadimétricos

Onde,

Fs = fio superior do retículo

Fi = fio inferior do retículoFm = fio médio do retículo

Taqueometria - teodolito

Luneta do teodolito – visadas

Perpendicular (ângulo = 90°)

Ascendente (ângulo < 90°)

Descendente (180° <= ângulo => 90°)

Métodos Indiretos

Métodos Indiretos


DISTÂNCIA HORIZONTAL - PLANO HORIZONTALDistância horizontal estadimétrica

DH = m . g

Onde,

DH = distância horizontal

m = leitura estadimétrica m = Fs – Fi

Fs = fio superior do retículo

Fi = fio inferior do retículo

Fm = fio médio do retículo

g = constante do aparelho, normalmente 100

2.Fm ≈ Fs + Fi

Métodos Indiretos


Plano horizontal

Dados os fios Fs, Fi e g, calcule o Fm e adistância

g = 100

2.Fm = Fs + Fi

2.2,000 = 2,800 + 1,200

4,000 = 4,000 OK

m = Fs – Fi = 2,800 – 1,200 = 1,600 m

DH = m.g

DH = 1,600 . 100 = 160 m

Métodos Indiretos


DISTÂNCIA HORIZONTA – PLANO INCLINADO

Luneta deve estar em 90° em relação ao Zênite - Nadir, paramedição em plano horizontal.

Existem situações nas medições entre dois pontos onde o terreno é

muito inclinado, necessitando de um giro vertical da luneta para

se realizar a leitura dos três fios.

Métodos Indiretos



BD = m – Leitura estadimétrica com a ira na vertical

FG = n – Leitura com a mira normal à visada

a = ângulo de inclinação da visada

AC = n.g AE = AC.cosa ou seja AE = n.g.cosa

Métodos Indiretos



Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulossemelhantes ao triangulo ACE), os ângulos:

FCB = DCG = CAE = a

Para correção da distancia horizontal em plano inclina:

DH = m . g . Cos2a

DH = m . g . sen2Z

Métodos Indiretos


DIFERENÇA DE NÍVEL

Utilizada para calcular a diferença de nível entre dois pontos.

BD – leitura estadimétrica – m

FG – diferença de nível

CF – Leitura feita na mira com fio médio

LE – DH = m . g . Cos2a

EG – i – altura do instrumento

Métodos Indiretos


DIFERENÇA DE NÍVEL

DN = m . g . cos2a . tga + i – alvo

DN = [m . g . (sen(2 . a)/2)] + i – alvo

DN = [m . g . (sen(2 . Z)/2)] + i – alvo Quando a origem é o Zênite

Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de

distâncias é tomada considerando um plano inclinado. A partir

dos dados abaixo e das fórmulas apresentadas, calcule a

distância horizontal e a diferença de nível entre os dois pontos.

Ângulo de inclinação com origem no Zênite e constante g = 100.

Métodos Indiretos

DH = m . g . Cos2a

DN = m . g . (sen(2.a)/2)

DH = 84,931 m

DN = 49,756 m

As distâncias também podem ser determinadas através das

coordenadas dos pontos extremos da linha, por meio de um

receptor GPS.

Processo inverso ou indireto da topografia

Dist. Inclinada = √(Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2 + (Zb – Za)2

Dist. horizontal = √(Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2

Métodos Indiretos

Fontes de erro

Leitura errônea da mira – distâncias impropria, capacidade de

aumento focal da luneta, erros grosseiros na leitura

Falta de verticalidade da mira

Erro na medição do ângulo de inclinação (a ou Z)

Erro na medição da altura do instrumento

Métodos Indiretos

TOPOGRAFIA Prof Luiz Miguel de Barros

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Erro no comprimento do diastímetro – regra de 3 inversa

Erro na dilatação do diastímetro – e = L . a . (T – t)

Plano horizontal – distância horizontal DH = m .g

m = Fs – Fi

2.Fm ≈ Fs + Fi

Plano inclinado – distância horizontal DH = m .g .cos2a

DH = m .g .sen2Z

Plano inclinado – diferença de nível DN = [m .g .(sen(2.a)/2)] + i – alvo

DN = [m .g .(sen(2.Z)/2)] + i – alvo

Fórmulas

1 - Calcular a DH, sabendo-se que ao instalar o teodolito, o topógrafo obteve os

seguintes dados: a = 30º 00’ 00’’, FS = 2000 mm, FM = 1500 mm e FI = 1000 mm.

2 - Calcular a DH, sabendo-se que ao instalar o teodolito, o topógrafo obteve os

seguintes dados: z = 45º 00’ 00’’, FS = 3500 mm, FM = 3000 mm e FI = 2500 mm.

3 – A distância AB mede realmente 82,42m; ao ser medida com uma trena de

comprimento nominal 20 m encontramos 82,58 m. Determine o comprimento real

da trena e o seu erro.

Exercícios

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