Retas paralelas aos Planos e Retas paralelas aos Planos e Eixos CoordenadosEixos Coordenados

Seja a reta r dada pelas equações paramétricas

1

1

1

: ,

x x at

r y y bt t R

z z ct

Considere nula a 1ª componente do vetor diretor da reta, assim:

0, 0, ,a v b c Ox r yOz

Retas paralelas aos planos Retas paralelas aos planos coordenadoscoordenados

1x

v

Ar

90

Então as equações simétricas da reta r ficam:

1

1 1:

x xr y y z z

b c

Considere nula a 2ª componente do vetor diretor da reta, assim:

0, ,0,b v a c Oy r xOz

Retas paralelas aos planos Retas paralelas aos planos coordenadoscoordenados

Então as equações simétricas da reta r ficam:

1

1 1:

y yr x x z z

a c

1y

v

A

r90

Considere nula a 3ª componente do vetor diretor da reta, assim:

0, , ,0c v a b Oz r xOy

Retas paralelas aos planos Retas paralelas aos planos coordenadoscoordenados

Então as equações simétricas da reta r ficam:

1

1 1:

z zr x x y y

a b

1z

v

Ar

90

Considere nulas duas componente do vetor diretor da reta, assim:

0,0,v c k r Oz

Retas paralelas aos eixos Retas paralelas aos eixos coordenadoscoordenados

Então as equações simétricas da reta r ficam:

1

1

:x x

ry y

1xv

A

r

1yk

Ficando subentendido que z é a variável.

Exercícios Dar as equações das retas paralelas aos eixos Ox e

Oy. Faça a representação geométrica delas. Determinar as equações da reta que passa pelo

ponto A(-2,3,-2) e tem a direção do vetor Estabelecer equações para a reta que passa pelos

pontos A(1,0,9) e B(4,8,9). Determinar as equações da reta que passa pelo

ponto A(0,3,-2) e tem a direção do vetor

3 2v i k

2v i

Ângulos de duas Retas

O ângulo entre as retas r e s que passam respectivamente nos pontos

, e possuem os seguintes vetores diretores:

e é dado pelo menor ângulo entre os respectivos vetores diretores. Assim sendo este ângulo, temos:

1 1 1, ,A x y z 2 2 2, ,B x y z

1 1 1 1, ,v a b c 2 2 2 2, ,v a b c

1 2

1 2

.cos( ) , 0

2

v v

v v

Ângulos de duas Retas em Coordenadas Cartesianas

Exercício: Calcular o ângulo entre as retas:

e

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

. . .cos( )

.

a a b b c c

a b c a b c

1

3

: ,

1 2

x t

r y t t R

z t

2

2: 32

xr y z