MATEMTICA E MSICA: A HARMONIA SONORA DOS NMEROS

Allan Alves Dias Graduando do Curso de Licenciatura em Matemtica da Universidade Estadual

Vale do Acara UVA Bolsista PIBID/CAPES

Francisco Diego Feitosa de Souza

Graduando do Curso de Licenciatura em Matemtica UVA

Mrcio Nascimento da Silva (Orientador) Mestre. Professor do Curso de Licenciatura em Matemtica UVA

Bolsista PIBID/CAPES

INTRODUO

O presente trabalho apresenta uma proposta de ensino de matemtica

fruto de um projeto idealizado por ns, estudantes bolsistas do subprojeto de

matemtica do Programa Institucional de Bolsas de Iniciao Docncia

(PIBID) da Universidade Estadual Vale do Acara (UVA), e desenvolvido na

escola parceira Ministro Jarbas Passarinho, localizada na cidade de Sobral,

onde utilizamos a msica e suas relaes matemticas como ferramenta de

motivao na assimilao de contedos matemticos. Sabendo que ensinar

no transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua prpria

produo ou a sua construo (FREIRE, 1996, p.27), percebemos a msica

como uma ferramenta eficaz na construo de conhecimentos.

A matemtica uma disciplina considerada muito rida pelos alunos

devido a sua complexidade e a forma como trabalhada em sala de aula, o

que, consequentemente, gera falta de interesse e desmotivao. Conhecendo

tal realidade no recinto escolar que percebemos a necessidade de trabalhar

com algo que despertasse nos alunos o interesse em participar e a motivao

em querer aprender. Vemos que a matemtica est associada a vrias

atividades humanas que do prazer, uma dessas, a msica; uma forma de arte

constituda basicamente de combinaes de sons nas quais a matemtica est

presente. Campos (2009), diz que:

A msica cria um ambiente livre de tenses, facilita a sociabilizao, cria um ambiente escolar mais abrangente e favorece o desenvolvimento afetivo. Na msica, vrios motivos so simultaneamente acionados: a audio, o canto, a dana, o ritmo corporal e instrumental da criao meldica contribuindo para o desenvolvimento da pessoa e servindo para transformar o ato de aprender em uma atitude prazerosa no cotidiano do professor e do aluno. H interao com o outro e consigo mesmo, capacidade de criar e experimentar, dinamizar a aprendizagem de contedos formais do currculo da escola e trazer alegria ao ambiente escolar, estimulando a comunicao, a concentrao, a capacidade de trabalhar e de se relacionar melhor em grupo. (CAMPOS, 2009, p.16)

A msica foi criada atravs de relaes matemticas h muito tempo,

desde a antiguidade. Considerando o cenrio educacional, contraditrio o

pensamento de que a matemtica uma disciplina isolada, que tem um fim em

si mesma. A utilizao de ferramentas ligadas realidade dos alunos para o

ensino de matemtica concretiza a afirmao de que esta uma disciplina

presente em tudo que est ao nosso redor, possibilitando durante as atividades

escolares um ambiente mais abrangente e agradvel.

Na tentativa de fazer com que os alunos passem a conhecer e

compreender as relaes matemticas existentes na msica que utilizamos o

violo como instrumento concreto na construo do pensar matematicamente.

Percebemos que a msica uma ferramenta muito til para se trabalhar

conceitos matemticos, pois alm de proporcionar prazer na execuo das

atividades, os alunos conseguem absorver de forma prazerosa uma

aprendizagem satisfatria, por se tratar de algo que, acreditamos, de seu

interesse.

OBJETIVOS

Desenvolver nos alunos a capacidade de reconhecer as relaes

existentes entre a matemtica e a msica de maneira prazerosa e dinmica,

contribuindo na assimilao e compreenso dos contedos trabalhados,

especialmente proporo, razo e progresso geomtrica (PG). E ainda, faz-

los conhecer a histria que marca essa relao que muitos desconhecem, e

aceitao de que a matemtica est presente em tudo que nos rodeia, nas

coisas mais simples, as coisas mais complexas, sabendo identifica-la como til

e essencial para suas vidas.

MTODOS E PROCEDIMENTOS

Trabalhar com algo presente na realidade do aluno e que

proporcionasse prazer e envolvimento ativo do mesmo nas atividades, no foi

uma tarefa fcil. Os alunos se encontram com uma concepo formada com

relao matemtica, definindo-a como uma disciplina muito complicada e

pouco significativa. Portanto, se torna ainda mais difcil escolha de uma

ferramenta que, aliada matemtica, chame a ateno e gere prazer na hora

da aprendizagem. Snyders (1994) argumenta que:

Para alguns alunos a partir talvez da beleza da msica, da alegria proporcionada pela beleza musical, to frequentemente presente em suas vidas em outra forma, que chegaro a sentir a beleza na literatura, o misto de beleza e a verdade existente na matemtica, o misto de beleza e a eficcia que h nas cincias e nas tcnicas. (SNYDERS, 1994, p. 138).

Atravs da beleza da msica, podemos despertar nos alunos esse

prazer to almejado quando se quer aprender, e a matemtica se torna

essencial para sua existncia.

E ainda, Feitosa (2000) acrescenta que:

Assim como a matemtica, a msica um fenmeno presente no cotidiano da criana; contudo, ao contrrio da matemtica, a msica no s percebida sensorialmente pela criana, como provoca nela uma srie de atitudes que tanto mais auxiliam na elaborao dos seus conceitos e percepes da realidade. (FEITOSA, 2000, p.77)

Durante uma tarde, visitamos as salas do Ensino Mdio da escola a qual

desenvolvemos nossas atividades como bolsistas, divulgando o projeto e

convidando os estudantes para participarem dessa atividade, como mostra a

Figura 1.

Figura 1: Divulgao do projeto na escola.

O projeto foi dividido em dois encontros, que aconteceram nos dias 18 e

19 de maro de 2013. Ao todo, dezesseis estudantes do 1, 2 e 3 anos do

turno vespertino participaram das atividades. No primeiro encontro, os

estudantes fizeram uma avaliao diagnstica abordando matemtica e

msica, como mostra a Figura 2. Esse teste apresentava no seu contedo

questes sobre a frequncia do som das notas musicais e progresso

geomtrica (PG).

Figura 2: Avaliao diagnstica.

Aps o teste, foi feita uma breve explanao acerca dos contedos

matemticos encontrados na msica como razo, proporo, progresso

geomtrica e logaritmos. Essa introduo foi feita atravs das notas musicais e

das relaes existentes na combinao dos sons, buscando a ampliao dos

conhecimentos prvios dos estudantes. Usando exemplos prticos do

cotidiano dos mesmos explicamos o conceito/definio de proporo, para um

melhor entendimento com relao diferena de uma situao ser diretamente

ou inversamente proporcional. Os demais conceitos abordados ainda no

primeiro dia de oficina foram explicados utilizando a matemtica presente na

msica. Levamos os estudantes a identificar a razo entre uma nota e outra e a

perceber que tais razes nos geravam uma progresso geomtrica. A

explicao sobre logaritmo foi curta; abordamos apenas alguns conceitos

bsicos, j que a maioria dos estudantes ainda no tinha estudado o assunto

por estarem ainda no primeiro ano do ensino mdio. Ainda no primeiro

encontro, falamos sobre a histria da msica utilizando audiovisuais, o que

facilitou a abordagem e o desenvolvimento do contedo.

Os vdeos tinham como enfoque a contribuio de Pitgoras, que

relacionou conceitos matemticos com a msica. Campos (2009) ressalta que:

(...) a matemtica est presente no desenvolvimento das escalas musicais, nas principais leis da acstica, na teoria musical. Pitgoras foi o primeiro a relacionar razes de cordas vibrantes a intervalos musicais. Foi ele, Pitgoras, o descobridor do que viria a ser o quarto ramo da matemtica, atravs de suas experincias como monocrdio. (CAMPOS, 2009, p.12)

Acreditando que tudo se constitua atravs da harmonia dos nmeros,

Pitgoras pode encontrar a harmonia sonora das notas musicais atravs de

combinaes de sons agradveis aos ouvidos, durante seus experimentos

utilizando o monocrdio, construindo, assim, a primeira escala musical, a ento

conhecida escala pitagrica.

Pitgoras deu continuidade a seus experimentos investigando a relao entre o comprimento de uma corda vibrante e o tom musical produzido por ela. Caracterizando a primeira lei descoberta empiricamente, o experimento de Pitgoras ainda a primeira experincia registrada na histria da cincia, no sentido de isolar algum dispositivo para observar fenmenos de forma artificial (ABDOUNUR, 1999, p. 5).

O monocrdio de Pitgoras era um instrumento composto por uma caixa

de madeira com uma nica corda presa a dois cavaletes mveis, e era atravs

desse instrumento que realizava seus experimentos. Durantes as suas

descobertas, Pitgoras conseguiu encontrar a relao de comprimento/razes

de nmeros inteiros que produzia determinados intervalos de som. Ao fazer

seus experimentos, percebeu que quando o fio do monocrdio estava esticado

produzia uma vibrao numa frequncia particular; quando o comprimento da

corda era dividido ao meio e tocado, produzia um tom, uma oitava mais alto, e

vibrava a uma frequncia duas vezes maior que a original (2:1). Ento concluiu

que as metades desse comprimento iria produzir um tom duas oitavas mais alto

que o original, quadruplicando sua frequncia (4:1) e isso iria se repetir

proporcionalmente, obedecendo a uma razo matemtica. Portanto, a sua

utilizao foi muito til para o estudo e clculo das relaes entre vibraes

sonoras.

Dando continuidade ao projeto e j que os estudantes estavam

familiarizados com os contedos apresentados no encontro passado,

propomos no segundo e ltimo encontro uma atividade prtica. Os estudantes

foram separados em quartetos e cada grupo recebeu um violo, instrumento de

cordas que fora utilizado no papel de monocrdio de Pitgoras, citado

anteriormente, e uma fita mtrica, para que os estudantes pudessem

determinar as notas musicais da escala pitagrica, atravs da medio das

notas do violo. .

Figura 3: Estudantes utilizando violo como monocrdio de Pitgoras.

A atividade com o violo foi desenvolvida da seguinte maneira. Cada

grupo realizava a medio do comprimento da sexta corda do violo (Mi) a

partir de seus pontos extremos (cavalete e ponte). Depois disso, achava as

relaes de cada nota da escala pitagrica, anotando o tamanho encontrado.

Assim, encontraram atravs de clculos matemticos as notas D, R, Mi, F,

Sol, L, Si, D, verificando as propores existentes entre uma nota e outra,

onde a quinta da escala pitagrica igual a 2/3, contando o nmero de oitavas

que teramos at chegar nota d num percurso de quintas puras. Aps essa

atividade prtica, finalizamos o segundo e ltimo encontro, aplicamos o mesmo

teste para sondarmos os conhecimentos adquiridos pelos estudantes ao longo

do projeto.

DISCUSSO DOS RESULTADOS

A aprendizagem facilmente percebida quando se nota a empolgao e

o envolvimento do aluno na atividade. Se ele est participando ativamente,

porque est querendo entender. Vimos durante o desenvolvimento do projeto

na escola, estudantes participativos, curiosos e motivados a aprender.

Contudo, na aplicao do teste no primeiro dia de projeto, no demonstraram

tanto entusiasmo e segurana ao responder tais questes, deixando

transparecer que no eram conhecedores e nem dominavam o assunto

abordado. Algo que foi mudando gradativamente no decorrer do projeto.

Para que os estudantes passassem a conhecer a relao existente entre

a matemtica e a msica, tivemos que passear na histria da matemtica,

sculo VI a.C, poca de Pitgoras, o ento descobridor de tal relao entre as

duas reas. Notamos olhares atentos e surpresos ao saberem que matemtica

e msica se entrelaam nas combinaes de sons e frequncia, e que o

fascnio de Pitgoras pela msica era devido a sua paixo pelos nmeros.

Sobre esse interesse de Pitgoras pela msica, Rutherford (1984) diz que:

(...) comparado apenas a seu fascnio pelos nmeros, seria de esperar que os pitagricos tentassem combinar os dois. E, de fato, Pitgoras foi aclamado descobridor do fato de que a corda l, da lira de sete cordas, tinha de ter a metade do comprimento da corda sol, uma proporo de 2:1, para produzir uma oitava completa, enquanto as cordas intermedirias relacionavam-se umas com as outras nas propores de 3:2, 4:3, e assim por diante. Isso significa que todas derivavam das sries numricas 1,2,3,4,etc., chegando at dez, nmero que Pitgoras considerava dotado de atributos especiais.(RUTHERFORD,1984, p.58)

Para Pitgoras, tudo se constitua em nmeros, toda msica pode ser

reduzida a nmeros e relaes matemticas, e o universo e todos os seus

fenmenos poderiam ser explicados na razo dos nmeros e relaes

matemticas encontradas na msica.

A viagem pela histria da matemtica foi bastante significativa, pois os

estudantes comearam a dar significado ao que estava sendo abordado e por

fim aceitar a matemtica como til e essencial para suas vidas. E durante a

explanao de contedos percebemos que os mesmos estavam conseguindo

assimilar/entender os contedos da forma que estavam sendo apresentados,

por estarem participando, perguntando e respondendo corretamente alguns

exemplos.

Durante a atividade prtica, nos foi possvel notar atravs de perguntas

frequentes dos estudantes na hora da explorao do material concreto

utilizado, o violo, que eles perceberam que ao dividir a corda do violo ao

meio, obtinham a mesma nota da corda inteira mais com o dobro de frequncia

e que ao dividir a corda inteira em trs partes iguais eles obtinham uma

frequncia que era agradvel aos ouvidos e que quando tocada com a corda

inteira ou sua metade, se tratava de uma nova nota musical e essa diviso da

corda do violo iria se repetir sucessivamente at que eles encontrassem todas

as notas e formassem a escala pitagrica.

Foi uma atividade muito bem sucedida, que divertiu e ao mesmo tempo

trouxe aprendizagem para os envolvidos. Assim, percebemos o quo

importante prtica para o ensino de matemtica, Castro e Carvalho (2001)

destacam que:

Prtica em sala de aula coloca desafios e questes para os quais precisamos criar alternativas adequadas, fazendo com que nosso ensino seja ele tambm uma construo, que se d paralela e concomitantemente com a construo do conhecimento pelos alunos. Talvez mais difcil porque, enquanto profissionais, estamos expostos e freqentemente no temos um parceiro que exera o papel estimulador para que possamos empreender a mudana de nossas concepes alternativas sobre ensino. (CASTRO E CARVALHO, 2001: p. 132)

Foi possvel observar atravs das atividades realizadas e do contato

direto com os estudantes, que a matemtica prtica, alm de divertir, estimular

e facilitar o ensino de contedo, dar-nos possibilidade muito rica de

aprendizado, com inmeras potencialidades para se desenvolver habilidades e

competncias necessrias na resoluo de problemas e situaes reais.

Vale ressaltar ainda, que notamos que alguns dos estudantes que

estiveram presentes nos encontros, apresentavam certo domnio com esse

instrumento, o violo, sabiam toc-lo e conheciam as notas musicais, e isso foi

percebido por ns durante o primeiro contato com o violo na aula prtica,

assim que eles receberam o instrumento comearam a toc-lo e mostrar

algumas canes para os demais. Porm, os mesmos desconheciam essa

relao entre msica e matemtica. No entanto, atravs desse projeto,

passaram a conhecer. Eles conseguiram fazer a assimilao dos contedos e

perceberem que a matemtica est presente no seu dia-a-dia muito mais do

que imaginam. Atravs da msica obtiveram uma aprendizagem de forma mais

prazerosa, fazendo-se possvel unio dessas reas para fins didticos de

forma interdisciplinar, estabelecendo um dialogo entre a msica, matemtica e

educao.

CONSIDERAES FINAIS

Ns, estudantes bolsistas do subprojeto de matemtica, fazemos parte

de uma realidade escolar onde a cada passo que damos sempre haver um

novo desafio a ser superado. Portanto, cabe a ns buscarmos a melhor

maneira de super-los e solucionar os problemas existentes. Trabalhar com a

msica como ferramenta de ensino aliada matemtica para ns foi bastante

produtivo. J para os estudantes, despertou interesse no que estava sendo

explanado, proporcionando uma aprendizagem prazerosa. Atravs desse

projeto foi possvel interligar teoria e prtica de forma harmoniosa.

Percebemos que quando utilizamos uma metodologia inovadora e

adequada possvel fazer com que teoria e prtica andem juntas, trazendo

satisfao aos estudantes na hora da aprendizagem. Foi tentando buscar essa

satisfao/motivao que tivemos a preocupao de criar meios que

possibilitasse a aprendizagem dos estudantes de forma construtiva e que os

mesmos pudessem levar tais conhecimentos adquiridos para sua realidade.

Assim, vemos o quo importante uma metodologia adequada para conseguir

identificar que a prtica no ir ver, passar perto, mas a unio do fazer com o

teorizar o fazer (DEMO, 2006, p.62). Ento, importante que se trabalhe o

aprendizado de forma a construir conhecimentos atravs de mtodos que

faam com que o aluno no aprenda apenas olhando, mas tambm, praticando

e sabendo o que est fazendo.

Vemos a msica como meio de motivao para o ensino de matemtica

muito eficaz, pois torna a aula mais atrativa e interessante de se aprender,

proporcionando uma aprendizagem aceitvel, uma vez que cria um ambiente

livre de tenses, facilita a sociabilizao, cria um ambiente escolar mais

abrangente e favorece o desenvolvimento afetivo (CAMPOS, 2009, p.16) e

uma ferramenta de ensino encontrada facilmente na realidade dos alunos. E

quando aliada a metodologias inovadoras de grande valia na superao de

problemas enfrentados pelos estudantes durante o aprendizado, pois

dependendo da forma de como ensinamos e quais ferramentas iremos utilizar,

podemos fugir do tradicionalismo que os mesmos esto habituados em sala de

aula, podendo promover inmeras interaes interdisciplinares de diversos

conhecimentos, e possivelmente proporcion-los uma aprendizagem

construtiva.

Uma vez que conseguimos despertar o interesse do estudante pelo

contedo, utilizando-se de mtodos diversificados e estimuladores, fica bem

mais fcil despertar seu interesse tambm pela disciplina em questo,

facilitando em muito a prtica de ensino e uma aprendizagem mais slida e

interativa. Para os professores, cabe a cada um encontrar a melhor maneira de

desenvolver suas prticas pedaggicas em sala de aula, com fins a uma

educao de qualidade e voltada para todos.

REFERNCIAS

ABDOUNUR, J. Oscar. Matemtica e Msica. So Paulo: Escrituras, 1999

CAMPOS, Gean Pierre da Silva. Matemtica e Msica: prticas

pedaggicas em oficinas interdisciplinares. Dissertao (mestrado)

Universidade Federal do Esprito Santo, Centro de Educao, aprovada em 24

de abril de 2009.

CASTRO, Amlia Domingues de. CARVALHO, Anna Maria Pessoa de.

Ensinar a Ensinar: Didtica para a Escola Fundamental e Mdia. So

Paulo: Lummi Produo visual e Assessria Ltda., 2001.

DEMO, Pedro. Pesquisa: princpio cientfico e educativo. So Paulo: Cortez

Editora, 2006.

FEITOSA, Sebastio Gonalves. Msica e Matemtica: uma soma que

subtrai problemas, multiplica interesse e divide melhor os resultados.

Linhas Crticas, v.6, n.10, jan a jan/00.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessrios prtica

educativa. 35 ed. So Paulo: Paz e Terra, 1996.

RUTHERFORD, W. Pitgoras. Editora Mercuryo, 1991.

SNYDERS, Georges. A escola pode ensinar as alegrias da msica? 2 ed.

So Paulo: Cortez, 1994.

Palavras-chaves: Matemtica. Msica. Pitgoras. Prtica Docente.