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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

Departamento de Matematica

Tese de Doutorado

PERCOLACAO DE ELOS EM Zd NO REGIME

ALTAMENTE SUPERCRITICO

Remy de Paiva Sanchis

Orientador: Gastao de Almeida BragaCo-orientador: Aldo Procacci

15 de Marco de 2004

Resumo

Neste trabalho estudamos o modelo de percolacao de Bernoulli nos elos de Zd em que cada elo esta

aberto independentemente dos outros com probabilidade p ∈ [0, 1]. Sejam θ(p) e τ fx,y(p) a probabi-

lidade de percolacao e a conectividade finita de dois pontos, respectivamente. Enunciamos a seguiros principais resultados dessa tese, todos eles validos para valores do parametro p suficientementeproximos de 1.

• Mostramos, atraves de uma expansao em polımeros, que as funcoes 1− θ(p) e τ fx,y(p) podem

ser escritas como uma serie de potencias absolutamente convergente em (1 − p)/p, o queimplica que elas sao funcoes analıticas.

• No caso em que d ≥ 3, obtemos cotas superior e inferior para τ fx,y suficientemente precisas

para concluir que a sua taxa de decaimento exponencial, m(p), e da forma m(p) = 2(d −1) ln(1 − p) + O(1 − p).

• Provamos o comportamento de Ornstein-Zernike para τ fx,y, quando os sıtios estiverem na

mesma direcao principal e quando d ≥ 3.

Abstract

We study the Bernoulli percolation model on edges on Zd where each edge in open with probability

p ∈ [0, 1] independently of one another. Let θ(p) and τ fx,y be the percolation probability and the finite

connectivity function, respectively. We state the main results of this thesis. All of them are valid forp sufficiently close to 1.

• Using a polymer expansion, we prove that 1−θ(p) and τ fx,y(p) can be written as an absulutely

convergent power series in (1 − p)/p. Thus implying that these functions are analytic.• In the case d ≥ 3, we provide upper and lower bounds for τ f

x,y sufficiently close from oneanother to conclude that the rate of the exponential decay, m(p), is of the form m(p) =2(d − 1) ln(1 − p) + O(1 − p).

• We derive an Ornstein-Zernike assymptotic formula for τ fx,y along the principal directions and

for d ≥ 3.

Sumario

Capıtulo 1. Introducao 1

Capıtulo 2. Percolacao de elos em Zd 5

1. O modelo 52. Plaquetas, contornos e polımeros 6

Capıtulo 3. Expansao em polımeros 111. Estimativas de entropia 112. A convergencia da expansao para a probabilidade de percolacao 143. A convergencia da expansao para a conectividade finita 184. Cotas para a conectividade finita 21

Capıtulo 4. O Comportamento de Ornstein-Zernike 291. A Separacao de Hiperplanos 292. O operador τ f 333. Propriedades da inversa de τ f 344. Localizacao dos zeros de M 375. Propriedades de ω 406. O Comportamento de Ornstein-Zernike 42

Capıtulo 5. Apendices 451. Analise Complexa 452. Grafos, arvores e formulas de dominacao 46

Referencias Bibliograficas 49

3

CAPıTULO 1

Introducao

Esse trabalho versa sobre alguns aspectos do modelo de percolacao independente de elos em Zd no

regime supercrıtico. Nesse modelo cada elo que liga vizinhos proximos em Zd, pode estar aberto, com

probabilidade p, ou fechado, com probabilidade 1 − p, de maneira independente uns dos outros. Omodelo e descrito na Secao 1.

Sabe-se que, para d ≥ 2, existe um valor nao-trivial de p, chamado de ponto crıtico, acima do qualaparece quase certamente um aglomerado infinito no sistema. Consideramos a probabilidade de umdado sıtio estar nesse aglomerado, θ(p). Esta funcao do parametro p vale zero ate o ponto crıtico, epositiva alem dele e cresce ate 1, quando todos os elos estao abertos. Nao e difıcil ver que essa funcaoe contınua, exceto eventualmente no ponto crıtico (ver a figura), e Russo [35] mostrou que ela e, narealidade, infinitamente diferenciavel em [0, 1] exceto no ponto crıtico. Aparentemente, desde entao oproblema de saber se θ(p) e analıtica permaneceu em aberto. Neste trabalho mostramos

Teorema A funcao θ(p) e analıtica na variavel p em uma vizinhanca de 1.

Esse resultado e obtido apos estabelecermos uma representacao em polımeros para θ(p). Provamos,entao, que a expansao em polımeros e convergente se p e suficientemente proximo de 1. A analiticidadede θ(p) segue da convergencia da expansao.

Por um lado podemos obter facilmente uma expansao desse tipo para valores pequenos de p. Neste casouma expansao convergente e obtida usando os aglomerados conexos (lattice animals) como polımeros.Ja o caso em que p esta proximo de 1 e mais delicado. Podemos tentar uma representacao direta, emque os polımeros sao os elos fechados da fronteira dos aglomerados, uma vez que a probabilidade desseselos estarem abertos e pequena e vale 1− p . Assim, a serie de 1− θ(p) pode ser cotada por uma serieem |1− p|, mas para a convergencia da serie necessitamos que a entropia, quantidade de polımeros deum certo tamanho, seja no maximo de crescimento exponencial. Infelizmente essa quantidade crescemais rapidamente do que qualquer exponencial e a representacao direta nao nos serve.

No entanto, podemos mostrar que ha uma maneira adequada de definirmos os polımeros, feita naSecao 2, de modo a se obter uma expansao convergente. Os polımeros nao mais sao simplesmentefronteiras de animais, mas fronteiras conexas em um sentido particular. Somos levados a estudarobjetos de certa forma duais aos elos do modelo, chamadas plaquetas e conjuntos conexos formadospor esses objetos. Uma vez os polımeros definidos, podemos obter boas estimativas de entropia, comoe feito na Secao 1.

Na Secao 2, mostramos que expansao e efetivamente convergente. A tecnica de expansao em polımerosnos permite obter um resultado perturbativo, ou seja, para valores de p verdadeiramente proximos de1. Mas, mesmo se acreditamos que o resultado e valido ate o ponto crıtico, deverıamos lancar mao detecnicas completamente diversas para atingir tal objetivo.

1

2 1. INTRODUCAO

Uma vez que obtemos essa representacao, podemos analisar outra funcao importante do modelo. Sejaτx,y a probabilidade de dois sıtios x e y estarem conectados. Se, na fase subcrıtica, a conectividadetem decaimento exponencial na distancia entre x e y, na fase supercrıtica ela nao decai pois ha sempreuma probabilidade nao-nula dos sıtios estarem no aglomerado infinito. Somos levados a considerarentao τ f

x,y, a conectividade finita, isto e, a probabilidade de dois sıtios estarem conectados por umaglomerado finito. Na secao 3 mostramos

Teorema A funcao τ fx,y(p) e analıtica na variavel p em uma vizinhanca de 1.

Sabe-se que τ fx,y decai exponencialmente em toda a fase supercrıtica ( ver [15]) e a representacao em

polımeros nos permite obter cotas bastante finas para o decaimento. Denotando por |x − y| a normado grafo, ou seja, |x − y| =

∑i |xi − yi|, para qualquer par de sıtios em Z

d mostramos

Teorema A funcao conectividade finita τ fx,y(p) admite as seguintes cotas para qaisquer x, y ∈ Z

d epara λ = λ(p) = (1 − p)/p suficientemente pequeno e para d ≥ 3

(0.1) L(x, y)

[λ

(1 + λ)2

]Nx,y

≤ τ fx,y(p) ≤ 2L(x, y)λNx,y (1 + Cλ)2Nx,y ,

onde L(x, y) = (|x1−y1|+···+|xd−yd|)!|x1−y1|!+···+|xd−yd|! , Nx,y = 2(d − 1)(|x − y|+ 1) + 2 e C e uma constante que depende

somente da dimensao d.

Para o modelo em Z2, sabemos que a taxa de decaimento, m(p), satisfaz a relacao m(p) = 2m(1 − p)

quando p > pc = 1/2 (ver [15]). Para obter esse resultado, usa-se que a rede Z2 e dual a si mesma.

Em dimensoes maiores nao ha esperanca de se obter resultado analogo exato, uma vez que a dualidadeesta ausente. No entanto, o teorema acima nos permite obter uma comparacao entre a taxa parap proximo de 1 e a taxa para p proximos de zero. Mais precisamente, mostramos que a taxa dedecaimento e proporcional a quantidade mınima de elos fechados necessarios para obtermos o evento,sendo a constante de proporcionalidade a probabilidade de cada um deles estar fechado. Temos entao

Teorema Seja d ≥ 3 e p suficientemente proximo de 1. A taxa de decaimento exponencial da funcaoconectividade finita tem o seguinte comportamento

m(p) = 2(d − 1) ln(1 − p) + O(1 − p).

Por outro lado, podemos calcular quanto vale a taxa de decaimento da conectividade para valores dep proximos de 0, mostrando que ela e proporcional ao numero mınimo de elos abertos necessarios paraa conexao de dois pontos, sendo a constante de proporcionalidade a probabilidade de um elo estaraberto,

m(p) = ln(p) + O(p),

podemos entao concluir que ha uma relacao analoga ao modelo bidimensional entre os valores dastaxas de decaimento, para p ≈ 1, temos

m(p) = 2(d − 1)m(1 − p) + O(1 − p).

Esses sao os resultados da Secao 4. Uma relacao desse tipo para o modelo de Ising havia sido obtidanos trabalhos [28] e [29].

1. INTRODUCAO 3

Obtemos em seguida uma descricao mais precisa do comportamento de τ fx,y, conhecido como com-

portamento de Ornstein-Zernike, que da uma correcao polinomial ao decaimento exponencial. Adenominacao vem de [30]. Um pouco mais precisamente

Teorema Seja d ≥ 3 e tomemos x, y ∈ Zd tais que x − y = (x1 − y1, 0, · · · , 0). Entao existe um

numero positivo r tal que a conectividade finita pode ser escrita como

(0.2) τ fx,y(p) = C(p, x − y)

e−m(p)|x−y|

|x − y|d−12

, sempre que 11+r < p < 1,

onde e−m(p) = (1 − p)2d−2[1 + f(p)] e C(p, x − y) sao tais que

(0.3) lim|x−y|→∞

C(p, x − y) =(1 − p)4d−d2−1

(2π)d−12

[1 + g(p)]

e f(p), g(p) sao funcoes analıticas em p, 11+r < p < 1, tais que limp→1 f(p) = 0 = limp→1 g(p).

O metodo utilizado nao se aplica ao caso bidimensional e acredita-se, por analogia com o modelo deIsing (ver [24]), que realmente o modelo bidimensional tem um comportamento diferente. Haveriauma correcao polinomial, mas da forma |x − y|−2 e nao com potencia 1/2 como seria o caso previstopor Ornstein-Zernike. O comportamento de Ornstein-Zernike esta associado a um polo simples datransformada de Fourier da conectividade. Em duas dimensoes, a singularidade que da o decaimentoexponencial e um ponto de ramificacao.

Na secao 1 usamos a separacao de hiperplanos de Spencer (ver [40, 41]) para obtermos informacoesprecisas sobre o decaimento exponencial da conectividade finita em uma direcao principal. Observandoque a funcao τ f

x,y pode ser vista como o nucleo de um operador no espaco ℓ2(Zd), mostramos queele admite um operador inverso para valores de p suficientementes proximos de 1 e que o operadorinverso decai mais rapidamente que τ f naquela direcao. Este e o objeto da Secao 3. Esses fatos serefletem na transformada de Fourier do operador inverso de τ f , cuja regiao de analiticidade, na variavelcorrespondente a direcao do decaimento, contem um zero. A localizacao desse zero depende das outrasvariaveis. Mostramos que esse zero e simples na Secao 4. Finalmente, na Secao 5 achamos o mınimoda funcao de localizacao do zero e, na Secao 6, aplicamos um metodo de Laplace multidimensionalpara obtermos o comportamento de Ornstein-Zernike.

O comportamento de Ornstein-Zernike foi obtido de modo rigoroso primeiramente para a correlacao domodelo de Ising por Paes Leme [31] que o derivou para altas temperaturas e para o modelo em qualquerdimensao. Schor [36] mostrou que a correlacao truncada do modelo de Ising tem esse comportamentopara temperaturas muito baixas em dimensoes d ≥ 3. Ambos os resultados sao validos para pares desıtios na mesma reta ordenada.

Desde entao, o comportamento de Ornstein-Zernike foi obtido de modo rigoroso para varios modelosda mecanica estatıstica, principalmente no regime de alta temperatura/baixa densidade: fluido classicoem baixa densidade [2], teorias de calibre fortemente acopladas [37, 38, 27, 7], superfıcies aleatorias[1, 7, 19], modelo O(N) em altas temperaturas [7], caminhos auto-evitantes para todos parametrosnao-crıticos [14, 22, 18], modelos do tipo Ising para altas temperaturas [26, 25], modelo de Ising

4 1. INTRODUCAO

quantico em um campo transversal [20] e tensao superficial para o modelo Blume-Capel bidimensionalem baixas temperaturas [17]. Mais recentemente o resultado de Paes Leme foi estendido para qualquertemperatura supercrıtica (acima de Tc) em [12].

Com relacao ao modelo de percolacao de Bernoulli, tal comportamento foi obtido para todos valoresde p subcrıticos [13] e, neste caso, para todas as direcoes [11].

Os resultados apresentados na tese sao baseados em [5, 6, 33]

CAPıTULO 2

Percolacao de elos em Zd

Na primeira secao definimos o modelo e algumas quantidades de interesse, em particular, a probabi-lidade de percolacao e a conectividade finita. Na segunda secao, usando um modelo definido em umacaixa finita, obtemos uma representacao da probabilidade de percolacao e da conectividade finita emtermos de certos objetos duais, chamados polımeros.

1. O modelo

Uma referencia ja canonica para o que sera feito nessa secao e o livro de Grimmett [16].

Seja Zd = x ∈ R

d;xi ∈ Z ∀i = 1, . . . , d a rede discreta d-dimensional. Chamamos cada ponto xde Z

d de sıtio ou vertice. Se S ⊂ Zd e finito denotamos por |S| a cardinalidade de S. Denotamos

por ‖ · ‖ a norma euclidiana em Zd e por | · |, a norma do grafo em Z

d. Um par nao ordenado desıtios x, y que sao vizinhos proximos, isto e, tais que ‖x − y‖ = 1, e chamado de elo. Por vezese interessante termos uma definicao alternativa de elos como todo o segmento que liga dois sıtiosvizinhos, essa representacao e particularmente interessante quando tomamos a rede Z

d imersa em Rd.

Isso nao dara margem a ambiguidades. O conjunto de elos de Zd e denotado B(Zd). A cada elo e

associamos uma variavel aleatoria ωe que toma valores em 0, 1. Se ωe = 1 dizemos que o elo estaaberto, caso contrario dizemos que ele esta fechado. A variavel ωe toma o valor 1 com probabilidade p eo valor 0 com probabilidade q = 1−p, p ∈ [0, 1]. Denotamos µe essa probabilidade. Uma configuracao

ω e um elemento de Ω = 0, 1B(Zd) que e o espaco de configuracoes. Designamos por F a σ−algebragerada pelos conjuntos cilındricos. Podemos definir entao um processo de percolacao nos elos de Z

d

com parametro p como a medida de probabilidade P em (Ω,F) que e o produto das medidas µe,P = Πe∈B(Zd)µe. Quando queremos enfatizar o parametro p, escrevemos Pp.

Seja um conjunto finito Λ em Zd. Escrevemos B(Λ) para designar o conjunto de todos os elos e ⊂ Λ,

i.e. o conjunto de todos os pares x, y ⊂ Λ tais que ‖x − y‖ = 1 e definimos sua fronteira como∂Λ = x ∈ Λ : ∃y 6∈ Λ tal que ‖y − x‖ = 1. A fronteira de elos de Λ sera definida por

(1.1) ∂eΛ = e ∈ B(Zd); e = x, y x ∈ Λ y 6∈ Λ.

Um animal A em Zd e um subconjunto finito de B(Zd), conexo no sentido topologico. Denotamos os

vertices de A por VA. Um caminho entre dois pontos da rede x e y e uma sequencia finita de elose1, . . . , en em que ei = xi, xi+1, todos os vertices sao distintos e x1 = x e xn+1 = y. Um caminho edito aberto se todos os seus elos estao abertos. Dizemos que dois sıtios x, y ∈ Z

d estao conectados parauma dada configuracao quando existe um caminho aberto que os contem. Denotamos esse evento porx ↔ y. Dada uma configuracao, o aglomerado aberto de um vertice x, denotado Cx, e o conjunto

5

6 2. PERCOLACAO DE ELOS EM Zd

de vertices conexo por elos abertos, que contem x e maximal com relacao a essa propriedade. Aprobabilidade de percolacao θ(p) e a probabilidade de que a origem (ou, por invariancia translacional,qualquer outro sıtio fixo) tenha um aglomerado aberto infinito.

(1.2) θ(p) = P(|C0| = ∞).

Para qualquer dimensao d ≥ 2 existe um valor crıtico 0 < pc < 1 tal que, quando p < pc a probabilidadede percolacao e nula e quando p > pc ela e estritamente positiva. Se p < pc dizemos que o sistemaesta na fase subcrıtica e se p > pc dizemos que ele esta na fase supercrıtica.

Outra funcao que sera estudada e a probabilidade de que dois sıtios estejam conectados, τx,y(p).

(1.3) τx,y(p) = P(x ↔ y).

Essa probabilidade tende a zero exponencialmente quando a distancia entre x e y tende a infinito seo parametro do modelo e p < pc. No entanto, se p > pc, usando a desigualdade FKG, a unicidade doaglomerado infinito e a invariancia por translacoes do modelo, temos

τx,y(p) = P(x ↔ y) ≥ P(|Cx| = ∞ e |Cy| = ∞) ≥ P(|Cx| = ∞) · P(|Cy| = ∞) = θ(p)2,

ou seja, τx,y(p) esta uniformemente distante de zero para quaisquer x e y. Definimos entao, na fasesupercrıtica, duas funcoes que serao, de certo modo, analogas a conectividade na fase subcrıtica:

A conectividade truncada

τ tx,y = P(x ↔ y) − θ(p)2

e a conectividade finita

τ fx,y = P(x ↔ y

∣∣ |Cx| < ∞).

Sabemos que essas duas quantidades decaem exponencialmente quando ‖x − y‖ → ∞ em toda a fasesupercrıtica e isso acontece com a mesma taxa ou massa (ver [15]). Supondo que x − y = α~v, ondeα ∈ R e ~v ∈ Sd−1

limα→∞

− ln τ fx,y

‖x − y‖= m(p,~v) = lim

α→∞

− ln τ tx,y

‖x − y‖.

2. Plaquetas, contornos e polımeros

Definimos, finalmente, o modelo de percolacao a volume finito. Seja Λ ∈ Zd. Uma configuracao em

B(Λ) sera um elemento de ΩB(Λ) = 0, 1B(Λ). Assumiremos que Λ e um cubo [−N,N ]d em Zd. Nessa

notacao limΛ→∞ significara limN→∞.

Uma medida de probabilidade PΛ esta naturalmente definida em ΩB(Λ), a saber, a restricao ao conjunto

B(Λ) da probabilidade de Bernoulli em B(Zd). Dada uma configuracao ω em ΩB(Λ) denotamos porAω o conjunto de todos os elos abertos de ω e por Fω o conjunto de todos os elos fechados de ω. Logo,a probabilidade dada a ω e simplesmente

PΛ(ω) = p|Aω|(1 − p)|Fω|.

Essa probabilidade ja e normalizada

(2.1)∑

ω∈ΩB(Λ)

PΛ(ω) =∑

ω∈ΩB(Λ)

p|Aω|(1 − p)|Fω| = 1.

2. PLAQUETAS, CONTORNOS E POLIMEROS 7

Podemos reescrever (2.1) da seguinte forma

(2.2) 1 = p|B(Λ)| ∑

ω∈ΩB(Λ)

(1 − p

p

)|Fω|.

Definimos, para λ ∈ C, a “funcao particao”

(2.3) ZΛ(λ) =∑

ω∈ΩB(Λ)

λ|Fω|.

Entao, por (2.2)

(2.4) ZΛ(λ)∣∣∣λ= 1−p

p

= p−|B(Λ)|.

Para cada elo fechado e da configuracao ω, colocamos um hiper-quadrado e∗ unitario (d−1)-dimensio-nal, perpendicularmente a e, com arestas paralelas aos eixos ordenados de Z

d e de modo que e∗∩e sejao baricentro do elo e e do hiper-quadrado e∗. Chamamos esse hiper-quadrado de plaqueta dual a e.Os vertices da plaqueta se situam na rede transladada pelo vetor (1/2, . . . , 1/2) ∈ R

d. Denotamos porB∗(Λ) o conjunto das plaquetas duais a B(Λ) e por B∗(Zd) o conjunto de todas as plaquetas duais.De maneira geral, dado um subconjunto S ⊂ B(Zd), denotamos por S∗ o seu dual, i.e. S∗ = e∗ ∈B(Zd) : e ∈ S. Em particular, para d = 3, uma plaqueta sera simplesmente um quadrado. Dadosdois conjuntos β ⊂ B∗(Zd) e β′ ⊂ B∗(Zd), escrevemos β ∩ β′ = e∗ ∈ B∗(Zd) : e∗ ∈ β e e∗ ∈ β′.

Duas plaquetas e∗ e e∗ sao incompatıveis se elas partilham uma aresta (d−2)-dimensional. Escrevemose∗ 6∼ e∗. Em d = 3 duas plaquetas sao incompatıveis se elas partilham uma aresta. Um conjunto finitoγ ⊂ B∗(Zd) e um animal dual se, para qualquer particao γ = γ1 ∪ γ2, existem plaquetas e∗1 ∈ γ1 ee∗2 ∈ γ2 tais que e∗1 6∼ e∗2. Denotaremos por Γ o conjunto de todos os animais duais em B∗(Zd) e porΓΛ, o conjunto de todos os animais duais em B∗(Λ).

Consideramos γ imerso em Rd. Um animal dual γ e chamado um contorno de Peierls se R

d − γtem duas componentes conexas e e mınimal com relacao a essa propriedade. Neste caso γ particionaZ

d de maneira unica em dois conjuntos disjuntos, um finito e outro infinito. Chamamos de interiorde γ a componente finita e o denotamos por I(γ). Um animal dual γ e dito um contorno se existepelo menos um subconjunto γ′ ⊂ γ que e um contorno de Peierls. Seja γ ∈ Γ um contorno e sejamγ1, . . . , γn os contornos de Peierls nele contidos. Definimos I(γ) = ∪n

i=1I(γi). O conjunto I(γ), que efinito, sera chamado de interior do contorno γ. Dado um contorno γ ∈ Γ e k vertices x1, . . . , xk (naonecessariamente distintos), dizemos que γ cerca x1, . . . , xk e escrevemos γ ⊙ x1, . . . , xk, se existeum animal A ⊂ B(Zd) tal que xi ∈ VA para todos i = 1, . . . , k, A ⊂ I(γ), e A∗ ∩ γ = ∅. Dizemos quedois animais duais γ, γ′ ∈ Γ sao compatıveis, e escrevemos γ ∼ γ′, se γ ∪ γ′ /∈ Γ. Denotaremos por|γ| a cardinalidade de γ, i.e. o numero de plaquetas que formam o animal dual γ. Associamos a todo

animal dual γ um peso estatıstico (ou atividade) λ|γ|. Com essas notacoes, dada uma configuracao ω,existe uma correspondencia biunıvoca entre o conjunto de elos fechados em B(Λ) e a distribuicao deanimais duais em B∗(Λ).

A funcao particao (2.3) pode ser reescrita como

(2.5) ZΛ(λ) = 1 +∑

n≥1

∑

γn: γi∈ΓΛγi∼γj

λ|γn|,

onde denotamos por abreviacao γn = γ1, . . . , γn, |γn| =∑n

i=1 |γi|. Observamos que o termo 1e a contribuicao da configuracao em que todos os elos estao abertos.


Definimos a conectividade finita a volume finito por

(2.6) τΛx,y(p) = PΛ(x ↔ y : Cx ∩ ∂Λ = ∅) =

p|B(Λ)| ∑

ω∈ΩB(Λ)y∈Cx

Cx∩∂Λ=∅

(1 − p

p

)|Fω|=

1

ZΛ(λ(p))

∑

ω∈ΩΛy∈Cx

Cx∩∂Λ=∅

λ(p)|Fω |.

Ou seja, τΛx,y(p) e a probabilidade de que x e y estejam conectados atraves de um caminho aberto

que nao intersecte a fronteira da caixa. Uma notacao mais consistente seria τΛfx,y, mas ficaria muito

carregada.

Definimos tambem o complementar da probabilidade de percolacao a volume finito:

(2.7) θcΛ(p) = P (C ∩ ∂Λ = ∅) =

∑

ω∈ΩΛC∩∂Λ=∅

p|Aω|(1 − p)|Fω| =1

ZΛ(λ(p))

∑

ω∈ΩΛC∩∂Λ=∅

λ(p)|Fω|.

Podemos ver que, para qualquer p ∈ [0, 1],

(2.8) limΛ→∞

τΛx,y(p) = τ f

x,y(p) e limΛ→∞

θcΛ(p) = θc(p),

onde τ fx,y(p) e a funcao conectividade finita definida em (1.3) e θc(p) = 1 − θ(p).

Provemos o limite da esquerda em (2.8). Seja r(C) = supx∈C max1≤i≤d |xi| o raio do aglomerado C.Por um lado temos:

(2.9) θc(p) = P(|C0| < ∞) =∞∑

n=0

P(r(C0) = n),

por outro, lembrando que Λ = [−N,N ]d, temos:

(2.10) θcΛ(p) = PΛ(C0 6↔ ∂Λ) = P(r(C0) < N) =

N−1∑

n=0

P(r(C0) = n).

O limite decorre de (2.9) e (2.10). Com relacao a conectividade finita, o argumento e o mesmo.

Em termos de animais duais a condicao de que, na configuracao ω, y pertenca ao aglomerado de x, Cx, eque este nao intersecte a fronteira, corresponde a uma configuracao γn que satisfaca duas condicoes.Primeiramente deve existir pelo menos um contorno γi que cerque o conjunto x, y, i.e. γi ⊙ x, y e

ainda nunhum outro animal dual pode cercar x e nao cercar y ou vice-versa. E importante notar queessa condicao se da sobre a configuracao inteira de animais duais. Se uma n-upla nao-ordenada γn

de contornos satisfizer essa condicao, denotamos γn ⊙ x, y.

Logo podemos, lembrando (2.4), (2.5) e (2.6), reescrever a conectividade na notacao de contornoscomo

(2.11) τΛx,y(p) = τΛ

x,y(λ)∣∣∣λ= 1−p

p

onde τΛx,y(λ) e uma funcao de uma variavel complexa λ dada por

(2.12) τΛx,y(λ) =

∑n≥1

∑γn: γi∈ΓΛ, γi∼γj

γn⊙x,0

λ|γn|

1 +∑

n≥1

∑γn: γi∈ΓΛ

γi∼γj

λ|γn| .

2. PLAQUETAS, CONTORNOS E POLIMEROS 9

Dois animais duais compatıveis em Λ∗. Seus interiores sao as regioes em cinza. O animal dual da direita nao atinge a

fronteira ∂B(Λ) e tem arigem em seu interior. O animal dual da esquerda atinge a fronteira ∂B(Λ).

Embora usemos a mesma notacao para designar duas funcoes distintas em (2.11), sempre estara clarono texto a que funcao estamos nos referindo.

Com relacao a probabilidade de percolacao, a razao do lado direito de (2.7) nos permite reinterpretarθcΛ(p) como um valor esperado no sentido classico da mecanica estatıstica. Comecando dessa razao,

desenvolvemos uma representacao para θcΛ(p) em termos de animais duais.

Observamos que a condicao no somatorio do lado direito de (2.7) e a de somar sobre os ωΛ tais queC ∩ ∂B(Λ) = ∅ pode ser reescrita como a soma sobre configuracoes de animais duais γ1, . . . , γn taisque existe γi com 0 ∈ I(γi). Logo, usando (2.7) obtemos

(2.13) θcΛ(p) =

∑n≥1

∑γ1,...,γn⊂ΓΛ: γi∼γj

∃γk: 0∈I(γk)

λ|γ1| . . . λ|γn|

1 +∑n≥1

∑γ1,...,γn⊂ΓΛ

γi∼γj

λ|γ1| . . . λ|γn| .

Queremos mostrar que existe um disco em torno de λ = 0 no qual as funcoes τΛx,y(λ) e θΛ

c (λ) podemser expressas como series convergentes uniformemente no volume, o que nos permitira concluir que olimite termodinamico dessas funcoes, i.e. Λ → ∞, existe e e analıtico. Para tanto reescrevemos asrazoes (2.12) e (2.13) como series de potencias em λ via uma expansao em termos de objetos maiscomplexos chamados polımeros, que definiremos a seguir.

Seja

Γx1,...,xn = γ1, . . . , γk;∀ i, γi ∈ Γ e para algum j ∈ 1, . . . , n γi ⊙ xj

e, analogamente,

Γx1,...,xn

Λ = γ1, . . . , γk;∀ i, γi ∈ ΓΛ e para algum j ∈ 1, . . . , n γi ⊙ xj


Um polımero γ constituıdo de tres contornos γ1, γ2 e γ3.A area em cinza e o interior de γ.

Usaremos somente os casos em que x1, . . . , xn = x, y ou x1, . . . , xn = x. Escreveremos

(2.14) Gx1,...,xn = Γ ∪ Γx1,...,xn Gx1,...,xn

Λ = ΓΛ ∪ Γx1,...,xn

Λ .

Definicao 2.15. Um conjunto γ ∈ Gx1,...,xn sera chamado de polımero. Dizemos que dois polımerosγi ∈ Gx1,...,xn e γj ∈ Gx1,...,xn sao compatıveis, e denotamos γi ≈ γj, se γi∪γj /∈ Gx1,...,xn; analogamente,γi ∈ Gx1,...,xn e γj ∈ Gx1,...,xn sao incompatıveis, e denotamos γi 6≈ γj, se γi ∪ γj ∈ Gx1,...,xn.

Notemos que se γ ∈ Γx1,...,xn e γ′ ∈ Γx1,...,xn , entao necessariamente γ 6≈ γ′. A qualquer γ ∈ Gx,y

associamos uma atividade λ|γ|, onde |γ| e a cardinalidade de γ, i.e. o numero de plaquetas que formamo polımero γ. O interior de um polımero γ = γ1, . . . , γn e simplesmente I(γ) = ∪iI(γi). Dizemosque o polımero γ ∈ Gx1,...,xn cerca x1, . . . , xn se γ ∈ Γ e um contorno tal que γ ⊙ x1, . . . , xn, ouentao se γ = γ1, . . . , γk ∈ Γx1,...,xn e γk ⊙ x1, . . . , xn. Observamos que se dois polımeros γ e γ′

cercam x1, . . . , xn, γ ⊙ x1, . . . , xn e γ′ ⊙ x1, . . . , xn, entao necessariamente γ 6≈ γ′.

Em duas dimensoes, vemos na Figura 2, um polımero γ = γ1, γ2, γ3 que cerca a origem, γ ⊙0, ouseja, γ ∈ G0.

CAPıTULO 3

Expansao em polımeros

O objetivo desta secao e mostrar que a representacao das funcoes τ f(p)x,y e θc(p), usando os polımerosdefinidos na secao anterior, e convergente para valores de p proximos de 1. Primeiramente faremosalgumas estimativas do numero de animais duais que tem certa propriedade. Em seguida, usandoessas estimativas, mostraremos a convergencia das series que representam τ f(p)x,y e θc(p).

1. Estimativas de entropia

Dado e∗0 ∈ B∗(Zd), denotamos por Sd o numero de plaquetas e∗ incompatıveis com e∗0. Observamosque Sd = 6(d − 1). Denotamos a rede transladada pelo vetor d-dimensional (1/2, . . . , 1/2) por Z

d∗ aque chamamos por vezes de rede dual. Provemos inicialmente

Lema 1.1. O numero de animais duais γ de um certo tamanho |γ| = n que passam por um ponto dado

x∗ ∈ Zd∗ cresce, no maximo, exponencialmente em |γ|, i.e., para todos x∗ ∈ Z

d∗ e n ∈ N

(1.2)∑

γ: x∗∈γ|γ|=n

1 ≤ Cn0 ,

onde C0 = S−Sdd (1 + Sd)

1+Sd

Demonstracao. Seja 0∗ a origem da rede dual. Pela invariancia translacional, e suficiente mostrarque

(1.3)∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

1 ≤ Cn0 .

Primeiramente observamos que a probabilidade de termos um animal dual fixo γ e dada por P (γ) =

(1 − p)|γ|p|∂γ| onde ∂γ e a fronteira do animal dual γ definida como

∂γ = σ /∈ γ : σ 6∼ σ′, para algum σ′ ∈ γ.

Observando que |∂γ| ≤ Sd|γ|, temos∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

(1 − p)|γ|pSd|γ| ≤∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

(1 − p)|γ|p|∂γ| < 1,

onde o termo do meio na desigualdade acima e a probabilidade de termos um animal dual de tamanhon passando por 0∗. Temos entao

∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

1 ≤

[1

(1 − p)pSd

]n

, para qualquer p ∈ (0, 1).

11

12 3. EXPANSAO EM POLIMEROS

Como, para p ∈ (0, 1), temos

min0≤p≤1

1

(1 − p)pSd= (1 + Sd)

[1 + Sd

Sd

]Sd

,

obtemos a desigualdade

∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

1 ≤

(1 + Sd)

[1 + Sd

Sd

]Sdn

.

Assim, o lema esta provado.

Continuando com a contagem

Lema 1.4. O numero de animais duais γ com uma certa cardinalidade |γ| = n tais que 0 ∈ I(γ)cresce, no maximo, exponencialmente em n, i.e., para n ∈ N para qualquer

(1.5)∑

γ: 0∈I(γ)|γ|=n

1 ≤ Cn1 ,

onde C1 = 2dC0 e C0 e dado pelo Lema (1.1).

Demonstracao. Usando que o volume do interior de um animal dual γ de cardinalidade n e, nomaximo, nd e aplicando o Lema (1.1), obtemos

∑

γ:0∈I(γ)|γ|=n

1 ≤ nd∑

γ:0∗∈γ|γ|=n

1 ≤ 2dnCn0 ≤ Cn

1 .

Finalmente provamos a principal estimativa de entropia para a Secao 2.

Lema 1.6. O numero de polımeros γ de uma dada cardinalidade |γ| = n e com 0 ∈ I(γ) cresce, nomaximo, exponencialmente em n, i.e., para qualquer n ∈ N

(1.7)∑

γ∈G0: 0∈I(γ)|γ|=n

1 ≤ Cn2 ,

onde C2 = 2C1 e C1 e dado pelo Lema (1.4).

Demonstracao. Lembremos que o polımero γ e uma colecao de animais duais compatıveis da formaγ = γ1, . . . , γk com I(γi) ∋ 0. Logo, se |γ| = n, entao certamente 1 ≤ k ≤ n. Usando o Lema (1.4),

1. ESTIMATIVAS DE ENTROPIA 13

e imediato ver que a soma (1.7) e limitada por cima por

n∑

k=1

∑

|γ1|+···+|γk|=n

k∏

i=1

∑

γ: 0∈I(γ)|γ|=|γi|

1

≤n∑

k=1

∑

|γ1|+···+|γk|=n

k∏

i=1

(C

|γi|1

)

=

n∑

k=1

∑

|γ1|+···+|γk|=n

Cn1

≤ Cn1

n∑

k=1

∑

|γ1|+···+|γk|=n

1

≤ Cn1

n∑

k=1

(n − 1

k − 1

)

= Cn1 2n−1 ≤ Cn

2 .

(1.8)

A proxima estimativa sera usada na Secao 3

Lema 1.9. O numero de polımeros que cercam x e y de tamanho n cresce, no maximo, exponencial-mente em n

(1.10)∑

γ∈Γx,y ;γ⊙x,y|γ|=n

1 < Cn3 ,

onde a constante C3 depende somente da dimensao.

Demonstracao.

∑

γ∈Γx,y: |γ|=n

1 ≤n∑

k=1

∑

n1+···+nk=n

k∏

i=1

2

∑

γ∈Γ:|γ|=ni ouγ⊙0 ou

γ⊙x

1

≤n∑

k=1

2k∑

n1+···+nk=n

k∏

i=1

[2dC1]2ni

= [2dC1]2n

n∑

k=1

2k∑

n1+···+nk=n

1

≤ [2dC1]2n

n∑

k=1

2k

(n − 1

k − 1

)

≤ [3 · (2dC1)2]n ≡ Cn

0 .

(1.11)


2. A convergencia da expansao para a probabilidade de percolacao

Usando os polımeros definidos na Secao 1, podemos reescrever

(2.1) 1 +∑

n≥1

∑

γ1,...,γn⊂ΓΛγi∼γj

λ|γ1| . . . λ|γn| = 1 +∑

n≥1

∑

γ1,...,γn⊂G0Λ

γi≈γj

λ|γ1| . . . λ|γn|

e

(2.2)∑

n≥1

∑

γ1,...,γn⊂ΓΛγi∼γj , ∃γk : 0∈I(γk)

λ|γ1| . . . λ|γn| =∑

n≥1

∑

γ1,...,γn⊂G0Λ

γi≈γj , ∃γ;γ⊙0

λ|γ1| . . . λ|γn|.

Observamos que na soma sobre as configuracoes de polımeros γ1, . . . , γn no lado direito de (2.2) um,e somente um, polımero cerca a origem. Por (2.1) e (2.2), temos

(2.3) θcΛ(p) =

∑n≥1

∑

γ1,...,γn⊂G0Λ

γi≈γj , ∃γ;γ⊙0

λ|γ1| . . . λ|γn|

1 +∑n≥1

∑

γ1,...,γn⊂G0Λ

γi≈γj

λ|γ1| . . . λ|γn| .

onde λ = λ(p).

A representacao (2.3) nos permite exprimir θcΛ(p) como uma derivada do logarıtmo de uma funcao

particao adequada. Para tanto, definimos uma nova atividade dos polımeros γ. Let α ∈ R e γ ∈ Γ0 edefinimos

(2.4) ρα(γ) =

(1 + α)λ|γ| se γ ⊙ 0

λ|γ| caso contrario.

Seja ΞΛ, α(λ) a funcao particao grancanonica

(2.5) ΞΛ, α(λ) = 1 +∑

n≥1

∑

γ1,...,γn⊂G0Λ

γi≈γj

ρα(γ1) . . . ρα(γn).

Definimos

(2.6) fΛ(λ) =∂

∂α

∣∣∣α=0

lnΞΛ, α(λ).

Verificamos que

(2.7) θcΛ(p) = fΛ (λ(p)) .

A vantagem das formulas (2.5) e (2.7) e que elas nos permitem reescrever fΛ(λ), e por consequenciaθcΛ(p), diretamente como uma serie e nao mais como uma razao entre duas somas finitas como em (2.3).

Na realidade, o lado direito de (2.5) e novamente uma funcao particao grancanonica de um gas depolımeros “hard-core”em que os polımeros sao os objetos em G0

Λ, com atividade dada por ρα(γ) e queinteragem por um potencial “hard-core”(no sentido que eles devem ser compatıveis). Se definirmos

(2.8) U(γi, γj) =

+∞ se γi 6≈ γj

0 caso contrario,

2. A CONVERGENCIA DA EXPANSAO PARA A PROBABILIDADE DE PERCOLACAO 15

o lado direito de (2.5) pode ser reescrito como

(2.9) ΞΛ, α(λ) = 1 +∑

n≥1

1

n!

∑

(γ1,...,γn)∈(G0Λ)n

ρα(γ1) . . . ρα(γn) e−

∑1≤i<j≤n

U(γi,γj)

,

onde (G0Λ)n e o produto cartesiano n vezes de G0

Λ.

Computamos a expansao da serie de Mayer da funcao ln ΞΛ, α(λ) explicitamente (ver por exemplo [10],[21] [39] ou ainda [32]), obtendo

(2.10) ln ΞΛ, α(λ) =

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ1...γn)∈(G0Λ)n

ΦT (γ1, . . . , γn)ρα(γ1) . . . ρα(γn),

onde os coeficientes de Ursell sao

(2.11) ΦT (γ1, . . . , γn) =

∑g∈Gn

∏

i,j∈g

(e−U(γi,γj) − 1) se n ≥ 2

1 se n = 1,

onde Gn sao os grafos conexos sobre 1, 2, . . . , n (ver apendice). O que nos da

(2.12) fΛ(λ) =

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ1...γn)∈(G0Λ)n

∃γ;γ⊙0

k(γ1, . . . , γn)ΦT (γ1, . . . , γn)ρ(γ1) . . . ρ(γn)

onde o inteiro k(γ1, . . . , γn), e o numero de polımeros em (γ1, . . . , γn) que cercam a origem. Vemosque k(γ1, . . . , γn) ≤ n.

Teorema 2.13. Existe uma constante positiva λ0, que e independente do volume Λ, tal que a seriedada pela equacao (2.12) converge absolutamente para valores complexos de λ no disco |λ| < λ0.

Observacao. Na prova do teorema acima veremos que λ0 = 1/(6 · 2deC0), onde C0 e dado pelo Lema1.1. Como corolario desse teorema, obtemos o resultado principal da secao:

Teorema 2.14. Para qualquer caixa Λ, a funcao fΛ(λ) em (2.12) e analıtica no disco complexo|λ| < λ0 e o limite

(2.15) f(λ) = limΛ→∞

fΛ(λ)

existe e e analıtico no mesmo disco.

Observacao. Pelo Teorema 2.14, a funcao f ((1 − z)/z) e analıtica no domınio complexo D = z ∈C : |(1 − z)/z| < λ0 e, por (2.8) e (2.7), f ((1 − p)/p) = θc(p) for p ∈ [0, 1]. Logo f ((1 − z)/z) e aunica continuacao analıtica de θc(p) no domınio D.

Demonstracao do Teorema 2.13 No que se segue, iremos cotar, uniformemente em Λ, a serie dadapela equacao (2.12). Lembrando que a configuracao dos polımeros γ1, . . . , γn que contribuem parao somatorio (2.12) tem pelo menos um polımero cujo interior contem a origem, obtemos

(2.16) |fΛ(λ)| ≤∑

γ1∈G0Λ:γ⊙0

|λ||γ1|

1 +∑

n≥2

n

(n − 1)!Bn,Λ(γ1)

,

ondeBn,Λ(γ) ≡

∑

(γ2...γn)∈(G0Λ)n−1

∣∣∣ΦT (γ, γ2 . . . γn)λ∑n

i=2 |γi|∣∣∣ .


Para continuar necessitamos de uma cota superior para Bn,Λ(γ). Definimos

(2.17) ν ≡∑

γ∈G0

0∗∈γ

(e|λ|)|γ| +∑

γ∈G0

γ⊙0

(e|λ|)|γ|,

observando que ν nao depende de Λ pois em (2.17) fazemos a soma sobre G0 e nao em G0Λ. Na sequencia

usaremos o seguinte lema cuja prova segue abaixo.

Lema 2.18. Seja n ≥ 2, para qualquer Λ e qualquer polımero γ:

(2.19) Bn,Λ(γ) ≤ (n − 1)!e|γ|[2dν]n−1.

Colocando a estimativa (2.19) em (2.16), obtemos

(2.20) |fΛ(λ)| ≤∑

γ∈G0Λ:γ⊙0

|λ||γ|

1 + e|γ|∑

n≥2

n(2dν)n−1

.

A serie∑

n≥2 n(2dν)n−1 sera convergente e limitada por 3 se 2dν < 1/2 e essa condicao sera satisfeita

se |λ| ≤ 1/(4d12eC0), onde C0 e a constante do Lema (1.1). Alias, usando os Lemas (1.4) e (1.6),obtemos

ν ≤∑

n≥1

∑

γ: 0∗∈γ|γ|=n

(|λ|e)n +∑

γ: γ⊙0|γ|=n

(|λ|e)n

≤∑

n≥1

[(|λ|eC1)n + (|λ|eC2)

n] .

Lembrando que C2 = 2C1, o ultimo somatorio acima converge se |λ|eC1 < 1/2 e for menor que 6|λ|eC1

if |λ|eC1 < 1/4. Logo, lembrando que C1 = 2dC0 onde C0 e a constante do Lema 1.1, a condicao2dν < 1/2 e satisfeita se |λ| < 1/(4d12eC0). Se usarmos a cota (2.20), o Lema (1.6) novamente e ofato que

∑n≥2 n(2dν)n−1 < 3 se λ estiver no disco |λ| < 1/(4d12eC0), obtemos

|fΛ(λ)| ≤∑

γ⊙0|λ||γ|

[1 + 3e|γ|

]

≤∑

n≥2d

∑

γ: γ⊙0|γ|=n

[|λ||γ| + 3(e|λ|)|γ|

]

≤∑

n≥2d

[(C2|λ|)n + 3(C2|λ|e)

n]

≤∑

n≥2d

[(2d2C0|λ|)

n + 3(2d2C0|λ|e)n].

A ultima soma sera absolutamente convergente para |λ| < 1/(4d12eC0) e sera cotada pelo menos por

|fΛ(λ)| ≤ 8(Ed|λ|)2d se |λ| <

1

4d12eC0,

onde Ed ≤ (2d+1eC0). Observamos que Ed|λ| ≤ 1/6 · 2d < 1/6 em todo o disco |λ| < 1/4d12eC0.

Demonstracao do Lema 2.18. Para obtermos a cota superior (2.19), usaremos a cota (ver oApendice 2) bem conhecida

(2.21)

∣∣∣∣∣∣

∑

g∈Gn

∏

i,j∈g

(e−U(γi,γj) − 1)

∣∣∣∣∣∣≤∑

τ∈Tn

∏

i,j∈τ

∣∣∣e−U(γi,γj) − 1∣∣∣ ,

2. A CONVERGENCIA DA EXPANSAO PARA A PROBABILIDADE DE PERCOLACAO 17

onde a soma da esquerda e feita sobre todos os grafos conexos sobre 1, 2, · · · , n, denotados por Gn e asoma da direita sobre todas as arvores no conjunto 1, 2, · · · , n, denotadas por Tn. Se fixarmos τ ∈ Tn,

nao e dificil calcularmos exatamente o fator∏

i,j∈τ |e−U (γi,γj) − 1|. Na realidade, se g(γ1, . . . , γn) for

o grafo sobre 1, 2, · · · , n (nao necessariamente conexo) definido por

(2.22) i, j ∈ g(γ1, . . . , γn) se e somente se γi 6≈ γj,

usando a definicao (2.8), obtemos

(2.23)∣∣∣e−U(γi,γj) − 1

∣∣∣ =

0 se γi ≈ γj

1 se γi 6≈ γj .

Logo

(2.24)∏

i,j∈τ

∣∣∣e−U(γi,γj) − 1∣∣∣ =

1 se τ ⊂ g(γ1, . . . , γn)

0 caso contrario

onde τ ⊂ g(γ1, . . . , γn) significa que i, j ∈ τ implica i, j ∈ g(γ1, . . . , γn). Logo, usando (2.21) e(2.24) podemos cotar |Bn, Λ(γ1)| superiormente por

Bn,Λ(γ1) ≤∑

(γ2...γn)∈(G0Λ)n−1

∑

τ∈Tn

∏

i,j∈τ

|e−U(γi,γj) − 1||ρ(γ2)| . . . |ρ(γn)|

≤∑

τ∈Tn

∑

(γ2...γn)∈(G0)n−1

∏

i,j∈τ

|e−U(γi,γj) − 1|λ∑n

i=2 |γi|

≤∑

τ∈Tn

∑

(γ2...γn)∈(G0Λ)n−1

g(γ1,··· ,γn)⊃τ

|λ||γ2| . . . |λ||γn|

≡∑

τ∈Tn

(τ).

Para obtermos uma cota superior para (τ), usaremos a seguinte desiguldade. Seja γ0 fixo e seja F (γ)uma funcao positiva dada. Entao

(2.25) (τ) =∑

γ2...γn∈G0

∏

i,j∈τ

|e−U(γi,γj) − 1||ρ(γ2) . . . ρ(γn)|

∑

γ:γ 6≈γ0

F (γ) ≤ 2d|γ0| supx∗∈γ0

∑

γ:x∗∈γ

F (γ) +∑

γ: 0∈I(γ)

F (γ)

≤ 2d|γ0|

∑

γ:0∗∈γ

F (γ) +∑

γ:0∈I(γ)

F (γ)

≡ 2d|γ0|∑

γ

∗F (γ).

(2.26)

Fixando a arvore τ , seja di o numero de coordenacao do vertice i. Avaliando a soma (τ) somando defora para dentro os polımeros do grafo g(γ1, · · · , γn) ⊃ τ e usando (2.26), obtemos

(τ) ≤[2d|γ1|

]d1n∏

i=2

∑

γi

∗ [2d|γi|

]di−1|λ||γi|

.


Assim, usando a estimativa acima e a formula de Cayley, obtemos

Bn,Λ(γ1) ≤∑

τ∈Tn

(τ)

≤∑

d1+···+dn=2n−2

[2d|γ1|

]d1 (n − 2)!∏ni=1(di − 1)!

n∏

i=2

∑

γi

∗ [2d|γi|

]di−1|λ||γi|

≤ 2(n−1)d(n − 1)!

∞∑

d1=1

|γ1|d1

d1!

n∏

i=2

∑

γi

∗ ∞∑

di=1

|γi|di−1

(di − 1)!|λ||γi|

≤ 2(n−1)d(n − 1)!e|γ1|n∏

i=2

∑

γi

∗(e|λ|)|γi|

≤ (n − 1)!e|γ|[2dν]n−1

.

Demonstracao do Teorema 2.14 Com relacao a demonstracao do Teorema 2.14, e obvio, a partirda demonstracao do Teorema 2.13, que fΛ(λ) e analıtica na variavel λ no disco |λ| < λ0 uniformementeem Λ. A existencia e analiticidade do limite f(λ) = limΛ→∞ fΛ(λ) sao obtidas provando que fΛ(λ) e,quando N → ∞ (e logo Λ → ∞), uma sequencia de Cauchy uniforme no disco |λ| < λ0. Observamossimplemente que fΛ(λ)− fΛ′(λ) (supondo Λ ⊂ Λ′) pode ser escrito em termos da n-upla de polımeros(γ1, . . . , γn) em que todos os polımeros tem intersecao nao vazia com Λ′\Λ e pelo menos um deles tema origem em seu interior. Logo, a serie de potencias em λ de fΛ(λ) − fΛ′(λ) comeca com pelo menos

uma potencia |λ|d(0,∂Λ) onde d(0, ∂Λ) e a distancia mınima entre a origem e a fronteira de Λ. Essapotencia leva fΛ(λ) − fΛ′(λ) a zero quando Λ → ∞.

3. A convergencia da expansao para a conectividade finita

Procedemos de maneira analoga com relacao a conectividade finita, obtendo

τΛx,y(λ) =

∑n≥1

∑γn: γi∈G

x,yΛ

, γi≈γj∃!γi: γi⊙x,y

λ|γn|

1 +∑

n≥1

∑γn: γi∈G

x,yΛ

γi≈γj

λ|γn| .

Definimos agora, para α ∈ R e γ ∈ Gx,y

ρα(γ) =

(1 + α)λ|γ| se γ ⊙ x, y

λ|γ| caso contrario

entao

(3.1) τΛx,y(p) =

d

dαln ΞΛ(α)

∣∣∣∣α=0

,

onde

(3.2) ΞΛ(α) = 1 +∑

n≥1

∑

γn: γi∈Gx,yΛ

γi≈γj

n∏

i=1

ρα(γi).

3. A CONVERGENCIA DA EXPANSAO PARA A CONECTIVIDADE FINITA 19

A funcao ΞΛ(α) a a funcao particao grancanonica de um gas de polımeros “hard-core” onde ospolımeros γ sao elementos de Gx,y

Λ , eles tem atividade ρα(γ) e a condicao “hard-core” e expressapelo fato de que quaisquer dois pares γi, γj em γn devem ser compatıveis, sendo que a nocao decompatibilidade e γi ≈ γj.

O logaritmo dessa funcao particao pode ser expresso em termos de uma serie de potencias formal.Para simplificar a expressao da serie de potencias, introduzimos algumas notacoes. Escrevemos BΛ =∪n∈N(Gx,y

Λ )n (B = ∪n∈N(Gx,y)n), onde (Gx,yΛ )n ((Gx,y)n) e o produto cartesiano n vezes de Gx,y

Λ (Gx,y),e denotamos por η um elemento generico de B. Logo, um elemento η ∈ B e uma n-upla ordenada(γ1, . . . , γn) em (Gx,y)n para algum n ∈ N. Se η = (γ1, . . . , γn), escrevemos |η| =

∑ni=1 |γi| e ‖η‖ = n.

A serie de potencias formal para ln ΞΛ(α) pode ser escrita como

(3.3) ln ΞΛ(α) =∑

η∈BΛ

1

‖η‖!ΦT [η]ρa(η),

onde se η = (γ1, . . . , γn), entao ρa(η) =∏n

i=1 ρa(γi), e ΦT [η] e o fator de Ursell de ordem n definidocomo:

(3.4) ΦT [η] =

1 se ‖η‖ = 1

0 se ‖η‖ ≥ 2 e g[η] /∈ G‖η‖∑f∈G‖η‖

f⊂gη

(−1)|f | se ‖η‖ ≥ 2 e gη ∈ G‖η‖

G‖η‖ e o conjunto de todos os grafos conexos sobre os vertices 1, 2, . . . , ‖η‖ e gη e o grafo com verticesV = 1, . . . , ‖η‖ e arestas E = i, j : γi 6≈ γj. Notamos que a definicao (3.4) e equivalente a(2.11). Usando (3.3) em (3.1) temos uma expansao formal explıcita para τΛ

x,y(λ) dada por

(3.5) τΛx,y(λ) =

∑

η∈BΛη⊙x,y

kη

‖η‖!ΦT [η]λ|η|,

onde, para η = (γ1, . . . , γn), a notacao η ⊙ x, y significa que pelo menos para um i = 1, . . . , n temosγi : γi ⊙ x, y. Alem disso

(3.6) kη = #i ∈ 0, . . . , n ; γi ⊙ x, y.

Tomando o limite Λ → ∞ na expressao (3.5) podemos tambem definir

(3.7) τ fx,y(λ) =

∑

η∈Bη⊙x,y

kη

‖η‖!ΦT [η]λ|η|,

que representa a expansao da conectividade finita.

Teorema 3.8. Existe uma constante positiva r0, que e independente do volume Λ, tal que a serie(3.7) converge absolutamente para |λ| < r0 e para todos os pares x, y ∈ Z

d. Alem disso

(3.9) τ fx,y(p) = τ f

x,y(λ)∣∣∣λ=(1−p)\p

para qualquer p no intervalo real ( 11+r0

, 1].

Demonstracao. A demonstracao e bastante semelhante a da secao anterior. Definimos, para ε ≥ 0,

(3.10) |τ f |x,y(ε) =∑

η∈Bη⊙x,y

kη

‖η‖!|ΦT [η]|ε|η|.


Temos, entao, a cota

(3.11) |τ fx,y(λ)| ≤ |τ f |x,y(|λ|) ≤

∞∑

n=1

1

(n − 1)!

∑

τ∈Tn

∑

η∈B: ‖η‖=nη⊙0,x

gη⊃τ

|λ||η|,

onde o fator |ΦT [η]| foi cotado, quando nao-nulo, usando formula de dominacao das arvores, pelonumero de sub-arvores em gη (ver o apendice). Observe que para uma arvore fixada τ , i, j ∈ τsignifica que temos uma soma sobre η = (γ1, . . . γn) de modo que γi 6≈ γj. Devemos, entao, cotar

quantidades da forma∑

γ∈Gx,y: γ 6≈γ0λ|γ|. Usando as definicoes da Secao 1, escrevemos

(3.12)∑

γ∈Gx,y

γ 6≈γ0

λ|γ| ≤ |γ0|[ ∑

γ∈Γγ 6∼ε∗

0

λ|γ| +∑

γ∈Gx,y

γ⊙x,y

λ|γ|]≡ |γ0|

∑

γ∈Gx,y

∗λ|γ|,

onde, por simetria, e∗0 e qualquer plaqueta fixada; alem disso usamos, por (2.14), que Gx,y\Γx,y ⊂ Γ.Usando (3.12) nao e difıcil ver que, para qualquer arvore τ com numero de coordenacao dos verticesd1, . . . , dn respectivamente, temos

(3.13)∑

(γ)n∈(Gx,y)n

γ1⊙x,yG[(γ)n ]⊃τ

|λ||(γ)n| ≤∑

γ1∈Gx,y

γ1⊙x,y

|γ1|d1 |λ|γ1||

n∏

i=2

∑

γi∈Gx,y

∗|γi|

di−1|λ||γi|.

Podemos ver que

|τ fx,y(λ)| ≤

∞∑

n=1

n∑

d1+···+dn=2n−21≤d1≤n−1

∑

γ1⊙0,x

|γ1|d1

d1!|ρ(γ1)|

n∏

i=2

∑

γi

∗ |γi|di−1

(di − 1)!|ρ(γi)|

≤∞∑

n=1

n∑

γ1⊙0,x

∞∑

d1=1

|γ1|d1

d1!|ρ(γ1)|

n∏

i=2

∑

γi

∗ ∞∑

di=1

[|γi|

di−1

(di − 1)!

]|ρ(γi)|

≤∞∑

n=1

n∑

γ1⊙0,x|ρ(γ1)|e

|γ1|n∏

i=2

∑

γi

∗|ρ(γi)|e

|γi|

≤∞∑

n=1

n∑

γ1⊙0,x|ρ(γ1)|e

|γ1|

∑

γ

∗|ρ(γ)|e|γ|

n−1

=∑

γ1∈Gx,y

γ1⊙x,y

(e|λ|)|γ1||∞∑

n=1

n

∑

γ∈Gx,y

∗(e|λ|)|γ|

n−1

.

(3.14)

O ultimo somatorio converge se

(3.15)∑

γ∈Gx,y

∗(e|λ|)|γ| < 1.

4. COTAS PARA A CONECTIVIDADE FINITA 21

Pela Definicao (3.12)

∑

γ∈Gx,y

∗(e|λ|)|γ| =

∑

γ∋∆0γ simples

(|λ|e)|γ| +∑

γγ multiplos

(|λ|e)|γ|

=

∞∑

n=1

(|λ|e)n∑

γ∋∆0|γ|=n

1 +

∞∑

n=4

(|λ|e)n∑

γ: γ⊙!x,y|γ|=n

1

≤∞∑

n=1

(|λ|e)nCn +∞∑

n=2d

(|λ|e)nCn,

onde Cn =∑

γ∈Γ: |γ|=n, γ 6∼e∗01 e Cn =

∑γ∈Γx,y : |γ|=n 1.

Usando os Lemas 1.1 e 1.9, vemos que Cn ≤ (C0)n e Cn ≤ (C3)

n. Podemos entao escolher r0

suficientemente pequeno para que, se |λ| < r0, a seguinte desigualdade e satisfeita,

(3.16)

∞∑

n=1

(eC0r0)n +

∞∑

n=1

(eC3r0)n <

1

2,

entao∑

γ∈Gx,y∗(e|λ|)|γ| < 1 e logo (3.14) converge. Lembramos que o raio de convergencia r0 em (3.16)

nao e otimo. Portanto podemos concluir que τΛx,y(λ) e uma funcao analıtica de λ se |λ| < r0 e para

qualquer Λ. Nao e difıcil ver que limΛ→∞ |τΛx,y(λ)−τ f

x,y(λ)| = 0 sempre que |λ| < r0 (ver demonstracaodo Teorema 2.14). Isso conclui a demonstracao do Teorema 3.8.

Nao e difıcil agora obter cotas superior e inferior para a (continuacao analıtica de) conectividade finitausando a formula (3.7). No que diz respeito a cota superior, colocando (3.16) em (3.14) e recordando(1.11) obtemos, para |λ| < r0,

(3.17)∣∣τ f

x,y(λ)∣∣ ≤

∣∣τ f∣∣x,y

(|λ|) ≤ 4∑

γ1∈Gx,y

γ1⊙x,y

(e|λ|)|γ1| ≤ 4∞∑

n=Nx,y

(Ce|λ|)n ≤ 8(Ce|λ|)Nx,y ,

onde Nx,y = (2d − 2)(|x − y| + 1) + 2 e o numero mınimo de plaquetas de um polımero γ tal queγ ⊙ x, y.

4. Cotas para a conectividade finita

Obtemos agora uma cota superior e uma cota inferior para a conectividade finita para valores de λproximos o suficiente de λ = 0, mais precisamente |λ| < r0, usando a representacao da secao anterior.As cotas que serao obtidas sao mais finas que as ja estabelecidas. Com relacao a cota superior,lembramos que o caso tratado e somente o caso em que d ≥ 3. Dado γn ⊙ x, y, seja γ0 ⊂ ∪n

i=1αi

o contorno de Peierls mınimo cercando x, y. Denotamos nesta secao o conjunto dos contornos dePeierls de B(Zd) por C∗ de modo analogo, o conjunto dos contornos de Peierls de B(Λ) sera C∗

Λ.

τΛp (x, y) ≤

∑

γ0∈C∗Λγ0⊙x,y

λ|γ|

∑γn:γi∈ΓΛ

γi⊂(B∗(Λ)−γ), γj∼γi

λ|γn|

∑γn: γi∈ΓΛ

γj∼γi

λ|γn| ≤∑

γ0∈C∗

γ0⊙x,y

λ|γ|.


Devemos, entao, cotar a serie

(4.1)∑

γ∈C∗

γ⊙x,y

λ|γ|.

Denotando

(4.2) N = Nx,y = 2(d − 1)(|x − y| + 1) + 2,

qualquer contorno de Peierls que cerca x, y tem pelo menos N hiper-quadrados. Separamos a serie(4.1) em dois termos, o primeiro contem a soma de contornos “pequenos”, ou seja, contornos cujacardinalidade e no maximo 3d−4

2d−2N (a escolha da constante (3d−4)/2(d−1) ficara clara no que segue),

e a segunda contem os contornos “grandes”, com cardinalidade maior do que 3d−42d−2N . Escrevemos,

entao

(4.3)∑

γ∈C∗

γ⊙x,y

λ|γ| =∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

N≤|γ|≤ 3d−42d−2

N

λ|γ| +∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

|γ|> 3d−42d−2

N

λ|γ|.

Consideramos primeiramente∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

|γ|> 3d−42d−2

N

λ|γ| =∑

n > 3d−42d−2

N

Fn(x, y)λn,

onde

Fn(x, y) =∑

γ∈C∗: γ⊙x,y|γ|=n

1

e o numero de contornos de Peierls de tamanho n cercando x, y. Usaremos a cota de Ruelle [34]para valores grandes de n. Fn(x, y) < 3n, logo

∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

|γ|> 3d−42d−2

N

λ|γ| ≤∑

n> 3d−42d−2

N

λn3n = λN∑

n> 3d−42d−2

N

3nλn−N =

= λN∑

k> d−22d−2

N

3N+kλk ≤ λN∑

k≥1

3dkλk ≤ λN

desde que 3dλ ≤ 1/2. Entao

(4.4)∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

|γ|> 3d−42d−2

N

λ|γ| ≤ λN .

Boa parte do resto da secao sera dedicado a provar a cota superior do primeiro fator no lado direitode (4.3) que, com excecao de pequenas correcoes em (1 − p), nos da um comportamento exponencialsimilar ao de (4.4). Primeiramente cotamos

(4.5)∑

γ∈C∗: γ⊙x,y|γ|=N+k

λ|γ| onde 0 ≤ k ≤(d − 2)N

2d − 2.

Seja c um caminho em B(Zd), como definido na Secao 1. Seja Vc o conjunto dos vertices de c. SeB(Vc) = c, dizemos que o caminho e um caminho tubular, por vezes escrevemos simplesmente CT. Set e um caminho tubular de x a y, chamamos τ = [∂et]

∗ de tubo de x a y gerado por t. Se A e umanimal qualquer,

(4.6) ∂eA = e ∈ B(Zd) −A; e ∩ A 6= ∅.


.

Denotamos por T ∗x,y o conjunto de todos os tubos de x a y. Observamos que um tubo e sempre um

contorno de Peierls. Dizemos que um tubo de x a y e minimal se |t| = |x − y|. Dizemos que um tuboτ ∈ T ∗

x,y e minimal com relacao a um contorno de Peierls γ se I(τ) ⊂ I(γ) e qualquer outro tuboτ ′ ∈ T ∗

x,y com I(τ ′) ⊂ I(γ) e maior do que τ , |τ ′| ≥ |τ |.

Lema 4.7. Seja γ ∈ C∗ um contorno de Peierls tal que x, y ⊂ Iγ e seja τ ∈ T ∗x,y um tubo minimal

com relacao a γ. Entao

(4.8) |γ − τ | ≥2d − 3

d − 1|τ − γ|.

Demonstracao. Daremos a prova em qualquer dimensao com enfase no caso tridimensional que e demais facil visualizacao. Neste ultimo caso a (4.8) se escreve

(4.9) |γ − τ | ≥3

2|τ − γ|.

Primeiramente provamos que a cada plaqueta em τ − γ podemos associar injetivamente uma plaquetaem γ−τ . Seja e um elo tal que e∗ ∈ τ −γ e seja z0 um vertice de e = z0, z1 que pertence ao caminhotubular t que gera τ . Considere o caminho dos vertices z0, . . . , zn, zi − zi−1 = z1 − z0 e zn e o primeirovertice que nao esta em I(γ). Claramente zn−1, zn ∈ γ e chamamos essa plaqueta de projecao de e∗

sobre γ, denotando Πγ(e∗). Certamente Πγ(e∗) ∈ γ− τ caso contrario zn−1 ∈ t e existiria um caminhomais curto de x a y que, entre z0 e zn seria reto, contradizendo a minimalidade de τ .

Seja Vt = x1 = x, x2, ..., xn−1, xn = y o conjunto de vertices do CT t que gera τ . Para 2 ≤ i ≤ n−1,diremos que xi e retilıneo se os elos do CT em t que contem xi sao paralelos, ou seja, xi−xi−1 = xi+1−xi

(assumimos que o vertice inicial x e o vertice final y sao retilıneos). Se xi nao e retilıneo, e chamadode cotovelo. Comecemos pelos vertices retilıneos em t. Para cada xi retilıneo, consideramos os doisplanos (hiperplanos se d > 3) πi, πi+1 contendo as plaquetas duais aos dois elos xi−1, xi e xi, xi+1(se i = 1 ou i = n e evidente de quais hiperplanos se trata, sendo os vertices x e y retilıneos pordefinicao). Sejam e∗i,k (k = 1, . . . , 2d−2) as plaquetas duais aos elos que contem xi diferentes das duasconsideradas acima.

Denotemos por e∗ uma das plaquetas e∗i,k e assumimos que e∗ ∈ τ −γ. Notemos que a projecao Πγ(e∗)esta situada na regiao do espaco entre os dois planos πi e πi+1. Consideremos o subconjunto γi ⊂ γdo espaco entre os dois planos πi e πi+1 que contem a projecao Πγ(e∗).


Consideremos as duas (2d − 4 em geral) plaquetas de γi conectadas a Πγ(e∗), caso haja mais (nestecaso elas devem ser exatamente 3, em qualquer dimensao) plaquetas conectadas a Πγ(e∗), por uma das2d−4 hiper-arestas que nao pertencem aos planos πi e πi+1, podemos escolher uma plaqueta incidenteem particular, a dual ao elo que contem zn−1 (na notacao que usamos para mostrar a existencia daprojecao). Ambas as plaquetas (todas as 2d− 4) estao em γ − τ e nenhuma pode ser a projecao sobreγ de alguma outra plaqueta pertencente a τ , ja que em qualquer dos casos existiria um tubo minimaldentro de γ, contido na regiao do espaco entre os dois planos πi e πi+1, que conecta dois cubos de τ ,contradizendo novamente a hipotese de que τ e minimal com relacao a γ. Essa situacao e ilustradana Figura 4. No caso 1, os tubos minimais de γ sao mostrados se assumirmos que as plaquetas quepertencem a γi e conectadas a e∗1 estao em τ . No caso 2, tubos mınimos em γ sao mostrados seassumirmos que as plaquetas pertencentes a γi e conectadas a e∗1 sao projecoes sobre γ de algumaoutra plaqueta pertencente a τ .

Nos restam, entao, os cotovelos. Chamamos novamente de e∗i,k as plaquetas duais aos elos que incidemsobre xi diferentes dos que pertencem ao caminho tubular. Essas plaquetas nao sao todas perpen-diculares a um hiper-plano fixo. Chamemos novamente de e∗ uma das plaquetas e∗i,k e assumimos

que e∗ ∈ τ − γ. Devemos novamente escolher dois planos πi(e∗) e πi+1(e

∗). Eles dependem agora daplaqueta e nao somente do vertice. Os dois planos πi(e

∗) e πi+1(e∗) sao escolhidos de modo que eles

sejam perpendiculares ao plano que contem os dois elos do caminho tubular e ao plano que conteme∗. Essa escolha pode nao ser unica, pois alguns e∗ podem ser paralelos ao plano que contem os doiselos do caminho tubular. A construcao pode agora ser repetida do mesmo modo.

Mostramos, entao, que, a cada plaqueta e∗ ∈ τ − γ, podemos associar a projecao e∗1 ∈ γ − τ , e ainda(2d− 4) plaquetas de γ − τ que nao podem ser a projecao sobre γ de outras plaquetas de τ − γ. Cadauma dessas plaquetas pode ser obtida pela construcao, no maximo, 2(d−1) vezes. Isso conclui a prova.

Podemos agora cotar a soma (4.5). Primeiramente observamos que a possıvel construir um contorno dePeierls γ⊙x, y com |γ| = N +k escolhendo inicialmente um tubo τ de x a y de tamanho |τ | = N +qonde 0 ≤ q ≤ k, entao tomando um conjunto µ de |µ| = m plaquetas em τ (µ coincidira com τ − γ em = |τ − γ|) e colando as hiper-arestas que estao em uma so das plaquetas restantes, ∂sµ, um numerode plaquetas igual a k − q + m para reconstruir γ (logo |γ − τ | = k − q + m). Pela cota de Ruelle, onumero de maneiras com que podemos colar aos elos em ∂sµ, k − q + m plaquetas para formar umcontorno fechado, e menor do que 3k−q+m. Observamos que, pelo lema acima, m ≤ d−1

d−2(k−q) ≡ mmax.

Para simplificar escreveremos no resto da secao D = d−1d−2 . Escreveremos

(Nα

)para indicar

(N⌊α⌋)

quando

α nao for inteiro. Logo temos

(4.10)∑

γ∈C∗

γ⊙x,y|γ|=N+k

1 ≤k∑

q=0

∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

mmax∑

m=1

(N + q

m

)3k−q+m ≤ 3dk

k∑

q=0

∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

mmax∑

m=1

(N + q

m

).

Lembrando que m ≤ D(k − q) ≤ D k ≤ N2 e que q ≤ k ≤ N

2D , nao e difıcil verificar que

(N + q

m

)≤ 3q

(N

m

)≤ 3k

(N

D(k − q)

).


Logo obtemos de (4.10)

∑

γ∈C∗

γ⊙x,y|γ|=N+k

1 ≤ mmax3k

k∑

q=0

∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

(N

D(k − q)

)

≤ Ckk∑

q=0

(N

D(k − q)

)[ ∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

1

],

(4.11)

para alguma constante C. No que segue, denotaremos por C uma constante que depende unicamenteda dimensao d da rede. A constante pode variar de uma linha para outra. Para cotar o ultimo termoem (4.11), notamos que , de acordo com as definicoes previas,

∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

1 =∑

t CT de x a y|w|=|x−y|+ℓ

1 ≤∑

w caminho de x a y|w|=|x−y|+ℓ

1,

onde q = 2(d − 1)ℓ e ℓ ≤ |x − y|/2. Podemos ver em [39] Teorema V 6.9 na pagina 447 que o numerode caminhos de x a y de tamanho (com relacao aos vertices) |x− y|+ ℓ se ℓ ≤ |x− y|/2 e limitado por

(4.12)∑

w caminhos de x a y|w|=|x−y|+ℓ

1 ≤ L(x, y)

(|x − y|

ℓ

)Cℓ

onde C ≤ 6d e

(4.13) L(x, y) =∑

w caminhos de x a y|w|=|x−y|

1 =(|x1 − y1| + · · · + |xd − yd|)!

|x1 − y1|! · · · |xd − yd|!

e o numero de caminhos de x a y de tamanho mınimo |x − y|. Como(|x − y|

ℓ

)≤

(2(d − 1)(|x − y| + 1) + 2

2(d − 1)ℓ

)=

(N

q

),

temos

(4.14)∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N+q

1 ≤ L(x, y)

(N

q

)Cq.

Se colocarmos (4.14) em (4.11), obtemos

∑

γ∈C∗

γ⊙x,y|γ|=N+k

1 ≤ L(x, y)k∑

q=0

(N

D(k − q)

)Ck

(N

q

)Cq

≤ L(x, y)Ckk∑

q=0

(N

D(k − q)

)(N

q

).

(4.15)

Nao e difıcil verificar que

(4.16)

k∑

q=0

(N

D(k − q)

)(N

q

)≤

k∑

q=0

(N

D(k − q)

)(N

Dq

)≤

(2N

Dk

).


Colocando (4.16) em (4.15), obtemos

(4.17)∑

γ∈C∗

γ⊙x,y|γ|=N+k

1 ≤ L(x, y)Ck

(2N

Dk

).

A equacao (4.17) nos fornece a seguinte cota superior do primeiro termo do lado direito de (4.3)

∑

γ∈C∗: γ⊙x,y

N≤|γ|≤ 3d−42d−2

N

λ|γ| = λN

N/2D∑

k=0

λk∑

γ∈C∗: γ⊙x,y|γ|=N+k

1

≤ L(x, y)λN

N/2D∑

k=0

λkCk

(2N

Dk

)

≤ L(x, y)λN

N/2∑

s=0

λsCs

(2N

s

)

≤ L(x, y)λN (1 + Cλ)2N .

(4.18)

Colocando (4.4) e (4.18) em (4.3) obtemos

(4.19) τΛp (x, y) ≤ 2L(x, y)λN (1 + Cλ)2N .

Se nos lembrarmos de (4.2), a desigualdade (4.19) nos da a cota superior.

Com relacao a cota inferior, obtemos sem dificuldade

τΛx,y(p) = Z−1

Λ (λ)∑

γn: γi∈ΓΛ, γi∼γjγn⊙x,y

λ|γn|

≥ Z−1Λ (λ)

∑

τ∈T ∗xy

|τ |=N

λ|τ | ∑

γn: γi∈ΓΛ, γi∼γjγi⊂[B(Λ−Iτ )]∗

λ|γn|

= λNL(x, y)Z−1Λ (λ)ZΛ−Iτ (λ),

onde usamos∑

τ∈T ∗xy ,|τ |=N 1 = L(x, y) e

∑

γn: γi∈ΓΛ−Iτγi∼γj

λ|γn| = ZΛ−Iτ = p−|B(Λ−Iτ )|.

LogoτΛx,y(p) ≥ L(x.y)λNp|B(Λ)|−|B(Λ−Iτ )|.

Lembrando que |τ | = N , ou seja, τ e um tubo minimal, obtemos |B(Λ)|−|B(Λ−Iτ )| = N+|x−y| ≤ 2N .Logo

(4.20) τΛx,y(p) ≥ L(x, y)λNp2N ≥ L(x, y)

[λ

(1 + λ)2

]N

.

Notamos que as cotas superior e inferior sao uniformes em Λ e que elas valem tambem no limiteΛ → ∞. Logo, mostramos o seguinte teorema

Teorema 4.21. A funcao conectividade finita τ fx,y(p) admite as seguintes cotas para (1 − p) suficien-

temente pequeno e para d ≥ 3

(4.22) L(x, y)

[λ

(1 + λ)2

]N

≤ τ fx,y(p) ≤ 2L(x, y)λN (1 + Cλ)2N ,


onde L(x, y) e a funcao definida em (4.13), N e o numero definido em (4.2) e C e uma constante quedepende somente da dimensao d.

A relacao (4.22) nos fornece cotas superior e inferior para a taxa do decaimento exponencial daconectividade finita para |λ| < r0. Tomando a definicao usual (ver [16]),

(4.23) m(p) = limn→∞

−

1

nln τ f

0,en(p)

,

temos, para p suficientemente proximo de 1,

(4.24) m(p) = 2(d − 1)| ln(1 − p)| + O(1 − p).

Essa relacao tem um significado intuitivo: a massa e proporcional ao numero mınimo de elos fechadosnecessarios para cercar o conjunto x, y e a constante de proporcionalidade e o logaritmo do pesoprobabilıstico de um unico elo fechado.

A expansao em animais na fase subcrıtica

Com um pouco de esforco, podemos obter uma cota para τ fx,y(p) similar a (4.22) tambem na fase

subcrıtica. No caso em que p < pc, a probabilidade de percolacao e nula e a conectividade finita esimplesmente a funcao conectividade de dois pontos. Temos entao τ f

x,y(p) = τx.y(p) = Pp(y ∈ Cx) eobtemos facilmente

τx,y(p) = Pp(y ∈ Cx) ≤∑

c caminho de x a y

p |c|.

Usando novamente a estimativa (4.12) e lembrando a Definicao (4.13), obtemos imediatamente a cotasuperior

(4.25) τx,y(p) ≤ L(x, y)p|x−y|(1 + Cp)|x−y|,

onde C ≤ 6d e uma constante que depende unicamente da dimensao d.

Com relacao a cota inferior, podemos usar a representacao de τx,y(p) em termos de animais A, eobtermos

(4.26) τx,y(p) =∑

Ax,y⊂VA

p|A|(1 − p)|∂eA| ≥

≥∑

|A|=|x−y|x,y⊂VA

p|x−y|(1 − p)C1|x−y| = L(x, y)p|x−y|(1 − p)C1|x−y|,

onde usamos o fato de que |∂eA| ≤ 2(d − 1)(|A| + 1) + 2 ≤ C|A| para alguma constante C quedepende somente da dimensao d. Assim, mostramos que a funcao conectividade τx,y(p) admite asseguintes cotas para p suficientemente pequeno

(4.27) L(x, y)p|x−y|[(1 − p)C ]|x−y| ≤ τx,y(p) ≤ L(x, y)p|x−y|(1 + Cp)|x−y|

onde L(x, y) e a funcao definida em (4.13) e as constantes dependem somente da dimensao d. Nestecaso, o valor da massa m(p) , como definida em (4.23), e

(4.28) m(p) = | ln p| + O(p)

Comparando (4.28) com (4.24), obtemos, para p suficientemente proximo de 1 e para d ≥ 3, a relacao

(4.29) m(p) ≈ 2(d − 1)m(1 − p),


onde ≈ significa que (4.29) e verdadeira a menos de termos da ordem de 1 − p. Sabemos que umarelacao desse tipo e verdadeira para dimensao 2 com uma igualdade no lugar de um comportamentoassintotico para qualquer p 6= pc (ver [16] Teorema 11.24 e referencias), mas nenhuma extensao eraconhecida para d ≥ 3 .

CAPıTULO 4

O Comportamento de Ornstein-Zernike

Nesta secao provaremos o comportamento de Ornstein-Zernike para a conectividade finita. Primei-ramente usaremos a tecnica de separacao de hiperplanos de Spencer para mostrarmos que a inversaconvolutiva de τ f decai mais rapidamente. Em seguida, estudaremos a tranformada de Fourier de τ f

e seguiremos os passos de [36] para obter o resultado.

1. A Separacao de Hiperplanos

Usaremos a notacao x = (x1, ~x), onde x1 ∈ Z e ~x ∈ Zd−1. Seja k ∈ Z. Consideramos o hiperplano

discreto Hk = (x1, ~x) ∈ Zd : x1 = k perpendicular ao eixo x1 em Z

d. Denotamos por B(Hk)o conjunto de elos em Hk e por B∗(Hk) o conjunto de plaquetas duais aos elos de B(Hk). Parafacilitar a notacao usaremos B(Hk) = Bk e B∗(Hk) = B∗

k, chamando este ultimo de hiperplano dual.

Escrevemos ainda B∗c = B∗(Zd)\ (∪k∈ZB∗

k), i.e. B∗c e o conjunto de plaquetas que nao pertencem a

nenhum B∗k. Seja z ∈ Z

d. Denotaremos z+ = z + (1,~0) e z− = z − (1,~0).

Definicao 1.1. Associamos a cada hiperplano Hk uma variavel complexa wk. Denotaremos de formaabreviada por w o conjunto de todas essas variaveis wkk∈Z. Definimos entao, para todos os paresu, v ∈ Z

d tais que u1 ≤ v1, a funcao de varias variaveis complexas τ fu,v(λ,w) do seguinte modo:

(1.2) τ fu,v(λ,w) =

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈(Gu,v)n

∃γi: γi⊙u,v

k[(γ)n]ΦT [(γ)n]n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

],

onde

λ∆ =

λ se ∆ ∈ B∗

c

wi se ∆ ∈ B∗i para u1 ≤ i ≤ v1

.

Vemos que τ fu,v(λ,w) e analıtica no polidisco |λ|, |wi| < r0 e assume o valor τ f

u,v(λ) quando wi = λ,para todo i. Provaremos o seguinte teorema:

Teorema 1.3. No polidisco |λ|, |wi| < r0, a funcao definida em (1.2) satisfaz

(1.4)∂sτ f

x,y(λ,w)

∂λs

∣∣∣∣∣λ=0

= 0, para s ≤ 2(|~x − ~y| + 1).

Alem disso, para qualquer k tal que x1 ≤ k ≤ y1, temos

(1.5)∂sτ f

x,y(λ,w)

∂wsk

∣∣∣∣∣wk=0

= 0, para s ≤ 2d − 3.

Para k tal que x1 < k < y1, temos

29

30 4. O COMPORTAMENTO DE ORNSTEIN-ZERNIKE

(1.6)∂2d−2τ f

x,y(λ,w)

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣λk=0

=(2d − 2)!

λ2

∑

z∈Hk

τ fx,z−(λ,w)

∣∣∣wk=0

τ fz+,y(λ,w)

∣∣∣wk=0

,

enquanto que para k tal que x1 < k = y1, temos

(1.7)∂2d−2τ f

x,y(λ,w)

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣λk=0

=(2d − 2)!

λ2τ fx,y−(λ,w)

∣∣∣wk=0

σy+(λ,w)∣∣∣wk=0

,

onde σfy+(λ,w) e dada por (1.14) e e analıtica no polidisco |λ|, |wi| < r0.

Demonstracao. Com relacao a (1.5) e (1.4), observamos que o monomio de menor ordem na expansao(1.2) vem da contribuicao das configuracoes em que somente um contorno simples, digamos γ, estapresente. Certamente γ deve cercar x, y. Como γ deve cercar x, y, se x1 ≤ k ≤ y1, entao pelomenos 2d − 2 plaquetas de γ pertencem ao hiperplano dual B∗

k. Consideramos agora um caminho cqualquer que liga x a y em I(γ). Para cada z ∈ Vc, onde Vc sao os vertices do caminho c, tomamos

uma sequencia de vertices z1, . . . , zk tal que zi−zi−1 = (1,~0). O vertice zk e o primeiro com zk 6∈ I(γ).Assim, temos zk−1, zk

∗ ∈ γ ∩ B∗c . Se fizermos o mesmo com uma sequencia de vertices tal que

zi − zi−1 = (−1,~0), claramente obtemos pelo menos 2(|~x− ~y|+ 1) plaquetas. A menor potencia de wk

na expansao (1.2) sera w2d−2k e a menor potencia em λ sera λ2(|~x−~y|+1).

No que diz respeito a (1.6), denotamos por

H+k = (z1, ~z) ∈ Z

d : z1 > k e H−k = (z1, ~z) ∈ Z

d : z1 < k

e definimos B∗±k = B∗(e = x, y;x ∈ H+

k ). Observamos que B∗±k ∩B∗

k = ∅ e tambem B∗+k ∩B∗−

k = ∅.Seja z ∈ Hk. Como x, z− ∈ H−

k , na expansao explıcita de τ fx,z−|wk=0 dada pelo lado direito de (1.2)

com u = x, v = z−, as n-uplas (γ)n que contribuirao para τ fx,z−|wk=0 devem satisfazer as seguintes

condicoes:

• Todos os polımeros sao animais duais, ou seja, γj ∈ Γ.• Nenhum dos polımeros intersecta B∗

k, ou seja, γj ∩ B∗k = ∅. Pois quando impomos wk = 0,

os polımeros que intersectam B∗k, logo os que usam a variavel wk, deixam de contribuir para

τ fx,z−.

• Um, e somente um, dos polımeros cerca x, z−, isto e, γi ⊙ x, z−.

Logo

(1.8) τ fx,z−(λ,w)

∣∣∣wk=0

=∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈Γn: γj∩B∗k=∅ ∀j

∃γi: γi⊙x,z−

ΦT [(γ)n]n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

].

Recordemos que, pela definicao (3.4), ΦT [(γ)n] = 0 sempre que G[(γ)n] e um grafo desconexo (lem-brando que G[(γ)n] e um grafo cujos vertices sao 1, . . . , n e o elos sao i, j se, e somente se, γi 6≈ γj).O que significa que a soma sobre as n-uplas ordenadas (γ)n no lado direito de (1.8) esta submetida arestricoes suplementares, a saber G[(γ)n] deve ser um grafo conexo, isto e, dada qualquer particao doconjunto γ1, . . . γn = γ1, . . . , γk∪γk+1, . . . , γn = I1∪I2, deve existir pelo menos γi ∈ I1 e γj ∈ I2

tais que γi 6≈ γj e o conjunto ∪ni=1γi, se visto como subconjunto de B∗(Zd), deve ser conexo. Logo ou

1. A SEPARACAO DE HIPERPLANOS 31

∪ni=1γj ⊂ B∗−

k ou ∪ni=1γj ⊂ B∗+

k . Como obrigatoriamente para algum i = 1, . . . , n, γi⊙x, z−, temos:

(1.9) τ fx,z−(λ,w)

∣∣∣wk=0

=

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈Γn: γj⊂B∗−k

∀j

∃γi: γi⊙x,z−

ΦT [(γ)n]

n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

],

de modo analogo, para τ fz+,y|wk=0 obtemos

(1.10) τ fz+,y(λ,w)

∣∣∣wk=0

=∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈Γn: γj⊂B∗+k

∀j

∃γi: γi⊙z+,y

ΦT [(γ)n]n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

].

Derivamos agora uma expansao explıcita para (∂2d−2τ fx,y/∂w2d−2

k )|wk=0 para qualquer k tal que x1 <k < y1 asumindo que x1 + 1 < y1. A derivada de ordem 2d − 2 com relacao a wk e o coeficiente dew2d−2

k , i.e., a menor potencia de wk na expansao (1.2), vezes o fator (2d − 2)!.

As n-uplas (γ)n em que a potencia w2d−2k aparece no lado esquerdo de (1.2) sao aquelas para as quais

todos os γ′s sao animais duais ( ou seja, γj 6∈ Γx,y), e existe, entre os (γ)n, um unico contorno, digamosγi, que cerca x, z, y, onde z ∈ Hk e que tem exatamente 2d− 2 plaquetas em comum com B∗

k. Essasn-uplas correspondem a configuracoes em Ω para as quais um, e somente um, sıtio de Hk, a saber z,pertence ao aglomerado finito que contem x e y. Logo

∂2d−2τ fx,y

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣wk=0

= (2d − 2)!∑

z∈Hk

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈Γn: ∃!γi: γi⊙x,z,y

|γi∩B∗k|=2d−2

γj∩B∗k=∅, ∀j 6=i

ΦT [(γ)n]

n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj∆/∈B∗

k

λ∆

]=

(1.11) = (2d − 2)!∑

z∈Hk

∑

γ∈Γ: γ⊙x,z,y|γ∩B∗

k|=2d−2

∏

∆∈γ∆/∈B∗

k

λ∆

∞∑

n=0

1

n!

∑

(γ)n∈Γn

γj∩B∗k=∅, ∀j

ΦT [γ, (γ)n]

n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

].

Consideremos agora as plaquetas e∗z+ e e∗z− duais aos elos z, z+ e z, z− respectivamente e observe-mos que λe∗z+

= λe∗z−= λ uma vez que ambas sao plaquetas perpendiculares ao eixo x1. Entao, se γ e

um contorno tal que γ⊙x, z, y e |γ∩B∗k| = 2d−2, podemos, acrescentando as plaquetas e∗z+ e e∗z− e

retirando as plaquetas em B∗k, asssociar de maneira unica a γ o par γ+, γ−, onde γ+ = (γ∩B∗+

k )∪e∗z+

e γ− = (γ ∩ B∗−k ) ∪ e∗z−. Observamos que γ− ⊙ x, z− e γ+ ⊙ y, z+.

Logo, podemos fatorar a soma sobre os γ’s como

(1.12)∑

γ∈Γ: γ⊙x,z,y|γ∩B∗

k|=2d−2

∏

∆∈γ∆/∈B∗

k

λ∆ =1

λ2

∑

γ−∈Γ:γ−⊂B∗(H−kν

)

γ−⊙x,z−

∏

∆∈γ−

λ∆

∑

γ+∈Γ: γ+⊂B∗(H+kν

)

γ⊙z+,y

∏

∆∈γ+

λ∆.

Notamos que a n-upla (γ)n ∈ (Gx,y)n tal que γj ∩ B∗k = ∅, ∀j sempre pode ser reorganizada como

(γ)n = ((γ+)n1 , (γ−)n2) tal que n1 + n2 = n e γ+

i ⊂ B∗+k para todos i = 1, . . . , n1 e γ−

i ⊂ B∗−k para

todo j = 1, . . . , n2.

Nao e difıcil ver que

(1.13) ΦT [γ, (γ)n] = ΦT [γ−, (γ−)n2]ΦT [γ+, (γ+)n1 ].

Com efeito, seguindo a notacao da Secao 3 e a Definicao (3.4), escrevemos η1 = γ+, (γ+)n1 eη2 = γ−, (γ−)n2. O grafo gη pode ser escrito como gη1 ∪ gη2 indentificando γ+ e γ−. Notamos quepara qualquer γ+

i ∈ (γ+)n1 e qualquer γ−j ∈ (γ−)n2 , vale γ+

i ≈ γ−j . Podemos entao concluir que a


unica conexao entre gη1 e gη2 e feita por γ. Logo, todo subgrafo conexo de gη pode ser decompostocomo dois subgrafos conexos de gη1 e gη2 , respectivamente. Isso nos da a fatoracao desejada e provaa formula (1.13) no caso em que ‖η‖ ≥ 2. Nos outros casos, a formula e imediata.

As formulas (1.12) e (1.13) implicam que

∂2d−2τ fx,y

∂w2d−2k

(λ,w)

∣∣∣∣∣wk=0

=(2d − 2)!

λ2×

×∑

z∈Hk

[∑

γ−∈Γ: γ−⊂B∗−k

γ−⊙x,z−

∏

∆∈γ−

λ∆

∞∑

n2=0

1

n2!

∑

(γ−)n∈Γn

γ−j

⊂B∗−k

, ∀j

λ|(γ−)n|ΦT [γ−, (γ−)n]

]×

×

[∑

γ+∈Γ: γ+⊂B∗+k

γ+⊙y,z+

∏

∆∈γ+

λ∆

∞∑

n1=0

1

n1!

∑

(γ+)n∈Γn

γ+j

⊂B∗+k

,∀j

λ|(γ+)n|ΦT [γ+, (γ+)n]

]

=

=(2d − 2)!

λ2

∑

z∈Hk

τ fx,z−

∣∣∣wk=0

τ fz+,y

∣∣∣wk=0

na ultima linha usamos (1.9) e (1.10).

No caso em que k e tal que x1 < k = y1, a prova da identidade (1.7) pode ser tratada de modo analogo.Neste caso temos duas possibilidades. A plaqueta y, y+∗ pode estar fechada ou nao. Se ela estiveraberta, ocorre exatamente o que foi feito no caso anterior e, fazendo wk = 0, obtemos o termo

(2d − 2)!

λ2τ fx,y−(λ,w)

∣∣∣wk=0

τ fy+,y+(λ,w)

∣∣∣wk=0

.

No entanto, se a plaqueta ja estiver fechada, havera duas diferencas. Por uma lado, obteremos o fator1/λ no lugar de 1/λ2, pois so ha a necessidade de fecharmos uma plaqueta, a saber, y, y−∗. Poroutro lado, quando fizermos wk = 0, os conjuntos de polımeros em B∗+

k que contribuirao para a somaserao os compostos por animais duais que nao cercam y+, pois esse ja foram contabilizados no outrotermo do somatorio, e em que pelo menos um polımero contem a plaqueta e∗y+.

Obtemos, entao, (1.7), com σfz+,y(λ,w) valendo

(1.14) σfz+,y(λ,w) = τ f

y+,y+(λ,w) + λ

∞∑

n=1

1

n!

∑

(γ)n∈Γn: γi 6⊙y+

∃γj∋e∗y+

ΦT [(γ)n]

n∏

j=1

[ ∏

∆∈γj

λ∆

].

Uma consequencia direta da expansao em polımeros, do Lema de Schwarz generalizado (ver o Apendice1) e do Teorema 1.3 e o seguinte corolario

Corolario 1.15. Seja r1 < r0. Existe uma constante Cr1 > 0 tal que para todos |wi|, |λ| ≤ r1 vale aseguinte cota

(1.16) |τ fx,y(λ,w)| ≤ Cr1

(|λ|

r1

)2(|~x−~y|+1) y1∏

i=x1

(|wi|

r1

)2d−2

2. O OPERADOR τ f 33

2. O operador τ f

Seja ℓ2(Zd) o espaco de Hilbert das funcoes de quadrado somavel φ : Zd → C, ou seja, funcoes x 7→ φx

tais que ‖φ‖ =∑

x∈Zd |φx|2 < ∞. Definimos o operador τ f : ℓ2(Zd) → ℓ2(Zd) da seguinte maneira

(2.1) (τ fφ)x =∑

y∈Zd

τ fx,y(λ,w)φy .

Notamos que, por (1.16), τ f e um operador contınuo em ℓ2(Zd) sempre que |λ|, |wi| < r0. Consideremosa questao da invertibilidade do operador τ f quando |λ| e |w| sao pequenos. Devemos contornar oproblema de que τ f = 0 quando wi = λ = 0. Seguimos a estrategia de [36], a saber, escrevemosτ f = P + S onde P e S sao operadores com entradas Px,y(λ,w) = τ f

x,y(λ,w)δx,y e Sx,y(λ,w) =

τ fx,y(λ,w)(I − δx,y). Mostramos entao que P e inversıvel contanto que wk, λ 6= 0 e logo, podemos

reescrever τ f = P (I + P−1S) onde I denota o operador identidade em ℓ2(Zd). Finalmente verificamosque P−1S tem uma norma pequena se |wi|, |λ| forem suficientemente pequenos de modo que I +P−1Rtambem e inversıvel. Isso implica que τ f e inversıvel se |wi|, |λ| sao suficientemente pequenos masdiferentes de zero.

Para aplicarmos essa estrategia, precisamos de uma cota inferior para τ fx,x(λ,wx1) com λ,wx1 6= 0. A

funcao fx,x(λ,wx1) = τ fx,x(λ,wx1)/λ

2w2d−2x1

e analıtica para todo |λ|, |wx1 | ≤ r1 e, usando o Corolario1.15, vemos que ela e uniformemente limitada por Cr1 . Alem disso, se usarmos (1.2), podemos verificarque fx,x(0, 0) = 1 e assim obtemos |fx,x(λ,wx1) − 1| < 1/2 se |wi|, |λ| ≤ r2 para algum r2 < r1. Oargumento acima prova a seguinte proposicao:

Proposicao 2.2. Existe r2 < r1, tal que, para todos |λ|, |wx1 | ≤ r2, vale

(2.3) |τ fx,x(λ,w)| ≥

1

2|λ|2 |wx1 |

2d−2

e assim P e invertıvel no polidisco furado 0 < |λ|, |w| ≤ r1.

Seja Q = P−1S e R = I + Q. Provamos agora o seguinte teorema:

Teorema 2.4. Podemos escolher r2 pequeno o suficiente de modo que no polidisco |λ|, |w| ≤ r2, ainversa M = R−1 = (I + Q)−1 exista. E ainda, para cada par x, y ∈ Z

d, Mx,y e analıtica em cadauma das variaveis e tem norma ‖M‖ ≤ 2.

Demonstracao. As entradas Qx,y(λ,w) = (1−δx,y)τfx,y(λ,w)/τ f

x,x(λ,w) sao analıticas para quaisquer0 < |wi|, |λ| ≤ r1. Como cada Qx,y e limitada no polidisco, cada uma admite uma extensao analıticaem λ = 0 ou wx1 = 0. E ainda, por (1.16) e (2.3), as entrads Qx,y admitem a seguinte cota superiorpara todos |wi|, |λ| ≤ r2 < r1

(2.5) |Qx,y(λ,w)| ≤ 2Cr1

(|λ|

r1

)2|~x−~y| y1∏

i=x1+1

(|wi|

r1

)2d−2

.

Para provarmos que I + Q e um operador inversıvel em um certo polidisco |λ|, |w| < r3 em torno daorigem, basta-nos mostrar que nesse polidisco a norma do operador Q e pequena, o que nao e difıcil


usando a cota superior (2.5). Seja ε = r2/r1. Por hipotese ε < 1. Usando (2.5), obtemos entao quepara todos |λ|, |w| ≤ r2 < r1,

‖Q‖2 = supy∈Zd

∑

x∈Zd, x 6=y

|Qx,y|2 ≤ 2Cr1

∑

x∈Zd, x 6=0

ε2|x|

≤ 2Cr1

∑

n=1

ε2n∑

x∈Zd

|x|=n

1

≤ 2Cr1

∑

n=1

ε2n(2n)d

≤ 2d+1Cr1ε2

∞∑

n=0

(n + 1)dε2n

≤ C(ε)ε2,

(2.6)

onde limε→0 C(ε) = 2d+1Cr1 . Assim, se escolhermos ε pequeno o suficiente, digamos tal que C(ε)ε2 <1/2, obtemos que para todos |λ|, |w| ≤ r2 = εr1 a norma do operador e ‖Q‖ < 1/2 e I +Q e inversıvel.Notamos ainda que o operador inverso

(2.7) M = R−1 = (I + Q)−1 = I +

∞∑

n=1

(−1)nQn

tem entradas analıticas em cada variavel, no polidisco |λ|, |w| ≤ r2 e e um operador limitado de norma‖M‖ ≤ 2.

3. Propriedades da inversa de τ f

O objetivo desta secao e mostrar que Mx,y decai com uma taxa maior do que a taxa de decaimento

de τ fx,y se tomarmos x − y em um eixo ordenado. Provamos entao o seguinte teorema.

Teorema 3.1. Sejam λ,w tais que |λ|, |w| ≤ r2. Tomando x, y ∈ Zd de modo que |x − y| ≥ 2, vale

(3.2)∂jMx,y(λ,w)

∂wjk

∣∣∣∣∣wk=0

= 0 para 0 ≤ j ≤ 2d − 3 e x1 < k ≤ y1

e

(3.3)∂2d−2Mx,y(λ,w)

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣wk=0

= 0 para x1 < k + 1 ≤ y1.

Demonstracao. Sejam u, v ∈ Zd. Temos por definicao

Ru,v(λ,w) =τ fu,v(λ,w)

τ fu,u(λ,w)

.

Logo, pelo Teorema 1.3 e pela Proposicao 2.2 obtemos

(3.4)∂ℓRu,v(λ,w)

∂wℓk

∣∣∣∣∣wk=0

= 0 para 0 ≤ ℓ ≤ 2d − 3 e u1 < k ≤ v1

3. PROPRIEDADES DA INVERSA DE τ f 35

e

∂2d−2Ru,v(λ,w)

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣wk=0

=

[1

τ fu,u(λ,w)

∂2d−2τ fu,v(λ,w)

∂w2d−2k

] ∣∣∣∣∣wk=0

.

Observamos que (3.4) nao vale se u1 = k (nesse caso nem mesmo Ru,v(λ,w)|wk=0 e nula).

Podemos usar a identidade (1.6), no caso em que u1 < k < v1, para obter

(3.5)∂2d−2Ru,v

∂w2d−2k

∣∣∣wk=0

=(2d − 2)!

λ2

∑

z∈Hk

Ru,z−(λ,w)

∣∣∣∣∣wk=0

τ fz+,v(λ,w)

∣∣∣∣∣wk=0

.

Sendo que, para u1 < k = v1, podemos usar a equacao (1.7) para obter

(3.6)∂2d−2Ru,v

∂w2d−2k

∣∣∣wk=0

=(2d − 2)!

λ2Ru,v−(λ,w)

∣∣∣∣∣wk=0

σv+(λ,w)

∣∣∣∣∣wk=0

.

Da equacao (3.4) (no caso em que ℓ = 0) e da representacao (2.7) de Mx,y no caso em que x 6= y,verificamos que

(3.7) Mx,y(λ,w)∣∣∣wk=0

= 0 para x1 < k ≤ y1.

Usando a regra do produto e que I = MR, obtemos

(3.8)∂mM

∂wmk

∣∣∣∣∣wk=0

= −

[(m−1∑

i=0

(m

i

)∂iM

∂wik

·∂m−iR

∂wm−ik

)M

] ∣∣∣∣∣wk=0

.

Das equacoes (3.4) e (3.7) acima, obtemos imediatamente a identidade (3.2).

Com relacao a demonstracao da identidade (3.3), usamos

∂2d−2Mx,y(λ,w)

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣wk=0

= −

[∑

u,v∈Zd

u1<k≤v1

Mx,u(λ,w)∂2d−2Ru,v(λ,w)

∂w2d−2k

Mv,y(λ,w)

]∣∣∣∣∣wk=0

=

(3.9) = −

[∑

u,v∈Zd

u1<k<v1

Mx,u∂2d−2Ru,v

∂w2d−2k

Mv,y

]∣∣∣∣∣wk=0

−

[∑

u,v∈Zd

u1<k=v1

Mx,u∂2d−2Ru,v

∂w2d−2k

Mv,y

]∣∣∣∣∣wk=0

.

Podemos agora usar as equacoes (3.5) e (3.6) para obter

∂2d−2Mx,y

∂w2d−2k

∣∣∣∣∣wk=0

= −(2d − 2)!

λ2

[∑

z∈Hk

∑

u∈Zd

u1<k

Mx,uRu,z−

∑

v∈Zd

k<v1

τ fz+,vMv,y

]∣∣∣∣∣wk=0

−

(3.10) −(2d − 2)!

λ2

[∑

v∈Zd

v1=k

∑

u∈Zd

u1<k

Mx,uRu,v−σv+Mv,y

]∣∣∣∣∣wk=0

.

Como Mx,u|wk=0 = 0 se u1 ≥ k, temos

(3.11)∑

u∈Zd

u1<k

Mx,uRu,z−

∣∣∣∣∣wk=0

=∑

u∈Zd

Mx,uRu,z−

∣∣∣∣∣wk=0

= δx,z− = 0


e

(3.12)∑

u∈Zd

u1<k

Mx,uRu,v− =∑

u∈Zd

Mx,uRu,v− = δx,v− = 0,

onde δx,z− = 0 e δx,v− = 0 seguem da hipotese de que x1 < k + 1. Usando as equacoes (3.11) e (3.12)na formula (3.10), o teorema esta demonstrado.

Corolario 3.13. Sejam λ,w tais que |λ|, |w| ≤ r2 e x, y ∈ Zd tais que |x − y| ≥ 3. Entao

(3.14) |Mx,y(λ,w)| ≤ 2

(|wx1+1|

r2

)(2d−2) y1∏

k=x1+2

(|wk|

r2

)(2d−1)

.

Demonstracao. As entradas Mx,y do operador, a princıpio, dependem de todas as variaveis λ,wi,para i ∈ Z. Colocamos wi = λ para i > maxx1, y1 e i < minx1, y1. Assim, Mx,y depende de umnumero finito de variaveis complexas e e analıtica no polidisco |λ|, |w| ≤ r2. Podemos novamente usaro Lema de Schwarz e obter o corolario.

Doravante retomamos a variavel complexa original fazendo wi ≡ λ . Obtemos assim o seguintecorolario

Corolario 3.15. Seja λ tal que |λ| ≤ r2. Tomando x, y ∈ Zd tais que |x − y| ≥ 2, obtemos

(3.16) |Mx,y(λ)| ≤ 2

(|λ|

r2

)(2d−1)‖x−y‖∞−1

onde ‖x − y‖∞ = maxdi=1 |xi − yi|.

Demonstracao. A cota (3.16) segue imediatamente do fato de que (3.14) pode ser obtida paraqualquer direcao principal bastando para tanto tomar, para qualquer i ∈ Z, wi ≡ λ.

A cota (3.16) e otimal quando x e um vetor de um eixo ordenado, mas claramente nao e uma boa cotaem outros casos. Uma maneira mais eficiente de obter a cota para x − y quaisquer, e observar que,se λmx,y e a menor potencia na expansao de Mx,y(λ), entao, como sabemos que Mx,y(λ) e analıticano polidisco |λ| < r2 e que |Mx,y(λ)| ≤ 2 nesse polidisco, isso e suficiente para concluir que |Mx,y| ≤2(|λ|/r2)

mx,y . Por (2.7), a menor potencia de λ na expansao de Mx,y(λ) e pelo menos igual a menor

potencia na expansao de Qx,y(λ) = τ fx,y(λ)/τ f

x,x(λ), ou seja, λ(2d−2)|x−y|. Por outro lado a cota (3.16)indica que alguns cancelamentos estao acontecendo na expansao de Mx,y. Isso nos leva a acreditar

que a menor potencia da expansao de Mx,y(λ) e, na realidade, maior do que λ(2d−2)|x−y|. Nao e difıcilprovar essa afirmacao e portanto podemos obter uma cota mais eficiente do que (3.16) para Mx,y(λ)quando x e y nao estao na mesma direcao ordenada, fato que sera usado na sequencia.

Lema 3.17. Seja λ tal que |λ| ≤ r2 e x, y ∈ Zd tais que |x − y| ≥ 2. Entao

(3.18) |Mx,y| ≤ 2

[|λ|

r2

](2d−2)|x−y|+1

.

Demonstracao. Por (2.7), o monomio de menor potencia λ(2d−2)|x−y| esta presente nos primeiros |x−y| termos da expansao de Neuman de Mx,y(λ), a saber Qx,y, [Q

2]x,y, [Q3]x,y, . . . , [Q

|x−y|]x,y. Provemosagora que esses termos se cancelam por causa da soma alternada. Por simplicidade, consideramos

4. LOCALIZACAO DOS ZEROS DE M 37

primeiramente o caso em que x = (0,~0) e y = (n,~0). Nesse caso o monomio λ(2d−2)n aparece somenteuma vez na expansao de Q ja que so existe um contorno minimal (com (2d− 2)(n + 1) + 2 plaquetas)cercando x, y. O monomio aparece n − 1 vezes na expansao de Q2, correspondendo as n − 1

configuracoes em que existe um tubo minimal de x a z e um tubo minimal de z a y (claro que z = (m,~0)

onde 1 ≤ m ≤ n − 1). O monomio aparce(

n−1m−1

)vezes na expansao de Qm, cada vez correspondendo

a uma configuracao em que ha contornos minimais cercando sucessivamente x, z1, . . . , zm−1, y em

que cada zi = (zi,~0) e 1 ≤ z1 < z2 · · · < zm−1 ≤ n − 1. Como em Qm o fator (−1)m aparece, o

coeficiente de λ(2d−2)n na expansao de Mx,y(λ), pelo menos no caso em que x = (0,~0) e y = (n,~0), en∑

m=1

(n − 1

m − 1

)(−1)m = 0.

Se x e y nao estao na mesma direcao, entao ha |x − y|!/(|x1 − y1|! · · · |xd − yd|!) contornos minimaiscercando x, y e podemos para cada um desses contornos o argumento anterior ( que nao dependeda forma do contorno mas sim do seu comprimento). Logo podemos concluir que o coeficiente de

λ(2d−2)|x−y| na expansao de Mx,y(λ) e zero, e assim obtemos (3.18) .

Precisaremos tambem de uma cota inferior para Mx,y(λ)||x−y|=0 e Mx,y(λ)||x−y|=1. Pela simetria domodelo, esses termos nao dependem de x, y. Denotaremos

(3.19) M0(λ) = Mx,y(λ)||x−y|=0 e M1(λ) = Mx,y(λ)||x−y|=1.

Das equacoes (2.5) e (2.7) e da expansao em polımeros (3.7), segue que, para qualquer |λ| < r2,

(3.20) M0(λ) = 1 + f(λ), M1(λ) = −λ2d−2(1 + f ′(λ)),

onde f(λ) e f ′(λ) sao analıticas em |λ| < r2 e ainda f(λ)|λ=0 = f ′(λ)|λ=0 = 0.

Para simplificar a notacao, denotaremos por O(1) qualquer funcao analıtica da forma 1 + f(λ), comf(0) = 0. No que segue, a expressao O(1) pode referir-se a funcoes distintas.

Ainda, como τ fx,x(λ) nao depende de x, temos

(3.21) [τ f ]−1 =1

τ f0

M,

onde τ f0 = τ f

0,0 e uma constante.

4. Localizacao dos zeros de M

Usando o Teorema de Paley-Wiener (ver apendice A) e (3.16), a transformada de Fourier M(k1, ~k)

de Mx,y e analıtica, como funcao de k1 ∈ C, para ~k ∈ Rd−1 e |λ| < r2 fixados, ao menos na faixa

| Imk1| < m2(λ), onde m2(λ) = (2d − 1)(| ln λ| − | ln r2|).

Mostraremos que, quando λ e real e positiva, a transformada de Fourier M(k1, ~k) tem dois zeros simples

no interior da faixa acima. Os zeros estao localizados no eixo imaginario nos pontos k1 = ±iω(~k),

onde ω(~k) e real positivo.

Teorema 4.1. Existe r3 < r2 tal que, para qualquer ~k ∈ Rd−1 fixado e qualquer λ ∈ R

+, 0 < λ < r3,

a funcao τ f(k1, ~k) e meromorfa na faixa |Imk1| < m2(λ), onde m2(λ) = (2d − 7/4)(| ln λ| − | ln r2|),

e tem dois polos simples nessa faixa nos pontos k1 = ±iω(~k) sendo que ω(~k) e uma funcao analıtica

real positiva par de ~k ∈ Rd−1 tal que e−ω(~k) = λ(2d−2)O(1).


Demonstracao. Da equacao (3.21) segue que τ f(k1, ~k) = τ f0 × [1/M (k1, ~k)]. Logo, devemos apenas

mostrar que M(k1, ~k) tem dois zeros simples dentro de faixa acima localizados no eixo imaginario nos

pontos k1 = ±iω(~k).

Analisemos mais detalhadamente a tranformada de Fourier M (k1, ~k). Primeiramente lembremos queMx,y = Mx−y,0, e denotamos Mx = Mx,0. Lembremos tambem as definicoes de M0 = Mx=0 e deM1 = Mx||x|=1. Usaremos a notacao x = (x1, ~x). A transforma de de Fourier de Mx ≡ Mx1,~x edefinida como

M(k1, ~k) =∑

x∈Zd

e−ik1x1e−i~k·~xMx1,~x.

Como M = I +∑

n(−1)nQn e Q tem as simetrias de τ f , M guarda as simetrias de τ f . Em particular,

Mx1,−~x = Mx1,~x = M−x1,~x = M−x1,−~x. Podemos, entao, reescrever M(k1, ~k) como

(4.2)∑

|~x|≥1

e−i~k·~xM0,~x =∑

|~x|≥1

cos(~k · ~x)M0,~x

e∑

|x|≥2

e−ik1x1e−i~k·~xMx1,~x =

∞∑

x1=1

[e−ik1x1 + e+ik1x1

] ∑

~x|(x1,~x)|≥2

cos(~k · ~x)Mx1,~x .

Temos

(4.3) M(k1, ~k) = g0(~k) +[eik1 + e−ik1

]g1(~k) +

∞∑

n=2

[e−ik1n + e+ik1n

]gn(~k),

onde

(4.4) gn(~k) =∑

~x∈Zd−1

cos(~k · ~x)Mn,~x para n = 0, 1, . . . .

Notamos que gn(~k) e a transformada de Fourier da funcao Mn,~x ∈ ℓ2(Zd−1). Novamente, pelo teorema

de Paley-Wiener, as funcoes gn(~k) sao analıticas em cada variavel ki ∈ C na faixa | Im ki| < m2, logo

analıticas em ~k.

Finalmente, as funcoes gn(~k) sao reais se ~k e real e pares (ou seja, g(~k) = g(−~k)). Ainda, pelasequacoes (3.20) e (3.16), vemos que

(4.5) g0(~k) = O(1) e g1(~k) = −λ2d−2O(1).

Tomamos agora z = eik1 e definimos a funcao de uma variavel complexa z

C(z,~k) = C0(z,~k) + Cs(z,~k),

onde

(4.6) C0(z,~k) = g0(~k) +

[z +

1

z

]g1(~k) Cs(z,~k) =

∞∑

n=2

[zn +

1

zn

]gn(~k).

Como C(eik1, ~k) = M (k1, ~k), achar os zeros da funcao M(k1, ~k) no retangulo

|Im k1| < m2(λ),−π < |Re k1| ≤ π

e o mesmo que achar os zeros de C(z,~k) no anel

(4.7) A ≡ e−m2(λ) < |z| < em2(λ).

4. LOCALIZACAO DOS ZEROS DE M 39

Observamos que os zeros de M(k1, ~k) estao no eixo imaginario se os zeros de C(z,~k) sao reais e

positivos. Ainda, como as funcoes gn(~k) sao pares na variavel ~k, se z0(~k) e um zero de C(z,~k), entao

z0(−~k) = z0(~k), ou de modo equivalente, se k01(

~k) e um zero de M(k1, ~k), entao k01(−

~k) = k01(

~k).

Finalmente, devido a C(z,~k) = C(1/z,~k), se z0(~k) e um zero de C(z,~k), entao 1/z0(~k) tambem e um

zero, ou, de modo equivalente, se k01(

~k) e um zero de M(k1, ~k), entao −k01(

~k) tambem e um zero.

Mostraremos agora que, para quaisquer ~k ∈ Zd−1 e λ ∈ R

+, λ < r3, pode-se achar um anel A ⊂ A

tal que a funcao C(z,~k) tenha somente dois zeros reais, digamos z1(λ,~k) e z2(λ,~k) = 1/z1(λ,~k), queeles sejam reais e positivos.

Observamos que, por (4.5), para ~k ∈ Zd−1 fixado e λ ∈ R

+, λ < r3, a funcao C0(z,~k) tem dois zeros

reais nos pontos z1(λ,~k) e z2(λ,~k), dados por

z1(λ,~k) =−2g1(~k)/g0(~k)

1 +

√1 − 4

[g1(~k)/g0(~k)

]2 = λ2d−2O(1)

e z2(λ,~k) =1

z1(λ,~k)= λ−(2d−2)O(1).

Usamos aqui (4.5). Notemos que o sinal negativo na segunda igualdade de (4.5) e essencial para

concluirmos que z1(λ,~k) e z2(λ,~k) sao positivos.

Por outro lado, se usarmos a cota de (3.14), obtemos

(4.8) |gn(~k)| ≤ Cd nd λ−1e−m2(λ)n, se n ≥ 2,

logo

|Cs(z,~k)| ≤Cd

|λ|

∞∑

n=2

[|z|n +

1

|z|n

]nd e−m2(λ)n.

Como esperado, a serie no lado direito da expressao acima converge no anel Aε dado por 1εe−m2(λ) <

|z| < εe+m2(λ) para qualquer e−m2(λ) < ε < 1; ainda, para ε < 1/2, temos tambem

(4.9) |Cs(z,~k)| ≤ Cdλ−1ε2,

onde

(4.10) Cd = 2Cd

∞∑

n=0

nd2−n.

Vamos escolher ε = (λ/r2)3/4 de modo que εe+m2(λ) = e+m2(λ), onde

m2(λ) =

(2d −

7

4

)(| ln λ| − | ln r2|).

Definimos o anel A ⊂ AA = e−m2(λ) < |z| < e+m2(λ).

Escrevemos ∂− para denotar o cırculo |z| = e−m2(λ) e ∂+ para denotar o cırculo |z| = e+m2(λ).

Entao ∂A = ∂+ ∪ ∂− e a fronteira de A. Como a raiz z1(λ,~k) e de ordem λ2d−2 enquanto e−m2(λ)

e de ordem λ2d−7/4, podemos escolher r3 < r2 pequeno de modo que z1(λ,~k), 1/z1(λ,~k) ⊂ A e

ε = (λ/r2)3/4 < 1/2 sempre que λ < r3. Logo, por (4.9) obtemos

(4.11) |Cs(z,~k)| ≤Cd

r3/22

λ1/2 para z ∈ A ∪ ∂A e λ < r3,


ou seja, Cs(z,~k) e de ordem λ1/2 in A ∪ ∂A.

Observamos que |C0(z,~k)| e de ordem λ−1/4 se z ∈ ∂A. Com efeito, supomos que z ∈ ∂+, como

C0(z,~k) = g0 + (z + 1/z)g1, o termo dominante sera g1/z = O(λ−1/4). O caso em que z ∈ ∂− einteiramente analogo. Quando z e real negativo o termo dominante sera g0 = O(1) ou g1/z = O(λ−δ),onde 0 ≤ δ < 1/4. De qualquer modo teremos C0 = O(λ−δ). Definimos

I− ≡ (−e+m2(λ),−e−m2(λ)).

Seja D = ∂−∪∂+∪I−. Como C0(z,~k) tem dois zeros no interior de D e como D, |Cs(z,~k)| < |C0(z,~k)|

sobre D, podemos usar o Teorema de Rouche e concluir que C(z,~k) = C0(z,~k) + Cs(z,~k) tem dois

zeros no interior de D. Notamos que I(D) = A\I− e nao e difıcil mostrar que C(z,~k) e, assim como

C0(z,~k), pelo menos de ordem O(1) em todo o intervalo I−. Podemos entao concluir que C(z,~k) tem

dois zeros no anel A.

Para concluir, nao e difıcil mostrar que os dois zeros z1(λ,~k) e z2(λ,~k) = 1/z1(λ,~k) no anel A se

localizam, na realidade, no intervalo real positivo I+ = (e−m2(λ), e+m2(λ)) de C(z,~k) e

(4.12) z1(λ,~k) = e−ω(~k) = λ2d−2O(1).

Essa afirmacao segue do fato de que a funcao Cs(z,~k) (ver (4.6)) e real (para λ real) e, por (4.11),

|Cs(z,~k)| ≤ Cλ1/2 para alguma constante C no intervalo I+. Disso segue imediatamente que a funcao

C0(z,~k) + Cs(z,~k) tem pelo menos dois zeros no intervalo I+. Mais precisamente, ela tem pelo menosum zero localizado no intervalo I1 = (z−1 , z+

1 ) em torno de z1 e pelo menos um zero em I2 = (z+2 , z−2 )

em torno de z1, onde z+1 e z+

2 = 1/z+1 sao solucoes da equacao C0(z,~k) = +Cλ1/2 e tanto z−1 como

z−2 = 1/z−1 sao solucoes da equacao C0(z,~k) = −Cλ1/2. Como z±1 = λ2d−2O(1), obtemos a equacao(4.12) .

No que diz respeito a analiticidade de ω(~k), simplesmente observamos que M(k1, ~k) e analıtica como

funcao de k1 e ~k. Como iω(~k) e definido implicitamente por

(4.13) M(iω(~k), ~k) = 0,

a conclusao e uma aplicacao imediata do teorema da funcao implıcita (ver o Apendice 1). Finalmente

lembramos que ω(~k) = ω(−~k) segue do fato de que as funcoes gn(~k) definidas em (4.4) sao pares.

5. Propriedades de ω

Para provarmos o comportamento de Ornstein-Zernike, precisamos mostrar que a funcao ω(~k) atinge

seu mınimo no retangulo −π < ki ≤ π i = 2, . . . , d no ponto ~k = 0 e que esse ponto e o unico mınimoda funcao. Provaremos o seguinte teorema

Proposicao 5.1. Para todos λ ∈ R+ tais que 0 < λ < r, valem as seguintes igualdades

(5.2)∂ω(~k)

∂ki= 2 sin kiλ

2d−2O(1) se −π < ki < π i = 2, . . . , d

(5.3)∂2ω(~k)

∂ki∂kj

∣∣∣∣∣~k=0

= 2λ2d−2O(1)δij .

5. PROPRIEDADES DE Ω 41

Dessa proposicao segue imediatamente o seguinte corolario.

Corolario 5.4. Para cada λ ∈ R+ tal que 0 < λ < r, ~k = 0 e o mınimo global de ω(~k) em

~k ∈ [−π, π]d−1.

Demonstracao da Proposicao 5.1. Lembrando (4.3) e diferenciando a equacao M(iω(~k), ~k) = 0

com relacao a ~kj , para j 6= 1, obtemos a identidade

(5.5)∂iω(~k)

∂kj

∂M (iω(~k), ~k)

∂k1+

∂M (iω(~k), ~k)

∂kj= 0.

Observamos que,

(5.6)∂M(k1, ~k)

∂k1

∣∣∣∣∣k1=iω(~k)

= −i

sinh[ω(~k)]g1(~k) +

∞∑

n=2

sinh[nω(~k)]gn(~k)

= +iO(1).

Usando (4.5) e sinh[ω(~k)] = λ−(2d−2)O(1), obtemos sinh[ω(~k)]g1(~k) = −O(1), enquanto que, usando

(4.8), obtemos∑∞

n=2 sinh[nω(~k)]gn(~k) = O(λ).

Por outro lado, para i = 2, . . . , d

(5.7)∂M(k1, ~k)

∂ki

∣∣∣∣∣k1=iω(~k)

=

∂g0(~k)

∂ki+

∞∑

n=1

cosh[nω(~k)]∂gn(~k)

∂ki

.

Se n ≥ 1, temos

∂gn(~k)

∂ki= −

∑

~x∈Zd−1

xi sin(~k · ~x)Mn,~x = −2

∞∑

s=1

s sin(ski)∑

~x∈Zd−1

xi=s

cos(~k · ~x − kixi)Mn,~x =

(5.8) = −2 sin ki

∞∑

s=1

ssin(ski)

sin ki

∑

~x∈Zd−1

xi=s

cos(~k · ~x − kixi)Mn,~x = sin kiO(λ(2d−2)(n+1)+1),

onde, na ultima linha, usamos a cota (3.18) do Lema 3.17 e o fato de que |sin(ski)/ sin ki| ≤ s. Logo

a funcao F (λ) =∑∞

n=1 cosh[nω(~k)](∂gn(~k)/∂ki), que sabemos ser analıtica em λ pelo menos no disco

|λ| < r, comeca com uma potencia de ordem pelo menos λ2d−1 com um coeficiente proporcional asin ki. Assim, F (λ) = sin kiO(λ2d−1) (nao temos mais o controle sobre o sinal de O(λ2d−1)).

Por outro lado, lembrando que M1 = −λ2d−2O(1) e usando de novo a cota (3.18), temos

(5.9)∂g0(~k)

∂ki= −2 sin ki

[

M1 +∑

~x∈Zd−1

xi=1, |~x|>1

cos(~k · ~x − kixi)M0,~x +

+

∞∑

s=2

ssin ski

sin ki

∑

~x∈Zd−1

xi=s,

cos(~k · ~x − kixi)M0,~x

]

= 2 sin kiλ2d−2O(1).

O que significa que

(5.10)∂M(k1, ~k)

∂ki

∣∣∣∣∣k1=iω(~k)

= 2 sin kiλ2d−2O(1)


e, usando (5.5), temos

(5.11)∂ω(~k)

∂kj= 2 sin kiλ

2d−2O(1).

Desta forma, (5.2) esta provado.

Com relacao a identidade (5.3), como ω(~k) e par, temos (∂2ω(~k)/∂ki∂kj)|~k=0= 0 se i 6= j. No caso

em que i = j, por (5.5), temos que (∂ω(~k)/∂kj)|~k=0= 0, e assim

(5.12)∂2iω(~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

∂M(iω(~k), ~k)

∂k1

∣∣∣∣∣~k=0

+∂2M(iω(~k), ~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

= 0.

calculando (∂2M(iω(~k), ~k)/∂2ki)|~k=0

(5.13)∂2M(iω(~k), ~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

=∂2g0(~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

+

∞∑

n=1

cosh[nω(~k)]∂2gn(~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

.

Pelos mesmos argumentos, podemos verificar que ∂gn(~k)/∂ki e pelo menos de ordem λ(2d−2)(n+2)+1 e

logo, que G(λ) =∑∞

n=1 cosh[nω(~k)](∂2gn(~k)/∂k2i )|~k=0

e pelo menos de ordem λ2d, enquanto

(∂2g0(~k)/∂k2i )|~k=0

= +2λ2d−2O(1),

assim

(5.14)∂2M(iω(~k), ~k)

∂k2i

∣∣∣∣∣~k=0

= 2λ2d−2O(1).

Logo, colocando (5.6) e (5.14) em (5.12), obtemos (5.3).

6. O Comportamento de Ornstein-Zernike

Teorema 6.1. Seja d ≥ 3 e tomemos x, y ∈ Zd tais que x − y = (x1 − y1, 0, · · · , 0). Entao existe um

numero positivo r tal que a conectividade finita pode ser escrita como

(6.2) τ fx,y(p) = C(p, x − y)

e−m(p)|x−y|

|x − y|d−12

, sempre que 11+r < p < 1,

onde e−m(p) = (1 − p)2d−2[1 + f(p)] e C(p, x − y) sao tais que

(6.3) lim|x−y|→∞

C(p, x − y) =(1 − p)4d−d2−1

(2π)d−12

[1 + g(p)]

e f(p), g(p) sao funcoes analıticas em p, 11+r < p < 1, tais que limp→1 f(p) = 0 = limp→1 g(p).

Consideramos p no intervalo ( 11+r , 1) onde r e a constante do Teorema 4.1. Tomando λ = (1 − p)/p,

temos que λ esta no intervalo intervalo (0, r) em que o Corolario 4.1 e a Proposicao 5.1 valem. Por(3.9) do Teorema 3.8 e pela definicao da transformada de Fourier, temos

τ f(x1,0)(λ(p)) =

1

(2π)d

∫

Vπ

d~k

∫ +π

−πdk1e

ik1x1 τ(k1, ~k),

onde Vπ = ~k ∈ Zd−1 : −π ≤ ki ≤ π, para i = 2, . . . , d (omitimos a dependencia em λ no termo

τ(k1, ~k) para tornar a notacao mais leve). Supondo, sem perda de generalidade, que x1 > 0, seja ε > 0

6. O COMPORTAMENTO DE ORNSTEIN-ZERNIKE 43

tal que m2(λ) > ω(~k) + ε (pelo Teorema 4.1 sempre existe um tal ε ), e consideremos o retangulo noplano complexo

R = k1 ∈ C : −π ≤ Re k1 ≤ π, 0 ≤ Imk1 ≤ ω(~k) + ε,

com fronteira ∂R (se x1 for negativo, tomamos o simetrico de R com relacao ao eixo real). Pelo Teorema

4.1 e pela escolha de ε, a funcao τ(k1, ~k) e meromorfa em R com um unico polo em k1 = iω(~k). Logo,

usando o teorema do resıduo, o fato de que τ(k1, ~k) = τ f0(λ)/M (k1, ~k)) e (5.6), obtemos

(6.4)

∫

∂Reik1x1 τ(k1, ~k)dk1 = 2πiτ f

0(λ)e−ω(~k)x1r(~k)

onde, pela equacao (5.6)

(6.5) r(~k) =

∂M(k1, ~k)

∂k1

∣∣∣∣∣k1=iω(~k)

−1

=1

iO(1).

Por outro lado, um calculo direto nos da

(6.6)

∫

∂Reik1x1 τ(k1, ~k)dk1 =

∫ π

−πeik1x1 τ(k1, ~k)dk1 − Cε(x1, ~k)e−(ω(~k)+ε)x1 ,

onde Cε(x1, ~k) =∫ π−π eik1x1 τ(k1 + i(ω(~k) + ε), ~k)dk1 e observamos que |Cε(x1, ~k)| ≤ Cε, onde

(6.7) Cε = sup~k∈Rd−1

∫ π

π|τ(k1 + i(ω(~k) + ε), ~k)|dk1.

Logo, usando que ω(~k) ≥ ω(0) (pela Proposicao 5.1), obtemos

(6.8)

∫ π

−πeik1x1 τ(k1, ~k) = 2πτ f

0(λ)e−ω(~k)r(~k) + O(e−[ω(0)+ε]x1).

Podemos entao escrever

(6.9) τ f0,x(p)

τ f0(λ)

(2π)d−1

e−ω(0)x1

xd−12

1

[x

d−12

1

∫

Vπ

r(~k)e−∆ω(~k)x1d~k

]+ O(e−[ω(0)+ε]x1).

onde ∆ω(~k) = ω(~k)−ω(0) e λ(p) = (1− p)/p. Observamos que o segundo termo na identidade acima

decai mais rapidamente do que e−ω(0)|x1|. Fazendo uma mudanca de variaveis ~k = |x1|1/2~q, obtemos

(6.10) |x1|d−12

∫

Vπ

r(~k)e−∆ω(~k)|x1|d~k =

∫

Vπ|x1|

1/2

r(~q|x1|−1/2)e

−∆ω( ~q√|x1|

)|x1|d~q.

Por (5.3), temos limλ→0 ∆ω(λ~q)/λ2 = 2O(1)~q 2, logo

(6.11) limx1→∞

∫

Vπ|x1|

12

r

(~q

|x1|12

)e−∆ω( ~q√

|x1|)|x1|

d~q =

= r(0)

∫

Rd−1

e−2λ2d−2O(1)~q 2d~q =

(2π)d−12

λ(d−1)2O(1),

que e nao-nulo. Observamos que a funcao C(λ, x1) que aparece no Teorema 6.1 e obtida explicitamentepor

(6.12) C(λ, x1) =τ f0(λ)

(2π)d−1

∫

Vπ|x1|

1/2

r(~q|x1|−1/2)e

−∆ω( ~q√|x1|

)|x1|d~q + x

d−12

1 O(e−εx1).


Logo, recordando que τ f0(λ) = λ2dO(1), chegamos a equacao (6.3).

A formula de Ornstein-Zernike, nos permite, em particular, obter parcialmente o resultado principalda Secao 4. Parcialmente pois os resultados dessa secao so sao validos para vertices ao longo deeixos ordenados. Como o decaimento exponencial principal de τ f

x1,0(λ) e de taxa m(λ) = ω(0) e

como exp−ω(0) = λ2d−2O(1), obtemos m(λ) = 2(d − 1)| ln λ| + O(λ). Ou, de modo equivalentem(p) = 2(d − 1)| ln(1 − p)| + O(1 − p).

CAPıTULO 5

Apendices

1. Analise Complexa

Nesse apendice recolhemos alguns resultados canonicos em analise complexa que foram utilizados notexto. As provas dos Teoremas 1.1 e 1.2 podem ser encontradas em [39]; as provas dos Teoremas 1.4,1.5, 1.7 e 1.6 podem ser encontradas em [4]; a prova do Teorema 1.8 pode ser encontrada em [23].

Consideramos G : Z → R, G ∈ l2(Z).

G(k) =∑

x∈Z

e−ikxG(x), k ∈ R.

G(x) =1

2π

∫ π

−πeikxG(k)dk, x ∈ Z.

Teorema 1.1 (Paley-Wiener). Seja m > 0 e G ∈ l2(Z) dados. Entao G(k), a transformada deFourier de G(x), e analıtica na faixa |Im k| < m se, e somente se, para qualquer ε ∈ (0,m), existeuma constante positiva Cε tal que

|G(x)| ≤ Cεe−(m−ε)|x|.

Teorema 1.2. Suponha que G(k) seja meromorfa na faixa |Im k| < m e com os unicos polos naregiao |Im k| < m, |Re k| < π sendo polos simples em k = ±im, onde m < m. Seja ±ir0 o resıduoem k = ±im, r0 ∈ R. Entao, para cada ε ∈ (0,m), existe uma constante positiva Cε tal que

|G(x) − r0e−m|x|| ≤ Cεe

−(m−ε)|x|,

onde G(x) e a transformada inversa de Fourier de G(k).

Definicao 1.3. Seja D ⊂ Cn um aberto e f : D → C. f e analıtica na variavel zj em D se, para

qualquer (z1, · · · , zn) ∈ D e qualquer j = 1, · · · , n o seguinte limite existe

limh→0

f(z1, · · · , zj + h, · · · , zn) − f(z1, · · · , zj , · · · , zn)

h≡

∂f

∂zj.

Teorema 1.4 (Lema de Schwarz generalizado). Seja f(z1, · · · , zl) uma funcao analıtica nas variaveisz1, · · · , zl em uma vizinhanca do polidisco fechado |zi| ≤ ζ0, i = 1, 2, · · · , l. Suponha que, para cadaj = 1, 2, · · · , l, exista um inteiro nao-negativo kj tal que

f(z1, · · · , zj = 0, · · · , zl) = 0,∂f

∂zj(z1, · · · , zj = 0, · · · , zl) = 0, · · ·

· · ·∂kj−1f

∂zkj−1j

(z1, · · · , zj = 0, · · · , zl) = 0.

45

46 5. APENDICES

Seja C o supremo sup|zi|<ζ0|f(z1, · · · , zl)|. Entao, para qualquer ponto (z1, · · · , zl) no polidisco fechado

|zi| ≤ ζ0, i = 1, 2, · · · , l,

|f(z1, · · · , zl)| ≤ Cl∏

j=1

(|zj |

ζ0

)kj

.

Teorema 1.5 (Teorema de Hartogs). Uma funcao de varias variaveis complexas analıtica em cadauma das variaveis e analıtica em todas as variaveis simultaneamente, ou seja, admite uma repre-sentacao como serie de potencias absolutamente convergente.

Teorema 1.6 (Convergencia uniforme). Se fj e uma sequencia de funcoes analıticas uniformementeconvergente em um aberto D ⊂ C

n convergindo para f , entao f e analıtica em D.

Teorema 1.7 (Teorma da funcao implıcita). Seja F (z,w) uma funcao de varias variaveis complexas,z = (z1, . . . , zn) e w ∈ C, analıtica em uma vizinhanca |z − z0| < r, |w − w0| < ρ do ponto (z0, w0),suponha ainda que F (z0, w0) = 0, ∂F

∂w (z0, w0) 6= 0. Entao existem vizinhancas N (z0) and N (w0) taisque a equacao F (z,w) = 0 tem uma unica solucao w = w(z) em N (w0) para qualquer z ∈ N (z0).Ainda mais, a funcao w = w(z) e analıtica em N (z0) e satisfaz a condicao w(z0) = w0.

Teorema 1.8 (Teorema de Rouche). Seja γ uma curva de Jordan retificavel e seja I(γ) o seu interior.Suponha que f e g sao funcoes analıticas no fecho de I(γ), sem zeros em γ. Se

|f(z)| > |g(z)| em γ,

entao f(z) e f(z) + g(z) tem o mesmo numero de raızes em I(γ).

2. Grafos, arvores e formulas de dominacao

Seja R um conjunto finito, definimos um grafo g sobre R como uma colecao de pares nao ordenadosdistintos de R, ou seja, λi = xi, yi ⊂ R com xi 6= yi. Os pares λ1, λ2, . . . , λm sao chamados de elosdo grafo g. Denotamos por |g| o numero de elos do grafo g. Dados dois grafos g e f , dizemos quef ⊂ g se cada elos de f for tambem um elo de g.

Um grafo g = λ1, λ2, . . . , λm sobre R e dito conexo se, para cada particao A,B de R, isto e, A∪B = Re A ∩ B = ∅, existe um elo λi ∈ g tal que λi ∩ A 6= ∅ e λi ∩ B 6= ∅. Se g e conexo, entao ∪m

i=1λi = R e|R| − 1 ≤ m ≤ |R|(|R| − 1)/2.

Se g e um grafo sobre R, os elementos de R sao chamados de vertices de g. Escrevemos GR paradesignar o conjunto de todos os grafos conexos sobre R. Se R = 1, 2, . . . , n, escrevemos GR = Gn.

Um grafo tipo arvore, ou simplesmente uma arvore τ sobre R e um grafo conexo tal que |τ | = |R| − 1.O conjunto de todas as arvores sobre R sera designado por TR. Se R = 1, 2, . . . , n, escrevemosTR = Tn. O numero de incidencia di de um vertice i de uma arvore τ ∈ Tn e o numero de elosλ ∈ τ tais que i ∈ λ. Lembramos que, para qualquer arvore τ e para qualquer i ∈ τ , os numeros deincidencia tem as seguintes propriedades 1 ≤ di ≤ n − 1 e

∑ni=1 di = 2n − 2.

O numero de arvores de Tn pode ser explicitamente computado usando-se a formula de Cayley.

(2.1)∑

τ∈Tnd1,d2,...,dn fixed

1 =(n − 2)!∏n

i=1(di − 1)!.

2. GRAFOS, ARVORES E FORMULAS DE DOMINACAO 47

Usando a formula (2.1), e facil ver que ∑

τ∈Tn

1 = nn−2.

Daremos agora duas formulas que usamos no texto, conhecidas como desigualdades de arvores (treegraph inequalities), ver [3], [8] and [9]. Daremos algumas definicoes para podermos enunciar asdesigualdades em um contexto bastante geral.

Seja X ⊂ N um subconjunto qualquer, dizemos que um potencial de pares V esta definiddo sobre X,se a qualquer par nao ordenado i, j ⊂ X, estiver associado um numero real Vij . Um potencial depares V definido sobre X e positivo se, para qualquer i, j ⊂ X finito, vale

(2.2) Vij ≥ 0.

Dado um potecial de pares V definido sobre X ⊂ N, X finito, chamamos de fator de Ursell de V onumero

(2.3) (eV )c(X) =∑

g∈GX

∏

i,j∈g

(e−Vij − 1

),

onde a soma e feita sobre todos os grafos conexos sobre X.

Finalmente podemos formular a desigualdade de arvore potenciais positivos (ver [9, 3]). A desi-gualdade pode ser enunciada para qualquer X ⊂ Z finito. Sem perda de generalidade assumimos queX = 1, 2, , . . . , n.

Teorema 2.4 (Desigualdade de arvores para potenciais positivos). SejaV um potencial positivo definido sobre X = 1, . . . , n. Vale a seguinte desigualdade:

(2.5)

∣∣∣∣∑

g∈Gn

∏

i,j∈g

(e−Vij − 1

) ∣∣∣∣ ≤∑

τ∈Tn

∏

i,j∈τ

|e−Vij − 1|.

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49

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· resumo neste trabalho estudamos o modelo de percolac¸ao de bernoulli nos elos de zd em que...

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