Resumo de Complementos de MatemáticaGabriel Torreão

18 de setembro de 2008

1 Números Complexos1.1 DefiniçãoPodemos definir os Números Complexos como os pares (x, y) que respeitem:

i. Igualdade

(x1, y1) = (x2, y2)⇒x1 = x2y1 = y2;

ii. Adição(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

iii. Multiplicação

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

Observe que as operações de adição e multiplicação assim definidas gozamdas já conhecidas propriedades comutativa, associativa e a distributiva da mul-tiplicação com relação à adição. Além disto, a adição possui elemento neutro(0, 0) e a multiplicação (1, 0). Ao resolver sistemas simples, encontramos ainda

(−x,−y),(

x

x2 + y2 ,−y

x2 + y2

)como oposto e inverso, respectivamente, de (x, y).

Dizemos que todos os pares que respeitam as condições de i. a iii. formamo Corpo dos Números Complexos e denotamos C.

Como são representados por um par de números, os números complexos estãonum plano chamado Plano Complexo(Fig. 1), e podem ser interpretados comoo ponto (x, y) do plano ou como o vetor de origem em (0, 0) e extremidade em(x, y). Observe que a soma de números complexos é geometricamente idênticaà soma convencional de vetores no R2.

A subtração é definida como a adição com o oposto

z1 − z2 = z1 + (−z2)

1

z = (x, y)

x

y

(a) Representação do número complexo z =(x, y) no plano complexo.

z

w

z + w

(b) Soma dos complexos z e w.

Figura 1: Plano Complexo

e a divisão como multiplicação pelo inversoz1

z2= z1z

−12 .

1.2 Reais como Subcorpo dos ComplexosObserve que a transformação σ : Ω → R, onde Ω : (x, 0) ∈ C |x ∈ R, eσ(x, 0) = x, é um isomorfismo entre Ω e R, pois a cada número de Ω, associa-sebiunivocamente a um único número de R e todas as operações são respeitadas.Chamamos o eixo (x, 0) de eixo real e costumamos identificar um número naforma (x, 0) como um Real.

1.3 Imaginários PurosDizemos ser imaginário puro os números complexos da forma (0, y), em confor-midade com a idéia exposta na seção anterior. O eixo (0, y) é chamado de eixo

2

imaginário e ao número (0, 1), damos o nome de unidade imaginária.

1.4 Parte Real e ImagináriaUm número (x, y) ∈ C tem x como Parte Real, denotada por Re z = x, e ParteImaginária y, Im z = y, tendo em vista o resultado das duas sessões anteriores.

1.5 Forma Algébrica ou BinomialTodo complexo z = (x, y) pode ser escrito como

z = (x, y)= (x, 0) + (0, y)= x+ (y, 0)(0, 1)

z = x+ yi

onde i é a unidade imaginária.A identificação z = x+ iy é conhecida como forma algébrica ou binomial do

número complexo e a unidade complexa é tal que:

i =√−1 ⇔ i2 = −1.

Para a forma algébrica as operações são semelhantes e respeitam as proprie-dades formais das operações em R:

i. Adição(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

ii. Multiplicação

(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

1.6 MóduloO módulo de um número complexo z = x+ iy, denotado por |z|, é dado por

|z| =√x2 + y2,

o que corresponde ao tamanho do vetor que representa z.

1.7 ConjugadoO conjugado de um número complexo z = x+ iy, denotado por z, é dado por

z = x− iy,

o que corresponde à reflexão do vetor no eixo real. Uma propriedade importantedo conjugado é

zz = |z|2,ou seja, um número complexo multiplicado pelo seu conjugado, resulta em umnúmero real.

3

1.8 Propriedades de Módulo e Conjugadoa. Propriedades de Módulo:

Re z ≤ |z| (1)

Im z ≤ |z| (2)

|zw| = |z||w| (3)

∣∣∣ zw

∣∣∣ = |z||w|

(4)

|z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdade Triangular)

b. Propriedades de Conjugado:

z + w = z + w (5)

zw = z w (6)

Re z = z + z

2 (7)

Im z = z − z2i (8)

c. Propriedades Mistaszz = |z|2 (9)

1.8.1 Forma Polar

Podemos escrever o ponto que representa o número complexo em suas coorde-nadas polares, conforme a Figura 2.

Neste caso temos x = r cos θy = r sen θ.

e como resultadoz = r(cos θ + i sen θ).

Chamamos o ângulo θ de argumento de z e denotamos θ = arg z. r conicidecom |z|.

Sejam z = r(cos θ+ i sen θ) e w = ρ(cosφ+ i senφ), na representação polar,temos as seguintes fórmulas para multiplicação e divisão

zw = rρ[cos(θ + φ) + i sen (θ + φ)]

4

z

x

y

θ

r

Figura 2: Representação polar do número z = x+ iy

θ

r

ρ

φ

θ + φ

rρ

x

y

Figura 3: Multiplicação de números complexos, evidenciando o adição dos ar-gumentos.

z

w= r

ρ[cos(θ − φ) + i sen (θ − φ)].

Com estas operações, podemos visualizar geometricamente(Fig. 3) a opera-ção de multiplicação por exemplo, uma vez que nela, o módulo do resultado é oproduto dos módulos e o argumento do resultado é a soma dos argumentos.

Note que arg z = θ só está definido para |z| > 0. Podemos encontrá-lo por

tg θ = y

x,

onde x = Re z e y = Im z.Outra propriedade interessante, devido à reflexão do conjugado no eixo real

éarg z = − arg z.

5

1.9 Fómula de De Moivre e Potências InteirasSeja z = r(cos θ+ i sen θ), e n ∈ Z, então, decorre imediatamente das operaçõesda seção anterior

zn = rn[cos(nθ) + i sen (nθ)].Se n for positivo e z = cos θ + i sen θ, está forma é conhecida com fórmula deDe Moivre.

1.10 RaízesSeja z = r(cos θ + i sen θ), w = ρ(cosφ+ i senφ) e n ∈ N, temos

n√z = w ⇔ z = wn,

o que leva àr(cos θ + i sen θ) = ρn[cos(nφ) + i sen (nφ)],

resultando no sistemar = ρn

θ + 2kπ = nφ⇔

ρ = n

√r

φ = θ + 2kπn

,

por fim

n√z = n

√r

[cos(θ + 2kπ

n

)+ i sen

(θ + 2kπ

n

)], k = 0, 1, 2, ... , (n− 1).

Note que a raiz n-ésima de um número complexo possui infinitos valores paratodo valor de k, mas apenas n distintos.

1.10.1 Raízes da Unidade

Observe que

n√

1 = cos(

2kπn

)+ i sen

(2kπn

), k = 0, 1, 2, ..., (n− 1).

Seja

ω = cos(

2πn

)+ i sen

(2πn

),

entãon√

1 = ωk, k = 0, 1, 2, ..., (n− 1),o que resulta em

n√z = n

√|z|[cos(θ

n

)+ i sen

(θ

n

)]· ωk, k = 0, 1, 2, ..., (n− 1)

ou seja, toda raiz, pode ser composta pelo produto entre uma raiz particular eas raízes da unidade.

obs.: A determinação de certas raízes quadradas é mais fácil através de um sistemaconstruído com o número complexo na forma algébrica, e não na polar.

6

1.11 Forma de EulerPodemos ainda representar um número complexo de uma quarta forma. Tendoem vista as expansões de seno, cosseno e exponencial, temos

z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ,

assim, sendo z = reiθ e w = ρeiφ

i. Multiplicaçãozw = rρei(θ+φ)

ii. Divisãoz

w= r

ρei(θ−φ)

iii. Pontênciaszn = reniθ

iv. Raízesn√z = n

√re

iθn

1.12 Conjuntos e Pontos no Plano Complexo1.12.1 Discos

Denominamos disco aberto de centro em z0 e raio r ao conjunto

Dr(z0) = z ∈ C | |z − z0| < r.

O disco fechado correspondente será z ∈ C | |z − z0| ≤ r.

1.12.2 Vizinhança

Um conjunto V é vizinhança de um ponto z0 se V contém algum disco abertocom centro em z0.

1.12.3 Ponto Interior

Dizemos que z0 é ponto interior de um conjunto C, se C é vizinhança de z0.

1.12.4 Fronteira

Fronteira é o conjunto dos pontos de um conjunto C nos quais toda vizinhançacontém pontos interiores de C e de seu complementar C ′. Um ponto ou é defronteira ou é interior.

1.12.5 Conjunto Aberto

C é um conjunto aberto se todos os seus ponto são interiores. Ou, C é abertose ele é vizinhança de todos os seus pontos. Ou ainda, C é aberto se ele nãocontém pontos de sua fronteira.

7

1.12.6 Conjunto Fechado

C é um conjunto fechado se seu complementar C ′ é aberto. Ou, C é fechado seele contém todos os pontos de sua fronteira.

1.12.7 Ponto de Acumulação

Em relação a um conjunto C, z0 é ponto de acumulação se toda vizinhança dez0 contém infinitos pontos de C. Observe que:

(a) Todo ponto interior e de fronteira é de acumulação.

(b) Se um ponto de fronteira não pertence ao conjunto, ainda assim ele é pontode acumulação deste conjunto.

(c) Se um ponto de acumulação não pertence ao conjunto, ele é de fronteira.

(d) Um conjunto fechado contém todos os seus pontos de acumulação.

1.12.8 Conjunto Conexo

Um conjunto é conexo se quaiquer dois de seus pontos podem ser ligados atravésde um arco todo contido no conjunto.

1.12.9 Região

Chamamos de região todo conjunto aberto e conexo1.

1.12.10 Conjunto Limitado

Um conjunto C é limitado se exite K tal que |z| < K para todo z ∈ C.

1.12.11 Conjunto Compacto

Um conjunto é compacto se for fechado e limitado.

1.12.12 Ponto Isolado

Dizemos ser z0 um ponto isolado de um conjunto C se ele não é ponto deacumulação de C.

2 FunçõesUma função de variáveis complexas é uma lei que, dado um conjunto D ⊂ C,chamado Domínio, faça corresponder para cada valor z ∈ D um valor w =f(z) ∈ I, onde I ⊂ C é o conjunto denominado Imagem, conforme o esquemada Figura 4.

1Na literatura, por vezes, usa-se domínio como sinônimo de região.

8

Se z é dado na forma algébrica, z = x+ iy, teremos então u(x, y) = Re f(z)e v(x, y) = Im f(z), ou seja

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

e podemos tratar uma função de uma variável complexa como uma função deduas variáveis reais.

2.1 Transformações e GráficosSe descrevermos uma curva c1 em D, cada ponto de c1 terá uma imagem, e,provavelmente, todas as imagens dos pontos de c1 formarão uma outra curva k1em I. Dizemos que f transforma c1 em k1. Repetindo este processo para outrascurvas ci, obtendo ki, obteremos um padrão da transformação f. Este padrãopode ser tomado como gráfico de f . Um exemplo ilustrativo é encontrado naFig. 5.

2.2 LimitesA idéia de limite de uma função de variável complexa é a mesma que a defunções reais, sua definição, inclusive, em muito assemelha-se a esta.

2.2.1 Definição

Seja z0 ponto de acumulação do domínio D de uma função f , então diz-se quef tem limite L quando z tende a z0 se dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que

0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < ε

e escrevemoslimz→z0

f(z) = L.

Geometricamente, a definição de limite significa que quando z se aproximade z0, dentro de D ∩Dδ(z0), f(z) se aproxima de L em Dε(L), e podemos fazero raio dos discos ser tão pequeno quanto quizermos.

f

D

Iz

w

Figura 4: Esquema da função f , que transforma z ∈ D em w ∈ I.

9

2.2.2 Limites Infinitos e no Infinito

1. Diz-se que uma função f(z) com domínioD tem limite finito L com z →∞se, dado qualquer ε > 0, existe M > 0 tal que |f(z) − L| < ε para todoz ∈ D, |z| > M .

2. Diz-se que f(z) tende a infinito com z tendendo a z0 se, dado qualquerK > 0, existe δ > 0 tal que |f(z)| > K para todo z ∈ D, |z − z0| < δ.

3. Diz-se que f(z) tende a infinito com z tendendo a infinito se, dado qualquerK > 0, existe M > 0 tal que |f(z)| > K para todo z ∈ D, |z| > M .

2.2.3 Limite na Forma Algébrica

Sejam z = x+ iy, z0 = x0 + iy0 e f(z) = u(x, y) + iv(x, y), então

limz→z0

f(z) = limx→x0y→y0

u(x, y) + iv(x, y)

2.2.4 Propriedades do Limite

Sejam f(z) e g(z), tais quelimz→z0

f(z) = Lf

elimz→z0

g(z) = Lg,

então:

1.limz→z0

kf(z) = kLf , k ∈ C

2.limz→z0

f(z) + g(z) = Lf + Lg

c1

c2

c3

k1

k2

k3

x

y

u

v

f

Figura 5: Transformação das curvas ci nas curvas ki.

10

3.limz→z0

f(z) · g(z) = Lf · Lg

4.limz→z0

f(z)g(z) = Lf

Lg, Lg 6= 0

2.2.5 Continuidade

Uma função f é contínua num ponto z0, se e somente se as três condições abaixosão satisfeitas:

i. f(z0) existe

ii. Existelimz→z0

f(z0)

iii.limz→z0

f(z0) = f(z0).

Dizemos que uma função f(z) é contínua, se for cuntínua em todos os pontosde seu domínio.

Da definição de função contínua, podemos fazer algumas observações. Asoma de duas funções contínuas é uma função contínua, assim como seu produto.O quociente de duas funções contínuas é uma função contínua, exceto nos pontosque zeram o denominador. E por fim, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é contínua se esomente se u(x, y) e v(x, y) são contínuas.

⇒z0 z

Lf(z)

ε

δ

Figura 6: Ilustração da idéia geométrica de limite.

11