resolução do problema da braquistócrona usando o maple ensinodematematica... · concluiu-se que,...

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia – 2009 ISBN: 978-85-7014-048-7

Página: 1153

Resolução do Problema da Braquistócrona usando o Maple

Wellington José Corrêa

Claudete Cargnin Ferreira

Adilandri Mércio Lobeiro

Daniela Trentin Nava

Resumo

Este trabalho apresenta como o Maple 12 pode ser útil no processo de ensino-aprendizagem da Matemática, em especial no problema clássico da Braquistócrona. Neste problema, usando o software como ferramenta, foi calculado o tempo mínimo gasto na trajetória de diversas curvas, assim como o tamanho do percurso. Os resultados foram comparados com os obtidos pela Braquistócrona. Concluiu-se que, apesar de ter o percurso mais curto, a reta é a que tem maior tempo de trajetória, enquanto que a Braquistócrona tem percurso mais longo, porém, percorre-o em menor tempo.

Palavras-chave: braquistócrona, Maple 12.

Abstract

Resolution of Braquistochrone’s Problem using the Maple

This work presents like Maple 12 it can be useful in the process of teaching-learning of the Mathematics, specially in the classic problem of Braquistochrone. In this problem, using the software as tool, it was calculated the worn-out minimum time in the trajectory of several curves, as well as the size of the route. The results were compared with those obtained by Braquistochrone It was concluded that, despite having the shortest route, the line is to have more time to track, while Braquistochrone takes longer route, but through it in less time.

Keywords: Braquistochrone, Maple 12.




Página: 1154

Introdução

Muitas vezes a Matemática é vista como uma disciplina isolada e sem aplicações na vida

prática. Os professores, muitas vezes, são atropelados pelo excesso de assuntos a serem

trabalhados num curto espaço de tempo. Muitas disciplinas de Matemática têm altos índices de

rendimento insatisfatório, evasão e reprovação. Uma das principais razões para que isso ocorra é

a pouca motivação dos alunos para aprendizagem, que pode ser desencadeada pela metodologia

utilizada pelo professor, que geralmente é a aula expositiva (Dias, 1999). Esse método expositivo

exige que o aluno use toda a sua capacidade de abstração para compreender determinados

conceitos, mas sabe-se que nem todos os alunos têm a mesma facilidade para tal. Nesta

perspectiva, quando o aprendiz consegue visualizar, de forma concreta, aquilo que o professor

quer que ele abstraia, o aprendizado acontece com maior freqüência.

Nos últimos anos, a informática se tornou algo indispensável para o dia-a-dia e na

educação não poderia ser diferente. Diante desta questão, ela aparece como uma ferramenta

capaz de ajudar o aluno a conferir seus próprios cálculos feitos à mão e também resolver

problemas que envolvem contas tediosas. A tecnologia também permite que o aprendiz explore

certos aspectos da matemática de uma forma mais. Os cursos de graduação em Engenharia têm

tentado acompanhar o florescer deste novo ferramental técnico, o aumento vertiginoso do poder

processador das máquinas, novas técnicas de simulação e visualização, o que permite abordar e

tratar os problemas do mundo concreto com modelos mais realistas e precisos. No que se refere

ao processo ensino-aprendizagem, os softwares exercem grande influência no desenvolvimento

intelectual dos Alunos (Taneja, 1997). Em países como no Japão, o uso de software interativo e de

interfaces gráficas inteligentes, especialmente desenvolvidas para cada tema, está mudando a

metodologia de ensino (The PC-Maestro Project, 2004).

Uma alternativa tecnológica para auxiliar nesses propósitos é o aplicativo Maple, que

possui grande potencialidade em relação ao ensino de tópicos de Matemática. Ele oferece vários

recursos como capacidade de computação algébrica, numérica e gráfica, capacidade de

manipulação de fórmulas e números e uma linguagem de programação de alto nível. Portanto,

utilizando o software Maple, os conceitos vistos em sala de aula são apresentados de maneira

computacional, tornando o processo de aprendizagem mais prazeroso do que no ambiente

teórico e abstrato da sala de aula. A versão 12 do Maple tem um grande atrativo em relação às

anteriores: muitas operações antes realizadas por comandos, agora podem ser feitas com o uso

de paletas baseadas no sistema do “aponte” e “clique”.




Página: 1155

Deste modo, neste artigo será usado o Maple 12 para calcular o tempo gasto de diversas

curvas, com a finalidade de permitir a visualização (concreta) do problema da Braquistócrona,

proposto por Jean Bernoulli em 1696. Inicialmente será apresentada uma síntese histórica do

problema, seguido pela modelagem do mesmo. Para finalizar, será mostrado que a

Braquistócrona é uma ciclóide invertida.

Síntese Histórica

Em 1696, o matemático suíço Jean Bernoulli questionou-se sobre qual trajetória, dentre

todas as possíveis ligando dois pontos A e B situados em níveis diferentes e não sobre a mesma

vertical, seria percorrida no menor tempo por um corpo sujeito apenas à ação da gravidade. Tal

trajetória veio a ser denominada Braquistócrona. Muito embora que o segmento de reta ligando

A e B seja o caminho mais curto, este não é o mais rápido. Quando concebeu o problema da

Braquistócrona, Jean Bernoulli enviou cartas aos maiores matemáticos do mundo, submetendo-

lhes a questão e dando-lhes um prazo de seis meses, mais tarde prorrogado por mais quatro, para

a apresentação da solução.

A 16 de Junho de 1696 recebeu uma solução completa como resposta. Foi na troca de

correspondência entre Leibniz e Johann Bernoulli que surgiu o nome Braquistócrona

(brachistochrone, do grego brachistos: mínimo, e chronos: tempo). Em Maio de 1697 foi

publicada, na Acta Eruditorum, a solução do problema. Johann Bernoulli, o seu irmão Jacob

Bernoulli, Leibniz, Newton e l'Hôspital sugeriram diferentes métodos de resolução do problema

que levavam ao mesmo resultado.

Podemos encontrar a Braquistócrona em situações reais, como por exemplo, tobogãs,

montanhas-russas e pistas de skate e bicicross freestyle.

Modelagem do Problema

O problema da Braquistócrona consiste em, dados dois pontos e situados em níveis

diferentes e não sobre a mesma vertical, determinar o caminho em que a partícula móvel vai

de até em tempo mínimo, assumindo que a sua aceleração é apenas devida à gravidade.

Para resolver este problema são consideradas todas as possíveis curvas que unem e .




Página: 1156

A uma determinada curva corresponde um determinado valor - tempo necessário

para a partícula chegar de a . O tempo depende da forma da curva. O intuito é encontrar

a curva que corresponde ao tempo mínimo:

0 1( ), .y y x x x x= ≤ ≤

Por um lado, partícula de massa m possui velocidade inicial nula e não há atrito. É notório,

mediante a lei de conservação de energia, que:

(1)

Onde é a aceleração da força da gravidade, é a velocidade da partícula e a sua

ordenada.

Deste modo, graças a (1), a velocidade é dada por:

(2)

Por outro lado, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido, isto é,

(3)

Usando o fato que o comprimento de arco percorrido de até

por meio de uma curva representada pelo gráfico de uma função é dado por:

(4)

Combinando os resultados das equações (2)-(4), o tempo necessário para a partícula

deslizar de até a posição final é dado por:

(4.1)

Como conseqüência de (4.1), o problema da Braquistócrona é formulado

matematicamente como se segue:

(4.2)




Página: 1157

Usando o Maple para Calcular o Tempo Gasto no Percurso de Diversas Curvas

Usando os recursos disponíveis do Maple 12 é possível obter uma comparação do tempo

gasto para percorrer a trajetória do ponto até . Neste trabalho, as curvas a

serem consideradas ligando até são:

• A reta :

(5)

• A função :

(6)

• A função :

(7)

• A ciclóide (braquistócrona) :

Para calcular o tempo gasto no percurso, devemos avaliar a integral em (4.2) com

e ou seja,

(8)

O Maple irá apresentar uma janela apresentando duas opções. Isto se dá, quando não se

define como uma função. Para tanto, escolhe-se 'function definition'. Deste modo, pode-se

calcular o tempo gasto para percorrer a trajetória de cada curva nos pontos dados.

Para o cálculo do tempo gasto pela reta será usado um recurso bem interessante: o uso

de rótulos (label). Veja que a reta foi definida por (5), logo, para calcular o tempo através da

fórmula (8) basta digitar , de modo que onde está denotado digita-se Ctrl + L. Irá

aparecer uma janela e nela, onde está escrito 'valor do rótulo', você digita o rótulo desejado, a

saber, (5). Seguindo estes procedimentos, teremos que o tempo gasto no percurso das curvas

são:




Página: 1158

• Para a reta :

(9)

(Obs.: resultados em azul são as saídas do maple 12)

Sempre que se desejar uma resposta aproximada com 10 casas decimais, por exemplo,

basta pôr o cursor sobre o número obtido e em seguida, clicar com o botão direito e selecionar a

opção aproximate/10, que fornecerá o resultado (9) acima.

• Para a função : >

(10)

• Para a função : >




Página: 1159

(11)

Neste instante, para obter maior agilidade nos cálculos seguintes, a memória de

armazenamento do aplicativo será “limpada”. Para tanto, basta o comando:

> restart;

Considere a ciclóide (braquistócrona) definida por:

(12)

(13)

Como as equações da Braquistócrona são paramétricas, devemos fazer a seguinte

mudança de variável na integral (equação (8)):




Página: 1160

Ou seja,

(14)

Novamente irá aparecer uma janela denotada por 'clarificar correção', apresentando

duas opções. Escolhe-se 'function definition'.

Deste modo, vamos calcular o tempo gasto para percorrer a trajetória da curva nos

pontos dados.

Assim,

(15)

(16)

As perguntas que surgem neste momento são: qual é a curva de trajetória mais curta? A

trajetória mais curta é a mais rápida?




Página: 1161

Os tempos gastos para percorrer cada uma das trajetórias a já foi calculado e são,

portanto, conhecidos. Agora, para saber qual a trajetória mais curta entre e , será usada a

definição de comprimento de arco (Os cálculos foram realizados no maple 12):

> with(Student[Calculus1]):

comprimentoreta:=ArcLength(, x= 0 .. Pi);

(17)

> evalf[10]((Pi^2+4)^(1/2));

(18)

Note que (18) é a aproximação de 10 casas decimais de (17). Para tanto, basta clicar com

o botão direito sobre (17) e com o cursor selecionar aproximate / 10.

Para a Braquistócrona, tem-se:

> comprimentobaquistócrona:=ArcLength([,], theta= 0 .. Pi);

(19)

Veja que a Braquistócrona é a curva que possui a trajetória mais longa e mais rápida. De

forma surpreendente, a reta, que possui a trajetória mais curta, é também a de trajetória mais

lenta. Este resultado pode ser considerado contraditório pelos alunos que não tem tanta

facilidade de abstração. A animação gráfica das curvas, desenvolvida a seguir, pode colaborar

nesta visualização.

> restart; with(plots):

baquistócrona:=plot([(12),(13), theta = 0 .. Pi], color=blue,

scaling = constrained):

reta:=plot((5), x= 0 .. Pi, color=green, scaling =

constrained):

raiz:=plot((6), x= 0 .. Pi, color=yellow, scaling =

constrained):

cúbica:=plot((7), x= 0 .. Pi, scaling = constrained):

pontos:=pointplot({[0,0],[Pi,-2]}):

display(baquistócrona,reta,cúbica,raiz,pontos);




Página: 1162

Figura 1: representação gráfica das trajetórias das funções a

É interessante conferir uma animação gráfica das mesmas: > restart;with(plots):

reta:=plot((5), x=0..Pi, color=green):

t1:=animate(pointplot,[[t,eval((5),x=t)],symbol=circle,symbol

size=20],t=0..Pi, frames=100, background=reta):

raiz:=plot((6), x=0..Pi, color=yellow):


size=20],t=0..Pi, frames=100, background=raiz):

cúbica:=plot((7), x=0..Pi):


size=20],t=0..Pi, frames=100, background=cúbica):

baquistócrona:=plot([(12),(13), theta = 0 .. Pi],

color=blue):

t4:=animate(pointplot,[[eval((12),theta=t),eval((13),theta=t)

],symbol=circle,symbolsize=20],t=0..Pi, frames=100,

background=baquistócrona, color=blue):

t5:=pointplot({[0,0],[Pi,-2]}):

display(t1,t2,t3,t4,t5);




Página: 1163

Figura 2: animação das trajetórias a nos tempos t = 0, t =0,85680,

t=2,3165 e t=3,0147

Prova que a Braquistócrona é uma Ciclóide invertida

Uma Ciclóide é uma curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem

deslizar sobre uma reta. Uma Ciclóide com início na origem de um sistema de eixos, gerada por

uma circunferência de raio r, consiste nos pontos com equações paramétricas:




Página: 1164

Sabia-se, desde Galileu, que a velocidade de um ponto material , sob a ação da

gravidade, partindo do repouso e percorrendo uma curva qualquer sem atrito, é proporcional a

, onde é a diferença de altura entre o ponto de partida e aquele em que se encontra em

cada instante. O irmão de Bernoulli, Jacques, fez o seguinte procedimento: a altura percorrida por

dividida em um grande número de partes iguais a e supôs que a curva procurada fosse

aproximadamente uma poligonal formada por um número igual de segmentos retilíneos. Supôs,

ainda, que sobre cada segmento, a velocidade de fosse constante, mudando aos saltos quando

o ponto passa de um segmento a outro. Note que quando tende a zero (ou tende ao

infinito), a poligonal se transforma na curva procurada e a velocidade passa a variar

continuamente e não por degraus. A figura 3 a seguir ilustra tal situação.

Figura 3: segmentos retilíneos sobre a ciclóide.

Ao longo do primeiro segmento, a velocidade seria , onde é uma

constante de proporcionalidade. Ao longo do segundo segmento, a velocidade seria

e, assim, ao longo do k-ésimo segmento, a velocidade seria .

Como se deseja que o tempo de percurso seja mínimo, é indispensável que o tempo gasto para




Página: 1165

percorrer dois segmentos contíguos também seja mínimo. Usando a mesma situação analisada

por Fermat sobre a refração da luz, quando ela passa de um meio a outro com velocidades

distintas, pela Lei de Snell tem-se:

Ou seja,

Para a conclusão da demonstração será usada a seguinte propriedade da Ciclóide: "A

curva em que a raiz quadrada da ordenada em qualquer ponto, dividida pelo seno do ângulo

formado por sua tangente com a vertical é constante, é uma ciclóide invertida." (uma

demonstração deste fato pode ser encontrada em GARBI, 2007).

Com isto, quando tende a zero, quaisquer dois segmentos contíguos da poligonal

tendem à tangente à curva no ponto comum a ambos e os dois ângulos e tendem à

igualdade. Em outras palavras, a curva procurada tem a seguinte propriedade: em qualquer de

seus pontos, a velocidade do ponto material dividida pelo seno do ângulo que sua tangente faz

com a vertical é constante. Como a velocidade é proporcional à raiz quadrada da altura

percorrida, pela propriedade relatada acima, a Braquistócrona é, portanto, uma ciclóide invertida.

Outras informações sobre o cálculo de variações no maple pode ser obtida em Louro

(2006) e ICMC (2008).

Considerações Finais

Neste trabalho, concluímos, via Maple 12, que comparando as curvas dadas em (5), (6) e

(7), a Braquistócrona é a curva de tempo mínimo. De modo admirável, em comparação com a

reta, vimos que apesar de ter menor comprimento que a Braquistócrona, possui uma trajetória

mais lenta. Veja a figura 4:




Página: 1166

Figura 4: visualização gráfica dos resultados.

A ferramenta tecnológica permite ao professor mostrar com maior clareza resultados que,

se meramente algébricos, dificultam o entendimento do aluno. A utilização dessa ferramenta

permite que o aluno use o tempo da aula para discussões mais profundas a respeito dos conceitos

em questão, em vez de cálculos horripilantes e imaginações superficiais.

Neste sentido, o aplicativo usado na resolução deste problema, além de fácil utilização,

permitiu animações e outros recursos, como cálculo de comprimentos de arcos, integrais

laboriosas, etc, de forma ágil. Ou seja, o aplicativo tem ferramentas que podem ser usadas pelo

professor de modo a tornar a exploração dos diversos assuntos matemáticos de forma mais

completa e interessante para o aprendiz.

Referências

Dias, Teresa Cleidecer. O ensino do Cálculo Diferencial e Integral e o pensamento reversível.

Dissertação de Mestrado, UCB, orientadora Maria Therezinha de L. Monteiro. – Brasília, 1999.

Garbi, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da

matemática. 2. ed rev. e ampl. São Paulo: Editora e Livraria da Física, 2007.

Louro, Andreia M. F; Torres, Delfim F. M. Computação Simbólica em Maple no Cálculo das

Variações. Universidade de Aveiro, 2006.




Página: 1167

Taneja, Inder Jeet. Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de Cálculo. -

Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.

The PC-Maestro Project. Chitose Institute of Science and Technology, Japão, 2004.

www.icmc.sc.usp.br/~szani/bra/node5.html; acessado dia 06/03/08 às 14:09.

Wellington José Corrêa : professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do

Paraná – campus Campo Mourão-PR. [email protected]

Claudete Cargnin Ferreira: professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do


Adilandri Mércio Lobeiro: professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do


Daniela Trentin Nava: professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná

– campus Campo Mourão-PR. [email protected]

resolução do problema da braquistócrona usando o maple ensinodematematica... · concluiu-se que,...

Documents