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Ofcj CONSELHO NACIONAL CS DESENVOLVIMENTO

1' iSSi I ' iâ CIENTIFICO E TECNOLÓGICO

Relatório de Pesquisa e Deseavohftaeito

N9015/80 DEZEMBRO

EXCITAÇÃO MÚLTIPLA DE SUPORTES

PARTE II: IMPLEMENTAÇÃO NO SISTEMA

TUBO

>

^ J

L

EXCITAÇAO MÚLTIPLA DE SUPORTES

PARTE II: IMPLEMENTAÇÃO NO SISTEMA TUBO

Augusto Cesar N.R. Galeão

Hélio José C. Barbosa

Laboratório de Computação Científica - CNPq Departamento de Pesquisa e Desenvolvimento Rio de Janeiro - RJ

SUMÁRIO

A partir da formulação do problema de excitação múltipla de su

portes, discutida na primeira parte deste trabalho, e com a adoção

das técnicas numéricas lã apresentadas, discute-se nesta segunda pa£

te a implementação no Sistema TUBO dos procedimentos de:

- Integração Direta

- Superposição Modal

- Resposta Espectral

dando ênfase aos aspectos relativos ã excitação de suportes..

v Finalmente são apresentados dois exemplos numéricos de utiliza^

ção do Sistema TUBO na solução de problemas de movimentos de apoio.

sendo efetuadas comparações entre os diversos procedimentos computa

cionais implementados.

i

1. J_ntredução

A partir da formulação do problema de excitação múltipla de su

portes, discutida na primeira parte deste trabalho [l], e com a ad£

çao das técnicas numéricas lá apresentadas, foram desenvolvidos pro

cedimentos computacionais para a análise estrutural em geral. 0 ob­

jetivo clcsta segunda parte é descrever a implementação de tais pro­

cedimentos no Sistema TUBO [2,3] apresentando também resultados nu­

méricos e comparações.

2. Implementação

Antes de se apresentar os principais passos executados nos mó­

dulos correspondentes aos procedimentos de integração direta, super_

posição modal e resposta espectral é conveniente ressaltar aqui al­

gumas características gerais do Sistema TUBO.

A primeira diz respeito ã consideração de deslocamentos impos­

tos. Na solução desse problema o Sistema TUBO utiliza a técnica de

Simulação destes deslocamentos através de elementos de mola com ri­

gidez elevada [2j .

Conforme foi visto na primeira parte deste trabalho a constru­

ção das funções de influência exige a determinação dos campos de de£

locamentos associados a deslocamentos prescritos nos apoios. Assim,

em cada apoio e segundo cada grau de liberdade com movimento impos­

to, introduz-se uma mola (rotação ou translação) de rigidez elevadc

para a construção automática dos vetores {V}, (Eq. 41 de [l]) nece£

sarios.

Observe-se que com esta técnica os parâmetros nodais associa­

dos a estes deslocamentos prescritos passam a ser tratados como "graus

de liberdade comuns" (livres). Neste sentido, ao se montar as matri.

zes da estrutura, já se está levando em consideração o acoplamcnto

entre os graus de liberdade livres (do interior) e aqueles associa­

dos a nos com aceleração imposta, evitando-se, com este procedimen­

to, a montagem das matrizes retangulares [A] e [B] (Eq. 36 e 48 de

[l]). Dessa forma as matrizes da estrutura passam a ter dimensão n+p.

Outra característica que deve ser ressaltada aqui é a conside­

ração das cargas dinâmicas no Sistema TUBO.

De acordo com a concepção desse sistema,forças aplicadas depen

dentes do tempo são especificadas como cargas nodais dinâmicas e,p£

ra o-caso de movimentos de apoio, o vetor de cargas nodais c automa

ticamente gerado pelo sistema seguindo o precedimento descrito era

[1].

Em qualquer caso o usuário especifica uma tabela de funções no

tempo e uma tabela de tempos de defasagem. Assim, para cada grau de kí. liberdade j fica definida uma ou mais amplitudes de carga R. (lida

no caso do força aplicada; gerada no ca';o de movimentos de apoio) .A kí. cada amplitude R. fica associada uma função no tempo fv(t) e um ins

tante T. (tempo de defasagem) a partir do qual esta carga começa a

atuar. A função f,,(t) é" definida por pares ordenados rt_- , f,. (t4)" e,

em um instante genérico t (t.<t <t- ,)» o valor da função, f, (t ) ,ê S I S 1+1 K S

obtido por intcrpolação linear dos valores dados f, (t.) e f, (t- ,"). Finalmente a carga total que atua segundo aquele grau de libe£

dade num instante t é" calculada pela soma de narcclas: s l

onde q c o número de funções no tempo associadas ao grau de liberda

de j e H c a função de Heaviside.

Mantendo a estrutura modular do sistema, cada um dos três pro­

cedimentos apresentados em [ij cec erigem a um módulo específico.

Descreve-se a seguir os principais passos executados em rada um de­

les, dando-se ênfase apci.as na parte relativa ã cxcitaç.ão de supor­

tes já que maiores detalhes sobre as demais etapas podem ser encon­

tradas cm [2] .

Para facilidade de exposição os procedimentos serão apresenta­

dos na seguinte ordem:

1. Integração Direta

2. Superposição Modal

3. Resposta Espectral

2 • 1 • Modulo de _i ritogra_ç_ão_ d j re_t_a

Tendo cm mente as equações ( 5 1 a - c ) e (5Sa-c ) de [ l ] , os p r o c e ­

d imentos podem s e r resumidos da s e g u i n t e m a n e i r a :

a ) Mon'agem dás m a t r i z e s do p r o b l e m a , [Mj C [K]

b ) Montagem dos s e t o r e s de c o n d i ç õ e s i n i c i a i s (UfO)} e íU(0)}

C ) Montagem do ve to r de ações e x t e r n a s Í D

c.l) Montagem das amplitudes de i;uj:a (k)

c.1.1) Cargas nodais aplicadas dirrt imcnTo

Leitura e montagem do vetor de amplitude-. ÍR}., correspondente

a i-esima historia no tempo, para cada história no tempo.

c.1.2) Movimentos dos apoios

Determinação do veto'r de deslocamentos nodais (V) para interpo

lação das funções de influência.

i ) Translação uniforme: 0 vetor {V) contem na j-ésima coluna

o valor do coseno diretor do vetor aceleração em relação a direção

global correspondente ao grau de liberdade j, quando este for trans

lacional.ou zero, em caso contrario.

ii) Movimento não uniforme: Cada vetor {V}^ é obtido do proble

ma estático:

[K] ÍV>k = {P)k

o nele o vetor {P)k é construído automaticamente [2] de maneira a im­

por um valor unitário para o grau de liberdade j = n+k.

0 vetor de amplitudes {R}• é montado segundo a expressão:

í*>i - M C I c {V} 5 1 j=l 3 ]

onde s e o número de parâmetros nodais com a mesma historia no tem­

po e c. uma constante especificada pelo usuário.

c.2) Leitura das funções no tempo

Para as cargas nodais aplicadas, determinam a dependência no tem

po dessas cargas, enquanto que, para os movimentos de apoio, signi­

ficam a dependência no tempo das acelerações dos apoios. As funções

no tempo são definidas pelo fornecimento de pares ordenados [t, ,

c.3) Cálculo do vetor {F) nos instantes de cálculo

onde o valor da função no tempo t (t =nxAt) c obtido por intovpola-

ção l i nea r dos va lo res l i dos e i t é o i n t e r v a l o de c á l c u l o .

d ) Obtenção da r e spos t a no tempo

d . l ) Integração numérica do s i s tema de equações d i f e r e n c i a i s ordiná­r i a s :

[M]{Ü}+[C]{Ú)+[K]{U} = {F>

com: [c] = a[M] + A[K]

Utiliza-se o método de Newmark que implica na solução do sistema al-

gébrico:

[M]MÜ>n+1 = {F)* + 1

em cada i n s t an t e de c á l c u l o ,

d .1.1) Montagem de [M]*

[M]* = (Af2 + X ^ ) [ K ] + (l+a^)[M]

d.1.2) Triangularização de [M]*

d.1.3) Determinação das acelerações iniciais

{Ü(0)> = [M]-1({F(0))-CC]{Ú(0)}-[K]{U(0)))

d. 1.4) Avanço da solução no tempo

Para cada i n s t a n t e de c á l c u l o :

d .1 .4 .1 ) Atua l ização do termo de carga :

{ F } n + l s t 'F} n + 1 -a[M]({ò} n + f {Ü) n ) - [K] ({ÜV(X + At){ü} n +

+c^V^2)Ui>n)

d.1.4.2) Determinação de {Ü>n+1 por retrosubstituição

d.1.4.3) Cálculo dos deslocamentos e velocidades

s

d. 1.4.4) Pesquisa dos valores máximos dos deslocamentos, veloci.

dades e acelerações.

d.2) Cálculo dos esforços(tensões) nos instantes de saída,

•d.3) Impressão dos Resultados.

2.2. Módulo de superposição modal

Efetua as operações associadas is equações (52-S5) de [l]. resu

mindo-se em:

a ) Montagem das matrizes da estrutura, [M] e [K]

b ) Resolução do problema de autovalor:

COR determinação das m primeiras freqüências naturais e da matriz mo

dal [X]

[X] - [{X1){X2}...{XJ8>]

c ) Leitura das condições iniciais e montagem dos vetores nas coor­

denadas modais

<n(0)> - [X]T[M]{U(0)>

ín(0)) - [X]T[M]{Ú-(0)>

d j Montagem do vetor de ações externas nas coordenadas modais {N}

d.l) Montagem das amplitudes de carga ÍR)

Feito conforme já descrito para o módulo de integração direta

no item c.l.

d.2) Montagem de vetor de amplitudes nas coordenadas modais

íQ>i - [x]T{R) i

d.3) Leitura das funções no tempo

Feita conforme já desc r i to para o módulo de integração di re ta

b

no item c.2.

é.4) Cálculo do vetor de ações externas, nas coordenadas modais. nos

instantes de cálculo

<N)n - ^ « W i i W W V ^

e ) Obtenção da resposta no tempo

e.l) Integração numérica de m equações diferenciais ordinárias pelo

Método de Newmark:

fir + 2Çru>rnr + »Jnr - Nr r * l,2,...,m

onde esta implícito que a matriz [c] se diagonal]za segundo:

[x]T[c][x] - pc r-J

e,2) Obtenção dos vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações

nodais:

{U>n * [x]ín)n ; {ú)n « [X]{n)n ; íü> = {x]{H>n

e.3) Pesquisa dos valores máximos dos deslocamentos, velocidades e

acelerações

e.4) Cálculo dos esforços (tensões) nos instantes de saída

e.5) Impressão dos resultados

2.3. Módulo de resposta espectral

A descrição que se segue corresponde ao caso geral da excitação

não-uniforme dos apoios já que os procedimentos disponíveis relati -

vos ao caso de movimentos uniformes segundo as direções globais X, Y

e Z são apresentados em [2].

a ) Montagem das matrizes do problema, [Mj e [K]

b ) Resolução do problema de autovalor

Determinação* das m primeiras freqüências naturais e da matriz mo

ücl correspondente [X] conforme o item b do módulo de superposição rco

dal.

7

c ) Cálculo dos esforços (tensões) associados aos deslocamentos cor

respondentes aos modos normais (X }, r«1.2,

d ) Leitura dos espectros e determinação dos valores espectrais pa­ra as freqüências da estrutura

Os espectros correspondentes às acelerações impostas considera­das são fornecidos por pares ordenados [x^.S-3 onde as abscissas x^ podem ser freqüências (em Hertz) ou períodos (em segundos) e as orãe nadas 5; são os valores do espectro de acelerações, velocidades oudes locamentos.

Os valores espectrais para as freqüências da estrutura. S(ur) ,

são obtidos por interpolação linear dos valores lidos. Essa interpo-

lação linear pode ser direta ou do tipo log-log.

e ) Determinação dos vetores de deslocamentos nodais {V}, para in -

terpolação das funções de influencia

Feita conforme descrito no item c.l.2.ii) do módulo de integra­

ção direta. - k

f ) Cálculo dos fatores de participação modal r

r* - {x ) T[M]( I c.{v> ) r r j=i J J

k=l,2,...,p r«l,2,...,m

onde s é o número de parâmetros nodais com a mesma historia no tempo, V. (t) , r e o modo considerado e c. uma constante especificada pelo usuário.

g ) Cálculo das amplitudes máximas ri­

para cada um dos p movimentos impostos calcula-se:

v v SAk(u> ) nr - rr T 3 ^ *'l'Z P

wr

onde SA (» ) é o valor do espectro de nceleraçoes, para a freqüência

natural ü>r, obtido no item 3.

h ) Estimativa dos máximos modais

Pode ser feita por uma das expressões já vistas:

1/2 nrmax \IM - wiiíi

i ) Combinação dos máximos modais

Dispondo-se dos modos {X } e dos valores dos esforços (tensões)

a eles associados (item 3). co»bina-se os valores máximos estimados

para cada modo por uma das 6 expressões já vistas (64a-f).

j ) Inpressão dos resultados

3« Resultados Numéricos

Co» o objetivo de ilustrar a aplicação do Sistema TUBO na reso­

lução de problemas de excitação múltipla de suportes e de efetuar com

parações entre os diversos procedimentos computacionais implementados

são apresentados a seguir dois exemplos de aplicação.

0 primeiro exemplo é de uma viga uniforme bi-apoiada com um dos

apoios submetido a um movimento prescrito.

A formulação desse problema, utilizando a teoria elementar de vi

gas, e sua solução são apresentados em [l"] e os resultados numéricos

obtidos aqui correspondem a. situação esquematizada na Figura 1.

T(«)

EI « 0.3 I0mlbf. In'

m • 0.1 10* IbJ. %/\*

400 In -t-10 20 t(«)

Figura 1. Exemplo n* 1

Foram efetuadas três análises para a obtenção da resposta no tem

po dos deslocamentos relativos u(x,t). A primeira, referida aqui co­

mo "exata", corresponde a tomar os 24 primeiros modos exatos do pro­

blema (Eq. 11b de [l]) e integrar numericamente as 24 equações dife­

renciais associadas (Eq. 14a de [l]) utilizando o algoritmo de New-

mark*

As duas soluções aproximadas foram obtidas, via Sistema TUBO.por

aPtegração direta e superposição modal, sendo utilizados na discrcti-

zação espacial 16 elementos de viga de igual comprimento.

Nas 3 análises o passo de integração foi o mesmo (At=0.1s) e pa

9

m a superposição modal foraa tornados os 20 primeiros modos do mode­

lo discreto.

As Tabelas 1. 2, 3 e 4 apresentam os deslocamentos relativos

u(x.t), para alguns valores de x e de t. obtidos pelos diferentes pro­

cedimentos bem como os erros percentuais era relação I solução "exata".

TABELA 1. DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS (IN.) EM t - l.Os

Abscissa

25

100

200

300

375

Sol. "Exata"

-.154401 IO2

-•125694 10?

-.837158 10l

-.418608 101

-.105005 101

Int. Direta

-.154576 IO2

-.125825 102

-.837526 101

-.418750 101

-.104688 101

Erro(t)

.1135

.1041

.0439

.0338

.3018 n u — •

Sup. Modal

-.154940 IO2

-.125974 IO2

-.836908 101

-.419022 101

-.105142 101

Erro(t)

.3492

.2227

-.0299

.0988

.1305

TABELA 2. DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS (IN.) EM t = 5.Os

Abscissa

25

100

200

300

375

Sol. "Exata"

-.iu4471 10"

-.174574 10-

-.102728 10*

-.518333 IO3

-.129919 IO3

Int. Direta

-.104473 10"

-.174587 10"

-.102726 10"

-.518264 IO3

-.129943 IO3

Erro («O

.0016

.0077

-.0022

-.0013

.0187

Sup. Modal

-.104491 10"

-.174595 10"

-.102723 10"

-.513279 IO3

-.129967 IO3

Erro(l)

.0188

.0122

-.0052

-.0010

.0372

TABELA 3. DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS (IN.) EM t - 10s

Abscissa

25

100

200

300

375

Sol. "Exata"

-.585558 10"

-.136704 IO5

-.846450 10"

-.412683 10"

-.108679 10"

Int. Direta

-.585573 10"

-.136709 105

- .846453 10"

-.412674 10"

-.108702 10"

Erro (O

.0026

.0038

-.0017

-.0023

.0211

Sup. Modal

-.585610 10"

-.136710 10s

-.S46428 10"

-.412677 10"

-.108707 10"

Erro (cO

.0089

.0045

-.0026

-.0016

.0257

TABELA 4. DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS (IN.) EM t = 20s

Abscissa

25

100

200

300

375

Sol. "Exata"

-.197785 10s

-.636224 10s

-.616222 10s

-.242297 10s

-.478111 10"

Int. Direta

-.197779 IO5

-.636221 105

-.616232 10s

-.242289 IO5

-.478033 10"

Erro(t)

-.0032

-.0005

.0017

-.0033

-.0162

Sup. Modal

-.197779 10"

-.636221 10s

-.616232 10"

-.242289 10"

-.478033 10"

Erro (cO

-.0032

-.0005

.0017

-.00:3

-.0162

10

O segundo problema analisado é o da tubulação representada as

Figura 2 * qua foi retirado do Manual do usuário de Programe PI PESO

NÓ

-J( RÓTULA

- 0 0 — tNUBBEU

Figura 2. Exemplo nf 2

11

Esta tubulação foi submetida inicialmente a movimentos de apoio

c»ijas acelerações tem a dependência temporal dada pela Figura 3.

Figura 3. Dependência temporal das acelerações

A Tabela 5 indica os apoios com movimentos prescritos e as amplitu

des correspondentes às direções excitadas.

APOIO

1 1

9

11

11 19

19

niREÇAO

Y

Z

Y

Y

Z Y

Z

AMPLITUDE

0.4 x (2/3)

0.4 0.4 x (2/3)

0.4 x (2/3)

0.4 x (1/2)

0.4 x (2/3)

0.4

TABELA 5

A ace l e ração p r e s c r i t a r e s u l t a n t e a t i n g e uni máximo de aproxima-

12

damente 0.4g, segundo a direção Z, nos apoios 1 e 19.

Para a obtenção da resposta no tempo dos deslocamentos e rota -

ções relativos via integração direta, utilizou-se ura passo de inte -

gração de O.OOSs e esse mesmo passo foi adotado para a integração das

equações desacopladas correspondentes aos 15 primeiros modos naturais

utilizados no procedimento de superposição modal.

As 15 primeiras freqüências naturais e os correspondentes valo­

res do espectro de acelerações, relativos a excitação dada pela Fig-

ra 3, estão na Tabela 6.

MODO

1 2

3 4

5 . 6

7 8 9 10

11 12 13 14

!5

FREQ. (Hz)

5.936

7.394

7.982

9.478

11.624

13.216

15.766

17,294

20.792

23.730

25.259

26.504

39.751

45.501

63.683

SA(g)

1.2700

5.1404

5.1246

4.5452

2.8408

3.9363

1.3894

1.4882

1.0948

1.0034

0,9678

0.9375

0.9941

1.8409

1.1090

TABELA 6. ESPECTRO DE ACELERAÇÕES

Os valores máximos dos deslocamentos e rotações relativos obti­

dos por integração direta e superposição modal são dados para alguns

nós nas Tabelas 7 a 12, juntamente com as estimativas obtidas por res

posta espectral adotando-se as expressões 64a, 64b, 64c, 64d e 64f d©

[l] paTa a combinação dos máximos modais. Os erros percentuais apre­

sentados são relativos aos valores obtidos por superposição modal.

Em seguida a tubulação foi submetida a uma excitação uniforme con,

a mesma dependência temporal e amplitudes de 0.4 segundo a direção l

e 2/3 desse valor segundo a direção Y.

TABELA 7 . DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO X - EXCITAÇ&) N/UNIFORME

No

5

10

13

Integração

Direta

.1498 IO"3

.1635 IO"»

.1722 IO"»

.3370 10" l

16|.5565 IO'2

201.9004 IO"1

22L9283 IO"1

24Í.7340 IO"1

j 26|.2477 IO"1

, Superposd çio Mòdal

.1495 IO"3

.1632 IO-1

.1720 IO"1

.3368 IO-1

.5590 10- 2

,9004 IO-1

.9283 IO"1

EQ. 64.a

.3400 IO"J

.3153 IO"1

.3326 IO-1

.5741 IO"1

.1022 IO-1-

.1579

.1664

,7339 IO*1 [.1212

.2477 IO" M.4771 10" '

Errou)

127.

93.

93.

70.

83.

75.

79.

65.

93.

R E S P O S T A E

EQ. 64.b

.13S9 IO"3

.1261 IO-1

.1317 IO*1

.3079 IO**1

.4403 IO"2

Erro(l) EQ. 64. c

- 9.1 1.1416 IO"3 !

-23. j .1398 IO"1 |

-23. j .1461 IO-1

- 8.6 1.3188 IO'1 !

-21.

.1070 19.

.1115 J 20.

.9002 IO-1! 23.

.3063 IO"1) 24.

.4851 IO"2 !

.1171

.1202 !

.9764 IO-1

.3587 IO-1

S P E C T R A L

Erro(%)j EQ. Õ4.d i

- 5.3 1 .1423 10"3i

-14. . '.1400 1C"1Í

-18. 1.1463 IO"1!

- S.3 í .3188 IO"1!

-13. 1 .4851 10 2!

30. ! .1171

29. i .1202 !

33. ! .9765 IO"1!

45. 1 .3595 10"H

TABELA 8. DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO Y - EXCITAÇSO N/UNIFORME

^Integração

l Direta 1

Superpôs^

ção Modal EQ. 64.ajErro(l)

]

2j.1431 IO"1),1430 IO"1j.3943 10~lí 176.

5Í.3346 IO"11.3346 IO"11.6865 IO"1! 105.

10

13

.1148 IO"1

.4920 IO"1

.1149 IO-1!.2221 IO"1! 93.

.4919 IO'11.9437 IO"1! 92.

161.3701 IO"1j.3702 IO'1

20

22

! M

.1667

.6566 IO"1

.5556 IO"1

j 26j.4180 IO'1

.1668

.6565 IO"1

.5556 IO"1

.4180 10~l

i

.7793 IO"1 í 110

.2869 ! 72.

.1020 I 55.

.8919 10"M 61.

.6744 10-l| 61.

R E S P O S T A E .

EQ. 64.b ÍErro(*)| EQ- 64«c 1 ;

.1677 IO"1! 17. !.1755 IO'1

1.2949 IO"1! -12. |.3212 IO"1

i 1.1022 IO"M -11. i .1126 IO"1

1.6186 IO"M 26. !.7057 IO"1

1.3303 IO"1! -11. i .3572 IO"1

.1833 9.9 |.2C60

.5977 IO-1

.4947 IO"1

.374'* IO'1

- 9.0

-11.

-10.

.7018 IO-1

.5877 IO"1

.4366 IO'1

S P E C T R A L

Erro(t)i EQ. 64.d !

23. í .1756 10"M

- 4.0 í .3212 IO-1!

- 2.0 | .1126 IO"1'

44. J .7057 IO"1

- 3.5 j .3573 IO-1

23. !.2060 j

6.9 j .7018 IO"1

5.8 .5877 IO"1

1 - 4.4 1.4366 IO"1

Eiro(%)|

- 4.8 i

-14. i

-15. í

- 5.3 i

13. |

30. !

29. |

33. j

45. |

Erro(\)j

23. ;

- 4.0 1

- 2.0 ;

44. !

- 3.5 | i

23. 6.9

5.8

I - 4.4

EQ. 64.f lErro(l)

.1916 10"J! 28.

.1775 IO*1! 8.8

.1356 IO"1! 7.9 |

.4240 IO"1! 26.

.6163 10"2j 10.

.1285 | 43.

.1349 | 45.

.1032

.3743 IO"1

41.

51. .

EQ. 64.f lErro(t)

.2372 IO-1! 66.

.4145 IO'1! 24.

.1442 IO"11 25.

.7516 IO"1! 53.

.4655 TO"1! 26.

.2356 J 41.

.8265 IO"1! 26. i

.6867 10*x| 24.

.3216 10"l | 25..

TABELA 9. DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO l - EXCITAÇAO M/UNIFORME

i j . - ! I n t e g r a ç ã o J Superpôs^ R E S P O S T A E S P E C T R A L

; i Direta | s ção Modal

! 2 ! .2413 IO" J Í .2407 IO"1

j 5 | .4955 I O ' 1

; 10 í .1630 10" :

1 13 .1610'iO"1

Í16

;20

.1380

.1640 IO"1

! 22 j .1035

j 24 j .7010 IO"1

! 26 1 .2473 I O ' 1

I i

.4962 10"1

.1626 IO"1

.1614 10* l

.1380

.1635 IO-1

.1034

.7011 IO"1

.2474 IO-1

EQ. 64.s — ... ^

.4547 10" l !

.9414 IO"1

.2965 10" s

.2965 IO-1

.2404

.2984.10-*

.1706

.1139

.4772 IO"1

E r r o ( 0 ... . . . . . • — . —

89.

90.

82.

84,

74.

83.

65.

62.

93.

EQ, 64.b

.2641 1Ü-1

.4570 IO"1

.1616 IO"1

.1620 IO"1

.1348

.1629 IO - 1

.9995 I O ' 1

.7323 IO"1

.3057 IO"1

Erro ('O

9.7

"- 7.9

- 0.6

0,3

- 2.3

- 0.4

- 3.3

4.4

24.

EQ. 64.c

.2648 IO"1

.5054 I O ' 1

.1769 IO" l

.1739 IO"1

.1522

.1784 IO-1

.1310

.9504 IO"1

.3585 IO"1

Erro ( 0

10.

1.8

3.8

7.7

10.

9.1

27. .

36,

45.

FQ. 64.d

.2655 IO"1

.5056 IO"1

.1769 IO*1

.1741 IO"1

.1522

.1785 IO"1

.1310

.9504 IO-1

.3592 IO-1

Erro (O

10.

1.9

8.8

7.9

10,

9; 2

27.

36.

45 .

EQ. 64 . f

.3521 IO"1

.6411 IO"1

.2219 IO"1

.2229 IO"1

.1845

.2234 IO"1

.1343

.9623 IO"1

.3739 IO"1

E r r o ( 0

46.

29.

36.

38.

34.

37.

30.

37.

51 .

| ^ j IntegTação

| "N0 i Direta

i 2 ! 5

1 10

.2598 10" '

.5172 10" s

.1012 IO-2

j 13 1 .1353 IO*-2

\ 16 j .2015 IO-2

20 ! 22

.1401 IO"2

.9618 IO"3

TABELA i a ROTAÇÕES EM

Superposi.

ção Modal

.233S 10" s

.5176 10" '

.1012 IO"2

EQ. 64.a!ErroCO

.áó02 IO"31 92.

.9738 IO"3 | 81 .

.1532 IO"2

.1353 10"2 1 .2661 IO-2

.2015 IO"2

,1406 IO ' 2

.9020 30~s

! 24 I.9796 1G-?I.97S7 IO"3

; :e j ssi2 io-3j.s8i6 io~3

.3652 IO-2

91 .

97.

81 .

.2457 IO"2 75.

.1775 IO"2

.1662 IO"2

I .7758 IO-3

84.

70.

| 33. i

TORNO DO EIXO X - EXCITAÇÃO N/UNIFORME

R E S P O S T A E S P E C T R A L

EQ. 64.b

.2008 IO ' 3

.5331 1 0 ' -

.1356 IO-2

.1680 IO"2

.2170 IO"2

.1418 IO"2

.9380 10" '

.8420 10" '

! .4256 10" ' 1

Erro CO

-16.

3.0

34.

24.

7.7

EQ. 64.c 1 ErroCO

.2532 10 - '

.6578 IO"'

.1556 IO"2

.1905 IO"2

.2344 IO"2

0.8 .1523 IO"2

- 2.5

-14.

-27.

,1106 IO"2

.1132 IO-2

.4354 IO ' 3

L . .

5.6

27.

54.

4 1 .

16.

8.3

15.

16.

-25 ,

EQ. 64.d

.2532 IO"3

.6580 IO-3

.1556 10"2

.1905 IO*2

.2345 IO"2

.1523 IO ' 2

.1107 IO-2

.1134 IO"2

.4357 10" '

ErroCO

5.6

27.

54.

41 .

16.

8.3

15.

16.

-25 .

EQ. 64.f

.2823 IO"3

.6961 IO"3

.1599 IO"2

.2042 10"*

.2900 IO"2

.1932 IO"2

.1264 IO"2

.1171 IO ' 2

.6014 IO"3

i

ErroCO

18.

34.

58.

51.

44,

37.

3 A •

20.

3.4

NÓ

2 5

10

13 16

Integração

Direta

.4001 10"s

.2489 10- $

.5589 10-a

.7062 10~3

.1210 lQ-a

| 20|,7536 1Q~3

| 22i.1116 10-*

TABELA 11. ROTAÇÕES EM TORNO DO EIXO Y - EXCITAÇAQ N/UNIFORME

Superpôs^

ção Nodal

.4013 IO"3

.2490 10-*

.5568 IO-5

.7059 IO'3

.1210 10"*

.7535 IO"3

EQ. 64.a

.7550 10-*

.4946 IO-3

.1031 IO"1

.1302 IO-2

.2159 IO"2

.1484 IO"1

.1114 IO-2!.1905 IO"1

1 24J.1152 10-*!.1151 10-*|.2131 IO"2

i 26J.9163 IO'3 1.9164 10-3j . l771 10~a

f 1 i I

ErroO)

88. 99.

85.

84. 78.

97.

71.

85.

93.

R E S P O S T A Ei

EQ. 64.b

.4549 10"s

.3548 IO"3

.5541 IO"3

.7118 IO"3

.1295 IO"2

.8316 IO"3

.1135 IO-1

.1352 IO"'2

.1131 IO"2

Erro(*)

13. 42.

- 0.5

0.8 7.0

10.

1.9

17.

23.

EQ. 64.c

.4589 IO"1

.3870 10-J

.6127 IO"3

.7574 IO"3

.1430, IO"2

.8546 IO'3

.1463 IO"2

.1642 IO-2

.1331 IO'2

S P E C T R A L

Erro(t)

14.

55. 10.

7.3 18.

13.

31.

43. 45.

EQ. 64.d

.4596 IO"3

.3872 IO-3

.6128 IO'3

.7584 IO'3

.1430 IO"2

.8547 IO"s

.1463 IO"2

.1642 IO"2

.1333 IO"2

Erro(l)

15. 55.

10.

7.4 18.

13.

31.

' 43. 45.

EQ. 64.f

.5988 IO"3

.4071 IO-3

.7578 IO"3

.9791 IO"3

.1707 IO"2

.1097 IO-2

.1501 IO"2

.1690 IO"2

.1386 IO-2

~ • - i

ErroCl)

49.

63. 36. 39. 41.

46.

35. 47. í

SI. .

TABELA 12. ROTAÇÕES EM TOKNO DO EIXO Z - EXCITAÇAO N/UNIFOR.ME

i \ Integração Superpôs^

; ; Direta : ção >fedal "r

i i L

R E S P O S T A E S P E C T R A L

EQ. 64.a.Erro(*)í EQ. 64.b iErroC*)| EQ- 64.c iErro(t); EQ. 64.d Erro(S) : EQ. 64.f ErroC*)!

21.2499 10 r ã ;

| 51.1879 10 í í

i - 3

I 10;. 3907 10 - 3 t

, - 3

.2497 IO"

.1839 10-

.3909 10-

13í.5075 10-3 | .S073 10

,2664 10

.7919 10

.1120 10

.7247 10

.1009 10

3 | .6230 10- s

3 .3791 IO-3

31.7569 10-J

- 3 1 161.2658 10 20j.7907 10"3

22L1120 IO"2

24!. 72 * 3 10 «-3

1 26).101 O 10 - 2

150.

101. 1 94.

1023 IO"2 : 102. 31.4906 IO'3; 84.

i

31.1489 IO-2! 88.

2015 1 0 - 2 | 154. .1372 IO"2

.1621 10"2 89.

61.

.2627 IO"3: 5.2

.1443 10-3i-24.

.3449 10-3|-12.

.4442 10-3;-12.

.1992 IO"3 -25.

.9990 IO-3 26.

.1170 IO"2 48.

.8827 IO"3 22.

.1104 IO"2 - 9.4

.2784 IO-3

.1591 IO"3

.3809 10"3

.4847 IO"3

,2209 10-J

.1068 IO-2

.1269 IO-2

.8847 IO"3

.1142 IO-2

11.

-16.

2.6

- 4.4

-17.

35.

60.

22.

13.

.2735 IO"3

.1595 IO"3

.3809 IO"3

.4847 IO"3

.2209 10-J

.1068 IO"2

1.1269 IO"2

1.8866 IO"3

1.1142 IO"2

12.

-16.

2.6

- 4.4

-17.

35.

60.

22.

13.

.3715 10-

.2037 10"

.4866 10"

.6259 10"

.2762 10"

.1180 10"

.1541 10-

.1111 10"

.1381 10-

49.

7.8

24.

23.

2.3

49.

95.

53.

37.

TABELA 13. DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO X - EXCITAÇAO UNIFORME

Nó

2

5

10

13

16

20

22

24

26

Integração

Direta

.2769 1 0 - '

.4382 10"*

.4634 IO"1

.4758 IO"*

.1242 IO'*

.1865

.1921

.1178

.5287 IO'*

Superposi ção Modal

.2760 IO" '

.4382 10-*

.4633 IO"*

.4757 10-*

.1243 IO-1

.1864

.1921

.1178

.5288 10-*

R E S P O S T A EM E S P E C T R O

EQ. 64.a

.5491 1 0 - '

.6074 IO"*

.6436 10-*

.7550 10"*

.1759-IO"1

.2935

.3006

.1965

.8581 10-*

Erro(l)

99.

39.

39.

59.

42.

57.

56.

67.

63.

EQ. 64.b

.2179 10" '

.2692 IO"*

.2848 10-*

.3651 10-*

.7555 IO"*

.1520

.1557

.1092

.5042 10"*

Erro(t)

-21 .

-39.

-39 .

- 2 3 .

-39 .

-18 .

-19.

- 7.3 - 4.6

EQ. 64.C

.2395 1 0 - '

.3111 10-*

.3282 10-*

.4232 10-*

.9216 I O ' 2

.1960

.1946

.1469

.6993 10-*

Erro(i)

- 1 3 .

-29 .

-29 .

- 1 1 .

-26 . 5.1

1.3

25.

32.

EQ. 64.d

.2402 1 0 - '

.3113 10"*

.3284 10"*

.4233 10-*

.9217 IO"*

.1961

.1946

.1469

.7001 IO"*

Erro(t)

- 1 3 .

-29.

-29 .

- 1 1 .

-26 .

5.2

1.3

25.

32.

EQ. 64.£

.3065 1 0 - '

.3798 10"*

.4017 IO"1

.5161 IO"*

.1068 IO"*

.2145

.2198

.1535

.7027 IO"*

ErroO)

11 .

- 1 3 .

- 1 3 .

8.5

-14.

15.

14.

30.

33.

TABELA 14. DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO Y - EXCITAÇÃO UNIFORME

t - 1 ilntegraçao l

1 V n ' •

Superposi. {

1 ° í Direta ição Modal

| 2;.2368 10-* |.2371'10-*

| 5 j.7398 10"* j.7398 10"*

| 10 1.2605 10-* j.2606 10"*

! 13 i.1200

| 16 j.7273 10-*

f 20 :,3830

\ 22 i.1437

! 24 LK21

! 26 I.S520 10"* 1 i

.1200

.7273 10-*

.3830

.1437

.1421

.9519 10"*

EQ. 64.a

.5006 10"*

.1112

.3698 10"*

.1699

.1169 %

.5271

.2129

.2018

.1425

ErroCD

111.

50.

42.

42.

61 .

38.

48.

42.

SO.

R E S P O S T A EM

EQ. 64.b

.1832 10-*

.4668 10'*

.1624 10"*

.9171 10'*

.4601 10"*

.2697

.1170

.1063

.7351 10"*

ErroO)

-23 .

-37.

-37.

-24 .

-37.

-30.

-19 .

-25 .

-23 .

EQ. 64.c

.2259 IO"*

.5716 IO"*

.2039 10"*

.1272

.5773 IO"*

.3637

.1511

.1345

.9374 10-*

E S P E C T R O

Erro(t)

- 4.7

-23 .

-22.

6.0

- 2 1 .

- 5.0

5.0

- 5.3

- 1.5

EQ. 64.d

.2260 IO"*

.5716 10"*

.2039 IO"*

.1272

.5774 10"*

.3637

.1511

.1345

.9374 10"*

E r r o ( l ) |

- 4 .7

- 2 3 .

-22 .

6.0

- 2 1 .

- 5.0

5.0

- 5.3

- r.5

EQ. 64.f JErToO)

.2528 10-*

.6602 10-*

.2296 IO"*

.1296

.6498 10"*

.3808

.1635

.1485

.1034

6.6

- 1 1 .

-12.

' 8.0

- 1 1 .

- 0.6

14.

4.5

8.6

TABELA 1 5 . DESLOCAMENTOS SEGUNDO A DIREÇÃO Z - EXCITAÇK) UNIFORME

Nó

2

5

10

13

16

20

22

24

26

Integração

Direta

.2491 10"»

.8590 10"»

.2640 10"».

.2277 10"»

.2837

.2663 10"*

.3487

.2260

.5317 IO'»

Superpôs!,

ção Nadai

.2482 10-»

.8591 10"»

12639 10-»

.2276 10^»

.2838

.2661 10-»

.3487

.2260

.5318 10-*

R E S P O S T A E M E S P E C T R O

EQ. 64.a

.4799 IO"»

.1491

.4580 10-»

.4257 10-»

.4374

.4620 10-»

.4783

.3088

.8614 IO"1

Erro($)

93.

74.

74.

87.

54.

74.

37.

37.

62.

EQ. 64.b

.2519.10-»

.6486 IO"*

.2101 10-»

.1912 IO"»

.2158

.2126 10-*

.3042

.2058

.5060 10-*

Erro(i)

1.5

-24.

-20.

-16.

-24.

-20.

-13.

- 8.9

- 4.8

EQ. 64.c

.2546 10-»

.8562 10-»

.2809 10-*

.2519 10-*

.2832

.2847 10"*

.3754

.2591

.7013 10-*

ErroO)

2.6

- 0.3

6.4

11.

- 0.2

7.0

7.7

15.

32.

EQ. 64.d

.2560 10-*

.8564 10-*

.2810 10"*

.2521 10-*

.2832

.2847 10"*

.3754

.2591

.7021 10"*

Erro(t)

3.1

- 0.3

6.5

11.

- 0.2

7.0

7.7

15.

32.

EQ. 64.f

.3336 10-*

.9171 10"*

.2957 10-*

.2704 IO"*

.3052

.2991 IO"*

.3966

.2670

.7049 10-*

Erro(l)

34.

6.8

12.

19.

7.5

12.

14.

18.

33.

18

Valores máximos dos deslocamentos relativos bem CORO erros per­

centuais nas estimativas obtidas por resposta espectral sio apresen­

tados para alguns nós nas Tabelas 13. 14 e 15.

4. Conclusões

A partir da formulação teórica apresentada em [l] e con a imole

mentação dos procedimentos computacionais discutidos aqui» fica o Sis

tsiaa TUBO em condições de ser utilizado na análise de tubulações sub

metidas a movimentos de apoio, uniformes ou não.

No estagio atual de seu desenvolvimento, os resultados obtidos

através da analise espectral já são utilizados diretamente pelo mõdu

Io de verificação de tensões segundo o código ASME [3].

Agradecimentos

Este trabalho faz parte do projeto "Análise Dinâmica de Tubula­

ções e Cascas" financiado pela CNEN e FINEP.

Bibliografia

[l] Galeão, A.C.N.R.; Barbosa, H.J.C., "Excitação Múltipla de

Suportes - Parte I: Formulação", apresentado no Simpósio Bra­

sileiro de Tubulações e Vasos de Pressão, Salvador, Bahia,

Nov., 1980.

[2] Galeão, A.C.N.R.; Guerreiro, J.N.C.; Barbosa, H.J.C., " Um

Sistema Automático para Análise Estrutural de Tubulações" ,

III Simpósio sobre Sistemas Computacionais para Bngenharis

Civil e I Congresso Latino-Americano sobre Métodos Computa­

cionais para Engenharia, Porto Alegre, RS, Dez., 1979.

[3] Barbosa, H.J.C.; Guerreiro, J.N.C.; Toledo, E.M., "Sistema

TUBO: Procedimentos para a Análise Sísmica e Verificação de

Tensões", a ser apresentado no II Congresso Latino-America­

no sobre Métodos Computacionais para Engenharia, Curitiba,

PR, Dez.,1980.

[4] PIPESD - Pipe Static and Dynamic Analysis Software System,

User Information Manual, Control Data Corporation, 1977.