relatório projeto

8/16/2019 Relatório Projeto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOCEARÁ– UFC

CENTRODE TECNOLOGIA – CT

DEPARTAMENTODE ENGENHARIAELÉTRICA

– DEE

Relatório do Projeto

Controle do Pêndulo Invertido

BANCADA: 01

EQUIPE: ALLAN CO!A "O#E

$ILIPE #ARQUE PEREIRA #AR!IN

#A!%: &'()&0

#A!%: &0**0+,ALLION LI#A A"UIAR

#A!EU PIN,EIRO DIA

#A!%: &'()(-

#A!%: &'()-1

PRO$EOR: BI#AR. CLAURE !ORRICO

!UR#A: !ER: 10:00 / 1):00

$ortalea / CE

1)0))01(


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– DEE

1. Introduço

Durante a e4e2u• Linearia• Projeto do6 2ontroladore6%

De66a ;or3a? 6er= ;eita u3a 9reve introdu


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– DEE

Linearização do modelo matemático

U3 6i6te3a 2a3ado linear 6e a ele 6e a5li2a o 5rin2F5io da 6u5er5o6i


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– DEE

6e a ele n7o 6e a5li2a o 5rin2F5io da 6u5er5o6i


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– DEE

g

( x

1

, x2 )=g

(´ x1

, ´ x2)+

dg

d x1

| x=´ x ^

x1

+ dg

d x2

| x=´ x ^

x2

(2)

Momento de inércia da barra do pêndulo

a9endo/6e @ue durante a eta5a da 3odelae3 3ate3=ti2a do 5êndulo 6er= ne2e66=rio ;aer u6o do

3o3ento de inr2ia de 6ua 9arra? 6er= de3on6trado o 2=l2ulo do 3o3ento de inr2ia do 5êndulo%

$iura 0): Barra utiliada no 5êndulo

$onte: &J

Co3 au4Flio da e@ua


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– DEE

x2 M

L dx=¿

M

L ∫0

L

x

2

dx=

M

L

( L

3

3

)→J =

M L2

3 (3

)

J =∫0

L

¿

Sistemas em mala !ecada

a9e/6e @ue o 6i6te3a e3 3ala ;e2ada dado 5ela 6euinte ;iura:

$iura 0&: Re5re6enta


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– DEE

C ( s)= G ( s)

1+G (s ) R(s)

!. Pro"#d$%#nto E&'#r$%#nt()

O 5ri3eiro 5a66o? 6er= de62rever o 6i6te3a 3ate3=ti2a3ente e ;aer a6 devida6 linearia


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– DEE

{ xG=

L

2 sen(θ)

yG= L

2cos (θ)

• A66i3? o movimento horizontal do 2entro de ravidade da haste dada 5or:

m d

2

d t 2 ( L2 sen (θ ))=n(t )

n (t )=m L

2

(−sen (θ )θ́2+cos (θ ) θ́ )( I )

• Da 3e63a ;or3a? o movimento vertical do 2entro de ravidade da haste dada 5or:

m d

2

d t 2 ( L2 co s (θ ))= p ( t )−mg

p (t )=−m L

2 (cos (θ ) θ́2+sen (θ ) ́θ )+mg( II )

• O movimento horizontal do bloco de62rito 5or:

M d

2 x ( t )dt

= f ( t )−n ( t )− Mb ´ x( t )( III )

u96tituindo/6e ( I ) e3 ( III ) ? te3o6:

M ´ x (t )=f ( t )−

[m

L

2

(−sen (θ ) θ́2+cos (θ ) θ́ )

]− Mb ´ x

M ´ x ( t )=f ( t )−m L

2cos (θ ) θ́+m

L

2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x( t )( IV )

a9endo/6e @ue o 3ovi3ento de rota


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– DEE

mg L2

sen (θ )−m ´ x (t ) L2cos (θ )=m L

2

3θ́( t )

θ́(t )= 3

2 L(gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ))( )

u96tituindo/6e ( ) e3 ( IV ) ? te3o6:

M ´ x ( t )=f ( t )−m L

2cos (θ )

3

2 L(gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ))+m

L

2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )

M ´ x ( t )−34

mcos2 (θ ) ´ x (t )=f (t )−3

4mgsen (θ ) cos (θ )+m

L

2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )

( M −34 mcos2 (θ )) ´ x ( t )= f (t )−34 mgsen (θ ) cos (θ )+m L2 sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )(!)

• Linearização das equações do pndulo!

g ( x )=g ( x0 )+ dgdx| x= x0 ( x− x0 ) (1)

g ( x1 , x2 )=g ( ´ x1, ´ x2)+ dg

d x1| x= ´ x

^ x1+

dg

d x2| x= ́x

^ x2(2)

θ́ ( t )= 3

2 L( gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ) )( )

$aendo/6e:

θ=θ́ +θ̂

x=´ x+ ^ x

Co3o o 5êndulo deve ;i2ar na 5o6i


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– DEE

Lineariando a "quação ( ) :

g (θ )=sen(θ)Utiliando/6e 1:

g (θ )=sen (θ́ )+cos (θ́ ) ∙θ̂g (θ )=cos ( θ́ ) ∙θ̂ → g (θ )=θ̂

g ( ́ x , θ )= ́ x ∙cos (θ)Utiliando/6e ):

g ( ´ x , θ )=´ x ∙cos (θ́ )+cos ( θ́ ) ∙ ´̂ x−´ x ∙cos (θ́) ∙θ̂

g ( ´ x , θ )=cos ( θ́) ∙ ´̂ x → g ( ´ x ,θ )=´̂ x

Loo? a "quação ( ) 5ode 6er e62rita da 6euinte 3aneira:

θ́ ( t )= 3

2 L(gθ (t )− ́x (t ))( " )

Onde θ(t ) e6t= e3 torno de 0% endo a 5o6i


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– DEE

g ( ́ x , θ )=( M −(

3

4

)m ∙

cos2

(θ )) ́ x

Utiliando/6e ):

g ( ́ x , θ )=( M −( 34 )m ∙cos2 ( θ́ ))´ x +( M −( 34 )m∙cos2 (θ́ )) ́̂ x−( 32 m ∙cos (θ́ ) ∙ ´ x ∙ θ̂)g ( ´ x , θ )=( M −34 m) ´̂ x

g ( f )=f Utiliando/6e 1:

g ( f )=´f +

^f → g ( f )=

^f

g (θ )=sen(θ) ∙cos (θ)Utiliando/6e 1:

g (θ )=sen (θ́ ) ∙cos (θ́ )+(cos2 (θ́ )−sen2 (θ́ ) ) θ̂

g (θ )=1

2sen (2θ́ )+cos (2 θ́) ∙ θ̂→ g (θ )=θ̂

g (θ )=θ́2 ∙sen( θ)Utiliando/6e 1:

g (θ )=θ́2 ∙sen( θ́)+ (2θ́∙sen (θ́ )−θ́2∙cos( θ́)) θ̂ → g (θ )=0

Loo a "quação () 5ode 6er e62rita da 6euinte 3aneira:

´ x (t )= 1

M −3

4m

( f ( t )−34 mgθ (t )− Mb ´ x( t ))(!" )

Onde θ(t ) e6t= e3 torno de 0% endo a 5o6i


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– DEE

s2θ ( s)−

3g

2 Lθ (s )=

−3

2 L s

2 # (s )

θ (s )= −3s2

2 L( s2−3g2 L ) # (s )( " " )

A5li2ando/6e a tran6;or3ada de La5la2e na "quação ( !" ) :

´ x (t )= 1

M −3

4m (

f ( t )−3

4 mgθ (t )− Mb ´ x( t )) L→ s

2

# (s)= 1

M −3

4m (

$ (s)−3

4 mgθ (s)− Mbs# (s))s2 # ( s )+

Mbs

M −3

4m

# (s)= 1

M −3

4m

$ (s)− 3mg

4 ( M −3

4m)

θ(s)

( M −34 m)s2 # (s )+ Mbs# (s)= $ (s)−3mg4 θ(s)

# (s)=

$ (s)−3mg

4

θ (s )

( M −34 m) s2+ Mbs(" " )

• &ontrole do 'ngulo!

Co3o o @ue 6e 5retende ter u3 2ontrole do nulo do 5êndulo e3 rela


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– DEE

{ θ (s )=

−3 s2

2 L( s2−3g2 L ) # (s )(

" "

)

# (s )= $ (s )−3

mg

4θ (s )

( M −34 m) s2+ Mbs(! " " )

Dividindo/6e a6 e@ua


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– DEE

θ(s

)=−(

6 s

L (4 M −3m ) s3+4 LMb s2−6 gMs−6 gMb ) $ (s)

Loo? te3o6 @ue a ;un


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– DEE

-6 s

-----------------------------

13 s^3 + 16 s^2 - 240 s 240

>> sisotoo!(G)

A 5rin2F5io? ;ora3 e62olido6 o6 6euinte 5ar3etro6:

$iura 0': Par3etro6 utiliado6 no 5ri3eiro 5rojeto do 2ontrolador IO!OOL

$onte: Pró5ria

Onde a re65o6ta no do3Fnio do te35o ;i2ou:1(


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– DEE

$iura 0(: Re65o6ta do 6i6te3a no do3Fnio do te35o 5ara o6 5ar3etro6 do 5ri3eiro 5rojeto do 2ontrolador

$onte: Pró5ria

Per2e9a @ue o erro 9a6tante 5e@ueno e @ue o 6i6te3a e6ta9iliado 3uito ra5ida3ente?

atendendo a66i3 o6 2ritrio6 do 3odelo 5rojetado no #A!LAB% !odavia? @uando i35le3entado na

realidade? e66e 6i6te3a n7o 6e a5li2a? u3a ve @ue ele ae de u3a 3aneira 3uito 9ru62a na tentativa de

2orriir a 5o6i


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– DEE

De66e 3odo? 9u62ou/6e 5rojetar outro 2ontrolador:

$iura 0*: Par3etro6 utiliado6 no 6eundo 5rojeto do 2ontrolador IO!OOL

$onte: Pró5ria

Onde a re65o6ta no do3Fnio do te35o ;i2ou:

1+


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– DEE

$iura 0+: Re65o6ta do 6i6te3a no do3Fnio do te35o 5ara o6 5ar3etro6 do 6eundo 5rojeto do 2ontrolador

$onte: Pró5ria

De a2ordo 2o3 a ;iura a2i3a 5ode/6e 5er2e9er @ue o erro 5ara o rei3e e6ta2ion=rio 6er= u3

5ou2o 3aior do @ue o erro do 6i6te3a 5rojetado anterior3ente? e @ue ele 6er= 3ai6 lento no 6entido de

e@uili9rar o 5êndulo% Contudo? e66e 6i6te3a 9e3 3ai6 6uave e ro9u6to? 5odendo 6er e45andido 5ara

al3 do 3undo virtual? ou 6eja? 5odendo 6er de ;ato 6er 2on2retiado no 3undo ;F6i2o? u3a ve @ue o

ruFdo no 6inal ;oi e4tre3a3ente reduido% Al=3 do @ue o ano de6te 2ontrolador 2in2o vee6 3enor do

@ue o do 5ri3eiro 2ontrolador? o @ue torna e6te novo 2ontrolador ainda 3ai6 vi=vel%

1-


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– DEE

O luar da6 raFe6 5ode 6er vi6ualiado 3ai6 a ;rente:

$iura 0-: Luar da6 raFe6 do 6i6te3a e6ta9iliado 5elo 2ontrolador

$onte: Pró5ria

• &ontrole da posição!

)0


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– DEE

Para u3 2ontrole de 5o6i


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– DEE

(¿¿ " " " )

(" "" ) →

−2 L(s2−3 g

2 L )3 s

2 =

# (s ) ∙3mg

{ $ (s )− # ( s )[( M −34 m) s2+ Mbs]}∙4¿

−2 L(s2− 3 g2 L )3s

2 ∙4 $ ( s)+4 # (s ) [( M −34 m) s2+ Mbs ] ∙

2 L(s2−3 g2 L )3s

2 = # (s )∙3mg

−2 L

(s2−

3 g

2 L

)3s2 ∙4 $ ( s)={3mg−4 [( M −

3

4 m) s

2+ Mbs] ∙2 L

(s2−

3 g

2 L

)3 s2 }∙ # (s )

−4 (2 L s2−3 g )3 s

2 ∙$ (s )={9mg s

2−[ (4 M −3m ) s2+4 Mbs ] ∙ (2 L s2−3g )3 s

2 }∙ # ( s)−4 (2 L s2−3g )∙ $ ( s)={9mg s2−[ (4 M −3m )2 L s4+8 LMb s3−3 g (4 M −3m ) s2−12gMbs ] } ∙ # ( s )

−4 (2 L s2−3g )∙ $ ( s)=[−(4 M −3m )2 L s4−8 LMb s3+3g (4 M ) s2+12gMbs ] ∙ # (s )

# (s )=( −8 L s2+12g

−2 L (4 M −3m ) s4−8 LMb s3+12 gM s2+12gMbs ) $ ( s ) # (s )=(

4 L s2

−6 g L (4 M −3m ) s4+4 LMb s3−6 gM s2−6 gMbs )

$ (s )

Loo? te3o6 @ue a ;un


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– DEE

G # (s

)=

4 s2−60

13s4+16 s3−240s2−240s

De66a ;or3a? 5ode/6e utiliar a e@ua


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– DEE

$onte: Pró5ria

Utiliando/6e do 6o;tGare #A!LAB tentou/6e 5rojetar o 2ontrolador da 6euinte ;or3a:

Command Window

>> " = 4#$%6#&tf([con'([0%3$ 1],[0%31 1])],[0%0# 1 0])

Transfer function:

6%3 s^2 + 330%3 s + 4#$%#

---------------------------

0%0# s^2 + s

>> G = tf([4 0 -60],[13 16 -240 -240 0])

Transfer function:

)8


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– DEE

4 s^2 - 60

---------------------------------

13 s^4 + 16 s^3 - 240 s^2 - 240 s

>> * = "&G

Transfer function:

22% s^4 + 1321 s^3 - 146 s^2 - 1%$2e004 s - 2%$#2e004

---------------------------------------------------------

0%#41 s^6 + 13%1 s^ + 2%32 s^4 - 23%# s^3 - 240 s^2

>> sisotoo!(*)

Onde tentou/6e e6ta9iliar a 6euinte re65o6ta:

$iura 11: Re5o6ta no te35o do 6i6te3a in6t=vel !entativa de 5rojetar u3 2ontrolador de 5o6i


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– DEE

=ria6 tentativa6 ;ora3 ;eita6 e n7o ;oi 5o66Fvel o9ter/6e u3 re6ultado 6ati6;atório% De66a ;or3a?

o5tou/6e 5or ;aer u3 2ontrole 3ai6 auto3=ti2o% Ou 6eja? utiliou/6e u3 9lo2o PID? e ele ;e todo6 o6

2=l2ulo6 5ara o 2ontrolador ne2e66=rio 5ara e6ta9iliar a re65o6ta tran6itória%

E 5Tde/6e o9ter a 6euinte re65o6ta:

$iura 1): Re65o6ta no te35o e6ta9iliada PID

$onte: Pró5ria

Onde 5ode/6e 5er2e9er 2lara3ente a e6ta9ilidade do 6i6te3a? no 2a6o? da 5o6i


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– DEE

$iura 1&: Par3etro6 do PID

$onte: Pró5ria

Onde o 6i6te3a re65on6=vel 5ela 3odelae3 da 6i3ula


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– DEE

$iura 1': Plata;or3a u6ada 5ara a 6i3ula


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– DEE

$iura 1(: i6te3a do 5êndulo 6e3 2ontrolador nulo e3 radiano6 da a6te e3 ro4o e 5o6i


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– DEE

$iura 1*: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a


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– DEE

Per2e9e/6e @ue o 2arrino ;i2a o62ilando e3 torno do 5onto ero? ou 6eja? no 5onto adotado 2o3o

re;erên2ia% Outro ;ato a 6er o96ervado @ue a 5o6i


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– DEE

$iura )0: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a


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– DEE

$iura )1: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a


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– DEE

$iura )): "r=;i2o do nulo do 5êndulo 5ara u3a 5ertur9a


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– DEE

*. Con")u+o

Durante a eta5a da introdu


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– DEE

e6t= e45o6to na $iura 0+? @ue ainda 2ontinua r=5ido% O re6ultado di66o? o 5êndulo 5rati2a3ente i3óvel

6o9 a 5o6i


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– DEE

"# $ibliogra!ia

1J !ORRICO? B% C% Roteiro de Aulas de Controle–Laboratório Nº 02– Modelagem e Simula!o do P"ndulo #n$estido% $ortalea: DEE/U$C? )01'%

)J !ORRICO? B% C% Slides de Aulas de Sistemas Lineares – Aula& – Sistemas 'istos (omo #nter(one)*esde +,era*es% $ortalea: DEE/U$C? )01'%

&J RENIC. R%?,ALLIDAW? .RANE .% % -.si(a / – 1 ed% LC%

8J O"A!A? .% 3ngenharia do Controle Moderno% Prenti2e ,all do Bra6il? 8X Ed%)00&%

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