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SEGUNDO RELATÓRIO – SEGUNDA PARTE

FLUTUAÇÃO DE CASCOS DE FORMAS ESPECIAIS, MULTICASCOS E

MULTICORPOS

2010/02

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Índice Introdução .................................................................................................................................... 3 Objetivos ....................................................................................................................................... 3

1. Modelo Convencional ...................................................................................................... 3

2. Casos Particulares ............................................................................................................ 3 2.1 Embarcações Multicascos ......................................................................................... 3 2.2 Plataformas ............................................................................................................... 4 2.3 Proa e Bulbo .............................................................................................................. 4 2.4 Convés Principal Descontínuo ................................................................................... 5 2.5 Convés com Escotilha ................................................................................................ 5 2.6 “Moonpool” e “Bow Thruster”

3. Metodologia .................................................................................................................... 5

4. Geração das Seções ......................................................................................................... 6

5. Cálculo das Propriedades Hidrostáticas .......................................................................... 6

5.1 Volume Submerso ..................................................................................................... 8 1.8 Centro de Carena ...................................................................................................... 9 5.3 Área de Linha d’água e Centro de Flutuação ........................................................... 10

6. Geração da Superfície ..................................................................................................... 11

6.1 Número de Pontos .................................................................................................... 11 6.2 União das Seções ...................................................................................................... 12

6.2.1 União entre seções simples ............................................................................... 12 6.2.2 União entre seções simples e seções múltiplas ................................................. 13

(a) Moonpool .................................................................................................... 14 (b) Bow Thruster ............................................................................................... 14 (c) Proa com Bulbo ……………………………………………………………………………………..… 16

6.2.3 União entre seções simples com descontinuidade no convés ........................... 17

7. Triangularização da Superfície ........................................................................................ 18

8. Cálculo das Características Hidrostáticas por Prismas .................................................... 19

8.1 Volume Submerso ..................................................................................................... 19 8.2 Centro de Carena ...................................................................................................... 20

9. Plataformas Oceânicas .................................................................................................... 21

9.1 Cálculo das Propriedades Hidrostáticas .................................................................... 21

9.1.1 Volume Submerso .............................................................................................. 21 9.1.2 Centro de Carena ............................................................................................... 22

Conclusão .................................................................................................................................... 24 Bibliografia ................................................................................................................................... 25

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Introdução Até o momento tratamos do equilíbrio estático de uma embarcação monocasco convencional, ou seja, àquelas que são representáveis por meio de um plano de linhas/tabela de cotas. A partir dessa

consideração, pode-se gerar ferramentas como as Curvas Hidrostáticas, Curvas de Bonjean e Vlasov e diagramas de Firsov, que auxiliam na determinação da condição de equilíbrio de uma embarcação. Porém essas não podem ser utilizadas quando a geometria da embarcação é mais complexa, como em casos de embarcações multicascos, plataformas e, até mesmo em cascos com cavidades e descontinuidades. Isso deve-se ao fato de que essas não são representáveis em um plano de linhas/tabela, uma vez que essas formas transgridem os limites de visualização. Portanto, é necessária uma alternativa à tabela de cotas em que a representação de todos os tipos de embarcações seja possível, obtendo assim uma análise para uma condição de flutuação qualquer. A fim de solucionar este problema, será abordada neste relatório uma alternativa que permita trabalhar com embarcações de geometrias diversas.

Objetivos Este trabalho tem como objetivo possibilitar ao aluno os meios para desenvolver/planejar um método alternativo ao modelo convencional (Plano de linhas / Tabelas de Cotas). Esse método, visa representar a geometria de uma embarcação qualquer para a solução geral de problemas de equilíbrio em águas tranqüilas. Além disso, ser capaz de estabelecer comparações e validar o método proposto.

1. Modelo Convencional

O Plano de Linhas e a Tabela de Cotas estudados, apresentam o modelo convencional para representação de embarcações. Este consiste em uma representação/mapeamento de cortes transversais, longitudinais e verticais da embarcação. Como conseqüência, este modelo é limitado quando se trata da representação de cascos que podem apresentar mais de uma seção para uma mesma posição longitudinal, transversal ou vertical (dependendo do eixo de referência adotado) ou mais de um ponto no eixo transversal para uma mesma altura de linha d’água e posição longitudinal. Estão representados abaixo, os casos mais freqüentes que não podem ser tratadas pelo modelo convencional, ou seja, as limitações desse modelo:

2. Casos Particulares

2.1 Embarcações Multicascos:

São caracterizadas por possuírem mais de um casco, como os catamarãs e trimarãs. Podemos perceber por meio da figura abaixo, que há mais de um ponto de interseção da linha d’água com o casco, gerando pontos de mesmas coordenadas nos eixos X e Z, e diferentes coordenadas no eixo Y, o que impossibilita a representação dessa seção no Modelo Convencional.

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2.2 Plataformas:

A geometria da plataforma é, de modo geral, composta por múlticorpos. Suas estruturas são projetadas para que elas resistam aos esforços causados pelo mar, por toda a vida sua vida útil. Uma representação pela tabela de cotas é difícil, pois uma mesma seção pode ter áreas compostas, e ainda descontinuidades que são muito difíceis de representar na tabela de cotas.

2.3 Proa com Bulbo:

Por meio da figura abaixo pode-se observar que a região do bulbo quando interceptada por uma seção transversal, gera duas partes distintas, sendo estas o bico de proa e o bulbo. Sua representação no Modelo Convencional é complicada, uma vez que em um mesmo ponto x,y haverá mais de uma coordenada z na mesma vista.

2.4 Convés Principal Descontínuo

Este tipo de geometria é de difícil representação, pois há uma descontinuidade vertical, tendo mais de um valor de z para os mesmos pontos x e y. Nesses locais seria necessário representar duas seções diferentes, o que geraria certa dificuldade na elaboração da tabela de cotas

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2.5 Convés com escotilha

Essa é uma região que apresenta dificuldade em sua representação, uma vez que define uma descontinuidade longitudinal, ou seja, para uma mesma linha d’água de altura z têm-se dois pontos de interseção com diferentes coordenadas y.

2.6 “Moonpool” e Túneis Impelidores (“Bow Thruster”)

Alguns navios possuem aberturas em seu casco com fins específicos. No caso de navios com “Moonpool” ou “Bow Thrusters”, esses recortes cruzam o casco inteiro, do convés ao fundo ou de um bordo a outro. Por meio das seções transversais abaixo, podemos perceber a dificuldade na representação dessas geometrias na tabela de cotas, uma vez que numa mesma seção haveria duas áreas diferentes.

Moonpool: Bow Thruster:

3. Metodologia

Temos que desenvolver um método de representação da superfície alternativo à Tabela de Cotas, para que superemos suas limitações. Podemos começar desenvolvendo um modelo que possibilite a representação de mais de uma seção por coordenada x, pois essa é a limitação principal do Plano de Linhas. Isso permite uma representação mais flexível da superfície e já soluciona alguns dos problemas relacionados às limitações listadas anteriormente.

4. Geração das Seções Primeiramente devemos definir o eixo principal, que será o eixo x, afinal queremos representar mais de uma seção por coordenada x, ou seja, as seções transversais serão dadas relativamente à determinada posição x. Assim como na representação pela Tabela de Cotas convencional, devemos definir antecipadamente as posições longitudinais das seções, tomando o cuidado de definir seções nas porções em que possa haver alguma das limitações já listadas. Então traçamos um novo Plano de Linhas com as novas seções, representando as regiões críticas do casco. Como exemplo, tomemos um casco Moonpool. As seções seriam definidas da seguinte maneira:

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Em seguida, devemos ordenar os pontos que formam a seção na seguinte ordem (definir mais pontos nas regiões mais críticas, para uma melhor representação da forma):

O ponto inicial será o de menor valor de z e menor módulo de y, ou seja, começamos sempre pela esquerda (y negativo).

5. Cálculo das Propriedades Hidrostáticas Antes de tudo, devemos definir as variáveis utilizadas nos cálculos: Nsec = Número da seção, dado de acordo com a ordem com que foram inseridas Nponto = Numeração dos pontos da seção, dado de acordo com a ordem com que foram inseridas Npontos = Número total de pontos X(Nsec) = Posição Longitudinal da seção e correspondente. Y(Nsec,Nponto)= Posição Transversal da seção e correspondente. Z(Nsec,Nponto)= Posição Vertical da seção e correspondente

Agora podemos de fato seguir com o cálculo das Propriedades Hidrostáticas:

• Plano de Flutuação

• O plano de flutuação pode ser definido pelos seguintes parâmetros:

- Ângulo φ com o eixo x; - Ângulo θ com o eixo y; -Calado na perpendicular de ré, na linha de centro (Tar);

Encontramos agora os pontos de interseção do plano de flutuação com cada seção, para que possamos definir os limites da superfície submersa da embarcação. Utilizaremos a seguinte estratégia:

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Para encontrar o calado na linha de centro de cada seção, usamos a equação

Tc(x)=Tar+ tg φ . x,

Observe que será necessário um processo iterativo para que localizemos os pontos de interseção do plano de flutuação com o plano diametral. Com o calado na linha de centro de cada seção e o ângulo θ de inclinação transversal do plano de flutuação, podemos encontrar a reta que representa a interseção desse mesmo plano com cada baliza

z(x, y)=Tc(x) + y . tgθ;

- A reta que liga dois pontos consecutivos da seção é definida por:

� � ������, ��� ��� � ��������, ��� ���� � � ������, ��� ���������, ��� ����� � ������, ��� ����� . �� � ������, ��� ����

-Devemos verificar se essas duas retas se encontram e se o ponto de interseção está entre os pontos i e i+1. -Para isso resolveremos o seguinte sistema linear utilizando o método de Gauss-Seidel:

.z = Zi+[(Zi+1-Zi)/ (Yi+1-Yi)] . (y-Yi) ; .z=Tc(x)+ y. tgθ

-Depois verificamos se . Zi≤ z ≤ Zi+1 e Yi ≤ y ≤ Yi+1

. Zi≤ z ≤ Zi+1 e Yi+1 ≤ y ≤ Yi

. Zi+1 ≤ z ≤ Zi e Yi ≤ y ≤ Yi+1

. Zi+1 ≤ z ≤ Zi e Yi+1 ≤ y ≤ Yi

Podemos ilustrar essa condição:

-Se na verificação alguma das condições for verdadeira, armazenamos o ponto de interseção (x,y,z) e os respectivos pontos inferiores zi<z. -A seguir resolvemos outro sistema:

.z(x,y)= Tc(x) + y . tg θ .z= TNpontos+ [(Z1-ZNpontos)/(Y1-YNpontos)] . (y-YNpontos)

-e verificamos se . ZNpontos≤ z ≤ Z1 e YNpontos ≤ y ≤ Y1

. ZNpontos≤ z ≤ Z1 e Y1 ≤ y ≤ YNpontos

. Z1 ≤ z ≤ ZNpontos e YNpontos ≤ y ≤ Y1

. Z1 ≤ z ≤ ZNpontos e Y1 ≤ y ≤ YNpontos -Novamente, se alguma das condições for verdadeira, devemos armazenar o ponto de interseção (x,y,z) e os respectivos pontos inferiores zi<z.

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-Tendo encontrado os pontos de interseção do plano de flutuação com as seções, devemos gerar a parte submersa da seção, pois essa porção é a que será usada para os cálculos de parâmetros hidrostáticos. Para isso, devemos determinar um novo contorno para a seção, tomando apenas a parte submersa. Esse novo contorno é definido a partir do segundo ponto de interseção da esquerda para a direita, e segue a ordenação original da seção, até encontrar o primeiro ponto de interseção do plano de flutuação com a seção, onde então o contorno fecha. -As seções seguintes seguem sendo definidas da mesma forma, mas começando do segundo ponto de interseção a partir do usado anteriormente. Como ilustração, mostraremos os contornos das duas primeiras seções:

-A seção também é fechada e dividida pelo padrão de divisão das outras seções. -Finalizamos o processo quando se esgotarem todos os pontos de interseção do plano de flutuação com a seção.

5.1 Volume submerso A área de cada seção será considerada como a soma da área de cada triângulo nos quais a própria seção será dividida. Ilustramos essa divisão abaixo:

Como vemos, ligaremos o ponto inicial de cada seção a cada outro ponto da mesma, definindo várias formas que são ou podem ser aproximadas por triângulos. Em termos computacionais, poderíamos demonstrar esse algoritmo da seguinte maneira: ligamos do ponto 1 com o ponto i, e a seguir com o ponto (i+1). A variável i recebe inicialmente o valor 2 e a cada iteração recebe um incremento de valor 1 até que o ponto 1 esteja ligado a todos os pontos da seção. Podemos representar os lados dos triângulos como vetores, o que nos possibilita calcular a área de cada um. Isso porque, quando posicionados em lados opostos, dois vetores determinam um paralelogramo, sendo sua área facilmente calculada por produto vetorial.

Obviamente, a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, tendo em vista que o vetor representativo do terceiro lado une os extremos opostos dos vetores que representam os dois outros lados, delimitando uma diagonal do paralelogramo.

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Vamos relembrar como podemos obter o produto vetorial de dois vetores quaisquer � ����, ��, ��� � � ��!, �!, �!�:

�� � det & ' ( )�� �� ���! �! �!*

Sabemos que a área do triângulo (A) com dois lados definidos pelos vetores a e b é dada por:

+ � ��� �2

Então é só somar as áreas de cada triângulo e obtemos a área total da seção. Se fizermos o mesmo para todas as seções até a linha d’água, podemos obter o gráfico de áreas seccionais pela posição x, porém só obtemos valores discretos, ou seja, só obtemos pontos referentes a cada seção. Para obtermos uma curva contínua de áreas seccionais, ou seja, para que os resultados sejam aplicados a toda continuidade do casco, mesmo nas regiões em que não existam seções definidas, devemos utilizar um polinômio que une todos os pontos do gráfico com valores discretos das áreas seccionais e suaviza a curva, ajustando-a da melhor maneira possível, como uma spline. Agora é só integrar essas áreas longitudinalmente para obter o volume submerso:

- � . +/��, 0�1�23

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Onde 5� � 56 são os limites submersos da embarcação e Aw é a “área submersa” de cada baliza.

5.2 Centro de Carena Podemos encontrar a posição longitudinal do centro de carena através da soma dos momentos de volume de cada área seccional:

Se �7- � 8 �+/��, 0�1�2324 ,

�7 � 8 �+/��, 0�1�2324 -

Agora vamos encontrar a posição vertical e a transversal do centro de carena. Primeiramente,

encontramos o centro de área de cada triângulo 9�:; , �:;<, que nada mais é do que a média

aritmética das coordenadas de seus pontos (a, b, c):

�:; � ��= � �7 � �:�3 , �:; � ��= � �7 � �:�3

Tendo a área e o centro de área de cada triângulo, usamos o momento de área para calcular o centro de área de cada seção:

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�� � ∑ �:;+@A@B�+/��@ , 0� , �� � ∑ �:;+@A@B�+/��@ , 0� Onde i é o índice referente à seção, n é o número de seções, j é o índice referente ao triângulo e �� � �� são, respectivamente, as coordenadas transversal e longitudinal do centro de área de cada seção.

Calculamos agora o momento de área de cada seção em relação à linha de centro �CDE@� e em

relação à linha de base �CDF@�

CDE@ � +@�@ � CDF@ � +@�@

Como na curva de áreas seccionais, plotamos um gráfico de valores discretos para os momentos e depois unimos os pontos para formar dois polinômios, um para cada momento, que aproximaremos para duas curvas suaves e contínuas, como o ilustrado ao lado.

Finalmente podemos calcular as posições transversal e vertical do centro de carena através da integral longitudinal dos momentos dividida pelo volume submerso:

�7 � 8 CDE��, 0�1�2324 - , �7 � 8 CDF��, 0�1�2324 -

5.3 Área da linha d’água e Centro de Flutuação Vamos calcular a área da linha d’água e o centro de flutuação da seguinte maneira: ligamos os pontos de interseção de plano de flutuação com as seções de acordo com a numeração de subseção dada após a geração dos contornos com a passagem do plano de flutuação, gerando um contorno de linha d’água. Como exemplo, temos a vista superior do plano de linha d’água de um, com o contorno de linha d’água de cada seção.

Agora unimos os pontos a um ponto qualquer do contorno da linha d’água, formando assim triângulos. A área desses novos triângulos é calculada da mesma maneira que utilizada anteriormente. A área dessa linha d’água, por sua vez, é calculada da mesma forma que calculamos a área das seções.

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Aproveitamos esses mesmos triângulos para calcular a posição do centro de flutuação, da mesma forma em que foi calculado o centro de área de cada seção.

6. Geração da Superfície Tendo em mãos o conjunto de pontos que formam a superfície, precisamos uni-los. Iremos utilizar retas para unir os vários pontos.

6.1 Número de Pontos Para que possamos unir duas seções paralelas e formar uma superfície tridimensional é necessário que ambas as seções tenham a mesma quantidade de pontos, o que acarreta num trabalho inicial de formatação de cada seção paralela. A solução proposta consta em calcular o perímetro de cada seção e dividi-lo em um número fixo de pontos eqüidistantes. O cálculo do perímetro utilizou os vetores formados pelos pontos de cada seção transversal. Estes vetores possuem coordenadas transversais e verticais iguais a (yi - yi-1,zi - zi-1), sendo o índice i a ordem dos vetores, que varia de 2 a n. O módulo de cada um deste vetores é dado por: G��� � ��H��! � ��� � ��H��!

O somatório dos módulos de todos os vetores de uma seção transversal fornece o perímetro desta seção. O próximo consiste em dividir os perímetros de todas as seções por um mesmo valor para atingir a igualdade de pontos em cada seção. Neste trabalho estipulou-se uma quantidade de 50 partes para cada seção. Caso alguma seção contenha um número de pontos mais que este, devemos então utilizar esta quantidade como divisor dos perímetros das seções. O próximo passo consiste em calcular o vetor unitário correspondente a cada um dos vetores que compõem uma seção transversal, este cálculo é dado por:

Utilizando as coordenadas de cada vetor unitário junto com o valor do perímetro dividido por 50, devemos fazer um somatório em seqüência para mantermos o contorno original.

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6.2 União das Seções Para a definição da superfície formada pela união entre as seções, dividiremos o algoritmo em casos específicos que necessitam de um tratamento individual. Nas situações de seções múltiplas, será utilizada malha de contorno receberá a mesma quantidade de pontos de uma malha de seção simples para que a união entre as seções seja possível.

6.2.1 União entre seções simples

- Os pontos são ligados entre si seguindo a ordenação destes, ou seja, o ponto k da malha de contorno de uma seção será conectado ao ponto k da malha da próxima seção.

6.2.2 União entre seções simples e seções múltiplas Para possibilitar a união de uma seção simples com uma seção múltipla é necessário o uso de uma seção de contorno ao redor das subseções. Esta seção de contorno deve ter o mesmo número de pontos da malha da seção simples, utilizando se necessário o procedimento proposto acima para se obter a mesma quantidade de pontos.

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A geração desta malha de contorno depende da situação a ser analisada: Moonpool, Bow Thruster, ou Proa com Bulbo, o que nos obrigada a dividir o nosso algoritmo.

a) Moonpool Devemos gerar uma malha de contorno ao redor das subseções que constituem a seção do moonpool. Isto se dará da seguinte forma: - Devemos localizar qual das subseções constituintes do Moonpool se encontra mais a esquerda. Para isto, devemos procurar nos pontos de cada subseção, os pontos que possuem a menor coordenada transversal em módulo. Após esta procura, devemos comparar os pontos achados, correspondentes a cada subseção, para sabermos dentre estes qual é o menor. A seção que possuir o ponto com a menor coordenada transversal corresponderá à seção mais a esquerda.

- Tendo definido em qual seção será iniciada a tomada de pontos, o primeiro ponto da seção de contorno do Moonpool será o ponto que possuir a menor coordenada transversal em módulo e a maior coordenada vertical. - Devemos então, ligar este ponto inicial com o ponto mais próximo deste da subseção à direita, desta maneira estaremos contornando o Moonpool por cima.

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- Os próximos pontos a serem ligados na subseção à direta seguirão a ordenação previamente estabelecida, até atingirmos a parte mais inferior desta subseção. - No ponto da subseção à direita cujas coordenadas transversal em módulo é a menor e vertical é a menor, deve ser feita a ligação com o ponto mais próximo da subseção à esquerda de modo a contornar o Moonpool por baixo.

- Devemos então seguir a orientação previamente seguida para ligarmos o restante dos pontos da subseção à esquerda para definirmos a seção de contorno. - Finalmente, devemos unir esta nova seção de contorno com a seção simples desejada de maneira idêntica à estabelecida para a união entre seções simples.

b) Bow Thruster

A geração da malha de contorno para uma seção com bow thruster será feita da seguinte maneira: - Devemos localizar a subseção inferior, de maneira análoga à seção com Moonpool, porém visando obter qual subseção que possui a menor coordenada vertical.

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- Após definirmos a subseção inicial, definimos como primeiro ponto para gerarmos a seção de contorno o ponto desta subseção que possuir a menor coordenada vertical. - A partir deste ponto inicial, devemos ligar os pontos utilizando a ordenação previamente estabelecida até atingirmos o ponto desta subseção inferior que possua a menor coordenada transversal. Este ponto deverá ser ligado ao ponto da subseção superior que possua a menor coordenada transversal e vertical.

- Novamente, devemos continuar a ligar os pontos seguintes da subseção superior utilizando a ordenação previamente estabelecida. - Este procedimento continuará até atingirmos o ponto da subseção superior cuja coordenada vertical é a menor e que possua a menor coordenada vertical positiva. Este ponto deverá ser ligado ao ponto pertencente à subseção inferior que possua a maior coordenada vertical e a maior coordenada transversal.

- A partir disto, deve-se continuar a ligar os pontos utilizando a ordenação previamente estabelecida até atingirmos o ponto inicial, fechando assim a seção de contorno.

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- Por fim, uniremos esta seção de contorno com a seção simples desejada de modo similar ao utilizado para unir duas seções simples.

c) Proa com Bulbo Também será necessário gerar uma seção de contorno para unirmos uma seção simples com uma seção com bulbo. - Devemos identificar qual é a subseção inferior da mesma maneira que fizemos para o caso de Bow Thruster, e adotaremos como ponto inicial o ponto cuja coordenada vertical da subseção inferior é a menor.

- A partir do estabelecimento do ponto inicial, devemos conectar estes os pontos da subseção inferior utilizando a ordenação previamente estabelecida. - Ao atingirmos o ponto da subseção inferior que possua a maior coordenada vertical devemos parar o procedimento anterior e conectar este ao ponto cuja coordenada vertical da subseção superior é a menor. Este método pode ser neste caso devido à geometria das seções transversais de proa com bulbo.

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- Novamente, devemos voltar a unir os pontos da subseção superior, obedecendo à ordenação previamente estabelecida até atingirmos novamente o ponto desta subseção que possui a menor coordenada vertical. - Ao atingirmos novamente este ponto da subseção vertical, devemos conectá-lo novamente ao ponto da subseção inferior que possui a maior coordenada vertical. Deve-se ressaltar que o sentido do vetor neste caso será diferente.

- Com isso, voltaremos a conectar os pontos restantes da subseção inferior, obedecendo à ordenação previamente estabelecida, até atingirmos o ponto inicial utilizado para a geração da seção de contorno, para desta maneira fechá-la. - Finalmente iremos esta seção de contorno com a seção simples desejada para formarmos a superfície desejada de maneira similar à utilizada para a união de seções simples.

6.2.3 União entre seções simples com descontinuidade no convés Foram identificadas duas situações que demonstraram uma descontinuidade no convés: escotilha e castelo de proa ou popa.

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Ao contrário da situação em que se desejava unir uma seção simples com uma seção composta, esta situação não apresenta complicações na geração da superfície, mas sim no mapeamento dos pontos iniciais e finais destas descontinuidades. Para contornar tal dificuldade, é proposto então, que o usuário forneça as seções que contenham os pontos iniciais e finais das descontinuidades junto com as características das mesmas, tais como: altura de escotilha ou castelo e largura da escotilha. Desta maneira, o programa então assumirá que entre as coordenadas longitudinais respectivas as seções iniciais e finais das descontinuidades, as seções que se encontram nesta região serão alteradas para incluir estes novos aspectos da geometria.

7. Triangularização da Superfície

Devemos dividir as faces de quatro lados em duas faces triangulares para podermos fazer uma malha de triângulos.

Para isso, utilizamos seguinte método: ligamos o primeiro ponto da face de uma seção com o segundo da face da seção seguinte; o segundo ponto com o terceiro da seção seguinte e assim sucessivamente, sempre ligando o ponto j da seção i com o ponto j + 1 da seção i + 1.

Repetimos o processo até que o penúltimo ponto da seção esteja ligado ao último ponto da seção posterior.

Para calcular o produto vetorial para dois lados do triângulo, devemos escolher a orientação dos triângulos: positiva (triângulos voltados para o lado de fora do volume) ou negativa (triângulos voltados para o lado de dentro do volume).

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8. Cálculo das características Hidrostáticas por Prismas

Escolhemos utilizar primas verticais formados por cada par de triângulos (um da superfície do casco e um de uma superfície horizontal localizada abaixo do casco) para o cálculo do Volume e do Centro de Carena. Foi escolhido esse método pois ele, ao contrário do método bastante conhecido que utiliza tetraedros, não nos obriga a trabalhar com volumes e centros geométricos de tetraedros inclinados (que são mais difíceis de calcular que volumemes e centros geométricos de prismas) como mostra a figura.

Em vermelho: “volume negativo”

Em amarelo: volume positivo

Por isso, o método que utiliza prismas é o mais indicado quando temos o caso de multicascos e é perfeitamente aplicável ao caso de monocascos, se tornando geral.

8.1 Volume submerso

Podemos calcular o volume submerso de outra forma, através de prismas gerados pelos triângulos componentes da superfície do casco da embarcação. Para tal, tomamos um plano perpendicular ao eixo z e que contenha o eixo determinado pelo linha de base, projetamos cada triângulo nessa superfície e ligamos cada vértice da projeção ao seu correspondente no triângulo real. Assim associamos a cada triângulo um poliedro.

O volume de cada poliedro pode ser calculado por um prisma equivalente, com base igual à projeção do triângulo e altura igual à distância entre o plano gerado e o centro de área do triângulo. Temos na ilustração ao lado duas dimensões.

Calculamos o centro de área do triângulo da mesma forma empregada anteriormente: média aritmética das coordenadas de seus vértices:

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E � I� � I! � IJ

Onde I�, I! � IJsão os vértices do triângulo.

O volume de cada prisma será: IK@ � +L

Onde h é a altura do prisma, ou seja, é a coordenada z do plano até o centro de área do triângulo.

Ao se associar cada triângulo da superfície do casco com um prisma, o somatório dos volumes deles resultará no volume total. O que determinará se o volume associado a um triângulo será positivo ou negativo será o produto escalar do vetor a normal ao triângulo com um vetor b normal ao plano. Teremos a resposta pela seguinte fórmula:

���M � N . O|N| . |O|

Ou seja, se o vetor a apontar na direção do plano o volume associado será negativo, e se a apontar na direção contrária ao plano o volume associado será positivo como mostra a figura ao lado:

8.2 Centro de Carena

Também podemos calcular a posição do centro de carena através de prismas, basta que calculemos o centro de volume de cada prisma e façamos uma média do momento ponderada pelo volume, relativo a cada coordenada. Para as coordenadas x e y do centro de volume de cada prisma, fazemos como o já visto anteriormente, pois o centro de volume em x e y do prisma coincide com o centro de área do triângulo:

5:; � ��� � �! � �J�3 , �:; � ��� � �! � �J�3

Sendo os vértices de um triângulo qualquer, definidos por I� � ���, ��, ���, I! ���!, �!, �!�, IJ � ��J, �J, �J� Quanto à coordenada z, tomamos simplesmente a metade da altura do prisma. Podemos agora utilizar o momento para calcular as coordenadas do centro de carena:

57 � ∑ IK;5:;A@B�∑ IK;A@B� , �7 � ∑ IK;�:;A@B�∑ IK;A@B� , �@ � ∑ IK;�:;A@B�∑ IK;A@B�

Onde 5:; , �:; , �:; são as coordenadas do centro de volume de cada prisma, como o já dito, e n é o

número total de prismas.

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9. Plataformas Oceânicas Apesar das plataformas possuírem uma geometria cuja representação é inviável dentro do modelo de seções proposto na tabela de cotas, estas podem ser visualizadas como uma composição de diversos corpos que possuem, individualmente, uma geometria simples. Por exemplo: as colunas de sustentação podem ser representadas através de cilindros cuja seção circular possui raio constante e suas alturas são pré-determinadas. Desta maneira, para obtermos as características geométricas destes cilindros será necessário que o usuário forneça quantas colunas de sustentação existem, o raio de cada cilindro que as representará e suas respectivas alturas (caso algum cilindro difira em algum destes parâmetros dos demais), e também a posição no espaço do centro da seção circular correspondente à base de cada cilindro.

Utilizando o mesmo raciocínio, também podemos representar os flutuadores destas estruturas oceânicas como paralelepípedos, de modo que o usuário possa informar os dados correspondentes à largura, comprimento e altura de cada paralelepípedo que representará os flutuadores, informando inclusive a quantidade de flutuadores. Também será necessário que o usuário forneça os dados correspondentes à posição no espaço de cada um dos pontos que constituem uma das faces de cada um destes paralelepípedos.

9.1 Cálculo das Propriedades Hidrostáticas A seguir iremos propor maneiras para se calcular o volume submerso e o centro de carena de corpos flutuantes compostos de cilindros e paralelepípedos para uma linha d’água qualquer.

9.1.1 Volume Submerso O volume de cada flutuador, supondo que estes estão sempre submersos, é dado por IQRST � E�UV'U�� � W D�VXYV� W +Z YV�

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Sabendo que o volume do cilindro no calado médio é igual ao seu volume sob uma condição de inclinação, ou seja,

I:[R � \V!�0]^_ � �`�

Logo, o volume submerso para uma dada condição de inclinação é dado por

a� 9b IQRST< � 9b I:[R<

9.1.2 Centro de Carena O centro de carena de cada flutuador é dado por

�cQRST � �dQRST � E�UV'U�� �2

�cQRST � �dQRST � D�VXYV�2

�cQRST � �dQRST � +Z YV�2

Aonde (xPFLUT,yPFLUT,zPFLUT) correspondem às coordenadas do ponto de referência para o posicionamento de cada flutuador. O centro de carena de cada cilindro é dado por �c:eR � �`

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�c:eR � �`

�c:eR � �0]^_ � �`�2

Por fim, o centro de carena da plataforma sob uma condição inclinada será dado por:

�c � �∑ � cQRST . IQRST� � �∑ �c:[R . I:[R�a

�c � �∑ � cQRST . IQRST� � �∑ �c:[R . I:[R�a

�c � �∑ � cQRST . IQRST� � �∑ �c:[R . I:[R�a

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Conclusão

Um novo método de representação de embarcações e da estimativa da posição de equilíbrio foi sugerido neste relatório. Este método possui a capacidade de representar a geometria de qualquer embarcação, a fim de cobrir as limitações do Modelo Convencional da Tabela de Cotas. O método foi explicado detalhadamente e dividido em etapas, apresentando o modo de obtenção de ligações entre seções. Por meio de uma análise numérica e de conceitos de Arquitetura Naval I, obtêm-se as propriedades hidrostáticas como volume, deslocamento, áreas, centro de carena e, entre outros, a posição de equilíbrio. Visto isso, podemos concluir que o objetivo dessa segunda parte foi cumprido, ao se desenvolver um método capaz de superar as limitações de uma tabela de cotas e de um plano de linhas.

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Bibliografia

Sanglard, J. H. E. 2010. 2º Trabalho Prático, 2ª parte – Flutuação de Cascos de Formas Especiais, Multicascos e Multicorpos. Roteiro. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Naval e Oceânica. Sanglard, J. H. E. / Filho, P. D. M. 1996. Estática de Corpos Flutuantes. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Naval e Oceânica. Braga, C. B./ Assis, A. C./ Barros, M 2010/02 _________________Notas de Aula – Arquitetura Naval I. Gundelach, M. A. B./ Seabra, P. A./ Santana, L. F. F.__________________Relatório do 2º Trabalho Prático, 2ª parte – 2009/01.

http://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html ______________________________ internet