Universidade Estadual De Ponta GrossaSetor de Ciências Exatas e Naturais

Departamento de Física

Bruno Alcântara

Guilherme San Martin Munhoz

Matheus Morioka

Murilo Ruan Pereira

Renan Magnoni

Primeiro Relatório

Ponta Grossa / Paraná

2015

Bruno Alcântara

Guilherme San Martin Munhoz

Matheus Morioka

Murilo Ruan Pereira

Renan Magnoni

Primeiro Relatório

Trabalho apresentado no curso de

Engenharia Civil, na Universidade

Estadual de Ponta Grossa – UEPG.

Professor: Welligton Luis de Almeida.

Ponta Grossa / Paraná

2015

Sumário

1. Introdução: Teoria dos erros e Construção de gráficos.................................

2. Introdução: Paquímetro......................................................................................

3. Introdução: Micrômetro.......................................................................................

4. Introdução: Mesa de Forças...............................................................................

5. Referências...........................................................................................................

1-Introdução:Teoria dos Erros e Construção de Gráficos

1.1 Teoria dos ErrosNeste relatório fizemos uso da teoria dos erros que consiste em determinar

uma margem de erro, para valores calculados por meio de fórmulas apresentadas

mais adiante. Esta teoria equaciona valores que variam, ligeiramente, para mais ou

para menos em torno de um valor em questão, porém por mais que se usa

equações matemáticas não significa se prender à elas, atuando na identificação de

fenômenos em geral. A teoria dos erros depende das grandezas, de modo que

determina de que forma ela se relaciona, em uma abordagem qualitativa ou

quantitativa. De acordo com postulações do matemático Argand Gauss a soma de n

elementos divididos pela quantidade deles é igual a média aritmética de uma

grandeza, ao passo que esse postulado é aplicado nesta teoria, porém ao

trabalharmos com grandezas estas são suscetíveis a erros classificados como

grosseiros, resultado da medição por falta de cuidado no manuseio do equipamento;

sistemáticos, mais comumentes determinados por métodos, observação e

instrumento adequado; fortuitos/acidental, provenientes de ocasiões imprevistas.

O erro como grandeza tem por definição:

Erro absoluto verdadeiro (Ev), que consiste na subtração entre a medida obtida e o

valor “verdadeiro” ou valor teórico:

Ev = x – X onde, X = valor verdadeiro

x = medida obtida

Erro absoluto aparente (δ)

_ _δ= x – x onde, x = valor mais provável x = medida obtida

Erro relativo (Er)

É a razão entre o erro absoluto verdadeiro e o verdadeiro valor da grandeza

ou entre o erro absoluto aparente e o valor mais provável da grandeza.

_Er = Ev/X ou Er = δ/x

Erro percentual (E%)

Permite a avaliação da medida em comparação com o valo padrão.

E% = Er . 100

Desvio Médio (ΔX)

É a razão do módulo da somatória dos erros aparentes pelo número de medidas

executadas.

∆ X=¿∑ δxi∨¿

n¿

Erro Médio quadrático (ϭ)

ϭ = ± Σδ2

n−1

Erro mais provável (Xm)

Xm=2σ3

Erro tolerável (Etol)

E tol=3.ϭ

Assim: toda a medida afetada de erro maior que o erro tolerável deve ser rejeitada,

quando do cálculo da média.

_x = x ± Etol ou seja, valores além dos limites da sentença devem ser desprezados.

O valor mais provável da grandeza é:

_x = x ± ϭ

1.1.1 ObjetivoO objetivo é determinar a margem de erro existente entre os valores dados.

Para averiguar esta margem utilizou-se das seguintes equações:

Ev = x – X

δ= x – x

Er = Ev/X ou Er = δ/x

E% = Er . 100

ΔX= |Σδxi| n

ϭ = ± Σδ2

n

Xm = 23ϭ

Etol = 3.ϭ

x = x ± Etol

x = x ± ϭ

1.1.2 Materiais utilizados1. Calculadora científica

1.1.3 Procedimento experimentalNeste relatório a teoria dos erros não teve aplicações práticas, porém usou-se

alguns valores previamente estabelecidos para embasamento da aplicação das

equações descritas no item 1.1.1 Objetivo. Os valores estão retratados na tabela

abaixo:

Aresta

em (cm)

Aresta

média Δ Er E% ΔX ϭ Xm Etol δ 2

2,32

2,36

- 0,04 - 0,017 1,7%

0 0,035 0,003 0,105

1,6.10-3

2,35 - 0,01 - 0,004 0,4% 1.10-4

2,37 + 0,01 +0,004 0,4% 1.10-4

2,34 - 0,02 - 0,008 0,8% 4.10-4

2,42 - 0,06 - 0,025 2,5% 3,6.10-3

2,33 - 0,03 - 0,013 1,3% 3,6.10-3

2,41 + 0,05 +0,021 2,1% 2,5.10-3

2,39 + 0,03 +0,013 1,3% 3,6.10-3

2,36 0 0 0% 0

2,31 + 0,05 - 0,021 2,1% 2,5.10-3

1.1.4 Conclusão

Neste relatório concluímos que a teoria dos erros é aplicada nos mais

variados fenômenos, como a mensuração de objetos usando instrumentos como

paquímetros e micrômetros, e através de sua existência é perceptível que por mais

preciso que um instrumento seja, ele será passível de erros, sejam eles grosseiros,

sistemáticos ou fortuitos/acidental.

2- Introdução: Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para mensurar com precisão as

dimensões de pequenos objetos, ao passo que tem uma precisão entre 0,01 e 0,05

mm. Trata-se de uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um

cursor que pode ser imobilizado com um parafuso para precisar melhor a medição.

O paquímetro possui dois bicos de medição, sendo um ligado à escala e o outro ao

cursor.

Com um paquímetro podemos medir diversos objetos, tais como: parafusos,

porcas, tubos, entre outros. Para realizar tal medição basta aproximar o objeto do

bico superior e deslizar o cursor até que a peça fique justa.

O paquímetro possui normalmente uma graduação em centímetros e outra

em polegadas para que se possa realizar as mensurações. O cursor móvel tem uma

escala de medição que se denomina nônio ou vernier. A escala é chamada de nônio

ou vernier em homenagem aos seus criadores: o português Pedro Nunes e o

francês Pierre Vernier. O vernier (nônio) possui uma escala com n divisões para X

mm da escala fixa. 

2.1 ObjetivoO objetivo da experiência foi averiguar as medidas de um cubo, uma esfera e

um cilindro utilizando-se da teoria dos erros para determinar com precisão as

medidas dos objetos citados anteriormente. Estes procedimentos objetivaram

entender o funcionamento e o manuseio do equipamento.

2.2 Material utilizado

1-Paquímetro (com precisão de 0,02mm).

2-Calculadora Científica.

3-Cubo de plástico

4-Esfera de plástico

5-Cilíndro de plástico

2.3 Procedimento Experimental

Colocou-se o cubo, a esfera e o cilindro, nos encostos do paquímetro obtendo

assim os seguintes resultados:

2.3.1 Cubo

Aresta

(mm)

Aresta

Média

<a>

Δ δ² Er E% ΔX ϭ Xm Etol <a>±ϭ

23,4

23,4

0 0 0 0

0,04 0,0037 0,0024 0,111 23,4±0,04

23,38 0,02 -0,0004 -0,0008 0,08

23,36 0,04 -0,0016 -0,0008 0,08

23,44 0,04 0,0016 0,0017 0,17

23,42 0,02 0,0004 0,0008 0,08

Volume = 12812,904 mm³

2.3.2 Esfera

Raio

(mm)

Raio

médio

<r>

Δ δ² Er E% ΔX ϭ Xm Etol <r>±ϭ

14,15 14,19 -0,04 0,0016 -0,0028 0,28% 0,02 0,0047 0,0031 0,0141 14,19±0,004

14,19 0 0 0 0%

14,18 -0,01 0,0001 -0,0007 0,07%

14,30 0,11 0,0121 0,0077 0,77%

14,14 -0,05 0,0025 -0,0035 0,35%

π=3,14

Volume = 4 πR ³3 = 4.3,14 .(14,19) ³

3=11962,32mm3

2.3.3.1 Cilindro

Raio

(mm)

Raio

médio

<r>

Δ δ² Er E% ΔX ϭ Xm Etol <r>±ϭ

12,36

12,34

0,02 0,0004 0,0016 0,16%

0,004 0,0022 0,0015 0,0067 12,34±0,002

12,37 0,03 0,0009 0,0024 0,24%

12,37 0,03 0,0009 0,0024 0,24%

12,36 0,02 0,0004 0,0016 0,16%

12,26 -0,08 0,0064 -0,0064 0,64%

2.3.3.2 Cilindro

Altura

(mm)

Altura

média

<h>

δ δ² Er E% ΔX ϭ Xm Etol <h>±ϭ

24,64 24,63 0,01 0,0001 0,0004 0,04% 0,002 0,0005 0,0003 0,0001 24,63±0,0005

24,66 0,03 0,0009 0,0012 0,12%

24,64 0,01 0,0001 0,0004 0,04%

24,62 -0,01 0,0001 -0,0004 0,04%

24,60 -0,03 0,0009 -0,0012 0,12%

π=3,14

Volume=π . R2 . h=11776,72mm3

2.4 Conclusão

Concluímos que é possível obter medidas precisas de alguns objetos, como parafusos, porcas, tubos e em objetos pequenos em geral, com o uso do paquímetro que possui uma precisão de 0,02mm, e como todo instrumento, este é passível de erro e para descontarmos esta diferença usufruímos da teoria dos erros.

3- Introdução : Micrômetro

O micrômetro é um instrumento semelhante ao paquímetro, porém mais

preciso, usado para medir diversos tipos de objetos como por exemplo: porcas,

parafusos, tubos com dimensões de até 25mm, com uma margem de erro de

0,01mm, possui uma bainha cuja escala é fixa e um tambor cuja escala é móvel. A

verificação da medida do objeto funciona da seguinte maneira: coloca-se o material

a ser medido entre as faces de medição ou contado e então aciona-se a catraca até

que a parte móvel do aparelho toque e ajuste-se no objeto a ser medido, visto que

ela assegura a pressão de medição constante, e por fim, ajusta-se a trava que

permite imobilizar o fuso numa medida predeterminada para obter e consultar

exatamente a dimensão do material. Feito isso o resultado, é obtido a partir da

leitura da soma dos valores em milímetros inteiros com meios milímetros obtidos na

bainha, mais o valor mensurado no tambor.

3.1 ObjetivoCompreender o mecanismo e a utilização do equipamento, fazer uso da teoria

da construção de gráficos na interpretação de medidas da espessura em milímetros

das quantidades de folhas dadas. Calcular o erro das medidas das esferas feitas

pelo micrômetro por meio da teoria dos erros.

3.2 Materiais Utilizados1. Micrômetro

2. Folhas Chamex

3. Esferas de tamanhos pequeno, médio e grande com caráter metálico.

4. Calculadora Científica

3.3 Procedimento ExperimentalAnotou-se as espessuras das respectivas quantidades de folhas mensuradas

em milímetros pelo micrômetro em uma tabela:

Nº de

folhas5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Espessura

Final

L(mm)

0,315 0,63 0,95 1,27 1,575 1,91 2,19 2,53 2,885 3,21

Obs: 0,0063 mm = espessura de uma folha.A partir da montagem do gráfico calculou-se a equação da reta obtida com

seus coeficientes angular e linear,

Logo y=0,064 x−0,0147 onde, a=0,064 (coeficienteangular )

b=−0,0147 (coeficiente linear )

LEGENDA:

Q = quantidade de folhas ( eixo y )

L = espessura das folhas ( eixo x )

Realizou-se cinco medidas distintas com micrômetro das esferas de diferentes

tamanhos, com intuito de ter margem para cálculo da teoria dos erros:

X(mm)_x δ Er E% Ϭ δ2

X1 5,01

5,013

-0,003 -5,9.10-4 -5,9.10-2

1,8.10-5

0,000009

X2 5,01 -0,003 -5,9.10-4 -5,9.10-2 0,000009

X3 5,020 0,007 1,3.10-3 1,3.10-1 0,000049

X4 5,015 0,002 3,98.10-4 3,98.10-2 0,000004

X5 5,012 -0,001 1,99.10-4 1,99.10-2 0,000001

X(mm)_x δ Er E% Ϭ δ2

X1 8,99

8,992

-0,002 -2,2.10-4 -2,2.10-2

2,25.10-4

0,000004

X2 9,00 -0,003 8,8.10-4 8,8.10-2 0,000009

X3 8,98 -0,012 -1,3.10-3 -1,3.10-2 0,000144

X4 8,995 -0,003 3,3.10-4 3,3.10-2 0,000009

X5 8,996 -0,004 4,4.10-4 4,4.10-2 0,000016

X(mm)_x δ Er E% Ϭ δ2

X1 13,36

13,334

0,003 2,24.10-4 2,24.10-2

5,20.10-3

0,000009

X2 13,35 0,002 1,49.10-4 1,49.10-2 0,000004

X3 13,37 0,004 2,99.10-4 2,99.10-2 0,000016

X4 13,40 0,007 5,24.10-4 5,24.10-2 0,000049

X5 13,19 -0,144 0,010 1 0,020736

3.4 ConclusãoConcluiu-se que o micrômetro é um instrumento de extrema precisão, até

mais que o paquímetro, de modo que mensura os objetos à 0,01mm de exatidão.

Este instrumento possui vários usos no campo técnico, na medição de objetos de

pequeno porte de amplo uso na Engenharia.

4. INTRODUÇÃO: Mesa de Forças

Força é definida como grandeza vetorial, logo possui módulo, direção e

sentido, obedecendo as operações algébricas. De acordo com a atuação das forças

é possível descobrir como um corpo se comporta calculando a resultante das forças

atuantes sobre ele, e não de cada uma separadamente.

A experiência da mesa de forças, mostra o que foi descrito no parágrafo

anterior, empiricamente, de modo que a colocação de pesos em cada um dos fios da

mesa; ajustando as angulações dos fios, e ignorando a tração, o peso e o atrito dos

fios sobre as roldanas, e o desnivelamento da mesa; demonstra a atuação das

forças sobre uma argola central, descrevendo o comportamento do objeto em

questão.

4.1. OBJETIVOS

2.1 Determinar o ponto de Equilíbrio das forças através do método gráfico

2.2 Determinar o ponto de equilíbrio das forças através da lei dos cossenos

2.3 Determinar o ponto de equilíbrio das forças através da soma vetorial dos

componentes

4.2. MATERIAL NECESSÁRIO

1. Mesa de força

2. Pesos de 2, 5, 10, 20 e 100g

3. Nível

4. Balança

5. Papel milimetrado

4.3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O procedimento iniciou-se ao adotar uma angulação aleatória para três

roldanas e a seguir, colocando determinados pesos, que foram denominados de F⃗1,

F⃗2 e F⃗3, que ocasionaram uma situação de desiquilíbrio, consequentemente adotou-

se uma força E, que permitiu equilibrar o sistema, por meio do ajuste angular da

quarta roldana.

Nas forças citadas, não consta o atrito do barbante com a roldana e a tração,

devido ao seu mínimo valor.

4.3.1 Primeiro método – Lei dos cossenos

FR2=F1

2+F22+2. F1 . F2 .cosα

tanθ=F2 senα

F1+F2cos α

F⃗1 = 1,2 NF⃗2 = 1,1 NF⃗3 = 0,1 Nα=120 °

β=1°

α 1=120 °−1 °=119°

FR1=√(1,2¿¿2+1,12+2.1,2 .1,1 .cos α )¿

FR1=2√(1,44+1,21−1,69)

FR1=√1,37

FR1=1,17 N

tanθ1=1,1. sen119°

1,2+1,1. cos119°

tanθ1=1,44

θ1=55,27 °

θ1' =55,27 °+1°=56,27 °

Cálculo da Resultante R2 entre R1 com F⃗3θ1=56,27

γ=181 °

α 2=181 °−56,27=124,73°

FR2=2√1,172+0,12+2.0,1 .1,17cos124,73 °

FR2=2√1,25

FR2=1,12

tanθ2=F3 . senα 2

R1+F3 .cos α2

tanθ2=0,1.0,82

1,17+0,1. (−0,56 )

tanθ2=0,07

θ2=4 °

θ2' =θ2+θ1

' =60,27 °

4.3.2 Segundo método – Decomposição

F1 = 1,2 N θ = 1º

F1X = F1. cos θ

F1X = 1,2 . 0,99

F1X = 1,188 N

F1Y = F1 . sen θ

F1Y = 1,2 . 0,017

F1Y = 0,0204 N

F2 = 1,1 N θ = 120º

F2X = F2. cos θ

F2X = 1,1 . – 0,5

F2X = - 0,55 N

F2Y = F2 . sen θ

F2Y = 1,1 . 0,86

F2Y = 0,946 N

F 3 = 0,1 N θ = 181º

F3X = F3 . cos θ

F3X = 0,1 . – 0,99

F3X = - 0,099 N

F3 y = F3 . sen θ

F3 y = 0,1 . – 0,017

F3 y = - 1,7 . 10-3 N

4.4 Conclusão

Concluiu–se que é possível determinar o comportamento de um objeto

fazendo uso da resultante das forças que atuam sobre ele desconsiderando algumas

forças de resistência. Por meio do uso de operações algébricas com vetores, foi

possível verificar a eficácia das equações pré–estabelecidas para cálculo da

resultante de forças.

5. Bibliografia

Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Precis%C3%A3o> acesso em 22 de abril de 2015.

Disponível em:

<http://paquimetro.reguaonline.com/> acesso em 22 de abril de 2015.

Disponível em:

<http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php> acesso em 22 de abril de 2015.

Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/Micr%C3%B3metro_%28instrumento%29> acesso em 23 de abril de 2015.

Disponível em:

<http://www.ebah.com.br/content/ABAAABPpgAD/mesa-forcas> acesso em 23 de abril de 2015.

Apostila de física experimental 1 de curso de Engenharia Civil do ano de 2015.