Relatrio 1

Relatrio 5

Laboratrio de Fsica II

Momento de Inrcia de Um Disco e Um Anel

Membros:

Marco Antonio Martiniano ra:811491

Fernando C. N. C Chuery ra:811701

Leandro Teline ra:811483

Bruno Sousa ra:811653

Andr Mendes ra:

Rafael Barbosa ra:81175119 de setembro de 20081.Ttulo: Determinao do momento de inrcia de um disco e de um anel em relao ao eixo de rotao que passa pelo seu centro de massa.

2.Objetivo: Verificar experimentalmente a Lei da Conservao da Quantidade de Movimento em um sistema isolado.

3. Introduo: Momento de inrcia a resistncia oposta de um corpo em rotao a uma mudana em sua velocidade de giro. s vezes, recebe a denominao de inrcia rotacional. O momento de inrcia desempenha na rotao um papel equivalente ao da massa no movimento linear. Por exemplo, se uma catapulta lana uma pedra pequena e uma grande, aplicando a mesma fora a cada uma, a pedra pequena ter uma acelerao muito maior que a da grande. De modo similar, se aplicado um mesmo par de foras a uma roda com um momento de inrcia pequeno e a uma outra com um momento de inrcia grande, a velocidade de giro da primeira roda aumentar muito mais rapidamente que a da segunda.

O momento de inrcia de um objeto depende de sua massa e da distncia da massa ao seu eixo de rotao. Por exemplo, um volante de 1 kg com a maior parte de sua massa perto do eixo ter um momento de inrcia menor que outro volante de 1 kg com a maior parte da massa prxima borda.

Simbolicamente, o momento de inrcia de uma partcula dado por:

(1)

Onde o momento de inrcia, M a massa do corpo e R a distncia do corpo ao eixo de rotao.

Outro conceito importante que utilizado neste experimento o de momento de fora ou torque, que a medida do efeito de rotao causado por uma fora. Ela igual grandeza da fora multiplicada pela distncia ao eixo de rotao, medida perpendicularmente direo da fora. Assim, temos que:

(2)

Onde o torque, Ft a componente da fora tangencial rotao, e r a distncia perpendicular direo da fora.

Assim como no movimento retilneo, onde a fora relacionada com a acelerao atravs da Segunda Lei de Newton, o torque e a acelerao angular tambm possuem uma relao, chamada de Segunda Lei de Newton para o Movimento Angular, dada por:

(3)

Onde o torque, I o momento de inrcia do corpo e a acelerao angular do corpo.

Neste experimento queremos verificar experimentalmente o momento de inrcia de um determinado disco com massa M e de um anel de massa M. Para isso, utilizaremos um sistema rotacional com polias, como demonstrado na figura abaixo:

Figura I Sistema Rotacional (vista frontal)

Figura II - Sistema Rotacional (vista perspectiva)

O porta-massas cai com uma acelerao a constante, atingindo o anteparo em um tempo t percorrendo uma altura Y. Assim, podemos calcular o valor da acelerao de acordo com a expresso do movimento uniformemente variado:

(4)

No corpo pendurado, podemos fazer um diagrama de corpo livre, demonstrado na figura a seguir:

Figura III Diagrama de Corpo Livre

Assim, aplicando a segunda lei de Newton da translao para massa pendurada, temos:

(5)

Onde T a trao no fio, m a massa suspensa, g o valor da acelerao da gravidade e a a acelerao do corpo.

Agora, fazendo uso das equaes de torque das foras de trao e de acelerao angular, (2), (3), (5), obtemos uma frmula para o clculo da trao no fio:

(6)

Onde o momento de inrcia do conjunto (partcula + sistema de rotao) e o torque da fora de atrito.

Substituindo (5) em (6) e fazendo as adaptaes e substituies necessrias, chegamos a um valor constante C, que vale:

(7)

(Para tal consideramos como sendo constante, em razo de a velocidade angular do conjunto ser pequena). Desta podemos obter como produto final uma relao entre a massa e a acelerao linear:

(8)

Conclumos ento que a equao (8) se apresenta de maneira semelhante s equaes de reta (). Relacionamos as variveis da seguinte maneira:

=massa de trao utilizada para mover o conjunto

= coeficiente linear da reta (9)

= coeficiente angular da reta (10)

= acelerao linear da massa de trao

Para este experimento, utilizaremos tambm as seguintes expresses:

Valor mdio:

(11)onde: Xi corresponde a i-sima medida realizada e N o nmero total de medidas.

Coeficiente angular da reta:

(12)

Utilizaremos tambm a relao raio-dimetro:

(13)

onde r raio e d o dimetro.

Para o objetivo do experimento, temos:

(14)

Onde o momento de inrcia da partcula, o momento de inrcia do sistema rotacional + partcula e o momento de inrcia do sistema rotacional.4.Materiais Utilizados: um sistema rotacional com plataforma e escala milimetrada, um disco de liga metlica prprio para se adaptar ao suporte, um anel de liga metlica prprio para adaptar-se ao disco, polias, porta-massas, massas de 10 e 20g, anteparo, haste, grampos, trena, paqumetro, cronmetro e balana.5. Procedimento: Inicialmente, determinamos a massa M do disco, obtendo M=1403,92g e a massa M do anel obtendo M=1403,36g. Fixamos este disco na plataforma rotacional, coincidindo os eixos do disco e da plataforma e adotamos o raio do disco como R. Amarramos e enrolamos parte do fio no porta-massas. Ajustamos a mediada do fio, da polia at o anteparo de modo que, quando o porta-massas atingir o anteparo, no exista mais a trao atuando na polia de raio r. Medimos com um paqumetro o dimetro da polia intermediria do conjunto de polias da base do sistema rotacional, obtendo um dimetro de 2,5cm. Assim, usando a relao (13), obtemos o raio da polia r =1,25cm. Regulamos a altura do anteparo de forma que a altura de queda, Y seja aproximadamente igual a 50 cm. Enrolamos a extremidade livre do fio na polia da base do sistema rotacional, at que o porta-massas atinja a altura do anteparo escolhida anteriormente. Colocamos a massa de 10g no porta massas e soltamos o sistema, ao mesmo tempo em que disparamos o cronmetro. Quando o porta-massas atinge o anteparo, paramos o cronmetro e anotamos este tempo como t. A massa do conjunto (porta-massas+disco) chamada de m, e do outro conjunto (porta-massas+disco+anel) de m. Fizemos assim 5 quedas do porta-massas, obtendo 5 tempos. A seguir acrescentamos mais uma massa de 10g e repetimos o experimento, obtendo mais 5 tempos. Aps isto, repetimos mais 2 vezes o experimento acrescentando a cada vez uma massa de 10g ao porta-massas, obtendo assim, mais 10 tempos, depois foram realizadas mais 20 tomadas de tempo com o anel anexo ao conjunto.

6. Dados e Resultados:A massa do disco obtida pela balana de M=1403,92g e a massa do anel de M=1403,36g. O dimetro da polia intermediria do conjunto de polias da base do sistema rotacional obtida atravs do paqumetro de 2,5cm. Assim, usando a relao (13) encontramos o raio da polia r=1,25cm.As medidas do tempo t, esto representadas na tabela 1 como t1, t2, t3, t4, t5, onde estes representam as medidas do tempo, obtidas na 1, 2, 3, 4 e 5 queda do porta-massas, respectivamente. Temos ainda o tempo mdio , mdia dos tempos t obtido a partir da expresso (11). Com o tempo mdio e Y, obtemos a partir da equao (4) a acelerao do sistema a, para cada massa m.

Tabela 1 Dados de m, t1, t2, t3, t4, t e a.( Conjunto + disco)

t1(s)t2 (s)t3 (s)t4 (s) t(s)t(s)a (cm/s)

m1(17,8)g19,9518,5119,1418,8719,1119,462,62

m2(27,8)g14,3914,9214,9014,9414,9214,8143,38

m3(37,8g)12,6512,2812,5212,3512,3612,4344,02

m4(47,8)g10,9910,8410,7310,8111,1010,8944,59

As medidas do tempo esto representadas na tabela 2 como

EMBED Equation.3

,onde estes representam as medidas do tempo, obtidas na 1, 2, 3, 4 e 5 queda do porta-massas, respectivamente. Temos ainda o tempo mdio t , mdia dos tempos t obtido a partir da expresso (11). Com o tempo mdio e Y, obtivemos, a partir da equao (4) a acelerao do sistema , para cada massa m.

Tabela 2 - Dados de m, como

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , e .( Conjunto + disco+ anel)

ta(cm/s)

m1(17,8)g24,5324,4125,1624,5225,1424,7522,02

m2(27,8)g18,9819,1418,5019,1218,5618,862,65

m3(37,8)g15,4815,8415,0615,7815,7715,5863,21

m4(47,8)g13,5714,0613,8113,7113,0213,7943,62

As medidas do tempo esto representadas na tabela 2 como t t t t t t e aonde estes representam as medidas do tempo, obtidas na 1, 2, 3, 4 e 5 queda do porta-massas, respectivamente. Temos ainda o tempo mdio t, mdia dos tempos tobtido a partir da expresso (11). Com o tempo mdio e Y, obtivemos, a partir da equao (4) a acelerao do sistema a, para cada massa m.

Tabela 3 Dados de m, como t t t t t t e a( Conjunto) t1(s)t2 (s)t3 (s)t4 (s) t(s)t(s)a(cm/s)

mm1(17,8)g8,478,307,417,357,357,7766,43

m2(27,8)g1,331,351,391,321,521,38236,12

m3(37,8)g1,061,331,091,261,151,43446,49

m4(47,8)g1,021,040,930,910,940,96851,65

Usando os dados da massa m e da acelerao a, fizemos o grfico 1 mxa. Assim, pegando 2 pontos deste grfico, P=(4,4;33) e Q=(1,8;14), e usando a expresso (12) obtemos o coeficiente angular A=73. Com o valor do coeficiente angular A, obtemos, a partir da expresso (10), o valor da constante C= 7010,92. Agora, fazendo a=0, obtemos, pelo grfico, o valor de B=0,8. Assim, usando a expresso (9) obtemos o valor de =371105g.cm2.

Usando os dados da massa m e da acelerao , fizemos o grfico 2 . Assim, pegando 2 pontos deste grfico, =(1,2;13)e =(2;21), e usando a expresso (12) obtemos o coeficiente angular A=10. Com o valor do coeficiente angular A, obtemosa partir da expresso (10), o valor da constante C= 4261,84 Agora, fazendo =0, obtemos, pelo grfico, o valor de =1,4. Assim, usando a expresso (9) obtemos o valor de =40512,57 g.cm2.

Usando os dados da massa m e da acelerao a, fizemos o grfico 3 mxa. Assim, pegando 2 pontos deste grfico, P=(44;9)e Q=(24;5,7), e usando a expresso (12) obtemos o coeficiente angular A=0,17. Com o valor do coeficiente angular A, obtemos, a partir da expresso (10), o valor da constante C=16,3. Agora, fazendo a=0, obtemos, pelo grfico, o valor de B=1,5. Assim, usando a expresso (9) obtemos o valor de =0,625g.cm2.

7.Concluso:. Deste modo, obtivemos um erro do valor terico para o experimental de 0,9% para o momento de inrcia do disco, para o anel foi obtido um erro da margem de 16,4% para o momento de inrcia do anel. Uma provvel fonte de erro no respectivo experimento seria o fato de que a tomada de tempo fora obtida por diferentes integrantes da bancada, possibilitando assim uma disperso na mdia das tomadas de tempo visto que cada indivduo possui seu tempo de reao ao medir o tempo de queda do suporte.8.Bibliografia:

D. F. de Melo, Notas de Aula de Fsica I.

HALLIDAY, D.: RESNICK, R.: WALKER J. Fundamentos de Fsica. V.1. ed.6. Rio de Janeiro: LTChtpp://futebol.incubadora.fapesp.br

htpp://pt.wikipedia.org

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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