reforÇo de matemÁtica - fundamental

7/28/2019 REFORÇO DE MATEMÁTICA - FUNDAMENTAL

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Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.Chamamos:

de fração;a de numerador;b de denominador.

Se a é múltiplo de b , então é um número natural.Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um númeronatural e 8 é múltiplo de 2.Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos eusados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiamser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de númerofracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece.

Neste caso, qual é o significado de ?Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentreessas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, sedividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e aparte branca é a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos



um terçoquatro

sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimoum

centésimo

um oitavo um milésimo

um nonooito

milésimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentesPara encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e odenominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .



Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a

fração é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível .

A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Números fracionários Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentençaabaixo verdadeira?

5 . X = 1 Substituindo X, temos:X por 0 temos: 5.0 = 0X por 1 temos: 5.1 = 5.Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos oproduto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim,surgem os números fracionários.Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela

representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos:1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores econservar o denominador .

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair osnumeradores e conservar o denominador .Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores

das frações. Exemplo: somar as frações .

http://www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php






Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depoissomamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ouseja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nosexemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração peloinverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinadoexpoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente,conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário,estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme oexemplo abaixo:



Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras quepermitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras sãochamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6,ou 8, ou seja, quando ele é par.Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.


Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus

algarismos for divisível por 3.Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, ecomo 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o númeroformado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.

4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos:1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.




Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).

4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o númeroformado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seusalgarismos for divisível por 9.Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, ecomo 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valoresabsolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o dascentenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.Exemplos: 1) 87549Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11Si-Sp = 22-11 = 11Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.2) 439087Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21

Si-Sp = 10-21Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de



11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada:10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.


Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimosalgarismos, 20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50ou 75.Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisoresdiferentes: o 1 e ele mesmo.Exemplos:1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é elemesmo.=> 2 é o único número primo que é par.Os números que têm mais de dois divisores são chamados númeroscompostos.Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números

primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,



=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente dezero. Neste caso o número é primo.Exemplos: 1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto

não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o

divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o

divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3),portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto dedois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatoresprimos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um númeronatural, maior

que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, noexemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seumenor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quocienteobtido pelo menor divisor primo dessequociente e assim sucessivamenteaté obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração donúmero 630.



Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seusfatores primos.Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número emfatores primos;2º) traçamos uma linha eescrevemos o 1 no alto, porque ele édivisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamentecada fator primo pelos divisores jáobtidos e escrevemos essesprodutos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos nãoprecisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: osdivisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Entãochamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamosm.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado demáximo divisor comum desses números. Usamos a

abreviação m.d.c. Alguns exemplos:mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4



mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar adecomposição desses números em fatores primos.1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é oproduto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor

expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕESSUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O

divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor;48 / 30 = 1 (com resto 18)2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é oresto da divisão anterior, e assim sucessivamente;30 / 18 = 1 (com resto 12)18 / 12 = 1 (com resto 6)12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando omáximo

divisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.



Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Nestecaso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos

os outros, entãoele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero,então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelosnúmeros naturais.Exemplo: os múltiplos de 7 são:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:1) Um número tem infinitos múltiplos2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente dezero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.

Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:



12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é oproduto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números

ao mesmo tempo, num dispositivo como mostraa figura ao lado. O produto dos fatores primosque obtemos nessa decomposição é o m.m.c.desses números. Ao lado vemos o cálculo dom.m.c.(15,24,60)Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 =120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste

caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo detodos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) éigual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é oproduto desses números.



Equações de primeiro grau (com uma variável)

Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação deigualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer

"igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 83a - b - c = 0Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneirasimples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdadedenomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax =b, sendo a e b números racionais, com adiferente de zero.



Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo daequação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade,podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores quevariável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornamverdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar comoconjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e podeser indicado por S.

Raízes de uma equação Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes daequação.Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer àseguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número

considerado é raiz da equação.Exemplos:Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equaçõesabaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equação 2 x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.



Para x = -1 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F) A equação 2 x - 5 = 1 não possui raiz em U , logo V = Ø.

Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações deoperações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simplese que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjuntoverdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seuconjunto verdade, dentro do conjunto universo

considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).Exemplos:

Sendo , resolva a equação.

MMC (4, 6) = 12

-9 x = 10 => Multiplicador por (-1)

9 x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação2 . ( x - 2) - 3 . (1 - x ) = 2 . ( x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2 x - 4 - 3 + 3 x = 2 x - 8

2 x + 3 x -2 x = - 8 + 4 + 3

3 x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6 x - 4) = 3 . (4 x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:2 . 6 x - 2 . 4 = 3 . 4 x - 3 . 1



12 x - 8 = 12 x - 312 x - 12 x = - 3 + 8

0 . x = 5Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que aequação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3 x - 8 = 2 - 3 x .

Observe a sua resolução:-3 x + 3 x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que aequação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadasidentidades.

Pares ordenados Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois númerosracionais, numa certa ordem.Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:Indicamos por ( x , y ) o par ordenado formado peloselementos x e y , onde x é o 1º elemento e y é o 2ºelemento.

Observações 1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer,

temos: . Exemplos

2. Dois pares ordenados ( x , y ) e (r , s) são iguais somente se x = r e y = s.Representação gráfica de um Par Ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2ºnúmero desse par. Assim:



Plano Cartesiano

Representamos um par ordenadoem um plano cartesiano.Esse plano é formado por duasretas, x e y, perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo dasabscissas (eixo x ). A reta vertical é o eixo dasordenadas (eixo y ).O ponto comum dessas duas retas édenominadoorigem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo dasabscissas.

O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das

ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y , por esses pontos,

determinamos o ponto procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).

Produto Cartesiano



Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B ={3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas aolado formaremos o conjunto de todosos pares ordenados em que o 1º

elemento pertença ao conjunto A e o2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B , e é indicadopor:

Logo:Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x

B o conjunto de todos os pares ordenados ( x , y ) onde

Equações de primeiro grau (com duas variáveis)

Considere a equação: 2 x - 6 = 5 - 3y Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y , pode ser transformadanuma equação equivalente mais simples. Assim:

2 x + 3y = 5 + 62 x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y , a todaequação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c , sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c , denominamos:

x + y - variáveis ouincógnita

a - coeficiente de x

b - coeficiente de y c - termo independente

Exemplos:

x + y = 302 x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3 x - 7y = -482 x - 3y = 0 x - y = 8

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?Observe os pares abaixo: x = 6, y = 1

x - 2y = 46 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4 (V) x = 8, y = 2



x - 2y = 48 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 44 = 4 (V)

x = -2, y = -3

x - 2y = 4-2 - 2 . (-3) = 4

-2 + 6 = 44 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessaequação.Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos

( x , y ) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma

das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: Determine uma solução para a equação 3 x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y . Assim:

3 x - y = 83 . (1) - y = 83 - y = 8-y = 5 ==> Multiplicamos por -1 y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.V = {(1, -5)}Resumindo:

Um par ordenado (r , s) é solução de uma equação ax +by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitassoluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado ( x, y ).Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-losgraficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une,o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.1º par: A (4, 0)2º par: B (0, 4) A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.



x y

4 0

0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r , que contém todos

os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.Sistemas de Equações Considere o seguinte problema:Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos.

Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos certo) 2 x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) Essas equações contém um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamadosolução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis

possui uma única solução.Resolução de Sistemas



A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste emdeterminar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essasequações.Estudaremos a seguir alguns métodos:Método de substituição

Solução determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y ) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 38 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1 5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y , em qualquer das equações,determinando x .

x + 1 = 4 x = 4 - 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelométodo da adição.Resolva o sistema abaixo:

Solução Adicionamos membros a membros as equações:



2 x = 16

x = 8 Substituímos o valor encontrado de x , em qualquer das equações,

determinado y :8 + y = 10y = 10 - 8y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)V = {(8, 2)}

Inequações de primeiro grau

Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemáticaaberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa dasseguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis

Método prático Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e

verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qualpertence o ponto auxiliar.Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano opostoaquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

Representamos graficamente a inequação



Tabela

x y ( x , y )

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequaçãoVerificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação) A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o pontoauxiliar (0, 0).

Inequações de primeiro grau Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos: traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos.

Exemplos:

Dê a resolução gráfica do sistema:Solução Traçando as retas - x + y = 4 e 3 x + 2y = 6.

Tabela

x y ( x ,y )

0 4(0,4)

-4 0(-4,0)

Tabela

x y ( x , y )

0 3 (0, 3)

1 3/2 (1,3/2)

Gráfico



Radiciação Potenciação de Radicais Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar oradicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índicee dividimos os radicais: Exemplos:

: =



Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depoisefetue a operação. Exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por ,

obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de umfração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía umou mais radicais em seu denominador.Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termosdesta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante,de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário emum radical.

De modo geral, definimos:



, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas paraos expoentes inteiros.Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais,temos que:

Exemplo:

Razões - Introdução Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir ocomprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do

carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-serazão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro dokart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferentede zero)

o quociente ou a:b.



A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemploanterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão.Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo,desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Termos de uma razão Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b édenominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5 .



Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delasé igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente daoutra, e vice-versa.

Observações:1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente daseguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razãopor um mesmo número racional (diferente de zero),

obtemos uma razão equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o



quociente entre os números que expressam as medidas dessasgrandezas numa mesma unidade.

Exemplos:1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possuiuma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre

as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei ebasquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a debasquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

Razões entre grandezas de espécies diferentes O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espéciesdiferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessasgrandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que

relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastosnesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e

o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média11,5 km.2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razãoentre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razãoentre o número de habitantes e a área desse estado. O que significaessa razão?Solução:

Razão =



Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46habitantes.4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a

razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essarazão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções - Introdução Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, eseu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que

a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duasrazões.

Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemosque eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual àrazão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d ")Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.



Exemplo:

Dada a proporção , temos:Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120

Produto dos extremos = 3.40 =120

Produto dos meios = 9.20 = 180Produto dos extremos = 4.45 =180

Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 =360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produtodos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 120

x = 24



Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção.Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56 Logo, o valor de x é 56.Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos deágua salgada são necessários?

Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos aproporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental)



1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c , não-nulos, denomina-se quartaproporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominadaproporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meiosiguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceiraproporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Solução Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:



(aplicando a propriedade fundamental)20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5.Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado médiageométrica ou média proporcional entre a e c . Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.Solução:

5 . 20 = b . b100 = b2 b2 = 100

b =b = 10 Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções 1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o2º (ou 1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstr ação Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:



Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. Logo, x=36 e y=48 .2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos estápara o 2º (ou 1º) termo,

assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).Demonstr ação Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18 , determine x e y na proporção .

Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.Logo, x=30 e y=12.3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a somados consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.



Demonstr ação Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para adiferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.


Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto



dos consequentes,assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado

do seu consequente.


Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número derazões. Exemplo:

Proporção múltipla Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade,podemos escrever:

Algarismos Romanos A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas,as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados

principalmente:



Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...

Regras A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aosseguintes valores:

Letras Valores

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.

Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor destase soma ao valor da anterior.Exemplos:VI = 6XXI = 21LXVII = 67 A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X",precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", dianteda "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.Exemplos:IV = 4

IX = 9XL = 40XC = 90CD = 400CM = 900Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezesseguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezesseguidas.Exemplos:XIII = 13XIV = 14

XXXIII = 33XXXIV = 34



A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C","M") representam seu valor duplicado.Exemplos:X = 10C = 100

M = 1.000Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá aletra seguinte a ela.Exemplos:XIX = 19LIV = 54CXXIX = 129O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barrashorizontais em cima dos mesmos.Exemplos:

Tabela de números romanos

Números de 1 até 1449

Números de 1450 a 2100

Números maiores que 2100

Tabela de números romanos (de 1 até 1449)1 = I2 = II3 = III4 = IV5 = V6 = VI7 = VII8 = VIII9 = IX10 = X11 = XI12 = XII13 = XIII14 = XIV15 = XV16 = XVI17 = XVII18 = XVIII

19 = XIX20 = XX

484 = CDLXXXIV485 = CDLXXXV486 = CDLXXXVI487 = CDLXXXVII488 = CDLXXXVIII489 = CDLXXXIX490 = CDXC491 = CDXCI492 = CDXCII493 = CDXCIII494 = CDXCIV495 = CDXCV496 = CDXCVI497 = CDXCVII498 = CDXCVIII499 = CDXCIX500 = D501 = DI

502 = DII503 = DIII

967 = CMLXVII968 = CMLXVIII969 = CMLXIX970 = CMLXX971 = CMLXXI972 = CMLXXII973 = CMLXXIII974 = CMLXXIV975 = CMLXXV976 = CMLXXVI977 = CMLXXVII978 = CMLXXVIII979 = CMLXXIX980 = CMLXXX981 = CMLXXXI982 = CMLXXXII983 = CMLXXXIII984 = CMLXXXIV

985 = CMLXXXV986 = CMLXXXVI

http://www.somatematica.com.br/tabela1.php











21 = XXI22 = XXII23 = XXIII24 = XXIV25 = XXV

26 = XXVI27 = XXVII28 = XXVIII29 = XXIX30 = XXX31 = XXXI32 = XXXII33 = XXXIII34 = XXXIV35 = XXXV36 = XXXVI

37 = XXXVII38 = XXXVIII39 = XXXIX40 = XL41 = XLI42 = XLII43 = XLIII44 = XLIV45 = XLV46 = XLVI47 = XLVII48 = XLVIII49 = XLIX50 = L51 = LI52 = LII53 = LIII54 = LIV55 = LV56 = LVI57 = LVII

58 = LVIII59 = LIX60 = LX61 = LXI62 = LXII63 = LXIII64 = LXIV65 = LXV66 = LXVI67 = LXVII68 = LXVIII

69 = LXIX70 = LXX

504 = DIV505 = DV506 = DVI507 = DVII508 = DVIII

509 = DIX510 = DX511 = DXI512 = DXII513 = DXIII514 = DXIV515 = DXV516 = DXVI517 = DXVII518 = DXVIII519 = DXIX

520 = DXX521 = DXXI522 = DXXII523 = DXXIII524 = DXXIV525 = DXXV526 = DXXVI527 = DXXVII528 = DXXVIII529 = DXXIX530 = DXXX531 = DXXXI532 = DXXXII533 = DXXXIII534 = DXXXIV535 = DXXXV536 = DXXXVI537 = DXXXVII538 = DXXXVIII539 = DXXXIX540 = DXL

541 = DXLI542 = DXLII543 = DXLIII544 = DXLIV545 = DXLV546 = DXLVI547 = DXLVII548 = DXLVIII549 = DXLIX550 = DL551 = DLI

552 = DLII553 = DLIII

987 = CMLXXXVII988 = CMLXXXVIII989 = CMLXXXIX990 = CMXC991 = CMXCI

992 = CMXCII993 = CMXCIII994 = CMXCIV995 = CMXCV996 = CMXCVI997 = CMXCVII998 = CMXCVIII999 = CMXCIX1000 = M1001 = MI1002 = MII

1003 = MIII1004 = MIV1005 = MV1006 = MVI1007 = MVII1008 = MVIII1009 = MIX1010 = MX1011 = MXI1012 = MXII1013 = MXIII1014 = MXIV1015 = MXV1016 = MXVI1017 = MXVII1018 = MXVIII1019 = MXIX1020 = MXX1021 = MXXI1022 = MXXII1023 = MXXIII

1024 = MXXIV1025 = MXXV1026 = MXXVI1027 = MXXVII1028 = MXXVIII1029 = MXXIX1030 = MXXX1031 = MXXXI1032 = MXXXII1033 = MXXXIII1034 = MXXXIV

1035 = MXXXV1036 = MXXXVI



71 = LXXI72 = LXXII73 = LXXIII74 = LXXIV75 = LXXV

76 = LXXVI77 = LXXVII78 = LXXVIII79 = LXXIX80 = LXXX81 = LXXXI82 = LXXXII83 = LXXXIII84 = LXXXIV85 = LXXXV86 = LXXXVI

87 = LXXXVII88 = LXXXVIII89 = LXXXIX90 = XC91 = XCI92 = XCII93 = XCIII94 = XCIV95 = XCV96 = XCVI97 = XCVII98 = XCVIII99 = XCIX100 = C101 = CI102 = CII103 = CIII104 = CIV105 = CV106 = CVI107 = CVII

108 = CVIII109 = CIX110 = CX111 = CXI112 = CXII113 = CXIII114 = CXIV115 = CXV116 = CXVI117 = CXVII118 = CXVIII

119 = CXIX120 = CXX

554 = DLIV555 = DLV556 = DLVI557 = DLVII558 = DLVIII

559 = DLIX560 = DLX561 = DLXI562 = DLXII563 = DLXIII564 = DLXIV565 = DLXV566 = DLXVI567 = DLXVII568 = DLXVIII569 = DLXIX

570 = DLXX571 = DLXXI572 = DLXXII573 = DLXXIII574 = DLXXIV575 = DLXXV576 = DLXXVI577 = DLXXVII578 = DLXXVIII579 = DLXXIX580 = DLXXX581 = DLXXXI582 = DLXXXII583 = DLXXXIII584 = DLXXXIV585 = DLXXXV586 = DLXXXVI587 = DLXXXVII588 = DLXXXVIII589 = DLXXXIX590 = DXC

591 = DXCI592 = DXCII593 = DXCIII594 = DXCIV595 = DXCV596 = DXCVI597 = DXCVII598 = DXCVIII599 = DXCIX600 = DC601 = DCI

602 = DCII603 = DCIII

1037 = MXXXVII1038 = MXXXVIII1039 = MXXXIX1040 = MXL1041 = MXLI

1042 = MXLII1043 = MXLIII1044 = MXLIV1045 = MXLV1046 = MXLVI1047 = MXLVII1048 = MXLVIII1049 = MXLIX1050 = ML1051 = MLI1052 = MLII

1053 = MLIII1054 = MLIV1055 = MLV1056 = MLVI1057 = MLVII1058 = MLVIII1059 = MLIX1060 = MLX1061 = MLXI1062 = MLXII1063 = MLXIII1064 = MLXIV1065 = MLXV1066 = MLXVI1067 = MLXVII1068 = MLXVIII1069 = MLXIX1070 = MLXX1071 = MLXXI1072 = MLXXII1073 = MLXXIII

1074 = MLXXIV1075 = MLXXV1076 = MLXXVI1077 = MLXXVII1078 = MLXXVIII1079 = MLXXIX1080 = MLXXX1081 = MLXXXI1082 = MLXXXII1083 = MLXXXIII1084 = MLXXXIV

1085 = MLXXXV1086 = MLXXXVI



121 = CXXI122 = CXXII123 = CXXIII124 = CXXIV125 = CXXV

126 = CXXVI127 = CXXVII128 = CXXVIII129 = CXXIX130 = CXXX131 = CXXXI132 = CXXXII133 = CXXXIII134 = CXXXIV135 = CXXXV136 = CXXXVI

137 = CXXXVII138 = CXXXVIII139 = CXXXIX140 = CXL141 = CXLI142 = CXLII143 = CXLIII144 = CXLIV145 = CXLV146 = CXLVI147 = CXLVII148 = CXLVIII149 = CXLIX150 = CL151 = CLI152 = CLII153 = CLIII154 = CLIV155 = CLV156 = CLVI157 = CLVII

158 = CLVIII159 = CLIX160 = CLX161 = CLXI162 = CLXII163 = CLXIII164 = CLXIV165 = CLXV166 = CLXVI167 = CLXVII168 = CLXVIII

169 = CLXIX170 = CLXX

604 = DCIV605 = DCV606 = DCVI607 = DCVII608 = DCVIII

609 = DCIX610 = DCX611 = DCXI612 = DCXII613 = DCXIII614 = DCXIV615 = DCXV616 = DCXVI617 = DCXVII618 = DCXVIII619 = DCXIX

620 = DCXX621 = DCXXI622 = DCXXII623 = DCXXIII624 = DCXXIV625 = DCXXV626 = DCXXVI627 = DCXXVII628 = DCXXVIII629 = DCXXIX630 = DCXXX631 = DCXXXI632 = DCXXXII633 = DCXXXIII634 = DCXXXIV635 = DCXXXV636 = DCXXXVI637 = DCXXXVII638 = DCXXXVIII639 = DCXXXIX640 = DCXL

641 = DCXLI642 = DCXLII643 = DCXLIII644 = DCXLIV645 = DCXLV646 = DCXLVI647 = DCXLVII648 = DCXLVIII649 = DCXLIX650 = DCL651 = DCLI

652 = DCLII653 = DCLIII

1087 = MLXXXVII1088 = MLXXXVIII1089 = MLXXXIX1090 = MXC1091 = MXCI

1092 = MXCII1093 = MXCIII1094 = MXCIV1095 = MXCV1096 = MXCVI1097 = MXCVII1098 = MXCVIII1099 = MXCIX1100 = MC1101 = MCI1102 = MCII

1103 = MCIII1104 = MCIV1105 = MCV1106 = MCVI1107 = MCVII1108 = MCVIII1109 = MCIX1110 = MCX1111 = MCXI1112 = MCXII1113 = MCXIII1114 = MCXIV1115 = MCXV1116 = MCXVI1117 = MCXVII1118 = MCXVIII1119 = MCXIX1120 = MCXX1121 = MCXXI1122 = MCXXII1123 = MCXXIII

1124 = MCXXIV1125 = MCXXV1126 = MCXXVI1127 = MCXXVII1128 = MCXXVIII1129 = MCXXIX1130 = MCXXX1131 = MCXXXI1132 = MCXXXII1133 = MCXXXIII1134 = MCXXXIV

1135 = MCXXXV1136 = MCXXXVI



171 = CLXXI172 = CLXXII173 = CLXXIII174 = CLXXIV175 = CLXXV

176 = CLXXVI177 = CLXXVII178 = CLXXVIII179 = CLXXIX180 = CLXXX181 = CLXXXI182 = CLXXXII183 = CLXXXIII184 = CLXXXIV185 = CLXXXV186 = CLXXXVI

187 = CLXXXVII188 = CLXXXVIII189 = CLXXXIX190 = CXC191 = CXCI192 = CXCII193 = CXCIII194 = CXCIV195 = CXCV196 = CXCVI197 = CXCVII198 = CXCVIII199 = CXCIX200 = CC201 = CCI202 = CCII203 = CCIII204 = CCIV205 = CCV206 = CCVI207 = CCVII

208 = CCVIII209 = CCIX210 = CCX211 = CCXI212 = CCXII213 = CCXIII214 = CCXIV215 = CCXV216 = CCXVI217 = CCXVII218 = CCXVIII

219 = CCXIX220 = CCXX

654 = DCLIV655 = DCLV656 = DCLVI657 = DCLVII658 = DCLVIII

659 = DCLIX660 = DCLX661 = DCLXI662 = DCLXII663 = DCLXIII664 = DCLXIV665 = DCLXV666 = DCLXVI667 = DCLXVII668 = DCLXVIII669 = DCLXIX

670 = DCLXX671 = DCLXXI672 = DCLXXII673 = DCLXXIII674 = DCLXXIV675 = DCLXXV676 = DCLXXVI677 = DCLXXVII678 = DCLXXVIII679 = DCLXXIX680 = DCLXXX681 = DCLXXXI682 = DCLXXXII683 = DCLXXXIII684 = DCLXXXIV685 = DCLXXXV686 = DCLXXXVI687 = DCLXXXVII688 = DCLXXXVIII689 = DCLXXXIX690 = DCXC

691 = DCXCI692 = DCXCII693 = DCXCIII694 = DCXCIV695 = DCXCV696 = DCXCVI697 = DCXCVII698 = DCXCVIII699 = DCXCIX700 = DCC701 = DCCI

702 = DCCII703 = DCCIII

1137 = MCXXXVII1138 = MCXXXVIII1139 = MCXXXIX1140 = MCXL1141 = MCXLI

1142 = MCXLII1143 = MCXLIII1144 = MCXLIV1145 = MCXLV1146 = MCXLVI1147 = MCXLVII1148 = MCXLVIII1149 = MCXLIX1150 = MCL1151 = MCLI1152 = MCLII

1153 = MCLIII1154 = MCLIV1155 = MCLV1156 = MCLVI1157 = MCLVII1158 = MCLVIII1159 = MCLIX1160 = MCLX1161 = MCLXI1162 = MCLXII1163 = MCLXIII1164 = MCLXIV1165 = MCLXV1166 = MCLXVI1167 = MCLXVII1168 = MCLXVIII1169 = MCLXIX1170 = MCLXX1171 = MCLXXI1172 = MCLXXII1173 = MCLXXIII

1174 = MCLXXIV1175 = MCLXXV1176 = MCLXXVI1177 = MCLXXVII1178 = MCLXXVIII1179 = MCLXXIX1180 = MCLXXX1181 = MCLXXXI1182 = MCLXXXII1183 = MCLXXXIII1184 = MCLXXXIV

1185 = MCLXXXV1186 = MCLXXXVI



221 = CCXXI222 = CCXXII223 = CCXXIII224 = CCXXIV225 = CCXXV

226 = CCXXVI227 = CCXXVII228 = CCXXVIII229 = CCXXIX230 = CCXXX231 = CCXXXI232 = CCXXXII233 = CCXXXIII234 = CCXXXIV235 = CCXXXV236 = CCXXXVI

237 = CCXXXVII238 = CCXXXVIII239 = CCXXXIX240 = CCXL241 = CCXLI242 = CCXLII243 = CCXLIII244 = CCXLIV245 = CCXLV246 = CCXLVI247 = CCXLVII248 = CCXLVIII249 = CCXLIX250 = CCL251 = CCLI252 = CCLII253 = CCLIII254 = CCLIV255 = CCLV256 = CCLVI257 = CCLVII

258 = CCLVIII259 = CCLIX260 = CCLX261 = CCLXI262 = CCLXII263 = CCLXIII264 = CCLXIV265 = CCLXV266 = CCLXVI267 = CCLXVII268 = CCLXVIII

269 = CCLXIX270 = CCLXX

704 = DCCIV705 = DCCV706 = DCCVI707 = DCCVII708 = DCCVIII

709 = DCCIX710 = DCCX711 = DCCXI712 = DCCXII713 = DCCXIII714 = DCCXIV715 = DCCXV716 = DCCXVI717 = DCCXVII718 = DCCXVIII719 = DCCXIX

720 = DCCXX721 = DCCXXI722 = DCCXXII723 = DCCXXIII724 = DCCXXIV725 = DCCXXV726 = DCCXXVI727 = DCCXXVII728 = DCCXXVIII729 = DCCXXIX730 = DCCXXX731 = DCCXXXI732 = DCCXXXII733 = DCCXXXIII734 = DCCXXXIV735 = DCCXXXV736 = DCCXXXVI737 = DCCXXXVII738 = DCCXXXVIII739 = DCCXXXIX740 = DCCXL

741 = DCCXLI742 = DCCXLII743 = DCCXLIII744 = DCCXLIV745 = DCCXLV746 = DCCXLVI747 = DCCXLVII748 = DCCXLVIII749 = DCCXLIX750 = DCCL751 = DCCLI

752 = DCCLII753 = DCCLIII

1187 = MCLXXXVII1188 = MCLXXXVIII1189 = MCLXXXIX1190 = MCXC1191 = MCXCI

1192 = MCXCII1193 = MCXCIII1194 = MCXCIV1195 = MCXCV1196 = MCXCVI1197 = MCXCVII1198 = MCXCVIII1199 = MCXCIX1200 = MCC1201 = MCCI1202 = MCCII

1203 = MCCIII1204 = MCCIV1205 = MCCV1206 = MCCVI1207 = MCCVII1208 = MCCVIII1209 = MCCIX1210 = MCCX1211 = MCCXI1212 = MCCXII1213 = MCCXIII1214 = MCCXIV1215 = MCCXV1216 = MCCXVI1217 = MCCXVII1218 = MCCXVIII1219 = MCCXIX1220 = MCCXX1221 = MCCXXI1222 = MCCXXII1223 = MCCXXIII

1224 = MCCXXIV1225 = MCCXXV1226 = MCCXXVI1227 = MCCXXVII1228 = MCCXXVIII1229 = MCCXXIX1230 = MCCXXX1231 = MCCXXXI1232 = MCCXXXII1233 = MCCXXXIII1234 = MCCXXXIV

1235 = MCCXXXV1236 = MCCXXXVI



271 = CCLXXI272 = CCLXXII273 = CCLXXIII274 = CCLXXIV275 = CCLXXV

276 = CCLXXVI277 = CCLXXVII278 = CCLXXVIII279 = CCLXXIX280 = CCLXXX281 = CCLXXXI282 = CCLXXXII283 = CCLXXXIII284 = CCLXXXIV285 = CCLXXXV286 = CCLXXXVI

287 = CCLXXXVII288 = CCLXXXVIII289 = CCLXXXIX290 = CCXC291 = CCXCI292 = CCXCII293 = CCXCIII294 = CCXCIV295 = CCXCV296 = CCXCVI297 = CCXCVII298 = CCXCVIII299 = CCXCIX300 = CCC301 = CCCI302 = CCCII303 = CCCIII304 = CCCIV305 = CCCV306 = CCCVI307 = CCCVII

308 = CCCVIII309 = CCCIX310 = CCCX311 = CCCXI312 = CCCXII313 = CCCXIII314 = CCCXIV315 = CCCXV316 = CCCXVI317 = CCCXVII318 = CCCXVIII

319 = CCCXIX320 = CCCXX

754 = DCCLIV755 = DCCLV756 = DCCLVI757 = DCCLVII758 = DCCLVIII

759 = DCCLIX760 = DCCLX761 = DCCLXI762 = DCCLXII763 = DCCLXIII764 = DCCLXIV765 = DCCLXV766 = DCCLXVI767 = DCCLXVII768 = DCCLXVIII769 = DCCLXIX

770 = DCCLXX771 = DCCLXXI772 = DCCLXXII773 = DCCLXXIII774 = DCCLXXIV775 = DCCLXXV776 = DCCLXXVI777 = DCCLXXVII778 = DCCLXXVIII779 = DCCLXXIX780 = DCCLXXX781 = DCCLXXXI782 = DCCLXXXII783 = DCCLXXXIII784 = DCCLXXXIV785 = DCCLXXXV786 = DCCLXXXVI787 = DCCLXXXVII788 = DCCLXXXVIII789 = DCCLXXXIX790 = DCCXC

791 = DCCXCI792 = DCCXCII793 = DCCXCIII794 = DCCXCIV795 = DCCXCV796 = DCCXCVI797 = DCCXCVII798 = DCCXCVIII799 = DCCXCIX800 = DCCC801 = DCCCI

802 = DCCCII803 = DCCCIII

1237 = MCCXXXVII1238 = MCCXXXVIII1239 = MCCXXXIX1240 = MCCXL1241 = MCCXLI

1242 = MCCXLII1243 = MCCXLIII1244 = MCCXLIV1245 = MCCXLV1246 = MCCXLVI1247 = MCCXLVII1248 = MCCXLVIII1249 = MCCXLIX1250 = MCCL1251 = MCCLI1252 = MCCLII

1253 = MCCLIII1254 = MCCLIV1255 = MCCLV1256 = MCCLVI1257 = MCCLVII1258 = MCCLVIII1259 = MCCLIX1260 = MCCLX1261 = MCCLXI1262 = MCCLXII1263 = MCCLXIII1264 = MCCLXIV1265 = MCCLXV1266 = MCCLXVI1267 = MCCLXVII1268 = MCCLXVIII1269 = MCCLXIX1270 = MCCLXX1271 = MCCLXXI1272 = MCCLXXII1273 = MCCLXXIII

1274 = MCCLXXIV1275 = MCCLXXV1276 = MCCLXXVI1277 = MCCLXXVII1278 = MCCLXXVIII1279 = MCCLXXIX1280 = MCCLXXX1281 = MCCLXXXI1282 = MCCLXXXII1283 = MCCLXXXIII1284 = MCCLXXXIV

1285 = MCCLXXXV1286 = MCCLXXXVI



321 = CCCXXI322 = CCCXXII323 = CCCXXIII324 = CCCXXIV325 = CCCXXV

326 = CCCXXVI327 = CCCXXVII328 = CCCXXVIII329 = CCCXXIX330 = CCCXXX331 = CCCXXXI332 = CCCXXXII333 = CCCXXXIII334 = CCCXXXIV335 = CCCXXXV336 = CCCXXXVI

337 = CCCXXXVII338 = CCCXXXVIII339 = CCCXXXIX340 = CCCXL341 = CCCXLI342 = CCCXLII343 = CCCXLIII344 = CCCXLIV345 = CCCXLV346 = CCCXLVI347 = CCCXLVII348 = CCCXLVIII349 = CCCXLIX350 = CCCL351 = CCCLI352 = CCCLII353 = CCCLIII354 = CCCLIV355 = CCCLV356 = CCCLVI357 = CCCLVII

358 = CCCLVIII359 = CCCLIX360 = CCCLX361 = CCCLXI362 = CCCLXII363 = CCCLXIII364 = CCCLXIV365 = CCCLXV366 = CCCLXVI367 = CCCLXVII368 = CCCLXVIII

369 = CCCLXIX370 = CCCLXX

804 = DCCCIV805 = DCCCV806 = DCCCVI807 = DCCCVII808 = DCCCVIII

809 = DCCCIX810 = DCCCX811 = DCCCXI812 = DCCCXII813 = DCCCXIII814 = DCCCXIV815 = DCCCXV816 = DCCCXVI817 = DCCCXVII818 = DCCCXVIII819 = DCCCXIX

820 = DCCCXX821 = DCCCXXI822 = DCCCXXII823 = DCCCXXIII824 = DCCCXXIV825 = DCCCXXV826 = DCCCXXVI827 = DCCCXXVII828 = DCCCXXVIII829 = DCCCXXIX830 = DCCCXXX831 = DCCCXXXI832 = DCCCXXXII833 = DCCCXXXIII834 = DCCCXXXIV835 = DCCCXXXV836 = DCCCXXXVI837 = DCCCXXXVII838 = DCCCXXXVIII839 = DCCCXXXIX840 = DCCCXL

841 = DCCCXLI842 = DCCCXLII843 = DCCCXLIII844 = DCCCXLIV845 = DCCCXLV846 = DCCCXLVI847 = DCCCXLVII848 = DCCCXLVIII849 = DCCCXLIX850 = DCCCL851 = DCCCLI

852 = DCCCLII853 = DCCCLIII

1287 = MCCLXXXVII1288 = MCCLXXXVIII1289 = MCCLXXXIX1290 = MCCXC1291 = MCCXCI

1292 = MCCXCII1293 = MCCXCIII1294 = MCCXCIV1295 = MCCXCV1296 = MCCXCVI1297 = MCCXCVII1298 = MCCXCVIII1299 = MCCXCIX1300 = MCCC1301 = MCCCI1302 = MCCCII

1303 = MCCCIII1304 = MCCCIV1305 = MCCCV1306 = MCCCVI1307 = MCCCVII1308 = MCCCVIII1309 = MCCCIX1310 = MCCCX1311 = MCCCXI1312 = MCCCXII1313 = MCCCXIII1314 = MCCCXIV1315 = MCCCXV1316 = MCCCXVI1317 = MCCCXVII1318 = MCCCXVIII1319 = MCCCXIX1320 = MCCCXX1321 = MCCCXXI1322 = MCCCXXII1323 = MCCCXXIII

1324 = MCCCXXIV1325 = MCCCXXV1326 = MCCCXXVI1327 = MCCCXXVII1328 = MCCCXXVIII1329 = MCCCXXIX1330 = MCCCXXX1331 = MCCCXXXI1332 = MCCCXXXII1333 = MCCCXXXIII1334 = MCCCXXXIV

1335 = MCCCXXXV1336 = MCCCXXXVI



371 = CCCLXXI372 = CCCLXXII373 = CCCLXXIII374 = CCCLXXIV375 = CCCLXXV

376 = CCCLXXVI377 = CCCLXXVII378 = CCCLXXVIII379 = CCCLXXIX380 = CCCLXXX381 = CCCLXXXI382 = CCCLXXXII383 = CCCLXXXIII384 = CCCLXXXIV385 = CCCLXXXV386 = CCCLXXXVI

387 = CCCLXXXVII388 =CCCLXXXVIII389 = CCCLXXXIX390 = CCCXC391 = CCCXCI392 = CCCXCII393 = CCCXCIII394 = CCCXCIV395 = CCCXCV396 = CCCXCVI397 = CCCXCVII398 = CCCXCVIII399 = CCCXCIX400 = CD401 = CDI402 = CDII403 = CDIII404 = CDIV405 = CDV406 = CDVI

407 = CDVII408 = CDVIII409 = CDIX410 = CDX411 = CDXI412 = CDXII413 = CDXIII414 = CDXIV415 = CDXV416 = CDXVI417 = CDXVII

418 = CDXVIII419 = CDXIX

854 = DCCCLIV855 = DCCCLV856 = DCCCLVI857 = DCCCLVII858 = DCCCLVIII

859 = DCCCLIX860 = DCCCLX861 = DCCCLXI862 = DCCCLXII863 = DCCCLXIII864 = DCCCLXIV865 = DCCCLXV866 = DCCCLXVI867 = DCCCLXVII868 = DCCCLXVIII869 = DCCCLXIX

870 = DCCCLXX871 = DCCCLXXI872 = DCCCLXXII873 = DCCCLXXIII874 = DCCCLXXIV875 = DCCCLXXV876 = DCCCLXXVI877 = DCCCLXXVII878 = DCCCLXXVIII879 = DCCCLXXIX880 = DCCCLXXX881 = DCCCLXXXI882 = DCCCLXXXII883 = DCCCLXXXIII884 = DCCCLXXXIV885 = DCCCLXXXV886 = DCCCLXXXVI887 = DCCCLXXXVII888 = DCCCLXXXVIII889 = DCCCLXXXIX890 = DCCCXC

891 = DCCCXCI892 = DCCCXCII893 = DCCCXCIII894 = DCCCXCIV895 = DCCCXCV896 = DCCCXCVI897 = DCCCXCVII898 = DCCCXCVIII899 = DCCCXCIX900 = CM901 = CMI

902 = CMII903 = CMIII

1337 = MCCCXXXVII1338 = MCCCXXXVIII1339 = MCCCXXXIX1340 = MCCCXL1341 = MCCCXLI

1342 = MCCCXLII1343 = MCCCXLIII1344 = MCCCXLIV1345 = MCCCXLV1346 = MCCCXLVI1347 = MCCCXLVII1348 = MCCCXLVIII1349 = MCCCXLIX1350 = MCCCL1351 = MCCCLI1352 = MCCCLII

1353 = MCCCLIII1354 = MCCCLIV1355 = MCCCLV1356 = MCCCLVI1357 = MCCCLVII1358 = MCCCLVIII1359 = MCCCLIX1360 = MCCCLX1361 = MCCCLXI1362 = MCCCLXII1363 = MCCCLXIII1364 = MCCCLXIV1365 = MCCCLXV1366 = MCCCLXVI1367 = MCCCLXVII1368 = MCCCLXVIII1369 = MCCCLXIX1370 = MCCCLXX1371 = MCCCLXXI1372 = MCCCLXXII1373 = MCCCLXXIII

1374 = MCCCLXXIV1375 = MCCCLXXV1376 = MCCCLXXVI1377 = MCCCLXXVII1378 = MCCCLXXVIII1379 = MCCCLXXIX1380 = MCCCLXXX1381 = MCCCLXXXI1382 = MCCCLXXXII1383 = MCCCLXXXIII1384 = MCCCLXXXIV

1385 = MCCCLXXXV1386 = MCCCLXXXVI



420 = CDXX421 = CDXXI422 = CDXXII423 = CDXXIII424 = CDXXIV

425 = CDXXV426 = CDXXVI427 = CDXXVII428 = CDXXVIII429 = CDXXIX430 = CDXXX431 = CDXXXI432 = CDXXXII433 = CDXXXIII434 = CDXXXIV435 = CDXXXV

436 = CDXXXVI437 = CDXXXVII438 = CDXXXVIII439 = CDXXXIX440 = CDXL441 = CDXLI442 = CDXLII443 = CDXLIII444 = CDXLIV445 = CDXLV446 = CDXLVI447 = CDXLVII448 = CDXLVIII449 = CDXLIX450 = CDL451 = CDLI452 = CDLII453 = CDLIII454 = CDLIV455 = CDLV456 = CDLVI

457 = CDLVII458 = CDLVIII459 = CDLIX460 = CDLX461 = CDLXI462 = CDLXII463 = CDLXIII464 = CDLXIV465 = CDLXV466 = CDLXVI467 = CDLXVII

468 = CDLXVIII469 = CDLXIX

904 = CMIV905 = CMV906 = CMVI907 = CMVII908 = CMVIII

909 = CMIX910 = CMX911 = CMXI912 = CMXII913 = CMXIII914 = CMXIV915 = CMXV916 = CMXVI917 = CMXVII918 = CMXVIII919 = CMXIX

920 = CMXX921 = CMXXI922 = CMXXII923 = CMXXIII924 = CMXXIV925 = CMXXV926 = CMXXVI927 = CMXXVII928 = CMXXVIII929 = CMXXIX930 = CMXXX931 = CMXXXI932 = CMXXXII933 = CMXXXIII934 = CMXXXIV935 = CMXXXV936 = CMXXXVI937 = CMXXXVII938 = CMXXXVIII939 = CMXXXIX940 = CMXL

941 = CMXLI942 = CMXLII943 = CMXLIII944 = CMXLIV945 = CMXLV946 = CMXLVI947 = CMXLVII948 = CMXLVIII949 = CMXLIX950 = CML951 = CMLI

952 = CMLII953 = CMLIII

1387 = MCCCLXXXVII1388 = MCCCLXXXVIII1389 = MCCCLXXXIX1390 = MCCCXC1391 = MCCCXCI

1392 = MCCCXCII1393 = MCCCXCIII1394 = MCCCXCIV1395 = MCCCXCV1396 = MCCCXCVI1397 = MCCCXCVII1398 = MCCCXCVIII1399 = MCCCXCIX1400 = MCD1401 = MCDI1402 = MCDII

1403 = MCDIII1404 = MCDIV1405 = MCDV1406 = MCDVI1407 = MCDVII1408 = MCDVIII1409 = MCDIX1410 = MCDX1411 = MCDXI1412 = MCDXII1413 = MCDXIII1414 = MCDXIV1415 = MCDXV1416 = MCDXVI1417 = MCDXVII1418 = MCDXVIII1419 = MCDXIX1420 = MCDXX1421 = MCDXXI1422 = MCDXXII1423 = MCDXXIII

1424 = MCDXXIV1425 = MCDXXV1426 = MCDXXVI1427 = MCDXXVII1428 = MCDXXVIII1429 = MCDXXIX1430 = MCDXXX1431 = MCDXXXI1432 = MCDXXXII1433 = MCDXXXIII1434 = MCDXXXIV

1435 = MCDXXXV1436 = MCDXXXVI



470 = CDLXX471 = CDLXXI472 = CDLXXII473 = CDLXXIII474 = CDLXXIV

475 = CDLXXV476 = CDLXXVI477 = CDLXXVII478 = CDLXXVIII479 = CDLXXIX480 = CDLXXX481 = CDLXXXI482 = CDLXXXII483 = CDLXXXIII

954 = CMLIV955 = CMLV956 = CMLVI957 = CMLVII958 = CMLVIII

959 = CMLIX960 = CMLX961 = CMLXI962 = CMLXII963 = CMLXIII964 = CMLXIV965 = CMLXV966 = CMLXVI

1437 = MCDXXXVII1438 = MCDXXXVIII1439 = MCDXXXIX1440 = MCDXL1441 = MCDXLI

1442 = MCDXLII1443 = MCDXLIII1444 = MCDXLIV1445 = MCDXLV1446 = MCDXLVI1447 = MCDXLVII1448 = MCDXLVIII1449 = MCDXLIX

Tabela de números romanos (de 1450 até 2100)1450 = MCDL1451 = MCDLI1452 = MCDLII1453 = MCDLIII1454 = MCDLIV1455 = MCDLV1456 = MCDLVI1457 = MCDLVII1458 = MCDLVIII1459 = MCDLIX1460 = MCDLX1461 = MCDLXI1462 = MCDLXII1463 = MCDLXIII1464 = MCDLXIV1465 = MCDLXV1466 = MCDLXVI1467 = MCDLXVII1468 = MCDLXVIII1469 = MCDLXIX

1470 = MCDLXX1471 = MCDLXXI1472 = MCDLXXII1473 = MCDLXXIII1474 = MCDLXXIV1475 = MCDLXXV1476 = MCDLXXVI1477 = MCDLXXVII1478 = MCDLXXVIII1479 = MCDLXXIX1480 = MCDLXXX

1481 = MCDLXXXI1482 = MCDLXXXII

1668 = MDCLXVIII1669 = MDCLXIX1670 = MDCLXX1671 = MDCLXXI1672 = MDCLXXII1673 = MDCLXXIII1674 = MDCLXXIV1675 = MDCLXXV1676 = MDCLXXVI1677 = MDCLXXVII1678 = MDCLXXVIII1679 = MDCLXXIX1680 = MDCLXXX1681 = MDCLXXXI1682 = MDCLXXXII1683 = MDCLXXXIII1684 = MDCLXXXIV1685 = MDCLXXXV1686 = MDCLXXXVI1687 = MDCLXXXVII

1688 = MDCLXXXVIII1689 = MDCLXXXIX1690 = MDCXC1691 = MDCXCI1692 = MDCXCII1693 = MDCXCIII1694 = MDCXCIV1695 = MDCXCV1696 = MDCXCVI1697 = MDCXCVII1698 = MDCXCVIII

1699 = MDCXCIX1700 = MDCC

1886 = MDCCCLXXXVI1887 = MDCCCLXXXVII1888 = MDCCCLXXXVIII1889 = MDCCCLXXXIX1890 = MDCCCXC1891 = MDCCCXCI1892 = MDCCCXCII1893 = MDCCCXCIII1894 = MDCCCXCIV1895 = MDCCCXCV1896 = MDCCCXCVI1897 = MDCCCXCVII1898 = MDCCCXCVIII1899 = MDCCCXCIX1900 = MCM1901 = MCMI1902 = MCMII1903 = MCMIII1904 = MCMIV1905 = MCMV

1906 = MCMVI1907 = MCMVII1908 = MCMVIII1909 = MCMIX1910 = MCMX1911 = MCMXI1912 = MCMXII1913 = MCMXIII1914 = MCMXIV1915 = MCMXV1916 = MCMXVI

1917 = MCMXVII1918 = MCMXVIII



1483 = MCDLXXXIII1484 = MCDLXXXIV1485 = MCDLXXXV1486 = MCDLXXXVI1487 = MCDLXXXVII

1488 =MCDLXXXVIII1489 = MCDLXXXIX1490 = MCDXC1491 = MCDXCI1492 = MCDXCII1493 = MCDXCIII1494 = MCDXCIV1495 = MCDXCV1496 = MCDXCVI1497 = MCDXCVII

1498 = MCDXCVIII1499 = MCDXCIX1500 = MD1501 = MDI1502 = MDII1503 = MDIII1504 = MDIV1505 = MDV1506 = MDVI1507 = MDVII1508 = MDVIII1509 = MDIX1510 = MDX1511 = MDXI1512 = MDXII1513 = MDXIII1514 = MDXIV1515 = MDXV1516 = MDXVI1517 = MDXVII1518 = MDXVIII

1519 = MDXIX1520 = MDXX1521 = MDXXI1522 = MDXXII1523 = MDXXIII1524 = MDXXIV1525 = MDXXV1526 = MDXXVI1527 = MDXXVII1528 = MDXXVIII1529 = MDXXIX

1530 = MDXXX1531 = MDXXXI

1701 = MDCCI1702 = MDCCII1703 = MDCCIII1704 = MDCCIV1705 = MDCCV

1706 = MDCCVI1707 = MDCCVII1708 = MDCCVIII1709 = MDCCIX1710 = MDCCX1711 = MDCCXI1712 = MDCCXII1713 = MDCCXIII1714 = MDCCXIV1715 = MDCCXV1716 = MDCCXVI

1717 = MDCCXVII1718 = MDCCXVIII1719 = MDCCXIX1720 = MDCCXX1721 = MDCCXXI1722 = MDCCXXII1723 = MDCCXXIII1724 = MDCCXXIV1725 = MDCCXXV1726 = MDCCXXVI1727 = MDCCXXVII1728 = MDCCXXVIII1729 = MDCCXXIX1730 = MDCCXXX1731 = MDCCXXXI1732 = MDCCXXXII1733 = MDCCXXXIII1734 = MDCCXXXIV1735 = MDCCXXXV1736 = MDCCXXXVI1737 = MDCCXXXVII

1738 = MDCCXXXVIII1739 = MDCCXXXIX1740 = MDCCXL1741 = MDCCXLI1742 = MDCCXLII1743 = MDCCXLIII1744 = MDCCXLIV1745 = MDCCXLV1746 = MDCCXLVI1747 = MDCCXLVII1748 = MDCCXLVIII

1749 = MDCCXLIX1750 = MDCCL

1919 = MCMXIX1920 = MCMXX1921 = MCMXXI1922 = MCMXXII1923 = MCMXXIII

1924 = MCMXXIV1925 = MCMXXV1926 = MCMXXVI1927 = MCMXXVII1928 = MCMXXVIII1929 = MCMXXIX1930 = MCMXXX1931 = MCMXXXI1932 = MCMXXXII1933 = MCMXXXIII1934 = MCMXXXIV

1935 = MCMXXXV1936 = MCMXXXVI1937 = MCMXXXVII1938 = MCMXXXVIII1939 = MCMXXXIX1940 = MCMXL1941 = MCMXLI1942 = MCMXLII1943 = MCMXLIII1944 = MCMXLIV1945 = MCMXLV1946 = MCMXLVI1947 = MCMXLVII1948 = MCMXLVIII1949 = MCMXLIX1950 = MCML1951 = MCMLI1952 = MCMLII1953 = MCMLIII1954 = MCMLIV1955 = MCMLV

1956 = MCMLVI1957 = MCMLVII1958 = MCMLVIII1959 = MCMLIX1960 = MCMLX1961 = MCMLXI1962 = MCMLXII1963 = MCMLXIII1964 = MCMLXIV1965 = MCMLXV1966 = MCMLXVI

1967 = MCMLXVII1968 = MCMLXVIII



1532 = MDXXXII1533 = MDXXXIII1534 = MDXXXIV1535 = MDXXXV1536 = MDXXXVI

1537 = MDXXXVII1538 = MDXXXVIII1539 = MDXXXIX1540 = MDXL1541 = MDXLI1542 = MDXLII1543 = MDXLIII1544 = MDXLIV1545 = MDXLV1546 = MDXLVI1547 = MDXLVII

1548 = MDXLVIII1549 = MDXLIX1550 = MDL1551 = MDLI1552 = MDLII1553 = MDLIII1554 = MDLIV1555 = MDLV1556 = MDLVI1557 = MDLVII1558 = MDLVIII1559 = MDLIX1560 = MDLX1561 = MDLXI1562 = MDLXII1563 = MDLXIII1564 = MDLXIV1565 = MDLXV1566 = MDLXVI1567 = MDLXVII1568 = MDLXVIII

1569 = MDLXIX1570 = MDLXX1571 = MDLXXI1572 = MDLXXII1573 = MDLXXIII1574 = MDLXXIV1575 = MDLXXV1576 = MDLXXVI1577 = MDLXXVII1578 = MDLXXVIII1579 = MDLXXIX

1580 = MDLXXX1581 = MDLXXXI

1751 = MDCCLI1752 = MDCCLII1753 = MDCCLIII1754 = MDCCLIV1755 = MDCCLV

1756 = MDCCLVI1757 = MDCCLVII1758 = MDCCLVIII1759 = MDCCLIX1760 = MDCCLX1761 = MDCCLXI1762 = MDCCLXII1763 = MDCCLXIII1764 = MDCCLXIV1765 = MDCCLXV1766 = MDCCLXVI

1767 = MDCCLXVII1768 = MDCCLXVIII1769 = MDCCLXIX1770 = MDCCLXX1771 = MDCCLXXI1772 = MDCCLXXII1773 = MDCCLXXIII1774 = MDCCLXXIV1775 = MDCCLXXV1776 = MDCCLXXVI1777 = MDCCLXXVII1778 = MDCCLXXVIII1779 = MDCCLXXIX1780 = MDCCLXXX1781 = MDCCLXXXI1782 = MDCCLXXXII1783 = MDCCLXXXIII1784 = MDCCLXXXIV1785 = MDCCLXXXV1786 = MDCCLXXXVI1787 = MDCCLXXXVII

1788 = MDCCLXXXVIII1789 = MDCCLXXXIX1790 = MDCCXC1791 = MDCCXCI1792 = MDCCXCII1793 = MDCCXCIII1794 = MDCCXCIV1795 = MDCCXCV1796 = MDCCXCVI1797 = MDCCXCVII1798 = MDCCXCVIII

1799 = MDCCXCIX1800 = MDCCC

1969 = MCMLXIX1970 = MCMLXX1971 = MCMLXXI1972 = MCMLXXII1973 = MCMLXXIII

1974 = MCMLXXIV1975 = MCMLXXV1976 = MCMLXXVI1977 = MCMLXXVII1978 = MCMLXXVIII1979 = MCMLXXIX1980 = MCMLXXX1981 = MCMLXXXI1982 = MCMLXXXII1983 = MCMLXXXIII1984 = MCMLXXXIV

1985 = MCMLXXXV1986 = MCMLXXXVI1987 = MCMLXXXVII1988 = MCMLXXXVIII1989 = MCMLXXXIX1990 = MCMXC1991 = MCMXCI1992 = MCMXCII1993 = MCMXCIII1994 = MCMXCIV1995 = MCMXCV1996 = MCMXCVI1997 = MCMXCVII1998 = MCMXCVIII1999 = MCMXCIX2000 = MM2001 = MMI2002 = MMII2003 = MMIII2004 = MMIV2005 = MMV

2006 = MMVI2007 = MMVII2008 = MMVIII2009 = MMIX2010 = MMX2011 = MMXI2012 = MMXII2013 = MMXIII2014 = MMXIV2015 = MMXV2016 = MMXVI

2017 = MMXVII2018 = MMXVIII



1582 = MDLXXXII1583 = MDLXXXIII1584 = MDLXXXIV1585 = MDLXXXV1586 = MDLXXXVI

1587 = MDLXXXVII1588 = MDLXXXVIII1589 = MDLXXXIX1590 = MDXC1591 = MDXCI1592 = MDXCII1593 = MDXCIII1594 = MDXCIV1595 = MDXCV1596 = MDXCVI1597 = MDXCVII

1598 = MDXCVIII1599 = MDXCIX1600 = MDC1601 = MDCI1602 = MDCII1603 = MDCIII1604 = MDCIV1605 = MDCV1606 = MDCVI1607 = MDCVII1608 = MDCVIII1609 = MDCIX1610 = MDCX1611 = MDCXI1612 = MDCXII1613 = MDCXIII1614 = MDCXIV1615 = MDCXV1616 = MDCXVI1617 = MDCXVII1618 = MDCXVIII

1619 = MDCXIX1620 = MDCXX1621 = MDCXXI1622 = MDCXXII1623 = MDCXXIII1624 = MDCXXIV1625 = MDCXXV1626 = MDCXXVI1627 = MDCXXVII1628 = MDCXXVIII1629 = MDCXXIX

1630 = MDCXXX1631 = MDCXXXI

1801 = MDCCCI1802 = MDCCCII1803 = MDCCCIII1804 = MDCCCIV1805 = MDCCCV

1806 = MDCCCVI1807 = MDCCCVII1808 = MDCCCVIII1809 = MDCCCIX1810 = MDCCCX1811 = MDCCCXI1812 = MDCCCXII1813 = MDCCCXIII1814 = MDCCCXIV1815 = MDCCCXV1816 = MDCCCXVI

1817 = MDCCCXVII1818 = MDCCCXVIII1819 = MDCCCXIX1820 = MDCCCXX1821 = MDCCCXXI1822 = MDCCCXXII1823 = MDCCCXXIII1824 = MDCCCXXIV1825 = MDCCCXXV1826 = MDCCCXXVI1827 = MDCCCXXVII1828 = MDCCCXXVIII1829 = MDCCCXXIX1830 = MDCCCXXX1831 = MDCCCXXXI1832 = MDCCCXXXII1833 = MDCCCXXXIII1834 = MDCCCXXXIV1835 = MDCCCXXXV1836 = MDCCCXXXVI1837 = MDCCCXXXVII

1838 = MDCCCXXXVIII1839 = MDCCCXXXIX1840 = MDCCCXL1841 = MDCCCXLI1842 = MDCCCXLII1843 = MDCCCXLIII1844 = MDCCCXLIV1845 = MDCCCXLV1846 = MDCCCXLVI1847 = MDCCCXLVII1848 = MDCCCXLVIII

1849 = MDCCCXLIX1850 = MDCCCL

2019 = MMXIX2020 = MMXX2021 = MMXXI2022 = MMXXII2023 = MMXXIII

2024 = MMXXIV2025 = MMXXV2026 = MMXXVI2027 = MMXXVII2028 = MMXXVIII2029 = MMXXIX2030 = MMXXX2031 = MMXXXI2032 = MMXXXII2033 = MMXXXIII2034 = MMXXXIV

2035 = MMXXXV2036 = MMXXXVI2037 = MMXXXVII2038 = MMXXXVIII2039 = MMXXXIX2040 = MMXL2041 = MMXLI2042 = MMXLII2043 = MMXLIII2044 = MMXLIV2045 = MMXLV2046 = MMXLVI2047 = MMXLVII2048 = MMXLVIII2049 = MMXLIX2050 = MML2051 = MMLI2052 = MMLII2053 = MMLIII2054 = MMLIV2055 = MMLV

2056 = MMLVI2057 = MMLVII2058 = MMLVIII2059 = MMLIX2060 = MMLX2061 = MMLXI2062 = MMLXII2063 = MMLXIII2064 = MMLXIV2065 = MMLXV2066 = MMLXVI

2067 = MMLXVII2068 = MMLXVIII



1632 = MDCXXXII1633 = MDCXXXIII1634 = MDCXXXIV1635 = MDCXXXV1636 = MDCXXXVI

1637 = MDCXXXVII1638 = MDCXXXVIII1639 = MDCXXXIX1640 = MDCXL1641 = MDCXLI1642 = MDCXLII1643 = MDCXLIII1644 = MDCXLIV1645 = MDCXLV1646 = MDCXLVI1647 = MDCXLVII

1648 = MDCXLVIII1649 = MDCXLIX1650 = MDCL1651 = MDCLI1652 = MDCLII1653 = MDCLIII1654 = MDCLIV1655 = MDCLV1656 = MDCLVI1657 = MDCLVII1658 = MDCLVIII1659 = MDCLIX1660 = MDCLX1661 = MDCLXI1662 = MDCLXII1663 = MDCLXIII1664 = MDCLXIV1665 = MDCLXV1666 = MDCLXVI1667 = MDCLXVII

1851 = MDCCCLI1852 = MDCCCLII1853 = MDCCCLIII1854 = MDCCCLIV1855 = MDCCCLV

1856 = MDCCCLVI1857 = MDCCCLVII1858 = MDCCCLVIII1859 = MDCCCLIX1860 = MDCCCLX1861 = MDCCCLXI1862 = MDCCCLXII1863 = MDCCCLXIII1864 = MDCCCLXIV1865 = MDCCCLXV1866 = MDCCCLXVI

1867 = MDCCCLXVII1868 = MDCCCLXVIII1869 = MDCCCLXIX1870 = MDCCCLXX1871 = MDCCCLXXI1872 = MDCCCLXXII1873 = MDCCCLXXIII1874 = MDCCCLXXIV1875 = MDCCCLXXV1876 = MDCCCLXXVI1877 = MDCCCLXXVII1878 = MDCCCLXXVIII1879 = MDCCCLXXIX1880 = MDCCCLXXX1881 = MDCCCLXXXI1882 = MDCCCLXXXII1883 = MDCCCLXXXIII1884 = MDCCCLXXXIV1885 = MDCCCLXXXV

2069 = MMLXIX2070 = MMLXX2071 = MMLXXI2072 = MMLXXII2073 = MMLXXIII

2074 = MMLXXIV2075 = MMLXXV2076 = MMLXXVI2077 = MMLXXVII2078 = MMLXXVIII2079 = MMLXXIX2080 = MMLXXX2081 = MMLXXXI2082 = MMLXXXII2083 = MMLXXXIII2084 = MMLXXXIV

2085 = MMLXXXV2086 = MMLXXXVI2087 = MMLXXXVII2088 = MMLXXXVIII2089 = MMLXXXIX2090 = MMXC2091 = MMXCI2092 = MMXCII2093 = MMXCIII2094 = MMXCIV2095 = MMXCV2096 = MMXCVI2097 = MMXCVII2098 = MMXCVIII2099 = MMXCIX2100 = MMC

Tabela de números romanos

3000 MMM 30000 ____ XXX

300000 ____ CCC

4000 __ IV

40000 __ XL

400000 __ CD

5000 _ V

50000 _ L

500000 _ D

6000 __ VI

60000 __ LX

600000 __ DC

7000

___

VII 70000

___

LXX 700000

___

DCC8000 ___ 80000 ____ 800000 ____



VIII LXXX DCCC

9000 __ IX

90000 __ XC

900000 __ CM

10000 _ X

100000 _ C

1000000 __ M

20000 ___ XX

200000 __ CC

reforÇo de matemÁtica - fundamental

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