matemática ensino fundamental e médio

Upload: lecivaldo-lima-da-silva

Post on 10-Jul-2015

654 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Recebi dezenas de e-mails com dvidas em relao s operaes fundamentais (adio, subtrao, multiplicao e diviso), tal fato me surpreendeu e, portanto, tentarei elaborar uma breve explicao sobre o assunto. A matria muito simples, mas redigir uma explicao para que ela possa ser compreendida pela internet, um grande desafio. Mos obra! Operaes fundamentais Adio: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit. Reunio de todas as unidades ou fraes de unidade de vrios nmeros; soma, total. 3. Acrscimo, aumento. Exemplo: a) 2254 + 1258 = 3512

Milhar 2 1 3

Centenas 1 2 2 5

Dezenas 1 5 5 1

Unidades 4 8 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para o clculo da adio, ordenamos os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar... Feito isso, efetuamos a soma. Notem que os nmeros 2254 e 1258 foram agrupados para serem somados. O resultado da soma das unidades (4+8 = 12) igual a 1 dezena e 2 unidades. Portanto, adiciona-se 1 dezena a sua respectiva "casa". O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) igual a 1 centena e 1 dezena. Portanto, adiciona-se uma centena a sua respectiva "casa". A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas. Finalmente, a soma da "casa" do milhar igual a 3 (1+2=3). A soma de 2254 + 1258 = 3512.*Observao: as cores auxiliam a compreenso do processo.

Subtrao: 1. Ato ou efeito de subtrair(se). 2.Tirar de outro nmero parcela, quantia etc.; diminuir. Exemplo: a) 2234 - 1258 = 976

Milhar 2

Centenas 2

Dezenas 3

Unidades 4

1

2

5

8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Primeiramente, vamos agrupar os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar, etc... Feito isso, observamos que no possvel a subtrao das unidades (4 - 8). preciso, portanto, "pedir emprestado" casa das dezenas:

Milhar 2 1

Centenas 2 2

Dezenas 3-1 = 2 5

Unidades 4+10 = 14 8 6

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Observamos que no possvel a subtrao das dezenas (2 - 5). Vamos "pedir emprestado" a nossa "vizinha" centena:

Milhar 2 1

Centenas 2-1=1 2

Dezenas 10+2=12 5 7

Unidades 14 8 6

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Vamos efetuar a subtrao das centenas: Oras, no possvel efetuar o clculo (1 - 2) das centenas sem pedir emprestado casa do milhar...

Milhar 2-1=1 1 0

Centenas 10+1=11 2 9

Dezenas 12 5 7

Unidades 14 8 6

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Agora sim! Vamos efetuar o clculo das centenas (11 - 2 = 9). E, tambm, do milhar (1 - 1 = 0). A subtrao de 2234 - 1258 = 976.

Clculo da adio e subtrao envolvendo nmeros no inteiros Exemplos: a) 235,65 + 45,758 = 281,408

Cent. 2

Dez. 1 3 4

Uni. 1 5 5 1

Dec. 1 ,6 ,7 ,4

Cent. 5 5 0

Mil. 0 8 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

8

Siga os mesmos passos do clculo com nmeros inteiros, no se esquecendo, porm, de agrupar os algarismos de acordo com suas "casas" (milhar, centena, dezena, unidades,...). b) 254,65 - 144,732 = 109,918

Cent. 2 1

Dez. 5 4

Uni. 4 4

Dec. ,6 ,7

Cent. 5 3

Mil. 0 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cent. 2 1

Dez. 5 4

Uni. 4-1=3 4

Dec. ,16 ,7 ,9

Cent. 5-1=4 3 1

Mil. 10 2 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cent. 2 1 1

Dez. 5-1=4 4 0

Uni. 13 4 9

Dec. ,16 ,7 ,9

Cent. 4 3 1

Mil. 10 2 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Siga os mesmos passos do clculo da subtrao com nmeros inteiros, agrupe as algarismos de acordo com suas "casas" e "pea emprestado" "casa" do vizinho quando no for possvel efetuar a subtrao.

Multiplicao: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operao aritmtica, que consiste em repetir um nmero, chamado multiplicando, tantas vezes quantas so as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro que representa o produto dos dois. 3.Repetir (um nmero) tantas vezes quantas so as unidades de (outro). Exemplo: a) 236 x 25 = 5900

Milhar

Centenas 2

Dezenas 3 2

Unidades 6 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:

Milhar

Centenas 1 2

Dezenas 3 3 2

Unidades 6 5 0

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

1

8

1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades) 2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1 centena e 8 dezenas) - No se esquea de somar as 3 a casa das dezenas. 3) 2x5 = 10 + 1 = 11 Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o clculo da casa das dezenas, portanto, vamos colocar os resultados em sua respectiva casa. Aps a multiplicao, some os resultados.

Milhar

Centenas 2

Dezenas 1 3 2

Unidades 6 5 0 + 0

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 4 5

1 7 9

8 2 0

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Multiplicao de nmeros no inteiros Vamos efetuar os mesmos clculos dos com os nmeros inteiros e tomar um pouco de cuidado com a vrgula. Exemplo: a) 45,5 x 8,1 = 368,55

Observe:

Mil.

Cent.

Dez. 4

Uni. 5 8

Dec. ,5 ,1

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O nmero 45,5 possui 1 casa aps a vrgula. O nmero 8,1 tambm apresenta 1 casa aps a vrgula. O resultado ter, portanto, 2 (1+1) casas aps a vrgula. Vamos agora efetuar a multiplicao sem nos preocupar com a vrgula. Afinal, j sabemos que o produto ter 2 casas aps a vrgula. 4 4 3 3 6 6 4 8 5 8 5 0 5 5 1 5 + 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bom, sem nos preocuparmos com as vrgulas o resultado seria 36855, porm sabemos, como visto acima, que o nmero deve possuir 2 casas aps a vrgula. Vamos colocar as vrgulas ento! 3 6 8

,5

5

Simples no? Mas vamos recapitular: Contamos e somamos a quantidade de casas aps a vrgula dos nmeros que iremos multiplicar. O resultado apresentar esse nmero de casas aps a vrgula. Resolvemos, ento, a multiplicao e depois colocamos as vrgulas :)

Diviso: 1. Ato, efeito ou operao de dividir. 2. Fragmentao. 3. Parte de um todo que se dividiu. 4. Mat. Operao com que se procura achar quantas vezes um nmero se contm noutro. A diviso , sem dvidas, o principal problema dos estudantes. Vamos resolver alguns exerccios, observe as resolues e os esquemas. Exemplos: Por favor, espere e siga a resoluo. a) 756 : 21 = 36

b) 202 : 5 = 40,4

c) 17,4 : 3 = 5,8

Vejam a questo da FUVEST 2003 - Primeira fase: Num bolo, sete amigos ganharam vinte e um milhes, sessenta e trs mil e quarenta e dois reais. O prmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, em reais, foi: (a) 3.009.006,00 (b) 3.009.006,50 (c) 3.090.006,00 (d) 3.090.006,50 (e) 3.900.060,50 Resposta: (a)

Fraes O que uma frao? Frao um nmero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representar uma frao da pizza.

Uma pizza inteira 1

Quatro pedaos de pizza 4 x 1/4

Qual o significado de uma frao? Uma frao significa dividir algo em partes iguais. Assim:

indica a : b , sendo a e b nmeros naturais e b diferente de 0. a representa o numerador e b, o denominador. Leitura de fraes:

Metade Um tero Dois quartos Trs quintos Um sexto Quatro stimos Sete oitavos Dois nonos Um dcimo Dois onze avos Cinco doze avos ... ... Um centsimo Um milsimo

Fraes equivalentes: so fraes que representam a mesma parte de um todo, como o prprio nome j diz, so equivalentes.

Simplificao de fraes: Para simplificarmos uma frao, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo nmero inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

a)

b) Outros exemplos:

a)

b)

No possvel a simplificao, por isso, uma frao irredutvel.

Tipos de frao: - Frao prpria: aquela que o numerador menor que o denominador. Ex: ( 72. Neste caso, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao ndice do radical.

Ex:

Fator racionalizante=

Logo: 3 Caso: - O denominador possui uma destas formas: , ou

Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferena, que resulta na diferena de dois quadrados. *Conjugado:

Expresso

Conjugado

Exs:

1)

2)

Equao do 2 grau Denomina-se equao do segundo grau, toda a equao do tipo ax+bx+c, com coeficientes numricos a.b e c com . Exemplos: Equao x+2x+1 5x-2x-1 a 1 -2 b 2 5 c 1 -1

Classificao: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equao do 2 grau incompleta. 1 caso: b=0 Considere a equao do 2 grau imcompleta: x-9=0 x=9 x= 2 caso: c=0 Considere a equao do 2 grau imcompleta: x-9x=0 Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 x=0,9 3 caso: b=c=0 2x=0 x=0 Resoluo de equaes do 2 grau: x=

A resoluo de equaes do 2 grau incompletas j foi explicada acima, vamos agora resolver equaes do 2 grau completas, ou seja, do tipo ax+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equao do 2 grau pode ter at 2 razes reais, que podem ser determinadas pela frmula de Bhskara. Como Bhskara chegou at a frmula de resoluo de equaes do 2 grau? Considerando a equao: ax+bx+c=0, vamos determinar a frmula de Bhskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4ax+4abx+4ac=0 4ax+4abx=-4ac Somamos b aos dois membros: 4ax+4abx+b=b-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de b-4ac: (2ax+b)= 2ax+b= 2ax=-b Logo: ou Frmula de Bhskara: (delta)

Utilizando a frmula de Bhskara, vamos resolver alguns exerccios: 1) 3x-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2

= (-7)-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na frmula:

=

e Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao :

2) -x+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na frmual de Bhskara:

x=2

- Neste caso, tivemos uma equao do 2 grau com duas razes reais e iguais. ( ) 3) 5x-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que 0, real c que satisfaa . e a>0, existe um nico valor

A partir disso, podemos definir o que logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades. se, e somente se, Onde b>0, e a>0

No decore a definio de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exerccios. Ex.1) Transforme as seguintes potncias em logaritmos e vice-versa. a) Resoluo: Notem que 3>0, b) 2 = 8 Resoluo: c) Resoluo: Notem que 10>0, e 100>0 e 9>0

Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentar te "pegar" neste ponto, pois comum os estudantes se esquecerem disso. Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos? O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicao, diviso, potenciao e radiciao. Ele fundamental, tambm, em outras matrias como por exemplo na Qumica para o clculo do pH (potencial de hidrognio). A anlise, permite-nos saber se uma soluo cida, bsica ou neutra. Na fsica, utilizamos logaritmos em acstica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. No entraremos nestes detalhes. Uma curiosidade da Qumica:

Em uma soluo de 1 litro, encontramos 0,01 mol de ons hidrognio. Esta soluo cida, bsica ou neutra? A concentrao de ons hidrognio de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =

Assim, conclumos que cida, pois o pH0, y>0, b>0 e

, temos:

1) 2) 3) Exemplos:

1) 2) 3) 4)

5) 6) Propriedade - Mudana de base

Sendo x>0, b>0,

, c >0 e

Exemplos:

1)

2) Dado que

, determine

Resoluo: Observao: Os logaritmos de base 10 so chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo no indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Para finalizarmos, vamos ver alguns exerccios resolvidos e uma questo da Universidade Estadual de Londrina - UEL, presente no nosso simulado. Exerccios resolvidos: Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule: a) log6

Resoluo: b) log9

Resoluo: c) log5 Resoluo: d) Resoluo: (UEL) O valor de um automvel (em unidades monetrias) sofre uma depreciao de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro de 40.000 unidades monetrias, depois de quantos anos o valor desse carro ser de 16.000 unidade monetrias? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3. (a) 3 (b) 6 (c) 10 (d) 15 (e) 20 Resoluo: Sendo x, o tempo em anos:

Dividindo ambos os membros por 8000:

x.(5.0,3 + 0,48 - 2) = 2.0,3 - 1 x.(-0,02) = -0,4 x = 20 Portanto, aps 20 anos. Alternativa E.A seo logaritmo, embora esteja no campo do ensino fundamental (por alguns colgios abordarem o assunto) foi desenvolvida abrangendo contedos do ensino mdio.

Porcentagem Introduo: Utilizamos o clculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: Ex.1) Uma loja lana uma promoo de 10% no preo dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passar a custar? O desconto ser de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoo, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% so meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas ser:

E a de meninos ser: 100 - 40 = 60. Sugesto: Caso tenham dvidas em multiplicao de fraes, visitem a seo Fraes, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem. Razo centesimal: Como o prprio nome j diz, a frao cujo denominador igual a 100. Exemplos:

(l-se 10 por cento)

(l-se 150 por cento) Definio de taxa porcentual ou porcentagem: Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um nmero a sobre um nmero b, , razo tal que

Indica-se

por

Definio meio complicada no acham? Pois muito simples: Porcentagem o valor obtido quando aplicamos uma razo centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome j diz, por 100 (sobre 100). Exemplos para compreendermos melhor: Ex.1) Calcule: a) 10% de 500: A razo centesimal : Portanto, b) 25% de 200:

Portanto, Ex.2) Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5?

5x = 300 x= 60 A taxa de 60% b) 10 sobre 20?

20x = 1000 x = 50 A taxa de 50% Certa vez, perguntaram-me algo to simples, mas que ,talvez, tenham dvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Vamos a um exemplo: Quanto 20% de 500? Digitem: 500 Aperte a tecla de multiplicao: X Digitem: 20 Aperte a tecla de porcentagem: % O resultado, como pode ser visto, 100. Agora que compreendemos a definio de porcentagem, vamos a resoluo de alguns exerccios elementares. Exerccios resolvidos: 1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto ser: Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. Dica: Para agilizarmos o clculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%) Logo, 2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizao (acrscimo) de 10% sobre o seu preo. Quanto ele passou a custar?

O acrscimo ser de: Portanto, passar a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorizao de 10%, isso quer dizer que ele passar a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preo de venda?

2000x = 10000 x=5 Portanto, 5%. 4) Um comerciante que no possuia conhecimentos de matemtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor? Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00. Como deu um desconto de 40% sobre o preo de venda:

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuzo de R$20,00.

Regra de trs Chamamos de regra de trs a um processo de resoluo de problemas de quatro valores, dos quais trs so conhecidos e devemos determinar o quarto valor. A resoluo desse tipo de problema muito simples, basta montarmos uma tabela (em proporo) e resolvermos uma equao. Sugesto: Caso tenham dvidas na resoluo de equaes do 1 grau, visitem a seo presente neste site.

Vamos a resoluo de problemas: 1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrer 30km? Montemos uma tabela: Percurso (km) 20 30 Tempo (h) 2 x

Notem que as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta tambm aumenta. Logo, devemos conservar a proporo:

Multiplicamos em cruzes: 20x = 60 x=3 Portanto, o atleta percorrer 30km em 3h. 2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? N de trabalhadores 4 2 Tempo (dias) 8 x

Notem que as grandezas so inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhores demoraro mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o nmero de trabalhadores, maior ser o tempo para a construo. Logo, devemos inverter a proporo.

Multiplicando em cruzes: 2x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construiro a casa em 16 dias.

Como puderam ver, a resoluo bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for

diretamente proporcional, mantemos a proporo; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporo. Feito isso, basta resolver a equao.