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Prêmio Victor Civita 2011

Educador Nota 10

Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo

Relatório final de Matemática – 6° ao 9° ano

Este relatório tem por objetivo apresentar o panorama geral dos 111

trabalhos de Matemática desenvolvidos com alunos do 6° ao 9° ano do

Ensino Fundamental que foram inscritos para o prêmio Victor Civita 2011.

Para tanto, apresenta-se inicialmente um levantamento quantitativo sobre o

perfil dos professores inscritos (regiões e estados em que atuam, idade,

formação acadêmica), idade dos professores, temas abordados (números,

álgebra, geometria, medidas, tratamento da informação) e categorias das

escolas (pública, privada ou filantrópica; rural ou urbana). Após essas

informações, são expostos os critérios utilizados para a seleção dos

trabalhos de Matemática que foram indicados para compor a lista dos

cinquenta melhores. A segunda parte deste relatório trata de uma análise

qualitativa, onde são destacadas características específicas dos trabalhos de

Matemática que compuseram a lista dos cinquenta melhores. Além disso,

são discutidos os dois trabalhos de Matemática, cujos professores ganharam

o prêmio Educador nota 10.

1. Quadro geral dos trabalhos analisados

Do total de trabalhos inscritos para o Ensino fundamental II, 62% foram

desenvolvidas por professoras. Relativamente ao ano de 2010, houve

aumento significativo da participação de professores do sexo masculino: de

29% para 39%.

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Sexo

61%

39%

feminino

masculino

No tocante à idade pode-se afirmar que houve um expressivo número de

candidatos que no momento da inscrição tinham 35 anos ou menos: 36%.

Outro número bastante significativo foi o dos professores com 50 anos ou

mais: 19%, aproximadamente. É bastante interessante verificar que muitos

professores, próximos da aposentadoria, parecem não ter uma atitude de

descrença e amargura em relação à docência, esperando apenas o tempo

passar, mostrando serem sim muito propositivos para implementar

mudanças e inovações. O gráfico a seguir apresenta esses índices,

atestando que o prêmio Educador nota 10 atrai professores de todas as

faixas de idade.

Idade dos participantes

36%

45%

19%

35 anos ou menos

mais de 35 anos e menos de50

50 anos ou mais

Os dois gráficos a seguir mostram as distribuições dos trabalhos segundo a

categoria da escola em que atua o professor inscrito (pública, privada,

filantrópica) e a respectiva localização (urbana ou rural). Em relação aos

dados de 2010, os índices de 2011 indicam que não houve variação

significativa.

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Categoria da escola

83%

13%

4% Pública

Privada

Filantrópica

Localização

90%

10%

zona urbana

zona rural

Em relação à formação acadêmica dos professores, os índices de 2011

também foram muito próximos aos de 2010. A grande maioria dos

professores que se inscreveram neste ano tem curso superior completo:

apenas 7 entre 111 professores (6%) declararam que ainda não haviam

completado a graduação em nível superior, ao passo que no anterior esse

índice era de 7%. Dos professores que têm curso superior completo, um

número bastante razoável concluiu cursos de pós-graduação:

especialização, aperfeiçoamento ou extensão. O gráfico a seguir mostra a

formação acadêmica dos participantes.

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Formação acadêmica dos professores

55%

39%

6%

Pós-Graduação

Superior completo, apenas

Superior incompleto

Cabe ressaltar que a maioria dos trabalhos inscritos é da região Sudeste,

com destaque para os estados de São Paulo (20 trabalhos) e de Minas

Gerais (17). A região Sul aparece em segundo lugar, com destaque para

Santa Catarina (10). A seguir, vem a região Nordeste cujo destaque é o

estado do Ceará (7). Depois, vem a Centro-Oeste, com destaque para Goiás

(5) e, finalmente, a região Norte, cujo destaque é o Pará (4).

Os índices percentuais de cada região constam no gráfico a seguir.

Distribuição por região

39%

21%

19%

13%

8%

Sudeste

Sul

Nordeste

Centro_Oeste

Norte

Embora diversos projetos (18%) não tenha um foco claramente delineado,

na maioria dos projetos (82%) foi possível identificar os objetos

matemáticos que se queria ensinar. O gráfico a seguir mostra a distribuição

dos grandes blocos de conteúdo (Números; Álgebra; Geometria e Medidas;

Tratamento da Informação) que foram objetos de estudo.

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Temas

30%

22%10%

11%

9%

18%

Geometria/MedidasNúmeros ÁlgebraTratamento da InformaçãoJogosOutros

Outro aspecto bastante positivo que se pode observar nesse gráfico é o

grande número de projetos envolvendo assuntos relativos à Geometria e

Medidas.

2. Critérios não-classificatórios e classificatórios

Em 2011, tal como ocorreu no ano passado, os professores elaboraram e

desenvolveram situações de aprendizagem tendo em vista a articulação de

conteúdos dos diferentes campos da Matemática (números, álgebra,

geometria, medidas e tratamento da informação) – um pressuposto que, a

princípio, pode ser considerado apropriado. Provavelmente, esses

professores buscaram a intradisciplinaridade (“interdisciplinaridade interna”)

da Matemática, fazendo conexões entre os diversos temas.

No entanto, os docentes devem ter em vista que, apesar da importância

dessa articulação, os projetos devem ter como foco a aprendizagem de

conceitos e/ou procedimentos relativos a um determinado bloco de

conteúdos e previstos no currículo do ano escolar em questão.

Reitera-se também que em diversos projetos inscritos em 2011 não havia

clareza a respeito de seus objetivos – não havia um tema específico. Outros

projetos indicavam apenas objetivos gerais e, ainda assim, bastante

amplos: “desenvolver o raciocínio”; “preparar para vida”; “formar o

cidadão”.

Os objetivos de um dado projeto devem ser, evidentemente, factíveis para

o tempo previsto e, evidentemente, não podem indicar uma tarefa muito

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ampla. É necessário que o professor considere que a principal finalidade de

um projeto – pelo menos para os que são submetidos à premiação da

Fundação Victor Civita – é a de fornecer condições efetivas para que haja

aprendizagem significativa de noções e/ou procedimentos matemáticos

previstos no currículo.

Assim, antes de mais nada, um projeto deve necessariamente oferecer ricos

contextos para que os alunos possam dar significado àquilo que está sendo

ensinado. Nessa perspectiva, os professores devem levar em conta a

potencialidade das situações propostas e dos materiais educativos: enfim

um bom projeto deve conter uma sequência didática adequada para um

grupo de alunos de um dado ano escolar – uma sequência para ensinar e

aprender determinado conteúdo ou procedimento matemático.

Assim, além da falta de clareza dos objetivos, de definição ou de não-

adequação dos conteúdos matemáticos (dispersão, excesso, assuntos não

previstos para a série) houve outros critérios que foram fundamentais para

a não classificação de projetos: falta de detalhamento das etapas da

sequência; não realização de sondagens para identificar os conhecimentos

prévios dos estudantes; ausência da proposta de problematização para

iniciar um assunto; ausência de sistematização das noções abordadas;

concepção espontaneísta do processo de aprendizagem; a não possibilidade

de troca entre os alunos; concepção redutora de avaliação; uso do tempo

na sala de aula de forma inadequada como a construção de materiais

didáticos (deveria ser feito no contra-turno) etc.

Neste ano, a falta de detalhamento das etapas foi um problema recorrente

em muitos trabalhos. Havia projetos com apenas a descrição das atividades,

sem a indicação de como foram desenvolvidas e do momento em que as

noções foram sistematizadas. Em outros, havia uma descrição da forma

como foram desenvolvidas, mas não havia indicações do que foi ensinado.

Ou seja, o professor apresentava os procedimentos metodológicos adotados

– como a identificação dos conhecimentos prévios dos alunos ou as

justificativas dos encaminhamentos feitos – mas não indicaram,

minimamente, as atividades desenvolvidas, o nível de aprofundamento etc.

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Além disso, não basta conceber e desenvolver um bom trabalho para ele ser

classificado; o professor deverá saber justificar e registrar seu projeto de

forma clara para que os selecionadores possam compreendê-lo. Ou seja, é

necessário saber comunicar!

A seguir, apresentam-se uma síntese dessas considerações e outros

critérios que foram utilizados para não-classificação de projetos de

matemática. Cabe ressaltar que esses critérios foram utilizados no ano

anterior:

ü Adesão a um projeto interdisciplinar sem uma necessária reflexão

sobre os contextos por ele proporcionados: esse projeto é adequado

para o tratamento didático dos conteúdos matemáticos que se quer

desenvolver?

ü Concepção redutora do processo de ensino e aprendizagem de

Matemática: enfatiza-se mais os procedimentos e se dá menor

atenção aos conceitos e às aplicações, por exemplo.

ü A descrição do projeto não permite identificar ou analisar os

conteúdos matemáticos (noções e procedimentos) desenvolvidos.

ü Sequências e situações meramente transcritas de livros didáticos, ou

de dissertações e teses.

ü A proposição de uma sequência de jogos sem a problematização

necessária ou sem a vinculação direta de conteúdos matemáticos.

ü Ausência de indicadores de avaliação dos alunos.

ü Apresentação de uma sequência de atividades desconexa e

inconsistente ainda que as atividades sejam isoladamente

interessantes – reunião, por exemplo, em um só projeto de

atividades e/ou de materiais que o professor julga interessantes sem

se ater à pertinência desses aos objetivos enunciados.

ü O projeto apresenta erros conceituais: em geometria, por exemplo,

encontraram-se erros conceituais em relação às definições de objetos

geométricos e às respectivas propriedades.

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Para a pré-seleção dos projetos que poderiam ser classificados para os

cinquenta melhores do prêmio VC 2011 também foram utilizadas as

seguintes questões:

ü O projeto apresenta certo grau de originalidade ou é uma mera e

simples reprodução de sequências didáticas já aplicadas?

ü São problematizadas questões desafiadoras para os alunos? O projeto

procura envolver todos os alunos ou apenas é destinado para os mais

preparados da sala?

ü O tema é socialmente relevante e/ou ou necessário para desenvolver

competências e habilidades cognitivas? Trata-se de conteúdo

curricular?

ü O projeto trata de um conteúdo difícil de ser ensinado, mas a

proposta intencional do professor cria a possibilidade de levantar

hipóteses e fazer conjecturas a respeito de um problema

significativo?

ü Contextualização dos conteúdos propostos no projeto relaciona os

conhecimentos matemáticos que os alunos já têm sobre o assunto e

se propõe a algo mais do que simplesmente identificá-los? As

atividades previstas levam em conta os conhecimentos prévios dos

alunos?

ü O projeto tem em vista o desenvolvimento de atitudes dos alunos

como a utilização dos conhecimentos matemáticos para a

compreensão da realidade? O projeto visa o desenvolvimento da

capacidade de investigação e da perseverança do aluno na busca de

solução para um problema?

ü O trabalho valoriza ou utiliza as tecnologias no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática? As tecnologias indicadas no projeto

estão de fato a serviço desse processo?

ü Há sistematização dos resultados de forma consistente buscando

avaliar o alcance do projeto para aquela faixa etária?

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3. Projetos selecionados para a lista dos 50 finalistas

Apresenta-se a seguir os dois projetos de Matemática do Ensino

Fundamental II que foram pré-selecionados para a lista geral dos cinquenta

melhores projetos do prêmio Victor Civita 2011. Cabe ressaltar que os

professores desses projetos foram entrevistados por telefone e enviaram

produções dos alunos, fotos e vídeos das aulas.

Título do trabalho: Estatística e Educação Financeira

Professor/Gestor: David Gouveia Alves

Cidade: Brasília - DF

O projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de situações-

problema para alunos de 8ª série com vistas a um trabalho sobre Educação

Financeira retomando e aplicando noções elementares de Estatística e de

proporcionalidade (regras de três, porcentagem e juros simples).

Os dois temas abordados são relevantes. Além disso, o aluno tem contato

com diferentes registros e textos matemáticos. Esses dois temas articulam

diversos conteúdos relativos ao bloco Números e Operações.

No entanto, o professor não explicita claramente os conteúdos que quer

ensinar. Em verdade, a finalidade de seu projeto é iniciar um trabalho sobre

a Educação Financeira. Para tanto, o aluno deveria utilizar noções e

procedimentos matemáticos. Ou seja, o contexto utilizado é para aplicar

(rever) as noções já trabalhadas, mas que os alunos ainda não dominam

com vistas ao desenvolvimento de conceitos da Educação Financeira. Ou

seja, os conteúdos matemáticos estabelecidos no projeto fornecem

instrumentos necessários para obter e organizar as informações, interpretá-

las, fazer cálculos e, desse modo, produzir argumentos para fundamentar

conclusões sobre elas. Apesar de essa perspectiva ser válida é esperado

também que os professores de Matemática proponham questões práticas

que forneçam os contextos que possibilitam explorar de modo significativo

novos conceitos e procedimentos matemáticos. Assim, os problemas devem

permear toda a atividade matemática para desenvolver um conceito: antes

(o contexto), durante e depois (aplicação do conceito).

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O projeto proporcionou contextos para retomar os conteúdos que ele julgou

necessários segundo o diagnóstico realizado pelo professor. No entanto, o

professor declara no início do projeto que seus alunos iriam aprender

estatística utilizando-se de gráficos financeiros – o que não ocorreu: seu

investimento foi na compreensão de termos usados na Matemática

financeira. Provavelmente ele deverá trabalhar a Estatística em momento

posterior.

O professor delineou bem as tarefas. Segundo os relatos, os alunos se

aplicaram para realizar as tarefas solicitadas.

O trabalho foi realizado em grupos e gerou debates a respeito do significado

e valor do dinheiro na vida das pessoas. Os alunos se envolveram quando

pesquisaram sobre as variações dos preços da Cesta Básica.

O professor informa que sua satisfação foi muito grande, pois transformou

suas aulas em um espaço de pesquisa.

O professor poderia, além de explicitar com clareza objetivos e conteúdos

(da serie em questão), incluir novos conteúdos como a construção de

gráficos: setores; barras e colunas. O professor poderia também procurar a

utilização de novas tecnologias como o uso de planilhas eletrônicas.

Este trabalho tem algum diferencial, pois cada grupo de alunos teve a

oportunidade de administrar a vida financeira de uma família hipotética. O

coordenador do grupo recebia as informações por e-mail da família para que

os alunos discutissem os gastos e as aplicações financeiras a serem feitos.

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Título do trabalho: A matemática da fotografia

Professor: Marcel Messias Gonçalves

Cidade: Nova Andradina – MS

O projeto tem por objetivo a aprendizagem da noção de semelhança de

triângulos por alunos do 9º ano (8ª série). Para tanto ele utiliza como

estratégia a máquina fotográfica. Os alunos construíram com sucata uma

máquina fotográfica e puderam comprovar conhecimentos sobre óptica e a

semelhança de triângulos.

O conceito de semelhança de figuras, sobretudo a de triângulos, é de

fundamental importância não apenas na perspectiva de aprender mais

Matemática, mas pela vasta utilização desse conhecimento no cotidiano e

em outras áreas do saber, a Física, por exemplo. A máquina fotográfica é

um conceito potencialmente rico para desenvolver essa importante noção.

Os conteúdos matemáticos envolvidos são pertinentes tendo em vista o

diagnóstico feito pelo professor.

Apesar de o professor não explicitar as expectativas de aprendizagem ao

iniciar o projeto, pode-se inferir pela sua narrativa que os alunos

aprenderam a:

Ø comparar dois triângulos, informando se são ou não semelhantes;

Ø aplicar a noção de semelhança para resolver problemas.

Cabe destacar que houve compatibilidade entre objetivos e conteúdos. No

entanto, o professor não retoma o problema inicial – o do diagnóstico.

O professor valorizou a interação entre os alunos como fator de

aprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos e gerou debates a

respeito da construção da máquina fotográfica e dos conceitos envolvidos.

O professor declara que teve de pesquisar bastante para elaborar as

atividades. No decorrer da entrevista ela reconhece que poderia ter

aproveitado a oportunidade para desenvolver a noção de semelhança de

quadriláteros e não apenas a de triângulos.

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O projeto poderia ter incluído o trabalho com a noção de semelhança de

quadriláteros e não apenas a de triângulos. Poderiam ter sido propostas

atividades mais diversificadas. Faltou um trabalho com as homotetias para

ampliar a noção de semelhança.

Este trabalho tem algum diferencial, pois houve a aplicação da noção de

semelhança em uma situação controlada pelo aluno (altura da imagem do

objeto em sua câmara escura “máquina fotográfica”).

4. Projetos Vencedores; Educador nota 10

Os projetos apresentados a seguir foram escolhidos entre os professores de

Matemática do Ensino Fundamental II para compor o grupo dos dez

professores nota 10.

4.1 Espelhos e caleidoscópios: investigações matemáticas sobre

simetrias

Professor: Edson Thó Rodrigues

Cidade/UF: João Pessoa/PB

Série/Ano: 8ª/9º ano

1. Apresentação

O projeto tinha por objetivo o desenvolvimento de um conjunto de

atividades investigativas em duas turmas de 8ª série com vistas à

aprendizagem de noções relativas às simetrias: simetria axial e

simetria rotacional. Além disso, as atividades tiveram como objetivo a

identificação dos polígonos regulares que podem ser usados para

pavimentar o plano, utilizando a noção de simetria, por meio de dois

espelhos planos (os ângulos entre os espelhos variaram: 30º, 45º, 60º,

90º). Para tanto, foram disponibilizados espelhos planos, polígonos

confeccionados em cartolina guache, caleidoscópios etc. Após terem

realizado as investigações solicitadas, os alunos preencheram

“relatórios”, respondendo às questões propostas e, deste modo,

puderam sistematizar as conclusões do grupo.

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Trata-se de um projeto que procura dar significado a um conteúdo

curricular: simetrias. O professor utiliza como estratégia espelhos e

caleidoscópios para que o aluno construa essa noção. Os alunos fazem

investigações, discutem e o professor as sistematiza. O professor

procura dar significado àquilo que ensina.

Outro aspecto importante: os conteúdos a serem ensinados é que

definiram o projeto e não o contrário como acontece muitas vezes –

concebe-se um projeto e depois é que se pensa nos conteúdos a serem

ensinados.

Cabe destacar que o professor desenvolveu a maior parte das atividades

no âmbito de suas aulas.

O professor tinha como objetivo ensinar conteúdos relativos às

simetrias. O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste,

em duas turmas de 9° ano do Ensino Fundamental, para verificar os

conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre reconhecimento de

figuras geométricas planas (a nomenclatura), seus elementos e

propriedades. As devidas intervenções pedagógicas foram feitas

posteriormente, ao longo do desenvolvimento das atividades. Depois foi

feito um pós-teste, que mostrou evolução de aprendizado.

O professor tinha como expectativa de aprendizagem o desenvolvimento

do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de

aprendizagem que levassem o aluno a resolver situações-problema que

envolvesse figuras geométricas planas, utilizando procedimentos

relativos à transformação de figuras no plano, identificando a figura

simétrica a uma outra dada por meio de reflexão em reta (simetria

axial). Os alunos aprenderam a identificar:

Ø eixos de simetria de figuras, incluindo diversos polígonos (regulares,

não regulares, convexos e não-convexos), círculos e circunferências;

Ø e/ou construir as figuras simétricas a uma outra dada por meio de

reflexões em retas;

Ø polígonos regulares que podem pavimentar o plano.

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2. Desenvolvimento passo-a-passo

O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste, em duas

turmas de 9° ano do Ensino Fundamental, baseado no modelo de Van Hiele

para verificar os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre a

identificação de figuras geométricas planas, seus elementos e propriedades.

Assim, o professor identifica os conhecimentos prévios dos alunos e suas

defasagens.

Eixos de simetria: a atividade: “o outro lado do espelho” foi,

efetivamente, o primeiro conjunto de investigações matemáticas a ser

desenvolvido (em grupos), e foi realizado em duas aulas. Para concluir a

atividade 1, os alunos deveriam elaborar os conceitos de “eixo de simetria”

e de “transformação de reflexão”. Foram propostas 4 “experiências”, todas

bem elaboradas.

Na experiência 1, os alunos receberam dez figuras geométricas planas

diferentes com formas de: 1 – pentágono; 2 – paralelogramo; 3 –

retângulo; 4 – quadrado; 5 – hexágono; 6 – losango; 7- triângulo

equilátero; 8 – triângulo escaleno; 9 – trapézio e 10 – círculo

(confeccionadas em cartolina guache) e um espelho plano. Em cada figura

foi desenhada uma linha tracejada. Os alunos deveriam colocar o espelho

plano (verticalmente) sobre a linha tracejada de cada figura geométrica

dada, com o objetivo de verificar se essa linha era ou não um eixo de

simetria. Em seguida deveriam responder as seguintes perguntas: “Em

quais figuras a linha tracejada é um eixo de simetria?” e “Em quais figuras a

linha tracejada não é um eixo de simetria?”

Na experiência 2, ainda com o auxílio de um espelho plano, os alunos

deveriam descobrir a quantidade de eixos de simetria das dez figuras dadas

na experiência 1. Em seguida, responder as seguintes questões: “Como são

chamadas as figuras que não têm nenhum eixo de simetria?” e “Qual o

nome da figura geométrica plana que têm infinitos eixos de simetria?”

Na experiência 3, os alunos utilizaram imagens de rostos de pessoas, de

animais, de objetos (recortes de revistas) e um espelho plano. Com relação

à imagem de rosto, esta deveria ser dobrada para fora na direção da linha

de simetria (que passa pelo nariz e pelo meio da boca), depois essa linha da

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dobra seria encostada em um espelho plano disposto de forma

perpendicular para as devidas observações das imagens formadas,

diferenciando imagens reais das virtuais, tendo como finalidade construir o

conceito de simetria de reflexão. Em seguida, os grupos de alunos deveriam

responder às seguintes questões: “A imagem do rosto formada pelo espelho

é igual ou diferente da imagem real?” e “Qual é o tipo de simetria obtida

nessas observações?”

Imagens em dois espelhos paralelos: A atividade denominada “espelhos

paralelos e o infinito” foi também desenvolvida (em grupos), em duas aulas,

com apenas duas experiências. Na experiência 1, os alunos usaram dois

espelhos planos, dispostos em paralelo e pequenos objetos colocados entre

eles. As imagens geradas deveriam ser observadas para responder as

seguintes perguntas: “Quantas são as imagens desse objeto?” e “Quais os

tipos de isometrias (simetrias) obtidas?” Na experiência 2, os alunos

analisaram a simetria presente em letras e palavras colocadas

paralelamente ou perpendicularmente entre dois espelhos planos em

paralelo e, em seguida, responderam as seguintes perguntas: “Por que

algumas letras são vistas sempre na mesma posição em todas as

imagens?”; “Por que algumas palavras são vistas sempre na mesma posição

em todas as imagens?” e “Por que certas palavras para serem bem

visualizadas (lidas) em todas as imagens são colocadas entre os espelhos

segundo uma determinada direção?”

Pavimentações do plano, rotações: “O livro de espelhos, polígonos e

eixos de simetria” foi a terceira atividade trabalhada, a qual era composta

de quatro blocos. Em todas foram utilizados os livros de espelhos e outros

materiais concretos como: canudos de refrigerante, regiões triangulares (de

cartolina ou papel cartão), bases substituíveis, tampas e outros objetos.

Com o livro de espelhos obtemos uma sequência de várias imagens que

formam uma nova figura (transformações geométricas). Dois tipos de

isometrias foram estudados: a simetria de reflexão (simetria axial) e a

simetria de rotação, que possui um ponto fixo.

No primeiro bloco de atividades sobre pavimentações foram utilizados

livros de espelhos e canudos de refrigerante. Esses canudos deveriam ser

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colocados perpendicularmente em relação à bissetriz de cada ângulo obtido

a partir de uma determinada abertura do livro de espelhos para obter

polígonos, com a finalidade de nomear, classificar e estudar seus elementos

e algumas propriedades; e verificar eixos de simetria. E teriam que

responder às seguintes questões exploratórias: “Quais são os polígonos que

você conseguiu formar?”; “É possível formar um triângulo? Se a resposta

for positiva, qual o ângulo de abertura do livro de espelhos?”; “Qual é o

polígono formado para o ângulo de 90º?”; “Qual é o polígono formado para

o ângulo de 60º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulo

de 45º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulo de 30º?”;

“É possível formar um losango? Justifique a sua resposta.” e “Com apenas

um canudo é possível formar um retângulo? Justifique a sua resposta.” No

segundo bloco de atividades os canudos foram substituídos por regiões

triangulares, que deveriam ser colocadas sob as folhas do livro de espelhos

(abertos de acordo com os ângulos solicitados) de modo que apenas um

vértice ficasse voltado para a parte interna do livro de espelhos e os outros

vértices fora da área de reflexão dos espelhos, cujos objetivos eram:

estabelecer diferenças entre polígonos convexos e não convexos; e analisar

as relações entre o número de lados de polígonos, número de pontas

(vértices) e a amplitude dos ângulos. As questões exploratórias nesse bloco

foram: “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo

60º?”; “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo

90º?”; “Qual é a relação que existe entre o ângulo formado pelos espelhos e

o número de pontas da figura geométrica formada?”; “Os polígonos

(contornos) nas figuras geométricas obtidas são convexos ou não convexos

(côncavos)?”

No terceiro bloco de atividades, cada grupo de alunos trabalhou as

aberturas dos livros de espelhos de acordo com as diversas bases

substituíveis (90º, 60º e 45º), com o objetivo de reforçar a análise da

relação que existe entre o número de lados de cada polígono resultante e a

amplitude do ângulo de abertura do livro de espelhos. Em seguida,

responderam às seguintes questões exploratórias: “Para cada base

substituível (de 90º, 60º e 45º): a) Quantos lados tem a região poligonal

formada; b) Qual o nome dado ao seu contorno (polígono)?” e “Sem utilizar

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a base substituível de 30°, diga quantos lados tem o contorno (polígono)

formado para o referido ângulo?”. Esta última foi considerada como um

desafio. No quarto bloco de atividades (último), os alunos colocaram um

objeto (uma tampa) sobre a bissetriz de cada ângulo das diversas bases

substituíveis e verificaram os polígonos formados com base na observação

do número de vértices (objeto e imagens refletidas nos espelhos), tendo

como finalidade analisar as relações entre o número de lados de polígonos e

a amplitude dos ângulos.

Pavimentações do plano: “A beleza das pavimentações nos

caleidoscópios” foi a quarta e última atividade realizada (em grupos),

composta de três blocos e desenvolvida a partir da utilização de livros de

espelhos; de regiões poligonais regulares confeccionadas com

emborrachado EVA; de caleidoscópios formados por um livro de espelhos e

mais um espelho; e, bases substituíveis (triângulos equiláteros). Os

objetivos específicos eram: descobrir polígonos regulares de um só tipo que

pavimentam o plano; e reconhecer figuras simétricas em padrões

geométricos planos.

Cabe considerar que o desenvolvimento do trabalho ocorreu de forma

compatível com os objetivos e conteúdos. O foco do trabalho foi o

desenvolvimento de conteúdos relativos ao tema isometrias no plano

(simetrias). Os conteúdos estão perfeitamente articulados aos objetivos

enunciados. No entanto, não deixa muito claro no projeto o processo de

devolução aos alunos sobre os resultados das atividades realizadas. No

projeto não foram apresentados comentários (apenas na entrevista)

sobre o teor das discussões que ocorreram no decorrer das aulas.

O professor valorizou a interação entre os alunos como fator de

aprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos de 3 ou 4 alunos.

Este foi um dos pontos fortes do projeto: os alunos deveriam discutir os

resultados obtidos nas investigações, sintetizando no relatório as

conclusões do grupo.

No entanto, o trabalho poderia ter explorado ainda mais as rotações no

plano (simetria rotacional) e as translações. O uso da informática

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poderia favorecer ainda mais o processo de ensino e de aprendizagem

(há alguns applets e softwares que trabalham as simetrias).

Este trabalho tem como diferencial as estratégias utilizadas. Atividades

de investigação foram bem conduzidas pelo professor, antes da

apresentação dos conteúdos. Para tanto o professor disponibilizou os

materiais necessários. As situações-problema propostas se constituíram

no ponto de partida para a aprendizagem e não apenas o de chegada.

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4.2 Título do trabalho: Introdução ao Estudo de Medidas de

Superfície

Professora: Célia Maria Ribeiro Batista

Cidade: Joinvile (SC)

Série/Ano: 5ª/6º

Selecionador: Ruy César Pietropaolo

1. Apresentação

O projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de atividades a

uma turma de 6º ano (5ª série) com vistas à aprendizagem da noção de

área como medida de superfície e a compreensão do significado do m²

como unidade padrão de área. O trabalho da professora apoiou-se em

procedimentos que favoreceram a compreensão das noções envolvidas,

como a obtenção de áreas pela composição e decomposição de figuras

por procedimentos de contagem (ladrilhamento), por estimativas e

aproximações. A professora também tinha como objetivo que o aluno

“visualizasse mentalmente” o tamanho de 1 m². Os alunos fizeram

investigações a respeito de quantas pessoas cabem em 1 m² e

estimaram quantas pessoas caberiam em uma quadra. O aluno verificou

que formas distintas podem ter a mesma área. Transformou, por

exemplo, um quadrado de 1 m² de área em um triângulo de 1 m². O

trabalho, como o próprio nome o diz, é o de apenas introdução ao tema.

A professora fala também sobre perímetro e de polígonos não convexos.

Esse projeto foi premiado porque trata-se de um trabalho desenvolvido

com enorme eficiência. Os alunos fazem experimentações, elaboram

conjecturas que são discutidas posteriormente com a professora. A

relevância justifica-se também, porque é comum encontrar alunos,

mesmo entre os que tenham estudado as medidas, que não

desenvolveram a noção do “tamanho” do metro quadrado; ao perguntar

a esses alunos quantas pessoas podem ficar em pé numa superfície de 1

m², é comum surgirem respostas absurdas como 60, 500, 1.200,

nenhuma etc. Esse fato dificulta a compreensão de diversos conceitos e

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o desenvolvimento de estimativas. Nesse sentido, experiências simples,

como a proposta pela professora – construção de um quadrado de 1m de

lado com papel (jornal) para verificar quantas vezes esse “quadrado”

cabe numa determinada superfície – poderá favorecer o

desenvolvimento da referida noção.

A professora procura dar significado àquilo que ensina. Outro aspecto

importante: os conteúdos a serem ensinados é que definiram o projeto e

não o contrário como acontece muitas vezes – concebe-se um projeto e

depois é que se pensa nos conteúdos a serem ensinados.

A professora desenvolveu a maior parte das atividades no âmbito de

suas aulas. Utilizou espaços alternativos como a quadra de esportes.

Esses espaços foram sim relevantes para o processo: os alunos

determinaram a área da quadra e estimaram quantas pessoas cabiam,

por meio da estimativa sobre quantas pessoas cabem em 1m².

O que a professora queria ensinar?

Ø A professora tinha como objetivo ensinar áreas e medidas –

conteúdos relativos ao tema Grandezas e Medidas. Ou seja, a

professora tinha como expectativa o desenvolvimento da

competência métrica e o desenvolvimento da noção de superfície, por

meio da exploração de situações de aprendizagem que levassem o

aluno a compreender o significado de 1 m² como a área de um

quadrado de 1 metro de lado.

2. Desenvolvimento do projeto passo-a-passo:

Para início de conversa

A professora inicia seu trabalho colocando para a turma as seguintes

questões:

Ø o que é superfície?

Ø o que é área?

Ø o que é o metro quadrado?

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O objetivo da professora era o de identificar os conhecimentos prévios de

seus alunos. Não souberam responder adequadamente às questões.

Construindo o m²: Construção do m² utilizando jornais e revistas.

Professora discute os significados de “superfície” e de “m²”. Cada aluno fez

em seu caderno o registro das conclusões.

Fazendo investigações: A professora organizou a sala colocando as

carteiras nas laterais, e no centro os alunos colocaram os quadrados. A

professora junta alguns quadrados formando retângulos com diferentes

dimensões e questiona a turma sobre quantos m² tinha a superfície

formada com os quadrados. Além disso, pergunta a respeito dos

procedimentos que poderiam usar para saber quantos m² tem uma

superfície retangular sem precisar contar um por um. Depois pede para os

alunos estimarem quantas daquelas superfícies de 1m² caberiam na sala de

aula. Como houve divergências, solicitou que discutissem e que

apresentassem uma forma de estimar quantos m² tem a sala. Os alunos

apresentaram diferentes procedimentos: colocando o m² no chão da sala e

imaginando quantos caberiam na sala; outros disseram que foram

colocando o quadrado nas paredes do comprimento e largura, imaginaram

quantos quadrados caberiam em uma parede e em outra (comprimento e

largura) e dessa forma alguns multiplicaram os quadrados de um lado com

os quadrados do outro lado; outros imaginaram o número de fileiras com a

quantidade de quadrados em cada fileira. A maioria chegou ao resultado

correto, apenas alguns não conseguiram o resultado esperado. Então a

professora realizou uma discussão para que todos compreendessem os

procedimentos utilizados.

Fazendo experimentações: Os alunos em grupo foram orientados a

fazer a decomposição do m² em três triângulos. Depois, a composição das

seguintes formas geométricas: triângulo retângulo isósceles, losango (o

próprio quadrado), retângulo, paralelogramo e o trapézio isósceles –

sempre utilizando as três peças da decomposição.

Questões: refletindo sobre o que aprenderam

Foram propostas as seguintes questões e tarefas para os alunos:

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Ø O que é metro quadrado?

Ø O que é superfície?

Ø O que é área?

Ø Como você pode representar a superfície de 1m²?

Ø Meça as dimensões do seu quarto e calcule sua área.

Ø Calcule o perímetro de seu quarto.

Cálculos – aplicando as noções aprendidas: Em grupos os alunos

forma solicitados a:

Ø Medir comprimentos para se obter as dimensões lineares da quadra de

vôlei;

Ø Obter a área da quadra de vôlei;

Ø Estimar o número de pessoas (alunos) que cabem na quadra;

Ø Indicar um procedimento para contar os tacos na sala de aula sem

contá-los de um em um.

Avaliação: Nesse momento a professora realizou uma avaliação escrita

com questões relacionadas ao diagnóstico do início. Ou seja, sua finalidade

foi verificar a eficácia do projeto, isto é, a aprendizagem dos alunos. As

questões se referiam aos conceitos de superfície, área e m², ao cálculo de

área e ao desenvolvimento da visão (noção) de espaço.

3. Os alunos aprenderam a:

Ø reconhecer a superfície como uma grandeza e área como uma

medida da superfície;

Ø diferenciar área de perímetro: perímetro indica a medida do contorno

de uma superfície ao passo que a área indica a medida do interior da

superfície (região plana);

Ø reconhecer que na decomposição de um quadrado em outros

polígonos, a área é invariante, ao passo que o perímetro não;

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Ø estimar o número de pessoas que cabem em uma dada superfície

conhecida sua área.

Apesar de simples, o trabalho tem um certo nível de originalidade quando a

professora propõe a decomposição do quadrado de 1 m de lado. Ou seja,

por meio dessa proposta os alunos passaram a considerar que 1 m² não é a

medida apenas do interior de um quadrado de 1 m de lado, pois

decompuseram esse quadrado em outras figuras de mesma área. Ela

trabalhou com a questão da reversibilidade do pensamento do aluno.