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MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS

INTRODUÇÃO ............................................................................. 2

ÂNGULOS E ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA ............................ 2

UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS ......................................... 4

CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................... 11

ASSOCIANDO NÚMEROS A PONTOS DO CICLO .................. 11

ARCOS CONGRUENTES .......................................................... 12

PRIMEIRA DETERMINAÇÃO .................................................... 13

SENO E COSSENO DE ÂNGULOS MAIORES QUE 90º .......... 24

LEI DOS SENOS ........................................................................ 26

LEI DOS COSSENOS ................................................................ 29

RESPOSTAS ............................................................................. 34

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 35

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Na apostila anterior, vimos uma ideia básica de Trigonometria. A partir de agora vamos ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo será insuficiente para as definições necessárias. Assim, vamos definir um novo “ambiente” para a trigonometria: o ciclo trigonométrico. Essa nova interpretação dos conceitos trigonométricos tem aplicações notáveis. A principal delas é no estudo de fenômenos periódicos como a oscilação de um pêndulo, movimento dos planetas em torno do Sol, movimentos ondulatórios, etc.

Vamos também conhecer outra unidade para medir ângulos: o radiano. Vamos, nesta apostila, conhecer os conceitos fundamentais para este estudo.

ÂNGULOS E ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Arco geométrico: é uma das partes de uma circunferência delimitada por dois pontos, inclusive.

Arco ou ângulo central: Todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subtende.

𝑨𝒓𝒄𝒐 𝑨�̂�

Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝑨Ô𝑩

Comprimento: o comprimento da circunferência é dado a partir de seu

raio por C = 2r. A sequência de imagens a seguir, ilustra bem a ideia do comprimento da circunferência.

Essas imagens juntas formam um GIF que pode ser visto,

animado, no link:

www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/comprimento-da-

circunferencia/

I Nesta primeira imagem está

destacado um par de eixos ortogonais e um segmento em vermelho que será o raio (radiano) da

circunferência.

II Girando o raio para

formar a circunferência


III Girando o raio para

formar a circunferência

IV A circunferência formada e o raio

em destaque

V Agora mudamos o

raio de posição mantendo o seu

comprimento

VI Agora o mesmo raio na vertical

pronto para “deitar” sobre a

circunferência

VII “Deitado” sobre a circunferência, o raio destaca um arco igual ao seu

comprimento.

VIII O ângulo central

delimitado por este arco tem a medida

de 1 radiano (1 rad)

IX Repedindo, na sequência, o

ângulo central, obtemos 2

radianos (2 rad)

X Mais um radiano e

temos, agora, 3 radianos (3 rad)

XI Este arco pequeno

em vermelho equivale a

aproximadamente 0,14 raio. 3 raios mais 0,14 raios

temos radianos

( rad)

XII Se em meia volta

temos rad, em uma volta

completa, temos 2 rad.


Medida de um arco: é a medida do ângulo central que o subtende independente do comprimento do raio da circunferência.

Comprimento de um arco: o comprimento de um arco é dado em uma medida linear (por exemplo, centímetros, metros, etc.) em função do ângulo central que o subtende e do comprimento do raio da circunferência que o contém.

UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS

Medir é comparar o objeto a ser

medido com uma grandeza unitária e no caso de ângulos não é diferente.

Grau: O arco unitário mais utilizado é

o grau que corresponde a 1

360 da

circunferência na qual se encontra o arco a ser medido. Dessa forma, uma circunferência tem 360º (graus ).

Radiano: É o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência na qual se encontra o arco a ser medido. Como o comprimento da circunferência é

dado por C = 2r, há uma volta

completa em 2 rad (radianos). Desta forma, é possível estabelecer uma correspondência entre graus e radianos:

º1512

º902

º180

º3602

rad

rad

rad

rad

Ex.1: Transformar 45º em radianos: Resolução: vamos aplicar regra de três

simples sabendo que rad equivale a 180º.

radx

radx

x

rad

4

º180

º45

º45

º180

Assim, radº4

45

Ex.2: Transformar rad6

em graus:

Resolução: neste caso, basta lembrar

que rad = 180º e substituir por 180º.

º306

º180

66

radrad

Assim, ºrad 306

.


01) Converta para radianos: a) 60º b) 30º

c) 90º d) 135º e) 270º


f) 300 º g) 330º 02) Converta em graus:

a) rad4

5

b) rad3

2

c) rad2

3

d) rad16


e) rad5

3

f) rad6

5

03) Observe a figura abaixo:

O arco MN tem comprimento de 18 cm e o raio da circunferência é 6 cm. Determine em radianos e em graus a

medida do ângulo central .


04) Um pêndulo tem 18 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 50º. Qual é o comprimento do arco que a extremidade pêndulo descreve?

05) O maior ponteiro de um relógio mede 12 cm. Qual o comprimento do arco que a extremidade deste ponteiro percorre durante 20 minutos?


06) Qual o ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca: a) 3h 30min b) 9h 45min

c) 2h 42min


07)

Na figura acima, enquanto a tartaruga pronunciava a pergunta, o coelho distanciou 16,66m na pista circular de 31,83m de raio. Determine a medida, em graus, do arco descrito pelo coelho neste intervalo de tempo.

08)

As duas polias da figura giram juntas por estarem ligadas por uma correia inextensível. Quantos graus deve girar a menor para que a maior dê uma volta completa?


CICLO TRIGONOMÉTRICO

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário montada sobre um sistema de eixos ortogonais com centro na origem orientada no sentido anti-horário a partir da intersecção com o ramo positivo do eixo horizontal.

O sistema de eixos divide o ciclo

em quatro quadrantes. A figura abaixo mostra as

características descritas acima:

ASSOCIANDO NÚMEROS A PONTOS DO CICLO

Cada número real x está associado à um ponto do ciclo trigonométrico. Para fazer esta associação, adotamos algumas convenções. Acompanhe no ciclo da figura:

1. Ao número real x = 0, associamos o ponto A, chamado de ORIGEM DO CICLO;

2. A um número real x qualquer, associamos um ponto P, final do seguinte percurso sobre o ciclo:

Partimos da origem A

Se x > 0, percorremos o ciclo no sentido anti-horário, chamado de sentido positivo.

Se x < 0, percorremos o ciclo no sentido horário, chamado sentido negativo;

O comprimento total do percurso é igual a | x |.

3. O ponto P, final do percurso, está associado ao número x. Dizemos que P é a imagem de x no ciclo.

No ciclo a seguir estão destacadas as

imagens dos números 2

, ,

2

3 e 2 .

Os pontos destacados acima, além da própria origem do ciclo, não estão em nenhum dos quadrantes. No exemplo a seguir estão outros pontos, agora fora dos eixos.


_____________________________

ARCOS CONGRUENTES

Observe, no ciclo a seguir, as

imagens de 6

e

6

13 no ciclo

trigonométrico:

Toda vez que um ponto é imagem de dois arcos diferentes como foi o caso

de 6

e

6

13, chamamos estes arcos de

côngruos ou congruentes.. Note que todos os arcos côngruos diferente entre si de um número múltiplo de 2 que é

exatamente o comprimento de uma volta. Veja, na próxima página, uma situação que exemplifica o caso:

Ao número 3

está associado o ponto P.

Ao número

23 também está

associado o ponto P.

Ao número

223

, mais uma vez está

associado o mesmo ponto P. Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos que, na primeira figura ele

deslocou-se 3

ou 60º de A até P.


Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira ( 2 ou

360º) mais 3

ou 60º, ou seja, deslocou-

se 3

7 ou 420º.

Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras ( 22

ou º3602 ) e mais 3

ou 60º, ou seja,

deslocou-se 3

13 ou 780º.

Supondo que o ponto deslocasse

k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB será escrito da seguinte forma:

𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋 𝑜𝑢 60° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ

Esta forma é chamada de expressão geral dos arcos de

extremidade 3

.

A partir desta ideia, podemos definir:

Ex.1: Escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 45º. Resolução: A expressão geral é ºk 360 .

Como º45 , temos, como expressão

geral Z k com,ºkº 36045 .

Ex.2: Escrever a expressão geral dos

arcos côngruos a 4

3rad.

Resolução: A expressão geral é kx 2 .

Como 4

3x , temos como expressão

geral Z k com,k

24

3

_____________________________

PRIMEIRA DETERMINAÇÃO

A primeira determinação de um arco é o menor arco não negativo congruente ao arco dado, ou seja, é a primeira imagem do arco no sentido anti-horário a partia da origem do ciclo. Veja nos exemplos a seguir:

Ex.1: Qual a primeira determinação do arco de 1320º? Resolução: Para encontrar a primeira determinação, devemos dividir o arco dado por 360º. O resto indicará a resposta procurada.

Dois arcos são côngruos quando suas medidas se diferem de um

múltiplo de 2 ou 360º.


Assim, ººº 36032401320 e a

primeira determinação é 240º. Ex.2: Qual a primeira determinação do arco de -750º? Resolução:

Assim, ººº 3603330750 e a primeira determinação é 330º.

09) Localize, mesmo que aproximadamente, a imagem de cada um dos números abaixo, no ciclo trigonométrico a seguir: a) 60º b) 300º c)120º

d) 240º

e) 405º

f) 840º

10) Localize, mesmo que aproximadamente, a imagem de cada um dos números abaixo, no ciclo trigonométrico a seguir:

a) rad3

b) rad

4

5

c) rad6

11 d) rad

3

2

e) rad3

8 f) rad

6

17

11) Indique a primeira determinação de cada um dos arcos a seguir: a) 685º


b) 780º c) 1140º d) 850º

e) -400º f) -1310º

g) rad2

15


h) rad3

10

i) rad6

23

j) rad5

21

k) rad2

9

l) rad4

17

12) Escreva a expressão geral dos arcos congruentes aos arcos dados (dica: encontre, antes, a primeira determinação de cada arco) a) 800º


b) 420º c) 1640º

d) rad4

9

e) rad3

19

f) rad5

33

13) Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados: a)

b)


c)

14) No skate, muitas manobras do vert (rampa em forma de U) têm no nome números que indicam a rotação do skate ou do atleta. Uma manobra como o “180 ollie frontside” consiste num giro de meia-volta do skate e do atleta no ar quando o conjunto sai da rampa, voltando para ela com o skate em uma nova posição. Considerando apenas o nome das manobras abaixo: I) fakie 360 II) 540 McTwist III) 720 McHawk IV) 900 kwist a) Descreva a rotação do skate em cada caso:

b) Quais das quatro manobras descritas têm giros que tornam a posição do skate na reentrada da rampa igual à posição de reentrada de um “stall 180”? Jutifique sua resposta com base em conhecimentos matemáticos.

15) Convertendo rad4

7 em graus,

quanto obtemos?


16) Qual o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60º contido numa circunferência de 1,5cm de raio? 17) Qual a primeira determinação de 2650º?

18) Qual a expressão geral dos arcos

côngruos a 3

14?

19) Em qual quadrante está a extremidade do arco de 960º? E do arco

de rad3

23?


20) Observe a figura a seguir:

No ciclo estão representadas as extremidades de quatro arcos: M, N, P e Q. As retas tracejadas são perpendiculares entre si. a) Escreva a expressão geral de cada um dos arcos em radianos. b) Escreva uma única expressão geral que contenha os quatro pontos.

21) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação típico de arranha-céus. Um prédio de 400m de

altura pode oscilar até

º

2

1. Qual o

comprimento do arco descrito no ponto mais alto de um prédio como este?

(Use = 3,1)


22) Qual a medida, em radianos do arco descrito pelo ponteiro maior de um relógio quando o menor descreve um

arco de rad12

?

23) “A imagem, no ciclo trigonométrico, da soma de dois ou mais arcos coincide com a imagem da soma da primeira determinação dos arcos”. A afirmativa acima é falsa ou verdadeira? Justifique.


As questões 24 a 28 vão levar você a deduzir uma fórmula interessante.

Faça as questões, em sequência, sem saltar nenhum item.

24) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro DAS HORAS de um relógio quando são zero horas. Na mesma figura, desenhe o ponteiro DAS HORAS agora marcando 7 horas. a) Qual o ângulo, em graus, que representa o deslocamento do ponteiro? b) Esse deslocamento é proporcional ao número de horas? c) Qual a expressão que descreve a quantidade de graus do deslocamento deste ponteiro em função da quantidade de horas?

25) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro DAS HORAS de um relógio quando são zero horas. Na mesma figura, destaque a posição do ponteiro DAS HORAS 20 MINUTOS depois deste instante? a) Qual o ângulo, em graus, que representa o deslocamento do ponteiro? b) Esse deslocamento é proporcional ao número de minutos? c) Qual a expressão que descreve a quantidade de graus do deslocamento deste ponteiro em função da quantidade de minutos?


26) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro DOS MINUTOS de um relógio quando são zero horas. Na mesma figura, desenhe o ponteiro DOS MINUTOS, 20 minutos depois. a) Qual o ângulo, em graus, que representa o deslocamento do ponteiro? b) Esse deslocamento é proporcional ao número de minutos? c) Qual a expressão que descreve a quantidade de graus do deslocamento deste ponteiro em função da quantidade de minutos?

27) Qual o ângulo entre os ponteiros do relógio quando são 7 horas e vinte minutos?


28) Demonstre a fórmula que determina o ângulo entre os ponteiros de um relógio dadas suas posições. A seguir, descreva como utilizar tal fórmula.

SENO E COSSENO DE ÂNGULOS MAIORES QUE 90º

Vamos lidar, aqui, com senos e cossenos de ângulos que medem mais de 90º (até 180º). Como ainda não conceituamos tais informações, vamos trabalhar de forma prática e, na apostila 11, fundamentaremos tais conceitos. Temos que saber, em princípio, que:

𝑠𝑒𝑛90° = 1

𝑐𝑜𝑠90° = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) 𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(180° − 𝑥)𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°

Ex. Vamos determinar sen120º e cos120º. Resolução:

sen120º sen 180º 120º

3sen60º

2

cos120º cos 180º 120º

1cos60º

2

Assim: 3

sen120º2

e 1

cos120º2


29) Obtenha o valor de: a) sen135º

b) cos135º c) sen150º

d) cos150º

30) Obtenha o valor de cada uma das expressões: a) sen20º sen160º cos44º cos136º

b) sen10º cos50º cos130º sen170º


LEI DOS SENOS

Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles.

𝑎

𝑠𝑒𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛𝐶

Ex1. Em um triângulo isósceles, a base mede 6cm e o ângulo oposto à base mede 120º. Calcule a medida dos outros dois lados do triângulo. Resolução:

Pela Lei dos senos

6

𝑠𝑒𝑛 120°=

𝑥

𝑠𝑒𝑛 30°

6

√32

⁄=

𝑥

12⁄

𝑥√3

2= 3

𝑥 √3 = 6

𝑥 = 6

√3 ∙

√3

√3

𝑥 = 2√3

Resposta: 2√3 cm

Ex.2: Num triângulo ABC, o lado BC mede 5cm, A = 48º e B 25º. Calcular a medida aproximada do lado AB. (Utilize a

tabela que está na página 16 da apostila 9.) Resolução: Pela Lei dos Senos

𝐵𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝐴𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝐴𝐵

𝑠𝑒𝑛 𝐶

Do enunciado, temos o lado BC (5cm) e queremos o lado AB, logo precisamos dos ângulos A e C.

�̂� + �̂� + �̂� = 180° 48° + 25° + �̂� = 180°

�̂� = 107° Aplicando a lei dos senos

𝐵𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝐴𝐵

𝑠𝑒𝑛 𝐶

5

𝑠𝑒𝑛 48°=

𝐴𝐵

𝑠𝑒𝑛 107°


(Observe a nota de rodapé1 )

5

0,743=

𝐴𝐵

0,956

𝐴𝐵 =5 ∙ 0,956

0,743

AB = 6,43

Resposta: o lado AB mede 6,43 cm

31) No triângulo da figura abaixo, encontre as medidas de b e c

1 Como vimos na página 24 desta

apostila, 𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥)

32) Num triângulo ABC são dados

A = 45º, B = 30º e a + b = 2 1 . Calcule

o valor de a.


33) Use da tabela da página 16 da apostila 9 e determine o valor aproximado de x em cada caso: a)

b)

c)

34) A figura mostra um triângulo isósceles de base BC. Calcule a medida da base BC admitindo-se conhecidos m,

e .


35) Na figura, calcule o comprimento do

segmento AB em função de m e .

LEI DOS COSSENOS

Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴

Ex.1: Calcule o comprimento do lado AB no triângulo abaixo:

Resolução: Da lei dos cossenos:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶

𝑐2 = 102 + 182 − 2 ∙ 10 ∙ 18 ∙ cos 120°

𝑐2 = 100 + 324 − 360 ∙ (−1

2)

𝑐2 = 424 + 180

𝑐 = √604

𝑐 = 2√151

Resposta: O lado AB mede 2√151 u.c.


Ex.2 O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 5cm. Quanto mede a diagonal menor deste losango? Resolução:

2 2 2

2

2

5 5 2 5 5 cos20º

25 25 50 0,94

3

3

1,7

d

d

d

d

d cm

Resposta: a diagonal menor mede aproximadamente 1,7cm

36) Calcule o comprimento da diagonal maior do losango do exemplo 2 acima.

37) Calcule x na figura abaixo:

38) Na figura abaixo, são dados (em centímetros) os comprimentos dos lados a, b além da medida do ângulo C. Calcule o comprimento do lado c.

4

3 2

45º

a

b

C


39) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 10cm e 14 cm e formam um ângulo de 60º. Determine:

a) A medida das diagonais. b) A área do paralelogramo.

40) Duas forças de intensidade F1 = 8N e F2 = 12N formam entre si um ângulo de 60º. Qual a intensidade de R resultante destas forças?


41) Um corredor A está numa reta r e corre sobre ela no sentido AX. Um corredor B não está sobre r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A. Sendo a partida simultânea, que direção deve tomar B se as velocidades de ambos são conhecidas? Considere BÂX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B igual a 9m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para\que o encontro seja possível.

42) Quanto vale o ângulo do vértice de um triângulo isósceles cuja base tem comprimento igual a um terço da medida dos lados congruentes?


43) Na figura, Bé ponto médio de DE e ABCD é um retângulo de lados DC = 1 e AD = 2. Determine AE.


RESPOSTAS 01)

a) rad3

b) rad

6

c) rad

2

d) rad

4

3

e) rad2

3 f) rad

3

5

g) rad

6

11

02) a) 225º b) 120º c) 270º d) 11º 15’ e) 108º f) 150º

03) 3 rad ou (540/)º

04) Aproximadamente 15,7 cm

05) Aproximadamente 25,2 cm

06) a) 75º b) 22,5º ou 22º 30’ c) 171º

07) 30º

08) 600º

09)

10)

11) a) 325º b) 60º c) 60º d) 130º

e) 320º f) 130º

g) rad2

3 h) rad

3

4

i) rad

6

11 j) rad

5

k) rad

2

l) rad

4

12) a) Zkcom,ºkº 36080

b) Zkcom,ºkº 36060

c) Zkcom,ºkº 360200

d) Zkcom,k

2

4

e) Zkcom,k

2

3

f) Zkcom,k

2

5

3

13) a) Zkcom,k

2

6

b) Zkcom,k

4

c) Zkcom,k

2

6

5

14) a) Fakie 360: giro de uma volta completa. 540 McTwist: giro de uma volta completa mais meia-volta. 720 McHawk: giro de duas voltas completas. 900 kwist: giro de duas voltas completas mais meia-volta.

b) 540 McTwist e 900 kwist 15) 325º

16) cm2

17) 130º


18) Zkcom,k

2

3

2

19) III Quad. e IV Quad.

20) a) Zkcom,k:M

2

3

Zkcom,k:N

2

6

5

Zkcom,k:P

2

3

4

Zkcom,k:Q

2

6

11

b) Zkcom,

k

23

21) 3,44 metros.

22) rad

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume único. São Paulo,

Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros;

Matemática, Volume único. São Paulo,

Atual, 2002.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

PAIVA, Manoel; Matemática;

Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.

A figura da página 09 (exercício 07) foi extraída

do livro Matemática, Volume único de Gelson

Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e

Roberto Périgo.

Link para os vídeos sugeridos: Pág. 27 www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/lei-dos-senos Pág. 30 www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/lei-dos-cossenos

referÊncia bibliogrÁfica 35 -...

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