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Leis de Kirchhoff

Prof. Augusto Melo

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1 Introdução

2 1ª Lei de Kirchhoff – Lei dos nós

3 Exemplo 1 – 1ª Lei

4 Exemplo 2 – 1ª Lei

5 2ª Lei de Kirchhoff – Lei das Malhas

6 A explicação para a 2ª Lei

7 Referenciais – Introdução

8 Referenciais – Gerador e Receptor

9 Referenciais – DDP’s

10 Referenciais – Por onde começar?

11 Procedimento para resoluções de exercícios – Resumo

12 2ª Lei de Kirchhoff – Exemplo em um circuito simples

13 Exemplo 3 – Leis de Kirchhoff



16 Créditos

Leis de Kirchhoff

Introdução

Leis de Kirchhoff

Prof. Augusto Melo

Gustav Robert Kirchhoff (*1824, Koenigsberg,

Prússia; +1887, Berlim, Alemanha): estudou na

Universidade de Koenigsberg, onde foi discípulo de

Neumann, com o qual começou a estudar o

eletromagnetismo. Em 1845 ele publicou suas duas

leis para circuitos elétricos, estendendo assim as

descobertas anteriores de Ohm. Em 1850 foi

contratado pela Universidade de Breslau, onde

continuou a fazer pesquisas em mecânica dos

sólidos. Quatro anos depois, foi para a Universidade

de Heidelberg onde, além das pesquisas em

eletricidade, estudou radiação térmica e

espectroscopia do Sol, juntamente com Bunsen,

descobrindo os elementos químicos césio e rubídio.

Terminou sua carreira acadêmica na Universidade de

Berlim como professor de física matemática. Durante

quase toda a sua vida teve que usar muletas ou

cadeiras de rodas, devido a uma deficiência motora.

1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes, ou lei dos nós)

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Num dado nó, a somadas correntes que entramé igual à soma dascorrentes que saem. Ouseja, um nó não acumulacarga.

1 2 3I I I chegam saemi i

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Exemplo 1:

Três fios condutores decobre, F1, F2 e F3, estãointerligados por solda, comomostra a figura, e sãopercorridos por correnteselétricas de intensidades i1,i2 e i3, respectivamente,sendo i1 = 2 A e i2 = 6 A nossentidos indicados.Determine o sentido e aintensidade da correnteelétrica no fio F3.

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chegam saemi i

3 1 2i i i

3 2 6i

3 8i A

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Exemplo 2:

A figura ilustra fios de cobreinterligados. Considerandoas intensidades e os sentidosdas correntes elétricasindicadas, calcule i1 e i2.

chegam saemi i

220 8 i 2 12i A

1 8 10i 1 18i A

2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões, ou lei das malhas)

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Em um percurso fechado, asoma algébrica das tensões é nula.

0U


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0U

R

final inicialU V V

olho olhoU V V

0U


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Para resolvermos os exercícios envolvendo a2ª Lei de Kirchhoff precisamos adotar algunsreferenciais (arbitrários) para manter um padrãona montagem das equações.

Vale destacar que os sinais usadoscaracterizam uma convenção não rígida. Vocêpoderá trocar os sinais desde que mantenha umpadrão para a sua resolução.


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As convenções de sinal que iremos adotarpara as diferenças de potencial nos elementos docircuito estarão resumidas a seguir (não hárigidez nessa escolha) .

A animação indica o sentido em que iremospercorrer o circuito.

geradori

receptori


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observador

observador

observador

observador

R

R

i

i

U R i

U R i

U

U


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Inicie a resolução dos problemas colocandoa(s) corrente(s) no circuito.

Iremos escolher o maior valor de forçaeletromotriz (εmáx) para colocar a corrente inicial(i1) convencionando-o como gerador.

máx

1i


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Coloque as correntes que passam em todos osresistores do circuito com os seus respectivosnomes e sentidos.

A seguir escreva uma equação para cadamalha, seguindo o padrão de sinais escolhidospara a DDP em cada trecho do circuito.

Resumindo ...

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Instruções para operacionalizar as Leis de Kirchhoff:

1. contamos o número de ramos (trecho do circuito que liga dois

nós consecutivos).

2. arbitramos em cada ramo uma intensidade de corrente.

3. o numero de ramos que é igual ao número de correntes

corresponde ao número de incógnitas e portanto ao número

de equações necessárias para resolver o problema.

4. aplicamos a equação dos nós à todos os nós menos um

(quando aplicamos a 1ª lei à todos os n nós existentes só

obtemos n – 1 equações diferentes).

5. usamos a Lei das Malhas várias vezes de modo a obtermos o

número de equações necessárias para resolver o problema.

6. resolvemos o sistema de equações obtido.

7. quando obtemos valores negativos para algumas intensidades

de corrente, trocamos o sentido arbitrado para estas

correntes.


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0U

R

i

i

Ri 0

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Leis de Kirchhoff (exemplo 3)

Vamos calcular as intensidades de corrente no circuito:

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1i

1i 2i

3i 2i

2i1i

1 2 3i i i

Arbitramos em cada ramo uma intensidade de corrente e aplicamos a

Lei dos Nós em B.

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Aplicamos a Lei das Malhas 2 vezes para completar as 3

equações necessárias para resolver o problema.

1i

1i 2i

3i 2i

2i1i 1 2 3i i i

1 3 3 170 4 7 6 4 3 0i i i i 2 3 37 4 6 7 0i i i

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Resolvemos o sistema de equações obtido.

1 3 3 170 4 7 6 4 3 0i i i i

2 3 37 4 6 7 0i i i

1 2 3i i i 2 37 18 64i i

2 37 11 6 i i ( 1)

2 3

2 3

3 3

2 1

7 18 64

7 11 6

29 58 2

4 6

i i

i i

i i A

i A e i A

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No circuito visto na figura, as baterias são ideais, suas fem são dadas

em volts e as resistências em ohms. Determine, em volts, a diferença

de potencial Uab, isto é, Va – Vb.

VV

V

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Vamos escolher a maior força eletromotriz (εmáx) para

convencionarmos como gerador e colocar a primeira corrente (i1).

VV

V

1i

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Prosseguiremos aplicando as correntes em cada ramo do circuito.

VV

V

1i1i

Nó

2i3i2i

2i

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No segundo ponto de divisão de correntes (nó) as correntes voltam a

se juntar, passando ao valor i1.

Nó

Nó

1i

1i

VV

V

1iNó

2i3i2i

2i

1i

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Nos pontos de divisão de correntes (nós) iremos aplicar a 1ª Lei de

Kirchhoff:

Nó

Nó

1i

1i

VV

V

1iNó

2i3i2i

2i

1 2 3i i i

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Agora iremos escrever uma equação para cada malha:

Nó

Nó

1i

1i

VV

V

1iNó

2i3i2i

2i

1 2 3i i i (I)

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1i2 – 3 – 1i3 – 10 + 2i2 = 0 (II)

Nó

Nó

1i

1i

VV

V

1iNó

2i3i2i

2i

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1i1 + 2i1 – 11 + 1i3 + 3 = 0 (III)

Nó

1i

1i

VV

V

1iNó

2i3i2i

2i

Nó

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1 2 3i i i (I)

1i2 – 3 – 1i3 – 10 + 2i2 = 0 (II)

3i2 – 1i3 = 13 (II)

1i1 + 2i1 – 11 + 1i3 + 3 = 0 (III)

3i1 + 1i3 = 8 (III)

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1 2 3i i i (I)

Vamos substituir a equação (I) na equação (III)

3i1 + 1i3 = 8 (III) 3i1 + 1i3 = 8 (III)

3(i2 + i3) + 1i3 = 8 (III)

3i2 + 3i3 + 1i3 = 8 (III) 3i2 + 4i3 = 8 (IV)

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Resolvendo o sistemas com as equações (II)

e (IV):

3i2 + 4i3 = 8 (IV)

3i2 – 1i3 = 13 (II)

( 1)

3i2 – 1i3 = 13 (II)

–3i2 + 4i3 = –8 (IV)

–3i3 = 3

i3 = –1 A

O sinal negativo apenas

indica que esse é o

sentido real da corrente

elétrica.

Prossiga normalmente

com as devidas

substituições, mantendo

o sinal negativo.

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Substituindo valor de i3:

3i2 – 1i3 = 13 (II) 3i2 – 1(–1) = 13

i2 = 4 A

i1 = i2 + i3 (I)

Calculando o valor de i3:

i1 = 4 + (–1)

i1 = 3 A

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Calculando a DDP entre os pontos citados:(Podemos escolher qualquer caminho)

3A

3A

VV

V4A

Uab = 1.4 + 1.3 + 2.3 = 13 V

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No circuito esquematizado, determine o potencial no

ponto D:

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Colocando as correntes no circuito I:

1i1i

1i1i

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No circuito I, temos:

–6 + 2i1 + 2i1 + 2i1 = 0

i1 = 1 A (sentido horário).

1i1i

1i1i

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Colocando as correntes no circuito II:

2i

2i2i

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2i

2i2i

No circuito II, temos:

1i2 + 1i2 + 2i2 – 12 = 0

i2 = 3 A (sentido horário).

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1i 2i3 0i

0AV

Trecho de circuito aberto.

Ligação à Terra.

UDA = +12 + 2i2 + 1i3 + 10 + 2i1VD –VA = +12 + 2.3 + 1.0 + 10 + 2.1

VD – 0 = +12 + 6 + 0 + 2

VD = 18 V

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