TURMA: DATA: NOME:

1. GRANDEZAS FÍSICAS

1.1. Grandezas Escalares

São totalmente definidas somente por um valor numérico

associado a uma unidade de medida.

Exemplos: Tempo, massa, comprimento, temperatura,

energia, carga elétrica, potencial elétrico, corrente

elétrica, resistência elétrica, potência, calor específico,

coeficiente de dilatação térmica.

1.2. Grandezas Vetoriais

São totalmente definidas por um valor numérico

acompanhado de uma unidade de medida, direção e

sentidos.

Exemplos: Deslocamento, força, torque, aceleração,

quantidade de movimento, impulso, campo elétrico,

campo magnético.

Atenção!

Não confunda direção com sentido. Uma reta define uma

direção e a essa direção podemos associar dois sentidos.

2. VETORES

Um vetor é representado por um segmento de reta orientado,

onde possui: uma origem ( A ) e extremidade ( B ).

Figura 1

A figura 1 ilustra o vetor AB que tem direção horizontal, sentido da esquerda para a direita e módulo dado pelo

comprimento AB . O vetor AB também pode ser designado

por uma única letra minúscula d .

Observações:

Dois vetores a e b são iguais se, e somente se,

apresentarem o mesmo módulo, a mesma direção e o

mesmo sentido: a b .

Se dois vetores a e b , possuem o mesmo módulo, a mesma

direção, mas sentidos contrários, eles representam

vetores opostos: a b .

3. SOMA DE VETORES

A soma de vetores pode ser feita através de três métodos: a

regra do polígono, a do paralelogramo e a dos componentes

vetoriais.

3.1. Regra do Polígono

A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer

número de vetores, para a sua aplicação, devemos colocar

os vetores de modo que:

A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do

primeiro;

A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do

segundo e, assim, sucessivamente.

O vetor soma é determinado ligando-se a origem do primeiro

à extremidade do último vetor traçado.

Observe a figura:

Figura 2

s a b c d e

Observações:

Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores

parcelas não altera a soma.

a b c d e a c d e b

Se o polígono formado pelos vetores for fechado, ou seja, a

extremidade do último coincidir com a origem do

primeiro, então o vetor soma é nulo.

Figura 3

s a b c 0

A regra de polígono também pode ser usada no caso de

adição e subtração simultâneas de vetores.

2

s a b c ou s a b c

Figura 4

3.2. Regra do Paralelogramo

A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de

dois vetores. Essa regra permite determinar o módulo do

vetor soma para qualquer que seja o ângulo entre os vetores

somados.

Dados dois vetores, a e b , o vetor s (soma) é obtido do

seguinte modo:

Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor,

desenhamos os dois vetores com suas origens

coincidentes a partir da extremidade do vetor a ,

traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor b . Em

seguida, a partir da extremidade do vetor b , traçamos

um outro, paralelo ao vetor a .

Figura 5

O vetor soma ( s ) é obtido ligando-se o ponto origem comum

dos vetores ao ponto de cruzamento dos segmentos de

reta traçados:

Figura 6

Sendo o ângulo entre os vetores a e b , o módulo do vetor

soma é dado por:

s a b a b2 2 2 2 cos

Mas 180 então cos cos , portanto,

s a b a b2 2 2 2 cos

Observação:

O ângulo entre dois vetores é definido como o “menor

ângulo” determinado por eles quando dispostos “origem

com origem”, portanto o ângulo entre a e b é e não

.

Casos Particulares:

Quando o ângulo entre dois vetores for 0°, 90° ou 180°

existem expressões simplificadas para a determinação do vetor soma.

Adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido (

0 ):

Figura 7

s a b

Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos

contrários ( 180 ):

Figura 8

s a b

Adição de dois vetores perpendiculares entre si ( 90 ):

Figura 9

s a b2 2 2

Observações:

O valor máximo para o módulo do vetor soma se obtém para

a soma de dois vetores de mesma direção e mesmo

sentido:

s a b

O valor mínimo para o módulo do vetor soma se obtém para

a soma de dois vetores de mesma direção e sentidos

contrários:

s a b

O módulo do vetor soma pode assumir todos os valores

compreendidos entre o valor máximo e o valor mínimo.

3

Figura 10

a b s a b

Exercício Resolvido:

Se um avião que se desloca de oeste para leste com

velocidade 1v 800km/h for atingido por um vento de

velocidade 2v 70km/h , a velocidade resultante v do avião

será obtida efetuando-se a adição dos vetores 1v e

2v ,

conforme o sentido do vento.

a) Se o vento sopra de oeste para leste:

1 2

800 70

870 km / h

v v v

v

v

b) Se o vento sopra de leste para oeste:

1 2

800 70

730 km / h

v v v

v

v

c) Se o vento sopra de norte para sul:

2 2 2

1 2

2 2 2800 70

640.000 4.900

803 km / h

v v v

v

v

v

3.3. Regra dos Componentes Vetoriais

Todo vetor pode ser representado por dois outros vetores,

perpendiculares entre si. A estes vetores denominamos

componentes ortogonais do vetor dado.

Figura 11

A lei dos senos, pode ser muito útil no estudo dos vetores.

Figura 12

A lei dos senos estabelece que:

a b c

se n se n se n

Observação:

180 se n se n

4

4. SUBTRAÇÃO DE VETORES

O vetor diferença entre a e b ( d a b ) pode ser obtido

pela soma do vetor a com o oposto de b :

d a b d a b .

O oposto do vetor b , ou seja, o vetor b , tem o mesmo

módulo e mesma direção de b , porém sentido contrário.

Figura 13

O módulo de d também fica determinado pela lei dos cossenos.

d a b a b2 2 2 2 cos

5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM

VETOR

O produto de um número real n , não nulo, por um vetor A

é um vetor B tal que:

Módulo: B n A

Direção: A mesma de A

Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de A

se n for negativo.

Observações:

Observe que F m a , assim podemos observar que como a

massa m de um corpo é sempre positiva concluímos

que a força e a aceleração estarão sempre na mesma

direção e sentidos.

Observe que EF q E , assim podemos observar que se

q 0 , EF e E terão a mesma direção e sentidos, mas

se q 0 , EF e E terão a mesma direção e sentidos

opostos.

Tópico Avançado

7. VERSORES

Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários.

Usaremos o versor i para a direção horizontal e o versor j

para a direção vertical, sendo i j 1 .

Figura 14

a i j

b i j

c i j

d i j

1 7

4 0

0 3

2 0

S i j3 4

Anotações...

5

EXERCÍCIOS DE CLASSE

01. (UEPG – PR) Quando dizemos que a velocidade de uma

bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos

definindo a velocidade como uma grandeza:

a) Escalar b) Algébrica

c) Linear d) vetorial

e) n.d.a.

02. Suponha dois vetores de mesmo módulo v . A respeito

da soma desses vetores, podemos afirmar que:

a) pode ter módulo v 10

b) pode ter módulo v

c) tem módulo v2

d) é nula

e) tem módulo v 2

03. (UFC-2006) Analisando a disposição dos vetores B A

, E A , CB , CD e DE , conforme figura a seguir,

assinale a alternativa que contém a relação vetorial

correta.

a) CB + CD + DE = B A + E A

b) B A + E A + CB = DE + CD

c) E A – DE + CB = B A + CD

d) E A – CB + DE = B A – CD

e) B A – DE – CB = E A + CD

04. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de AB , B E

e CA é:

a) AE b) AD

c) CD d) CE

e) B C

05. (Unifor/1998.1) As forças F1 , F2 e F3 , cujas

intensidades são, respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0

N, têm direções coincidentes com as arestas de um

bloco retangular, conforme esquema abaixo.

A intensidade da resultante dessas três forças vale, em

newtons,

a) 3,7 b) 5,5

c) 7,0 d) 9,3

e) 11

06. Determine o vetor resultante nos casos abaixo. Todas

as figuras são polígonos regulares de lado v .

6

07. Duas forças cujos módulos valem 1F e 2F , estão

aplicadas sobre uma partícula de modo que a força

resultante é perpendicular a 1F . Se 2F tem o dobro do

módulo de 1F , então o ângulo entre elas vale:

a) 30° b) 60°

c) 90° d) 120°

e) 150°

08. Dois vetores perpendiculares a e b são tais que:

a b 17 e 13a b .

Determine os módulos de a e b sabendo que a b .

a) 12a ; 5b b) 5a ; 12b

c) 3a ; 10b d) 10a ; 3b

e) n.r.a.

09. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador

circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos

tem comprimento igual ao raio do mostrador.

Considere esse ponteiro como um vetor de origem no

centro do relógio e direção variável. O módulo da soma

dos três vetores determinados pela posição desse

ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas,

12 h e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é,

em cm, igual a:

a) 30 b) 10 1 3

c) 20 d) zero

10. (UnB-DF) Ao se determinar a resultante de seis vetores

de mesmo módulo k , pelo método do polígono, foi

obtido um hexágono regular dando resultante nula. Se

trocarmos o sentido de três deles, alternadamente, a

resultante terá módulo igual a:

a) 2 k b) 2 3 k

c) 3

2k d) zero

e) 6 k

11. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão representados três

vetores a , b e c . Os vetores i e j são unitários.

Analise as expressões:

(I) 2 3a i j

(II) 2b j

(III) 1b c i

Podemos afirmar que:

a) são corretas apenas a (I) e a (II).

b) são corretas apenas a (II) e a (III).

c) são corretas apenas a (I) e a (III).

d) são todas corretas.

e) há apenas uma correta.

12. (UFTMA) figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja

resultante da soma de todos os vetores representados

tem módulo, em cm, igual a:

a) 8.

b) 26

c) 34.

d) 40.

e) 52.

13. Na figura abaixo estão representados os vetores a e ,b

com 5a e 8b .

7

a) Determine o módulo do vetor s tal que s a b .

b) Determine o ângulo entre os vetores a e s .

14. (FACS- BA) Considerando o conjunto de vetores

representado abaixo, dê o valor verdadeiro (V) ou falso

(F) para as sentenças a seguir:

a) y z s

b) x w y z

c) y w z x

d) s x u v

e) 0u v s x

f) 0u x y z v

15. A figura ilustra 3 vetores apoiados num cubo de aresta

3a . A resultante desses três vetores tem módulo:

a) 6

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

EXERCÍCIOS DE CASA

01. Em cada caso a seguir, determine o módulo da

resultante dos vetores dados:

a) 13

7

a

b

b) 15

7

a

b

c) 5

12

x

y

d) 4

6

a

b

e) 7 3

6 9

a c

b d

f) 10x y

g) 5a b c

02. Na figura abaixo estão representados os vetores a e x ,

com 10x e 6a . Determine o vetor w tal que

x a w .

8

03. (Fund. Carlos Chagas-SP) A figura mostra três vetores,

A , B e C . De acordo com a figura podemos afirmar

que:

a) 0A B C

b) A B C

c) B A C

d) A B C

e) A B C

04. (Fund. Carlos Chagas-SP) Qual é a relação entre os

vetores M , N , P e R representados na figura?

a) 0M N P R

b) P M R N

c) P R M N

d) P R M N

e) P R N M

05. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u , construiu-se

o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor

resultante desses 6 vetores é:

a) 40 u

b) 32 u

c) 24 u

d) 16 u

e) zero

06. (UFC – 1999) Na figura abaixo, onde o reticulado forma

quadrados de lados 0,5 cm , estão desenhados 10

vetores contidos no plano xy . O módulo da soma de

todos esses vetores é, em centímetros:

a) 0, 0

b) 0, 5

c) 1, 0

d) 1, 5

e) 2, 0

07. (UECE – 2005.2/2) Considere as 10 forças

representadas pelos vetores na figura.

Marque a opção que melhor representa a resultante

dessas dez forças.

08. Dois vetores de módulos iguais são tais que o módulo

da soma deles vale (x) e, o módulo da diferença vale (y).

Pode-se afirmar que cada um deles vale:

a)

2

x y b)

2 2

2

x y

c) 2 2

2

x y d)

2 2

2

x y

09. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados

os vetores a , b e c e os versores i e j . Assinale a

sentença errada:

d) c)

b) a)

9

a) 2b j

b) 3a i

c) 2c i j

d) c a b

e) 2 2c

10. No esquema, estão representados os vetores 1

v , 2

v ,

3v e

4v . A relação vetorial correta entre esses valores

é:

a) 1 4 2 3

.v v v v

b) 1 2 3 4

0.v v v v

c) 1 3 4 2

.v v v v

d) 1 4 2

.v v v

e) 1 3 4

.v v v

11. Seis vetores fecham um hexágono regular, dando

resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles,

alternadamente, a resultante terá módulo:

a) igual ao de um vetor componente;

b) 2 vezes o módulo de um vetor componente;

c) 2 3 vezes o módulo de um vetor componente;

d) 3 2 vezes o módulo de um vetor componente;

e) nulo.

12. Na figura, estão representados quatro forças, 1

F , 2

F ,

3F e

4F , de intensidades iguais a 2 N , superpostas

às diagonais dos quadrados em que estão inseridos.

A intensidade da resultante dessas quatro forças é

igual a:

a) 0.

b) 1 N.

c) 2 N.

d) 4 N.

e) 8 N.

13. Dados os vetores a e b representados na figura,

determine o módulo de:

a) ;s a b

b) .d a b

14. Determine em cada caso a expressão vetorial que

relaciona os vetores a , b e c .

15. (Unifor) A figura mostra 3 forças 1

F , 2

F e 3

F de

intensidades iguais a 6 N, 3 N e 2 N. A resultante

dessas forças tem intensidade:

a) 3 N b) 4 N

c) 5 N d) 7 N

e) 11 N

10

1 2 3 4 5

d b d d c

6 7 8 9 10

* b a d d

11 12 13 14 15

d c ** *** a

GABARITOS - EXERCÍCIOS DE SALA

* )2 3; )2 2; )6 ; )2a v b v c v d v

** ) 41; ) 90a b

*** ) ; ) ) ) ) )a F b Vc Vd Fe Ff V

1 2 3 4 5

* ** e b b

6 7 8 9 10

e b c d a

11 12 13 14 15

e d *** **** d

GABARITOS - EXERCÍCIOS DE CASA

* )20; )8; )13; ) 3,7; )5; )10; )a b c d e f g zero

** 8

*** )10 ; )6a u b u

**** ) ; ) 0; )a a b c b a b c c a c b