reconstrução de imagens médicas de tomografia
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Reconstrução de Imagens Médicas de Tomografia Computadorizada
Utilizando a Transformada de Radon
Lucas Daniel A. de Sousa, Pedro Henrique A. Veríssimo,
Valquíria Gusmão Macedo Universidade Federal do Pará – Faculdade de Engenharia Elétrica
66075-110, Campus do Guamá, Belém, PA
E-mail: amarante_sousa@ hotmail.com, [email protected], [email protected]
Palavras – Chave: Matemática Aplicada à Engenharia, Tomografia Computadorizada,
Transformada de Radon, Retroprojeção.
Resumo: Neste trabalho apresentamos a Transformada de Radon aplicada a Tomografia
Computadorizada efetuando a reconstrução de imagens usando retroprojeções filtradas e
comparando com os resultados de retroprojeções não filtradas.
1 Introdução
O objetivo deste trabalho é destacar a importância da Transformada de Radon na análise de
imagens de Tomografia Computadorizada (TC).
O problema em Tomografia Computadorizada pode ser descrito de forma simples: Reconstruir
a forma de um objeto através de medidas das intensidades dos raios-X que o atravessam, conhecendo-
se a intensidade do raio-X imposto no processo e obtendo medições de sua intensidade de chegada a
um detector. Dependendo do caminho que os raios-X percorrem, estes são atenuados e a absorção
local é medida por um conjunto de detectores. Para determinar a estrutura e/ou a forma do objeto, é
necessário que este seja irradiado por todas as direções. A solução deste problema é complexa e
envolve técnicas em matemática, física e computação científica [1].
As bases teóricas da TC remontam de Johann Radon, um matemático de Viena, cujo método
atualmente costuma ser chamado de Transformada de Radon.
2 A Tomografia Computadorizada e a Transformada de Radon
Existem vários outros tipos de tomografias. Cada um destes tipos de tomografias apresenta
uma forma particular de se manter competitivo no mercado de aquisição e processamento de imagens,
em particular de imagens médicas. Um dos mais importantes é a Tomografia por Ressonância
Magnética (MRI - magnetic resonance imaging). Esse tipo de tomografia é amplamente conhecido e
utilizado com o nome de ultrassonografia. Outro exemplo é a Tomografia por Emissão de Pósitrons
(PET) que, juntamente com MRI, tem sido amplamente usada em centros radiológicos avançados de
medicina nuclear. Ainda existe a Tomografia por Emissão de Impedância (EIT). Este é um método
que não usa raios radioativos para a obtenção de imagens. Ao invés de radiação uma diferença de
potencial é induzida em torno do corpo da região a ser estudada, o que produz uma corrente elétrica de
pequena intensidade. No entanto, entre todas, a Tomografia Computadorizada é a mais usada
atualmente. Existem vários motivos para tal, entre eles a simplicidade nas instalações necessárias para
usar TC em relação às demais, o processo de aquisição de imagens por TC possui clara interpretação
em termos físicos e conta com o progresso na tecnologia de detectores. Também, conta com uma
teoria matemática que explica o processo de reconstrução, o qual é relativamente simples, uma vez
que o raio-X atravessa partes do corpo de uma maneira relativamente linear, e com pequena dispersão.
Isto significa que uma anomalia localizada de densidades no tecido vai produzir uma perturbação
relativamente localizada nas medidas (apenas as medidas efetuadas por detectores localizados na linha
de projeção entre o emissor de raios-X e a anomalia serão perturbadas).
A Tomografia Computadorizada (TC) auxilia na obtenção de diagnósticos baseados em
imagens e baseia-se nos mesmos princípios que a radiografia convencional, i.e., os tecidos com
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diferentes composições absorvem a radiação emitida pelo raio-X de forma diferente. Ao serem atravessados por raios-X, tecidos mais densos (como o fígado) ou com elementos mais pesados (como
o cálcio presente nos ossos), absorvem mais radiação que tecidos menos densos (como o pulmão, que
está cheio de ar). Assim, um processo de TC indica a quantidade de radiação absorvida por cada parte
do corpo analisada (radiodensidade), e traduz essas variações em uma escala de cinzentos, produzindo
uma imagem. Cada pixel da imagem corresponde à média da absorção dos tecidos na região escaneada
pelo processo [2].
A reconstrução de imagens tomográficas foi fundamentada originalmente com os trabalhos
matemáticos de Radon, que deduziu um método para projetar um objeto 2-D ao longo de raios
paralelos como parte de seu trabalho com integrais de linha [3]. Na verdade, o conjunto de
informações obtidas num processo de Tomografia são valores da Transformada de Radon medidos por
N detectores.
A Transformada Inversa de Radon consiste no método matemático de resolução, obtido
através da convolução no domínio do espaço das projeções com um filtro unidimensional. Após,
executa-se a retroprojeção das projeções convoluídas.
3 Metodologia
O foco deste trabalho é mostrar a reconstrução de imagens usando retroprojeções filtradas e
compará-las com os resultados de retroprojeções “brutas”. Inicialmente foram calculadas a
Transformada de Radon e posteriormente foram usados algoritmos de retroprojeções para calcular a
transformada inversa. Foram empregados programas do software Matlab com o método da
interpolação linear com o filtro sendo concebido diretamente no domínio de frequência e, em seguida,
multiplicado pela FFT das projeções. As imagens analisadas são de domínio público e estão
disponíveis para processos de aprendizagem [4]. Foram utilizadas três imagens diferentes de
Tomografia Computadorizada do Crânio, originalmente no formato Dicom.
Figura 1: Imagens de Tomografia Computadorizada de crânios com suas respectivas retroprojeções
filtradas e não filtradas.
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A Figura 1 mostra as três imagens analisadas (Original) e suas respectivas reconstruções, com
retroprojeção empregando uma filtragem no domínio da frequência (Retroprojeção filtrada) e
retroprojeção sem filtragem (Retroprojeção não filtrada).
4 Conclusão
As reconstruções das imagens mostradas na Figura 1 comprovam que a retroprojeção não
filtrada gera resultados não aceitáveis uma vez que apresentam um borramento significativo,
degradando muito a imagem original. Entretanto, o uso da técnica da filtragem apresentou um
desempenho considerado bastante satisfatório, o que pode ser comprovado pelas imagens centrais na
Figura 1. Apesar de termos nos concentrado na tomografia por raios X, os princípios desenvolvidos
neste trabalho são aplicáveis a outras modalidades de aquisição de imagens.
5 Agradecimentos
O bolsista Pedro Henrique A. Veríssimo agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico pelo apoio financeiro recebido em forma de bolsa de Iniciação Científica.
O bolsista Lucas Daniel Amarante de Sousa agradece à FAPESPA pelo apoio financeiro
recebido em forma de bolsa de Iniciação Científica.
6 Referências
[1] R. C. Gonzalez e R. E. Woods, “Processamento Digital de Imagens”, Pearson Prentice Hall, 3e,
2009.
[2] Zhi-Pei Liang e Paul C.Lauterbur, “Principles of Magnetic Resonance Imaging”, IEEE PRESS.
[3] J. Radon, “Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser
Mannigfaltigkeiten”. Berichte Saechsische Akademie des Wissenschaften, Leipzig, Math. Phys.Kl., v
69, p.262-277, 1917.
[4] http://imdcursos.blogspot.com.br/p/arquivos.html, acessado em 08 de agosto de 2012.
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