1 Aluna PROMAT/FAMAT-UFU 2 Tutor do PET Matemática da UFU – SESu/MEC Agradecimento: Os autores agradecem à FAPEMIG pelo apoio financeiro

Reconstrução Algébrica e Tomografia Computadorizada

Lara Martins Barbosa1, Marcos Antônio da Câmara

2

UFU - Faculdade de Matemática – Campus Santa Mônica

38408-100, Uberlândia, Minas Gerais

E-mail: lara-barbosa@hotmail.com, camara@ufu.br

RESUMO

A tomografia computadorizada (TC), introduzida na prática clínica em 1972, é uma

modalidade da Radiologia reconhecida pelo alto potencial de diagnóstico. A TC possibilitou a

investigação por imagem de regiões do corpo humano até então não reproduzidas pelos métodos

convencionais. Como visto em [1], a invenção da TC apoiou-se em um tubo de raios-X que gira

emitindo radiação em torno do paciente num plano axial. Um conjunto de detectores

posicionados no lado oposto do tubo capta os fótons de raios-X que atravessam o paciente sem

interagir e um algoritmo de reconstrução, composto de uma seqüência de instruções

matemáticas, converte os sinais medidos pelos detectores em uma imagem. A imagem por TC é

um mapeamento do coeficiente linear de atenuação da seção do corpo humano em estudo. A

imagem é apresentada como uma matriz bidimensional em que a cada elemento desta matriz, o

pixel, é atribuído um valor numérico, denominado número de TC. Este é expresso em unidades

Hounsfield (UH) e está relacionado ao coeficiente linear médio de atenuação do elemento de

volume, voxel, no interior do corte que o pixel representa. O grau da qualidade da imagem liga-

se à fidelidade com que o conjunto de números de TC reproduz as pequenas diferenças em

atenuação entre os tecidos.

Em [2], vemos que os fótons que constituem o feixe de raios X são absorvidos pelo tecido

dentro do pixel numa taxa proporcional à densidade de raios X do tecido. Se o feixe de raios X

passa por uma fileira inteira de pixels, então o número de fótons saindo de um pixel é igual ao

número de fótons entrando no próximo pixel na fileira. Se estes pixels são numerados e é a

densidade de raios X do j-ésimo pixel então, pela propriedade aditiva da função logarítmica,

temos que

Já a densidade de feixe do i-ésimo feixe de um escaneamento é denotada por e é dada por

Para cada feixe que passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels nós devemos ter que

Assim, se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de

pixels numerados então, .

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Se definirmos então, podemos escrever

Logo, escrevendo o conjunto de M equações de feixe de um escaneamento completo, teremos

um sistema linear de M equações (as M equações de feixe) em N incógnitas (as N

densidades de pixel). Neste trabalho vamos considerar apenas o sistema sobredeterminado, em

que M > N. Devido aos erros experimentais e de modelagem não devemos esperar que nosso

sistema linear tenha uma solução matemática exata, portanto encontraremos uma solução

“aproximada” para o sistema.

Muitos foram os algoritmos desenvolvidos para tratar o sistema sobredeterminado. O

Algoritmo de Kaczmarz, que iremos descrever, encontra-se em [3] e pertence a uma classe

chamada de Técnicas de Reconstrução Algébrica.

Escolha um ponto arbitrário do ; para a primeira rodada, tome p = 1; para k = 1, 2,...,

M, calcule –

; denote ; aumente o número da rodada

p em 1 e retorne ao cálculo de . A iterada é chamada a projeção ortogonal de

sobre o hiperplano .

Consequentemente, este algoritmo determina uma sequência de projeções ortogonais de um

hiperplano sobre o seguinte até chegar ao último, quando então retornamos, voltando a projetar

sobre o primeiro. As iteradas no M-ésimo hiperplano, convergem a um ponto

naquele hiperplano que não depende da escolha do ponto inicial

Na tomografia computadorizada é escolhida uma das iteradas , com suficientemente

grande, como uma solução aproximada do sistema linear para as densidades dos pixels.

O algoritmo de reconstrução é selecionado conforme a indicação clínica e a área de estudo.

Alguns intensificam as bordas melhorando a resolução espacial, apropriados para exibir a

imagem detalhada do tecido ósseo. Contudo, todas as técnicas devem resolver o mesmo

problema matemático básico: encontrar uma boa solução aproximada de um sistema

sobredeterminado e inconsistente constituído de um grande número de equações lineares.

Palavras-chave: Tomografia, Algoritmo de Kaczmarz, Reconstrução algébrica

Referências

[1] M. T. Carlos, “Tomografia computadorizada: Formação da imagem e radioproteção”,

LNMRI, IRD/CNEN, 2002.

[2] A. Howard, e C. Rorres, “Álgebra linear com aplicações”, 8ª edição, Bookman, Porto

Alegre, 2001.

[3] T. Strohmer and R. Vershynin, A randomized Kaczmarz algorithm with exponential

convergence, J. Fourier Anal. Appl., vol. 15, pp. 262-278, (2009).

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