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RECOLORAÇÃO CONVEXADE GRAFOSDefesa de Mestrado

27 de Setembro de 2019

Ana Paula dos Santos DantasOrientador: Prof. Dr. Zanoni DiasCoorientador: Prof. Dr. Cid Carvalho de Souza

Instituto de Computação - ICUnicamp

Introdução Recoloração Convexa de Árvores Recoloração Convexa de Grafos Recoloração Convexa Restrita Conclusões

ROTEIRO

1. Introdução

2. Recoloração Convexa de Árvores

3. Recoloração Convexa de Grafos

4. Recoloração Convexa Restrita

5. Conclusões

2

INTRODUÇÃO


COLORAÇÃO CONVEXA

→ Coloração: Função que atribui cores aos vértices de um grafo, independente desua vizinhança

→ Convexa: Cada classe de cor induz um subgrafo conexo

1 2 3

4

5 6

7 8 9

10 11

12

Exemplo de uma coloração convexa

4


RECOLORAÇÃO CONVEXA

� Dados um grafo e uma coloração qualquer, encontrar o menor número devértices que precisam ser recoloridos, de modo a obter uma coloração convexa

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

1

23

4

5

6

7

8

9

Exemplo de recoloração convexa.

0

3 2

0

1

23

4

5

6

7

8

9

Exemplo de recoloração convexa.

5

RECOLORAÇÃO CONVEXA DE ÁRVORES


RECOLORAÇÃO CONVEXA DE ÁRVORES

Convex Tree Recoloring - CTR

→ Motivação: Estudo de árvores filogenéticas⋄ Distância de Recoloração⋄ Erros na construção da árvore ou na classificação⋄ Indicam a ocorrência de convergências ou reversões

→ NP-difícil [1]

→ (2 + ϵ)-aproximação de Bar-Yehuda, Feldman e Rawitz [2]

→ Modelos PLI propostos por de Campêlo et al. [3] e Chopra et al. [4]

7


RECOLORAÇÃO CONVEXA DE ÁRVORES COM APENAS FOLHAS COLORIDAS

Convex Leaf-colored tree Recoloring - CTR

→ NP-difícil [1]→ Algoritmo linear para identificar se precisa recolorir algum vértice [5]→ Polinomial, quando temos até três vértices por cor [6]

1 2 3 4 5

6 7 8 9

10 11

12

Recoloração convexa com apenas folhas coloridas

1 2 3 4 5

6 7 8 9

10 11

12

Recoloração convexa com apenas folhas coloridas

8


RESULTADOS

→ Implementamos o modelo de Programação Linear Inteira para o problema emárvores

→ Criamos instâncias para a versão do problema com apenas folhas coloridas⋄ Usam árvores filogenéticas⋄ Possuem dois parâmetros de configuração pc e pn⋄ O parâmetro pc influencia no número de cores da instância⋄ O parâmetro pn influencia na quantidade de vértices que devem ser recoloridos

→ Executamos o modelo com instâncias dos dois problemas CTR e CLR

9


RESULTADOS

0.25 0.50 0.75pn

−100

0

100

200

Diferenca

Percentual

(%)

(a) pc = 0.005

0.25 0.50 0.75pn

−100

0

100

200

Diferenca

Percentual

(%)

(b) pc = 0.05

0.25 0.50 0.75pn

−100

0

100

200

Diferenca

Percentual

(%)

(c) pc = 0.5

Distribuição das diferenças percentuais das instâncias do CTR e do CLR.

10


RESULTADOS

Análise dos resultados

→ Diferença no número de cores usadas nas instâncias com pc = 0.5

→ Diferença na distribuição de vértices por classe de cor

→ Não haviam instâncias do CLR que poderiam ser expandidas sem recoloraçõesdas folhas

Novas instâncias

→ Criamos novas instâncias específicas para o CLR→ Instâncias criadas variando o tamanho k das classes de cores

(k ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, . . . , 500})⋄ Conjunto 1: folha i recebe a cor (i %(k + 1))⋄ Conjunto 2: folha i recebe uma cor aleatória dentre as k, onde cada cor tem a

mesma probabilidade de ser escolhida

11


RESULTADOS

0 100 200 300 400 500Numero de cores

0

500

1000

1500

2000

Tem

po(s)

Média de tempo do Conjunto 112


RESULTADOS

0 100 200 300 400 500Numero de cores

0

100

200

300

400

500

Tem

pomedio

(s)

Média de tempo do Conjunto 213

RECOLORAÇÃO CONVEXA DE GRAFOS


RECOLORAÇÃO CONVEXA DE GRAFOS

Convex Recoloring - CR

→ Versão do problema de recoloração na qual a classe do grafo não é especificada

→ NP-difícil[7]

→ Não pode ser aproximado com um fator logarítmico [3]

→ Modelo PLI de Campêlo et al. [3]

→ Modelo PLI com geração de colunas de Moura [8]

15


GRASP

→ Greedy Randomized Adaptive Search Procedure

→ Heurística iterativa→ Consiste de duas fases em cada iteração

⋄ Fase 1: constrói uma solução gulosa aleatorizada⋄ Fase 2: busca por um ótimo local

→ Estrutura permite a combinação com outras heurísticas

→ Poucos parâmetros que precisam de ajustes

16


CONSTRUINDO UMA SOLUÇÃO

Algoritmo base para resolver uma instância do CR:

• Contraia todas as arestas que conectam vértices de mesma cor• Enquanto houver uma cor não convexa, faça:

◦ Selecione e ordene vértices candidatos◦ Crie a lista restrita de candidatos (RCL)◦ Sorteie e troque a cor de um vértice da RCL◦ Contraia todas as arestas que conectam vértices de mesma cor

Criamos dois conjuntos de critérios gulosos para selecionar, ordenar e recolorir osvértices candidatos.

17



Conjunto de critérios RATIO

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

r=0.5w=1

1

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

6

r=1.0w=1

7

r=0.5w=1

8

r=1.0w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

r=0.5w=1

1

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

6

r=1.0w=1

7

r=0.5w=1

8

r=1.0w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

6

0

1

23

4

5

66

7

8

9

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

1

34

8

66

25

0 79

1

r=1.0w=1

6

r=1.0w=1

8

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

3

r=0.6w=1

0

r=0.5w=1

4

r=0.5w=1

5

r=0.5w=1

7

r=0.5w=1

9

r=0.5w=1

1

34

8

66

25

0 79

0

r=0.5w=1

1

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

5

r=0.5w=1

6

r=0.6w=3

7

r=0.5w=1

8

r=1.0w=1

9

r=0.5w=1

1

34

8

66

25

0 79

0

r=0.5w=1

1

r=1.0w=1

2

r=0.6w=1

5

r=0.5w=1

6

r=0.6w=3

7

r=0.5w=1

8

r=1.0w=1

9

r=0.5w=1

18



Conjunto de critérios UNION

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

u=0c=1

1

u=1c=1

2

u=2c=1

3

u=2c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

6

u=1c=1

7

u=0c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

u=0c=1

1

u=1c=1

2

u=2c=1

3

u=2c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

6

u=1c=1

7

u=0c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

1

23

4

5

6

7

8

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

0

1

23

4

5

6

7

8

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

0

1

23

4

5

6

7

8

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

0

1

23

4

5

6

7

8

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

0

1

223

4

5

6

7

8

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

2

0

1

78423 5

6

9

2

u=2c=1

3

u=2c=1

1

u=1c=1

6

u=1c=1

8

u=1c=1

9

u=1c=1

0

u=0c=1

4

u=0c=1

5

u=0c=1

7

u=0c=1

2

0

1

78423 5

6

9

0

u=0c=1

1

u=1c=1

2

u=2c=3

3

u=2c=1

5

u=1c=1

6

u=1c=1

9

u=1c=1

2

0

1

78423 5

6

9

0

u=0c=1

1

u=1c=1

2

u=2c=3

3

u=2c=1

5

u=1c=1

6

u=1c=1

9

u=1c=1

19


BUSCA LOCAL

→ Ideia base: Retornar um vértice para a sua classe de cor original→ Desenvolvemos três vizinhanças

⋄ vizinhança SIMPLES⋄ vizinhança ESTENDEDIDA⋄ vizinhança de TROCA

20


BUSCA LOCAL

Vizinhança SWAP

0

1

25

6

0

1

23

4

5

6

7

8

9

0

1

5 2

6

0

1

5 23

46

7

8

9

1

5 2

6

1

5

0

23

46

7

8

9

1

2

6

3

1

0

253

46

8

79

1

23

1

0

253

46

7

8

9

21


PÓS-PROCESSAMENTO

→ Criamos dois procedimentos para pós-processamento⋄ Mutações, aplicado ao final de cada iteração do GRASP⋄ ELITE, aplicado ao final da execução do GRASP

22


PÓS-PROCESSAMENTO

Soluções ELITE

0

3 2

8

0

1

23

4

5

6

7

8

9 00

11

233

44

5

6

77

8

9

00

11

2233

44

5

6

77

88

9

00

1

2233

4

5

6

7

8

9

23


RESULTADOS

Benchmark de instâncias

→ Grafos conexos Erdos-Renyi⋄ n ∈ {10, 20, . . . , 100}, onde n é o número de vértices⋄ p ∈ {0.1, 0.2, . . . , 0.5}, onde p é a probabilidade de adicionarmos uma aresta ao

grafo�

→ Usamos uma coloração própria para a coloração inicial [9]→ Aplicamos um balanceamento nas classes de cores

Experimentos Computacionais

→ Implementamos o modelo de Programação Linear Inteira (PLI) de Campêlo etal. [3]

→ Implementamos as versões da heurística GRASP, com as vizinhanças e osprecedimentos de pós-processamento

24


RESULTADOS

Detalhes de Implementação

→ Fixamos o tempo máximo de execução do PLI em 30 minutos

→ Usamos o número de iterações (2n2) como critério de parada do GRASP

→ Implementações feitas em C++ (compilador g++ 5.4)

→ Resolvedor de PLI IBM CPLEX (versão 12.8)

→ Experimentos feitos em uma máquina IntelR CoreTM i73.40GHz com 32GB dememória e sistema operacional Ubuntu 18.04 LTS

25


RESULTADOS - PLI

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Numero de vertices

0

2

4

6

8

Gap

(%)

p = 0.1

p = 0.2

p = 0.3

p = 0.4

p = 0.5

O gap considerado aqui é a proporção entre a solução ótima da relaxação e a melhor soluçãointeira 26


RESULTADOS - GRASP

→ Comparamos para cada conjunto de critério (ratio e union)⋄ as versões puramente gulosas e aleatorizada sem busca local⋄ as versões sem busca local e com busca local usando as vizinhanças SIMPLES,

ESTENDIDA e de TROCA⋄ as versões com as melhores buscas locais e os procedimentos de

pós-processamento Mutações e ELITE

→ Verificamos se uma composição dos conjuntos ratio e union obtêm uma melhorasignificativa nas soluções

⋄ duas execuções independentes de cada conjunto

→ Todos os resultados foram validados com testes estatísticos

27


RESULTADOS - GRASP

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Numero de vertices

−6

−4

−2

0

2

composicao−

pli

Melhor solução do GRASP comparada com a melhor solução do modelo PLI28


RESULTADOS - GRASP

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Numero de vertices

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0composicao−

pli

Melhor solução do GRASP comparada com a melhor solução do modelo PLI, quando dados osmesmos recursos

29

RECOLORAÇÃO CONVEXA RESTRITA



Minimum Restricted Recoloring Problem - MRRP

→ Versão do problema de recoloração onde o conjunto de vértices é dividido emdois:→ vértices clientes→ vértices servidores

→ Vértices clientes não podem ser recoloridos, apenas descoloridos.

Exemplo de instância para o MRRP.

Exemplo de instância para o MRRP.

31



→ NP-difícil[10]

→ (2 + ϵ)-aproximação para grafos com treewidth limitado de Kammer eTholey [10]

→ Casos polinomiais em grafos com treewidth limitado:⋄ Até três vértices por cor [10]⋄ Número de cores da ordem de log(n) [10]

32


RESULTADOS

→ Adaptamos o modelo PLI de Modelo PLI de Campêlo et al. [3]

→ Modificamos todas as versões da heurística GRASP→ Adicionamos à cada instância um conjunto de vértices com papel de roteadores

⋄ os vértices roteadores formam um conjunto dominante do grafo da instância⋄ a mesma coloração inicial das instâncias do CR

→ Executamos os experimentos no mesmo ambiente computacional

33


RESULTADOS - PLI

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Numero de vertices

0

5

10

15

20

25

Gap

(%)

p = 0.1

p = 0.2

p = 0.3

p = 0.4

p = 0.5

O gap considerado aqui é a proporção entre a solução ótima da relaxação e a melhor soluçãointeira

34


RESULTADOS - GRASP

→ Comparamos para cada conjunto de critério (ratio e union)⋄ as versões puramente gulosas e aleatorizada sem busca local⋄ as versões sem busca local e com busca local usando as vizinhanças SIMPLES,

ESTENDIDA e de TROCA⋄ as versões com as melhores buscas locais e os procedimentos de

pós-processamento Mutações e ELITE

→ Verificamos se uma composição dos conjuntos ratio e union obtêm uma melhorasignificativa nas soluções

⋄ duas execuções independentes de cada conjunto

→ Todos os resultados foram validados com testes estatísticos

35


RESULTADOS - GRASP

80 85 90 95 100

% de vertices nao recoloridos pelo pli

30

40

50

60

70

80

90

100

%deInstancias

none

simple

extended

swap

(a) ratio

80 85 90 95 100

% de vertices nao recoloridos pelo pli

30

40

50

60

70

80

90

100

%deInstancias

none

simple

extended

swap

(b) union

Figura 24: Comparando as soluções dadas pelo GRASP com o PLI (MRRP).

36


RESULTADOS - GRASP

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Numero de vertices

−1

1

3

5

7

union,sw

ap−

pli

Melhor solução do GRASP comparada com a melhor solução do modelo PLI37

CONCLUSÕES


CONCLUSÕES

Estudamos três versões do problema de Recoloração Convexa

→ Recoloração Convexa em Árvores (CTR)

→ Recoloração Convexa de Grafos (CR)

→ Recoloração Convexa Restrita (MRRP)

Recoloração Convexa em Árvores (CTR)

→ Analisamos uma subversão do problema onde apenas as folhas são coloridasinicialmente (CLR).

→ Implementamos um modelo da literatura

→ Propusemos novos conjuntos de instâncias

→ Verificamos que o modelo também é adequado para resolver instâncias do versãoCLR

39


CONCLUSÕES

Recoloração Convexa de Grafos (CR)

→ Propusemos uma heurística GRASP para o CR

→ Implementamos um modelo PLI da literatura

→ Propusemos um conjunto de instâncias

→ Analisamos as diversas versões da nossa heurística

→ Verificamos que a heurística retorna uma solução melhor que a do modelo PLIpara um número significativo de instâncias

→ Parte dos resultados para esse problema foram publicadas no artigo “A GRASPfor the Convex Recoloring Problem” [?].

40


CONCLUSÕES

Recoloração Convexa Restrita (MRRP)

→ Adaptamos a heurística GRASP e modelo PLI

→ A heurística retornou soluções com o mesmo custo que as soluções do modelopara 99% das instâncias, mesmo sem pós-processamento

Trabalhos Futuros

→ Estudar o problema em árvores filogenéticas que representam mais de umacaracterística por vez

→ Melhorar a heurística GRASP, combinando-a com outras técnicas

→ Estudar a versão do problema MRRP onde cada classe de cor deve induzir nomáximo k componentes conexas

41

REFERÊNCIAS


[1] S. Moran and S. Snir, “Convex Recolorings of Strings and Trees: Definitions,Hardness Results and Algorithms,” Journal of Computer and System Sciences,vol. 74, no. 5, pp. 850–869, 2008.

[2] R. Bar-Yehuda, I. Feldman, and D. Rawitz, “Improved Approximation Algorithmfor Convex Recoloring of Trees,” Theory of Computing Systems, vol. 43, no. 1,pp. 3–18, 2008.

[3] M. B. Campêlo, K. R. Lima, P. F. S. Moura, and Y. Wakabayashi, “Polyhedral Studieson the Convex Recoloring Problem,” Electronic Notes in Discrete Mathematics,vol. 44, pp. 233–238, 2013.

[4] S. Chopra, B. Filipecki, K. Lee, M. Ryu, S. Shim, and M. V. Vyve, “An ExtendedFormulation of the Convex Recoloring Problem on a Tree,” MathematicalProgramming, vol. 165, no. 2, pp. 529–548, 2017.

43


[5] E. H. Bachoore and H. L. Bodlaender, “Convex Recoloring of Leaf-Colored Trees,”Tech. Rep. UU-CS-2006-010, Department of Information and ComputingSciences, Utrecht University, 2006.

[6] I. A. Kanj and D. Kratsch, “Convex Recoloring Revisited: Complexity and ExactAlgorithms,” in Proceedings of the 15th International Computing andCombinatorics Conference (COCOON’2009), Lecture Notes in Computer Science,(Berlin, Heidelberg), pp. 388–397, Springer Berlin Heidelberg, 2009.

[7] S. Moran, S. Snir, and W.-K. Sung, “Partial Convex Recolorings of Trees and GalledNetworks: Tight Upper and Lower Bounds,” ACM Transactions on Algorithms,vol. 7, no. 4, p. 42, 2011.

[8] P. F. S. Moura, Graph Colorings and Digraph Subdivisions.PhD thesis, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,2017.

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[9] J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory, vol. 244 of Graduate Texts inMathematics.Springer-Verlag London, 1st ed., 2011.

[10] F. Kammer and T. Tholey, “The Complexity of Minimum Convex Coloring,”Discrete Applied Mathematics, vol. 160, no. 6, pp. 810–833, 2012.

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RECOLORAÇÃO CONVEXADE GRAFOSDefesa de Mestrado

27 de Setembro de 2019

Ana Paula dos Santos DantasOrientador: Prof. Dr. Zanoni DiasCoorientador: Prof. Dr. Cid Carvalho de Souza

Instituto de Computação - ICUnicamp

recoloração convexa de grafos - defesa de mestradozanoni/students/... · recoloraÇÃoconvexa...

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