Ângulos silvia macÊdo. Ângulo semi-reta origem região convexa região não- convexa Ângulo: É...
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ÂNGULOSÂNGULOS
SILVIA MACÊDO
Ângulo
Semi-reta
Sem
i-reta
Origem
Região convexa
Região não- convexa
Ângulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem.
Elementos do ângulo
O
B
A
O ponto O, origem das semi-retas, denominado vértice do ângulo.
As semi-retas OA e OB, denominamos lados do ângulo.
Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB.
Vértice do ângulo
Observação
O
A B
Quando não houver dúvida quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice.
Ângulo Ô ou AÔB
P
N
M
O
C
A
B
Nesse caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC.
Ângulo AÔB
Ângulo BÔC
Ângulo ou P̂ NPM ˆ
Ângulo AÔC
Medida de um Ângulo
• Medir um ângulo é determinar a abertura entre seus lados, isto é, compará-la com a abertura de outro ângulo, tomado como unidade.
• A unidade padrão para medir ângulos é o grau.• Dividindo uma circunferência em 360 partes
iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (1°)
Medida de um Ângulo
Medida de um Ângulo
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura.
O instrumento usado para medir ângulo é o transferidor.
A unidade padrão utilizada para medir ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0).
Transferidor
Transferidor de 360° Transferidor de 180°
Utilizando o Transferidor
Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo.
Colocamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados
Identificamos na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo.
No exemplo abaixo, a medida do ângulo AÔB é 55°, e indicamos: med (AÔB) = 55°.
Vejamos mais um Exemplo
130ˆPNMmed
070ˆ CBAmed
Unidade de Medida
A unidade padrão utilizada para medir um ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0).
25° lê-se: vinte e cinco graus.
12° lê-se: doze graus.
148° lê-se: cento e quarenta e oito graus.
Submúltiplos do Grau
Os submúltiplos do grau são:
Minuto ') Segundo '' )
Exemplos:
18´ lê-se: dezoito minutos.
49´ lê-se: quarenta e nove minutos.
12´´ lê-se: doze segundos.
9´´ lê-se: nove segundos.
Fixando
Indique:
Um ângulo de trinta e sete graus e vinte minutos.
37° 20´
Um ângulo de dez graus e dezoito minutos e vinte segundos.
10° 18´ 20´´
Medida
1 grau = 60 minutos '0 601
1 minuto = 60 segundos ''' 601
Relógio
O relógio tem a forma de uma circunferência, 360°
Foi dividido em 12 partes iguais.
360° : 12 = 30°
30°
30°
Exemplos
Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 7 :00 horas?
5 x 30°= 150°
12 1
2
3
4
56
7
8
9
10
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Exemplos
12 1
2
3
4
56
7
8
9
10
11Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :00 horas?
3 x 30°= 90°
Exemplos
12 1
2
3
4
56
7
8
9
10
11
Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :30 horas?
3 x 30°= 90°
60´ 30°
30´ 15° : 2 : 2
90° - 15° = 75°
Exemplo
Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 8:30 horas?
2 x 30°= 60°
60´ 30°
30´ 15° : 2 : 2
60° + 15° = 75°
12 1
2
3
4
56
7
8
9
10
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Transformação de Unidades
Temos:
1° = 60´
1´ = 60´´
1° = 3600´´
Expressar 15° 12´ em minutos.
15° = (15 X 60)´= 900´
900´+ 12´= 912´
Exemplos
1° = 60´
1´ = 60´´
1° = 3600´´
Expresse em segundos 12° 20´14´´
12° = (12 x 60)´= 720´
720´+ 20´= 740´
740´ = (740 x 60)´´= 44400´´
44400´´ + 14´´= 44414´´
Exemplos
1° = 60´
1´ = 60´´
1° = 3600´´
Expresse em segundos 10° 12´10´´
10° = (10 x 60)´= 600´
600´+ 12´= 612´
612´ = (612 x 60)´´= 36720´´
36720´´ + 10´´= 36730´´
Transformação de Unidades
Temos:
1° = 60´
1´ = 60´´
1° = 3600´´
Expressar 120’ em graus.
120’ : 60 = 20
Exemplos
Temos:
1° = 60´
1´ = 60´´
1° = 3600´´
Expressar 300’ em graus.
300’ : 60 = 50
Expressar 420’ em graus.
420’ : 60 = 70
11
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Transforme em Graus e Minutos
• Divida os minutos por 60 para obter os graus.• O resto, se existir, serão os minutos.
85’ 60
10-60
25’
Logo: 85’ = 10 25’
Exemplo: Transforme 85’ em graus
Transforme em Graus e Minutos
• Divida os minutos por 60 para obter os graus.• O resto, se existir, serão os minutos.
793’ 60
130-60
193’
Logo: 793’ = 130 13’
Exemplo: Transforme 793’ em graus
180’
13’
Transforme em Graus e Minutos
• Divida os minutos por 60 para obter os graus.• O resto, se existir, serão os minutos.
1000’ 60
160 -60
400’
Logo: 1000’ = 160 40’
Exemplo: Transforme 1000’ em graus
360’
40’
Transforme em Graus, Minutos e Segundos
• Divida os segundos por 60 para obter os minutos.• O resto, se existir, serão os segundos.• Se os segundos forem igual o maior que 60, divida
novamente por 60 para obter os graus.• O resto, se existir, serão os minutos.
1200” 60
20’ 120
00”
Logo: 1200” = 20’
Exemplo: Transforme 1200” em graus
Menor que 60, não temos graus.
20””
Transforme em Graus, Minutos e Segundos
58400” 60
973’ 540
440”
Logo: 58400” = 160 13’ 20”
Exemplo: Transforme 58400” em graus
420
200”
180Maior que 60
973’ 60
160 60
373’
360
13’
24””
Transforme em Graus, Minutos e Segundos
9864” 60
164’ 60
386”
Logo: 9864” = 20 44’ 24”
Exemplo: Transforme 9864” em graus
360
264”
240Maior que 60
164’ 60
20 120
44’
Operações
Adição e Subtração:
•A adição de medidas de ângulos é feita somando segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.
•Escrever o resultado na forma mais simples: É não deixar o minuto e o segundo com medidas maiores ou iguais a 60.
Adição
1 2120 40’ + 100 56’
120 40’
100 56’+
220 96’
Escrevendo na forma mais simples
Maior que 60
220 96’ = 220 + ( 60’+ 36’)
60’ = 10
220 + 10 + 36’ = 230 + 36’ = 230 36’
220 96’ = 230 36’
Adição
1 2120 20’ 40” + 300 50’45”
120 20’ 40”
300 50’ 45”+
420 70’ 85”
Escrevendo na forma mais simples
Maiores que 60
420 70’ 85” =
420 + ( 60’+ 10’) + ( 60” + 25”) =
43° 11’ 25”
10 10’ 1’ 25”
430 + 11’ + 25” = 430 11’ 25”
Subtração
1 2
120 40’
100 36’-
020 04’
534041 00 63100412 00
4263100412 000
410 00’
400 35’-
400 60’
400 35’-
000 25’
52534041 00
Subtração
3 258240210475 00
258240
2104750
0
021135
258240
279375
0
0
0
021135258240210475 000
Multiplicação
51392 0
0378
2
5139
0
0
037851392 00
03723 0
0321703723 00
09216
3
0372
0
0
032170
Divisão
Determine o valor de 720 30’ : 3
3
240 10’6
120
3’
720 30’
00’
720 30’ : 3 = 240 10’
-120
000
Divisão
Determine o valor de 390 20’ : 4
4
90 50’-36
30
+180’
390 20’
200’
390 20’ : 4 = 90 50’
x 60
180’
20’
000’
Ângulos Congruentes
• Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
• Dizemos que são ângulos congruentes e indicamos .DOCBOA ˆˆ
DOCeBOA ˆˆ
Bissetriz de um Ângulo
• O ângulo AÔB mede 600.
• A semi-reta OM dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes AÔM e BÔM.– Med(AÔM) = 300
– Med(BÔM) = 300
O
A
M
B
A semi-reta OM é a bissetriz de AÔB.
Bissetriz de um Ângulo
• O ângulo RÔS mede 1500.
• A semi-reta OP dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes RÔP e SÔP.– Med(RÔP) = 750
– Med(SÔP) = 750
O
R
P
S
A semi-reta OP é a bissetriz de RÔS.
Bissetriz de um Ângulo
• Portanto a bissetriz de um ângulo:– É uma semi-reta de origem no vértice.– Divide esse ângulo em dois ângulos
congruentes.
Exemplos
• Na figura ao lado, OD é a bissetriz de AÔC .
• Com essa informação, podemos afirmar que:– Med(CÔD) = 700
– Med(AÔC) = 1400
O
A
DC
Ângulos Adjacentes
• Dois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum e não têm pontos internos comuns.
• AÔD e DÔC são ângulos adjacentes.
O
A
DC
Classificação de Ângulos
Como a figura sugere, duas retas perpendiculares determinam quatro ângulos com medidas iguais. Cada um deles é um ângulo reto.
90° ângulo reto
Classificação de Ângulos
Vamos classificar os ângulos comparando com o ângulo reto (90°).
Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso
Ângulos Especiais
Podemos considerar como ângulos especiais:
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180°. Equivalente a dois ângulos retos.
Um ângulo de uma volta mede 360°. Equivalente a quatro ângulos retos.
Cuidado!
Quando duas semi retas coincidem, obtemos dois ângulos:
OA B
Ângulo nulo = 0° Ângulo de uma volta = 360°
OA B