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Áreas - Geometria Plana - 2011 a 2020 Fuvest, Unesp, Unicamp UERJ e UFRJ Prof. Sampaio

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1. (Fuvest 2016) A hortênsia (Hydrangea macrophylla) produz flores azuis quando cultivada em solo de 𝑝𝐻 < 5. Quando o pH do solo é maior do que 5, as flores tornam-se rosadas. Um jardineiro recebeu uma encomenda de hortênsias rosadas. Ele dispõe de um jardim plano, com as formas e dimensões descritas na figura abaixo, e cujo solo apresenta 𝑝𝐻 = 4. Para obter um solo adequado à produção de flores rosadas, o jardineiro deverá adicionar

uniformemente 300 𝑔 de calcário dolomítico por 𝑚2 de terreno. a) Calcule a massa, em quilogramas, de calcário dolomítico necessária para a correção do solo

do jardim. O calcário dolomítico é uma mistura de carbonato de cálcio e carbonato de magnésio. Ao adquirir um pacote desse produto, o jardineiro observou que, no rótulo, sua composição estava expressa na forma das porcentagens, em massa, dos óxidos de cálcio e de magnésio que poderiam ser obtidos a partir dos correspondentes carbonatos contidos no calcário dolomítico. b) Calcule a porcentagem, em massa, de carbonato de magnésio presente no calcário

dolomítico adquirido pelo jardineiro.

2. (Unesp 2018) A figura indica um trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 no plano cartesiano.

A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a a) 160. b) 175. c) 180. d) 170. e) 155.


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3. (Unesp 2018) A figura 1 indica o corte transversal em um molde usado para a fabricação de barras de ouro. A figura 2 representa a vista frontal da secção transversal feita no molde, sendo 𝐴𝐵𝐶𝐷 um trapézio isósceles com 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 10 𝑐𝑚.

Adote: 𝑠𝑒𝑛 6° = 0,104; 𝑐𝑜𝑠 6° = 0,994.

a) Calcule a diferença entre as medidas de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷. b) Admitindo que a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 seja igual a 99,4 𝑐𝑚2, calcule a soma das medidas

de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷. 4. (Fuvest 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Sendo 𝑥 e 𝑦 as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de

𝑥 e 𝑦, é: a) 𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (2𝑦) b) 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 (2𝑦) c) 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 (2𝑦)

d) 𝜋 −𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)+𝑐𝑜𝑠 (2𝑦)

2

e) 𝜋 −𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)+𝑠𝑒𝑛 (2𝑦)

2

5. (Unicamp 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma

área. A razão 𝑎

𝑏 é igual a

a) √3 + 1.


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b) √2 + 1. c) √3. d) √2. 6. (Uerj 2018) O retângulo 𝑃𝑄𝑅𝑆 é formado por seis quadrados cujos lados medem 2 𝑐𝑚. O triângulo 𝐴𝐵𝐶, em seu interior, possui os vértices definidos pela interseção das diagonais de três desses quadrados, conforme ilustra a figura.

Determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 tomando como unidade a área de um quadrado de lado

igual a 2 𝑐𝑚. 7. (Uerj 2018) Considere na imagem abaixo: - os quadrados 𝐴𝐶𝐹𝐺 e 𝐴𝐵𝐻𝐼, cujas áreas medem, respectivamente, 𝑆1 e 𝑆2; - o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶; - o trapézio retângulo 𝐵𝐶𝐷𝐸, construído sobre a hipotenusa 𝐵𝐶, que contém o ponto 𝑋.

Sabendo que 𝐶𝐷 =𝐶𝑋 e 𝐵𝐸 =𝐵𝑋, a área do trapézio 𝐵𝐶𝐷𝐸 é igual a:

a) 𝑆1+𝑆2

2

b) 𝑆1+𝑆2

3

c) √𝑆1𝑆2

d) √(𝑆1)2 + (𝑆2)

2 8. (Fuvest 2018) Uma cerca tem formato de um polígono regular de 𝑛 lados, cada lado com

comprimento ℓ. A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de

comprimento ℓ, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:


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a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono; b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca. 9. (Unicamp 2017) Considere o quadrado de lado 𝑎 > 0 exibido na figura abaixo. Seja 𝐴(𝑥) a

função que associa a cada 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 a área da região indicada pela cor cinza.

O gráfico da função 𝑦 = 𝐴(𝑥) no plano cartesiano é dado por

a)

b)

c)

d) 10. (Uerj 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a área 𝑆 é limitada pelos eixos coordenados, pela reta 𝑟, que passa por 𝐴(0, 4) e 𝐵(2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo 𝑥

no ponto 𝑃(𝑥𝑜, 0), sendo 0 ≤ 𝑥𝑜 ≤ 2.


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Para que a área 𝑆 seja a metade da área do triângulo de vértices 𝐶(0, 0), 𝐴 e 𝐵, o valor de 𝑥𝑜 deve ser igual a:

a) 2 − √2 b) 3 − √2 c) 4 − √2 d) 5 − √2 11. (Fuvest 2017) Na figura, o retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem lados de comprimento 𝐴𝐵 = 4 e 𝐵𝐶 = 2.

Sejam 𝑀 o ponto médio do lado 𝐵𝐶 e 𝑁 o ponto médio do lado 𝐶𝐷. Os segmentos 𝐴𝑀 e 𝐴𝐶

interceptam o segmento 𝐵𝑁 nos pontos 𝐸 e 𝐹, respectivamente.

A área do triângulo 𝐴𝐸𝐹 é igual a

a) 24

25

b) 29

30

c) 61

60

d) 16

15

e) 23

20

12. (Unesp 2017) A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo 𝐵𝐼𝐷𝑈) e a área externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada.


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Calcule a área externa de lazer do cachorro quando 𝑥 = 6 𝑚. Determine, algebricamente, as

medidas de 𝑥 e 𝑦 que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as dimensões da casinha. 13. (Unesp 2017) O hexágono marcado na malha quadriculada sobre a fotografia representa o contorno do câmpus da Unesp de Rio Claro, que é aproximadamente plano.

A área aproximada desse câmpus, em 𝑘𝑚2, é um número pertencente ao intervalo a) [0,8; 1,3[ b) [1,8; 2,3[ c) [2,3; 2,8[ d) [1,3; 1,8[ e) [0,3; 0,8[ 14. (Fuvest 2017) O retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura, tem lados de comprimento 𝐴𝐵 =

3 e 𝐵𝐶 = 4. O ponto 𝑃 pertence ao lado 𝐵𝐶 e 𝐵𝑃 = 1. Os pontos 𝑅, 𝑆 e 𝑇 pertencem aos lados

𝐴𝐵, 𝐶𝐷 e 𝐴𝐷, respectivamente. O segmento 𝑅𝑆 é paralelo a 𝐴𝐷 e intercepta 𝐷𝑃 no ponto 𝑄. O

segmento 𝑇𝑄 é paralelo a 𝐴𝐵.


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Sendo 𝑥 o comprimento de 𝐴𝑅, o maior valor da soma das áreas do retângulo 𝐴𝑅𝑄𝑇, do

triângulo 𝐶𝑄𝑃 e do triângulo 𝐷𝑄𝑆, para 𝑥 variando no intervalo aberto ]0, 3[, é

a) 61

8

b) 33

4

c) 17

2

d) 35

4

e) 73

8

15. (Unesp 2017) Os polígonos 𝑆𝑂𝐿 e 𝐿𝑈𝐴 são triângulos retângulos isósceles congruentes.

Os triângulos retângulos brancos no interior de 𝑆𝑂𝐿 são congruentes, assim como também são

congruentes os triângulos retângulos brancos no interior de 𝐿𝑈𝐴.

A área da superfície em amarelo e a área da superfície em azul estão na mesma unidade de medida. Se 𝑥 é o número que multiplicado pela medida da área da superfície em amarelo

resulta a medida da área da superfície em azul, então 𝑥 é igual a

a) 16

15

b) 15

16

c) 9

10

d) 24

25

e) 25

24

16. (Unicamp 2016) A figura abaixo exibe o gráfico da função 𝑓(𝑥) =1

𝑥, definida para todo

número real 𝑥 > 0. Os pontos 𝑃 e 𝑄 têm abscissas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 𝑎, respectivamente, onde 𝑎 é

um número real e 𝑎 > 1.


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a) Considere o quadrilátero 𝑇 com vértices em (0, 0), 𝑃, 𝑄 e (𝑎, 0). Para 𝑎 = 2, verifique que a

área de 𝑇 é igual ao quadrado da distância de 𝑃 a 𝑄. b) Seja 𝑟 a reta que passa pela origem 𝑒 é ortogonal à reta que passa por 𝑃 e 𝑄. Determine o

valor de 𝑎 para o qual o ponto de intersecção da reta 𝑟 com o gráfico da função 𝑓 tem

ordenada 𝑦 =𝑎

2.

17. (Fuvest 2016) São dadas três circunferências de raio 𝑟, duas a duas tangentes. Os pontos

de tangência são 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3.

Calcule, em função de 𝑟, a) o comprimento do lado do triângulo equilátero 𝑇 determinado pelas três retas que são

definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;

b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto 𝑃1 , 𝑃2 e 𝑃3 aos dois vértices do triângulo 𝑇 mais próximos a ele.

18. (Unesp 2016) Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada 𝐴𝐵𝐶𝐷com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado 𝑥, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura.


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Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então 𝑥, em metros, é igual a

a) 1 + 2√3 b) 2 + 2√3 c) 2 + √3 d) 1 + √3 e) 4 + √3 19. (Unesp 2016) Um cubo com aresta de medida igual a 𝑥 centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior desse prisma, sendo que 𝐴𝐸𝐵 é um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a 2(4 − √3)𝑐𝑚3, 𝑥 é igual a a) 2 b)

7

2

c) 3

d) 5

2

e) 3

2

20. (Unicamp 2016) A figura abaixo exibe um quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, onde 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 =2 𝑐𝑚.


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A área do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 é igual a

a) √2 𝑐𝑚2. b) 2 𝑐𝑚2. c) 2√2 𝑐𝑚2. d) 3 𝑐𝑚2. 21. (Unesp 2016) Em um terreno retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷, de 20 𝑚2, serão construídos um deque e um lago, ambos de superfícies retangulares de mesma largura, com as medidas indicadas na figura. O projeto de construção ainda prevê o plantio de grama na área restante, que corresponde a 48% do terreno.

No projeto descrito, a área da superfície do lago, em 𝑚2, será igual a a) 4,1. b) 4,2. c) 3,9. d) 4,0. e) 3,8. 22. (Uerj 2016) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros 𝐶1

e 𝐶2, pertencentes ao mesmo plano 𝛼. O segmento 𝐶1𝐶2 mede 6 𝑐𝑚.

A área da região limitada pelos círculos, em 𝑐𝑚2, possui valor aproximado de: a) 108


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b) 162 c) 182 d) 216 23. (Uerj 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro 𝑃, em metros, e área 𝐴, em metros quadrados. Os valores de 𝑃 e 𝐴 variam de acordo com a medida do lado do triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a expressão 𝑌 = 𝑃 − 𝐴 indica o valor da diferença

entre os números 𝑃 e 𝐴. O maior valor de Y é igual a:

a) 2√3 b) 3√3 c) 4√3 d) 6√3 24. (Unicamp 2015) Seja 𝑟 a reta de equação cartesiana 𝑥 + 2𝑦 = 4. Para cada número real 𝑡 tal que 0 < 𝑡 < 4, considere o triângulo 𝑇 de vértices em (0, 0), (𝑡, 0) e no ponto 𝑃 de abscissa 𝑥 = 𝑡 pertencente à reta 𝑟, como mostra a figura abaixo.

a) Para 0 < 𝑡 < 4, encontre a expressão para a função 𝐴(𝑡), definida pela área do triângulo 𝑇, e

esboce o seu gráfico.

b) Seja 𝑘 um número real não nulo e considere a função 𝑔(𝑥) =𝑘

𝑥, definida para todo número

real 𝑥 não nulo. Determine o valor de 𝑘 para o qual o gráfico da função 𝑔 tem somente um

ponto em comum com a reta 𝑟.

25. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio 𝑟 que tangencia internamente um setor circular de raio 𝑅 e ângulo central 𝜃.


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a) Para 𝜃 = 60°, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de 𝑐𝑜𝑠 𝜃 no caso em que 𝑅 = 4𝑟. 26. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio 𝑅 e perímetro

3R, conforme ilustra a imagem.

A área do setor equivale a: a) 𝑅2

b) 𝑅2

4

c) 𝑅2

2

d) 3𝑅2

2

27. (Unesp 2015) Os polígonos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹𝐺 estão desenhados em uma malha formada por quadrados. Suas áreas são iguais a 𝑆1 e 𝑆2, respectivamente, conforme indica a figura.

Sabendo que os vértices dos dois polígonos estão exatamente sobre pontos de cruzamento

das linhas da malha, é correto afirmar que 𝑆2

𝑆1 é igual a

a) 5,25. b) 4,75. c) 5,00. d) 5,50.


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e) 5,75. 28. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2.

29. (Fuvest 2014) O triângulo 𝐴𝑂𝐵 é isósceles, com 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵, e 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado. Sendo

𝜃 a medida do ângulo 𝐴��𝐵, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados:

𝑡𝑔 14° ≅ 0,2493 , 𝑡𝑔 15° ≅ 0,2679 𝑡𝑔 20° ≅ 0,3640 , 𝑡𝑔 28° ≅ 0,5317 a) 14° < 𝜃 < 28° b) 15° < 𝜃 < 60° c) 20° < 𝜃 < 90° d) 25° < 𝜃 < 120° e) 30° < 𝜃 < 150° 30. (Uerj 2014) Considere uma placa retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷 de acrílico, cuja diagonal 𝐴𝐶 mede 40𝑐𝑚. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa

nas direções 𝐴𝐸 e 𝐴𝐶, de modo que DA𝐸 = 45° e BA𝐶 = 30°, conforme ilustrado a seguir:

Após isso, o estudante descartou a parte triangular 𝐶𝐴𝐸, restando os dois esquadros.

Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √3 = 1,7, a área, em 𝑐𝑚2, do triângulo 𝐶𝐴𝐸 equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 31. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.


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Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m2 b) 1.800 m2 c) 2.000 m2 d) 2.200 m2 e) 2.400 m2 32. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do

segmento MN:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.


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A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a:

a) 25 (4 − √3) b) 25 (6 − √3) c) 50 (2 − √3)

d) 50 (3 − √3) 33. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual

𝐴𝐹 e 𝐷𝐹 são segmentos de reta, o ponto G está no segmento 𝐴𝐹, o ponto E está no segmento

𝐷𝐹, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF =

5√5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

a) 100 km2 b) 108 km2 c) 210 km2 d) 240 km2 e) 444 km2 34. (Fuvest 2013)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por


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A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que

AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 35. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por 𝑆(𝜑) e 𝑇(𝜑),

podemos afirmar que a razão 𝑆(𝜑)

𝑇(𝜑), quando 𝜑 =

𝜋

2 radianos, é

a) 𝜋

2.

b) 2𝜋. c) 𝜋. d)

𝜋

4.

36. (Uerj 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema:

As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 37. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:

𝐴𝐵 = 20, 𝐵𝐶 = 15 𝑒 𝐴𝐶 = 10.


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a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que 𝐵𝐷 = 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.

38. (Fuvest 2012) O segmento é lado de um hexágono regular de área . O ponto P

pertence à mediatriz de de tal modo que a área do triângulo vale . Então, a

distância de P ao segmento é igual a

a)

b)

c)

d)

e) 39. (Unesp 2012) No vazamento de petróleo da empresa americana Chevron do último dia 7 de novembro, na bacia de Campos/RJ, a mancha de óleo na superfície do mar assumiu grandes dimensões e teve seu pico de área entre os dias 12 e 14 daquele mês. O vazamento levou dias para ser contido, pois o petróleo continuava a escapar por fissuras, como mostrado na foto.

A figura mostra, de forma hipotética e aproximada, em tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície do mar.

AB 3

AB PAB 2

AB

2

2 2

3 2

3

2 3


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Dados 1 dm3 = 1 L e𝜋 ≈3 e sabendo que a altura média da lâmina de óleo sobre as águas era de 0,003 mm e que 1 barril de petróleo cru contém 160 litros de óleo, o número aproximado de barris que vazaram no incidente foi a) 2 360. b) 2 860. c) 2 960. d) 3 320. e) 5 250. 40. (Unicamp 2012) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é a) maior que 10000 𝑘𝑚2. b) menor que 8000 km2. c) maior que 8000 km2 e menor que 9000 km2. d) maior que 9000 km2 e menor que 10000 km2. 41. (Fuvest 2012)

Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta 𝐶𝐷 no ponto D, o qual pertence à reta

𝐴𝑂 . Além disso, A e B são pontos da circunferência, 𝐴𝐵 = 6√3 e 𝐵𝐶 = 2√3. Nessas condições, determine

a) a medida do segmento 𝐶𝐷; b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura.


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42. (Ufrj 2011) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.

Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta. 43. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale

a) 1 + √3 b) 2 + √3 c) 3 + √3 d) 3 + 2√3 e) 3 + 3√3 44. (Fuvest 2011) Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.

Diagrama referente ao poema ZEN.

Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta. a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética

brasileira da década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo


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BCJI. b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo

semântico da palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas

do triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais. c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em

sua composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo

BCGF. d) O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No

poema ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é

menor que 7/10. e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que

utiliza proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6.


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Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Para saber quantos quilogramas de calcário dolomítico serão necessários para correção do solo primeiramente é necessário saber a área do jardim. Da figura, pode-se escrever:

𝐴(4+2)⋅2

22𝑗𝑎𝑟𝑑𝑖𝑚

𝑗𝑎𝑟𝑑𝑖𝑚

Assim, se para 1 𝑚2 são necessários 300𝑔 de calcário dolomítico para corrigir o pH, para

10 𝑚2 serão necessários 3000𝑔, ou 3𝑘𝑔.

b) A partir das informações do enunciado sobre o calcário dolomítico Limeira (obtido pelo jardineiro), vem:

𝐶𝑎𝑂. . . . . . . . . . . . . . . . .28% 𝑀𝑔𝑂. . . . . . . . . . . . . . . . .20% 𝑚𝑐𝑎𝑙𝑐á𝑟𝑖𝑜 = 3𝑘𝑔 = 3.000𝑔

𝑚𝑀𝑔𝑂 =20

100× 3.000𝑔 = 600𝑔

𝑀𝑔𝑂 = 40𝑔/𝑚𝑜𝑙 𝑀𝑔𝐶𝑂3 = 84𝑔/𝑚𝑜𝑙

𝑀𝑔𝑂 + 𝐶𝑂2 → 𝑀𝑔𝐶𝑂3

40𝑔 84𝑔

600𝑔 𝑚𝑀𝑔𝐶𝑂3

𝑚𝑀𝑔𝐶𝑂3 = 1.260𝑔

𝑝𝑀𝑔𝐶𝑂3 =1.260𝑔

3.000𝑔= 0,42 = 42%

𝑝𝑀𝑔𝐶𝑂3 = 42%

Resposta da questão 2: [C] Sendo 𝑂 a origem e 𝐸 o ponto (20, 0), a área do trapézio 𝑂𝐵𝐶𝐸 menos a área dos triângulos

𝑂𝐴𝐷 e 𝐷𝐶𝐸 será igual a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷. Assim:

𝑆𝑂𝐵𝐶𝐸 =(15 + 9) ⋅ 20

2= 240

𝑆𝑂𝐴𝐷 =10 ⋅ 3

2= 15

𝑆𝐷𝐶𝐸 =10 ⋅ 9

2= 45

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 240 − 15 − 45 = 180 Resposta da questão 3:

a) Seja 𝐴′ o pé da perpendicular baixada de 𝐴 sobre 𝐶𝐷. Logo, vem

𝑠𝑒𝑛 6 ° =𝐴′𝐶

𝐴𝐶⇒ 𝐴′𝐶 ≅ 10 ⋅ 0,104

⇒ 𝐴′𝐶 ≅ 1,04 𝑐𝑚. Em consequência, sendo 𝐴𝐵𝐶𝐷 isósceles, temos

𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 2 ⋅ 𝐴′𝐶 = 2,08𝑐𝑚. b) Tomando o triângulo 𝐴𝐴′𝐶, vem

𝑐𝑜𝑠 6 ° =𝐴𝐴′

𝐴𝐶⇒ 𝐴𝐴′ ≅ 10 ⋅ 0,994

⇒ 𝐴𝐴′ ≅ 9,94𝑐𝑚.


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Se a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 é igual a 99,4 𝑐𝑚2, então

99,4 =𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

2⋅ 𝐴𝐴′⇔ 99,4 =

𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

2⋅ 9,94

⇔ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 20𝑐𝑚. Resposta da questão 4: [B] A diagonal do quadrilátero o divide em dois triângulos retângulos. Sendo 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 os catetos do primeiro e 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 e 2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 os catetos do segundo, podemos concluir que o resultado é

𝜋 ⋅ 12 −1

2⋅ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −

1

2⋅ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑦.

Resposta da questão 5: [B] Se as áreas são iguais e o ângulo central é 𝜃, então

(𝑎 + 𝑏)2 ⋅ 𝜃

2−𝑎2 ⋅ 𝜃

2=𝑎2 ⋅ 𝜃

2⇔ (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎2 = 0

⇔ (𝑎 + 𝑏 − √2𝑎) ⋅ (𝑎 + 𝑏 + √2𝑎) = 0

⇒ 𝑎 ⋅ (√2 − 1) = 𝑏

⇔𝑎

𝑏= √2 + 1.

Resposta da questão 6: Calculando:

𝑆 =𝑏 ⋅ ℎ

2=2 ⋅ 2

2= 2 𝑐𝑚2

1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 (𝑢. 𝑎. ) = 2 ⋅ 2 = 4 𝑐𝑚2 ⇒ 𝑆 = 0,5 𝑢. 𝑎. Resposta da questão 7: [A]

Tem-se que (𝐴𝐶𝐹𝐺) = 𝐴𝐶2= 𝑆1 e (𝐴𝐵𝐻𝐼) = 𝐴𝐵

2= 𝑆2. Logo, do triângulo 𝐴𝐵𝐶, pelo Teorema

de Pitágoras, vem

𝐵𝐶2= 𝐴𝐶

2+ 𝐴𝐵

2⇔ 𝐵𝐶

2= 𝑆1 + 𝑆2.

Portanto, segue que a área do trapézio 𝐵𝐶𝐷𝐸 é dada por

2

1 2

1(BCDE) (CD BE) BC

2

1(CX BX) BC

2

1BC BC

2

1BC

2

S S.

2

= +

= +

=

=

+=

Resposta da questão 8:

a) A área disponível para pasto corresponde à área de um setor circular de raio ℓ, cujo ângulo central é o replemento do ângulo interno do polígono regular. Portanto, a resposta é


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(360° −180°(𝑛 − 2)

𝑛)𝜋ℓ2

360°= (1 −

𝑛 − 2

2𝑛)𝜋ℓ2

=𝑛 + 2

2𝑛𝜋ℓ2.

b) Considere a figura.

Caso a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca, o resultado seria dado pela soma das áreas de 𝑛 quadrados congruentes de lado ℓ

com as áreas de 𝑛 setores circulares de raio ℓ e ângulo central igual a 360°

𝑛.

Em consequência, a resposta é

𝑛ℓ2 + 𝑛𝜋ℓ2

𝑛= ℓ

2(𝑛 + 𝜋).

Resposta da questão 9: [D] Calculando:

𝐴(𝑥) = 𝑎2 − (2 ⋅𝑎⋅(𝑎−𝑥)

2) = 𝑎2 − 𝑎2 + 𝑎𝑥 → 𝐴(𝑥) = 𝑎𝑥

O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão 10: [A]

𝑆 △=4 ⋅ 2

2= 4 → 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑆 △ 𝑠𝑒𝑟á 2

𝑅𝑒 𝑡 𝑎 𝑟 → 𝑎 =0 − 4

2 − 0= −2 → 𝑦 = −2𝑥 + 4

𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐷 = (𝑥0, 𝑦) → 𝑦 = −2𝑥0 + 4 𝑐𝑜𝑚 𝑥0 < 2

𝑆𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 =(4 − 2𝑥0 + 4) ⋅ 𝑥0

2= 2 → −2𝑥0

2 + 8𝑥0 − 4 = 0 → 𝑥02 − 4𝑥0 + 2 = 0

𝛥 = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 → 𝛥 = 8

𝑥0 =−(−4)±√8

2=4±2√2

2→ ⟨𝑥0 = 2 + √2 → 2 + √2 > 2 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)

𝑥0 = 2 − √2

Resposta da questão 11: [D] De acordo com o enunciado:


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𝛥𝑁𝐹𝐶 ∼ 𝛥𝐴𝐹𝐵 2

4=𝑥

𝑦→ 𝑦 = 2𝑥

𝑥 + 𝑦 = 2 → 𝑥 + 2𝑥 = 2 → {𝑥 =

2

3

𝑦 =4

3

𝛥𝑀𝐸𝑁 ∼ 𝛥𝑀𝐴𝑁 1

4=𝑎

𝑏→ 𝑏 = 4𝑎

𝑎 + 𝑏 = 1 → 𝑎 + 4𝑎 = 1 → {𝑎 =

1

5

𝑏 =4

5

Assim, a área do triângulo 𝐴𝐸𝐹 será:

𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹 = 𝑆𝛥𝐴𝐵𝐹 − 𝑆𝛥𝐴𝐵𝐸

𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹 =4𝑦

2−4𝑏

2=4⋅4

3

2−4⋅4

5

2=8

3−8

5→ 𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹 =

16

15

Resposta da questão 12: a) Calculando:

𝑥 + 𝑦 + (𝑦 − 2) + (𝑥 − 1) = 35 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 19 ⇒ 6 + 𝑦 = 19 ⇒ 𝑦 = 13 𝑆𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 6 ⋅ 13 − (2 ⋅ 1) ⇒ 𝑆𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 76 𝑚

2 b) Calculando:

𝑆(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑦 − (2 ⋅ 1) 𝑥 + 𝑦 = 19 ⇒ 𝑦 = 19 − 𝑥 𝑆(𝑥) = 𝑥 ⋅ (19 − 𝑥) − 2 = −𝑥2 + 19𝑥 − 2

𝑥𝑚á𝑥 =19

2⋅(−1)⇒ 𝑥𝑚á𝑥 = 9,5 ⇒ 𝑦 = 9,5

Resposta da questão 13: [A] Seja 𝑢 a unidade de área da malha, de tal modo que

1 𝑢 = 1602 = 25.600 𝑚2 = 0,0256 𝑘𝑚2.


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Dividindo o hexágono em um triângulo e dois trapézios, como indicado acima, segue que a área aproximada desse polígono é dada por

2

3 1 9 3 3 25 5 44 u

2 2 2

44 0,0256

1,1km .

+ + + + =

=

Portanto, temos 1,1 ∈ [0,8; 1,3[. Resposta da questão 14: [A] Diante do exposto, pode-se desenhar:

A soma das áreas hachuradas será:

𝑆(𝑥) =𝑥2

2+3 ⋅ (3 − 𝑥)

2+ 𝑥 ⋅ (4 − 𝑥) =

𝑥2 + 9 − 3𝑥 + 8𝑥 − 2𝑥2

2

𝑆(𝑥) =1

2⋅ (−𝑥2 + 5𝑥 + 9)

𝑆𝑚á𝑥 = 𝑦𝑚á𝑥 =1

2⋅−(52−4⋅(−1)⋅9)

4⋅(−1)→ 𝑆𝑚á𝑥 =

61

8


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Resposta da questão 15: [B] Sejam 𝑟 e 𝑠, respectivamente, a área de cada um dos triângulos congruentes que constituem os triângulos 𝑆𝑂𝐿 e 𝐿𝑈𝐴. É imediato que 9𝑟 = 16𝑠. Portanto, se 𝑥 é o número que multiplicado pela medida da área da superfície em amarelo resulta a medida da área da superfície em azul, então

6𝑟 ⋅ 𝑥 = 10𝑠 ⇔ 𝑥 =5

3⋅9

16

⇔ 𝑥 =15

16.


a) Se a abscissa do ponto 𝑃 é igual a 1, então pela função 𝑓(𝑥) dada, 𝑃 terá coordenadas

(1,1). Analogamente, se 𝑎 = 2, então pela função 𝑓(𝑥) dada, 𝑄 terá coordenadas (2,1

2).

Assim, a área do quadrilátero 𝑇 será:

𝑆𝑇 =1⋅1

2+1⋅1

2

2+ 1 ⋅

1

2= 1 +

1

4⇒ 𝑆𝑇 =

5

4

Calculando o quadrado da distância entre 𝑃 e 𝑄, tem-se:

𝑑𝑃𝑄 = √(1 − 2)2 + (1 −

1

2)2

= √1 +1

4⇒ 𝑑𝑃𝑄 = √

5

4⇒ (𝑑𝑃𝑄)

2=5

4

b) Seja 𝐼 o ponto de intersecção entre a reta 𝑟 e a função 𝑓(𝑥). Se sua coordenada 𝑦 é igual a

𝑎

2, então, pela função 𝑓(𝑥) sua coordenada 𝑥 será

2

𝑎. Ou seja, o ponto 𝐼 tem coordenadas

(2

𝑎,𝑎

2).

Considerando como s a reta que passa por 𝑃 e 𝑄, tem-se que as coordenadas do ponto 𝑃

são (1,1), e do ponto 𝑄 são (𝑎,1

𝑎). O coeficiente angular desta reta será:

𝛼𝑠 =

1𝑎− 1

𝑎 − 1= −

1

𝑎

Logo, o coeficiente angular da reta 𝑟 que passa pela origem e é ortogonal à reta que contém

𝑃 e 𝑄 será igual a 𝛼𝑟 = 𝑎 (condição de perpendicularidade). Assim, a equação da reta 𝑟 pode ser escrita como:

𝑦 − 0 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 0) 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 ⇒ 𝑦 = 𝑎𝑥

Como o ponto 𝐼 pertence à reta 𝑟 e tem suas coordenadas (2

𝑎, 𝑎

2), pode-se escrever:

𝑦 = 𝑎𝑥 ⇒𝑎

2= 𝑎 ⋅

2

𝑎⇒ 𝑎 = 4


a) O triângulo equilátero descrito é o “externo” que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a:


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Ou seja:

𝑙𝑎𝑑𝑜 △=2𝑟

𝑡𝑔 30°+ 2𝑟 = 2𝑟 ⋅

3

√3+ 2𝑟 ⇒ 𝑙𝑎𝑑𝑜 △= 2𝑟 ⋅ (√3 + 1)

b) Considerando como A, B e C os vértices do triângulo equilátero “externo” pode-se desenhar:

Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por:

𝑆𝑎𝑧𝑢𝑙 = 𝑆△ − 𝑆𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑜

𝑆𝑎𝑧𝑢𝑙 =(𝑙𝑎𝑑𝑜 △)2√3

4− 3 ⋅

𝑟 ⋅ 𝑙𝑎𝑑𝑜 △

2=[2𝑟 ⋅ (√3 + 1)]

2⋅ √3

4− 3 ⋅

𝑟 ⋅ 2𝑟 ⋅ (√3 + 1)

2=

√3𝑟2 ⋅ (√3 + 1)2− 3𝑟2 ⋅ (√3 + 1) = √3𝑟2 ⋅ (3 + 2√3 + 1) − 3𝑟2 ⋅ (√3 + 1) =

3√3𝑟2 + 6𝑟2 + √3𝑟2 − 3√3𝑟2 − 3𝑟2 = √3𝑟2 + 3𝑟2

𝑆𝑎𝑧𝑢𝑙 = 𝑟2 ⋅ (√3 + 3)

Resposta da questão 18: [B]

Observando que cada retângulo decorado tem dimensões medindo (𝑥 + 2) metros e 2

metros, vem

𝑥2 = 2 ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 2) ⇔ 𝑥2 − 4𝑥 − 8 = 0

⇒ 𝑥 = (2 + 2√3) 𝑚. Resposta da questão 19: [A]


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Com os dados do enunciado, pode-se calcular:

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 2(4 − √3) = 𝑥 ⋅ (𝑥2 −

𝑥2 ⋅ √3

4)

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 2 ⋅ (4 − √3) =𝑥3

4⋅ (4 − √3) →

𝑥3

4= 2 → 𝑥3 = 8 → 𝑥 = 2

Resposta da questão 20: [B] Considere a figura.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo 𝐵𝐶𝐷, temos

𝐵𝐷2= 𝐵𝐶

2+ 𝐶𝐷

2− 2 ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ 𝐶𝐷 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 ��𝐷 ⇔ 𝐵𝐷

2= 22 + 22 − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅

√2

2

⇒ 𝐵𝐷 = 2√2 − √2𝑐𝑚.

Como 𝐴𝐶 é bissetriz de 𝐵��𝐷 e 𝐵��𝐷, segue que os triângulos retângulos 𝐴𝐵𝐸 e 𝐴𝐷𝐸 são

congruentes. Logo, podemos concluir que 𝐴𝐸 = √2 − √2𝑐𝑚. A resposta é dada por

2

1 1(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD

2 2

2 2 2 2 2 1 22 2

2 2 2

2 2 2

2cm .

+ = +

− −= +

= − +

=

Resposta da questão 21: [D]

Sabendo que o terreno é retangular e que sua área é de 20 𝑚2, pode-se deduzir suas medidas, sendoℎ o comprimento do terreno:

5 ⋅ ℎ = 20 → ℎ = 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Se o terreno tem ao todo 4 metros de comprimento, então o lago terá comprimento igual a: 4 − 1 − 0,5 = 2,5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Sabendo a área total do terreno e considerando como 𝑥 a largura do deque e do lago, pode-se escrever:

𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 + 𝑙𝑎𝑔𝑜 + 𝑑𝑒𝑞𝑢𝑒 = 20 𝑚2 0,48 ⋅ 20 + 2,5 ⋅ 𝑥 + 4 ⋅ 𝑥 = 20 → 6,5𝑥 = 10,4 → 𝑥 = 1,6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Logo, a área do lago será igual a:

2,5 ⋅ 1,6 = 4 𝑚2


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Resposta da questão 22: [C]

O segmento 𝐶1𝐶2 é igual ao raio de ambas as circunferências e é igual a 6. Assim, pode-se concluir:

Portanto, a área da região limitada pelos círculos é composta pela área dos círculos menos a área da intersecção entre eles. Já a área da intersecção é composta por dois triângulos

equiláteros de lado 6 e 4 segmentos circulares. Assim, considerando √3 ≃ 1,73 e 𝜋 = 3,14, pode-se estimar a área da intersecção como sendo:

𝑆𝛥 =ℓ2 ⋅ √3

4

𝑆𝛥 =62 ⋅ √3

4→ 𝑆𝛥 = 9√3 ≃ 15,6

𝑆𝑠𝑒𝑔 = 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 − 𝑆𝛥

𝑆𝑠𝑒𝑔 =𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ 60°

360°− 9√3 =

𝜋 ⋅ 62 ⋅ 60°

360°− 9√3 = 6𝜋 − 9√3 ≃ 3,27

𝑆𝛥𝑠𝑒𝑔𝑖𝑛𝑡 𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐

𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐 Logo, a área da região limitada pelos círculos será:

𝑆𝜊𝜊 = 2 ⋅ 𝑆𝜊 − 𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐 𝑆𝜊 = 𝜋 ⋅ 𝑅

2 = 𝜋 ⋅ 62 = 36𝜋 ≃ 113 𝑆𝜊𝜊 ≃ 2 ⋅ 113 − 44,28 ≃ 181,72

𝑆𝜊𝜊 ≃ 182 𝑐𝑚2

Resposta da questão 23: [B] Seja ℓ a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que

2

2

Y P A

33

4

33 3 ( 2 3) .

4

= −

= −

= − −

Portanto, para ℓ = 2√3, 𝑌 atinge o seu maior valor, ou seja, 3√3. Resposta da questão 24:

a) Sabendo que 𝑃 pertence à reta 𝑟, temos 𝑃 = (𝑡, 2 −𝑡

2). Além disso, para todo 0 < 𝑡 < 4,


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o triângulo 𝑇 é retângulo em (𝑡, 0). Em consequência, segue que

𝐴(𝑡) =1

2⋅ 𝑡 ⋅ (2 −

𝑡

2) = −

𝑡

4⋅ (𝑡 − 4).

O gráfico da função 𝐴 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2, 1).

b) As abscissas dos pontos de interseção da reta 𝑦 = −𝑥

2+ 2 com a função 𝑔(𝑥) =

𝑘

𝑥, sendo 𝑥 ≠

0, satisfazem a equação

−𝑥

2+ 2 =

𝑘

𝑥⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑘 = 0.

Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a

zero, ou seja, 𝛥 = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2𝑘 = 0, o que implica em 𝑘 = 2. Resposta da questão 25: a) Considere a figura.

Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos 𝐴𝐶 = 𝑅, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑟 e 𝐵��𝑂 =

30°. Logo, segue que 𝐴𝑂 = 𝐴𝐶 − 𝑂𝐶 = 𝑅 − 𝑟. Portanto, do triângulo 𝐴𝐵𝑂, vem

𝑠𝑒𝑛 𝐵 ��𝑂 =𝑂𝐵

𝐴𝑂⇔ 𝑠𝑒𝑛 3 0° =

𝑟

𝑅 − 𝑟

⇔𝑟

𝑅=1

3

Em consequência, a razão pedida é igual a

𝜋𝑟2

𝜋𝑅2 ⋅60°360°

= 6 ⋅ (𝑟

𝑅)2

=2

3.

b) Se 𝑅 = 4𝑟, então, do triângulo 𝐴𝐵𝑂, obtemos


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𝑠𝑒𝑛𝜃

2=

𝑟

𝑅 − 𝑟⇔ 𝑠𝑒𝑛

𝜃

2=1

3.

Por conseguinte, vem

2

2

cos 1 2sen2

11 2

3

7.

9

θθ = −

= −

=

Resposta da questão 26: [C] A área do setor é dada por 𝑅⋅𝐴𝐵⏜

2=𝑅⋅𝑅

2=𝑅2

2.

Resposta da questão 27: [A] A fórmula de Pick estabelece a área, 𝑆, de um polígono, construído sobre uma malha de pontos

equidistantes, em função do número de pontos, 𝑓, sobre a fronteira do polígono, e o número de pontos, 𝑖, interiores ao polígono, como segue:

𝑆 =𝑓

2+ 𝑖 − 1.

Logo, temos

𝑆1 =4

2+ 1 − 1 = 2

e

𝑆2 =7

2+ 8 − 1 = 10,5.

Em consequência, a resposta é 𝑆2

𝑆1=10,5

2= 5,25.

Resposta da questão 28: [C] Sejam 𝑥, 𝑥 + 𝑟 e 𝑥 + 2𝑟 as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com 𝑥, 𝑟 > 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos 𝑥 = 3𝑟. Logo, os lados do triângulo medem

3𝑟, 4𝑟 e 5𝑟. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem

3𝑟 + 4𝑟 + 5𝑟 = 6 ⇔ 𝑟 =1

2.


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Portanto, a área do triângulo é igual a 3𝑟⋅4𝑟

2= 6 ⋅ (

1

2)2

= 1,5 𝑚2.

Resposta da questão 29: [E] Considere a figura, em que 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐴𝐵.

Do triângulo retângulo 𝑂𝑀𝐵, obtemos

𝑡𝑔𝑀 ��𝐵 =𝐵𝑀

𝑀𝑂⇔ 𝑀𝑂 =

𝐴𝐵

2 𝑡𝑔𝜃2

.

Sem perda de generalidade, suponhamos que 𝐴𝐵 = 1. Assim,

(𝐴𝑂𝐵) =𝐴𝐵 ⋅ 𝑀𝑂

2=

1

4 𝑡𝑔𝜃2

.

A área do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 é maior do que a área do triângulo 𝐴𝑂𝐵 se

(𝐴𝐵𝐶𝐷) > (𝐴𝑂𝐵) ⇒ 12 >1

4 𝑡𝑔𝜃2

⇒ 𝑡𝑔𝜃

2>1

4= 0,25.

Logo, como 𝑡𝑔 1 5° ≅ 0,2679 > 0,25 e 0° < 𝜃 < 180°, vem que 30° < 𝜃 < 180°. Note que

]30°, 150°[ ⊂ ]30°, 180°[. Resposta da questão 30: [C] Do triângulo 𝐴𝐵𝐶, obtemos

𝑠𝑒𝑛 𝐵 ��𝐶 =𝐵𝐶

𝐴𝐶⇔ 𝐵𝐶 =

1

2⋅ 40 = 20𝑐𝑚

e

𝑐𝑜𝑠 𝐵 ��𝐶 =𝐴𝐵

𝐴𝐶⇔ 𝐴𝐵 =

√3

2⋅ 40 ≅ 34𝑐𝑚.

Além disso, como 𝐷��𝐸 = 45°, segue que 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 = 20𝑐𝑚. Portanto, a área do triângulo 𝐴𝐶𝐸 é dada por


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2

(ACE) (ADC) (ADE)

34 20 20 20

2 2

140cm .

= −

= −

=

Resposta da questão 31: [A] Seja ℓ a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos

ℓ = 25 ⋅ 𝑡𝑔 3 0° =25√3

3 𝑚.

Desse modo, a área da piscina é dada por

22

2

3 3 9 25 33 3

2 2 3

18753

2

1.623,8 m

=

=

e, portanto, 1.600 𝑚2 é o valor que mais se aproxima da área da piscina. Resposta da questão 32: [B]

ℎ2 + 52 = 102 ℎ2 = 100 − 25 ℎ2 = 75

ℎ = 5√3𝑐𝑚 Portanto, a área da bandeirinha será:

𝐴 = 10.15 −10.5√3

2= 150 − 25√3 = 25(6 − √3)𝑐𝑚2

Resposta da questão 33: [E] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE.


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Sabendo que 𝐴𝐹 = 15𝑐𝑚, 𝐴𝐺 = 12𝑐𝑚 e 𝐴𝐵 = 𝐸𝐺 = 6𝑐𝑚, pelo Teorema de Pitágoras, vem

𝐸𝐹2= 𝐺𝐹

2+ 𝐸𝐺

2⇔ 𝐸𝐹

2= 32 + 62

⇔ 𝐸𝐹2= 32 ⋅ 5

⇒ 𝐸𝐹 = 3√5𝑐𝑚.

Logo, dado que DF = 5√5𝑐𝑚, obtemos 𝐸𝐷 = 5√5 − 3√5 = 2√5𝑐𝑚. Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos

𝐷𝐻

𝐸𝐺=𝐷𝐸

𝐸𝐹⇔𝐷𝐻

6=2√5

3√5

⇔ 𝐷𝐻 = 4𝑐𝑚.

Desse modo, a área pedida, em 𝑐𝑚2, é dada por

(15 12) (12 3)(ABEF) (BCDE) 6 4

2 2

81 30

111.

+ ++ = +

= +

=

Por conseguinte, se x é a área real da APP, então

111 ⋅ 10−10

𝑥= (

1

200000)2

⇔ 𝑥 = 111 ⋅ 10−10 ⋅ 4 ⋅ 1010

⇔ 𝑥 = 444 𝑘𝑚2. Resposta da questão 34:

a) A = 4⋅3 = 12.

b) No triângulo ADE, 𝑠𝑒𝑛𝜃 =3

𝑥.

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:


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𝐴 =1

2⋅ 2𝑥 ⋅ 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

1

2⋅ 2𝑥 ⋅ 4 ⋅

3

𝑥= 12.

c) Considerando que 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝜃) =3

𝑥.

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1

2. 2𝑥. 4. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

1

2. 2.4𝑥. 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝜃) +

1

2. 2𝑥. 4. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

1

2. 2.4𝑥. 𝑠𝑒𝑛(180° −

𝜃) + 12

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

S(A’B’C’D’) = 60

Resposta da questão 35: [A]

Sejam 𝜑 =𝜋

2= 90°, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

𝑥2 + 𝑥2 = (2𝑅)2 ⇒ 𝑥2 = 2.𝑅2

𝑆(𝜑)

𝑇(𝜑)=

1

2⋅𝜋⋅𝑅2

1

2⋅𝑥⋅𝑥

=𝜋⋅𝑅2

𝑥2=𝜋⋅𝑅2

2𝑅2=𝜋

2

Resposta da questão 36: Sejam ℎ𝐴 e ℎ𝐵 , respectivamente, as alturas dos trapézios A e B. Como A e B são trapézios, e as frentes dos terrenos têm o mesmo comprimento, segue que a lateral maior do terreno A (ou lateral menor do terreno B) é a base média do trapézio maior formado por A e B. Daí, ℎ𝐴 = ℎ𝐵 = ℎ e, portanto,


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20 +𝑥 + 202

2⋅ ℎ

𝑥 + 202 + 𝑥

2⋅ ℎ

=1

2⇔

𝑥 + 60

3𝑥 + 20=1

2

⇔ 𝑥 = 100 𝑚. Resposta da questão 37:

a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:

𝐻

ℎ=15

3= 5.

b) H é a altura relativa ao lado AC.

Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:

p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2

𝐴 = √45

2. (45

2− 20) . (

45

2− 15) . (

45

2− 10)

𝐴 = √45

2⋅5

2⋅15

2⋅25

2

𝐴 =√32. 5.5.3.5. 52

4

𝐴 =3.5.5. √15

4

𝐴𝐶.𝐻

2=75√15

4

10. 𝐻

2=75√15

4

𝐻 =15√15

4=

Resposta da questão 38: [E]


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AB = a

Calculando a distância d pela área do triângulo assinalado:

Resposta da questão 39: [B] Calculando a área da superfície tomada pelo óleo, temos:

26.a 3 23 a

4 6= =

1a d 2

2

1 2d 2

2 6

d 12

d 2 3

=

=

=

=


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A = 108 + 27 + 11,25 + 3,375 = 149,625 km2 = 149,625⋅106 m2. Altura da mancha de óleo, em metros, 0,003 mm = 3⋅10–6 m Portanto, o volume de óleo será dado por: V = 148,625⋅106⋅3⋅10–6 = 448,875m3 = 448 875 L. Número de barris: 448 875:160≃2806. Resposta da questão 40: [B] Aumento do raio: 40 (1 + 0,25) = 50 km.

Área cujos voos serão cancelados: A = 𝜋. 502 ≃ 3,14.2500 ≃ 7850𝑘𝑚2 Resposta da questão 41:

a) Temos:

(𝐶𝐷)2 = 8√3. 2√3

𝐶𝐷 = √48

𝐶𝐷 = 4√3


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b) No triângulo ADC, temos:

(2𝑟)2 + (4√3)2= (8√3)

2⇔ 4𝑟2 = 192 − 48 ⇔ 𝑟2 = 36 ⇔ 𝑟 = 6

c) ℎ2 + (3√3)2= 62 ⇔ ℎ2 = 36 − 27 ⇔ ℎ2 = 9 ⇔ ℎ = 3

𝐴 =6√3. 3

2⇔ 𝐴 = 9. √3

d) 𝑠𝑒𝑛𝛼 =3

6=1

2⇔ 𝛼 = 30° e 𝛽 = 120°

Área pedida:

𝐴 =𝜋. 62

3− 𝐴𝛥𝐴𝑂𝐵

𝐴 = 12𝜋 − 9√3

𝐴 = 3 ⋅ (4𝜋 − 3√3)

Resposta da questão 42: Sejam 𝐴1 e 𝐴2, respectivamente, as áreas dos pentágonos da figura 1 e da figura 2. Como os pentágonos são regulares, segue que eles são semelhantes. Desse modo,

𝐴1𝐴2= (4𝐿

𝐿)2

= 16 ⇒ 𝐴1 = 16𝐴2

e, portanto, a área do pentágono da figura 1 é igual à soma das áreas dos 16 pentágonos da figura 2. Resposta da questão 43: [C]

A = 3.A1 + A2 +3. A3

A = 3.12 + 12√3

4+ 3

1

2. 1.1. 𝑠𝑒𝑛120𝑜

A = 3 +√3

4+3√3

4

A = 3 +√3 Resposta da questão 44: [B]


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AABC = 𝑎.𝑎

2=𝑎2

2 e ABCJI =𝑎.

𝑎

2=𝑎2

2, logo as área são iguais, resposta B.


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 13/07/2020 às 14:08 Nome do arquivo: Áreas GP 2011 - 2020 Uni Fuv Vun

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 153770 ..... Elevada ......... Química ......... Fuvest/2016 ......................... Analítica 2 ............. 175449 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2018 .......................... Múltipla escolha 3 ............. 179799 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2018 .......................... Analítica 4 ............. 175355 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2018 ......................... Múltipla escolha 5 ............. 175578 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2018 ...................... Múltipla escolha 6 ............. 176641 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2018 ............................. Analítica 7 ............. 172758 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2018 ............................. Múltipla escolha 8 ............. 176355 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2018 ......................... Analítica 9 ............. 165850 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2017 ...................... Múltipla escolha 10 ........... 159790 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2017 ............................. Múltipla escolha 11 ........... 165943 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2017 ......................... Múltipla escolha 12 ........... 171302 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2017 .......................... Analítica 13 ........... 165565 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2017 .......................... Múltipla escolha 14 ........... 165942 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2017 ......................... Múltipla escolha 15 ........... 171187 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2017 .......................... Múltipla escolha 16 ........... 153944 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2016 ...................... Analítica 17 ........... 153780 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2016 ......................... Analítica 18 ........... 150572 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2016 .......................... Múltipla escolha 19 ........... 158189 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2016 .......................... Múltipla escolha 20 ........... 150998 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2016 ...................... Múltipla escolha 21 ........... 158186 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2016 .......................... Múltipla escolha 22 ........... 146602 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2016 ............................. Múltipla escolha


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23 ........... 134143 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha 24 ........... 136348 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2015 ...................... Analítica 25 ........... 136350 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2015 ...................... Analítica 26 ........... 134142 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha 27 ........... 140391 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2015 .......................... Múltipla escolha 28 ........... 128168 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha 29 ........... 128433 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2014 ......................... Múltipla escolha 30 ........... 125262 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2014 ............................. Múltipla escolha 31 ........... 128431 ..... Baixa ............. Matemática ... Fuvest/2014 ......................... Múltipla escolha 32 ........... 116581 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2013 ............................. Múltipla escolha 33 ........... 122028 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha 34 ........... 123353 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Analítica 35 ........... 121661 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Múltipla escolha 36 ........... 122531 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2013 ............................. Analítica 37 ........... 123402 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Analítica 38 ........... 109331 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2012 ......................... Múltipla escolha 39 ........... 115106 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2012 .......................... Múltipla escolha 40 ........... 108917 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2012 ...................... Múltipla escolha 41 ........... 110414 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2012 ......................... Analítica 42 ........... 100664 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufrj/2011 .............................. Analítica 43 ........... 100951 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2011 ......................... Múltipla escolha 44 ........... 100931 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2011 ......................... Múltipla escolha

Áreas - geometria plana - 2011 a 2020 fuvest, unesp, unicamp … de materias... · 2020. 7....

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