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Controle de Sistemas Mecânicos

Realimentação de estado

� Introdução

� Conceitos básicos

� Controlabilidade

� Alocação de pólos

� Observabilidade


Introdução: Observador

� A realimentação de estado envolve a medição detodo o vetor de estado, o que nem sempre épossível ou viável economicamente.

� A solução é estimar o estado a partir da saídamedida.

� Utiliza-se o vetor de ganhos calculado como se oestado fosse de fato medido.

� Substitui-se o estado pelo estado estimado,multiplicado pelo vetor de ganhos para fechar amalha.


Estimativa do estado: Observador

� O “estimador” de estados foi chamado deobservador por Luenberger, o primeiro a apresentaro conceito.

� Por esse motivo também é chamado de observadorde Luenberger.

� A idéia é estimar o vetor de estado a partir doconhecimento da entrada (u) e da saída (y) daplanta.

� Para isso utiliza-se o modelo conhecido da planta.� O conceito de observabilidade estabelece a

condição para que exista solução para o problema.


Realimentação incluindo o observador

� DB realimentação de estado

� DB RE + observadorr

-

K

kp Planta

ue y

Ox̂

C

-+

K

Planta)(ty)(tr

pk)(tx

C

( )u t


� Planta

� Observador


B

A

L

s1 C

( )u t )(ty)(ˆ tx

++ + +−+

-+

)(ty)(tx( )u t

A

B Cs1++


Definição matemática

� Considerando a planta e o observador

� Definindo-se o erro

� Comportamento do erro depende deautovalores de (A-LC)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t C x t

= +=

� ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

x Ax Bu L y Cx

x A LC x Bu Ly

= + + −

= − + +

�

�

( )0 0 0 0

ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ( ) A LC t

x t x x x t A LC x

x x x x t x e −

= − ⇒ = −= − ⇒ =

��

� � �


� Planta

� Observador


B

A

L

s1 C

( )u t )(ty)(ˆ tx

++ + +−+

-+

)(ty)(tx( )u t

A

B Cs1++

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t C x t

= +=

�

)ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx −++=�


Considerações

� Apesar do erro inicial, o erro tende a zeropara um vetor L bem selecionado.

� O vetor L deve assegurar a posição dosautovalores da matriz A-LC no semi-planoesquerdo do plano complexo para que oerro tenda a zero.

� O observador deve ser mais rápido do quea planta, para permitir bom desempenho

� Regra prática: 4 vezes mais afastado doeixo real do que a planta.


Observabilidade

Uma planta linear é dita completamente observável ousimplesmente observável se o seu estado inicialx(t0) pode ser determinado para uma condição deentrada nula, unicamente a partir do conhecimentode sua saída desde o instante t0 até o instanteconsiderado, posterior a t0.

É equivalente a dizer que qualquer transição deestado afeta a saída da planta, ou, ainda, se paraalguma variável de estado ocorrer uma variaçãoque não traga conseqüências na saída, essavariável de estado é dita não observável.



� Considerando o problema dual

� Este é equivalente a uma realimentação deestado com autovalores de

Pois:

( ) ( ) ( )T T

T

z t A z t C v t

n B z

= +=

�

T T TA C L−

( )x A LC x= −��

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

=+=�

BrkxBKkAx

KxrBkAxx

pp

p

+−=

−+=

)(

)(

�

�

)( Kxrku p −=

zLv T−=



� Se D não for nula, pode-se mostrar que

� Definindo-se o erro

0)0(

)()()(

xtx

tButAxtx

==+=�

0

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ(0)

x Ax Bu L y Cx Dr DKx

x x

= + + − + −=

�

( )0 0 0 0

ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ( ) A LC t

x t x x x t A LC LD K x LD r

x x x x t x e −

= − ⇒ = − − += − ⇒ =

��

� � �

ˆu r K x= −


Matriz de observabilidade

A observabilidade vai depender da controlabilidade doproblema dual do observador

A matriz de controlabilidade é definida por:

e, para o problema dual fica:

2 1T TT T T T n TM C A C A C A C− = �

[ ]BABAABBM n 12 −= �


Matriz de observabilidade

TeoremaA planta descrita pela equação de estado

é dita observável se e só se o determinante da matriz deobservabilidade definida como

for não nulo.(MATLAB: comando obsv(A,C))

)()(

)()(

tCxty

tAxtx

==�

[ ]TnTTTTT CACACACOTT 12 −= �


Projetando um observador

Se a planta é observável existe solução para umobservador. Como o conceito é dual em relação àcontrolabilidade, utiliza-se o mesmo comando doMATLAB,

onde indicam-se os pólos desejados para oobservador.

( ’, ’, ) ’;L place A C polos=


Dinâmica final

� O modelo de estado do sistema incluindo arealimentação de estado e a definição doerro pode ser escrito como

ˆu r K x= −x A x B u= +�

ˆx Ax BKx BKx BKx Br= − + − +�

( )x A BK x BKx Br= − + +� �

ˆx x x= −�


Dinâmica final usando estado e erro

� O modelo de estado do sistema de malhafechada incluindo a realimentação de estadoe o observador pode ser escrito como

0

x A BK BK x Br

x A LC x LD

− = + −

��

( )x A BK x BKx Br= − + +� �

( )x A LC x= −��

Realimentação de estado

Observador


Equaçaõ de saída usando estado e erro

� Equação de saída

( ) ( )y t C x t D u= +ˆ( ) ( ) ( )y t C x t D r K x= + −

ˆu r K x= −

ˆ( ) ( )y t C x t D r D K x D K x D K x= + − + −( ) ( ) ( )y t C D K x t D K x D r= − + +�

[ ]( )x

y t C D K D K D rx

= − +

�


Pólos malha fechada

� Os pólos de malha fechada podem serobtidos pelo determinante de A

0

A B K B KA

A L C

− = −

00

I A BK BK

I A LC

λλ

− −=

− −

det( ) 0A =

0I A BK I A LCλ λ− − − − = princípio da separação


Princípio da separação

� O princípio da separação afirma que pode-seprojetar separadamente a realimentação como se ovetor de estado estivesse de fato disponível paramedição e em seguida projetar o observador. Ospólos resultantes de malha fechada de ambos osmódulos serão independentes uns dos outros.

� Note que a ordem do sistema agora será dobrada,porque foi incluída a dinâmica do observador, damesma ordem da planta.

� Por isso esse tipo de observador é chamado deordem completa. Pode-se projetar observadores deordem reduzida, aproveitando as medições de saídacomo parte do vetor de estado.


Malha fechada com estado e estado estimado

� Seja a equação de realimentação, o modelo de estadoda planta e do observador

r

-

K

Plantau

y

Ox̂z

x Ax Bu

y C x D u

= += +

�ˆu r Kx= −

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ


z Kx

= + + − − +=

�


Modelo de Malha fechada

� Pode-se rescrever o modelo de estado da planta emfunção de e

x Ax Bu

y C x D u

= += +

�

ˆu r Kx= −

ˆx A x B K x Br

y C x D u

= − += +

�

r x̂


Modelo de Malha fechada

� Pode-se rescrever o modelo de estado do observadorem função de e

ˆ ˆ( )

ˆ

x A BK LC LDK x LDr Ly Br

z Kx

= − − + − + +=

�

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ

x A BK LC LDK x LDr LCx LDr LDKx Br

z Kx

= − − + − + + − +=

�

y C x D u= +ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ


z Kx

= + + − − +=

�ˆu r Kx= −

r x̂

ˆ ˆ( )

ˆ

x A BK LC x LCx Br

z Kx

= − − + +=

�


Equação de saída usando estado e estado estimado

� Equação de saída

( ) ( )y t C x t D u= +ˆ( ) ( ) ( )y t C x t D r K x= + −

ˆu r K x= −

ˆ( ) ( )y t C x t D r D K x= + −

[ ]( )ˆ

xy t C D K D r

x

= − +


Modelo de estado Malha fechada

� Portanto o modelo de estado pode ser obtido juntandoos modelos de estado da planta e do observador

r

-

K

Plantau

y

Ox̂z

[ ]

ˆˆ

ˆ

x A BK x Br

LC A BK LC x Bx

xy C DK

x

− = + − −

= −

��


Modelo de estado Malha fechada

� Modelo de estado malha fechada

r

-

K

Plantau

y

Ox̂z

[ ]0

k

k

k

k

A BKA

LC A BK LC

BB

B

C C DK

D

− = − −

=

= −=


Modelo do controlador-observador(Heq)

� Considerando o observador com r=0(regulador)

ˆ ˆ ˆ ˆ( )x Ax Bu L y Cx DKx= + + − +� ˆu Kx= −

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx Ax BKx Ly LCx LDKx= − + − +�

ˆ ˆ( )x A BK LC LDK x Ly= − − + +�

xKz ˆ=

r

-

K

Plantau

y

Ox̂z


Modelo de estado Heq

� Considerando o modelo de estado do controlador +observador para r=0

� Comparando-se obtém-se o modelo de estado Heq

ˆ ˆ( )x A BK LC LDK x Ly= − − + +�

xKz ˆ=

-+

)(sHeq

)(sG)(sY)(sR

pk

r

-

K

Plantau

y

Ox̂z

Ah A BK LC LDK= − − +LBh =KCh =0=Dh


Para o helicóptero cujo modelo está abaixo, projete umcontrolador de estado com pólos localizados em

-1±j e –2. Analise o desempenho do controlador.

Obs: Modelo no plano, com vetor de estado compostoda variação do “pitch”, ângulo do “pitch” dafuselagem e velocidade horizontal. Notar que é umsistema instável. O controle é feito pelo “manche”

Exercício 24.1: Controle de um helicóptero

[ ]xy

uxx

100

8.9

0

3.6

02.08.94.1

001

01.004.0

=

+

−−

−−=�

θθ,�

v

θθ

v

�


Exercício 24.2: Controle com observador

clear allclose all% Plantaa=[-0.4 0 -0.01 1 0 0 -1.4 9.8 -0.02];b=[ 6.3 0 9.8];c=[0 0 1];d=0;sg=ss(a,b,c,d);

% Projeto do observadorob=obsv(a,c);disp(’Det da observabilidade : ’)det(ob), pausepobs=[-4 -3-3*j -3+3*j];disp(’Vetor de ganhos do observador: ’)l=place(a',c',pobs)’;

% Projeto do controladorm=ctrb(a,b);disp('Det da controlabilidade : ')det(m), pausepcon=[-1-j -1+j -2];disp('Vetor de ganhos : ')k=place(a,b,pcon)

Para o mesmo helicóptero, projete um controlador deestado com observador e analise o desempenho.


Exercício 24.2: Análise do projeto

• Função de transferência da planta• Função de transferência do controlador• Função de transferência de malha aberta (HG)• Lugar das raízes da malha aberta (HG)• Margens da malha aberta (HG)• Função de transferência de malha fechada• Pólos e zeros da planta• Pólos e zeros do controlador• Pólos e zeros de malha aberta• Pólos e zeros de malha fechada• Análise de desempenho


Exercício 24.3: Proposto

Para a planta cujo modelo de estado está abaixo,determine o vetor de ganhos para que o sistema demalha fechada possua um PSS não maior que 10%e um tempo de estabilização a 2% de 4 segundos.

[ ] 0001

1

0

0

500

110

010

==

=

−−=

DC

BA


Usar o seguinte código

� Programa em MATLAB (parcial)x=[-10:0.1:-zeta*wn];y=(sqrt(1-zeta^2)/zeta)*x;

xc=[-10:0.1:-zeta*wn];yc=sqrt(wn^2-xc.^2);

plot(x,y,’:’,x,-y,’:’,xc,yc,’:’,xc,-yc,’:’)

Observar que é necessário definir os valores do fator deamortecimento e da freqüência natural.

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