29_1 - observabilidade e controlabilidade

Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidadeAlocação de Pólos

Aula 18

Carlos AmaralFonte: Cristiano Quevedo Andrea

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Curitiba, Junho de 2012

Cristiano, Curitiba Sistema de Controle


Comparação entre técnicas de controle

1

2

3

4


= númerode varíaveis

nãoinfinitoinfinitoEspaço de Estados

1sim11Tempo (Ziegler-Nichols)

1sim11Frequência (Bode e Nyquist)

Incerteza do controle para plantas acima de segunda ordem

1sim11Lugar das Raízes(Laplace)

ObservaçãoNúmero de Circuitos de Controle

Necessidade de Integrar e derivar

Número de Saídas

Número de Entradas

Técnica

= númerode varíaveis

nãoinfinitoinfinitoEspaço de Estados

1sim11Tempo (Ziegler-Nichols)

1sim11Frequência (Bode e Nyquist)

Incerteza do controle para plantas acima de segunda ordem

1sim11Lugar das Raízes(Laplace)

ObservaçãoNúmero de Circuitos de Controle

Necessidade de Integrar e derivar

Número de Saídas

Número de Entradas

Técnica


Resumo

1

2

3

4

Formas Canônicas

Controlabilidade

Observabilidade

Alocação de Pólos


Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade


Considere um sistema definido por,

sendo u(t ) o sinal de entrada e y (t ) o sinal de saída. Esta equação pode ser escrita como,

Levando em conta as duas expressões apresentadas anteriormente serão apresentadas as formas canônicas controlável, observável e diagonal.

Formas CanônicasPodemos utilizar as formas canônicas para encontrar a representação em espaço de estado para uma dada função de transferência.




FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL


Zerosidentidade



FORMA CANÔNICA OBSERVÁVEL




Considere a seguinte função de transferência,

A forma canônica diagonal para este sistema é dada por,




Na forma canônica de Jordan consideramos a seguinte função de transferência,

e a forma canônica de Jordan é dada por




ControlabilidadeUm sistema é dito ser controlável em um instante t0 se for possível, por meio de um vetor de controle, transferir o sistema de qualquer estado inicial x (t0) para qualquer outro estado num intervalo de tempo finito.

Seja o sistema contínuo tempo dado por:

x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (1)

O estado da equação descrita acima é dito ser controlável em t = t0 se for possível construir um sinal de controle não-restrito capaz de transferir o sistema do estado inicial para um estado final em um intervalo de tempo finito t0 < t < tf . Se todos os estados forem controláveis o sistema é dito ser de estados completamente controláveis.




A condição para que o sistema descrito em (1) seja controlável é que a matriz de controlabilidade dada abaixo seja de posto completo.

(2)

Para ser de posto completo, basta a matriz ΦCrt possuir todas as colunas linearmente independente.




(2)

Verifiquem se o sistema descrito abaixo é controlável.


Resposta:A B

01

01

1011

AB

00011

det01

det.)det(

ABcrt

Logo o sistema não é controlável!




>> A = [1 1; 0 -1]

A =

1 10 -1

>> B = [1 ; 0]

B =

10

>> CO = crtb(A, B)

No Matlab utilizamos o comando ctrb: CO = crtb(A, B)




Exemplohttp://www.youtube.com/watch?v=NZbfNGgcluE&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=7&feature=plcp

EXERCÍCIOS


Petrobras 2012

Resp.



>> A=[2 0 0;0 2 0; 0 0 -4];>> B = [2;0;5];>> ctrb(A,B)

ans =

2 4 80 0 05 -20 80

EXERCÍCIOS




(a)

uxx

xdxd

10

1002

)()(

1

0

1

0

Resp:

11

00det.)det( crt =0

O sistema não é controlável!

(b)

uxxx

xdxdxd

201

450540002

)()()(

2

1

0

2

1

0

Resp: 580188280100421

det.)det(

crt

, dif de 0, logo o sistema é controlável!

Verifique se os sistemas são é controláveis



Observabilidade

Um sistema é dito ser observável no instante t0 se, com o sistema num estado x (t0) qualquer, for possível determinar este estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito.

Considere o sistema contínuo invariante no tempo descrito naforma de espaço de estado dado por,

x (t ) = Ax (t ) (3)

y (t ) = Cx (t )

O sistema é dito observável se qualquer estado x (t0) pode serdeterminado a partir da observação de y (t ) durante umintervalo de tempo finito t0 < t < tf .




A condição para o sistema descrito em (3) ser observável é que a matriz de observabilidade descrita abaixo possua posto completo.

(4)

Para ser de posto completo, basta a matriz ΦObs possuir todas as colunas linearmente independente.




(4)

Verifique se o sistema descrito abaixo é observável.


Resposta:

1112

1101

CA

11101

det)det( .

Obs

Logo o sistema é observável!

A B C



ΦObs

(4)

No Matlab utilizamos o comando obsv: OB = obsv (A, C)


>> A = [1 1; -2 -1]

A =

1 1-2 -1

>> C = [1 0]

C =

1 0

>> OB = obsv (A, C)

OB =

1 01 1

>> det(OB)

ans =

1

% Sistema observável

A B C




http://www.youtube.com/watch?v=j5xQfH9FCMc&list=UUMTtePMuQMLsSulV

4MInFYA&index=8&feature=plcp

EXERCÍCIOS




Verifique se o sistema é observável

uxx

xdxd

10

2110

)()(

1

0

1

0

1

021xx

y

Resp: 132

21det)det(

L

O sistema é observável!



Dado um sistema em espaço de estado:


D = 0 (maioria das aplicações)



Dado um sistema em espaço de estado:


Aplicando-se um controle de malha fechada:



A lei de controle de realimentação dos estados é dada por,

u(t ) = −Kx (t ) (5)

Então para um sistema dado em temos,

x (t ) = (A − BK )x (t )(6)


Número de entradas (m)

Número de estados (n)(mxn)



DIAGRAMA DE BLOCOS


Caso o sistema seja controlável, podemos alocar os pólos de malha fechada em qualquer posição do plano complexo s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema em malha fechada estável e também garantir desempenho transitório e em regime.




2- Utilizando os valores desejados para os autovalores (pólos de malha fechada desejados), escrever o polinômio característico,

(s − µ1)(s − µ2) · · · (s − µn) = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (7)

determinar os valores de α1, α2, · · · , αn.

3- Igualar

det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8)

e encontra o valor dos ganhos Ks que formam o controlador K .

ETAPAS PARA O PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS(C é igual à identidade, o que significa que a saída medediretamente todos os estados do sistema) 1- Verificar se o sistema é controlável. Se o sistema for completamente controlável seguir os próximos passos.



Exercício 1 (http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA ):

Dada a função de transferência


G(s) = S2 + 4s + 1

1

Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s:



Exercício 1


uxx

xdxd

10

4110

)()(

1

0

1

0



Exercício 1


uxx

xdxd

10

4110

)()(

1

0

1

0

Verificando a controbabilidade:

4

110

4110

AB

141

10det

10

det.)det(

ABcrt

Resposta: SIM! O sistema é controlável



Exercício 1


uxx

xdxd

10

4110

)()(

1

0

1

0

u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t)

1

0

1

0

1

0 2110

4110

)()(

xx

kkxx

xdxd



Exercício 1


1

0

1

0

1

0

2100

4110

)()(

xx

kkxx

xdxd

1

0

1

0

241110

)()(

xx

kkxdxd

G(s) = 1S2 + (4+k2)s + (1 + k1)

Os ganhos k1 e k2 me permite colocar os polos

em qualquer ligar do plano ‘S’!!!



Exercício 1


G(s) = 1S2 + 20s + 209


)100/..(ln

)10 0/..ln (22 OP

OP

= 0.69

Wn = 14.46

desejado



Exercício 1


= G(s) = 1S2 + 20s + 209

Igualando G(s) desejado com G(s) original + ganhos

desejadoG(s) = 1

S2 + (4+k2)s + (1 + k1)

LogoK1 = 209 – 1 = 208

K2 = 20 -4 = 16



Explicação do Exercício 1


http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA



Exercício 2Dada a função de transferência (Nise pg: 521 Exemplo 12.1):


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)

Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:

Verificar se o sistema é controlável primeiro!Resposta: SIM!



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)

Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:Usando a função RLTOOL do MatLab

Ponto: -5,4 -+7,2i

Logo já temos duas raízes, como o sistema é de 3ª órdems(s + 1)(s + 4) = s3 + 5 s2 + 4 sDeve-se escolher outro polo.Como existe um zero em ‘-5’ vamosEscolher um polo também em ‘-5’



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


A equação característica final (desejada) deve ser: (s - (-5,4 +7,2i)). (s - (-5,4 -7,2i)).(s + 5)

= s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

uxxx

xdxdxd

100

540100010

)()()(

2

1

0

2

1

0

2

1

0

020100xxx

y

s(s + 1)(s + 4) s3 + 5 s2 + 4 s20(s+5) 20s + 100

=20(s+5) 20s + 100



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2 k3].x(t)

uxxx

xdxdxd

100

540100010

)()()(

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

]321[100

540100010

)()()(

xxx

kkkxxx

xdxdxd



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

2

1

0

2

1

0

2

1

0

]321[100

540100010

)()()(

xxx

kkkxxx

xdxdxd

2

1

0

2

1

0

2

1

0

321000000

540100010

)()()(

xxx

kkkxxx

xdxdxd

2

1

0

2

1

0

35241100010

)()()(

xxx

kkkxdxdxd



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

2

1

0

2

1

0

35241100010

)()()(

xxx

kkkxdxdxd

G(s) = 1S3 + S2(5+k3) + (4+k2)s + (k1)

G(s) = 1



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

Outra opção para o cálculo seria por força bruta:

det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8)



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

s3 + s2(5+k3) + (4+k2)s + (k1) = s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405

Logo:

K1 = 405k2 = 135 - 4 = 131K3 = 15,8 – 5 = 10,8



Exercício 2


G(s) = s(s + 1)(s + 4)

20(s+5)


Sistema de Controle

s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405G(s) = 20(s+5)

>> g = 20*(s+5)/(s^3+15.8*s^2+135*s+405)

Transfer function:

20 s + 100

----------------------------

s^3 + 15.8 s^2 + 135 s + 405

>> step(g)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de



Exercício 3 Dada a função de transferência(Nise pg: 521 Exercício de Avaliação 12.1):


G(s) = s(s + 3)(s+12)

100(s+10)




Exercício 3


Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');

>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))Transfer function:100 s + 1000

------------------------s^3 + 15 s^2 + 36 s

uxxx

xdxdxd

100

15360100010

)()()(

2

1

0

2

1

0

2

1

0

01001000xxx

y



Exercício 3


Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');

>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))Transfer function:100 s + 1000

------------------------s^3 + 15 s^2 + 36 s



Exercício 3





FÓRMULA DE ACKERMANN Outro método para o projeto do controlador K é utilizar a fórmula de Ackermann.

···| An−1B ]−1φ(A)(9)


sendo φ o polinômio característico do sistema em malha-fechada.

Esta técnica é bastante usada principalmente caso o sistema tenha mais de 2 variáveis!

Projeto de Alocação de Pólos via MatlabK =acker(A,B,p), p é o vetor que contém a posição dos pólos de malha fechada.



Exercício 4 (Dorf pg: 512 Exemplo 11.11)Dada a função em espaço de estado:


Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de Ackermann para a os pontos -1 +-i:

G(s) = s2

1

A equação característica final (desejada) deve ser: (s – (-1 + 1i)). (s - (-1 - 1i))

= s2 + 2 s + 2



Exercício 4


G(s) = s2

1


Sistema de Controle

1s2 + 0 s + 01

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 4


Verificar se o sistema é controlável primeiro!

Resposta: SIM! É controlável!

A B

01

10

0010

AB

10110

det10

det.)det(

ABcrt

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 4


A B

1001

222 2s s(A) 22 AA

Substituindo S por A na equação característica final (desejada)s2 + 2 s + 2

1001

20010

20010

0010

(A) Identidade

2022

(A)

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 4


2022

0110

]10[1

%MatLab>> [0 1;1 0]^-1ans =

0 11 0

A B

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 4


]22[2022

0110

]10[

k

A B

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 4


% Resolvendo no MatLab>> A = [0 1; 0 0]A =

0 10 0

>> B = [0;1]B =

01

>> p = [-1+j*1; -1-j*1]; % Desired Pole Location>> K =acker(A,B,p)K =

2 2

A B

uxx

xdxd

10

0010

)()(

1

0

1

0



Exercício 5

Dada a função em espaço de estado:


Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de Ackermann para a um tempo de estabelecimento de 2 segundos (Ts) e um amortecimento de 0.707:

http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=5&feature=plcp

uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0



Exercício 5


Tempo de estabelecimento de 2 segundos (Ts) Amortecimento de 0.707

RLTOOL no MatLab

uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

Ponto: -2 -+2i

A equação característica final (desejada) deve ser: (s - (-2 +2i)). (s - (-2 -2i))

= s2 + 4 s + 8



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

Verificar se o sistema é controlável primeiro!

Resposta: SIM! É controlável!

A B

11

11

0110

AB

21111

det1

1det.)det(

ABcrt



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

A B

1001

848 s 4 s(A) 22 AA

Substituindo S por A na equação característica final (desejada)s2 + 4 s + 8

1001

80110

40110

0110

(A)Identidade

7447

(A) Diferente da internet!!!!



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

A B

7447

1111

]10[1

5.55.17447

1111

1111

det

1]10[

t

Adj



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

>> A = [0 1; -1 0]

>> B = [1;-1]

>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location

>> K =acker(A,B,p)

K =

-1.5000 -5.5000

Utilizando o MatLab função ACKER :



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

>> A = [0 1; -1 0]

A =

0 1

-1 0

>> B = [1;-1]

B =

1

-1

>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location

>> K=place(A,B,[p])

K =

-1.5000 -5.5000

Utilizando o MatLab – função PLACE:



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

Verificando os Resultados:

u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t)

1

0

1

0

1

0 211

10110

)()(

xx

kkxx

xdxd

1

0

1

0

1

0 )5.5()5.1(1

10110

)()(

xx

xx

xdxd

1

0

1

0

1

0

1

0

5.55.05.65.1

5.55.15.55.1

0110

)()(

xx

xx

xx

xdxd



Exercício 5


uxx

xdxd

1

10110

)()(

1

0

1

0

Verificando os Resultados:

%YOUTUBE

>> d = eig([-4.6 7.5;-1.4 0.6])

d =

-2.0000 + 1.9339i

-2.0000 - 1.9339i

%Calculado

>> d = eig([1.5 6.5;-0.5 -5.5])

d =

1

-5



FÓRMULA DE ACKERMANN


http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=5&feature=plcp



Exercício 6


Determine um controlador K de realimentação dos estados para o seguinte sistema pela fórmula de Ackermann,

o sistema em malha fechada deve responder com um P.O. 10% e um tempo de estabelecimento de 10 segundos.

29_1 - observabilidade e controlabilidade

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