razonamiento matematico
DESCRIPTION
RAZONAMIENTO MATEMATICO NOS AYUDA A SOLUCIONAR LOS PROBLEMASTRANSCRIPT
RAZONAM.MATEMAT.
IV BIM.
TRILCE PRIMARIA
RAZ. MATEMATICO
Í n d i c e
Pág.
å Operadores Matemáticos I...............................99
å Operadores Matemáticos II............................105
å Criptoaritmética I...........................................111
å Criptoaritmética II..........................................117
å Método Inductivo I..........................................123
å Método Inductivo II.........................................129
å Repaso......................................................137
COLEGIO TRILCE Página 2
RAZ. MATEMATICO
4 + 7 = 11 9 6 = 3
8 × 3 = 24 20 5 = 4
Las cuatro operaciones fundam entales de la A ritm ética son :la adición , sustracción , m u ltiplicación y d ivisió n; cada una de estas posee un sím bo lo que representa a la operación .Estos s ím bo los: ( , , , ) son operado res m atem ático s.+ × -
¿Qué es un operador matemático?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Los símbolos (+, ×, -, ) son conocidos por todos nosotros. En este capítulo vamos a trabajar con otros
símbolos (*, %, , #, etc.), y cada uno de estos va a representar a cierta operación matemática, la cual se
define en un problema.
COLEGIO TRILCE Página 3
RAZ. MATEMATICO
PROBLEMAS PARA LA CLASE
COLEGIO TRILCE Página 4
1. Si: m n = m2 - n
hallar el valor de: 3 4
2. Sea la operación: a b = 4a +
9b
calcular: 6 8
3. Sabiendo que: a @ b = 2a + a2
+ b
hallar el valor de: 4 @ 1
4. Si: p * q = (p2 + q2) × (p - q)
calcular: 3 * 1
5. Si se sabe que: x # y = (x - y) (x)
(x + y)
¿cuál es el valor de (8 # 2)?
6. Se define: x = 2x + 5
hallar: 20
7. Si: bab#a
calcular el valor de: (2 # 7) - (1
# 3)
8. Si se sabe que: m n = mn - 5
hallar el valor de: (2 3) + (1 7)
9. Si: 4
qp
qp
calcular el valor de: (6 3) (15
5)
10. Si se define: A • B = 2A + B
calcular: (3 • 5) + (5 • 3)
11. Sea la operación: x % y = x2 +
3y
hallar: (2 % 3) + (4 % 2)
12. Si: m = 4m + 1
hallar: 6 + 9
13. Se define: p = p - 42
hallar:
a. 3
b. 3
c. 3
14. Si se sabe: x = 3x2 + 1
hallar:
a. 0
b. 0
c. 0
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 5
15. Si: baba
ba
hallar: (3 2) × (8 4)
RETO FINAL
1. Se define: 2mn
nm2
calcular: (2 6) + (3 7)
2. Si: a b = a2 + 2ab + b2
calcular: (4 5) - (2 3)
3. Si: x = 2x + 5 ; y = y - 42
hallar: 3
4. Si se sabe que: a3 % b2 = 3b - 2a
hallar: 27 % 16
5. Si: b6aba3 2 calcular: 12 4
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA
COLEGIO TRILCE Página 6
RAZ. MATEMATICO
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE Página 7
RAZ. MATEMATICO
En esta clase resolveremos más problemas sobre operadores matemáticos y
vamos a aprender a "leer" una tabla de doble entrada.
Tabla de doble entrada
Consiste en la asociación de dos elementos de un conjunto dado (no vacío),
mediante una regla de correspondencia generando un único resultado.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
COLEGIO TRILCE Página 8
• Ejemplo 1
Sea el conjunto:
A = {1; 2; 3}se define la operación adición como:
+
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6• Ejemplo 2
Sea el conjunto:
B = {2; 4; 6}se define la operación multiplicación como:
×
2
4
6
2
4
8
12
4
8
16
24
6
12
24
36
• Ejemplo 3
Sea el conjunto:
C = {1; 3; 5; 7}se define la operación * mediante la tabla adjunta.
*
1
3
5
7
1
7
1
3
5
3
1
3
5
7
5
3
5
7
1
7
5
7
1
3
Hallar el resultado de: (7 * 5) * 3
• Ejemplo 4:
Si se sabe que el operador "$" se
define en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}; mediante la tabla:
$
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
Hallar: (1 $ 3) + (3 $ 2)
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 9
1. Se define la operación "J", en el
conjunto:
A = {1; 2; 3; 4}mediante la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
3
4
5
6
2
4
5
6
7
3
5
6
7
8
4
6
7
8
9
calcular: (1 J 2) + (4 J 3)
2. Considerando la siguiente tabla:#
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
5
3
3
4
5
6
4
4
5
6
7
hallar: (2 # 4) × (3 # 2) + (4 #
3)
3. Dada la siguiente tabla:
0
1
2
3
0
0
2
4
6
1
1
3
5
7
2
2
4
6
8
3
3
5
7
9
hallar el valor de:
(0 u 3) + (2 u 3) - 2(1 u 2)
4. Se define "n", en el conjunto:
A = {1; 2; 3; 4}
mediante la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
1
3
2
3
1
3
2
4
4
3
2
4
1
calcular: 2(3 n 2) - 3(4 n 4)
5. Sea "ª" la operación definida
en:
A = {a, b, c}
mediante la tabla:
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
bhallar: (a ª b) ª (b ª c)
6. Si se define el operador "@", en
el conjunto: A = {2; 3; 4}
mediante la siguiente tabla:@
2
3
4
2
4
2
3
3
3
4
2
4
2
3
4
hallar: (2 @ 4) @ (3 @ 4)
*
1
2
3
1
1
2
3
2
2
1
3
3
3
3
17. La operación * se define en N:
hallar:
[(1 * 2) * 3] * [(3 * 2) * 1]
8. Usando los valores de la siguiente
tabla:
•
2
4
6
8
4
6
8
2
4
6
8
2
4
6
8
2
4
6
8
2
4
6
8
2hallar el valor de:
[(4 • 6) • (8 • 4)] [(4 • 2) • (4 • 4)]
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 10
9. Dada la tabla:2
5
7
2
3
3
2
3
5
7
5
3
5
7
2
7
7
2
3
5calcular el valor de:
)27()35()33()72(
10. Si se sabe que:
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4calcular el valor de:
)14()33()42()21(
RETO FINAL
1. Si se define el operador "•", en el
conjunto: A = {2; 3; 4} mediante
la siguiente tabla:
•
2
3
4
2
4
2
3
3
3
4
2
4
2
3
4hallar el valor de "x" en:
(2 • x) = (4 • 2)
2. Si:@
2
4
6
8
2
4
8
2
6
4
8
2
6
4
6
2
6
4
8
8
6
4
8
2
hallar el valor de "x" en:2 @ 8 = 6 @ x
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 11
3. Si:
*
3
5
7
3
5
3
7
5
7
5
3
7
3
7
5hallar el valor de:
(3 * 3) * x = 7 * 5
4. Si:
$
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2hallar el valor de "x" en:
(2 $ 3) $ x = (4 $ 2)
5. Si:
1
2
3
4
1
2
4
1
3
2
3
1
4
2
3
4
2
3
1
4
1
3
2
4
hallar el valor de "x" en:(2 u x) u (3 u 4) = (4 u 1) u (1 u 3)
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 12
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIADesarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE Página 13
1. Si:
1
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
hallar: (3 4) + (2 3)
2. Si: 22 nmn#m ; calcular: 3 # 4
3. Sabiendo que: 2x
y3y%x
hallar: (6 % 2) + (4 % 1)
4. Si:#
1
3
5
7
1
7
1
3
5
3
1
3
5
7
5
3
5
7
1
7
5
7
1
3
hallar el valor de "x" en:
(3 # 5) # x = (7 # 3)
5. Si: 3a 2b = 5b - 2a; hallar: 6 8
6. Si:*
1
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
1
3
2
3
1
3
2
4
4
3
2
4
1calcular: 2(3 * 2) - 3(4 * 4)
7. Si:@
2
3
4
2
4
2
3
3
3
4
2
4
2
3
4
hallar: (2 @ 4) @ (3 @ 4)
8. Si: a b = a2 + b2
calcular: 2 3
9. Si se define:
x * y = x2 + 2y + 5
calcular:
(3 * 2) + (2 * 3)
10. Si se sabe que:2
8
6
2
4
4
2
4
8
6
6
6
2
4
8
8
4
8
6
2
hallar el valor de "x" en:(x 4) = (6 8)
RAZ. MATEMATICO
Am igu itos veam os la sigu iente operación m atem ática:
3
6
4
2
¿Puedes ha llar el valo r de: + ?
+
Como verás, algunas cifras en esta operación están ocultas, nuestra tarea es
descubrir el valor de estas, teniendo en cuenta las reglas que se siguen en una
operación matemática (adición, sustracción, multiplicación y división), ya
conocidas por todos nosotros.
Si tenemos una operación, como por ejemplo:
ca2 + 34c5 = bb 12; es decir: c a 2
3 4 c 5
b b 1 2
0 +
debemos considerar que:
a. Cada letra o símbolo (a; b; ; ; *; etc.) representa a una cifra (0; 1; . . . .; 8;
9)
b. A letras iguales le corresponden valores iguales.
c. A letras diferentes le corresponden valores diferentes.
c a 2
3 4 c 5
b b 1 2
0 +
Ahora vam o s a encontrar los valo res de
las incógn itas en el ejem p lo an terio r.
a
b
c
= _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _
COLEGIO TRILCE Página 14
RAZ. MATEMATICO
OBSERVACIÓN:
1. Si a un numeral de dos cifras significativas se le resta el número que
resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene un numeral cuya suma
de cifras es 9.
a bb ax y x + y = 9 . . . (a > b)
Ejemplo:8 33 8
4 5 4 + 5 = 9
2. Si a un numeral de tres cifras abc , donde: a > c, se le resta el número que
resulta de invertir el orden de sus cifras cba , tendremos:
a b cc b ax y z
99
y = 9x + z = 9
Ejemplo:8 2 55 2 8
te das cuenta siempre se cumple _____________
* ¡Ahora, resuelve tú!
Si: 4pmcbaabc ; hallar "p.m"
COLEGIO TRILCE Página 15
RAZ. MATEMATICO
PROBLEMAS PARA LA CLASE:
COLEGIO TRILCE Página 16
Bloque I
1. Indicar la menor cifra encontrada en:
9
2
0
6
4
4
3
+
Rpta.: ________
2. Calcular la suma de cifras halladas en:
4
9
0
2
6
0
3
9
+8
5
0
6
Rpta.: ________
3. Indicar la mayor cifra encontrada en:
0
2
9
3
8
7
9
+4
3
0
5
4
Rpta.: ________
4. Hallar las cifras que faltan en:0
6
3
6
3
1
8
2
9
9
+0
4
1
8
0
5
2
Rpta.: ________
5. Indicar la menor cifra encontrada en:
6
8
2
5
0
9
5
0
3Rpta.: ________
6. Calcular la suma de cifras halladas en:
6
4
7
9
0
2
5
2
7
0
3
4
Rpta.: ________
7. Calcular la suma de cifras del minuendo en:
0
4
6
0
3
5
2
5
0
4
Rpta.: ________
8. Si se sabe que:
a 3 bb 8 4c a 9
+
hallar "a + b + c"
Rpta.: ________
9. Hallar "A + B + D" en:
A 5 6B A B
D 1 9 4
+
Rpta.: ________
10. Hallar "x + y + z", si:
z 4 x1 y 2y x 7
Rpta.: ________
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 17
Bloque II
1. Hallar "A + B", si:A 45 BA 8
1 B 8
+
Rpta.: ________
2. Hallar "a + b", en:b 5 ab a aa 3 4
+
Rpta.: ________
3. Hallar "A + B + C", enA 8 B7 B 5
1 3 C 1
+
Rpta.: ________
4. Si: 194DBAB56A
hallar "A + B + D"
Rpta.: ________
5. Si: m + n + p = 21; hallar:m n p
p m n
n p m
+
Rpta.: ________
6. Si: a + b + c = 16
hallar: cbcabcabaabc
Rpta.: ________
7. Si: a + b = 9hallar: a1b1abab1
Rpta.: ________
8. Si: a + b + c = 17hallar: cab5bca8abc2
Rpta.: ________
9. Si: (a + b + c)2 = 169hallar: bbccccaaaabb
Rpta.: ________
10. Si: (a + b)2 = 49hallar: bbaabaab
Rpta.: ________
RETO FINAL
1. Hallar "A + B + C", siA A A
7 A A
B C 9 8
+
Rpta.: ________
2. Hallar "A + B + C + D", si:8 A A 3
4 C B 1
D B B A
Rpta.: ________
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE Página 18
3. Si: a + b + c = 14, hallar la
suma de cifras del resultado
de:
cabbcaabc
Rpta.: ________
4. Hallar "x + y", si:xy3cbaabc
Rpta.: ________
5. Hallar "p × q", si:pq2cbaabc
Rpta.: ________
1. Si: 0
1
7ac
a3b
5b2
+
hallar: a + b + c
2. Si:
ac3
7ca
b1c
2b8
hallar: a + b + c
3. Si: 77caabbaba hallar:
ccbbaa
4. Calcular la suma de cifras de la diferencia en:
2
4
0
2
6
0
3
7
0
8
5. Si: a + b + c = 18hallar:
cabbcaabc
RAZ. MATEMATICO
En el cap ítu lo anterior hem os hallado los valo res
correspo nd ientes a las variab les (a; b ; c; etc.) que
in tervienen en una o .
E l d ía de hoy te vas a encontrar con d iversos
pro blem as sobre criptoaritm ética pero
esta vez incluyendo a la y .
adición sustracción
m ultiplicación división
PROBLEMAS PARA LA CLASE
COLEGIO TRILCE Página 19
Bloque I
1. Hallar la menor cifra encontrada en:
0
4
2
0
5
×0
2
Rpta.: _____
2. Hallar el multiplicando de:0
7
3
0
6
×5
Rpta.: _____
3. Indicar la suma de cifras halladas en:
3
1
0
0
×6
5
Rpta.: _____
4. Hallar el producto de la mayor y menor cifra encontrada en:
0
9
3
0
3
×0
4
Rpta.: _____
5. Calcular el multiplicando más el multiplicador en:
66m23ab
Rpta.: _______
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 20
6. Hallar la cifra que falta en el cociente:
0
2
9
-
3 0
2
Rpta.: ______
7. Hallar la suma de cifras del dividendo:
0
4
-
2
-
20
2
4
Rpta.: ______
8. Calcular la suma del dividendo más el divisor de:
0
0
3
3
-
0
-
0
2
0
0
4
Rpta.: ______
9. Reconstruir:0
8
9
-
6
1
-
0
2
4
2
2
-
0
4
-
4
Rpta.: ______
10. Hallar la suma del cociente más el divisor, si:
7
1
-
0
2
3
Rpta.: ______
Bloque II
1. Hallar + , si:0
7
1
×
Rpta.: ______
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 21
2. Hallar "a + c", si:×a 6 c
4
1 0 6 8
Rpta.: _______
3. Hallar el valor de: "A + B + C + m + p"; si:
×A B C 3
9
m p p p p
Rpta.: _______
4. Si: 372ampq
868bmpq
hallar: abmpq
Rpta.: _______
5. Si: 978aabc 652babc
hallar: aababc
Rpta.: _______
6. Si: 1071aabc 1785babc
2499cabc
hallar "2)abc( " y dar como
respuesta la suma de las cifras del resultado.
Rpta.: _______
7. Si: 2736pmnp 2280nmnp
1824mmnp
hallar pnmmnp , dar como respuesta la suma de sus cifras.
Rpta.: ______
8. Reconstruir la siguiente división e indicar el valor de:
+ +
0
2
1
1
-
7
7
-
9
9
9
-
5
5
2
Rpta.: ______
9. Calcular el dividendo más el cociente en:
0
4
0
-
3
1
0
6
9
-
0
4
8
0
2
0
8
Rpta.: ______
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 22
10. Si cada ( ) representa una cifra, hallar el dividendo en:
0
-
0
-
0
3
-
0
8
-
7
2
Rpta.: _______
RETO FINAL
1. Hallar: "A + B + C", si:
×B A A
6
C 5 2 8
Rpta.: _______
2. Hallar "a + b + c + d", si:×a 4 b 3
c
5 8 d 5 7
Rpta.: _______
3. Hallar "A + B + C", si:×1 E D C B A
3
E D C B A 1
Rpta.: _____
4. Reconstruye la división y dar como respuesta la suma del divisor más el cociente.
0
3
6
8 0
1
Rpta.: _____
5. Hallar la suma de cifras del dividendo:
0
5
1
-
7
-
7
5
0
1
0
4
8
3
4
0
3
Rpta.: _____
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE Página 23
1. Hallar la suma de cifras del producto.
0
*
*
0
2
9
*
0
*
*
*
*
*
a
*
4
*
*
*
a
*
*
*
*
a
0
*
×multiplicando
multiplicador
productosparciales
producto
2. Si: a + b + c + d = 23
hallar:
dabccdabbcdaabcd
3. Si: 502ppqr
1255qpqr
251rpqr
hallar: 2
pqr
4. Si: 11615PMAMA
6969AMAMA
hallar: PAPAMAMA e indicar la
suma de cifras del resultado.
RAZ. MATEMATICO
Am igu itos para entender lo que es inducción
veam os e l sigu ien te e jem p lo .
Si se tiene que:1 = 2 - 3.1 + 1
2 = 4 + 4.2 - 2
3 = 6 - 5.3 + 3
4 = 8 + 6.4 - 4
2
2
2
2
. . .¿Cuál es el valor de 5 , 6 , 1 0 , 2 0 y 3 9 ?Por lo visto en los 4 casos iniciales, podemos "INDUCIR" que:
5= ___________________________________________________________
6 = ___________________________________________________________
1 0= ___________________________________________________________
2 0 = ___________________________________________________________3 9 = ___________________________________________________________
Entonces; ¿qué es inducción?
Induccción es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares
(casos particulares), una conclusión general.
COLEGIO TRILCE Página 24
RAZ. MATEMATICO
1. Si se observa que:
1 = 3
2 = 3 43
3 = 343
54
4 = 3 43
54
65
hallar: 5 8 + 8 3
2. ¿Cuántas esferas habrá en la figura 25?
fig. 1
_ _ _ _ _ _ _ _
fig . 2
_ _ _ _ _ _ _ _
fig . 3
_ _ _ _ _ _ _ _
fig . 4
_ _ _ _ _ _ _ _# de esferas
Por lo tanto en la figura 25 hay: _____
2. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 8?
fig . 1
_ _ _ _ _ _ _ _
fig . 2
_ _ _ _ _ _ _ _
fig . 3
_ _ _ _ _ _ _ _
a
# de triángu los
Por lo tanto en la figura 8 hay: ________________
COLEGIO TRILCE Página 25
RAZ. MATEMATICO
4. Si:1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
2
2
2
2
= 1
= 1 2 1
= 1 2 3 2 1
= 1 2 3 4 3 2 1
hallar el resultado de: 11111112
Podemos inducir que el resultado es: _______________________
5. Si se tiene que:514321f1
1115432f2
1916543f3
hallar el valor de: f97
f97 = _______________________
6. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 20?
fig . 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
fig . 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
fig . 3
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0
# triángu lo s
dándo le la fo rm a
0
:
:
Por lo tanto, el número de triángulos en f20 es: ___________; en f30 es
__________;
en f99 es ___________
COLEGIO TRILCE Página 26
RAZ. MATEMATICO
7. Hallar la suma de las cifras del resultado en la fila 20.
F ila 1 3 = 92
F ila 2 33 = 10892
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Sum a de cifras
F ila 3 333 = 1108892 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
F ila 4 3333 = 111088892 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
F ila 5 33333 = . . . . . . . . . .2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
F ila 20 333 . . . . . 333 = . . . . . . . . . .2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
"... ." cifras
La suma de cifras del resultado en la fila 20 es: ________
8. Si se observa que:G1 = 1 + 2 - 3
G2 = 2 + 3 - 4
G3 = 3 + 4 - 5
G4 = 4 + 5 - 6
hallar: G71 + G101
COLEGIO TRILCE Página 27
9. Si:
1 = 2 + 3
2 = 4 + 5
3 = 8 + 7
4 = 16 + 9. . .
Hallar: 5 + 6 _________
10. Si: f1 = 2 + 4
f2 = 2 + 4 + 6
f3 = 2 + 4 + 6 + 8
hallar: f4 + f8 + f19
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 15?
;f1
;f2
; . . . . . . . . . . . .f3 f15
COLEGIO TRILCE Página 28
1. Si:
1
. . .
= 2 + 1 - 1 × 32
2 = 4 - 2 + 2 × 42
3 = 6 + 3 - 3 × 52
4 = 8 - 4 + 4 × 62
Hallar:
5 + 8 23
2. Si: f1 = 112 = 121
f2 = 1112 = 12321
f3 = 11112 = 1234321
hallar: f4 + f6
3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 10?
fig . 1 fig . 2 fig . 3
4. Hallar la suma de cifras del
resultado en la fila 10.
Fila 1 62 = 36
Fila 2 662 = 4356
Fila 3 6662 = 443556Fila 4 66662 = 44435556
RAZ. MATEMATICO
¿Puedes averiguar el número total de palitos de fósforo que se han utilizado en el siguiente arreglo?
a. 101 b. 98 c. 97 d. 100 e. 99
Tu respuesta es: _____
Am igu itos todo s sabem os contar, s in em bargo
el co nteo se hace m ás d ificultoso a m ed ida
que se tenga un arreg lo de m ayor tam año.
Si observamos bien el arreglo dado, notarás que en la última fila hay 10 palitos
verticales. Ahora imagina contar palitos en un arreglo de mayor tamaño y que
tenga en su última fila 30 palitos verticales.
Para resolver ejercicios dificultosos como el que hemos visto anteriormente haremos uso del "Método inductivo"
COLEGIO TRILCE Página 29
RAZ. MATEMATICO
Ahora vamos a resolver el ejercicio anterior.
1 2
# palitos = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
1 2 3
# palitos = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
1 2 3 4
# palitos = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
"H echos particu lares"
3 casossencillos
1 2 3 8 9 10
"Conclusió n genera l"
A rreg lodado
COLEGIO TRILCE Página 30
RAZ. MATEMATICO
¡Veamos otro ejemplo!Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:
Por inducción:
COLEGIO TRILCE Página 31
RAZ. MATEMATICO
# triángu lo s = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _1
1
1
2
1 2
1
2
1 2
3
3
# triángu lo s = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
# triángu lo s = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
3 casosparticu lares
1
2
3
1 2 3
4
5
6
7
8
4 5 6 7 8
Gráficodado
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. ¿Cuántas esferitas hay en la figura 20?
fig . 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _
fig . 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _
fig . 3
_ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _
0
# de esferitas
dándo le fo rm a
0
:
:
En la figura 20 hay: _____ = _____ esferitas.
2. Hallar el número de cuadrados en la figura 10.
COLEGIO TRILCE Página 32
RAZ. MATEMATICO
;
f1 f2 f3 f10
; ; . . . . . . . . . . .
_ _ _ _ ; _ _ _ _ ; _ _ _ _ ;Rpta.: ________
3. ¿Cuántos puntos de corte habrá en la figura 25?
;
f1 f2 f3 f20
; ; . . . . . . . . . . .
_ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ ; . . .
Rpta.: ________
4. ¿Cuántos palitos habrá en total en la figura 40?
;
f1 f2 f3 f40
; ; . . . . . . . . . . .;
f4
_ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ ; . . .Rpta.: ________
5. Hallar la suma de cifras del resultado de: 1111111112.
1 2
11 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Sum a de cifras
111 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1111 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1111111112 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Resu ltado
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6. Hallar: f20.
f1 1 =
f2 1 + 2 =
COLEGIO TRILCE Página 33
RAZ. MATEMATICO
f3 1 + 2 + 3 =
f4 1 + 2 + 3 + 4 =
f5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
f20
7. Hallar: f10.
f1 1 =
f2 1 + 3 =
f3 1 + 3 + 5 =
f4 1 + 3 + 5 + 7 =
f5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
f10
8. Hallar: f10.
f1 2 =
f2 2 + 4 =
f3 2 + 4 + 6 =
f4 2 + 4 + 6 + 8 =
f5 2 + 4 + 6 + 8 + 10 =
f10
10. Hallar la suma total en la figura 9.
COLEGIO TRILCE Página 34
9. Si se tiene que:
S1 = 1
S2 = 3 + 5
S3 = 7 + 9 + 11
S4 = 13 + 15 + 17 + 19
hallar: S20 =
RAZ. MATEMATICO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
f =9
1
2f =1
+
+
2
3
1
2
3
f =2
+
+
+
2
3
4
+
+
+
3
4
5
1
2
3
4
f =3
+
+
+
+
2
3
4
5
+
+
+
+
3
4
5
6
+
+
+
+
4
5
6
7
TAREA DOMICILIARIA
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Hallar la suma total en:
Q = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25
2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
COLEGIO TRILCE Página 35
RAZ. MATEMATICO
3. Hallar la suma total de:
N =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ......... + 80
4. Hallar la suma total de:
B = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24
5. Hallar la suma total de:
P = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .......... + 55
6. ¿Cuántas esferitas hay en total?
7. ¿Cuántos palitos se necesitan para construir la figura 20?
;
f1 f2 f3
; ; . . . . . . . . . . . . . .
f20
1 2 1 2 3 1 2 3 4
8. Hallar la suma de términos de f10, si:
1f =1
sum a de térm inos
1
2f =2
2
3
1
2
3
f =3
2
3
4
3
4
5.........
f =10
9. Hallar el número de triángulos en la figura 20.
COLEGIO TRILCE Página 36
RAZ. MATEMATICO
;
f1 f2 f3
; ; . . . . . . . . . . . . . .
f20
10. Hallar el resultado de la figura 40.
f1 = 12 + 2 × 3
f2 = 22 + 3 × 4
f3 = 32 + 4 × 3
f40
En la clase de hoy vam os a reco rdar todo s los cap ítu los
hechos en este bim estre, es im portante que atiendas
a tu pro fesor(a) y preguntes acerca de lo
que no hayas entend ido en algún cap ítu lo anterio r.
COLEGIO TRILCE Página 37
1. Si: 2ba3
b#a
hallar: (4 # 2) + (3 # 5)
2. Si: m % n = n2 - 2mhallar: (5 % 4) (2 % 3)
3. Si: x = 2 x + 3 - 4 x2
hallar: 1 + 3
4. Si:2
2
4
4
4
6
2
6
6
4
6
2hallar: 3(2 © 4) - 2(4 © 2)
5. Si:
1
2
3
1
2
1
2
3
3
3
1
2hallar: (1 ª 1) ª (3 ª 2)
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 38
6. Si se sabe que:
*
2
3
4
5
2
4
5
2
3
3
5
2
3
4
4
2
3
4
5
5
3
4
5
2hallar:
)5*5()5*4()5*2(*)5*3(
7. Si:
$
1
3
5
1
5
3
1
3
1
5
3
5
3
1
5
hallar el valor de "x" en:(3 $ x) = (1 $ 5)
8. Si:
@
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
hallar el valor de "x" en:(x @ 3) @ (4 @ 3) = 1 @ 3
9. Si se tiene que:
0
I
A
C
B
E
H
C
C
G
D
D
F
F
F
+
además: B = 6; E = 8hallar: D + C + H + I + F + A
10. Si: 1403......99PARE hallar: P + R + E
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE Página 39
11. Si: CHAT × 99 = . . . . 1245
Hallar: CH + A - T
12. Hallar la suma de cifras del dividendo en:
0
-
2
-
8
-
0
8
5
-
0
3
0
-
13. Si:
1 = 1 + 3
2 = 1 + 3 + 5
3 = 1 + 3 + 5 + 7
4 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9....
cuál es el valor de:
8 + 9
RAZ. MATEMATICO
14. ¿Cuántos cuadrados, hay en la figura 5?
fig . 1 fig . 2 fig . 3 . . .
15. Hallar la suma de términos de la figura 7, si:
COLEGIO TRILCE Página 40
RAZ. MATEMATICO
1
3
5
7
9
11
13
15
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
5
7
9
11
13
15
17
5
7
9
11
13
15
17
19
7
9
11
13
15
17
19
21
9
11
13
15
17
19
21
23
11
13
15
17
19
21
23
25
13
15
17
19
21
23
25
27
15
17
19
21
23
25
27
29
f =7
1
3f =1
+
+
3
5
1
3
5
f =2
+
+
+
3
5
7
+
+
+
5
7
9
1
3
5
7
f =3
+
+
+
+
3
5
7
9
+
+
+
+
5
7
9
11
+
+
+
+
7
9
11
13
COLEGIO TRILCE Página 41
RAZ. MATEMATICO
Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE Página 42
1. Si: baba
ba22
hallar:
26)35()24(
2. Si se sabe que:2
8
2
4
6
4
2
4
6
8
6
4
6
8
2
8
6
8
2
4hallar:
)28()22()84()46(
3. Hallar la suma de las cifras del producto en:
0
0
0
2
8
7
6
1
0
1
×
4. Si: NMARMAMORROMA hallar: O + M + A + R