FACEAR – ESTATÍSTICA

AULA Prof. Rogério Bini6

RAZÃO – PROPORÇÃO - PORCENTAGEM RAZÃO A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou quociente entre dois números, logo razão, entre a e b é igual: , sendo b≠0 (lê-se a está para b), onde a é o antecedente e b é o consequente, sendo o significado, para cada a unidade correspondem a b unidades. Exemplo: foram entrevistados 150 turistas de uma agência e que foram obtidos os seguintes resultados, sobre a preferência por três destinos turísticos: Destino Nº de turistas A 90 B 40 C 20 Total 150 A razão indica que a cada 150 entrevistados, 90 preferem o destino A, ou seja, por uma simplificação da fração, a cada 5 entrevistados, 3 preferem o destino A. essa fração expressa assim uma comparação entre o número de pessoas que preferem o destino A e o número total de entrevistados. Situações como essas ilustram a comparação entre números ou grandezas, que é uma das ferramentas da estatística. Exemplo: em uma sala de aula estuda 5 moças e 20 rapazes. Dizemos que a razão é:

, ou seja, para cada moça existem 4 rapazes. PROPORÇÃO

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre e é a igualdade:

, onde a e d são chamados de extremos e b e c são chamados de meios. Diz-se que os produtos dos meios é igual ao produto dos extremos. Na tabela acima, observamos que em 150 turistas 90 preferem o destino A. Se em outro grupo de 300 entrevistados, 180 disserem que preferem A, temos:

(propriedade fundamental das proporções) Simplificando cada uma das razões, teremos:

(simplificação por 10 e por 3, sucessivamente)

(simplificação por 10 e por 6, sucessivamente) Encontra-se assim a constante de proporcionalidade ou 0,6.

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Está propriedade é útil quando, sabendo que são grandezas proporcionais, desejamos descobrir o valor de uma delas. Exemplo: na pesquisa da tabela acima aponta que, em 150 turistas, 90 preferem o destino A. Mantida essa proporção, em 600 turistas, quantos dirão que preferem A? O primeiro passo é estabelecer a proporção: a primeira razão será determinada pela comparação entre o número de turistas que preferem o destino A e o total de turistas pesquisados. A segunda razão será determinada pelo número de turistas que preferem o destino A no segundo grupo e o total de turistas pesquisados no segundo grupo. Temos:

Ou seja, entre as 600 pessoas pesquisadas no segundo grupo, temos 360 pessoas que preferem o destino A. GRANDEZAS É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra. Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem. PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Timão, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Timão, 90 são craques.

Razão centesimal

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Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema: Marcio vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:

• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

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Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação

10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

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EXERCÍCIOS: 1) Um computador que custava R$ 2.000,00, apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto

porcento foi o lucro sobre o preço de venda? 100 – 2000 2000.x = 100.100 x – 100 x = 10.000 / 2000 % R$ x = 5

2) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$ 200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o preço atual, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

3) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? x * 2540 = 1143 x = 1143 / 2540 = 0,45 Passando para a forma de porcentagem, temos: 0,45 * 100 = 45%

4) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 0,375 * x = 600 x = 600 / 0,375 = 1600 m

5) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

0,24 * 25 = 6 professores

6) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

Como obtive desconto de 15%, paguei o equivalente a 100% - 15% = 85% 0,85 * y = 102 y = 102 / 0,85 = 120 reais

7) Calcule as porcentagens correspondentes:

a. 2% de 700 laranjas 0,02 * 700 = 14 laranjas b. 40% de 48 m 0,4 * 48 = 19,2 m c. 38% de 200 Kg 0,38 * 200 = 76 Kg d. 6% de 50 telhas 0,06 * 50 = 3 telhas e. 37,6% de 200 0,376 * 200 = 75,2 f. 22,5% de 60 0,225 * 60 = 13,5