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atem

átic

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stru

men

tal

Geometria espacial

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula

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339

Meta

Apresentar os conceitos da Geometria Espacial.

Objetivos

Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:

1. calcular o volume e a área total das principais

figuras espaciais;

2. resolver problemas do cotidiano, envolvendo

Geometria Espacial.

3. Distinguir as principais figuras espaciais (prisma,

pirâmide, cilindro, cone e esfera).

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339Vamos trabalhar em três dimensões!

Podemos traduzir um balão em pleno vôo como a Física, fazendo a Geometria e a

Arte passearem no espaço.

A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos

geométricos que ocupam suas posições no espaço tridimensional (comprimento,

largura e altura), onde nós vivemos.

Nesta aula, você vai conhecer os principais sólidos geométricos, como prisma,

pirâmide, cilindro, cone e esfera, além de aprender a calcular suas áreas e

volumes.

Entendendo o espaço

O que é o espaço? O tempo todo usamos o espaço. Mas se alguém perguntar o que é

o espaço, acredito que muitos terão dificuldades de explicar. Vamos fazer um teste:

escreva, no espaço a seguir, o que vem a sua cabeça quando falamos de espaço.

Você pode tentar explicar isso, dizendo: o espaço é tudo o que nos envolve e é o

local onde podemos nos mover para frente, para trás, para os lados e para cima.

Imagine um prédio de cinco andares e você precisa chegar ao último andar. É provável

que você procure um elevador, certo? Tomando como referência a porta do prédio, por

exemplo, imagine que você deva dar dez passos para frente e 6 passos para a direita

para chegar até ela. Pronto! Agora é só subir até o quinto andar.

Fonte: www.sxc.hu

Ad

am C

iesi

elsk

i

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Quando afirmamos que vamos nos deslocar para a frente, para os lados ou para

cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nessas

direções. Logo, necessitamos conhecer um ponto de partida (uma origem) para

o sistema e identificar esse ponto como (0,0,0), pois esperamos que ele seja um

ponto de referência para todos os outros pontos.

Você pode estar se perguntando o porquê dessa representação (0,0,0). Um ponto

no espaço é representado por três coordenadas (x, y e z):

P(x, y, z)

onde x indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os deslocamentos

para a frente, y indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os

deslocamentos para o lado e z indicará a quantidade deslocada no eixo que

contém os deslocamentos para cima.

Então, de acordo com o exemplo do prédio, a sua posição final dentro do prédio

pode ser representada pelo ponto P(10, 6, 5).

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Coordenadas geográficas

Há um Sistema Geográfico de identificação de posição na face da Terra que leva

em consideração outros objetos, como meridianos e paralelos, para indicar a

longitude e a latitude de um ponto na superfície do globo terrestre. Como uma

circunferência tem 360 graus (e a terra tem uma circunferência máxima), os

cientistas dividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora.

Considerando a planificação do globo terrestre, traçaram linhas imaginárias

geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre. Essas linhas passam pelos

pólos Norte e Sul, sendo denominadas meridianos, cuja referência básica foi a

cidade de Greenwich (Inglaterra), que tem o meridiano 0.

Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação, denominando-as

paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer

lugar do mundo situada no meridiano m e no paralelo p. É lógico que cada local

está localizado acima do nível do mar (eixo z), razão pela qual esse sistema

pode ser indicado como: P(m,p,z).

A Geometria Espacial funciona como uma ampliação da Geometria Plana e trata

dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, como, por exemplo,

o cálculo de volume de regiões sólidas.

Agora, vamos conhecer alguns sólidos geométricos:

Prisma reto

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases

situam-se em planos paralelos. Os prismas podem ser classificados como retos ou

oblíquos, de acordo com a inclinação das arestas laterais.

Veja, a seguir, alguns exemplos:

Saiba mais...

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343

Algum dia você viu um objeto com o formato de um prisma?

Observe o plano da base superior e o plano da face lateral, indicados no prisma

pentagonal (Figura 14.1). Agora, responda ao que lhe foi perguntado:

Plano da face lateralAresta lateral

Figura 14.1: Representação de um prisma pentagonal: A base

é um pentágono. Já em um prisma quadrangular, a base é um

quadrado.

Rica

rdo

Ferr

eira

Par

aizo

Fonte: www.sxc.hu

Adam

Cie

siel

ski

Que tipo de POLÍGONO representa o plano da face

lateral?

( ) quadrado

( ) pentágono

( ) retângulo

Fonte: www.sxc.hu

Adam

Cie

siel

ski

Que tipo de polígono representa a base superior?

( ) quadrado

( ) pentágono

( ) retângulo

POLÍGONO

Superfície plana limitada, em todos os lados, por linhas retas.

Aresta da base superior

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343Vamos às repostas:

O polígono da face lateral é denominado retângulo (quadrilátero de quatro ângulos

retos). Já o polígono da base superior é denominado pentágono (polígono de

5 lados).

Como a base é formada por um pentágono, temos um prisma pentagonal. Este é

um prisma regular, pois a base é formada por um polígono regular, ou seja, um

polígono de lados de tamanhos iguais. E, ainda, é um exemplo de um prisma reto,

pois suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma

reto, as faces laterais são retângulos, como é o caso do prisma pentagonal da

Figura 14.1.

O volume de um prisma é dado pela seguinte fórmula:

Vprisma = Sb.h

Vprisma = volume do prisma Sb = Área da base h = altura do prisma

Ainda existem outros tipos de prisma: o triangular (a base é formada por um

triângulo), o quadrangular (a base é formada por um quadrilátero), o hexagonal

(a base é formada por um hexágono) etc.

Paralelepípedo

O formato prismático que encontramos por todo lado no nosso dia-a-dia é o

chamado paralelepípedo, que é um prisma de base formada por um paralelogramo.

Veja um exemplo:

Figura 14.2: Caixa de giz.

Rica

rdo

Ferr

eira

Par

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a

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b

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345A caixinha de giz (Figura 14.2) tem o nome de paralelepípedo retângulo (também

chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou ortoedro).

Veja, a seguir, algumas fórmulas importantes no estudo do paralelogramo:

(i) Fórmula para calcular a área total do paralelepípedo retângulo:

STotal paralelepípedo = 2(ab + ac + bc)

STotal paralelepípedo → Lê-se: área total do paralelepípedo

Observe que para calcular a área total do paralelepípedo retângulo basta somar as

áreas de todas as faces laterais com as áreas das duas bases.

(ii) Fórmula para calcular a área total do cubo:

Stotal cubo = 6a2

Stotal cubo → Lê-se: área total do cubo.

A área total do cubo também é calculada somando-se as áreas de todas as faces

laterais.

(iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do paralelepípedo

retângulo:

D a b c= + +2 2 2

D → Lê-se comprimento da diagonal do paralelepípedo.

(iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do cubo

D a= 3

D → Lê-se comprimento da diagonal do cubo.

Veja um exemplo:

Os cavalos da fazenda do Zé estão comendo muita ração ultimamente. Os animais

estão consumindo o volume ocupado por um cocho cheio de ração por dia. Qual o

volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias, considerando-se

as dimensões do cocho representadas na imagem a seguir?

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Figura 14.4: Ampliação do cocho.Figura 14.3: Os cavalos estão se alimentando satisfato-

riamente?

Rica

rdo

Ferre

ira P

arai

zo

Vamos à solução:

1º passo: Calculamos o volume de um cocho cheio.

Observando a Figura 14.4, podemos ver que o cocho é um prisma (considere

a base formada por um trapézio). Para calcular o volume desse prisma, basta

multiplicar a área da base (que é um trapézio) pela altura do prisma.

Vprisma = Sb•H

Sb = área da base de um trapézio

H = altura do prisma

SB + b h

b =( )

2Sb = área da base (trapézio)

B = comprimento do lado maior do trapézio = 49,5 cm

b = comprimento do lado menor do trapézio = 30 cm

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347h = altura do trapézio = 35 cm.

Substituindo a fórmula SB b h

b =+( )2

temos:

Sb =+( )

= • = =49 5 30 35

279 5 35

22782 5

21391 25 2, , ,

, cm

2º passo: Calcular o volume do prisma utilizando a fórmula.

Vprisma = Sb•H

Vprisma = 1391,25•350= 4 869 375,5 cm³

Transformando a medida temos:

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

4, 869 375 5

Vprisma = 4,869375,5 m³

3º passo: Vamos à regra de três para calcular o consumo de ração em 1 mês.

Em 1 dia os cavalos consomem 4,869375 m³

Em 30 dias os cavalos vão consumir x

x= 30• 4,869375 ≅ 146,08 m³

Logo, o volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias será de

aproximadamente 146,08 m³

Pirâmide

Consideremos um polígono contido em um

plano horizontal e um ponto V localizado fora

desse plano. Uma pirâmide é a reunião de todos

os segmentos que têm uma extremidade em V

e a outra num ponto qualquer do polígono. O

ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Ricardo Ferreira Paraizo

Figura 14.5: Pirâmide quadrangular.

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347É possível calcular o volume da pirâmide através da fórmula:

Vpirâmide = 13

Sb.h

Vpirâmide = Volume da pirâmide

Sb = área da base da pirâmide

h = altura da pirâmide

Exemplo:

Veja a pirâmide da figura a seguir e calcule:

a. sua área lateral

b. sua área total

c. seu volume

Vamos à solução:

a. Slateral = 4.S∆ equilátero

(Lê-se: A área lateral é igual a quatro vezes a área de um triângulo isósceles.)

S∆ equilátero = b h.2

h∆ equilátero = l 32

5 32

=

S∆ equilátero = 12

55 3

225 3

42. . = cm

Como a área lateral é 4.SS∆ equilátero , temos:

Slateral = 425 3

425 3 25 1 73 43 75 3= ≅ ≅. , , cm

A área lateral é igual a 43,75 cm².

b. Stotal= Sbase + Slateral

(Lê-se: A área total é igual a área da base, somado com a área lateral.)

H cm= 5 22

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349Sbase = Squadrado

(Lê-se: A área da base é igual à área do quadrado.)

Sbase = l²

Sbase = 25 cm²

Como Stotal= Sbase + Slateral. Temos:

Stotal= 25+ 43,75= 68,75 cm².

c. Vpirâmide = 13

Sb.h

Vpirâmide = 13

255 2

21256

2 20 83 1 41 29 37 3. . . , . , ,= ≅ ≅ cm

Agora, você precisa verificar se realmente aprendeu o que foi ensinado até aqui.

Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 1

Faça com atenção a atividade a seguir para que possamos continuar a aula.

Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser construída tinha 146 m de altura

e 233 m de aresta da base. Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular

quadrangular, calcule o volume dessa pirâmide.

Cilindro

O conceito de cilindro é muito importante. Em diversos lugares, encontramos

aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas-

d’água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, muitos deles com formas

cilíndricas.

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Em um cilindro, a área lateral e total é dada por:

Slateral = 2πrh

Stotal = 2πr(h + r)

Slateral → Lê-se: área lateral do cilindro

Stotal → Lê-se: área total do cilindro

h = altura do cilindro

r = raio da circunferência

π ≅ 3,14

E o volume o cilindro é calculado pela fórmula:

Vcilindro = πr2h

Vcilindro → Lê-se: volume do cilindro

O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução.

Isso porque o mesmo é gerado pela rotação de um retângulo

em torno de um de seus lados.

Planificação do cilindro

h

rFigura 14.6: Formato cilíndrico.

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351Exemplo:

Quantos litros de água cabem no bebedouro para os cavalos, considerando o

formato do bebedouro o mesmo da imagem a seguir.

Figura 14.8: Cilindro dentro do cilindro.Figura 14.7: O cavalo está matando a sede!Ri

card

o Fe

rrei

ra P

arai

zo

Veja a solução:

H = 80

25 cm

A C B A C B

25 cm

I II III

O recipiente é um cilindro dentro de um cilindro.

O volume do recipiente que contém água é o cilindro interno. Para calcular o

volume do cilindro interno:

(1º passo) Calculamos o raio do cilindro interno (r):

r = AB BC− = 47 – 25 = 22 cm

r = raio do cilindro interno

94 cm

47 r

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351(2º passo) Calculamos o volume do cilindro interno:

Vcilindro interno = π•R²•H

Vcilindro interno = π•(22)²•80

Vcilindro interno = π•484•80 = 38720π cm³ ≅ 38 720•3,14 ≅ 121 580,8 cm³ = 121 580,8 ml

kl hl dal l dl Cl ml

1 2 1, 5 8 0 8

Vcilindro interno = 121 580,8 ml = 121,5808 litros

Portanto, no bebedouro para os cavalos, cabem aproximadamente 121 litros de

água.

Agora, teste seus conhecimentos na atividade a seguir para depois continuar

estudando os sólidos geométricos.

Quantos m2 de alumínio você precisará adquirir para construir um reservatório

Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 2

(sem tampa) do formato a seguir?

Cone

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353Considere uma região plana limitada por uma curva suave fechada e um ponto P

fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta

que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer

da região plana.

Figura 14.9: A casquinha do

sorvete tem formato cônico.

Fonte: ww

w.sxc.hu

Mic

hal Z

acha

rzew

ski

g = GERATRIZ DO CONE

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353Podemos calcular a área lateral do cone pela fórmula:

Slateral = πrg

Slateral→ Lê-se: área lateral do cone.

g = geratriz do cone

r = raio do cone

E a área total do cone é dada por:

Stotal = π r(g + r)

Stotal → Lê-se: área total do cone.

Já para calcular o volume do cone, fazemos:

V= 13

r2h

V = volume do cone

h = altura do cone

Vamos fazer um exemplo:

Um cone circular reto de altura 3 2 cm tem volume igual a 18 2π cm³. Calcular

o raio da base desse cone.

Solução:

V S h

V R h

R R R R

Cone b

Cone

=

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

1313

18 213

3 2 18 9 2

2

2 2

. .

. . .

. . . .

π

π π 33 2 cm

Então, o raio da base desse cone é igual 3 2cm.

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Atende ao Objetivo 1 Atividade 3

Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é sua

área lateral em cm²?

Tronco do cone

Quando fazemos um corte horizontal no cone e jogamos fora a ponta, a parte que

sobra é o tronco do cone. Observe a figura a seguir: um recipiente no formato de

um tronco de cone.

O tanque representa um tronco de cone. Veja a fórmula para calcular o volume e

a área lateral desse tronco de cone.

Figura 14.10: Tanque para colocar água quente para filagem do queijo.

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355Vtronco do cone =

13

.π.h[R2 + Rr + r2]

Slateral = π(R + r)g

Stotal com tampa = π[R(g + R) + r(g + r)]

Stotal com a tampa = área total do tronco, considerando que o mesmo tem uma superfície

circular tampando o tanque na sua parte superior.

Vtronco do cone = volume do tronco do cone

Slateral = área lateral do tronco

Stotal = área total do tronco

h = altura do tronco do cone

R = raio maior

r = raio menor

π ≅ 3,14

Saiba mais...

No processamento do queijo mussarela, há uma etapa de filagem, que consiste

em filar a massa em água quente a 75 – 80º C (isto é, a massa, ao ser colocada

em água quente, torna-se elástica, capaz de ser amassada e esticada facilmente,

formando fios compridos). Em seqüência, é feita a moldagem no formato

desejado.

Agora, mais uma vez, chegou a hora de praticar.

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Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 4

Um depósito de cereais tem a forma da figura a seguir (um cilindro somado a um

tronco de cone). Suas medidas estão assinaladas na figura. Calcule a capacidade

em litros desse depósito:

(use π =3,14)

Esfera

Do ponto de vista prático, a película

fina que envolve um sólido esférico

tem o formato esférico. Em um

melão, por exemplo, a casca que

envolve a fruta tem o formato

esférico.

Figura 14.11: Olhando

com bons olhos, a casca do melão

poderia ter formato de uma esfera.Fonte: www.sxc.hu

Chris Windras

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357Empresas de laticínios que armazenam líquidos em tanques de formatos esféricos

necessitam realizar cálculos de volumes de regiões esféricas. A fórmula para

calcular o volume da esfera é dada por:

V = 43

3πR

V = volume da esfera

R = raio da esfera

π ≅ 3,14

Já para o cálculo da área da superfície esférica, fazemos:

S = 4πR2

S = área

R = raio da esfera

π ≅ 3,14

Veja como aplicar as fórmulas da circunferência no exemplo a seguir.

Seja uma esfera de 58 cm de diâmetro. Determinar:

a. a área dessa esfera;

b. o volume dessa esfera.

Vamos à solução:

a. Como diâmetro é igual ao dobro do raio (D=2R), temos:

58 = 2R⇒R= 29 cm (raio é igual a 29 cm)

Para calcular a área da esfera, usamos: S = 4.π.R

S = 4.π.29 = 116.π

S ≅ 116.3,14 = 364,24 cm²

Então, a área da esfera é aproximadamente igual a 364,24 cm².

b. Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula:

V R cm cm= = = = ≅43

43

2943

24389 32518 66 102108 613 3 3 3. . . . . . , ,π π π π

O volume da esfera é aproximadamente 102108,61 cm³.

Agora que você já conheceu os principais sólidos geométricos, continue praticando.

Mãos à obra!

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Atende ao Objetivo 1Atividade 5

Determine a área de uma esfera, sendo 2304π cm³ o seu volume.

Atende ao Objetivo 3Atividade 6

Veja as figuras a seguir. Coloque, ao lado de cada item localizado depois das

imagens, a numeração que corresponde ao respectivo formato:

1 2 3 4

5 6 7

Ric

ardo

Fer

reira

Par

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8 9 10 11

12 13 14

15 16 17

a. Prismáticos: ...............................................

b. Cilíndricos: .................................................

c. Cônicos: .....................................................

d. Piramidais: .................................................

e. Esféricos: ...................................................

Ric

ardo

Fer

reira

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361Resumindo...

A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos

geométricos que ocupam suas posições no espaço em que vivemos.

Veja a seguir as tabelas, mostrando os principais sólidos geométricos com

suas fórmulas de áreas e volumes:

PRISMA RETO

Área lateral

Sl = n.S1

n= número de faces laterais

S1 = área de uma face lateral

Área totalSt = Sl + Sb

Sb = Área da base

VolumeV =Sb.h

h = altura

PIRÂMIDE

Área total St = Sl + Sb

Volume V = 13

Sb.h

CILINDRO

Área total

St = 2πr(h + r)

r= raio da base do cilindro

π ≅ 3,14

Volume V = πr2h

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361

CONE

Área da base Sb = πr²

Área lateralSl = πrg

g = geratriz do cone

Área total ST = πr(g + r)

Volume V= 13 r2h

TRONCO DO CONE

Área lateralSl = π(R + r)g

g = geratriz do tronco do cone

Área total ST = π[R(g + R) + r(g + r)]

Volume V = 13

.π.h[R2 + Rr + r2]

ESFERA

Área da superfície esférica S = 4πR2

R= raio da esfera

Volume V = 43

3πR

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363Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, você vai aprender a resolver e interpretar graficamente os

sistemas de equações de 1º grau.

Respostas das Atividades

Atividade 1Quando dizemos que uma pirâmide é regular, a sua base é formada por um

polígono regular (lados iguais).

Vpirâmide = 13

. Sb . h

Sbase= 233² = 54289 m²

Vpirâmide = 13

. 54289 . 146 ≅ 2642064,6m3

Então, a pirâmide de Quéops tem um volume aproximado de 2 642 064,6 m³.

Atividade 2Na verdade, estamos querendo calcular a área total de lataria para fazer um

reservatório com o formato indicado.

Vamos dividir o objeto em duas partes:

Parte prismática

(1º) Parte prismática

A área da parte prismática consta de retângulos. Como já sabemos, para calcular

a área de retângulo basta multiplicar a base pela altura. Então, teremos:

e-Te

c Br

asil

– Di

scip

lina

362

Aula

14

– G

eom

etria

esp

acia

l

363

Parte semi-cilíndrica

Sda parte prismática= 2X1,5X0,7 + 2X0,7X1

Sda parte prismática= 2,1 +1,4 =3,5 m²

(2º) Parte semi-cilíndrica (meio cilindro)

Agora vamos calcular a área da parte semi-cilíndrica. Para isso, primeiramente

vamos calcular a metade da área lateral do cilindro e depois somar com as duas

metades das áreas dos círculos. Então, teremos:

(veja que dois semi-círculos formam um círcul.)

Slateral do cilindro= 2.π.r.h

r = raio do cilindro

h = altura do cilindro

π ≅ 3,14

Slateral do cilindro= 2.π.r.h

Slateral do cilindro= 2•3,14• •1,5 = 4,71 m²

Slateral do semi-cilindro= Smlateral do cilindro

24 71

22 35 2= ≅,,

S círculo = π.r2

S círculo = 3 1412

3 141

14

3 144

0 7852

2,, ,

,•

= • = = m

Agora, vamos somar todas as áreas:

STOTAL = Sda parte prismática + Slateral do semi-cilindro + S círculo = 3,5 + 2,35 +0,785 ≅ 6,64 m²

S = área

A área total de lataria será de aproximadamente 6,64 m².

e-Te

c Br

asil

– Di

scip

lina

364

Aula

14

– G

eom

etria

esp

acia

l

365Atividade 3A área lateral de um cone circular reto pode ser calculada pela fórmula:

Slateral = πrg

x² = 36+64

x = 100

g= 10 cm

Slateral = πrg

Slateral = π.6.10= 60π= 60.3,14 ≅ 188,4 cm²

Atividade 41º passo: Calcular o volume da parte cilíndrica (V1).

V1 = π•R²•h

V1 = π•(6)²•6

V1 = π•36•6

V1 = π•(6)²•6

V1 = 216π m³

Parte cilíndrica do silo

e-Te

c Br

asil

– Di

scip

lina

364

Aula

14

– G

eom

etria

esp

acia

l

365

Parte em formato de tronco do cone do silo

2º passo: Calcular o volume da parte do tronco do cone (V2).

V2 = 13

• π •h[R2 + R•r + r2]

V2 = 13

• π •4[62 + 6•1 + 12]

V2 = 13

• π •4[36 + 6 + 1]

V2 = 13

• π •4[43]

V2 = 1723π m³

3º passo: Somar os volumes da parte cilíndrica V1 (encontrado no 1º passo) com o

volume da parte em forma de tronco de cone V2 (encontrado no 2º passo).

Vtotal = V1 + V2

Vtotal = 216π + 1723π → somando as frações:

Vtotal = 648 1723

8203

820 3 143

2574 83

858 27 3π π π+ = ≅ • ≅ ≅, ,, m

Como 1m³ = 1000 litros, então 858,27 m³ = 858270 litros

A capacidade em litros do depósito é 858.270 litros.

Atividade 5Como foi dado o volume da esfera, usamos a fórmula:

V = 43

π . R3

2304 π = 43

π . R3

2304 = 43

. R3 ⇒ 6912 = 4R3 = 1728 ⇒ R= 17283 ⇒ R= 1233 ⇒ R = 12

e-Te

c Br

asil

– Di

scip

lina

366 Para calcular a área, usamos S = 4πR².

S = 4.π.(12)² ⇒ S= 4.π.144 ⇒ S= 576π ⇒ S ≅ 1808,64 cm².

Atividade 6a. prismático: 1; 3; 8; 11

b. cilíndricos: 4; 9; 12; 13; 14; 17

c. cônicos: 6; 10; 15

d. piramidais: 2; 7

e. esféricos: 5; 16

Site consultado

Disponível em: <http://www.enq.ufsc.br/labs/probio/disc_eng_bioq/trabalhos_

grad2004/queijos/tipos.htm>

Bibliografias complementares

IEZZI Gelson. et al. Matemática vol. 2. 2. ed. São Paulo: Atual, 1981.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações v.2. São Paulo: Ática,

1999.