rafael fernandes da silva - deecc.ufc.br · ii rafael fernandes da silva projeto preliminar de...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL
RAFAEL FERNANDES DA SILVA
PROJETO PRELIMINAR DE TUBOS COMPÓSITOS VIA TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO
FORTALEZA 2009
ii
RAFAEL FERNANDES DA SILVA
PROJETO PRELIMINAR DE TUBOS COMPÓSITOS VIA TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. Antônio Macário Cartaxo de Melo
FORTALEZA 2009
iii
S583p Silva, Rafael Fernandes da Projeto preliminar de tubos compósitos via técnicas de otimização / Rafael Fernandes da Silva, 2009.
66f. ; il. color. enc. Orientador: Prof. Dr. Antônio Macário Cartaxo de Melo
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção Civil, Fortaleza, 2009.
1. Tubos laminados 2. Algoritmos genéticos 3. MATLAB 4. Otimização multiobjetivo I. Melo, Antônio Macário Cartaxo de(orient.) II. Universidade Federal do Ceará – Graduação em Engenharia Civil III. Título
CDD 620
iv
RAFAEL FERNANDES DA SILVA
PROJETO PRELIMINAR DE TUBOS COMPÓSITOS VIA TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Aprovada em ____/____/_____
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________ Prof. Dr. Antônio Macário Cartaxo de Melo (Orientador)
Universidade Federal do Ceará - UFC
_______________________________________________________ Prof. Dr. Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará - UFC
________________________________________________________ Prof. Dr. Augusto Teixeira de Albuquerque
Universidade Federal do Ceará - UFC
v
Dedico este trabalho aos meus pais
pelo apoio que me deram nos
momentos em que mais precisei.
vi
AGRADECIMENTOS
A DEUS, que me deu vida e inteligência, e que me dá força para continuar a
caminhada em busca dos meus objetivos.
A meus Pais, Francisco Orlando da Silva e Antônia Rejane Fernandes da Silva, que
me fizeram a pessoa que sou hoje e que continuam a formar a pessoa que serei amanhã.
Aos meus Familiares, pelo ambiente de união e amizade proporcionado.
À minha Namorada, Viviane Píccolo Campos, responsável por diversos momentos
felizes de minha vida desde que a conheci.
Ao meu Orientador, Antônio Macário Cartaxo de Melo, pelos ensinamentos,
brincadeiras e puxões de orelha.
Ao Professor Evandro Parente Junior, um dos maiores exemplos de esforço e
capacidade que já vi.
Ao Professor Silvrano Adonias Dantas Neto, por quase ter me reprovado em uma
disciplina, me fazendo criar vergonha na cara e estudar.
Por fim, aos meus amigos, responsáveis por grande parte das risadas do meu dia a dia.
vii
1
RESUMO
Materiais compósitos reforçados por fibras têm sido cada vez mais empregados devido a suas altas relações rigidez/peso e resistência/peso, além de outras características positivas, como alta resistência à corrosão, bom isolamento térmico, excelente amortecimento e resistência à fadiga. Estas características tornam interessante a aplicação dos compósitos na fabricação de tubos para o transporte de fluidos utilizados na indústria química e petroquímica, saneamento, irrigação, etc. Nesse trabalho, é apresentada uma metodologia simples para o projeto preliminar de um tubo de material compósito com laminação simétrica sujeito aos casos de pressão interna e externa, força axial e torção. Uma formulação de minimização multiobjetivo é usada combinando o peso com um parâmetro associado à resistência. Como variáveis de projeto, tem-se as orientações das fibras e as espessuras das camadas, que podem ser tratadas como contínuas ou discretas. As restrições dizem respeito à falha do laminado baseada no início da falha em qualquer camada (first ply failure) usando o critério de Tsai-Hill e ao colapso devido à flambagem local ocasionada pela pressão externa. Tratando-se de um pré-dimensionamento, as análises são baseadas em soluções analíticas simplificadas. Algoritmos Genéticos e Métodos Clássicos de Programação Matemática do MATLAB são empregados como rotinas de otimização. Uma estratégia é adotada para lidar com variáveis discretas. Os resultados dos diversos algoritmos foram comparados entre si e com a literatura e validaram a formulação proposta como uma boa ferramenta de anteprojeto.
Palavras chaves: Algoritmos Genéticos, Tubos Laminados, Otimização Multiobjetivo.
2
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Compósito particulado. ........................................................................................10 Figura 2.2 – Compósito fibroso................................................................................................10 Figura 2.3 – Laminado reforçado por fibras.............................................................................11 Figura 2.4 – Fibras de carbono. ................................................................................................12 Figura 2.5 – Enrolamento filamentar – filament winding. .......................................................14 Figura 2.6 – Rolos de fita pré-impregnada (prepregs). ............................................................15 Figura 2.7 – Processo de fabricação de rolos de fita prepreg...................................................15 Figura 3.1 – Sistema de coordenadas. ......................................................................................17 Figura 3.2 – Esquema de laminação.........................................................................................22 Figura 3.3 – Esforços no laminado...........................................................................................22 Figura 3.4 – Exemplo de laminação simétrica. ........................................................................24 Figura 3.5 – Eixos do tubo de material compósito. ..................................................................27 Figura 3.6 – Flambagem circunferencial de um tubo...............................................................28 Figura 5.1 – Intervalo que representa as probabilidades de cada indivíduo ser selecionado. ..36 Figura 5.2 – Processo mais simples de cruzamento .................................................................37 Figura 5.3 – Algoritmo Genético padrão..................................................................................38 Figura 6.1 – Tubo compósito – Variáveis de projeto do laminado simétrico ..........................39 Figura 7.1 – Fibras ao longo do esforço axial ..........................................................................47 Figura 7.2 – Fibras à 45º combatendo a tração.........................................................................47 Figura 7.3 – Fibras combatendo a pressão interna ...................................................................48 Figura 7.4 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmhh 521 == ...................................................50
Figura 7.5 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmh 51 = e mmh 12 = ------Solução do AG-Cont
..................................................................................................................................................51 Figura 7.6 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmh 2,11 = e mmh 8,42 = ------Solução do
fmincon.....................................................................................................................................51 Figura 7.7 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para esforço de tração de 15MN/m................................52
Figura 7.8 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para momento torçor de 1MNm.....................................53
Figura 7.9 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para pressão interna de 10 MPa .....................................54
3
LISTA DE TABELAS
Tabela 6.1 - Exemplo de aplicação de listas.............................................................................41 Tabela 6.2 - Exemplo de transformação de variáveis...............................................................41 Tabela 7.1 – Propriedades do compósito (Park et al., 2001; Beyle et al, 1997) ......................44 Tabela 7.2 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação da força axial de 15 MN/m....................46 Tabela 7.3 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de momento torçor de 1 MNm..............47 Tabela 7.4 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de pressão interna de 10 MPa................48 Tabela 7.5 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de pressão externa de 5 MPa.................49 Tabela 7.6 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à momento torçor de 1 MNm.........................................................................................................................................55 Tabela 7.7 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à pressão interna de 10 MPa...........................................................................................................................................55 Tabela 7.8 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à pressão externa de 5 MPa..................................................................................................................................................55
4
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................6 1.1 Objetivos........................................................................................................................8 1.2 Estrutura do trabalho ..................................................................................................8 2 MATERIAIS COMPÓSITOS.....................................................................................9 2.1 Tipos de material compósito......................................................................................10 2.1.1 Compósito particulado..............................................................................................10 2.1.2 Compósito fibroso ....................................................................................................10 2.1.3 Compósito laminado.................................................................................................10 2.2 Fibras e matrizes.........................................................................................................11 2.2.1 Fibras de carbono e grafite .......................................................................................12 2.2.2 Matrizes poliméricas.................................................................................................12 2.3 Fabricação ...................................................................................................................13 2.3.1 Enrolamento filamentar (filament winding) .............................................................14 2.3.2 Fitas Prepregs...........................................................................................................14 2.4 Vantagens e desvantagens..........................................................................................15 3 MECÂNICA DO LAMINADO .................................................................................17 3.1 Macromecânica de uma lâmina ortotrópica sob estado plano de tensões.............17 3.2 Teoria Clássica de Laminação...................................................................................19 3.3 Resistência e falha de uma lâmina ortotrópica ........................................................24 3.3.1 Critério de falha de Tsai-Hill....................................................................................24 3.4 Análise de falha do laminado.....................................................................................26 3.5 Análise de tubos longos de material compósito .......................................................26 3.5.1 Analise de colapso por flambagem local..................................................................28 4 OTIMIZAÇÃO ...........................................................................................................29 4.1 Conceitos básicos ........................................................................................................29 4.2 Programação Matemática Clássica...........................................................................29 4.3 Otimização Multiobjetivo ..........................................................................................30 4.3.1 Métodos vetoriais e métodos escalares.....................................................................31 4.3.2 Normalização da função objetivo.............................................................................31 4.3.3 Método das Somas Ponderadas ................................................................................32 5 ALGORITMOS GENÉTICOS .................................................................................33 5.1 Características, vantagens e desvantagens...............................................................33 5.2 Terminologia - AG......................................................................................................34 5.2.1 Cromossomo, indivíduo e gene ................................................................................34 5.2.2 Aptidão .....................................................................................................................34 5.2.3 População .................................................................................................................35 5.3 Algoritmo Genético padrão .......................................................................................35 5.3.1 Escolha dos pais (Seleção) .......................................................................................35 5.3.2 Crossover ..................................................................................................................36 5.3.3 Mutação ....................................................................................................................37 5.3.4 Geração e seleção .....................................................................................................37 5.4 Algoritmo Genético do Matlab..................................................................................38 6 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DO TUBO COMPÓSITO ........... .................39 6.1 Variáveis de projeto ...................................................................................................39 6.2 Função objetivo...........................................................................................................41 6.3 Restrições.....................................................................................................................42 6.3.1 Restrição de colapso .................................................................................................42
5
6.3.2 Restrição de falha do material ..................................................................................43 6.4 Problema de otimização .............................................................................................43 7 APLICAÇÕES NUMÉRICAS ..................................................................................44 7.1 Parâmetros de entrada...............................................................................................44 7.2 Tubo compósito...........................................................................................................45 7.3 Análise gráfica do índice de falha de Tsai-Hill ........................................................52 7.4 Tubo compósito x Tubo de aço..................................................................................54 8 CONCLUSÕES...........................................................................................................56 REFERÊNCIAS .....................................................................................................................58
6
1 INTRODUÇÃO
Materiais compósitos reforçados por fibras têm sido cada vez mais empregados
devido a suas altas relações rigidez/peso e resistência/peso, além de outras características
positivas, como alta resistência à corrosão, bom isolamento térmico, excelente amortecimento
e resistência à fadiga. Estas características têm tornado interessante a aplicação destes
compósitos na fabricação de tubos para o transporte de fluidos utilizados em diversas
indústrias, como por exemplo, petroquímica, saneamento, irrigação, e vários outros.
A exploração e produção de petróleo e gás em águas profundas tornam necessário
o uso de plataformas flutuantes conectadas ao poço por dutos (flowlines) e risers, onde os
flowlines transportam o óleo/gás do poço ao riser e este o transporta da superfície marinha até
a plataforma. Com as descobertas de poços em águas ultra-profundas (superiores a 2000 m), a
utilização de risers de aço se torna menos atrativa devido ao seu elevado peso. Nessas
condições, requerem-se mecanismos capazes de suportar as altas tensões de topo
desenvolvidas, sendo que tais mecanismos só podem ser acomodados por plataformas maiores
e mais caras. Além disso, torna-se necessário também o uso de mais flutuadores visando
suportar o peso total do sistema, encarecendo também o projeto (OCHOA; SALAMA, 2005).
Diante de tais fatos, tem-se estudado a viabilidade do emprego de risers de
materiais compósitos na exploração em águas ultra-profundas devido às elevadas rigidez e
resistência especificas (OCHOA, 2006). Estruturas de materiais compósitos para aplicação de
alto desempenho são formadas por uma série de lâminas, onde cada lâmina é composta por
fibras unidirecionais embebidas em uma matriz polimérica (JONES, 1999; MENDONÇA,
2005) Em Beyle et al. (1997), por exemplo, comparações entre risers metálicos e compósitos
mostraram que o uso de risers de aço não deve superar profundidades de 1500m. De acordo
com Ochoa e Salama (2005), o uso de risers e tirantes compósitos estende a possibilidade de
produção para lâminas d’água superiores à 3000m com redução de até 37% do custo total do
sistema instalado. Nas aplicações de alto desempenho, como material tem-se empregado
constantemente o carbono-epóxi e vidro-epóxi.
O projeto de tubos metálicos envolve basicamente a determinação de uma única
variável de projeto, a espessura, ou duas variáveis se for levado em conta a escolha do
material. Por outro lado, o projeto de estruturas de compósitos laminados torna-se mais
complexo por envolver, não só a seleção dos constituintes do material compósito (fibra e
matriz), como também a definição da quantidade de lâminas, a orientação das fibras e a
espessura de cada lâmina. Em compensação, para uma solicitação dada, a flexibilidade no
7
projeto devido ao maior número de variáveis permite a obtenção de configurações mais
eficientes em termos de resistência e rigidez (AZARAFZA et al., 2009).
Um projeto convencional pode ser obtido mediante processo de tentativa e erro.
No entanto, quando aplicado ao projeto de um compósito laminado, tal processo pode se
tornar dispendioso devido à grande quantidade de variáveis envolvidas no processo. Assim,
uma alternativa melhor para o projeto de elementos de material compósito é obtida por meio
de uma busca racional usando-se ferramentas de otimização (VANDERPLAATS, 1984).
Devido à presença de mínimos locais, o problema de otimização de um laminado
é melhor estabelecido utilizando-se uma formulação multiobjetivo (MARLER E ARORA,
2004). Em geral a função multiobjetivo adotada envolve o peso e outra medida de
desempenho. Almeida e Awruch (2009) minimizam o peso e a deflexão de uma placa
laminada através da variação da orientação das fibras e das espessuras, e também o peso e o
custo pela variação dos materiais, do número de camadas e sua orientação. Outras
combinações têm sido usadas, tais como: freqüência natural e carga crítica de flambagem para
cascas cilíndricas (TOPAL, 2009); peso e custo de uma placa (DEKA et al., 2005).
As variáveis de projeto podem ser consideradas continuas como em Park et al.
(2005), que usam os ângulos de orientação das fibras. No entanto, restrições, em geral
impostas pelo processo de fabricação, caracterizam as variáveis como discretas. Topal (2009),
por exemplo, considera como variáveis de projeto os ângulos de orientação pertencentes a um
conjunto discreto de valores.
Diversas rotinas de otimização podem ser aplicadas no processo de otimização de
um compósito laminado. Em Walker e Hamilton (2006), o peso de uma placa é minimizado
via Método da Seção Áurea e, em Spallino et al. (2002), é introduzida uma metodologia de
otimização de estruturas de materiais compósitos via uma estratégia evolutiva em conjunto
com a Teoria dos Jogos. Dentro da categoria de algoritmos ditos evolutivos, os algoritmos
genéticos têm se mostrado eficientes na otimização de compósitos laminados devido à
natureza discreta do problema, como pode ser visto em Walker e Smith (2003) e em
Lemanski et al. (2001) onde é estudada a vantagem da aplicação de AGs na otimização de
cascas cilíndricas laminadas.
Os Algoritmos Genéticos (AGs), baseados na Teoria de Evolução de Darwin e em
conceitos da Genética, se apresentam como uma técnica de otimização apropriada para
problemas de natureza discreta (GOLDBERG, 1989). Ao invés de trabalhar com uma solução,
os AGs trabalham com um conjunto de soluções ou população e a cada iteração uma nova
população é gerada por meio da aplicação de operadores que simulam processos da evolução
8
natural e da genética, tais como seleção, cruzamento, mutação e elitismo. O desempenho de
cada indivíduo é avaliado por uma função aptidão e o indivíduo com maior aptidão tem
probabilidade maior de passar as suas características para os descendentes (ARORA, 2004).
1.1 Objetivos
O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia simples para
otimização de um tubo de parede fina de material compósito com laminação simétrica sujeito
aos casos de pressão interna e externa, força axial e momento torçor. Uma formulação
multiobjetivo é usada combinando o peso com um parâmetro associado à resistência. Como
variáveis de projeto, tem-se as orientações das fibras e as espessuras das camadas, que podem
ser tratadas como contínuas ou discretas. As restrições dizem respeito a critérios de
estabilidade e resistência. Tratando-se de um pré-dimensionamento, as análises são baseadas
em soluções analíticas simplificadas. AGs e Métodos Clássicos de Programação Matemática
implementados em um programa comercial (MATLAB) são utilizados como rotinas de
otimização.
1.2 Estrutura do trabalho
Este trabalho é dividido em oito capítulos, sendo o primeiro esta Introdução. No
segundo capítulo, introduzem-se conceitos básicos relacionados a materiais compósitos.
Mostram-se os tipos de materiais utilizados, processos de fabricação e vantagens e
desvantagens de seu uso. No terceiro capítulo, é mostrada a Teoria Clássica de Laminação
utilizada para análise de materiais compósitos. Apresenta-se um critério de falha para
laminados e aplica-se a teoria discutida para analise de tubos laminados. No quarto capítulo,
faz-se uma breve discussão dos conceitos básicos de otimização, assim como aspectos
relacionados à Programação Matemática e Otimização Multiobjetivo. No quinto capítulo, são
apresentados conceitos básicos relacionados aos Algoritmos Genéticos.
No sexto capítulo, formula-se o problema de otimização do tubo laminado
simétrico de parede fina. No sétimo capítulo aplica-se o modelo formulado para validação.
Obtêm-se vários projetos para diversos tipos de carregamentos. Analisam-se graficamente
funções objetivo e restrições para casos simples. Comparam-se projetos de tubos compósitos a
tubos de aço. No oitavo e último capítulo fazem-se considerações finais.
9
2 MATERIAIS COMPÓSITOS
Um material compósito é formado pela combinação em escala macroscópica de
dois ou mais materiais com o objetivo de formar um novo material com propriedades que
nenhum dos componentes individualmente apresenta (MENDONÇA, 2005).
Registros históricos indicam que materiais compósitos têm sido utilizados na
Antiguidade. Egípcios, por exemplo, usavam em construções urbanas um tipo de tijolo de
barro reforçado por palha vegetal picotada (MENDONÇA, 2005). O empilhamento de
lâminas de diferentes metais era usado para forjar espadas e armaduras medievais (JONES,
1999). Na Mongólia, arcos levavam em sua constituição milho, madeira e tendões de vaca
(GAY et al., 2003). Alguns compósitos também podem ser encontrados de forma bruta na
natureza. Exemplos incluem a madeira, onde uma matriz de lignina é reforçada por fibras de
celulose; e em ossos onde placas de cálcio e fosfato servem para reforçar o colágeno (KAW,
2006).
No século 20, teve início o uso dos chamados materiais compósitos modernos. Por
volta de 1930, fibras de vidro começaram a ser utilizadas na construção de barcos e aviões.
Na década de 70, aplicações dos compósitos em outras indústrias levaram ao desenvolvimento
de outros tipos de fibras como carbono, grafite e aramida, além de outros sistemas compostos
por matrizes de cerâmica e metais (KAW, 2006).
Uma vasta lista com diversas aplicações dos materiais compósitos pode ser
encontrada em Gay et al (2003), que inclui: esportes e recreação (raquetes de tênis e squash,
tacos de basebol, varas de pescar, pranchas de esqui, capacetes), elétricos e eletrônicos
(antenas, circuitos, torres de antenas de televisão, geradores eólicos), construção civil
(piscinas, janelas, chaminés, painéis de fachada), transporte rodoviário (pneus, radiadores,
suspensões, chassis, cabines, assentos, trailers), transporte marinho (canoas, barcos, navios
anti-mina), transporte aéreo e espacial (componentes do avião, hélices de helicópteros,
propulsores de foguetes, bicos, proteção de reentrada na atmosfera).
Este capítulo tem como objetivo introduzir alguns conceitos relacionados aos
materiais compósitos. Primeiro, são mostrados os tipos básicos de materiais compósitos.
Depois apresentam-se seus principais constituintes (fibra e matriz). Discutem-se alguns
processos de fabricação e, por fim, listam-se as principais vantagens e desvantagens destes
materiais.
10
2.1 Tipos de material compósito
Tradicionalmente, os materiais compósitos podem ser classificados de acordo com
as características de sua matriz e reforço (Kaw, 2006). Segundo Jones (1999) e Kaw (2006),
algumas classificações para os materiais compósitos são:
2.1.1 Compósito particulado
Consiste de partículas imersas em uma matriz. Tais materiais são geralmente
isotrópicos devido à distribuição randômica de suas partículas. Exemplos incluem o uso de
partículas de alumínio em borracha, partículas de carboneto em alumínio, e a mistura de
cimento, areia e brita para fazer concreto (KAW, 2006).
Figura 2.1 – Compósito particulado.
2.1.2 Compósito fibroso
Consiste em matrizes reforçadas por fibras que podem ser curtas ou longas,
unidirecionais ou bidirecionais (MENDONÇA, 2005). São geralmente anisotrópicas devido à
orientação de suas fibras. Exemplos de seus constituintes incluem fibras de carbono, grafite
ou aramida e matrizes de resinas poliméricas como o epóxi ou poliéster (KAW, 2006).
Figura 2.2 – Compósito fibroso.
2.1.3 Compósito laminado
Consiste em lâminas empilhadas uma sobre as outras e perfeitamente unidas, onde
as lâminas podem ou não ser de materiais diferentes (JONES, 1999). Uma estrutura de alto
desempenho pode ser obtida quando as lâminas são constituídas por uma matriz polimérica
11
reforçada por fibras unidirecionais. Nesses casos têm-se os compósitos laminados reforçados
por fibras. Daqui por diante, sempre que for mencionado material compósito ou laminado,
subentende-se que seja o compósito laminado reforçado por fibras, a menos que algo em
contrário seja dito.
Figura 2.3 – Laminado reforçado por fibras.
2.2 Fibras e matrizes
Fibras consistem de milhares de filamentos com diâmetro variável entre 5 e 15
micrometros (GAY et al., 2003). O uso de fibras como reforço vem do fato de que um
material quando na forma de fibra, apresenta resistência e rigidez maior do que na forma de
bloco (bulk). Por exemplo, o vidro comum da janela apresenta uma resistência aproximada de
0,7 GPa. Já a fibra de vidro apresenta resistência entre 3,5 GPa e 4,6 GPa (MENDONÇA,
2005).
As diferenças das propriedades do material na forma de fibra e em bloco são
oriundas das falhas e imperfeições que os materiais apresentam. Um material na forma de
bloco, por exemplo, apresenta falhas originadas no próprio processo de fabricação. Por outro
lado, uma fibra é fabricada em dimensões tão pequenas, que a existência de muitas falhas ou
fissuras em sua estrutura tornaria inviável sua produção (MENDONÇA, 2005). Em virtude de
tais fatos, exige-se que o processo de fabricação de fibras seja muito mais rigoroso para que
seja desenvolvido um material de excelente qualidade.
Apesar de suas propriedades vantajosas, as fibras geralmente suportam apenas
esforços na direção longitudinal. Assim, devem ser embebidas em uma matriz com o objetivo
de suportar esforços compressivos, transversais ou cisalhantes. Nota-se que a integridade do
conjunto depende também da qualidade da matriz, já que ela é responsável por transmitir
tensões e aglutinar as fibras. Outras funções da matriz são proteger as fibras contra produtos
químicos nocivos, desgaste e manuseio (MENDONÇA, 2005).
12
Na maioria dos casos, a resistência e rigidez apresentada pela matriz são inferiores
às das fibras, fazendo com que o compósito resultante não possua as excelentes propriedades
das fibras, mas sim, um valor intermediário. As propriedades do compósito resultante
dependem das porcentagens das fibras usadas (MENDONÇA, 2005).
2.2.1 Fibras de carbono e grafite
Fibras de carbono e grafite diferenciam-se entre si apenas pela quantidade carbono
existente em sua estrutura. Segundo Mendonça (2005), fibras de grafite apresentam
quantidades de carbono superiores a 98,8%, enquanto fibras de carbono são constituídas de 80
a 95% de carbono. Quando comparadas com a fibra de vidro, as fibras de carbono apresentam
menor densidade, e maior rigidez e resistência. Tais características tornaram o uso destas
fibras predominante em aplicações de alto desempenho.
O custo proibitivo de fibras de carbono fez com que no passado o uso destes
materiais se desse exclusivamente na indústria aeronáutica. No entanto, o volume de
produção, a demanda mundial e novas tecnologias têm barateado seu custo, aumentando
assim a abrangência do uso de fibras de carbono.
Figura 2.4 – Fibras de carbono.
2.2.2 Matrizes poliméricas
Conhecidos popularmente como plásticos, os materiais poliméricos são
comumente empregados na fabricação de matrizes de compósitos laminados. As matrizes
poliméricas se destacam em relação às matrizes metálicas no quesito facilidade de fabricação.
É necessário mais energia, temperatura e força para usinar, furar, fundir ou unir uma estrutura
de aço do que uma de plástico, por exemplo.
Uma desvantagem dos polímeros é sua baixar resistência a altas temperaturas.
Qualquer investigação que vise substituir materiais convencionais por polímeros deve levar
13
em conta essa limitação. Devido a diferentes comportamentos quando submetido a elevadas
temperaturas, os polímeros podem ser agrupados em dois grupos: termorígidos ou
termoplásticos.
Os termoplásticos são os polímeros que amolecem quando submetidos a altas
temperaturas. Se um termoplástico é aquecido, suas ligações moleculares se enfraquecem
tornando possível sua deformação. Quando resfriado, suas ligações moleculares se
restabelecem e o plástico volta ao seu estado sólido. Deve-se ressaltar que tal processo é
parcialmente reversível, e a cada processo de aquecimento-resfriamento, as propriedades do
material são degradadas. Alguns exemplos de termoplásticos são: polietileno, náilon e PVC.
Os termorígidos, por outro lado, uma vez que endurecem, não podem ser mais
amolecidos pelo fornecimento de calor. Ao atingir elevadas temperaturas, esses materiais
simplesmente se decompõem. Termorígidos são mais empregados na fabricação de
compósitos laminados do que os termoplásticos. Isso ocorre porque os termorígidos
apresentam propriedades mecânicas superiores aos termoplásticos e também por serem menos
sensíveis à variação de temperatura. Outra vantagem dos termorígidos que merece ser
ressaltada é que compósitos laminados de plásticos termorígidos podem ser fabricados em
temperatura ambiente. Como exemplo, epóxi e poliéster, dois tipos de termorígidos, são os
poliméricos mais utilizados na confecção de laminados.
2.3 Fabricação
Diferente do que ocorre com materiais convencionais, uma estreita relação existe
entre a fabricação do material compósito e o seu uso. Muitas vezes a fabricação do compósito
se dá em conjunto com a fabricação do próprio elemento estrutural ou até da estrutura
completa, o que torna tal processo complexo (JONES, 1999). Segundo Mendonça (1999), de
acordo com o estado da resina, a fabricação de compósitos pode ser dividida em processos por
conformação molhada e processos por pré-fabricados.
No processo por conformação molhada, a formação do compósito é feita com a
resina da matriz em estado liquido com seu processo de cura em apenas uma etapa.
Já os pré-fabricados são obtidos com a matriz e fibras previamente impregnadas.
Para evitar sua solidificação até a montagem do elemento estrutural, é adicionado um agente
retardador de cura e a temperatura é mantida baixa. Para evitar que a peça grude nos dedos
durante o manuseio, a resina é preparada com um agente espessante.
14
A seguir são apresentados os principais processos de conformação úmida
(bobinamento ou enrolamento filamentar) e com pré-fabricados (fitas prepregs)
2.3.1 Enrolamento filamentar (filament winding)
É um processo ideal para fabricação de superfícies de revolução como tubos,
cilindros e esferas. É bastante utilizado na fabricação de vasos de pressão usados em diversas
indústrias.
O processo de fabricação é ilustrado na Figura 2.5. Um mandril, que pode ser
parte do próprio elemento estrutural a ser fabricado, é posto no eixo rotativo da maquina.
Fibras de diversos carretéis são bobinadas com a rotação do eixo. Os ângulos das fibras são
definidos pela velocidade do mandril e do carro. As fibras são impregnadas com resina e o
volume relativo das fibras é controlado pelo seu tensionamento. Normalmente os parâmetros
do processo são controlados por computador. Depois de bobinado, o mandril é submetido a
altas temperaturas para cura da resina. Após solidificação da resina, remove-se o mandril se
este não fizer parte do elemento estrutural.
Figura 2.5 – Enrolamento filamentar – filament winding.
2.3.2 Fitas Prepregs
Segundo Mendonça (2005), uma das maiores revoluções na manufatura de
compósitos foi o desenvolvimento de fitas prepregs (Figura 2.6). Elas se constituem de fibras
previamente impregnadas por uma resina polimérica, geralmente epóxi.
15
Figura 2.6 – Rolos de fita pré-impregnada (prepregs).
Na Figura 2.7 é ilustrado o processo de fabricação de um prepreg. As fibras
tracionadas são banhadas em resina e prensadas entre folhas impregnadas de silicone ou
polietileno. As folhas servem para impedir a aderência das fitas no rolo (Figura 2.6) e são
retirados no momento do uso do prepreg. O conjunto formado pela resina, fibra e folha é
aquecido até a cura parcial da resina e depois resfriado. Em seguida as rebarbas são cortadas e
o conjunto é enrolado.
Quando as fitas são constituídas de termoplásticos, podem ser armazenadas em
temperatura ambiente. Quando constituídas de termorígidos, devem ser mantidas em baixas
temperaturas até o uso para evitar a cura da resina. Prepregs também podem ser utilizadas na
fabricação de tubos laminados através do processo de enrolamento.
Figura 2.7 – Processo de fabricação de rolos de fita prepreg.
2.4 Vantagens e desvantagens
A grande vantagem dos materiais compósitos sobre outros materiais diz respeito à
sua moldabilidade, que faz com que diversas de suas propriedades possam ser melhoradas.
16
Algumas dessas propriedades são (JONES, 1999): relação resistência/peso e rigidez/peso,
resistência à corrosão, resistência à fadiga, isolamento térmico, condutividade térmica e
isolamento acústico. Naturalmente, nem todas as propriedades podem ser melhoradas ao
mesmo tempo. Na realidade busca-se melhorar apenas as propriedades requeridas para
realizar uma dada tarefa (JONES, 1999). O emprego inadequado de um compósito pode ser
desastroso. Por exemplo, em um estado de tração uniaxial, a colocação de laminados com as
fibras normais à direção da solicitação é ineficiente.
Apesar de todas as vantagens mencionadas, os materiais compósitos possuem
algumas desvantagens, sendo as principais o seu custo ainda elevado e o comportamento
complexo (KAW, 2006).
Quando comparado a outros materiais, um material compósito possui um alto
custo de fabricação. Segundo Kaw (2006), uma peça de grafite-epóxi, por exemplo, pode
chegar a custar entre $650 e $900 por quilograma. Em compensação, técnicas de manufatura
vêm gradativamente reduzindo seu custo e tempo de produção.
A caracterização de um material compósito é mais complexa do que a de um
metal. Diferentes dos metais, os compósitos possuem propriedades distintas em cada direção.
Uma única lâmina de grafite-epóxi, por exemplo, requer o conhecimento de nove parâmetros
de resistência e rigidez para uma analise completa, enquanto um metal necessita de somente
quatro (Kaw, 2006). Tais parâmetros são melhor detalhados nos capítulos a seguir.
17
3 MECÂNICA DO LAMINADO
Em um compósito, cada lâmina pode ser constituída de material, espessura e
orientação das fibras diferente das outras lâminas. Como conseqüência, o comportamento e a
análise do laminado tornam-se mais complexos. Assim, neste capítulo são apresentados os
procedimentos para análise individual de uma lâmina e do laminado. Em seguida, introduz-se
a teoria de falha de Tsai-Hill para análise de resistência de uma lâmina. Por ultimo, mostra-se
a metodologia aplicada na analise de tubos laminados.
3.1 Macromecânica de uma lâmina ortotrópica sob estado plano de tensões
Em virtude da heterogeneidade, duas abordagens, de acordo com a escala adotada
no modelo, podem ser usadas na análise de uma lâmina: a micromecânica e a macromecânica.
A primeira é usada quando há interesse no estudo da interação entre os constituintes do
compósito e, por exemplo, o descolamento entre a fibra e a matriz e a ruptura de fibras são
incluídas na formulação (REDDY, 1996). Na segunda, propriedades aparentes médias
representam o comportamento dos materiais constituintes (JONES, 1999). As equações
constitutivas são formuladas supondo que a lâmina é formada por um material homogêneo e
ortotrópico (REDDY, 1996). A análise macromecânica de uma lâmina será usada neste
trabalho e é desenvolvida a seguir.
No laminado, trabalha-se com um sistema de coordenadas global (x, y, z) usado
para definir os parâmetros do laminado e um sistema local (x1, x2, x3) para cada camada
denominado Sistema do Material (Figura 3.1). O eixo x1 é paralelo à direção das fibras, o eixo
x2 está contido no plano da lâmina e é ortogonal ao eixo x1 e o eixo x3 é normal à lâmina. Os
eixos (x1, x2, x3) também são chamados de eixos principais da lâmina (MENDONÇA, 2005).
Figura 3.1 – Sistema de coordenadas.
18
Sendo conhecidas as componentes de deformação ε de um lamina no sistema
global; as deformações no sistema local 1ε podem ser obtidas mediante transformação
(COOK et al., 2001):
( )
−−−=
z
y
x
sensensen
sensen
sensen
γεε
θθθθθθθθθθ
θθθθ
γεε
22
22
22
12
2
1
coscos2cos2
coscos
coscos
, ou Tεε1 = ,
(3.1)
onde T é uma matriz de transformação.
Uma lâmina ortotrópica sob Estado Plano de Tensões (EPT) tem
031233 === ττσ em qualquer ponto. Nesse caso, as deformações e as tensões no sistema do
material relacionam-se na forma (MENDONÇA, 2005):
−
−
=
=
12
2
1
12
21
12
2
21
1
12
2
1
66
2221
1211
12
2
1
100
01
01
00
0
0
τσσ
τσσ
γεε
G
EE
vE
v
E
S
SS
SS
, ou 11 Sσε = . (3.2)
onde Sé a matriz de flexibilidade (compliance) reduzida da lâmina em relação ao sistema
local.
A inversão da relação Eq. (3.2) fornece
=
12
2
1
66
2221
1211
12
2
1
00
0
0
γεε
τσσ
Q
, ou 11 Qεσ = . (3.3)
A matriz Q é conhecida como matriz de rigidez reduzida, e seus coeficientes são dados por:
22121
21
11EvE
EQ
−=
22121
211212 EvE
EEvQ
−=
22121
2122 EvE
EEQ
−= 1266 GQ = . (3.4)
Já no sistema global do laminado, a relação tensão-deformação é dada por:
19
=
xy
y
x
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
γεε
τσσ
666261
262221
161211
, εQσ = , (3.5)
onde Q é a matriz de rigidez transformada do material. Usando o Princípio dos Trabalhos
Virtuais (COOK et al., 2001), mostra-se que:
TQTQ T= . (3.6)
Realizando as multiplicações da Eq. (3.6), as componentes da matriz Q podem ser
explicitadas na forma:
( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .cos2cos2
,cos2cos2
,coscos4
,coscos22
,coscos22
,cos22cos
3662212
366121126
3662212
366121116
4412
2266221112
4466
226612221166
422
226612
41122
422
226612
41122
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθθθθθ
senQQQsenQQQQ
senQQQsenQQQQ
senQsenQQQQ
senQsenQQQQQ
QsenQQsenQQ
senQsenQQQQ
+−+−−=
+−+−−=
++−+=
++−−+=
+++=
+++=
(3.7)
No presente trabalho deseja-se obter 1σ a partir de ε . Para isso, calcula-se 1ε a
partir da Eq. (3.1) e depois, utiliza-se a Eq. (3.3) para se obter 1σ . Como será mostrado mais a
frente, 1σ é necessário no cálculo dos índices de falha, que são feitos com relação aos eixos
locais da lâmina (Sistema da lâmina ou do material).
3.2 Teoria Clássica de Laminação
A análise de compósitos laminados de parede fina pode ser feita através da Teoria
Clássica de Laminação (TCL). A TCL é uma extensão da teoria clássica de placas e cascas de
materiais isotrópicos. São adotadas as mesmas hipóteses da teoria de placas de Kirchhoff e de
Kirchhoff-Love para as cascas. Tais hipóteses em conjunto com outras próprias relacionadas a
compósitos laminados formam a base para o desenvolvimento da TCL. As hipóteses
mencionadas são listadas abaixo:
20
a) As lâminas são perfeitamente coladas sem deslizamento uma sobre as outras.
b) A espessura da camada de resina usada para unir as lâminas é muito pequena em relação
às dimensões do laminado, podendo ser desprezada.
c) O laminado é considerado fino, ou seja, sua é espessura é pequena quando comparada
com as demais dimensões do laminado.
d) Como conseqüência da hipótese acima, pode-se trabalhar com a hipótese das seções
planas. Assim, as deformações de cisalhamento transversais yzxz γγ e podem ser
desprezadas.
e) Segmentos normais à superfície de referência são inextensíveis, ou seja, 0=zε .
Utilizando as hipóteses acima, pode se demonstrar que os três componentes de
deslocamento em uma placa são dados por (MENDONÇA, 2005):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ).,,,
,,,,,
,,
,,,
0
0
0
yxwzyxw
y
yxwzyxvzyxv
x
yxwzyxuzyxu
=∂
∂−=
∂∂−=
(3.8)
onde wvu e, são os deslocamentos ao longo dos eixos zyx e, respectivamente.
Considerando a hipótese das deformações pequenas, têm-se as relações deformação-
deslocamento:
.,,x
v
y
u
y
v
x
uxyyx ∂
∂+∂∂=
∂∂=
∂∂= γεε (3.9)
Substituindo-se as componentes da Eq. (3.8) na Eq. (3.9), obtêm-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
,2
,,,,
,,,
,,
,,,
,,
200
2
20
2
20
yx
yxwz
x
yxv
y
yxuzyx
y
yxwz
y
yxvzyx
x
yxwz
x
yxuzyx
xy
y
x
∂∂∂−
∂∂+
∂∂=
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂=
γ
ε
ε
(3.10)
21
Fisicamente, os primeiros termos à direita da Eq. (3.10) definem as deformações
de membrana 0ε da superfície de referência da placa. Os outros termos estão associados às
curvaturas da superfície de referência (κ ). Matematicamente tem-se:
∂∂+
∂∂
∂∂∂
∂
=
=
x
v
y
uy
vx
u
xy
y
x
00
0
0
0
0
0
γεε
0ε e
∂∂∂∂∂∂∂
−=
=
yx
wy
wx
w
xy
y
x
2
2
2
2
2
2κκκ
κ . (3.11)
Assim, matricialmente, as deformações podem ser escritas como:
. ou ,0
0
0
κεε0 zz
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
+=
+
=
κκκ
γεε
γεε
(3.12)
Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.5), obtêm-se as tensões na k-ésima lâmina:
+
=
xy
y
x
xy
y
x
kk
xy
y
x
z
QQQ
QQQ
QQQ
κκκ
γεε
τσσ
0
0
0
666261
262221
161211
, ou ( )κεQσ0 z
kk += . (3.13)
Pode notar-se que 0ε e κ são constantes ao longo do laminado e seus valores são
independentes do número da ordem da lâmina. No entanto, cada lâmina possui propriedades
mecânicas diferentes e, portanto, k
Q diferentes. Logo, cada lâmina desenvolve tensões
próprias em função de k
Q e da cota z (Figura 3.2).
22
Figura 3.2 – Esquema de laminação.
Os esforços no laminado (Figura 3.3) são obtidos pela integral das tensões ao
longo da espessura.
Figura 3.3 – Esforços no laminado.
Essa integral ao longo de todo o laminado pode ser substituída pelo somatório das
integrais de tensões em cada lâmina, isto é,
.
,
1
2/
2/
1
2/
2/
1
1
∑ ∫∫
∑ ∫∫
=−
=−
−
−
=
=
=
=
N
k
Z
Z
k
xy
y
xH
Hxy
y
x
xy
y
x
N
k
Z
Z
k
xy
y
xH
Hxy
y
x
xy
y
x
K
K
K
K
zdzzdz
M
M
M
dzdz
N
N
N
τσσ
τσσ
τσσ
τσσ
(3.14)
Substituindo as tensões da Eq. (3.13) na Eq. (3.14), obtêm-se as seguintes expressões:
23
∑ ∫
∑ ∫
=
=
−
−
+
=
+
=
N
k
Z
Zxy
y
x
xy
y
x
k
xy
y
x
N
k
Z
Zxy
y
x
xy
y
x
k
xy
y
x
K
K
K
K
zdzz
QQQ
QQQ
QQQ
M
M
M
dzz
QQQ
QQQ
QQQ
N
N
N
1 0
0
0
666261
262221
161211
1 0
0
0
666261
262221
161211
1
1
.
,
κκκ
γεε
κκκ
γεε
(3.15)
Realizando operações matemáticas em (3.15), chega-se a:
,0
0
0
666261666261
262221262221
161211161211
666261666261
262221262221
161211161211
=
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
k
k
k
DDDBBB
DDDBBB
DDDBBB
BBBAAA
BBBAAA
BBBAAA
M
M
MN
N
N
γεε
(3.16)
Onde
( )∑=
−−=N
kkk
kijij zzQA
11 , ( )
−= ∑=
−
N
kkk
kijij zzQB
1
21
2
2
1, ( )
−= ∑=
−
N
kkk
kijij zzQD
1
31
3
3
1. (3.17)
A Eq. (3.16) pode ser reescrita de forma compacta como
=
κ
ε
DB
BA
M
N 0
(3.18)
onde N é o vetor de esforços de membrana, M é o vetor de momentos, A é a matriz de
rigidez extensional, B é a matriz de rigidez de acoplamento entre flexão e extensão e D é a
matriz de rigidez à flexão.
Um tipo especial de laminado compósito é o simétrico. Nele as lâminas são
empilhadas de forma a obter uma simetria de propriedades mecânicas e geometria em relação
à superfície de referência. Pode ser demonstrado que como conseqüência dessa simetria, a
matriz B é nula e não há acoplamento membrana flexão. Na Figura 3.4 é ilustrado um
laminado simétrico.
24
Figura 3.4 – Exemplo de laminação simétrica.
3.3 Resistência e falha de uma lâmina ortotrópica
Um projeto requer uso eficiente e seguro de materiais. Assim, teorias devem ser
desenvolvidas a fim de se verificar se um dado estado de tensões provoca a ruptura do
material (KAW, 2006). Em materiais isotópicos, o problema de se analisar a falha do material
se dá pela dificuldade de prever a falha de um estado biaxial ou triaxial de tensões a partir de
resultados obtidos em ensaios uniaxiais de resistência. Tal problema torna-se ainda maior em
lâminas ortotrópicas devido à impossibilidade de se determinar os valores de resistência
uniaxial em todos os ângulos possíveis. Assim, a previsão de valores de resistência de uma
lâmina se dá a partir de ensaios uniaxiais em direções notáveis, ou seja, as direções dos eixos
do material (MENDONÇA, 2005).
3.3.1 Critério de falha de Tsai-Hill
Diversos critérios de falha podem ser utilizados para verificar a falha do laminado
tais como: tensão máxima, deformação máxima, Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman e Hashin
(GAY et al., 2003; JONES, 1999; KAW, 2006; MENDONÇA, 2005). Walker e Smith (2003),
por exemplo, utilizam o critério de Tsai-Wu para maximizar a resistência de uma placa
considerando os ângulos das fibras como variáveis de projeto. Em Akbulut e Sonmez (2008),
o critério de Tsai-Wu é usado em conjunto com o critério das tensões máximas como
restrições de um problema de minimização da espessura de um laminado.
O critério de Tsai-Hill é utilizado no presente trabalho devido às inconsistências
do Tsai-Wu relatadas por PARK et al. (2001). O critério de Tsai-Hill, pode ser interpretado
como uma extensão do critério de falha de von Mises, criado para prever o escoamento de
25
metais isotrópicos. Em 1948, Hill adaptou o critério de von Mises, para analisar a falha de
materiais anisotrópicos em um estado triaxial, resultando na seguinte desigualdade
(MENDONÇA, 2005, p. 113):
1111
111111
2
12
2
1
13
2
2
2331222
3222221222
2
3
2
2
2
1
≤
+
+
+
+−−
+−−
−+−
+
+
SSSZYX
ZXYZYXZYX
τττσσ
σσσσσσσ
, (3.19)
onde ZYX e , são respectivamente, as resistências do material na direção da fibra (eixo 1x ),
ortogonal às fibras (eixo 2x ) e ortogonal ao plano da lâmina (eixo 3x ). De maneira
semelhante, 21 e , SSS são as resistências ao cisalhamento em relação aos planos1-2, 1-3 e 2-
3. Tais valores de resistência são obtidos aplicando-se carregamentos isolados de tensões.
Segundo a Eq. (3.19), um material apresenta-se seguro se a desigualdade for preservada
Em 1968, Tsai adotou o critério de Hill para lâminas ortotrópicas sob estado plano
de tensões. Nesse caso, tem-se:
0231331 ===== ττσSSYZ (3.20)
e a Eq. (3.19) se reduz a:
12
122
21
2
2
2
1 ≤
+−
+
SXYX
τσσσσ (3.21)
A Eq. (3.21) representa o critério de falha de Tsai-Hill. Segundo tal critério, uma
lâmina apresenta-se segura se o membro à esquerda da Eq. (3.21) for menor do que 1. Assim,
se ao calcular o Índice de falha de Tsai-Hill da k-ésima camada do laminado, definido como:
2
122
21
2
2
2
1
+−
+
=SXYX
F KTH
τσσσσ, (3.22)
obter-se KTHF maior do que 1, então pode-se concluir que a lâmina k falhou, mas não o
laminado todo. Na maioria dos casos, quando uma lâmina falha, ocorre uma redistribuição de
esforços no laminado degradado de modo que ele ainda pode resistir a esforços com as
26
lâminas restantes, podendo ainda ser utilizado. Assim, diz-se que o laminado falha somente
quando todas as lâminas falharem (GAY et al., 2003).
No entanto, muitas vezes um projetista, a favor da segurança, não utiliza um
laminado degradado. Nesses casos a falha de uma única lâmina representa a inviabilidade de
todo laminado. Assim, quando ocorre a falha pela primeira vez em alguma das lâminas, diz-se
que ocorreu a falha de todo o laminado. Tal processo recebe o nome na literatura de falha
inicial (MENDONÇA, 2005) ou first ply failure (KAW, 2006).
3.4 Análise de falha do laminado
A análise de falha do laminado é feita conhecendo-se os esforços resultantes
e MN . A partir destes esforços, determinam-se as deformações de membrana e curvatura
0ε e κ pela inversão da Eq. (3.18). As deformações de cada lâmina ε em relação ao eixo do
laminado são obtidas substituindo 0ε e κ na Eq. (3.12). A partir de ε , determinam-se as
deformações de cada lâmina em relação ao seu sistema local 1ε . Em seguida, substitui-se 1
ε
na Eq. (3.3) para se determinar as tensões resultantes 1σ em relação aos eixos principais de
cada lâmina.
As tensões em cada lâmina 1σ são substituídas na Eq. (3.22) para cálculo do
Índice de Falha de cada camada. Utilizando o conceito de falha inicial (first ply failure), em
que o laminado todo é descartado com a falha de apenas uma camada, o Índice de Falha do
laminado é considerado como o maior valor dos Índices de Falha de todas lâmina:
( )kTH
N
kMAXTH FMAXF
1== (3.23)
3.5 Análise de tubos longos de material compósito
Em um tubo de parede fina submetido a esforço axial de tração ( )APLN , momento
torçor ( )T e pressões interna ( )intp e externa ( )extp é justificável a hipótese do
desenvolvimento de apenas esforços de membrana. Nesse caso, os esforços de membrana são
dados por (BEER; JOHNSTON, 1996):
27
2
2,
2,
4 D
TN
pDNN
pDN xyyAPLx π
=∆=+∆= , (3.24)
onde p∆ é o diferencial entre pressão interna e externa extppp −=∆ int , D é o diâmetro do
tubo. Considerando um tubo de material compósito, sendo conhecidos os esforços dados pelas
Eqs. (3.24), os procedimentos detalhados no item 3.4 podem ser executados para se realizar a
análise do tubo.
Figura 3.5 – Eixos do tubo de material compósito.
No presente trabalho, são considerados apenas laminados simétricos. Logo, não ha
acoplamento membrana-flexão ( 0B = ). Além disso, se não forem considerados esforços de
momento M , a Eq. (3.18) reduz-se à:
0κκ
ε
D0
0A
0
N 0
=⇒
=
(3.25)
Da Eq. (3.25), conclui-se que deformações de curvatura são desprezadas,
simplificando a Eq. (3.12) para:
0εε = (3.26)
tornando a análise mais simples, uma vez que as deformações e tensões são iguais para cada
lamina em relação ao eixo do laminado.
28
3.5.1 Analise de colapso por flambagem local
Um importante aspecto que deve ser levado em consideração no projeto de tubos é
a sua estabilidade. Quando sujeito a pressão externa, um tubo pode sofrer uma flambagem
circunferencial (hoop buckling) causada pela atuação de esforços de compressão excessivos,
como mostrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Flambagem circunferencial de um tubo.
Segundo Weingarten et al. (1968), a pressão externa máxima (pressão de colapso)
que um tubo laminado pode suportar é expressa por:
3
22
222
223
−=
A
BD
Rkp pcol (3.27)
onde 222222 e , DBA são os coeficientes obtidos das Eqs. (3.17), R é o raio do tubo e pk é um
fator de redução que serve para corrigir as diferenças entre resultados experimentais e
teóricos. Para tubos longos, o valor de pk é 0,75.
29
4 OTIMIZAÇÃO
Nesse capítulo são introduzidos os conceitos básicos de otimização, assim como
aspectos relacionados à Programação Matemática Clássica e Otimização Multiobjetivo.
4.1 Conceitos básicos
O objetivo da otimização é encontrar o vetor de variáveis de projeto x que
minimiza a função objetivo f(x) e satisfaz as restrições impostas. As funções ( )xh e ( )xg são,
respectivamente, restrições de igualdade e de desigualdade. As variáveis de projeto estão
sujeitas a limites inferiores e superiores que caracterizam as restrições ditas laterais. A forma
geral do Problema de Programação Matemática é (Vanderplaats, 1984):
( )
( )( )
{ }n
uii
li
j
i
xxx
nixxx
ljh
mig
f
K
K
K
K
21
:onde
,,1
,,10
,,10
:àSujeito
Minimizar
=
=≤≤
===≤
x
x
x
x
(4.1)
4.2 Programação Matemática Clássica
Algoritmos de Programação Matemática Clássica utilizam, em geral, informação
dos gradientes das funções para buscar o mínimo do problema. Geralmente, necessita-se que
um conjunto inicial de variáveis 0x , seja especificado, a partir do qual o projeto é atualizado
iterativamente na forma (VANDERPLAATS, 1984):
q1qq Sxx *α+= − (4.2)
onde q representa o número da iteração, S é a direção de busca no espaço de projeto e o
escalar α* define o tamanho do passo dado nesta direção (busca linear). A escolha de S é feita
tal que um pequeno movimento nesta direção produza uma redução na função objetivo.
30
Diversos algoritmos de Programação Matemática podem ser encontrados na
literatura e alguns deles podem ser usados na otimização de compósitos laminados (GHIASI
et al., 2009, WALKER et al., 1997; WALKER; SMITH, 2002; WALKER; HAMILTON,
2006; TOPAL; UZMAN, 2009). Basicamente, o que diferencia um método do outro é o meio
de se determinar a direção de busca S e o passo α*
Algoritmos de Programação Matemática apresentam rápida convergência quando
comparados a outras técnicas de minimização, como os Algoritmos Evolutivos. No entanto,
possuem risco de caírem em mínimos locais e de apresentarem problemas numéricos quando
lidando com funções e derivadas descontínuas ou indefinidas. O problema de mínimos locais
pode ser amenizado executando-se o algoritmo de vários pontos iniciais x0.
4.3 Otimização Multiobjetivo
Em problemas de Engenharia, não se tem um único objetivo, muito pelo contrário,
em geral o projetista se depara com vários objetivos, muitos deles conflitando entre si. Um
problema de otimização multiobjetivo, pode ser matematicamente descrito como:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
{ }n
uii
li
j
i
p
xxx
nixxx
ljh
mig
fff
K
K
K
K
21
21
:onde
,,1
,,10
,,10
:àSujeito
],...,,[Minimizar
=
=≤≤
===≤
=
x
x
x
xxxxf
(4.3)
onde p é a quantidade de funções objetivo que se quer minimizar; m é a quantidade de
restrições de desigualdades e l é a quantidade de restrições de igualdade. ( )xf é um vetor de
dimensão p que contém as funções objetivo.
O conjunto viável S, também chamado de espaço de projeto viável, é definido
matematicamente como:
( ) ( ){ }ljhmigS ji até1;0eaté1;0quetal ===≤= xxx (4.4)
31
O problema de otimização definido na Eq. (4.3) geralmente não tem uma única
solução.
4.3.1 Métodos vetoriais e métodos escalares
Um problema multiobjetivo pode ser resolvido por métodos escalares ou métodos
vetoriais. Com métodos escalares, as funções objetivo são combinadas de forma a gerar uma
única função objetivo escalar, que pode ser minimizada utilizando os métodos tradicionais de
minimização. Os métodos vetoriais tratam as funções objetivo independentemente.
4.3.2 Normalização da função objetivo
Os métodos de otimização multiobjetivo lidam com diferentes funções de
magnitudes e unidades distintas. Esse problema requer a transformação das funções objetivo
de modo que elas possam ser comparadas. A forma mais comum de se normalizar é (ARORA,
2004):
( )0max
0
ii
iinormi
ff
fff
−−= x
(4.5)
Quando os valores máximos e mínimos da função if , dados respectivamente por
maxif e 0
if , são avaliados precisamente, tem-se normif variando entre 0 e 1. Existem
diversas maneiras de se determinar os valores maxif e 0
if . Uma maneira de se definir tais
parâmetros é escolher maxif de tal forma que ( )[ ],
1
max *x ji
p
ji fMAXf
== , onde *x j é o valor que
minimiza a j-ésima função objetivo. Em outras palavras, minimiza-se cada função ( )xjf para
determinação de *x j . Depois, determina-se o valor da função objetivo ( )xif em cada *x j .
O valor do máximo if é então maxif .
Algumas vezes, os valores maxif e 0
if podem ser simplesmente baseados em
experiência e intuição.
32
4.3.3 Método das Somas Ponderadas
Um método escalar clássico para solução de um problema multiobjetivo consiste
na minimização de uma função U igual à soma ponderada de todas as funções objetivo:
( )∑=
=k
iifiwU
1x (4.6)
O parâmetro iw é o peso associado a cada função if e reflete a importância relativa da i-ésima
função objetivo. Se as funções objetivo forem normalizadas, então 11
=∑=
k
iiw . Geralmente, ao
se resolver um problema multiobjetivo, faz-se variar os valores dos pesos para se determinar
um conjunto de ótimos. Tal conjunto algumas fornece o conjunto ótimo de Pareto (ARORA,
2004). O Método das Somas Ponderadas é um método muito utilizado, uma vez que ele
transforma um problema multiobjetivo em um problema de uma única função objetivo. Essa
simplificação faz com que o problema, antes complexo, possa ser resolvido por técnicas de
minimização convencionais.
Ao utilizar uma única função objetivo na otimização de laminados, há o risco de
se obter vários mínimos locais devido a grande quantidade de parâmetros envolvidos. Em
outras palavras, obtêm-se projetos diferentes com o mesmo valor da função objetivo. Para
contornar tal problema, adota-se outra função objetivo com o objetivo de desempatar as duas
soluções. Em Adali e Walker (1996), busca-se minimizar a soma ponderada da rigidez pré-
flambagem, rigidez pós-flambagem e carga critica de flambagem de uma placa laminada.
Como variáveis de projeto são consideradas os ângulos de orientação das fibras. Em Walker e
Smith (2003) apresenta-se uma técnica para minimização da massa e da deflexão de placas
laminadas simétricas submetidas a carregamentos transversais à sua superfície. A orientação
das fibras e as espessuras de cada camada são consideradas as variáveis de projeto. Em Deka
et al. (2005), minimiza-se a soma ponderada do peso e do custo de uma placa carregada
transversalmente. Como variáveis de projeto consideram-se o tipo de material (grafite ou
Kevlar / Epóxi), o ângulo de orientação das fibras e a espessura total do laminado. Em
Pelletier e Vel (2006) minimiza-se a massa ao mesmo tempo em que se maximiza a
resistência de placas laminadas. Como variáveis de projeto são consideradas as orientações
das fibras e suas frações de volume.
33
5 ALGORITMOS GENÉTICOS
Algoritmos Evolutivos (AEs) são métodos de busca que simulam a evolução de
indivíduos através de processos de seleção, reprodução e variação (mutação). Diversos AEs
têm sido propostos na literatura. Todos eles possuem uma idéia central em comum, mas
diferem entre si em alguns aspectos. Historicamente, três principais AEs foram desenvolvidos
(KICINGER etal., 2005): Estratégias Evolucionarias (EE), Programação Evolucionaria (PE) e
Algoritmos Genéticos (AGs).
Os AGs simulam o processo de seleção natural e evolução das espécies para
encontrar uma solução de um problema de otimização. Eles se baseiam no fato de que
indivíduos mais aptos de uma população (projetos de um conjunto) são submetidos a
processos tais como seleção, cruzamento e mutação ao longo de gerações (iterações) na busca
do melhor indivíduo (solução ótima do problema).
Devido às suas características, os AGs têm se apresentado como um dos principais
métodos de busca aplicados na otimização de compósitos laminados (GHIASI et al., 2009).
Neste capítulo são apresentados conceitos básicos relacionados aos Algoritmos Genéticos.
Inicialmente, comentam-se suas principais vantagens e desvantagens quando comparados a
outros métodos. Em seguida, detalha-se um pouco mais sua terminologia e descrevem-se os
principais mecanismos e procedimentos de um Algoritmo Genético padrão. Por último, as
características do AG do MATLAB, utilizado nesse trabalho, são apresentadas.
5.1 Características, vantagens e desvantagens
A maioria dos métodos Clássicos de Programação Matemática apresenta um
escopo de busca local, e a solução obtida por tais métodos é, em geral, o ponto ótimo apenas
de uma vizinhança (solução extrema local). No entanto, os Algoritmos Genéticos,
independente de sua configuração inicial, geralmente apresentam soluções de alta qualidade
(SADIQ; HABIB, 1999).
Os Algoritmos Genéticos são reconhecidos por realizarem uma busca
diversificada no espaço de projeto. Ao fazerem uso de um vasto conjunto de pontos para
busca, dificultam-se as chances de se cair em armadilhas de falsos vales em problemas de
minimização. Mecanismos de geração aleatória de indivíduos e mutação também
proporcionam uma busca diversificada no espaço de projeto, minimizando assim a ocorrência
de mínimos locais.
34
Além de eficientes algoritmos de otimização, os AGs são simples e fáceis de
implementar quando comparados com Algoritmos Clássicos de Programação Matemática. Os
AGs utilizam somente os valores das funções objetivo no processo de busca e não é
necessária a continuidade ou diferenciabilidade das funções já que não são feitos cálculos de
gradientes na busca pela solução ótima. Tais características fazem com que os AGs possam
ser utilizados nos mais variados tipos de problema.
Como desvantagem, os AGs apresentam um alto custo computacional. Tal
problema pode ser minimizado com o uso de computação paralela. Outro problema, é que
dificilmente há totais garantias da solução ótima ter sido atingida. Para evitar a obtenção de
falsos mínimos executa-se um AG diversas vezes.
5.2 Terminologia - AG
Nessa seção são introduzidos alguns importantes conceitos para o melhor
entendimento do funcionamento dos AGs.
5.2.1 Cromossomo, indivíduo e gene
Biologicamente, as estruturas que codificam um indivíduo são chamadas de
cromossomos. Em um problema de otimização, um cromossomo representa um projeto. Dessa
forma, pode-se dizer que o cromossomo é um vetor que armazena as variáveis de projeto de
um ponto no espaço de projeto. Na maioria dos problemas de otimização, um único
cromossomo é suficiente para representar uma solução, no entanto, mais de um cromossomo
pode ser utilizado para representar um projeto, como pode ser visto em Almeida e Awruch
(2009).
Um componente escalar do cromossomo é um gene e cada um desses genes
representa uma variável de projeto particular (ARORA, 2004). O valor que o gene pode
assumir é chamado de alelo.
5.2.2 Aptidão
O valor da aptidão de um indivíduo é um valor que indica o quanto apto é aquele
indivíduo (qualidade do projeto). Em problemas de minimização, soluções com baixos valores
da função objetivo correspondem a indivíduos mais aptos (SADIQ; HABIB, 1999).
35
5.2.3 População
Um conjunto de projetos ou indivíduos é chamado de população. Esse conjunto
representa um grupo de possíveis soluções de um problema de otimização. Quando se resolve
um problema de otimização usando AGs, a qualidade da solução final depende do tamanho da
população. Uma população pequena pode gerar uma convergência prematura (falso mínimo) e
uma grande população pode ter um alto custo computacional dependendo do problema
(ARORA, 2004). Uma vez que os AGs trabalham com operadores sobre uma população de
soluções, um gerador de população inicial é necessário. Geralmente a população inicial é
gerada randomicamente, mas também pode ser fornecida em alguns casos pelo usuário.
5.3 Algoritmo Genético padrão
Diversas mudanças podem ser incorporadas a um Algoritmo Genético, no entanto
sua idéia básica permanece a mesma. Inicialmente um conjunto de indivíduos (projetos) é
gerado. Calcula-se a aptidão de cada indivíduo. Aplicam-se operadores randômicos de seleção
de modo que indivíduos mais aptos tenham mais chances de serem selecionados. Os
indivíduos selecionados (pais) recombinam entre si e geram descendentes. Em seguida,
operadores mutagênicos, que alteram informações pontuais do cromossomo, são aplicados a
uma pequena parcela da população. Para manter o tamanho da população constante os
melhores indivíduos são selecionados e formam uma nova população. O processo é repetido
até que ocorra convergência. Como critério de convergência pode ser adotado o valor máximo
do número de gerações ou a variação da aptidão do melhor indivíduo ser menor do que uma
tolerância ξ após η gerações sucessivas.
5.3.1 Escolha dos pais (Seleção)
Os dois indivíduos selecionados para o cruzamento são chamados de pais. A
escolha dos pais dentre um conjunto de indivíduos que formam uma população é realizada de
modo probabilístico. Com o intuito de manter as idéias da seleção natural, indivíduos mais
fortes, que possuem maiores índices de aptidão, devem possuir mais chances de serem
selecionados para realizarem o cruzamento (crossover). Uma maneira geral de simular tal
escolha é fazendo com que a probabilidade dos pais serem selecionados seja diretamente
proporcional ao seu valor de aptidão. Ou seja, quanto maior o valor de aptidão de certo
36
cromossomo, maior é a chance de ele ser selecionado para o cruzamento. Diversos operadores
de seleção podem ser encontrados na literatura, sendo o mais comum, a seleção por roleta,
cujos procedimentos são explicados a seguir (ARORA, 2004; GOLDBERG, 1989).
Seja uma população de tamanho PN . Cada indivíduo kI , tem uma aptidão kF e
uma probabilidade kP de ser selecionado para ser um dos pais no processo de cruzamento.
Essa probabilidade é dada por:
∑=
==Np
kk
kk FQ
Q
FP
1
, . (5.1)
Analisando a Eq. (5.1), pode ser notado que quanto maior for o valor da aptidão,
então maior é a chance de um indivíduo ser selecionado. Considera-se um intervalo variando
entre 0 e 1, dividido em PN segmentos em que o tamanho do ésimok − segmento do
intervalo seja proporcional à aptidão do ésimok − indivíduo (Figura 5.1). Gera-se um número
randômico r entre 0 e 1. O indivíduo kI é aquele que possui r dentro de seu intervalo, ou
seja, Se kk yry <<−1 , então kI é o indivíduo selecionado. (Ex: ,21 PP > logo, o indivíduo 1I
tem maiores chances de ser selecionado já que ocupa um espaço maior no intervalo)
Figura 5.1 – Intervalo que representa as probabilidades de cada indivíduo ser selecionado.
5.3.2 Crossover
O crossover é considerado o operador genético principal. Ele fornece o
mecanismo responsável para que um descendente receba características de ambos os pais. Ele
opera nos dois pais (P1 e P2) para gerar descendentes. Assim, teoricamente, explora as
características dos genitores na definição de novas soluções (exploitation). Diversos
operadores de crossover podem ser encontrados na literatura (SADIQ & HABIB, 1999). Na
figura abaixo é mostrado o mais simples deles, o cruzamento de um ponto, onde os
descendentes são gerados a partir da combinação dos pais em função de um ponto de corte
37
definido aleatoriamente. Um dos filhos é formado pela parte esquerda de um pai e pela parte
direita do outro, enquanto o outro é o contrário.
Figura 5.2 – Processo mais simples de cruzamento
5.3.3 Mutação
A mutação produz um acréscimo no caráter randômico do processo. Ela produz
uma mudança aleatória em um descendente através da mudança do valor de alguns genes. A
mutação não é aplicada a todos os indivíduos da população, mas somente a alguns indivíduos.
Esse operador provoca uma perturbação devido à introdução de novas características não-
presentes em nenhum indivíduo da população. Por exemplo, no caso de um cromossomo
binário, há a troca de um alelo 0 por 1. Este operador diversifica a população, explorado
melhor o espaço de soluções (exploration).
5.3.4 Geração e seleção
Uma geração é um termo designado para representar uma iteração do AG. A cada
iteração indivíduos são gerados, recombinados e descartados de modo que ao final de todas as
gerações uma população de soluções seja encontrada.
Na Figura 5.3 pode ser visualizado o fluxograma de um AG padrão
38
Figura 5.3 – Algoritmo Genético padrão
5.4 Algoritmo Genético do Matlab
O AG do Matlab usa o Algoritmo Genético do Lagrangeano Aumentado (ALGA:
Augmented Lagrangian Genetic Algorithm) (CONN et al., 1991; CONN et al., 1997) para
solução de problemas não lineares com restrições não lineares e lineares de desigualdade e de
igualdade e restrições laterais. O algoritmo emprega uma função Lagrangeana aumentada
considerando as restrições não lineares usando multiplicadores de Lagrange e um parâmetro
de penalidade.. Como é característico dos algoritmos Lagrangeanos aumentados, uma
sequência de subproblemas aproximados é resolvida. O AG é empregado na solução do
subproblema para uma penalidade dada e multiplicadores estimados, observando a satisfação
das restrições lineares e laterais.
39
6 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DO TUBO COMPÓSITO
Apresenta-se a formulação do problema de pré-dimensionamento de um tubo
laminado simétrico de parede fina submetido aos casos de carga de pressão interna, pressão
externa, força normal e momento torçor. O material é o mesmo para todas as lâminas. Busca-
se minimizar o peso e o índice de falha do tubo através da variação dos ângulos e espessuras
de cada camada. Restrições de resistência e estabilidade são consideradas. A seguir são
apresentadas as variáveis de projeto, a função objetivo e as restrições do problema.
6.1 Variáveis de projeto
As variáveis de projeto consideradas são o ângulo de orientação kθ e a espessura
kh de cada camada do tubo compósito. A espessura hk é definida por um número nk vezes
uma espessura padrão Padh , ou seja, Padkk hnh = (Figura 6.1).
Figura 6.1 – Tubo compósito – Variáveis de projeto do laminado simétrico
Efetivamente, kn é a variável de projeto ao invés de kh e esta estratégia é usada
para tratar o caso de variáveis discretas, cujos valores são múltiplos de uma medida padrão.
Os resultados são apresentados em função de kh . Como o laminado é simétrico, apenas
metade das N camadas são consideradas, simplificando o vetor de variáveis de projeto para:
40
{ }θnX =
=2
21
2
21 NNnnn θθθ KK . (6.1)
Restrições laterais são impostas na forma:
MAXkMIN
k
nnn ≤≤≤≤− ,º90º90 θ
, 2...3,2,1 onde Nk = (6.2)
Nos exemplos em que as variáveis são consideradas discretas, têm-se os ângulos
kθ variando de 5º e kn variando de 1. Assim, os possíveis valores das variáveis de projeto são:
{ }{ }MAXMAXMINMIN nnnn 11
º90º85º5º0º5º85º90
−+=+++−−−=
L
KK
POS
POS
n
θ (6.3)
O modelo descrito acima foi implementado e resolvido usando ferramentas de
otimização do MATLAB. É importante destacar que o algoritmo genético do MATLAB
trabalha somente com variáveis reais (contínuas). Para tratar variáveis de natureza discreta ou
inteira, é adotada a estratégia de usar listas (ou vetores) que armazenam os valores discretos
das variáveis e passa-se a trabalhar com as posições dos valores nas listas como variáveis de
projeto.
Contudo, estas novas variáveis são ainda do tipo inteiro, o que inviabiliza o uso do
MATLAB. Neste caso, adota-se a estratégia de converter o valor real para o inteiro mais
próximo. Assim, dado o indivíduo RX , que armazena um conjunto de valores reais para
endereços em uma lista, este vetor é convertido para o vetor de inteiros mais próximos IX ,
cujos valores representam ponteiros para o vetor de possíveis variáveis de projeto POSn e
POSθ . O vetor de projeto X , usado na avaliação das funções do problema, é então montado
com os correspondentes valores discretos.
Um exemplo da aplicação de listas é mostrado na Tabela 6.1, e estes dados são
usados na Tabela 6.2 para mostrar um exemplo de codificação para um laminado simétrico de
oito camadas com seis valores possíveis para o número de lâminas e cinco valores possíveis
para o ângulo de cada camada. Sendo 1 e n as posições inicial e final de uma lista, para
assegurar a mesma probabilidade para todos os elementos das listas os limites inferiores e
superiores foram definidos como n+5,0e5,0 , respectivamente.
41
Tabela 6.1 - Exemplo de aplicação de listas.
INX → POSn IXθ → POS
θ
1 → 1 1 → -90o
2 → 2 2 → -45o 3 → 3 3 → 0o 4 → 4 4 → 45o 5 → 5 5 → 90o 6 → 6
Tabela 6.2 - Exemplo de transformação de variáveis.
RX IX X 1,2 → 1 → 1 3,8 → 4 → 4 5,4 → 5 → 5 2,7 → 3 → 3 1,3 → 1 → -90° 3,9 → 4 → 45° 3,1 → 3 → 0° 4,9 → 5 → 90°
6.2 Função objetivo
O problema é formulado como multiobjetivo, uma vez que mais de uma função
objetivo é levada em consideração. Neste trabalho busca-se minimizar o peso do tubo por
comprimento unitário (W ) e o índice de falha máximo ( MAXTHF ) dado pela Eq. (3.23). O
método das somas ponderadas é utilizado arbitrando-se diferentes pesos 1w e 2w a cada
função objetivo, que são normalizadas por meio da Eq. (4.5). Assim, a função objetivoOBJF
torna-se:
.1, 2121 =++= wweFwWwF normMAXTH
normOBJ (6.4)
Como W é normalizada e o comprimento do tubo é constante, pode-se trabalhar com a área da
seção transversal SECA do tubo ao invés do peso, já que suas normalizações levam ao mesmo
resultado:
normnormSEC WA = . (6.5)
42
As áreas máximas e mínimas para normalização da área são obtidas pelo calculo
da área utilizando os raios externos máximos e mínimos possíveis:
( )( ) padMINiMINiMINMIN
padMAXiMAXiMAXMAX
hNnRRRRA
hNnRRRRA
+=−=
+=−=
,
,22
22
π
π (6.6)
onde MAXR e MINR são os raios externos máximos e mínimos, respectivamente. iR é o valor
do raio interno, mantido fixo e N é o número de camadas. Assim, a função objetivo
realmente implementada é:
normMAXTH
normSECOBJ FwAwF 21 += (6.7)
Com a solução para a área, o peso tubo é determinado por:
LAW SECT γ= (6.8)
onde γ é a densidade do material e L é comprimento do tubo. Nos resultados apresentam-se
valores para FOBJ em função da área normSECA (Eq. (6.5)).
6.3 Restrições
As restrições consideradas dizem respeito à pressão de colapso por flambagem
local da parede do tubo na direção circunferencial colp (Eq. (3.27)) e ao índice de falha
máximo MAXTHF (Eq. (3.23))
6.3.1 Restrição de colapso
O tubo pode sofrer colapso por flambagem circunferencial (hoop buckling) como
casca se o diferencial de pressão extppp −=∆ int for negativo e superar a pressão de colapso
pcol. Assim, impõe-se:
0quando int <−=∆∆> extcol pppPp (6.9)
43
A Eq. (6.9) pode ser rearranjada na forma normalizada:
.0quando ,01 int <−=∆<+∆
− extcol pppP
p (6.10)
6.3.2 Restrição de falha do material
A falha do tubo é caracterizada pelo inicio da falha em qualquer uma das camadas
da parede laminada (first ply failure). Assim, usando as Eqs. (3.21) e (3.23), a falha do tubo é
impedida impondo-se a restrição:
01<−MAXTHF (6.11)
6.4 Problema de otimização
O problema de otimização pode então ser posto na forma:
( )
MAXkMIN
k
MAXTH
extcol
normMAXTH
normOBJ
nnn
ºθº
F
pppP
p
FwWwF
≤≤≤≤−
<−
<−=∆<+∆
−
+=
9090
:onde
01
0quando ,01
:à Sujeito
Minimizar
int
21θn,
(6.12)
44
7 APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Neste capítulo, o modelo de otimização proposto é aplicado para obtenção de
projetos preliminares de tubos. Inicialmente, descrevem-se os parâmetros de entrada para o
problema, que inclui a geometria do tubo, materiais, carregamentos e alternativas de solução.
Depois, a formulação multiobjetivo é usada na otimização de tubos compósitos. Em seguida,
para uma melhor análise dos resultados, plotam-se os gráficos da pressão de colapso e do
índice de falha. Por fim, o modelo formulado é aplicado na otimização de tubos de aço e os
projetos obtidos são comparados com os tubos compósitos.
7.1 Parâmetros de entrada
Para validação, o modelo formulado é aplicado a um tubo com diâmetro interno
de 0,40 m. Considera-se um tubo de 4 camadas. Restrições laterais impõem que a espessura
de cada camada pode variar entre 0,001 m e 0,005m, com a espessura padrão hpad = 0,001 m
( )51 ≤≤ kn . Os valores mínimos e máximos para normalização da área são respectivamente
0,00256389 m² e 0,0050768 m², obtidos conforme Eq. (4.5) que correspondem às áreas da
seção transversal com espessura total de 0,004 (mínima) e 0,020m (máxima). Os valores
mínimos e máximos dos índices de falha para normalização são 0 e 1. As propriedades dos
materiais Grafite/Epóxi e aço, utilizados nas aplicações, são dados na Tabela 7.1.
Tabela 7.1 – Propriedades do compósito (Park et al., 2001; Beyle et al, 1997)
Propriedades CFRP
T3000/N5208 Grafite/Epóxi
Aço
γ Kg/m3 1600 7850,0
E1 GPa 132,5 207,0 E2 GPa 10,8 207,0
G12 GPa 5,7 79,6 G23 GPa 3,4 79,6
ν12 - 0,24 0,3
X MPa 1515 577,0 Y MPa 43,8 577,0
S MPa 86,9 288,5
45
São considerados 4 tipos de carregamento: força axial aplicada de 15 MN/m,
momento torçor de 1 MNm, pressão interna de 10 MPa e pressão externa de 5 MPa. Os
valores já incluem fatores de majoração (coeficientes de segurança). Três alternativas de
solução podem ser aplicadas para cada carregamento, a saber:
a) Solução usando a ferramenta fmincon do MATLAB que utiliza Programação Matemática
Clássica. As variáveis de projeto são consideradas continuas;
b) Solução usando o AG do MATLAB com variáveis contínuas;
c) Solução usando o AG do MATLAB com variáveis discretas;
Em cada caso em que se utiliza o AG são realizadas 10 otimizações com o
tamanho da população igual a 400 e o número máximo de gerações igual a 50.
O uso de população inferior a 400 para o caso de pressão externa não apresentou
resultados satisfatórios, exigindo uma população elevada.
7.2 Tubo compósito
Para cada um dos casos de carga, buscam-se soluções para o problema
multiobjetivo do tubo laminado avaliando-se o comportamento da solução para diversos
valores dos pesos das funções objetivo (w1 e w2). Os resultados correspondentes são
mostrados nas Tabela 7.2 até Tabela 7.5, que representam somente metade das camadas
devido à simetria
Pode-se notar que quando o valor do peso w1 é 1, tem-se o caso de minimização
de uma única função objetivo, no caso a área SECA e os algoritmos buscam as espessuras
mínimas. Enquanto a restrição do índice de falha ou da pressão do colapso, no caso de pressão
externa, não é atingida, os ângulos não têm influência no resultado. Entretanto, para o nível de
carga aplicada, uma destas restrições sempre esteve ativa. De certa forma isto foi interessante
para observar-se a melhor orientação das fibras.
Pode ser notado que ao acrescentar gradativamente a importância da função do
índice de falha (aumentar w2), o algoritmo procura também maximizar a resistência,
reduzindo o índice de falha. Tal fato pode ser observado nas Tabela 7.2 à Tabela 7.5 já que à
medida que w1 diminui, MAXTHF também diminui e SECA aumenta.
46
Quando w1 = 0, somente o índice de falha MAXTHF tem importância na função
objetivo fazendo com que o valor de SECA atinja o máximo para maximizar a resistência.
Como MAXTHF depende também das orientações das fibras, o AG deve buscar as orientações
ótimas em cada caso. Isto não ocorre com w1 = 1
Os dois tipos de aplicação utilizando variáveis contínuas (fmincon e AG-Cont)
apresentam resultados semelhantes na maioria dos casos, indicando que tanto a Programação
Matemática clássica quanto os algoritmos genéticos podem ser utilizados para otimização do
modelo proposto. O uso das variáveis discretas resulta em valores da função objetivo
superiores ao uso de variáveis contínuas. Este fato já era esperado devido ao menor espaço de
busca associado ao uso de variáveis discretas.
Tabela 7.2 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação da força axial de 15 MN/m
Laminação 1w Alternativa
Espessura kh (m) Angulos kθ (º) SECA
(m²) MAXTHF OBJF
fmincon [0,001327/0,0036298]s [-0,0020177/0,00088473]s 0,0128 1,0000 0,360027
AG-Cont [0,0023365/0,002614]s [-0,031558/0,029204]s 0,0128 1,0000 0,360029 1
AG-Disc [0,002/0,003]s [0/0]s 0,0129 0,9803 0,366156
fmincon [0,0038693/0,0010812]s [0,00070723/-0,0010984]s 0,0128 1,0000 0,488022
AG-Cont [0,00161736/0,003363]s [0,01198/-0,0056265]s 0,0128 0,9988 0,488078 0,8
AG-Disc [0,003/0,002]s [0/0]s 0,0129 0,9803 0,488984
fmincon [0,002119/0,0042678]s [0,001925/-0,0037904]s 0,0166 0,6008 0,563723
AG-Cont [0,0036152/0,0027747]s [0,0097733/-0,012672]s 0,0166 0,6002 0,563723 0,6
AG-Disc [0,003/0,004]s [0/0]s 0,0182 0,5002 0,569754
fmincon [0,0045737/0,0037439]s [-0,038855/0,047667]s 0,0218 0,3542 0,52592
AG-Cont [0,003889/0,0044194]s [0,0094076/-0,0076781]s 0,0218 0,3542 0,525919 0,4
AG-Disc [0,004/0,005]s [0/0]s 0,0236 0,3026 0,529885
fmincon [0,005/0,005]s [-0,0052327/0,0015]s 0,0264 0,2451 0,396059
AG-Cont [0,005/0,005]s [-0,019355/0,019207s 0,0264 0,2451 0,396059 0,2
AG-Disc [0,005/0,005]s [0/0]s 0,0264 0,2451 0,396059
fmincon [0,005/0,005]s [-0,0016376/0,0017646]s 0,0264 0,2451 0,245074
AG-Cont [0,005/0,005]s [0,0028759/-0,002833]s 0,0264 0,2451 0,245074 0
AG-Disc [0,005/0,005]s [0/0]s 0,0264 0,2451 0,245074
Os valores dos ângulos obtidos para o caso da força axial (Tabela 7.2)
correspondem ao esperado ( )°≈ 0Kθ , já que a direção axial é a única direção solicitada,
fazendo com que as fibras se disponham na direção longitudinal do tubo (Figura 7.1).
47
Figura 7.1 – Fibras ao longo do esforço axial
Tabela 7.3 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de momento torçor de 1 MNm
Laminação 1w Alternativa
Espessura kh (m) Angulos kθ (º) SECA
(m²) MAXTHF OBJF
fmincon [0,002823/0,002823]s [45,036/-44,964]s 0,0146 1,0000 0,446398
AG-Cont [0,002836/0,0028229]s [44,749/-44,846]s 0,0146 1,0000 0,446453 1
AG-Disc [0,003/0,003]s [-45/45]s 0,0155 0,8794 0,490566
fmincon [0,002823/0,002823]s [45,001/-45,001]s 0,0146 1,0000 0,557113
AG-Cont [0,0028239/0,0028233]s [45,3/-45,233]s 0,0146 0,9997 0,557163 0,8
AG-Disc [0,003/0,003]s [45/-45]s 0,0155 0,8794 0,568335
fmincon [0,0035237/0,0035237]s [-45,062/44,936]s 0,0183 0,6247 0,623154
AG-Cont [0,0035269/0,0035271]s [-44,922/44,873]s 0,0184 0,6234 0,623144 0,6
AG-Disc [0,004/0,004]s [45/-45]s 0,0209 0,4759 0,636121
fmincon [0,0045597/0,0045598]s [-45,062/44,91]s 0,0240 0,3585 0,569595
AG-Cont [0,0045561/0,004556]s [45,091/-45,072]s 0,0239 0,3591 0,569575 0,4
AG-Disc [0,005/0,005]s [-45/45]s 0,0264 0,2932 0,575889
fmincon [0,005/0,005]s [-44,921/45,083]s 0,0264 0,2932 0,434545
AG-Cont [0,005/0,005]s [44,993/-44,993]s 0,0264 0,2932 0,434518 0,2
AG-Disc [0,005/0,005]s [-45/45]s 0,0264 0,2932 0,434518
fmincon [0,005/0,005]s [-45,002/44,997]s 0,0264 0,2932 0,293148
AG-Cont [0,005/0,005]s [-45,002/45,001]s 0,0264 0,2932 0,293148 0
AG-Disc [0,005/0,005]s [45/-45]s 0,2639 0,2932 0,293148
Os resultados dos ângulos obtidos para torção apresentam os resultados esperados,
com as fibras se dispondo em torno das direções principais das tensões solicitantes (Figura
7.2). Sendo a resistência do material à tração igual à compressão, todas as espessuras são
iguais e metade das camadas apresentam fibras dispostas a 45º combatendo os esforços de
tração enquanto a outra metade se alinha à -45º combatendo os esforços de compressão (GAY
et al., 2003; p. 81).
Figura 7.2 – Fibras à 45º combatendo a tração
48
Tabela 7.4 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de pressão interna de 10 MPa
Laminação 1w Alternativa
Espessura kh (m) Angulos kθ (º) SECA
(m²) MAXTHF OBJF
fmincon [0,0013071/0,0013071]s [52,638/-52,638]s 0,0067 1,0000 0,074096
AG-Cont [0,0013089/0,0013052]s [52,738/-52,54]s 0,0067 1,0000 0,074097 1
AG-Disc [0,002/0,002]s [55/-55]s 0,0103 0,4505 0,242925
fmincon [0,0015146/0,001515]s [52,626/-52,643]s 0,0077 0,7476 0,249096
AG-Cont [0,0015224/0,0015185]s [52,73/-52,549]s 0,0078 0,7421 0,249103 0,8
AG-Disc [0,002/0,002]s [50/-55]s 0,0103 0,4505 0,284429
fmincon [0,0020968/0,0020971]s [52,632/-52,643]s 0,0108 0,3946 0,317882
AG-Cont [0,0020996/0,0021006]s [52,628/-52,661]s 0,0108 0,3935 0,317884 0,6
AG-Disc [0,002/0,002]s [50/-55]s 0,0103 0,4505 0,325934
fmincon [0,0027419/0,0027426]s [52,627/-52,646]s 0,0142 0,2337 0,310718
AG-Cont [0,0027457/0,0027412]s [52,698/-52,584]s 0,0142 0,2335 0,310718 0,4
AG-Disc [0,003/0,003]s [55/-55]s 0,0155 0,2041 0,318712
fmincon [0,0037913/0,0037999]s [-52,549/52,707]s 0,0198 0,1245 0,237781
AG-Cont [0,003789/0,0037886]s [-52,649/52,643]s 0,0198 0,1249 0,237781 0,2
AG-Disc [0,004/0,004]s [-50/55]s 0,0209 0,1171 0,242242
fmincon [0,005/0,005]s [52,637/-52,637]s 0,0264 0,0734 0,073412
AG-Cont [0,005/0,005]s [52,637/-52,637]s 0,0264 0,0734 0,073411 0
AG-Disc [0,005/0,005]s [55/-55]s 0,0264 0,0764 0,076373
Para pressão interna de 10 MPa, obtêm-se ângulos próximos a [52º/-52º]S. Esses
resultados concordam com os da literatura (Park et al., 2001), que encontrou como resultado
[51,1º/-51,1º]S. Deve ser ressaltado que a análise de Park et al. (2001) é feita pelo Método dos
Elementos Finitos, enquanto no presente trabalho a análise é realizada de forma simplificada.
Para um tubo sujeito a pressão interna, a relação entre os esforços circunferenciais e
longitudinais é de 2:1 ( )xy NN 2= , fazendo com que as fibras se disponham em ângulos
superiores à 45°, havendo uma contribuição maior na direção circunferencial (Figura 7.3).
Figura 7.3 – Fibras combatendo a pressão interna
49
Tabela 7.5 – Projetos ótimos obtidos pela aplicação de pressão externa de 5 MPa
Laminação Peso Alternativa
Espessura kh (m) Angulos kθ (º) SECA
(m²) MAXTHF colp (MPa) OBJF
fmincon [0,0011991/0,0048283]s [90/90]s 0,0156 0,9532 5,00 0,49399
AG-Cont [0,0049946/0,0010426]s [90/-0,01326]s 0,0156 0,1329 5,00 0,49522 1
AG-Disc [0,005/0,002]s [90/0]s 0,0182 0,0583 7,55 0,61610
fmincon [0,0042784/0,0017992]s [90/0,00596]s 0,0157 0,0740 5,00 0,41500
AG-Cont [0,0043458/0,0017499]s [85,534/-7,6976]s 0,0158 0,0755 5,00 0,41713 0,8
AG-Disc [0,004/0,003]s [-65/40]s 0,0182 0,0407 5,19 0,50107
fmincon [0,00427/0,001803]s [90/0,0548]s 0,0157 0,0738 5,00 0,32970
AG-Cont [0,0042084/0,002044]s [78,29/-20,399]s 0,0162 0,0620 5,00 0,33811 0,6
AG-Disc [0,004/0,003]s [-65/40]s 0,0182 0,0407 5,19 0,38599
fmincon [0,0042748/0,0018031]s [89/-0,025298]s 0,0157 0,0738 5,00 0,24440
AG-Cont [0,0042031/0,0020762]s [77,423/-21,385]s 0,0163 0,0606 5,00 0,24657 0,4
AG-Disc [0,004/0,003]s [-65/40]s 0,0182 0,0407 5,19 0,27090
fmincon [0,0041274/0,0024388]s [70,587/-31,768]s 0,0170 0,0489 5,00 0,15146
AG-Cont [0,0040699/0,0027861]s [65,628/-38,573]s 0,0178 0,0416 5,00 0,15285 0,2
AG-Disc [0,004/0,003]s [65/-40]s 0,0182 0,0407 5,19 0,15582
fmincon [0,005/0,005]s [-52,636/52,637]s 0,0264 0,0184 9,90 0,01835
AG-Cont [0,005/0,005]s [52,637/-52,637]s 0,0264 0,0184 9,90 0,01835 0
AG-Disc [0,005/0,005]s [-55/50]s 0,0264 0,0191 10,64 0,01909
Para pressão externa, pode ser observado que a restrição de colapso é fator
determinante (Tabela 7.5), ie, está ativa na solução ótima ( )extcol pp ≅ enquanto a restrição
imposta pelo critério de falha está com folga. Verifica-se também que há uma tendência de se
aumentar o ângulo nas camadas mais externas da parede do tubo, enquanto as camadas
centrais apresentam valores de ângulos inferiores. O mesmo acontece com a espessura.
Um fato inesperado ocorre na Tabela 7.5. Quando 11 =w , os projetos obtidos para
fmincon e AG-Cont são diferentes, não apresentando concordância. Tal fato pode ser
explicado pelo gráfico da pressão de colapso para as soluções obtidas (Figura 7.5 para AG-
Cont; Figura 7.6 para fmincon).
Na Figura 7.4 é mostrado o gráfico da pressão de colapso em função dos ângulos
de orientação das fibras 1θ e 2θ . Consideram-se as espessuras das camadas mmhh 521 == .
Como pode ser observado do gráfico, uma mudança no ângulo 2θ provoca pequena variação
na pressão de colapso. Por outro lado, uma mudança no ângulo 1θ provoca uma grande
variação na pressão de colapso. Diante de tal fato, infere-se que a pressão de colapso ( )colp é
mais sensível à variação dos ângulos das camadas externas e internas ( )1θ do que das
50
camadas do meio ( )2θ , sendo que maiores valores de ( )colp são obtidos quando os ângulos
das fibras 1θ e 2θ tendem a 90°.
Figura 7.4 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmhh 521 ==
Para a solução obtida pelo AG-Cont, plota-se o gráfico da pressão de colapso na
Figura 7.5. Como pode ser notado, a pressão de colapso depende menos ainda de 2θ . Isso
ocorre porque a espessura das camadas mais externas e internas são maiores do que as
espessuras das camadas do meio ( )21 5hh ≈ . Assim, para obter uma alta pressão de colapso, o
otimizador leva a orientação 1θ das camadas mais externas e internas para °90 , e não leva em
consideração a orientação da camada mais fina 2θ na otimização. A impressão é que o
algoritmo quer levar todo o laminado para 90o, mas como não consegue fazer isto com o
ângulo 2θ , tenta reduzir a espessura correspondente ao máximo.
Para a solução obtida pelo fmincon, plota-se o gráfico da pressão de colapso na
Figura 7.6. Nesse caso a pressão de colapso passa a depender de 2θ . Isso ocorre porque as
espessuras das camadas do meio passam a ser maiores do que as camadas mais internas e
externas ( )12 5hh ≈ . Assim, como tanto 1θ como 2θ possuem importância no calculo da
pressão de colapso, então os dois ângulos vão a 90°.
51
Figura 7.5 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmh 51 = e mmh 12 = ------Solução do AG-Cont
Figura 7.6 – Gráfico da 21 θθ xxpCOL para mmh 2,11 = e mmh 8,42 = ------Solução do fmincon
52
7.3 Análise gráfica do índice de falha de Tsai-Hill
Mantendo os valores das espessuras de cada camada fixos e iguais a 5 mm, são
plotados os gráficos dos índices de falha de Tsai-Hill em função dos ângulos de cada camada.
Os gráficos são traçados com objetivo de mostrar quais ângulos levam à resistência máxima
do laminado.
Para o caso da força axial de 15 MN/m pode-se perceber que a laminação que leva
ao menor índice de falha é o [ ]sº0/º0 (Figura 7.7). Esse resultado confirma os valores obtidos
pelo otimizador na Tabela 7.2. Também pode ser notado na Figura 7.7 que o índice de falha é
máximo nos pontos s]º90/º90[ ±± , como já era esperado, uma vez que nesses casos
nenhuma fibra se dispõe na direção dos esforços de tração solicitantes.
Figura 7.7 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para esforço de tração de 15MN/m
Para o caso de torção de 1 MNm (Figura 7.8), tem-se os menores índices de falha
nos ângulos próximos à [ ]sº45/º45 m± , concordando com valores obtidos pelo otimizador.
Pode ser observado também que os maiores índices de falha ocorrem quando todas as fibras
estão dispostas na mesma direção, ou seja, [ ]sº45/º45 ++ e [ ]sº45/º45 −− . Analisando a
53
Figura 7.2, nota-se que quando todas as fibras estão dispostas na direção positiva de º45+ ,
não há nenhuma fibra para suportar os esforços máximos de compressão à º45− .
Similarmente, quando as fibras estão dispostas na direção negativa de º45− , não há nenhuma
fibra para suportar os esforços máximos de tração à º45+ .
Figura 7.8 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para momento torçor de 1MNm
Para o caso de pressão interna (Figura 7.9), percebe-se que as melhores situações
são quando os ângulos se dispõem em torno de [ ]º55/º55 m± , concordando mais uma vez
com os ângulos obtidos pelo otimizador na Tabela 7.4. Para o caso de pressão externa, a
forma do gráfico do índice de falha é o mesmo, e, portanto não é apresentado.
54
Figura 7.9 – Gráfico 21xx θθMAXTHF para pressão interna de 10 MPa
7.4 Tubo compósito x Tubo de aço
Os tubos compósitos obtidos no item (7.2) são comparados a tubos de aço
submetidos às mesmas condições de carregamento. Comparam-se valores das áreas da seção
transversal e os pesos por comprimento unitário dos projetos. Os projetos de tubos de aço são
obtidos via Algoritmos Genéticos considerando as variáveis de projeto continuas. Deve ser
notado que as únicas variáveis de projeto envolvidas na otimização dos tubos de aço são as
espessuras.
Observando as Tabela 7.6, Tabela 7.7 e Tabela 7.8, nota-se que as áreas dos tubos
compósitos são superiores às áreas dos tubos de aço. No entanto, por possuir uma maior
densidade, os tubos de aço apresentam um peso de três a quatro vezes maior.
Foram aplicados carregamentos de 15 MN/m a tubos de aço e compósitos. Os
tubos compósitos resistiram ao carregamento (Tabela 7.2). Já, os tubos de aço se mostraram
inviáveis pela violação do critério de Tsai-Hill. Tais fatos demonstram as altas resistências
proporcionadas pelos laminados quando carregados somente nas direções de suas fibras
(Figura 7.1).
55
Tabela 7.6 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à momento torçor de 1 MNm
SECA (m2) Peso (Kgf/m) w1
Compósito Aço Compósito Aço COMP
AÇO
WW
1,0 0,0146 0,0146 23,3440 113,8566 4,8773
0,8 0,0146 0,0146 23,3440 114,1452 4,8897
0,6 0,0194 0,0183 30,9600 143,0598 4,6208
0,4 0,0240 0,0239 38,3200 186,7554 4,8736
0,2 0,0264 0,0264 42,2240 205,8342 4,8748
0,0 0,0264 0,0264 42,2240 205,8342 4,8748
Tabela 7.7 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à pressão interna de 10 MPa
SECA (m2) Peso (Kgf/m) w1
Compósito Aço Compósito Aço COMP
AÇO
WW
1,0 0,0067 0,0051 10,6496 39,6006 3,7185
0,8 0,0078 0,0054 12,4144 41,8860 3,3740
0,6 0,0108 0,0075 17,2448 58,2426 3,3774
0,4 0,0142 0,0098 22,6704 76,5492 3,3766
0,2 0,0198 0,0137 31,6256 106,6806 3,3732
0,0 0,0264 0,0264 42,2224 205,8342 4,8750
Tabela 7.8 – Comparação entre tubos de aço e compósitos sujeitos à pressão externa de 5 MPa
SECA (m2) Peso (Kgf/m) w1
Compósito Aço Compósito Aço COMP
AÇO
WW
1,0 0,0156 0,0129 24,9760 100,8150 4,0365
0,8 0,0158 0,0129 25,2640 100,8150 3,9905
0,6 0,0162 0,0129 25,9360 100,8150 3,8871
0,4 0,0163 0,0129 26,0480 100,8150 3,8704
0,2 0,0178 0,0129 28,5120 100,8150 3,5359
0,0 0,0264 0,0264 42,2240 205,8342 4,8748
56
8 CONCLUSÕES
Uma metodologia simples para otimização de tubos de parede fina de material
compósito laminado simétrico sujeito aos casos de carga de pressão interna e externa, força
axial e torção é apresentada. A formulação multiobjetivo busca o mínimo da soma ponderada
entre o peso e um parâmetro associado à resistência. As variáveis de projeto são as
orientações das fibras e as espessuras das camadas que podem ser contínuas ou discretas. As
restrições dizem respeito à falha do laminado baseada no início da falha em qualquer camada
usando o critério de Tsai-Hill e ao colapso devido à flambagem local ocasionada pela pressão
externa
Aplicações são feitas para os casos de pressão interna, pressão externa, força axial
e momento torçor. Para pressão interna, obtêm-se ângulos longitudinais na direção do
carregamento. Para momento torçor, as fibras se põem nas direções de tração e compressão
máxima do laminado. Para pressão interna, os ângulos obtidos estão de acordo com a
literatura. Para pressão externa, as fibras se colocam na direção circunferencial tentando
combater a flambagem local.
Os algoritmos de Programação Matemática clássica e AG apresentam resultados
semelhantes, indicando que podem consideradas boas ferramentas para otimização de tubos
laminados. Os resultados obtidos adotando-se variáveis discretas apresentam resultados
próximos aos das variáveis continuas, indicando que a estratégia adotada para lidar com
variáveis discretas foi adequada nos casos analisados.
Para um melhor entendimento do comportamento da pressão de colapso e do
índice de falha, gráficos são desenhados. Soluções obtidas através de otimização são
analisadas com a ajuda dos gráficos. Assim, as plotagens servem como base para confirmar os
resultados obtidos via otimização.
Projetos de tubos de aço também são obtidos para comparação com material
compósito. Os resultados indicam que para a solicitação apresentada, o tubo compósito é da
ordem de no mínimo três vezes mais leve do que o aço.
Tratando-se de um problema multiobjetivo, diversas soluções são apresentadas e a
solução a ser implementada em cada caso depende do usuário que deve selecionar os pesos da
função ponderada de acordo com a importância que atribuir a cada função.
Para trabalhos futuros, tem-se o objetivo de considerar casos de carregamento
combinado. Almeja-se estender a formulação do modelo para um tubo na forma de catenária
57
(riser). Também será buscado acoplar a ferramenta de otimização com uma análise mais
precisa fazendo uso de Elementos Finitos.
58
REFERÊNCIAS
ADALI, S.; WALKER, M.; VERIJENKO, V.E. Multiobjective optimization of laminated plates for maximum prebuckling, buckling and postbuckling strength using continuous and discrete ply angles. Composite Structures, v. 35, p. 117-130, 1996. AKBULUT, M.; SONMES, F. O. Optimum design of composite laminates for minimum thickness. Computers and Structures, v. 86, p. 1974-1982, 2008. ALMEIDA, F. S.; AWRUCH, A. M. Design optimization of composite laminated structures using genetic algorithms and finite element analysis. Composite Structures, vol. 88, p. 443-454, 2009 ARORA, J. S. Introduction to Optimum Design. 2. ed. California: Elsevier, 2004 AZARAFZA, R.; KHALILI, S. M. R.; JAFARI, A. A.; DAVAR, A. Analysis and optimization of laminated composite circular cylindrical shell subject to compressive axial and transverse transient dynamics loads. Thin-Walled Structures, v. 47, p. 970-983, 2009 BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. 3. Ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996 BEYLE, A. I.; GUSTAFSON C. G.; KULAKOV, V. L.; TARNOPOL’SKII, Y. M. Composite risers for deep-water offshore technology: Problems and prospects. 1. Metal-Composite riser. Mechanics of Composite Materials, v. 33, n. 5, p. 577-591, 1997. CONN, A.R.; GOULD, N. I. M; TOINT, P. L. Globally Convergent Augmented Lagrangian Algorithm for Optimization with General Constraints and Simple Bounds. SIAM Journal on Numerical Analysis, v. 28, n. 2, p. 545–572, 1991. CONN, A.R.; GOULD, N. I. M; TOINT, P. L . A Globally Convergent Augmented Lagrangian Barrier Algorithm for Optimization with General Inequality Constraints and Simple Bounds. Mathematics of Computation, v. 66, n. 217, p. 261–288, 1997. COOK, R. D.; MALKUS, D. S.; PLESHA, M. E. Concepts and applications of finite element analysis. New York: John Wiley & Sons. 2001. DANIEL, I.; ISHAI, O. Engineering Mechanics of composite materials. 2. ed. Oxford University: 2005 DEKA, D. J.; SANDEEP, G.; CHAKRABORTY, D.; DUTTA, A. Multiobjective optimization of laminated composites using finite element method and genetic algorithm. Journal of reinforced plastics and composites, v. 24, p. 273, 2005. GAY, D.; HOA, S. V.; TSAI, S. W. Composite materials: Design and application. 4. ed. Florida: CRC Press, 2003. GHIASI, H.; PASINI, D.; LESSARD, L. Optimum stacking sequence of composite materials Part I: Constant stiffness design. Composite Structures, v. 90, p. 1-11, 2009.
59
GOLDBERG, D. E.. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. EUA: Addison-Wesley Professional, 1989. JONES, R. M. Mechanics of Composite Materials. EUA: Taylor & Francis, 1999. KAW, A. K. Mechanics of Composite Materials. 2. ed. Florida: Taylor & Francis Group, 2006. KICINGER, R.; ARCISZEWSKI, T.; JONG, D. K. Evolutionary computation and structural design: A survey of the state-of-art. Computers & Structures v. 83, p. 1943-1978, 2005. LEMANSKI, S. L.; HILL, G. F. J.; WEAVER, P. M. The relative merits of genetic algorithms in the optimization of laminated cylindrical shells. In: ASMO Conference On Engineering Design Optimization, 3, 2001 Harrogate. MARLER, R. T., ARORA, J. S. Survey of multi-objective optimization methods for engineering. Structural and Multidisciplinary Optimization , v. 26, p. 369-395, 2004. MENDONÇA, P. T. R., Materiais Compósitos e Estruturas Sanduíches: Projeto e Análise. 1. ed. Baueri: Manole Ltda, 2005. OCHOA, O. O.; SALAMA, M. M. Offshore composites: transition barriers to an enabling technology. Composites Science and Technology, v. 65, p. 2588-2596, Jul.., 2005. OCHOA, O. O. Composite riser experience and design guidance. Texas A&M University: Out., 2006. PARK, J. H.; HWANG, J. H.; LEE, C. S.; HWANG, W. Stacking sequence design of composite laminates for maximum strength using genetic algorithms. Composite Structures, v. 52, p. 217-231, 2001. PELLETIER, J. L.; VEL, S. S. Multi-objective optimization of fiber reinforced composite laminates for strength, stiffness and minimal mass. Computers & Structures, vol. 84, pp. 2065-2080, 2006. REDDY, J. N. Mechanics of Laminated Composite Plates: Theory and Analysis. 1. ed. CRC Press, 1996. SADIQ, M. S.; HABIB, Y. Iterative Computer Algorithms in Engineering: Solving Combinatorial Optimization Problems. IEEE Computer Society: 1999 SPALLINO, R.; RIZZO, S. Multi-objective optimization of laminated structures. Mechanics Research Communications, v. 29, p. 17-25, 2002. TOPAL, U. Multiobjective optimization of laminated composite cylindrical shells for maximum frequency and buckling load. Materials and design, v. 30, p. 2584-2594, 2009. VANDERPLAATS, G. N. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design. 1. ed. Colorado: Vanderplaats Research and Development, 1984.
60
WALKER, M.; HAMILTON, R. A technique for optimally designing fibre-reinforced laminated plates under in-plane loads for minimum weight with manufacturing uncertainties accounted for. Engineering with Computers, v. 21, p. 282-288, 2006. WALKER, M.; SMITH, R. A computational methodology to select the best materials combinations and optimally design composite sandwich panels for minimum cost. Computers & Structures, v. 80, p. 1457-1460, 2002. WALKER, M.; SMITH, R. E. A technique for the multiobjective optimization of laminated composite structures using genetic algorithms and finite element analysis. Composite Structures, v. 62, p. 123-128, 2003 WALKER, M.; REISS, T.; ADALI, S. Optimal design of symmetrically laminated plates for minimum deflection and weight. Composite Structures, v. 39, p. 337-346, 1997. WEINGARTEN, V. I.; SEIDE, P.; PETERSON, J. P. Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders. NASA SP 8007, Space Vehicle Design Criteria (Structures), 1968