Universidade do Estado do Rio de JaneiroCentro de Tecnologia e Ciências

Instituto de Física Armando Dias Tavares

Rafael de Vasconcellos Clarim

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutornemático

Rio de Janeiro2012

Rafael de Vasconcellos Clarim

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático

Dissertação apresentada como requisito parcialpara obtenção do título de Mestre, ao Programade Pós Graduação em Física, da Universidade doEstado do Rio de Janeiro.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci

Rio de Janeiro2012

CATALOGAÇÃO NA FONTEUERJ/REDE SIRIUS/CTC/D

C591 Clarim, Rafael de VasconcellosTeoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor

nemático / Rafael de Vasconcellos Clarim. - 2012.85f. : il.

Orientador: Daniel Gustavo Barci.Dissertação - Universidade do Estado do Rio de Janeiro,

Instituto de Física Armando Dias Tavares.

1. Supercondutividade - Teses.2. Transformações de fase(Física matemática) - Teses.3. Cristais líquidos - Teses. I. Barci,Daniel Gustavo. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro.Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título

CDU 537.31

Autorizo, apenas para fins acadêmicos ou científicos, a reprodução total ou parcial desta disser-tação, desde que citada a fonte.

Assinatura Data

Rafael de Vasconcellos Clarim

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático

Dissertação apresentada como requisito parcialpara obtenção do título de Mestre, ao Programade Pós Graduação em Física, da Universidade doEstado do Rio de Janeiro.

Aprovado em 03 de Abril de 2012.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Pedro Jorge Von Hanke PerlingeiroInstituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Mauro Melchiades DoriaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Dr. Daniel Lorenzo Reyes LópezInstituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Luca Roberto Augusto MoriconiUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro2012

DEDICATÓRIA

A meus pais,Hamilton de Jesus Clarim e

Rita de Cássia Jesus de Vasconcellose aos meus avós,

José Rangel e Ondina eWilson e Inês

AGRADECIMENTOS

À meus pais, Hamilton e Rita de Cássia, e à meus avós, Wilson, Inês, José Rangel e On-

dina, por terem me dado toda estrutura familiar essencial para meu desenvolvimento pessoal e

profissional.

À minha namorada, Jéssica Furtado, que sempre me apoiou e colaborou para que eu pudesse

alcançar os meus objetivos.

Ao meu orientador, Dr. Daniel Gustavo Barci, que me orientou de maneira excelente,

sempre com muita paciência para passar o conhecimento, dando total apoio para produção do

trabalho e também por toda a confiança que tem depositado em mim nos últimos anos.

À todos os meus amigos, próximos ou distantes, recentes ou antigos, pelo carinho e amizade

que foram muito importantes nesses últimos anos. Em especial gostaria de agradecer à Thiago

Gaddini, Bruno Cabral, Alan Michel Rangel, Jorge Ricardo (com sua brilhante teoria sobre

vetores), Gustavo Luiz, Paula Ribeiro, Bruno Alho, Gustavo Vicente, Leonardo Rodrigues e

aos diversos outros amigos que peço desculpas por não ter acrescentado o nome nesta lista.

Ao Instituto de física da UERJ e à todos os professores, antigos e recentes, pois sem eles

seria impossível alcançar o conhecimento que me permitiu desenvolver este trabalho.

À CAPES pelo apoio financeiro.

"Se quiser vir a ser alguém na vida, que devore os livros."

Don Ramon.

"Com a força da sua mente, seu instinto e, também com sua experiência você pode voar alto."

Ayrton Senna.

"Se você quer fazer do mundo um lugar melhor, olhe para si mesmo e faça uma mudança."

Michael Jackson.

"Enquanto tiverem os livros nas mãos serão pessoas honradas, serão gente de bem. Em outras

palavras, serão como eu..."

Rubén Aguirre.

RESUMO

CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Teoria de Landau-Ginzburg para o estadosupercondutor nemático. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) - In-stituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio deJaneiro, Rio de Janeiro, 2012.

O objetivo geral deste projeto é propor um modelo bidimensional que de-screva o novo estado supercondutor, que apresenta simetria de cristal líquido,chamado de supercondutor nemático. O estudo começa com uma introduçãosobre a teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase, onde são discuti-dos conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de fase,que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto. Em seguida, é feitauma discussão sobre as principais características dos supercondutores como aresistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, osurgimento de vórtices e uma análise sobre a teoria de Landau-Ginzburg paratransição de fase metal-supercondutor. Após isto, é feita uma abordagem so-bre os principais tipos de cristais líquidos, com destaque ao cristal líquidonemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg para transição defase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações nocristal líquido nemático em duas dimensões. Por fim, é apresentado o modeloproposto para descrever o estado supercondutor nemático, com a construção dateoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e os defeitostopológicos presentes nesse estado.

Palavras-chave: Supercondutividade. Transformações de fase (Física matemática). Cristaislíquidos.

ABSTRACT

CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Landau-Ginzburg theory for the nematic su-perconductor state. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto deFísica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Riode Janeiro, 2012.

The objective of this project is to propose a two-dimensional model that de-scribes the new superconducting state, which has liquid crystal symmetry, callednematic superconductor. The study begins with an introduction to the Ginzburg-Landau theory of phase transitions, which are discussed concepts such as orderparameter and the orders of phase transitions, which are essential for the de-velopment of this project. Then, there is a discussion of the main characteris-tics of superconductors such as zero resistance, the Meissner effect-Ochsenfeld,the types of superconductors, the appearance of vortex and an analysis of theLandau-Ginzburg theory to metal superconductor phase transition. After this,an approach is made on the main types of liquid crystals, especially the ne-matic liquid crystal, which is developed Ginzburg-Landau theory for nematic-isotropic phase transition and a study about the disclinations in the two dimen-sional nematic liquid crystal. Finally, the proposed model is presented to de-scribe the nematic superconductor state, with the construction of the Ginzburg-Landau theory, the study of coupling between the phases and the topologicaldefects present in this state.

Keywords: Superconductivity. Phase transformations (Statistical physics). Liquid crystals.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Transição de fase de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 2 - Transição de fase de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 3 - Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura . . . . . . 28

Figura 4 - Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 5 - Diamagnetismo Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 6 - Supercondutor tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 7 - Supercondutor tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 8 - Diagrama H x T dos supercondutores tipo I e tipo II . . . . . . . . . . . 33

Figura 9 - Densidade energia livre, fs − fn, em função de ψ . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 10 - Anel supercondutor com campo magnético aplicado . . . . . . . . . . . 46

Figura 11 - Ângulo α entre o vetor diretor e o eixo maior da molécula em um cristal

líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 12 - Moléculas de um Cristal Líquido Nemático . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 13 - Moléculas de um Cristal Líquido Colestérico . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 14 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético A . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 15 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético B . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 16 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético C . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 17 - Configuração das moléculas de um material através da variação da tem-

peratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 18 - Energia Livre de Landau para um cristal líquido nemático em três dimen-

sões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 19 - Energia Livre de Landau-Ginzburg para um cristal líquido nemático em

duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 20 - Processo de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 21 - Diagrama de Fase a partir do acoplamento algébrico . . . . . . . . . . . 68

Figura 22 - J · n = 0 em todos os pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 23 - Vórtice e Disclinação separados por uma distância R . . . . . . . . . . . 76

Figura 24 - Diagrama de Fase para a aproximação de London . . . . . . . . . . . . 77

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 TRANSIÇÕES DE FASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Teoria de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Procedimentos para a construção da teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Relação com a Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Transição de fase de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Transição de fase de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 SUPERCONDUTIVIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1 Modelo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Resistividade e Condutividade elétrica nos metais . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Características dos Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Resistência Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3 Diamagnetismo Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Supercondutores: Tipo I e Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Supercondutores Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2 Supercondutores Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Equação de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Pares de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Vórtice de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7 Teoria de Landau-Ginzburg para a Supercondutividade . . . . . . . . . . . . 38

2.7.1 Descrição da Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7.2 Sistemas Não-Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7.3 Superfície dos Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7.4 Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.5 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.6 Quantização do Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1 Cristais Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1 Tipos de Cristais Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1.1 Cristais Líquidos Nemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1.2 Cristais Líquidos Colestéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1.3 Cristais Líquidos Esméticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Teoria de Landau-Ginzburg para os Cristais Líquidos Nemáticos . . . . . . 52

3.2.1 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 3 Dimensões . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 2 Dimensões . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2.1 Teoria de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2.2 Disclinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 O ESTADO SUPERCONDUTOR NEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Supercondutores High Tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 O Estado Supercondutor Modulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático . . . . . 69

4.3.1 Aproximação de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12

INTRODUÇÃO

A primeira teoria bem sucedida sobre transições de fase foi introduzida por van der Waals

antes do surgimento da Mecânica Estatística [1]. Esta teoria trazia um pensamento inédito de

que um único tipo de interação entre moléculas poderia descrever distintas fases termodinâmi-

cas. Nas teorias e os modelos atuais que descrevem as transições de fase e os fenômenos críticos

têm como base a Mecânica Estatística, mas incorporam a idéia de van der Waals.

A Mecânica Estatística foi sistematizada por Gibbs. De acordo com a teoria de Gibbs, as

propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico a uma determinada temperatura po-

dem ser obtidas a partir da distribuição canônica de probabilidades que está relacionada com a

hamiltoniana que descreve o sistema. As propriedades termodinâmicas em questão são determi-

nadas a partir da energia livre, que é proporcional à função de partição. Uma transição de fase

ou um ponto crítico manifesta-se como uma singularidade na energia livre a qual é observada

quando se toma o limite termodinâmico. O cálculo da energia livre do modelo de Ising por

Onsager mostrou explicitamente essa propriedade pela primeira vez.

Antes de Onsager as transições de fase haviam sido estudadas do ponto de vista teórico

em teorias aproximadas como a teoria de Weiss para o ferromagnetismo, a teoria de Bragg-

Williams para a transição ordem-desordem em ligas metálicas e a teoria de van der Waals para

a transição líquido-vapor. Essas teorias clássicas ou de campo médio podem ser vistas de forma

unificada através da teoria de Landau.

Uma transição de fase que podemos destacar nas pesquisas em Física da matéria conden-

sada é a transição de fase metal-supercondutor. Os Metais ocupam uma posição muito especial

no estudo dos sólidos, apresentando uma impressionante variedade de propriedades que outros

sólidos não possuem [2]. Eles são excelentes condutores de calor, de eletricidade, entre outras

propriedades interessantes. O desafio da inclusão desses recursos dos metais deu o impulso

inicial para a teoria moderna dos sólidos.

No ano de 1911, houve um grande acontecimento no estudo da condução em metais. H.

13

Kamerlingh Onnes observou que a resistividade do mercúrio, abaixo da temperatura de 4,15 K,

caia para zero. Este foi o início dos Estudos dos Supercondutores.

Em 1950, Landau e Ginzburg propuseram uma Teoria para o estudo da transição de fase

metal-supercondutor. A Teoria de Landau-Ginzburg é uma teoria que não explica os mecânis-

mos microscópicos que dão origem a supercondutividade. Em vez disso, a teoria analisa as

propriedades macroscópicas de um supercondutor com o auxílio de termodinâmica. Inicial-

mente esta teoria era introduzida como uma teoria fenomenológica, mas Gor´kov mostrou que

era possível obter esta teoria através da teoria microscópica de Bardeen Cooper e Schrieffer

(BCS) no limite adequado.

Outro tipo de material que ocupa uma posição importante nos estudos das transições de

fase são os cristais líquidos [3]. A descoberta do primeiro cristal líquido foi devido ao estudo

do botânico austríaco Friedrich Reinitzer, em 1888. Ao realizar sua pesquisa no estudo da

função do colesterol nas plantas, ele observou a existência de dois pontos de fusão em um éster.

Aumentando a temperatura do sistema, ele percebeu que o composto variava do estado cristalino

para um líquido opaco e, aumentando novamente a temperatura, o líquido opaco tornava-se um

líquido transparente.

Após realizar essas observações, Reinitzer enviou algumas amostras a Otto Lehmann, físico

alemão, que as estudou com um microscópio equipado com um polarizador e um controlador

de temperatura. Lehmann verificou que a fase em que o líquido era opaco, a substância era um

líquido homogêneo, mas, que o seu comportamento na presença de uma luz polarizada era igual

ao comportamento de um cristal. Esta é a origem da denominação Cristal Líquido.

Impulsionado por essa descoberta muitos estudos foram realizados. Entre esses estudos

destacamos: Daniel Vorlander, com o seu trabalho que mostrou a tendência das moléculas

lineares em formarem fases líquido-cristalinas; Georges Friedel, que em 1922 publicou um

trabalho descrevendo as 3 fases do cristal líquido: nemático, esmético e colestérico, expli-

cando a razão pela existência de variações da orientação das moléculas e concluiu que para o

caso de cristais líquidos esméticos existia uma estrutura de camadas; Carl Oseen e F.C. Frank

realizaram, entre 1920 e 1958, um estudo teórico denominado como "Teoria Contínua"que

descreve as propriedades elásticas nos cristais líquidos; V. Tsevtkov introduz o parâmetro de

14

ordem em 1942; Glenn Brown, químico norte-americano, publicou um trabalho de revisão so-

breas fases líquido-cristalinas em 1957; Wilhelm Maier e Alfred Saupe, dois físicos alemães,

em 1961 formularam pela primeira vez uma teoria microscópica que relaciona as características

moleculares com as fases líquido-cristalinas.

As pesquisas de transições de fase em sistemas de matéria condensada ainda estão em pleno

desenvolvimento. Recentemente foi observado em alguns materiais supercondutores de alta

temperatura um novo estado supercondutor [4], [5], [6], [7], que apresenta simetria de cristal

líquido nemático, algo que até então não havia sido observado e, consequentemente, ainda não

possui uma teoria completa para descrever esse estado. Este trabalho propõe um modelo que

visa estudar as principais características desse novo estado supercondutor através da teoria de

Landau-Ginzburg para as transições de fase.

A presente dissertação é estruturada da seguinte forma:

• Capítulo 1: Refere-se a construção da teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase,

onde são discutidos conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de

fase, que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto.

• Capítulo 2: São apresentadas as principais características dos supercondutores como a

resistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, o surgimento

de vórtices e a teoria de Landau-Ginzburg para transição de fase metal-supercondutor.

• Capítulo 3: É feita uma abordagem sobre os principais tipos de cristais líquidos, com

destaque ao cristal líquido nemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg

para transição de fase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações

no cristal líquido nemático em duas dimensões.

• Capítulo 4: É proposto um modelo para descrever o estado supercondutor nemático, com

a construção da teoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e a

análise dos defeitos topológicos presentes nesse estado.

15

1 TRANSIÇÕES DE FASE

Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos que serão abordados nessa disser-

tação. Inicialmente descreveremos o conceito de energia livre e de parâmetro de ordem, que

servirão como base para o estudo principal deste trabalho: a teoria de Landau-Ginzburg para as

transições de fase.

1.1 Introdução

As transições de fase são muito comuns na natureza [8]. Essas transições ocorrem quando

o estado de equilíbrio de um sistema sofre um alteração em suas condições de simetria devido

a variação dos parâmetros externos do mesmo, como por exemplo temperatura, pressão, campo

magnético. Compreender e descrever a existência dessas transições, bem como seu caráter e

consequências para fenômenos cotidianos, é um dos papeis mais importante do estudo da física

matéria condensada e da física estatística.

Para descrever um sistema, de um ponto de vista microscópico, temos que analisar o Hamil-

toniano do mesmo. O Hamiltoniano apresenta invariância sobre determinadas operações de

simetrias, que nos permite tirar importantes conclusões sobre a estrutura e o comportamento

em determinadas condições. Em geral, se o sistema estiver sob alta temperatura ou diluído, o

sistema está em uma fase desordenada na qual é invariante frente a operações do mesmo grupo

de invariância do Hamiltoniano. Quando ocorre uma transição de fase, alguma invariância é

quebrada. As quantidades que não permanecem invariantes através de uma transição de fases

são chamadas de parâmetros de ordem.

Vamos agora analisar as transições de fase do ponto de vista da Física Estatística.

1.1.1 Física Estatística

Uma das aplicações da Física Estatística (além de nos ajudar a entender a natureza) é

calcular propriedades fundamentais da natureza, incluindo as transições de fase. Através dos

16

estudos de Boltzmann podemos definir uma quantidade chamada de Função de Partição. Esta

quantidade codifica as propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico. Ela é uma

função de parâmetros como a temperatura e, a maioria das variáveis termodinâmicas do sistema,

como por exemplo a energia livre, entropia e pressão, podem ser obtidas em termos da função

partição e de suas derivadas. A sua expressão matemática é dada por:

Z =∑γ

e−H[γ]/κBT =∑γ

e−H[γ]β (1.1)

Onde γ se refere a todos os microestados do sistema ( como por exemplo todas as configurações

possíveis dos spins em um material magnético), β é igual a 1/κBT e H[γ] é a Hamiltoniana.

Boltzmann mostrou também que a energia livre de Helmholtz é dada por:

F = −1β

ln(Z) (1.2)

Obtendo a expressão da energia livre, podemos obter também quantidades termodinâmicas

importantes, como por exemplo a entropia, através de suas derivadas em relação a determinados

parâmetros do sistema.

Com base no que discutimos até agora e no que veremos no decorrer desse estudo, podemos

dizer que a energia livre F(T) é, matematicamente, uma função não analítica da temperatura.

Uma função não analítica é aquela que apresenta derivadas não definidas em certos pontos ou

singularidades. Quando aparecem esses pontos que apresentam singularidades nas derivadas,

dizemos que ocorreu uma transição de fase.

É interessante tentar e entender como obter o comportamente não analítico fora de uma

soma de exponências, cada qual separado analíticamente em uma temperatura finita qualquer:

F = −κBTln[∑

γ

e−H[γ]/κBT

](1.3)

A existência de singularidades em F é um resultado direto da existência do limite termod-

inâmico, ou seja, a presença de um número essencialmente infinito de graus de liberdade em

um sistema termodinâmico.

17

Podemos pensar que a energia livre possa apresentar uma descontinuidade na sua primeira

derivada ou nas derivadas de ordem superior. Definimos então que, quando a primeira derivada

é descontínua, trata-se de uma transição de fase de primeira ordem. No caso da segunda

derivada ser descontínua, trata-se de uma transição de fase de segunda ordem. Esses dois

casos serão estudados com mais detalhes na sessão seguinte, no qual definiremos a teoria de

Landau para as transições de fase.

1.2 Teoria de Landau

A partir da teoria das funções analíticas estamos familiarizados com o fato de que uma

quantidade surpreendente de informação está contida em singularidades. Então, se podemos de

alguma forma vir a nos deparar com uma singularidade na energia livre, então pode-se elaborar

uma teoria para tornar possível a compreensão da física das transições de fase. Este é o objetivo

da Teoria de Landau.

Landau fez uma série de pressupostos para a energia livre aproximada de um sistema, de tal

forma que a energia livre exibe a não analiticidade de uma transição de fase e nos fornece grande

parte da física envolvida neste processo. Existem essencialmente quatro etapas neste proced-

imento: vamos estudar esses primeiros passos, e depois explorá-los novamente em termos da

função de partição.

1.2.1 Procedimentos para a construção da teoria

Inicialmente temos que definir um parâmetro de ordem ψ para o sistema. Como já haviamos

falado anteriormente, esta quantidade deve ser zero na fase desordenada (acima da temperatura

crítica Tc) e diferente de zero da fase ordenada (abaixo da temperatura crítica Tc). Feito isso,

assumimos um funcional da energia livre, cujo a energia livre é determinada minimizando o

funcional:

F = F0(T ) + FL(T, ψ) (1.4)

Onde F0(T) é uma função analítica da temperatura e FL(T, ψ) contém toda a informação sobre

a dependência do parâmetro de ordem ψ.

18

O funcional de Landau é assumido como sendo uma função analítica de ψ, que obedece to-

das as simetrias possíveis associadas com ψ, o que geralmente inclui a invariância de translação

e rotação. Na fase desordenada, assumimos que ψ seja igual a zero. Então, perto da transição de

fase, é esperado que ψ seja pequeno, ou seja, podemos construir o funcional de Landau através

de uma expansão polinomial do parâmetro de ordem (essa expansão só é válida quando ψ pe-

queno). Assumimos também que toda dependência não trivial da temperatura no funcional de

Landau está presente no termo de menor ordem da expansão polinomial de FL(T, ψ), que tem a

forma:

FL(T, ψ) =

∫dV

[12

a0(T − Tc)ψ2 + ...

](1.5)

Onde a0 é uma constante. Desde que FL(T, ψ) seja construído como uma expansão, haverão

outras constantes desonhecidas. Em um sistema físico, essas constantes têm dependência da

temperatura, mas, em geral, elas tem efeito desprezível perto da transição de fase.

Após a construção do funcional de Landau e minimizando-o como uma função da temper-

atura, a natureza da transição de fase pode ser determinada. O sistema neste nível é especificado

como tendo um estado uniforme ou um estado médio. Por isso a teoria de Landau é dita uma

teoria de campo médio.

1.2.2 Relação com a Física Estatística

Pela equação (1.3) podemos obter a relação:

e−F/κBT =∑γ

e−H[γ]/κBT (1.6)

Relacionando (1.6) com (1.4) temos que:

e−F/κBT ' e−F0/κBT∫

Dψe−FL[T,ψ]/κBT (1.7)

Onde a integral∫

Dψ é uma integral funcional em todos os graus de liberdade associados com

19

ψ, ao invés da integral sob todos os microestados. Calculando esta integral, obtemos a relação:

F = E − TS (1.8)

Onde E representa a energia interna do sistema, T a temperatura e S a entropia. A entropia é

dada por:

S = κBln[g(ψ)] (1.9)

Onde g(ψ) representa a degenerescência de ψ, ou seja, o número de microestados acessíveis do

sistema. Expandindo a energia livre temos:

F ' E0 − E∗ψ2 + ... − T [S 0 − aψ2 + ...] = F0 + a(T −E∗a

)ψ2 + ... (1.10)

Onde a é uma constante. Identificamos a dependência da temperatura no termo quadrático

da expansão. Veremos na próxima sessão que E∗a assumirá o papel de uma temperatura do

sistema em que, nos exemplos que serão apresentados, esta temperatura será a temperatura

crítica para a transição de fase de segunda ordem.

1.2.3 Transição de fase de primeira ordem

Vamos supor uma energia livre do tipo:

F = F0 +12

a(T − T0)ψ2 −14

bψ4 +16

cψ6 (1.11)

Onde T0 é uma temperatura diferente da temperatura crítica. Calculando os mínimos para essa

energia livre fazemos a primeira derivada igual a zero:

∂F∂ψ

= a(T − T0)ψ − bψ3 + cψ5 = 0 (1.12)

Com isso obtemos os valores:

ψ = 0, ψ2 =b ±

√b2 − 4ca(T − T0)

2c(1.13)

20

Para definir a temperatura crítica fazemos T = Tc. Com isso temos:

F − F0 =12

a(Tc − T0) −12

bψ2 +13

cψ4 = 0 (1.14)

Calculando a derivada primeira obtemos:

ψ2 =3b4c

(1.15)

Substituindo (1.15) em (1.14):

a(Tc − T0) − b3b4c

+ c(3b4c

)2

= 0 (1.16)

Ou seja, Tc é dado por:

Tc = T0 +3b2

16ac(1.17)

Comparando (1.11) com (1.8), identificamos a Entropia como sendo:

S =∂F∂T

= −12

aψ2 = −12

a(3b4c

)= −a

3b8c

(1.18)

Podemos identificar também a existência de um Calor Latente L, em T = Tc, que tem a

forma:

L = Tc12

aψ2 = Tca3b8c

= −TcS (1.19)

A existência do calor latente em uma transição de fase é caracterizada por uma descon-

tinuidade na primeira derivada da energia livre quando T = Tc, o que nos leva a concluir que

esta energia livre corresponde a uma transição de fase de primeira ordem..

Um gráfico típico de uma transição de fase de primeira ordem [9] é apresentado na figura

1. Nesta figura vemos que para T > Tc existe um mínimo estável em ψ = 0, porém existem

também dois mínimos metaestáveis. Os estados metaestáveis correspondem a qualquer estado

do sistema diferente do estado de equilíbrio mais estável, que tenham consigo associado uma

restrição que impeça a transição imediata deste para o estado mais estável sem alguma pertur-

bação significativa de origem geralmente externa ao sistema. Quando T = Tc, vemos que a

21

energia livre apresenta 3 mínimos estáveis, sendo um deles em ψ = 0. Para T < Tc, temos que

em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto de máximo

e o sistema apresenta dos mínimos estáveis.

Figura 1: Transição de fase de primeira ordem

Está associado a transição de fase de primeira ordem um fenômeno chamado de Histerese

[10]. Basicamente, podemos definir a histerese como sendo a situação na qual o sistema fica

"preso"em um mínimo local de energia do sistema e, em consequência disto, não consegue al-

cançar o equilíbrio termodinâmico. Ainda não existe formalmente um tratamento da histerese

baseado na metaestabilidade e na termodinâmica fora do equilíbrio. Portanto, para fazer esse es-

tudo devemos utilizar aproximações, como por exemplo a histerese independente do passo, que

consiste basicamente em uma aproximação a temperatura zero, onde o sistema fica indefinida-

mente em qualquer mínimo local que ele possa ocupar inicialmente, a histerese dependente

do passo, onde algum mecanismo dissipativo limita a resposta do sistema a ações externas e

a relaxação térmica, pelo qual o sistema se aproxima do equilíbrio termodinâmico auxiliado

pelas relaxações térmicas. Em Física, a histerese é encontrada no ferromagnetismo, ferroeletri-

cidade, supercondutividade, absorção e recentemente foi estudada em materiais com memória

de forma.

22

1.2.4 Transição de fase de segunda ordem

Vamos supor agora que temos uma energia livre da forma:

F = F0 +12

a(T − Tc)ψ2 +14

bψ4 (1.20)

Onde vamos assumir que a e b são constantes independentes da temperatura. Calculando os

pontos de mínimo:∂F∂ψ

= a(T − Tc)ψ + bψ3 = 0 (1.21)

Com isso obtemos os valores:

ψ = 0, ψ2 =a(Tc − T )

b(1.22)

Comparando (1.20) e (1.8) vemos que a entropia é dada por:

S = −12

aψ2 = −12

a2 (Tc − T )b

(1.23)

Deste resultado podemos obter a expressão do calor específico:

C =∂2F∂T 2 = T

∂S∂T

=

0, se T > Tc

a2

2bT, se T < Tc

(1.24)

O Calor específico apresenta uma descontinuidade finita, um salto na temperatura crítica, o

que nos mostra que essa energia livre corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.

23

Um gráfico típico de uma transição de fase de segunda ordem [9] é apresentado na figura

2. Nesta figura vemos que para T > Tc existe um mínimo estável em ψ = 0. Quando T = Tc,

vemos que a energia livre continua apresentando um mínimo estável em ψ = 0. Para T < Tc,

temos que em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto

de máximo e o sistema apresenta dos mínimos estáveis, semelhante ao que ocorre na transição

de fase de primeira ordem.

Figura 2: Transição de fase de segunda ordem

24

2 SUPERCONDUTIVIDADE

Nesse capítulo apresentaremos inicialmente uma breve descrição do modelo de Drude para

a condução em metais, que consiste em uma analogia com a teoria cinética dos gases, con-

siderando o metal como sendo um gás de elétrons. Feito isso, descreveremos as principais car-

acterísticas da supercondutividade: o efeito Meissner-Ochsenfeld e a resistência zero, através

de um modelo teórico simples, a equação de London, e as consequências desta equação, como

a existência de vórtices nos supercondutores e a diferença entre os supercondutores tipo I e tipo

II. Por fim, uma discussão sobre a transição de fase metal supercondutor através da teoria de

Landau-Ginzburg, com aplicações em sistemas uniformes, sistemas não-homogêneos, sistemas

na presença do campo magnético, no estudo da superfície dos supercondutores e na quebra

espontânea de simetria.

2.1 Modelo de Drude

Em 1897, J.J. Thomson descobriu o Elétron. [11] Esta descoberta teve um vasto e imediato

impacto nas teorias da estrutura da matéria e definiu o mecanismo de condução nos metais.

Aproximadamente 3 anos depois da descoberta de Thomson, Drude construiu uma teoria para

condução térmica e elétrica aplicando a Teoria Cinética para um metal, considerando-o como

um gás de elétrons.

A teoria cinética dos gases fornece informações sobre as grandezas macroscópicas do gás,

descrevendo-o como um grande número de moléculas em movimento caótico, que colidem

elasticamente entre si. Entre as colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e

cada colisão tem duração desprezível. Podemos supor que as forças aplicadas estão distribuídas

em todas as direções, ou seja, se cancelam globalmente, sendo nula a sua resultante. Drude

adaptou essa teoria para desenvolver um modelo para a condutividade em metais e com isso foi

capaz de descrever e prever uma série de propriedades desses materiais.

Os életrons possuem carga elétrica negativa. Com base nisso, Drude assumiu que a com-

25

pensação das cargas positivas nos metais, afim de garantir a neutralidade elétrica do material,

estaria ligada à partículas muito pesadas que são consideradas imóveis.

Fazendo uma comparação com o que conhecemos hoje sobre a estrutura da matéria, pode-

mos dizer que os elétrons do gás proposto por Drude são os elétrons que se localizam na ca-

mada de condução dos átomos, e as partículas pesadas e imóveis de carga positiva são os íons

metálicos, compostos por núcleos atômicos e elétrons fortemente ligados a eles, que chamamos

de elétrons do núcleo. Quando esses átomos isolados estão condensados formando um metal,

os életrons do núcleo continuam ligados ao núcleo formando o íon metálico, mas os elétrons

de valência podem deslocar-se para muito longe do átomo de origem. Nesse contexto, isto é

chamado de Condução Elétrica.

De maneira resumida, as hipóteses do modelo são:

• Na ausência de campos eletromagnéticos externos, os elétrons movem-se em movimento

retilíneo uniforme. Quando existe um campo externo atuando, o elétron move-se de

acordo com as Leis de Newton, livre de qualquer influência de íons ou de outros elétrons.

• As colisões de elétrons com os íons no modelo de Drude, como na Teoria Cinética, são

eventos instantâneos que alteram a velocidade do elétron.

• Um elétron escolhido aleatoriamente, em média, pode deslocar-se por um tempo τ, que é

chamado de tempo livre médio ou tempo de relaxamento, antes da sua próxima colisão.

• Os elétrons alcançam o equilíbrio térmico com o meio somente através das colisões e

quanto maior for a temperatura onde ocorre a colisão, mais rápido um elétron emerge

dessa colisão.

2.1.1 Resistividade e Condutividade elétrica nos metais

A resistividade ρ é definida como sendo a constante de proporcionalidade entre o campo

elétrico E em um ponto no metal e a densidade de corrente que é induzida neste metal. Ou seja:

E = ρ j (2.1)

26

A densidade de corrente j é um vetor, paralelo ao fluxo de cargas, cuja magnitude é a quantidade

de cargas por unidade de tempo que circula por uma área perpendicular ao fluxo.

Supondo que n elétrons por unidade de volume V movem-se em um metal com velocidade

v. O número total de elétrons que atravessam uma seção transversal de área A, em um intervalo

de tempo dt, é:

N = nV = n(vdt)A (2.2)

Como cada elétron possui carga −e, a densidade de corrente pode ser escrita como:

j = −eNAdt

= −env (2.3)

De acordo com a primeira hipótese do modelo vemos que a velocidade dos elétrons após uma

colisão, na presença de um campo externo, pode ser escrita em função da aceleração imposta

por este campo, ou seja:

− eE = mdvdt−→ v = −

eEtm−→ v = −

eEτm

(2.4)

Onde substituímos t por τ pois o tempo em questão é o tempo livre médio. Se aplicarmos a

equação (2.4) em (2.3) obtemos:

j =ne2τ

mE (2.5)

Este resultado é usualmente representado em termos do inverso da resistividade, que chamamos

de Condutividade, e representamos por σ:

σ =ne2τ

m(2.6)

Isto estabelece a dependência linear de j em E e dá uma estimativa da condutividade em termos

de quantidades conhecidas, exceto para o tempo de relaxamento. Logo, podemos escrever a

resistividade como:

ρ =m

ne2τ−1 (2.7)

Onde a resistividade é proporcional a τ−1 que chamamos de frequência de espalhamento.

27

Em um metal típico existem 3 tipos de espalhamentos: espalhamento por impurezas τ−1imp,

por interação elétron-elétron τ−1el−el e pelas colisões elétron-fônon τ−1

el− f . Como eles são processos

independentes, então a taxa de espalhamento total deve ter a forma:

τ−1 = τ−1imp + τ−1

el−el + τ−1el− f (2.8)

Onde τ−1imp não depende da temperatura, τ−1

el−el é proporcional ao quadrado da temperatura, T 2,

e τ−1el− f é proporcional a T 5. Portanto, podemos representar a resistividade um metal á baixas

temperaturas, através de:

ρ = ρ0 + aT 2 + ... (2.9)

Onde, de acordo com essa equação, a resistividade a temperatura zero, ρ0, dependeria ape-

nas da concentração de impurezas no material. Contudo, para alguns metais observou-se algo

completamente diferente. Após resfriarmos o metal, a resistividade inicialmente seguia um

comportamento simples, como descrito em (2.9). Mas, em um determinado momento, ela de-

saparece totalmente, como pode ser observado na figura 3. A temperatura onde a resistividade

desaparece é chamada de temperatura crítica, que usaremos a notação Tc. Abaixo dessa temper-

atura a resistividade não é apenas pequena, mas é exatamente zero. Esse fenômeno é conhecido

como Supercondutividade.

28

Figura 3: Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura

2.2 Características dos Supercondutores

O fenômeno da supercondutividade foi um completa surpresa e, ainda hoje, se apresenta

como uma das grandes fronteiras para o conhecimento científico. A teoria de Bardeen, Cooper

e Schrieffer fornece uma explicação microscópica para esse fenômeno, porém ela só é aplicável

a supercondutores de baixas temperaturas.

Nesta sessão, vamos expor as principais características dos supercondutores[2] [13] [12]

[14], independente de qualquer modelo proposto para estudá-los.

2.2.1 Resistência Zero

Como havíamos citado anteriormente, em um supercondutor a resistividade ρ é zero e a

condutividadeσ é infinita para temperaturas abaixo de Tc. Outra característica do supercondutor

é que para ser consistente com a equação (2.5), temos que o campo elétrico dever ser nulo, E=0,

ou seja, há circulação de corrente sem a presença do campo elétrico.

A resistência nula no supercondutor é representada por uma transição de fase termod-

inâmica, como um líquido passando para o estado gasoso, por exemplo. As propriedades de

cada fase são completamente diferentes. Aqui nós temos duas fases diferentes denominadas

“estado normal”, para temperaturas acima da temperatura crítica, e “estado supercondutor”,

para temperaturas abaixo da temperatura crítica. No estado normal, a resistividade e as out-

ras propriedades se comportam como um metal normal, enquanto que no estado supercondutor

29

várias propriedades físicas são diferentes, incluindo a resistividade.

Um grande obstáculo que encontramos é ter a noção precisa para distinguir uma resistência

muito pequena de uma resistência nula. Este problema ocorre pois geralmente, quando med-

imos uma resistência de uma amostra supercondutora, o multímetro também apresenta uma

resistência nos fios de medição, o que nos dá uma resposta de uma resistência muito pequena,

mas diferente de zero. Uma boa técnica para saber distinguir entre uma resistência muito pe-

quena e uma resistência nula é a observação da existência de uma corrente chamada Corrente

Persistente. Se aplicarmos uma corrente I circulando em um anel feito por um fio supercon-

dutor, por exemplo, a energia armazenada no campo magnético do anel permanecerá constante

e, como não há resistência, esta corrente irá circular sem perda alguma. Se houver alguma re-

sistência no anel, ocorrerá uma dissipação de energia, consequentemente a corrente I irá decair

com o tempo.

2.2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld

Ao observar amostras supercondutoras de Estanho submetidas a um campo magnético ex-

terno, Walther Meissner e seu assitente, Robert Ochsenfeld, descobriram, em 1933, a prova fun-

damental que caracteriza um material ser supercondutor, o chamado Efeito Meissner-Ochsenfeld.

Esse efeito consiste na expulsão do campo magnético do interior do supercondutor e é

descrito pela equação de Maxwell:

∇ × E = −∂B∂t

(2.10)

Com o fato do campo elétrico ser nulo, E=0, no supercondutor, temos que:

∂B∂t

= 0 (2.11)

Em todos os pontos do supercondutor, ou seja, ao aplicarmos um campo magnético em um

supercondutor, este campo não consegue penetrar no seu interior, como é visualizado na figura

4.

Existem muitas razões para que a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld seja a principal

prova da supercondutividade. A razão mais fundamental é que o efeito Meissner-Ochsenfeld

30

Figura 4: Efeito Meissner-Ochsenfeld

é uma propriedade do equilíbrio térmico, enquanto a resistividade é um efeito de transporte

que não está em equilíbrio. Chegamos ao mesmo estado final do sistema se nós, inicialmente,

resfriamos o material até a temperatura crítica e depois aplicamos o campo, ou o inverso. Por-

tanto, o estado final do sistema não depende do estado inicial da amostra, que é uma condição

necessária para o equilíbrio térmico.

2.2.3 Diamagnetismo Perfeito

Para manter o campo magnético nulo dentro do supercondutor, como foi definido pelo

efeito Meissner-Ochsenfeld, deve existir uma corrente de blindagem circulando na borda do

supercondutor. Isto produz um campo magnético igual em módulo, mas oposto ao campo mag-

nético externo aplicado no supercondutor, ou seja, o campo magnético resultante é zero.

Para descrever as correntes de blindagem, basta usar as equações de Maxwell e analisar as

densidades de corrente de blindagem. A densidade total de corrente é separada em 2 partes: a

parte externa e a parte interna, ou seja:

j = jext + jint (2.12)

As correntes de blindagem geram uma magnetização por unidade de volume, M, no super-

condutor, que é definida por:

∇ × M = jint (2.13)

31

Definindo o campo magnético H em termos da densidade de corrente externa, temos:

∇ × H = jext (2.14)

Os vetores M, H e B são relacionados por:

B = µ0(H + M) (2.15)

Impondo a condição de Meissner-Ochsenfeld, B=0, na equação (2.15), obtemos:

M = −H (2.16)

A susceptibilidade Magnética é definida, em um aspecto de resposta linear, por:

χ =dMdH

∣∣∣∣H=0

(2.17)

Assim, temos que para os supercondutores, χ = -1. O gráfico do comportamento da suscepti-

bilidade magnética é apresentado na figura 5.

Materiais com valores negativos de χ são chamados de Diamagnéticos (quando χ é positivo

o material pode ser chamado de paramagnético ou ferromagnético). Os diamagnéticos blindam

parte do campo magnético externo, e se magnetizam em oposição ao campo magnético externo.

Nos supercondutores o campo magnético externo é totalmente blindado. Por isso podemos dizer

que os supercondutores são Diamagnéticos Perfeitos.

Figura 5: Diamagnetismo Perfeito

32

2.3 Supercondutores: Tipo I e Tipo II

A susceptibilidade χ é definida no limite de campos magnéticos fracos. A medida que o

campo fica mais forte, podem ocorrer 2 situações que serão descritas nos tópicos a seguir.

2.3.1 Supercondutores Tipo I

Figura 6: Supercondutor tipo I

Neste caso o campo magnético H continua sendo nulo no interior do supercondutor até a

supercondutividade ser destruída. O valor do campo em que ocorre a destruição do estado

supercondutor é chamado campo crítico Hc. A magnetização obedece a relação descrita na

equação (2.16) para todos os campos menores que Hc e torna-se nula para campos maiores que

Hc, como é indicado na figura 6.

2.3.2 Supercondutores Tipo II

Este é o caso mais comum nos supercondutores. No supercondutor tipo II existem dois

campos críticos diferentes, denotados por: Hc1, que é o campo crítico inferior, e Hc2, que é o

campo crítico superior. Para pequenos valores do campo magnético H aplicado no supercondu-

tor, o supercondutor continua apresentando o efeito Meissner-Ochsenfeld, M=-H, e não existe

campo no interior do supercondutor. Contudo, se o campo magnético H chegar a um valor maior

que o campo crítico inferior, o fluxo magnético começa a entrar no interior do supercondutor e

o campo no seu interior fica diferente de zero. Com isso, a magnetização começa tender a zero

a medida que aumentamos o campo magnético H. A magnetização atinge o valor zero quando

33

Figura 7: Supercondutor tipo II

o campo H chega ao valor do campo crítico superior, destruindo assim o estado supercondutor

do material. Este comportamento é descrito na figura 7.

A explicação física para a fase termodinâmica entre Hc1 e Hc2 foi feita por Abrikosov. Ele

mostrou que o campo magnético pode penetrar no supercondutor na forma de vórtices. Os vór-

tices consistem em uma região onde circula uma supercorrente ao redor de um pequeno núcleo,

que é essencialmente um metal normal. Os vórtices serão estudados com maiores detalhes na

sessão 2.6.

A figura 8 descreve o comportamento dos supercondutores tipo I e tipo II através de um

diagrama campo magnético H x Temperatura T. Nesta figura vemos claramente as regiões de

Meissner e de Abrikosov no caso do supercondutor do tipo II.

Figura 8: Diagrama H x T dos supercondutores tipo I e tipo II

34

2.4 Equação de London

A primeira teoria que descreve a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld foi desenvolvida

por dois irmãos, F. London e H. London, em 1935. Nesta teoria eles assumiram que uma

fração dos elétrons tornam-se supercondutores e podem mover-se livremente, sem dissipação,

enquanto que o restante dos elétrons continuam no estado condutor normal, ou seja, tendo uma

resistividade finita. Os elétrons supercondutores anulam a resistividade dos elétrons normais,

fazendo com que a resistividade total seja nula. Para definir a densidade de elétrons chamamos

de: ns a densidade dos elétrons supercondutores, nn a densidade dos elétrons condutores normais

e n a densidade total dos elétrons, ou seja, n = ns + nn.

Apesar desse modelo ser bem simples, ele é bem eficaz. Este modelo nos leva a Equação

de London, que relaciona a densidade de corrente elétrica dentro do supercondutor, j, com o

potencial vetor magnético, A, na forma:

j = −nse2

meA (2.18)

Esta é uma das mais importantes equações que descrevem a supercondutividade. Aproxi-

madamente 20 anos após essa teoria ser elaborada, Bardeen, Cooper e Schrieffer desenvolveram

uma teoria chamada de Teoria BCS, que reproduz a teoria de London em um limite adequado.

Podemos escrever a equação de London de uma outra forma:

j = −1

µ0λ2 A (2.19)

Onde o fator λ =

(me

µ0nse2

)1/2

é a Profundidade de Penetração, que define o quanto o campo

magnético pode penetrar na superfície do supercondutor.

Outra maneira de relacionar j e B é utilizar a equação de Maxwell, ∇ × B = µ0 j. A partir

dessa equação de Maxwell e utilizando a equação (2.19), sabendo que B = ∇ × A, podemos

obter a relação:

∇ × (∇ × B) = −1λ2 B (2.20)

35

Na qual podemos obter o valor do campo magnético.

Vale também ressaltar que se a corrente for contínua, a equação de continuidade se reduz a

∇ · j = 0. Se aplicarmos isto na equação de London, obtemos o calibre de London:

∇ · A = 0 (2.21)

Em resumo, a equação de London permite descrever o efeito Meissner-Ochsenfeld, indica a

profundidade de penetração de campos externos, substitui a relação j = σE em supercondutores

e prevê o comportamento do campo magnético dos vortex nos supercondutores.

2.5 Pares de Cooper

Antes de apresentar uma definição formal sobre os vortex de London e a teoria de Landau-

Ginzburg, é importante enunciar um fenômeno que foi explicado pela teoria BCS: a formação

dos Pares de Cooper. [15] A ideia dos pares de Cooper foi proposta por Cooper em 1956.

Cooper mostrou que, nos supercondutores, dois elétrons interagem formando um par e esse par

é responsável pela supercorrente a baixa temperatura.

Em uma situação normal, seria improvável pensar nessa formação de pares, devido a forte

repulsão coulombiana entre os elétrons (pois possuem carga de mesmo sinal). Contudo, Cooper

mostrou que para ocorrer a formação desses pares, os elétrons contam com a ajuda de uma

excitação da rede cristalina conhecida como Fônon.

O fônon, de um ponto de vista quântico, se equivalem a um movimento especial vibracional,

conhecido como modos normais de vibração na mecânica clássica. Esse movimento caracteriza-

se por cada parte da rede oscilar com a mesma frequência. Em geral, essa excitação, que

se desloca como uma onda pelo material, é causada pela agitação natural existente em todo

sistema sujeito a uma temperatura finita, apresentando um pequeno deslocamento dos átomos

da rede.

Os átomos que formam a rede cristalina do metal não são eletricamente neutros, como

vimos anteriormente na sessão 2.1. Os elétrons de condução deslocam-se para muito longe do

átomos de origem, fazendo com que esses átomos fiquem carregados positivamente. Quando

36

um elétron desloca-se no material, ele perturba os átomos da rede, sendo atraído pela força

coulombiana. Essa pertubação do elétron gera um fônon e, consequentemente, a interação

elétron-fônon na rede.

Como consideramos o fônon como uma onda de átomos positivos deslocados, esses fônons

podem atrair outro elétron que esteja próximo, ou seja, com essa configuração conseguimos

fazer a "atração"entre os elétrons, formando o que chamamos de Pares de Cooper.

Algumas características importantes devem ser citadas nos pares de Cooper como por ex-

emplo se aumentarmos consideravelmente a temperatura do sistema, a agitação térmica faz

com que a interação elétron-fônon seja desfeita e com isso deixamos ter os pares, ou seja, essa

configuração dos pares de Cooper só é possível a baixas temperaturas. Outra característica im-

portante é que os elétrons isolados possuem spin 1/2, ou seja, são Férmions, mas, quando o par

é formado, um spin aponta para cima (+1/2) e outro para baixo (-1/2), consequentemente o spin

do par de Cooper é 0, logo ele é um Bóson.

Cooper originalmente só considerou o caso de um par isolado formado em um metal.

Quando se considera o estado mais realista consistindo em muitos elétrons formando pares

faz parte do estudo da Teoria BCS.

2.6 Vórtice de London

A teoria proposta pelos irmãos London relaciona a densidade de corrente com campos

magnéticos externos.[13][12] Esses campos conseguem penetrar na superfície dos supercon-

dutores formando os vórtices. Através da equação de London podemos encontrar um modelo

matemático que descreve os vórtices nos supercondutores.

Os vórtices são definidos como um núcleo cilíndrico na amostra supercondutora, com pro-

priedades de condutores normais, cujo raio é ξ0, que é conhecido como comprimento de co-

erência. O comprimento de coerência está intimamente relacionado ao gap de energia (energia

necessária para retirar um elétron do átomo e colocá-lo na banda de condução) , cuja interpre-

tação é representar o tamanho físico do par de Cooper.

Vamos descrever como o campo magnético decresce até um valor nulo quando partimos de

uma região dentro do núcleo do vórtice (ou seja, onde temos um condutor normal) até a área

37

onde ocorre novamente a supercondutividade.

Dentro do núcleo existe um campo magnético radial finito, B=(0,0, Bz(r)). O rotacional,

em coordenadas cilíndricas, desse campo magnético é dado por:

∇ × B = −∂Bz

∂reφ (2.22)

Aplicando (2.22) em (2.20), podemos escrever (2.22) como:

1r

ddr

(r

dBz

dr

)=

Bz

λ2 (2.23)

Para solucionar essa equação temos que analisar as seguintes situações:

• Para r muito pequeno, r << λ, a equação (2.23) apresenta a solução:

Bz(r) =Φ0

2πλ2 ln( rλ

)(2.24)

Onde Φ0 é o fluxo magnético quantizado do vortex.

• Para r grande, r ∼ λ, a equação (2.23) apresenta a solução:

Bz(r) =Φ0

2πλ2 rpe−rλ (2.25)

Onde p pode assumir os valores p=0 e p =-1/2.

Com base nos valores do campo nesses limites, podemos ter uma boa estimativa de como é

seu comportamento no vórtice de London. Na região r < ξ0, estamos no interior do núcleo do

vórtice, ou seja, B = Φ02πλ2 . Em ξ0 < r << λ, o campo decai logaritmicamente. Em r ∼ λ, o campo

decai exponencialmente, semelhante ao campo magnético na superfície de um supercondutor.

Supondo que uma supercorrente circule no vórtice com uma velocidade v, cuja forma é

j = −ensv e a energia cinética correspondente é E = 12mv2ns. Com isso, podemos determinar a

energia total do vórtice, que é dada por:

E =Φ2

0

4πµ0λ2 ln(λ

ξ0

)(2.26)

38

2.7 Teoria de Landau-Ginzburg para a Supercondutividade

Nessa sessão, vamos fazer uma descrição completa das propriedades macroscópicas de um

supercondutor, através da teoria proposta por Landau-Ginzburg [13] [12] [2].

2.7.1 Descrição da Teoria

A Teoria de Landau-Ginzburg da supercondutividade foi desenvolvida como uma aproxi-

mação da teoria de Landau para transição de fase de segunda ordem, em 1950.

Para supercondutividade Ginzburg e Landau (GL) postularam a existência de um parâmetro

de ordem, denotado por ψ. No estado normal metálico, acima da temperatura crítica do super-

condutor Tc, ψ é zero. Enquanto que no estado supercondutor, abaixo Tc, ψ é diferente de zero.

Portanto presume-se a obedecer:

ψ =

0, se T > Tc

ψ(T ) , 0, se T < Tc

(2.27)

GL postulou que o parâmetro de ordem ψ deveria ser um número complexo, como uma

função de onda macroscópica para o supercondutor. Com o desenvolvimento da teoria BCS,

podemos mesmo identificar |ψ|2 como sendo a densidade dos pares de Cooper presentes na

amostra.

GL postulou que a energia livre dos supercondutores depende somente do parâmetro ψ.

Como ψ é complexo e a energia livre tem que ser real, a energia deve depender então de |ψ|.

Como ψ vai para zero na temperatura crítica, Tc, podemos fazer uma expansão em Série de

Taylor da Energia livre. Para temperaturas próximas à Tc, somente os 2 primeiros termos são

considerados, então temos que a densidade de energia livre (f=F/V) é:

fs(T ) = fn(T ) + a(T )|ψ|2 +12

b(T )|ψ|4 + · · · (2.28)

Com |ψ| pequeno. Neste caso, fs(T) e fn(T) são as densidade de energia livre no estado

supercondutor e condutor normal, respectivamente. Os parâmetros a(T) e b(T) são parâmetros

fenomenológicos da teoria, dependentes da temperatura. Assumimos que b(T) deve ser posi-

39

tivo, pois caso contrário, a densidade de energia livre não teria mínimo globais e sim máximos

globais, o que não apresentaria sentido físico.

Plotando o gráfico de fs − fn como função de ψ é possível observar duas curvas possíveis,

dependentes do sinal de a(T), como vemos na figura 9.

Figura 9: Densidade energia livre, fs − fn, em função de ψ

No caso de a(T)>0, a curva tem um mínimo em ψ=0. Para a(T)<0, existem mínimos

|ψ|2 = - a(T)/b(T). Acima da Temperatura crítica, no estado normal, a(T) é positivo, abaixo da

temperatura crítica, estado supercondutor, temos que ψ ,0. Na temperatura crítica, a(Tc)=0.

Perto da Temperatura crítica, podemos fazer uma expansão em série de Taylor:

a(T ) ≈ c × (T − Tc) + · · · (2.29)

b(T ) ≈ b + · · · (2.30)

Onde c e b são duas constantes fenomenológicas. Em termos dos parâmetros a e b temos que:

|ψ| =

0, se T > Tc

( cb )1/2(Tc − T )1/2, se T < Tc

(2.31)

O valor mínimo da energia livre é facilmente obtido pela figura (9) e tem o valor -a(T )2/2b(T),

que pode ser reescrita na forma:

fs(T ) − fn(T ) = −c2(T − Tc)2

2b(2.32)

40

A partir da energia livre podemos obter quantidades físicas relevantes como por exemplo

entropia. Derivando f com relação a T, obtemos a entropia por unidade de volume, s=S/V,

abaixo de Tc:

ss(T ) − sn(T ) = −c2

b(Tc − T ) (2.33)

Na temperatura crítica, não existe descontinuidade na entropia, confirmando que o Modelo

GL corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.

2.7.2 Sistemas Não-Homogêneos

A Teoria GL completa da Supercondutividade também permite a possibilidade do parâmetro

de ordem depender da posição, ψ(r). Quando isso acontece, devemos considerar o termo de gra-

diente vindo da energia cinética. Como a energia livre não pode assumir valores complexos, o

termo contendo o gradiente de ψ(r) tem que ser real. Portanto, a energia livre deve ser função

do módulo do gradiente de ψ(r).

fs(T ) = fn(T ) +~2

2m∗|∇ψ(r)|2 + a(T )|ψ(r)|2 +

b(T )2|ψ(r)|4 (2.34)

Onde o novo parâmetro m∗ determina o custo de energia associado com gradientes de ψ(r).

Tem dimensões de massa e desempenha o papel de uma massa efetiva para o sistema quântico

com a função de onda macroscópica ψ(r).

Integrando a expressão (2.34) em 2 dimensões, obtemos:

Fs(T ) = Fn(T ) +

∫ (~2

2m∗|∇ψ(r)|2 + a(T )|ψ(r)|2 +

b(T )2|ψ(r)|4

)d2r (2.35)

O que indica que Fs(T ) é um funcional de ψ(r). Para minimizar este funcional, podemos

fazer uso da derivada funcional na forma:

δFs[ψ]δψ(r)

= 0,δFs[ψ]δψ∗(r)

= 0 (2.36)

Levando em consideração que a energia livre representa uma função de ψ(r) para cada valor de

41

r. Portanto, a energia é a integral das contribuições das duas derivadas, ou seja:

δFs =

∫ (δFs[ψ]δψ(r)

δψ(r) +δFs[ψ]δψ∗(r)

δψ∗(r))d2r (2.37)

Outra forma de minimizar o funcional é fazendo uma variação infinitesimal no parâmetro

de ordem na forma:

ψ(r)→ ψ(r) + δψ(r) (2.38)

E aplicar esta variação na energia livre. Com isso obtemos que:

δFs =

∫δψ∗

(−~2

2m∗∇2ψ + aψ + bψ|ψ2|

)d3r +

∫ (−~2

2m∗∇2ψ + aψ + bψ|ψ2|

)∗δψd2r (2.39)

Onde identificamos a equação de movimento que minimiza a energia livre:

−~2

2m∗∇2ψ(r) + (a + b|ψ(r)|2)ψ(r) = 0 (2.40)

Que é uma equação do tipo Schrödinger não linear, ou seja, não pode ser aplicado o princípio

da superposição neste caso.

2.7.3 Superfície dos Supercondutores

A equação efetiva de Schrödinger não-linear tem várias aplicações úteis. Em particular, ela

pode ser usado para estudar a resposta do parâmetro de ordem supercondutor quando exposto

à perturbações externas. Exemplos importantes disso são as propriedades das superfícies e

interfaces de supercondutores.

Considerando um modelo simples de interface entre um estado normal e um supercondutor,

em 3 dimensões. Suponha que a interface se situa no plano yz separa o metal normal, em x<0,

do supercondutor, na região x>0. No lado metal normal da interface o parâmetro de ordem,

ψ(r), para o supercondutor deve ser zero. Partindo do princípio que ψ(r) deve ser contínuo, por

isso, devemos resolver a equação de Schrödinger não-linear:

−~2

2m∗d2ψ(x)

dx2 + a(T )ψ(x) + b(T )ψ3(x) = 0 (2.41)

42

Na região x>0, com a condição de contorno ψ(0)=0, cuja solução é:

ψ(x) = ψ0tanh( x√

2ξ(T )

)(2.42)

Onde ξ(T) é um parâmetro chamado Comprimento de Coerência de Landau-Ginzburg,

que é dado pela expressão:

ξ(T ) =

(~2

2m∗|a(T )|

)1/2

(2.43)

Isto é um importante parâmetro físico que caracteriza o supercondutor. ξ(T) é uma medida

da distância da superfície sobre a qual o parâmetro de ordem retorna ao seu valor máximo.

O comprimento de coerência de Landau-Ginzburg aparece em quase todos os problemas de

supercondutores inomogêneos, incluindo superfícies, interfaces, defeitos e vortíces.

2.7.4 Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético

Como já havíamos discutido anteriormente, o efeito Meissner-Ochsenfeld é a principal car-

acterística dos supercondutores. Para estudar esse efeito através da teoria de Landau-Ginzburg,

temos que incluir um termo de campo magnético na energia livre. Esse termo de campo mag-

nético entra como se ψ(r) fosse a função de onda de partículas carregadas, ou seja, com a

substituição usual na mecânica quântica:

~

i∇ →

~

i∇ − qA (2.44)

Onde q é a carga e A é o potencial vetor magnético. Para todos os supercondutores conhecidos

verifica-se que a carga adequada é −2e, devido a formação dos pares de Cooper.

Com esta substituição a densidade de energia livre de GL do supercondutor torna-se:

fs(T ) = fn(T ) +1

2m∗

∣∣∣∣(~i ∇ + 2eA)ψ∣∣∣∣2 + a|ψ|2 +

b2|ψ|4 (2.45)

Integrando em todo o espaço, incluindo o termo proveniente da energia do campo magnético

Fs(T ) = Fn(T ) +

∫ (1

2m∗

∣∣∣∣(~i ∇ + 2eA)ψ∣∣∣∣2 + a|ψ|2 +

b2|ψ|4

)d2r +

12µ0

∫B(r)2d2r (2.46)

43

A primeira integral é realizada em pontos r no interior da amostra, enquanto o segundo é

executada através de todo o espaço.

Para encontrar o mínimo de energia fazemos o mesmo procedimento utilizado na sessão

(2.7.2). Com isso obtemos a equação de Schrödinger não linear na forma:

−~2

2m∗(∇ +

2ei~

A)2ψ(r) + (a + b|ψ|2)ψ(r) = 0 (2.47)

A Supercorrente devido ao campo magnético pode ser encontrada a partir da derivada da

energia livre de GL em relação ao potencial vetor

js = −∂Fs

∂A(r)(2.48)

O que nos leva à

js = −2e~i2m∗

(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) −(2e)2

m∗|ψ|2A (2.49)

Se ψ(r)=ψ=cte e ψ∗(r)=ψ∗=cte, então temos que o primeiro termo de (2.49) é nulo, pois os

gradientes de ψ e ψ∗ serão nulos, ou seja, a equação (2.49) fica:

js = −(2e)2

m∗|ψ|2A (2.50)

Que é a equação de London. Onde ns = 2|ψ|2 e m∗ = 2me. Os valores de ns e m∗ comprovam a

formação de pares de Cooper nos supercondutores, como era previsto pela teoria BCS.

Com isso podemos expressar o comprimento de penetração de London em termos das

variáveis de Landau-Ginzburg.

λ =

[bm∗

µ0e2a(T − Tc)

]1/2

(2.51)

Que diverge na temperatura crítica.

44

2.7.5 Simetrias

O parâmetro de ordem GL para supercondutores tem uma amplitude e uma fase complexa:

ψ(r) = |ψ(r)|eiθ(r) (2.52)

Considere o termo na densidade de energia livre GL contendo o operador momentum

canônico

p =~

i∇ + 2eA (2.53)

Aplicando (2.53) em (2.52) obtemos:

pψ(r)eiθ(r) = eiθ(r)(~

i∇ + 2eA

)ψ(r) + ψ(r)eiθ(r)~∇θ(r) = eiθ(r)

(~i∇ + 2e

(A +

~

2e∇θ

))ψ(r) (2.54)

Disto resulta que a energia livre não será alterada quando mudarmos simultaneamente ψ(r)

para ψ(r)eiθ(r) e o potencial vetor de acordo com

A(r)→ A(r) +~

2e∇θ (2.55)

Isso mostra que a teoria satisfaz invariância de gauge local. Tanto a fase do parâmetro de

ordem e do potencial vetor magnético depende da escolha do gauge, mas todos os observáveis

físicos (energia livre, B o campo magnético, etc) são invariantes de gauge.

Contudo essas transformações alteram o parâmetro de ordem. Inicialmente consideramos o

parâmetro de ordem constante no estado fundamental. Fora do estado fundamental, deve haver

uma rigidez de fase, ou uma perda de energia associada com a mudança de θ de uma parte

do sólido para o outro. Se considerarmos um supercondutor no limite de London, ou seja, no

limite em que o parâmetro de ordem tem uma magnitude constante, |ψ|, e uma fase θ(r), que

varia muito lentamente com a posição r, obtemos a energia livre total:

Fs = Fn +

∫d2r

[ρs

(∇θ +

2e~

A)2

+ a|ψ|2 +b2|ψ|4

]+

12µ0

∫B(r)2d2r (2.56)

45

Onde, o termo de rigidez é dado por:

ρs =~2

2m∗|ψ|2 (2.57)

Agora se escolhermos um gauge particular para A(r), como o gauge de London, ∇·A = 0,

em seguida, dentro desta gauge fixo, há uma perda de energia livre associada com gradientes

de θ(r). Para minimizar o gradiente de energia, temos de minimizar os gradientes, fazendo

θ(r) o mais constante possível em todo o sistema. No caso de ausência de campo aplicado,

podemos escolher A = 0 e, claramente, então θ(r) será constante em todo o sistema. Desde que

o sistema efetivamente escolhe um parâmetro de ordem constante arbitrário para todo o sistema,

podemos dizer que o sistema exibe uma ordem de longo alcance, da mesma forma como um

material ferromagnético varia na sua magnetização M(r).

Devido a ordem de longo alcance está em fase variável, dizemos que o sistema teve uma

quebra espontânea da simetria global de gauge. O ponto é que a simetria global do gauge refere-

se à mudança de θ(r) por um valor constante em todo o sólido (que não implica em qualquer

variação em A). Isto está em contraste com a simetria de gauge local em que θ(r) e A(r) são

alterados simultâneamente.

Considerando que a magnitude também possa variar com a posição, temos que a energia

livre é dada por:

Fs = Fn +

∫d2r

[~2

2m∗[(∇|ψ|

)2+ |ψ(r)|2

(∇θ +

2e~

A)2]

+ a|ψ(r)|2 +b2|ψ(r)|4

]+

12µ0

∫B(r)2d2r

(2.58)

Fazendo o procedimento descrito anteriormente na equação (2.36) ou pela equação (2.38),

obtemos a equação de movimento para |ψ(r)|:

−~2

2m∗

[∇ + i

(∇θ(r) +

2eA~

)]2

|ψ(r)| + (a + b|ψ(r)|2)|ψ(r)| = 0 (2.59)

e também a equação de movimento para θ(r):

−~2

2m∗

[∇ ·

[(∇θ(r) +

2eA~

)|ψ(r)|2

]]= 0 (2.60)

46

Que serão estudadas com maiores detalhes no capítulo 4.

2.7.6 Quantização do Fluxo Magnético

Consideraremos agora a quantização do fluxo magnético em um anel supercondutor, no

qual iremos fazer uma analogia com a quantização do fluxo em um vórtice. [13][12] Em um

anel supercondutor, é aplicado um fluxo magnético conforme a figura 10.

Figura 10: Anel supercondutor com campo magnético aplicado

Utilizando coordenadas cilíndricas, podemos expressar a simetria do parâmetro de ordem:

ψ(r, θ, z) = ψ(r, θ + 2π, z) (2.61)

Podemos considerar que o parâmetro de ordem não varia ao longo da sessão transversal do

anel. Com isso, torna-se uma função exclusivamente de θ.

ψ(θ) = ψ0einθ (2.62)

É possível escrever o potencial vetor magnético A em termos do fluxo magnético Φ através

de:

Φ =

∫B · dS =

∮A · dr = Aθ2πR (2.63)

Substituindo (2.63) em (2.46) obtemos:

Fs(T ) = F0s +

12µ0

∫B(r)2d3r +

∫1

2m∗

[~2(∇ψ∗)(∇ψ) +

ehΦ

iπR[(∇ψ)ψ∗− (∇ψ∗)ψ] +

e2Φ2

π2R2ψ∗ψ

]d3r

(2.64)

47

Onde F0s é a energia no interior do supercondutor. Calculando as derivadas em relação a ψ

e ψ∗ obtemos que:

(∇ψ)ψ∗ − (∇ψ∗)ψ = 2inψ∗ψ (2.65)

Utilizando as equações (2.65) e (2.62), podemos reescrever a equação (2.64) como:

Fs(T ) = F0s +

Φ2

2L+ V

4e2

2π2m∗R2 |ψ|2[Φ + nΦ0]2 (2.66)

Onde V é o volume total do anel supercondutor, L é a indutância do anel e Φ0 é o quantum

do fluxo magnético. O quantum de fluxo magnético é expresso por:

Φ0 =h2e

= 2.7x10−15Wb (2.67)

A partir da expressão (2.66) e (2.67) podemos obter conclusões importantes. Uma delas é

que o segundo termo de (2.66) é a energia de vácuo, dependente de Φ2. Mas a principal con-

clusão que obtemos nesse resultado é que o fluxo magnético é quantizado. Se fizermos uma

analogia deste anel supercondutor como um vórtice, a estrutura de ambos é bastante semelhante,

o que nos permite concluir também que o fluxo magnético de um vórtice é quantizado. Para

o caso dos vórtices, o fator n que multiplica o quantum do fluxo é chamado de carga topológ-

ica do vórtice. Outra conclusão importante é que a energia terá um mínimo em Φ = −nΦ0.

Escrevendo a energia livre em termos de Φ obtemos:

F(Φ) − F(0) = C(Φ − nΦ0)2 + DΦ2 (2.68)

Onde C e D são constantes. Vemos que essa função possui um mínimo absoluto em Φ

= 0 e mínimos metaestáveis em Φ = −nΦ0. Podemos considerar a possibilidade de pares de

elétrons passarem de um mínimo metaestável para outro, porém a nível macroscópico, vamos

desconsiderar estes eventos.

48

3 CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO

Nesse capítulo vamos fazer inicialmente uma introdução sobre cristais líquidos, apresen-

tando suas 3 principais configurações: Nemático, Esmético e Colestérico, onde daremos uma

ênfase maior no estudo dos cristais líquidos nemáticos, aplicando a teoria de Landau-Ginzburg

para descrever a transição de fase líquido isotrópico-cristal líquido nemático.

3.1 Cristais Líquidos

Os estados da matéria mais usuais são: sólido, líquido e gasoso. [3] Estes estados diferem

um dos outros pelo arranjo das moléculas do sistema, ou seja, pelos diferentes graus de ordem

das moléculas que compõem o sistema.

Os líquidos e os sólidos são dois casos extremos de ordem e simetria. [16] Os líquidos ap-

resentam simetria de rotação e translação arbitrárias em R3 e eles exibem apenas ordem de curto

alcance, visto que são maximamente desordenados. Os sólidos cristalinos, por sua vez, exibem

ordem de longo alcance e são invariantes perante um conjunto discreto de translações, que são

compatíveis com a periodicidade da rede, e um conjunto discreto de rotações. Definimos en-

tão que quando nos referimos a ordem posicional, estamos nos referindo a invariância perante

translações, e quando nos referimos a ordem orientacional, estamos nos referindo a invariância

perante rotações.

Existem materiais que exibem um espectro de simetria e de ordem intermediários se com-

pararmos com as fases líquida e sólida e um exemplo disso são os cristais líquidos. Os cristais

líquidos são formados por moléculas anisométricas, ou seja, não possuem simetria esférica. As

moléculas que formam os cristais líquidos podem ser de dois tipos: alongadas (em forma de

bastão), que chamamos de moléculas calamíticas, ou em forma de disco, que chamamos de

moléculas discóticas. Em geral, observamos que a parte interna das moléculas de um cristal

líquidos é rigida e a parte externa é fluída. Devido a esse caráter duplo da estrutura das molécu-

las, deu origem a interações, conhecidas como interações estéricas, que conduzem a diversos

49

tipos de ordem orientacional, juntamente com o caráter fluído das fases dos cristais líquidos.

Na figura 11, observamos a configuração de uma molécula em um cristal líquido. A direção

média de orientação do eixo maior de uma molécula é chamado de vetor diretor n. O ângulo

α define a direção entre o diretor e o eixo maior da molécula. Quando o material está na fase

isotrópica, α varia entre 0 e 90 graus, o que representa todas as direções possíveis de uma

configuração aleatória.

Figura 11: Ângulo α entre o vetor diretor e o eixo maior da molécula em um cristal líquido

A tendência das moléculas de apontarem ao longo do vetor diretor leva a uma condição

conhecida como anisotropia. Esse termo significa que as propriedades dos materiais depen-

dem da direção em que eles são medidos. O conceito de anisotropia foi fundamental para o

desenvolvimento desta pesquisa.

3.1.1 Tipos de Cristais Líquidos

Em geral, podemos classificar os cristais líquidos de duas formas: [17] [18] os termotrópi-

cos e os liotrópicos. Os cristais líquidos termotrópicos são formados ou pelo aquecimento de

um sólido ou pelo resfriamento de um líquido, ou seja, pela variação de temperatura no material.

Os cristais líquidos liotrópicos não são substâncias puras, mas soluções de uma substância em

um líquido altamente polar, tal como a água. Tais soluções apresentam propriedades do estado

cristalino líquido somente acima de uma certa concentração. Mais recentemente, sintetizaram-

se cristais líquidos que podem ter comportamento tanto termotrópico como liotrópico, e que se

dizem anfotrópicos.

Neste trabalho estaremos mais interessados nas propriedades dos termotrópicos. Vamos

então descrever os principais tipos de cristais líquidos termotrópicos:

50

3.1.1.1 Cristais Líquidos Nemático

[19]Este cristal líquido se caracteriza por possuir, em geral, moléculas de forma alongada

e são caracterizadas por estarem dispostas no espaço com ordem posicional do tipo líquida

isotrópica, mas apresentando uma certa ordem orientacional. Neste caso, as moléculas tendem

a ficar, em média, paralelas a um eixo comum representado por um vetor unitário, que é o vetor

diretor.

Figura 12: Moléculas de um Cristal Líquido Nemático

3.1.1.2 Cristais Líquidos Colestéricos

[19]Apesar do colesterol não formar cristal líquido, alguns de seus derivados químicos

o fazem e recebem essa denominação. Os Cristais Líquidos Colestérico se assemelham aos

nemáticos, a diferença é que a ordem orientacional, em um escala maior, varia seguindo uma

conformação helicoidal. As moléculas estão dispostas em camadas e ordenadas em direções

ligeiramente diferentes, na qual o diretor varia de ponto para ponto do espaço, descrevendo

uma hélice. Este tipo de cristal apresenta cores fortes que podem ser alteradas sob ação de

temperatura, pressão, campo elétrico e magnético.

Figura 13: Moléculas de um Cristal Líquido Colestérico

51

3.1.1.3 Cristais Líquidos Esméticos

[19]A fase esmética é caracterizada por apresentar uma distribuição espacial com ordem

superior à dos nemáticos e colestéricos. As moléculas são distribuídas em camadas com um es-

paçamento bem definido.Dentro de cada camada não há ordem posicional: As moléculas podem

mover-se livremente, como num líquido isotrópico. Pode, porém existir ordem orientacional

nos planos das camadas (planos esméticos). É isto que distingue as diferentes fases esméticas.

As substâncias que apresentam a fase esmética são divididas em subfases, designadas por es-

méticos A, B, C, D,... seguindo a ordem cronológica de sua descoberta. Vamos descrever os

principais cristais líquidos esméticos:

• Esmético A: Quando as moléculas são perpendiculares aos planos esméticos e não existe

qualquer tipo de ordem orientacional nesses planos.

Figura 14: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético A

• Esmético B: É a configuração molecular que exibe ordem orientacional nos planos esméti-

cos, de tal forma que cada molécula esteja, em média, rodeada por seis outras, dispostas

nos vértices de um hexágono, e os hexágonos formados pelos vizinhos de cada molécula

tenham lados paralelos uns aos outros.

Figura 15: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético B

• Ésmético C: É a configuração molecular que exibe ordem orientacional, tal que as molécu-

las estejam inclinadas todas para o mesmo lado, e fazendo o mesmo ângulo com a direção

perpendicular aos planos esméticos. Estas fases apresentam ordem posicional em uma

52

dimensão: Cada camada é um líquido, mas as diferentes camadas têm posições fixas

relativamente umas às outras.

Figura 16: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético C

Podemos, então, [20]apresentar a configuração das moléculas através da variação da tem-

peratura em um determinado material, conforme a figura 17:

Figura 17: Configuração das moléculas de um material através da variação da temperatura

Nesta sessão foi feita uma apresentação geral dos cristais líquidos e suas principais estru-

turas. Na sessão seguinte será apresentados, com mais detalhes, a transição de fase líquido

isotrópico - cristal líquido nemático.

3.2 Teoria de Landau-Ginzburg para os Cristais Líquidos Nemáticos

Nesta sessão vamos descrever inicialmente como ocorre a transição de fase líquido isotrópico

- cristal líquido nemático em 3 dimensões. Feito isto, descreveremos como é a mesma transição

em 2 dimensões e analisaremos os defeitos topológicos, conhecidos como disclinações, que

serão essenciais para o desenvolvimento deste trabalho.

3.2.1 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 3 Dimensões

Como haviamos introduzido na sessão anterior, as moléculas que formam os cristais líqui-

dos nemáticos orientam o seu eixo de simetria em torno de uma direção preferencial, caracterís-

53

tica essa que chamamos de anisotropia, e eles mantem a desordem nas posições do centro de

massa.

[21][22]Quando o sistema está acima da temperatura crítica, observamos que ele não apre-

senta ordem orientacional e posicional. A medida que resfriamos o sistema até a temperatura

crítica Tc, observamos a existência de uma ordem orientacional. Devido a forma das moléculas

que constituem o cristal líquido, elas possuem simetria de reflexão entre os extremos do eixo

principal, o que nos leva a concluir que a ordem molecular nos cristais líquidos não é represen-

tada por um vetor.

Analogamente ao caso vetorial, no qual o parâmetro de ordem tem que ter média nula em

todas as direções na fase isotrópica, vemos que as propriedades de simetrias estabelecidas pela

ordem nemática são satisfeitas por um tensor de segunda ordem, simétrico e de traço nulo:

Qi j(~x) =VN

∑γ

(vγi vγj −

13δi j

)δ(~x − ~xγ) (3.1)

Onde vγi é componente i do vetor unitário~vγ associado à molécula γ. Qi j são as componentes

do tensor Q símetrico de traço nulo, Tr(Q) = 0.

Considerando um sistema de coordenadas com o vetor diretor global alinhado com o eixo

x, temos que o tensor será dado por:

< Q >=

23S 0 0

0 −13S + η 0

0 0 −13S − η

(3.2)

Se η , 0, dizemos que o tensor é biaxial, ou seja, existem duas direções preferenciais em

lugar de uma. Se η = 0, dizemos que o tensor é uniaxial, ou seja, existe apenas uma direção

preferencial, que é o caso mais comum. No caso uniaxial, podemos escrever as componentes

do tensor como:

< Qi j >= S(nin j −

13δi j

)(3.3)

Onde chamamos o vetor unitário de vetor diretor de Frank, que tem a função de definir o

54

eixo principal de Q. Podemos definir o valor do parâmetro de ordem orientacional escalar S,

que é igual ao valor médio do polinômio de Legendre de ordem 2, que tem a forma:

S =12< 3(~vγ · ~n)2 − 1 >=

12

⟨(3cos2αγ − 1)

⟩=< P2cos(α) > (3.4)

Com isso, podemos construir a energia livre de Landau para esta transição de fase. Na fase

desordenada, a energia livre tem que ser invariante perante a rotações arbitrárias. Em um grupo

de rotações < Q > se transforma como um tensor. Neste caso, as únicas combinações possíveis

são de traços de potências de < Q >, ou seja, Tr < Q >, Tr < Q >2, Tr < Q >3, etc. Como,

por construção, o traço de Tr < Q > é nulo, escrevemos a energia livre de Landau até a quarta

ordem como:

fN = fLI+12

r(32

Tr < Q >2)−w

(92

Tr < Q >3)+u

(32

Tr < Q >2)2

= fLI+12

rS 2−wS 3+uS 4 (3.5)

Onde fLI é o valor quando S=0, ou seja, o material está na fase líquido isotrópico. Deveria

aparecer um termo proporcional a Tr < Q >4, porém em um tensor 3 x 3 de traço nulo, os

termos quartícos são proporcionais. Considerando, como na sessão 1.2.3, r como uma função

da temperatura na forma:

r = a(T − T ∗) (3.6)

Considerando também u e w como constantes positivas independentes da temperatura, iden-

tificamos esta transição de fase como sendo de primeira ordem, devido a presença do sinal neg-

ativo do termo cúbico da energia livre. Com isso, a energia livre apresenta uma assimetria com

relação a origem e um novo mínimo aparece a temperaturas altas. Isto é mostrado na figura 17.

O valor do mínimo correspondente ao estado de líquido isotrópico, onde S = 0, tem o

valor FN = 0 e não varia com a temperatura. O segundo mínimo, para S > 0, aparece a uma

temperatura T ∗∗ com um valor de FN > 0, e portanto aparece como um estado metaestável.

Diminuindo mais a temperatura, uma transição de fase acontece em Tc onde o valor de FN

passa a ser negativo para a solução com S > 0, o que é ilustrado no gráfico a seguir.

55

Figura 18: Energia Livre de Landau para um cristal líquido nemático em três dimensões

Fazendo um tratamento análogo ao que foi feito na sessão 1.2.3, obtemos os valores de S c

e rc:

S c =w2u, rc = a(Tc − T ∗) =

w2

2u(3.7)

A entropia é dada por:

S =∂FN

∂T= −

12

aS 2c = −

12

a(w/2u)2 (3.8)

Observamos a existência de um calor latente nesta transição de fase:

L = −Tc∆S =12

aTc(w/2u)2 (3.9)

O que comprova que esta é uma transição de fase de primeira ordem.

3.2.2 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 2 Dimensões

3.2.2.1 Teoria de Landau-Ginzburg

Esta é a parte principal, neste trabalho, do estudo dos cristais líquidos nemáticos. [21][16]

Analogamente ao caso tridimensional, o parâmetro de ordem tem que ter média nula em todas

as direções na fase isotrópica, ou seja, as propriedades de simetrias estabelecidas pela ordem

nemática são satisfeitas por um tensor de segunda ordem, simétrico e de traço nulo. Porém,

56

neste caso, o tensor uniaxial tem a forma:

< Qi j >= S(nin j −

12δi j

)(3.10)

E sua representação matricial é dada, no eixo principal, por:

< Q >=

12S 0

0 −12S

(3.11)

Com isso, podemos calcular os traços das potências de < Q > até a quarta ordem, lem-

brando que, por construção, o traço Tr < Q > é nulo:

• Tr < Q >2

Tr < Q >2= Tr

12S 0

0 −12S

12S 0

0 −12S

= Tr

14S 2 0

0 14S 2

=12

S 2 (3.12)

• Tr < Q >3

Tr < Q >3= Tr(< Q >2< Q >) = Tr

14S 2 0

0 14S 2

12S 0

0 −12S

= Tr

18S 3 0

0 −18S 3

= 0

(3.13)

• Tr < Q >4

Tr < Q >4= Tr(< Q >2< Q >2) = Tr

14S 2 0

0 14S 2

14S 2 0

0 14S 2

= Tr

1

16S 4 0

0 116S 4

=18

S 4

(3.14)

Estes resultados nos permite concluir que Tr < Q >2n+1= 0, ∀n, em 2 dimensões.

Com as equações (3.12), (3.13) e (3.14), podemos escrever a energia livre de Landau para

o cristal líquido nemático bidimensional:

fN(T ) = fLI(T ) + r(T )(2Tr < Q >2

)+

12

u(8Tr < Q >4

)= fLI(T ) + r(T )S 2 +

12

uS 4 (3.15)

57

Onde r(T) é dado por:

r(T ) = a(T − Tc) (3.16)

Se calcularmos os mínimos dessa função:

∂ f∂S

= a(T − Tc)S + uS 3 = 0 (3.17)

Obtemos os valores:

S = 0, S 2 =a(Tc − T )

u(3.18)

Calculando a Entropia:

s = −∂ f∂T

= −12

aS 2 = −a2(Tc − T )

2u(3.19)

Como não existe descontinuidade na entropia, vemos que a transição de fase líquido isotrópico

cristal líquido nemático em 2 dimensões trata-se de uma transição de fase de segunda ordem,

diferente do que ocorre em 3 dimensões, que é um caso de transição de fase de primeira ordem.

O gráfico da energia livre de Landau-Ginzburg para o cristal líquido nemático é apresentado na

figura 19.

Figura 19: Energia Livre de Landau-Ginzburg para um cristal líquido nemático em duas dimensões

Em duas dimensões, existe uma forma alternativa para o paramêtro de ordem. [16]Esta

forma alternativa, já que o parâmetro de ordem têm apenas 2 componentes independentes, pode

ser representada por um número complexo, cuja forma é:

Q = S ei2α (3.20)

58

Onde S é o módulo do parâmetro de ordem e α é o ângulo responsável pela orientação do vetor

diretor n. O fator 2 garante a simetria α −→ α + π, que é a simetria de reflexão nemática.

Notamos que essa forma alternativa, exceto pelo fator 2, é análoga a forma do parâmetro de

ordem supercondutor.

Podemos verificar facilmente que esse número complexo reproduz a teoria de Landau para o

cristal líquido nemático, pois, Q2 = (S e−i2α)(S ei2α) = S 2 e Q4 = ((S e−i2α)(S ei2α))∗((S e−i2α)(S ei2α)) =

S 4. Então, com isso, a energia livre fica:

fN = fLI + a(T − Tc)Q2 +12

uQ4 = fLI + a(T − Tc)S 2 +12

uS 4 (3.21)

Para completar a teoria, introduzimos uma dependência posicional do parâmetro de ordem,

analogamente a sessão 2.7.5, ou seja:

Q(r) = S (r)ei2α(r) (3.22)

Quando fazemos isso, consideramos o termo de gradiente, vindo da energia cinética, que

tem a forma:

∇Q = (∇S (r))ei2α(r) + S (r)[i2(∇α(r))ei2α(r)] (3.23)

Como a energia livre não pode assumir valores complexos, S(r) tem que ser real. Portanto,

a energia livre deve ser função do módulo do gradiente de S(r). Calculando, então, |∇Q|2

|∇Q|2 = (∇Q)∗(∇Q) = (∇S (r))2 + 4S 2(r)(∇α(r))2 (3.24)

Logo, a energia livre de Landau-Ginzburg fica:

fN = fLI +ςN

2[(∇S (r))2 + 4S 2(r)(∇α(r))2] + a(T − Tc)S 2(r) +

12

uS 4(r) (3.25)

Onde ςN é uma constante do termo cinético da energia livre. Integrando (3.25):

FN = FLI +

∫d2r

[ςN

2[(∇S (r))2 + 4S 2(r)(∇α(r))2] + a(T − Tc)S 2(r) +

12

uS 4(r)]

(3.26)

59

Podemos fazer uma analogia com o procedimento descrito em (2.36) ou em (2.38) para

obter a equação de movimento para S(r) e para α (r). Para S(r) obtemos:

ςN[−∇2S (r) + 4S (r)(∇α(r))2] + [a(T − Tc) + uS 2(r)]S (r) = 0 (3.27)

E para α (r) obtemos:

− ςN∇ · (4S 2(r)(∇α(r))) = 0 (3.28)

Que serão estudadas com maiores detalhes no capítulo 4.

3.2.2.2 Disclinações

Nos cristais líquidos nemáticos observamos singularidades. [23]Estas singularidades tem

estrutura semelhante a dos vórtices em supercondutores. Elas causam distorções na ordem

orientacional do sistema e estas distorções não são removidas por deformações do meio. Este

é um tipo de defeito topológico conhecido como Disclinações. As Disclinações são defeitos

lineares em três dimensões e pontuais em duas dimensões que são responsáveis pela distorção

local da ordem orientacional, o que leva a uma quebra da simetria de rotação do sistema.

Existe um parâmetro que mede a intensidade da disclinação que é dado por κ =η

2π , onde η é

o ângulo no qual o vetor diretor percorre ao fazer um transporte paralelo por um circuito fechado

contendo o defeito, que é conhecido como circuito de Burgers. Para demostrar a construção

desse defeito faremos uso do processo de Volterra com κ = −1/2. O processo é ilustrado na

figura 20:

• a) É feito um corte Σ em uma linha L;

• b) É feita uma abertura nas bordas de Σ em um ângulo π e é introduzido um setor extra

de matéria;

• c) Sistema em equilíbrio;

• d) Demonstra como medir a intensidade κ do defeito devido a medida do caminho angu-

lar Γ, no qual o vetor diretor percorre quando faz o transporte paralelo pelo circuito de

Burgers ζ.

60

Figura 20: Processo de Volterra

O sinal negativo é devido a orientação contrária de Γ em relação a de ζ. Experimentalmente,

é visto que as disclinações são múltiplos inteiros de ±1/2.

Associamos a estes defeitos uma energia de deformação. Baseado nos estudos de De

Gennes[24], vemos que existem três tipos de deformações possíveis em um cristal líquido

nemático. Essas deformações estão presentes na densidade de energia livre:

fe =12

K1(∇ · n)2 +12

K2(n · ∇ × n)2 +12

K3(n × ∇ × n)2 (3.29)

Onde K1,K2 e K3, são constantes associadas a cada deformação. As deformações são do

tipo:

• Primeiro termo: Deformação do tipo "Splay"7−→ Compressão do sistema;

• Segundo termo: Deformação do tipo "Twist"7−→ Torção do sistema;

• Terceiro termo: Deformação do tipo "Bend"7−→ Encurvamento do sistema.

Como estamos tratando de um cristal líquido nemático bidimensional, os defeitos não

causam torção no sistema[23]. Neste caso, podemos usar o modelo planar de Frank para de-

screver as deformações do sistema. Esse modelo consiste em fazer K1 = K3 = K, K2 = 0 e as

componentes do vetor diretor são:

nx = cos(α), ny = sen(α), nz = 0 (3.30)

61

Com α = α(x, y).

Aplicando (3.30) em (3.29) e integrando a equação, obtemos uma energia da forma:

E = K∫

dA(∇α(x, y))2 (3.31)

O que torna o estudo das disclinações em duas dimensões muito mais simples. Mini-

mizando esta energia obtemos uma equação, em coordenadas polares, do tipo:

1r∂

∂r

(r∂α

∂r

)+

1r2

(∂2α

∂φ2

)= 0 (3.32)

Com a condição de contorno: ∮dα = 2πκdiscl (3.33)

Estamos buscando soluções singulares para a equação de movimento da disclinação. Neste

caso, então, temos duas soluções que satisfazem essa equação:

α = Aφ + B, α = Cln(r) + D (3.34)

Onde A, B, C e D são constantes a determinar.

Dentre as duas soluções a que realmente é de nosso interesse é a primeira, pois ela descreve

a deformação orientacional devido a disclinação. A segunda solução se refere a deformações

na ordem translacional que aparecem nas dislocações, que são os defeitos topológicos em um

cristal líquido usual. Da condição de contorno obtemos que A ≡ κdiscl, com κdiscl sendo um

múltiplo inteiro de ± 1/2. Substituindo a solução α = κdisclφ + B na equação (3.31) e sabendo

que dA = rdrdφ, obtemos:

E = K∫

dA(∇α(x, y))2 = K∫

rdrdφ(∇α(r, φ))2 =K2

∫ R

r0

∫ 2π

0drdφκ2

discl1r

(3.35)

Onde R é o raio do sistema e r0 é o tamanho do defeito, que é introduzido para que a

energia do sistema seja bem comportada nas proximidades do defeito. Integrando a equação

62

(3.35) obtemos:

E = πKκ2discl ln

(Rr0

)(3.36)

Analisando esta equação vemos que a energia é da ordem do logaritmo do tamanho do

sistema, ou seja, o custo de energia é muito alto devido ao sistema ser macroscópico.

63

4 O ESTADO SUPERCONDUTOR NEMÁTICO

Neste capítulo, veremos as principais caracterísiticas do estado supercondutor nemático.

Inicialmente, é feita uma introdução sobre os supercondutores de alta temperatura, pois foi no

estudo desses compostos que foi observado este novo estado supercondutor. Após esta de-

scrição, é construida a teoria geral de Landau-Ginzburg para este estado, onde são os estudados

o acoplamento entre as fases e as equações de movimento. Por fim, é usado o limite de Lon-

don, que considera os módulos dos parâmetros de ordem constantes, possibilitando um melhor

compreensão da teoria e a construção de diagramas de fase para este estado.

4.1 Supercondutores High Tc

A supercondutividade a altas temperaturas, conhecida como supercondutores "High Tc",

tem sido um grande desafio para os pesquisadores, [34]desde a descoberta inicial do fenômeno

da supercondutividade, pelo pesquisador Kammerling Onnes, em 1911.

Muitas técnicas tem sido desenvolvidas para alcançar esse objetivo, como por exemplo

aplicar altas pressões em determinados compostos que, em condições normais, não exibiriam a

supercondutividade [25]. [32] Com a utilização desta técnica, foi possível praticamente dobrar o

número de supercondutores conhecidos até então. Apesar de grandes progressos na catalogação

de novos supercondutores, a temperatura crítica ainda não era tão alta, na máxima de 10K para

supercondutores convecionais e de 23K para a liga de Nióbio-Germânio Nb3Ge.

Em 1986, [26] porém, houve uma grande revolução com a descoberta da supercondu-

tividade com temperatura crítica de 30K em um composto cerâmico contendo La-Ba-Cu-O.

O material sintetizado, La2−xBaxCuO4, iniciou a pesquisa em supercondutores chamados de

cupratos ou óxidos de cobre, cujas temperaturas crítica excederam a temperatura de liquefação

do Nitrogênio, que é 77K.

Além da alta temperatura crítica [32], os cupratos supercondutores apresentam propriedades

interessantes, como por exemplo anisotropias extremamente elevadas, estrutura em camadas e

64

dependência de dopagem.

A estrutura dos supercondutores High Tc é formada por camadas sobrepostas de diferentes

átomos, sendo compostas puramente de cobre e oxigênio aquelas onde se origina o fenômeno da

supercondutividade. [27]Os átomos de cobre e oxigênio disputam elétrons entre si. O oxigênio

necessita de dois elétrons, e o cobre tem um para doar. Assim, para cada par cobre-oxigênio,

fica faltando um elétron. Essa ausência, que é conhecida como buraco, comporta-se como um

elétron, porém de carga positiva, que fica localizada no cobre, em vista do oxigênio segurar

dois elétrons extras. O notável é que esses buracos mantêm uma das propriedades fundamentais

do elétron: o spin, que poderemos entender como a rotação de uma partícula ao redor de seu

próprio eixo.

Na camada de cobre-oxigênio, define-se uma grandeza fundamental para o entendimento

dos compostos: a dopagem. Ela corresponde aos buracos acrescentados à camada, além de

seu valor natural, ou seja, de apenas um buraco por átomo de cobre. São os átomos nas de-

mais camadas do composto que, ao subtraírem elétrons da camada de cobre-oxigênio, regulam

a dopagem, deixando ali buracos. A dopagem corresponde ao x na fórmula dos compostos.

Quanto mais buracos existirem no plano formado pelos átomos de cobre e oxigênio, maior será

a chamada dopagem do material.

As camadas de cobre-oxigênio desempenham um papel fundamental nas propriedades de

transporte. A condução eletrônica encontra-se confinada basicamente nestes planos, enquanto

as demais camadas atômicas atuam como reservatórios de carga, visto que são responsáveis

pela transferência de cargas as camadas cobre-oxigênio.

As propriedades eletrônicas nos estados supercondutor e normal dependem fortemente da

dopagem do material e são muito sensíveis à aumento de pressão. Para exemplificar isto, pode-

mos citar o composto La2−xS rxCuO4. Neste caso, o elemento dopante Estrôncio (Sr), retira

elétrons dos planos de condução de Cobre e Oxigênio, que apresentam um elétron extra para

cada átomo de Cobre (ou sítio da rede), deixando os buracos com mobilidade para se deslocar

nos planos.

Em geral, os cupratos apresentam características semelhantes com relação a dopagem [28].

Para compostos com baixo nível de dopagem (x ≤ 0, 05 − 0, 06), o material apresenta uma fase

65

antiferromagnética isolante, tornando-se um isolante de Mott no composto pai (x = 0), mesmo

para baixas temperaturas. A partir de x ≈ 0, 06 começa a se observar a supercondutividade com

valores de Tc muito baixos até que a máxima temperatura crítica é verificada em compostos

com nível de dopagem ótimo x ≈ 0, 16. Acima desse valor, a temperatura crítica volta a cair,

tornando-se nula em x ≈ 0, 27.

Muitos grupos no mundo tem se dedicado no estudo do comportamento dos cupratos su-

percondutores. Na próxima sessão, vamos iniciar a discussão sobre o comportamento de alguns

cupratos quando a dopagem se aproxima de x =1/8.

4.2 O Estado Supercondutor Modulado

Uma série de experimentos no cuprato La2−xBaxCuO4 [4], [5], [6], [7], mostrou um com-

portamento anômalo nas propriedades de transporte, quando a dopagem se aproxima de x = 1/8.

Essencialmente, é observado que o material se comporta como um supercondutor nos planos

de Cu, porém no eixo perpendicular a estes planos, o comportamento é metalico com uma

grande resistência. Ou seja, num certo intervalo de temperatura e dopagem, existe uma grande

frustração no acoplamento Josephson entre os planos de Cu, que faz com que a supercondutivi-

dade deixe de ser isotrópica. De alguma forma, existe um desacoplamento dinâmico entre as

diferentes camadas de Cu e O.

Por outro lado, nesta região de dopagem, é bem conhecida a existência de ordem unidire-

cional, na forma de ondas de densidade de carga (CDW) e spin (SDW), comumente chamadas

de stripes, que em português seria "listrado"[29]. As stripes foram preditas teoricamente pelos

cálculos de Hartree-Fock com condições de contorno periódicas [30], sendo verificadas pos-

teriormente através da observação experimental de correlação de spins em La2−xS rxCuO4 por

espalhamento de nêutrons, evidenciando a formação de domínios estáticos antiferromagnéticos

em antifase nos planos CuO2 separados por stripes quase-1D contendo os portadores dopados.

Em outras palavras, as cargas dopadas concentram-se ao longo das paredes de domínio ger-

adas espontaneamente entre regiões antiferromagnéticas (Do inglês Antiferromagnetic Domain

Walls, ADW). Assim, a fase de stripes ocorre através da relação entre as interações antifer-

romagnéticas (entre íons magnéticos e interações coulombianas entre cargas), que favorecem

66

elétrons localizados, e a energia cinética de ponto-zero dos buracos dopantes, que tendem a

uma deslocalização de carga. A instabilidade das stripes vem de flutuações quânticas que, no

caso unidimensional, implicam no fenômeno da separação spin-carga. Experimentalmente, as

stripes são mais fáceis de serem detectadas em isolantes (onde ela é relativamente estática),

mas existem fortes evidências de flutuações na correlação de stripes em compostos metálicos e

supercondutores.

Efeitos similares que ocorrem no cuprato La2−xBaxCuO4 são verificados na fase listrada de

La1.6−xNd0.4S rxCuO4 e na fase listrada com campo magnético induzido em La2−xS rxCuO4.

Com o intuito de interpretar estas observações foi proposto uma nova ordem supercondutora

chamada de [7] [4] [5] [6]“Onda de densidade de pares”, ou PDW, do inglês, Pair Density

Wave. Neste novo estado da matéria, a supercondutividade, a onda de densidade de carga e

spin estariam interconectados. Esta modulação do parâmetro de ordem supercondutor seria o

responsável de produzir a frustração no acoplamento Josephson 1 entre os planos de Cu. A

PDW pode ser entendida como uma fase de cristal líquido quântico anisotrópico que quebra o

grupo de simetria de rede, bem como a invariância translacional e o gauge global.

Em geral, o parâmetro de ordem de um estado supercondutor pode ser escrito na forma [4]

[5] [6]:

ψι,ι′(r, r′) =< φ†ι (r)φ†ι′(r′) > (4.1)

onde φ†ι (r) é o operador de campo fermiônico que cria um elétron com spin ι na posição

r. Outras distinções entre os diferentes estados supercondutores podem ser estabelecida com

base das simetrias espaciais e de spin de ψ. Em sólidos cristalinos, todos os estados supercon-

dutores respeitam a simetria de translação do solído, ψ(r + R, r′ + R) = ψ(r, r′), onde R é um

vetor qualquer da rede de Bravais 2. Na ausência de acoplamento spin-órbita, os estados super-

condutores podem ser classificados, [31]bem como pela sua transformação em rotações de spin

como singleto (quando o spin do operador de criação na posição r não está alinhado com o spin

1 É um efeito físico que se manifesta pela aparição de uma corrente elétrica que flui através de dois super-condutores fracamente interligados, separados apenas por uma barreira isolante muito fina. A corrente queatravessa a barreira é chamada de Corrente Josephson.

2 Denominação dada às configurações básicas que resultam da combinação dos sistemas de cristalização coma disposição das partículas em cada uma das células unitárias de uma estrutura cristalina, sendo estas célulasentendidas como os paralelepípedos que constituem a menor subdivisão de uma rede cristalina que conservaas características gerais de toda rede, permitindo que pela réplica da mesma possa reconstruir todo o sólido.

67

do operador na posição r’) ou tripleto (quando os spins estão alinhados). Finalmente, o estado

supercondutor pode preservar ou quebrar a simetria inversão temporal.

O supercondutor listrado é um exemplo de um estado em que a simetria translacional do

cristal é espontaneamente quebrada de tal forma que ψ(r + R, r′ + R) exibe uma dependência

não trivial em R. Assim como um CDW é geralmente definido em termos de um estado fun-

damental, então um estado PDW é caracterizado pelo menor valor do momento Pcry do cristal,

para o qual:

ψ0ι,ι′(r, r

′) = N−1∑

R

exp[iPcry · R] < φ†ι (r + R)φ†ι′(r′ + R) > (4.2)

tem um valor esperado que não nulo.

Um estado supercondutor é caracterizado pela quebra espontânea da simetria de gauge. Uma

vez quebrada esta simetria, funções de correlação como

ψ(4) =< φ†ι1(r1)φ†ι2(r2)φ†ι3(r3)φ†ι4(r4) > (4.3)

são geralmente diferentes de zero. Em qualquer estado supercondutor com carga 2e temos que

ψι,ι′(r, r′) , 0. Alguns componentes do parâmetro de ordem do supercondutor com carga 4e

também serão diferentes de zero. Porém, poderia acontecer que, considerando a equação (4.1),

ψι,ι′(r, r′) = 0 mas ψ(4) , 0. Nesta caso, o estado seria supercondutor, já que quebra invariância

de gauge porém, não existiriam pares de Cooper, mas condensados de quatro cargas.

Há duas razões para considerar a existência deste parâmetro de ordem. Em primeiro lu-

gar, é evidente que mesmo no estado PDW, embora a componente uniforme de ψ seja nula,

a componente uniforme de ψ(4) ∼ ψPcryψ−Pcry , 0. Mais importante ainda, o ordenamento de

ψ(4) pode ser mais robusto do que o ordenamento PDW. Especificamente, em algumas circun-

stâncias, é possível que flutuações térmicas ou quânticas destruam a ordem PDW, restaurando

simetria translacional sem restaurar simetria de calibre nem a rotacional. Neste caso, alguns

componentes de ψ(4) permanecem diferentes de zero, embora ψ vá a zero, dando lugar ao estado

Supercondutor Nemático.

A forma mais simples de um parâmetro de ordem do supercondutor modulado é dado por

68

um campo escalar complexo de carga 2e, com momento Pcry,

ψ(r, r′) = ∆PcryeiPcry·R + ∆−Pcrye

−iPcry·R (4.4)

onde R = (r+r′)/2 e, em geral, ∆−Pcry não é o complexo conjugado de ∆Pcry . Definimos também,

o parâmetro de ordem do supercondutor 4e como um campo escalar complexo ψ4e(r, r′) ∼

∆−Pcry∆−Pcry .

A partir do acoplamento algébrico destes parâmetros, levando em conta também as ondas

de desidade de carga e de spin, pode-se construir uma teoria de Landau, cujo diagrama de

fases é apresentado na figura 21. Podemos observar a presença de diferentes fases dependendo

da temperatura e da rigidez das stripes (que é representada pela letra κ). Se a rigidez for muito

grande κ/ρs >> 1, os vortices desordenam o estado PDW produzindo uma transição de fase para

uma onda de densidade de carga. Se a rigidez for menor, é possivel a proliferação de vórtices

e dislocações, produzindo um estado metálico nemático. Porém, se a rigidez das stripes for

menor ainda, existe a possibilidade muito interesante da proliferação de dislocações isoladas,

mantendo o ordem orientacional e de gauge, dando lugar neste caso ao supercondutor nemático

de carga 4e.

Figura 21: Diagrama de Fase a partir do acoplamento algébrico

69

4.3 Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático

A ideia desta dissertação é pesquisar as propriedades gerais da fase supercodutora nemática

recentemente proposta. Para isto, construiremos uma teoria de Landau-Ginzburg com dois

parâmetros de ordem: o parâmetro supercondutor, descrito no capítulo 2 e o parâmetro nemático,

descrito no capitulo 3.

Consideramos então o parâmero de ordem supercondutor

ψ(r) = |ψ(r)|eiθ(r) (4.5)

e o nemático em duas dimensões dado por

Q(r) = S (r)ei2α(r) (4.6)

note que o fator 2 nesta definição é para ter a simetria de reflexão α→ α + π.

Seguindo a filosofia da teoria de Landau, supomos que os parâmetros de ordem são pequenos

e fazemos uma expansão da energia livre, considerando todos os acoplamentos permitidos pela

simetria até ordem quartico.

A parte dos potenciais que produzem as quebras de simetria de rotação e gauge são as usuais:

• Potencial supercondutor:

VS = a(T )ψ(r)∗ψ(r) +12

b(ψ(r)∗ψ(r))2 = a(T )|ψ(r)|2 +12

b|ψ(r)|4 (4.7)

• Potencial Nemático:

VN = r(T )Q(r)∗Q(r) +12

u(Q(r)∗Q(r)) = r(T )S (r)2 +12

uS (r)4 (4.8)

Resta agora estudar os acoplamentos entre os parâmetros de ordem. O acoplamento usual

entre dois campos complexos é:

70

VS N =υ

2ψ(r)∗ψ(r)Q(r)∗Q(r) =

υ

2|ψ(r)|2S (r)2 (4.9)

Porém, o efeito da nematicidade é mais sutil por ser de caráter geométrico. [35] [7]O

parâmetro supercondutor sente a nematicidade como uma curvatura ou uma alteração da métrica

do espaco como:

gi j = δi j + ΛQi j = δi j + ΛS (r)[nin j −12δi j] (4.10)

Onde δi j é a métrica do espaço sem o acoplamento, Λ é uma constante de acoplamento e

Qi j é o termo nemático definido na equação (3.10)

Esta métrica entra no cálculo dos termos cinéticos (termos com gradiente) da energia livre

do supercondutor. Para compreender melhor como ocorre esse processo, vamos analisar ini-

cialmente apenas estes termos cinéticos. Considerando o campo magnético nulo, temos que o

termo cinético é dado por:

|∇ψ(r)|2 = [∇ψ(r)]∗i [∇ψ(r)] jgi j (4.11)

Substituindo a equação (4.10) em (4.11) obtemos:

|∇ψ(r)|2 = |∇ψ(r)|2 + ΛS (r)[n · ∇ψ(r)∗][n · ∇ψ(r)] (4.12)

Onde o primeiro termo é referente ao gradiente com a métrica sem o acoplamento e o

segundo termo é referente ao acoplamento. Escrevendo (4.12) em termos de |ψ(r)| e θ(r):

|∇ψ(r)|2 = [|∇|ψ(r)||2 + |ψ(r)|2|∇θ(r)|2] + ΛS (r)[(∇n|ψ(r)|)2 + |ψ(r)|2(∇nθ(r))2] (4.13)

Onde definimos a derivada direcional ∇n:

∇n = n · ∇ (4.14)

Das equações (4.7), (4.8), (4.9) e (4.13) e fazendo ςS2 = ~2

2m∗ na energia livre supercondutora,

podemos obter a energia livre de cada fase da energia livre do estado supercondutor nemático,

71

ou seja:

• Energia livre supercondutora:

FS = Fn +

∫d2r

ςS

2[(∇|ψ(r)|)2 + |ψ(r)|2(∇θ(r))2] + VS (|ψ(r)|) (4.15)

• Energia livre nemática:

FN = FLI +

∫d2r

ςN

2[(∇S (r))2 + 4S (r)2(∇α(r))2] + VN(S (r)) (4.16)

• Energia livre de acoplamento e interação:

FS N =

∫d2rΛS (r)[(∇n|ψ(r)|)2 + |ψ(r)|2(∇nθ(r))2] + VS N(|ψ(r)|, S (r)) (4.17)

• Energia livre total:

F = FS + FN + FS N (4.18)

Da equação (4.18) vemos que a energia livre é uma função de |ψ(r)|, de α(r), de θ(r) e de

S(r). Desta forma, para minimizar a energia livre temos que fazer a derivada funcional com

relação a estas 4 variáveis individualmente e igualar cada uma delas a zero, analogamente ao

que foi feito na equação (2.36) ou na (2.38). Com isso, temos que as equações de movimento

para cada variável são dadas por:

• Equação para |ψ(r)|:

δFδ|ψ(r)|

=δFS

δ|ψ(r)|+

δFN

δ|ψ(r)|+δFS N

δ|ψ(r)|= 0 (4.19)

Calculando cada termo separadamente:

–δFS

δ|ψ(r)|= ςS (−∇2|ψ(r)| + |ψ(r)||∇θ(r)|2) + V ′S (|ψ(r)|) (4.20)

72

–δFN

δ|ψ(r)|= 0 (4.21)

–δFS N

δ|ψ(r)|= Λ[S [−∇2

n|ψ(r)| + |ψ(r)|(∇nθ)2] − ∇nS∇n|ψ(r)|] + υ|ψ(r)|S 2 (4.22)

Aplicando (4.20), (4.21) e (4.22) em (4.19) temos a equação de movimento para |ψ(r)|

δFδ|ψ(r)|

= ςS (−∇2|ψ(r)| + |ψ(r)||∇θ(r)|2) + a(T )|ψ(r)| + b|ψ(r)|3 +

+Λ[S [−∇2n|ψ(r)| + |ψ(r)|(∇nθ)2] − ∇nS∇n|ψ(r)|] + υ|ψ(r)|S 2 = 0 (4.23)

• Equação para θ(r):δFδθ(r)

=δFS

δθ(r)+δFN

δθ(r)+δFS N

δθ(r)= 0 (4.24)

Calculando cada termo separadamente:

–δFS

δθ(r)= −ςS∇ · [|ψ(r)|2∇θ(r)] (4.25)

–δFN

δθ(r)= 0 (4.26)

–δFS N

δθ(r)= −Λ∇n[S |ψ(r)|2∇nθ(r)] (4.27)

Aplicando (4.25), (4.26) e (4.27) em (4.24) temos a equação de movimento para θ(r):

δFδθ(r)

= ςS∇ · [|ψ(r)|2∇θ(r)] + Λ∇n[S |ψ(r)|2∇nθ(r)] = 0 (4.28)

• Equação para S (r):δFδS (r)

=δFS

δS (r)+δFN

δS (r)+δFS N

δS (r)= 0 (4.29)

73

Calculando cada termo separadamente:

–δFS

δS (r)= 0 (4.30)

–δFN

δS (r)= ςN[−∇2S (r) + 4S (r)|∇α(r)|2] + V ′N(S (r)) (4.31)

–δFS N

δS (r)=

Λ

2[(∇n|ψ(r)|)2 + |ψ(r)|2(∇nθ(r))2] + υ|ψ(r)|2S (4.32)

Aplicando (4.30), (4.31) e (4.32) em (4.29) temos a equação de movimento para S (r):

δFδS (r)

= ςN[−∇2S (r) + 4S (r)|∇α(r)|2] + r(T )S (r) + uS (r)3 +

+Λ

2[(∇n|ψ(r)|)2 + |ψ(r)|2(∇nθ(r))2] + υ|ψ(r)|2S = 0 (4.33)

• Equação para α(r):δFδα(r)

=δFS

δα(r)+δFN

δα(r)+δFS N

δα(r)= 0 (4.34)

Calculando cada termo separadamente:

–δFS

δα(r)= 0 (4.35)

–δFN

δα(r)= −4ςN∇ · (S 2∇α(r)) (4.36)

–δFS N

δα(r)= −ΛS [∇n⊥|ψ(r)|∇n|ψ(r)| + |ψ(r)|2∇n⊥θ(r)∇nθ(r)] (4.37)

Onde definimos o operador ∇n⊥ que é dado por:

∇n⊥ = n × ∇ (4.38)

74

Aplicando (4.35), (4.36) e (4.37) em (4.34) temos a equação de movimento para

α(r):

δFδα(r)

= 4ςN∇ · (S 2∇α(r)) + ΛS [∇n⊥|ψ(r)|∇n|ψ(r)| + |ψ(r)|2∇n⊥θ∇nθ(r)] = 0 (4.39)

As equações (4.23), (4.28), (4.33) e (4.39) são as equações de movimento que minimizam

a energia livre. Solucioná-las é uma tarefa bastante ardua e até então não existe uma solução

exata para estas equações acopladas. Porém, no presente trabalho, vamos fazer uso de uma

aproximação que permite obter resultados e análises significativas.

4.3.1 Aproximação de London

Consideraremos agora a teoria de Landau-Ginzburg mediante a aproximação de London.[7]

Nesta aproximação, novamente com o campo magnético igual a zero, temos que os módulos

dos parâmetros de ordem são constantes, ou seja, |ψ(r)| = |ψ| e S(r) = S. Com isso, os termos

com gradiente dos módulos será igual a zero. Analisando apenas os termos cíneticos, a energia

livre de Landau-Ginzburg, com esta aproximação, assume a forma:

F =

∫d2x

[$|∇α(r)|2 + ρs|∇θ(r)|2 +

ρsS2

(∇nθ(r))2]

(4.40)

Onde ρs foi definido na equação (2.57), mas temos que observar que, como estamos tratando

de um supercondutor de carga 4e, a massa efetiva m∗ neste caso é equivalente a 4me.O termo

$ = 4S 2ςN é o termo de rigidez da fase nemática. O último termo da parte cinética é referente

ao acoplamento entre a corrente supercondutora e a flutuação nemática. A corrente supercon-

dutora é definida aplicando a equação (2.55) na equação (2.18) e fazendo com que o campo

magnético seja nulo. Fazendo isto, a corrente passa a ter uma dependência apenas do gradiente

de θ(r) e da rigidez supercondutora. Logo, o termo de acoplamento é definido por Qi jJiJ j, onde

J = ρs∇θ(r) é a corrente supercondutora.

Nesta aproximação, o conjunto de equações de movimento (4.23), (4.28), (4.33) e (4.39) é

reduzido para apenas 2 equações, que são as equações para os ângulos θ(r) e α(r). Sendo assim,

(4.28) e (4.39) assumem a forma:

75

• Equação para θ:

ρs∇2θ(r) + ΛS ρs∇

2nθ(r) = 0 (4.41)

• Equação para α:

$∇2α(r) + ΛS ρs∇n⊥θ∇nθ = 0 (4.42)

Que são duas equações bastante semelhantes, no qual fica expressa a depêndencia de θ e

α em ambas (a dependência de α em (4.41) é devido a ∇n conter o vetor diretor n, que, como

vimos anteriormente, é uma função de α).

Para minimizar a energia livre, a corrente deve ser localmente perpendicular ao vetor diretor

n. Para isto, temos duas configurações possíveis que minimizam esta energia livre: Disclinações

isoladas ou vórtices acoplados as disclinações, de tal forma que J · n = 0 em todos os pontos,

como é apresentado na figura 22.

Figura 22: J · n = 0 em todos os pontos

Uma solução possível para minimizar esta energia livre é dada pela disclinação

ni = xi/r (4.43)

e pelo vórtice

∂iθ = εi jx j/r2 (4.44)

Aplicando (4.43) e (4.44) em (4.42) e (4.41) vemos que elas realmente são soluções que

minimizam a energia livre.

76

Vamos agora imaginar uma situação em que tentamos separar a disclinação do vórtice, por

uma distância R, como vemos na figura 23.

Figura 23: Vórtice e Disclinação separados por uma distância R

Fazendo isto, as equações (4.43) e (4.44) ficam:

ni =xi

r

∂iθ(r) =εi j(x j + R j)

(r + R)2 (4.45)

Aplicando a equação (4.45) em (4.40), obtemos que os vórtices e as disclinações possuem

uma interação atrativa logarítmica, F ∼ ln(R), cujo sinal é independente do sinal das suas cargas

topológicas. Portanto, desde que ρs não seja pequeno, o desordenamento da fase N-SC só pode

ser produzido de duas formas:

• Por disclinações isoladas, que restauram a isotropia, mas não afetam a supercondutividade

(Transição N-SC/SC);

• Pela proliferação de vortex fortemente ligados as disclinações (Transição N-SC/condutor

normal).

77

Na figura 24 vemos o diagrama de fases na aproximação de London. Podemos observar as

duas formas de desordenamento da fase N-SC devido as configurações citadas anteriormente.

Figura 24: Diagrama de Fase para a aproximação de London

78

5 CONCLUSÕES

Nesta dissertação estudamos propriedades termodinâmicas de um novo estado supercon-

dutor recentemente proposto chamando de supercondutor nemático. Este estado aparece como

uma consequência direta da existência de supercondutividade modulada, quando o parâmetro

de ordem muda de sinal seguindo uma estrutura de faixas. Flutuações quânticas ou térmicas

destas estruturas podem reestabelecer a simetria de translação, produzindo um parâmetro de

ordem homogêneo, porém anisotrópico.

Para seu estudo propomos uma teoria de Landau-Ginzburg, construída usando dois parâmet-

ros de ordem: o parâmetro de ordem supercondutor e o parâmetro de ordem nemático. As teo-

rias de Landau para estes dois parâmetros independentes foram descritas nos capítulos II e III

respectivamente. No capítulo IV estudamos os diferentes acoplamentos possíveis. Mostramos

que, além do acoplamento algébrico entre os parâmetros supercondutor e nemático, existe um

acoplamento geométrico que influencia as flutuações do parâmetro de ordem. Isto deve-se ao

parâmetro nemático induzir a “curvatura” do espaço, já que a nematicidade induz uma “métrica”

flutuante. Em certo sentido, o supercondutor nemático tem uma dinâmica similar a um campo

complexo num espaço curvo.

De posse da teoria completa de Landu-Ginzburg, calculamos as equações que levam a min-

imizar a energia livre. Como estas equações são bastante complexas, decidimos iniciar seu

estudo no limite de London. Nesta aproximação, desprezamos as flutuações dos módulos dos

parâmetros de ordem, tanto do supercondutor quanto do nemático. Desta forma obtemos uma

energia livre apenas para as fases. Neste regime, as equações de movimento são mais sim-

ples. Procuramos então, soluções com topologia não trivial achando apenas dois tipos: discli-

nações, associadas com a fase do parâmetro de ordem nemático, e vórtices ligados fortemente

às disclinações. Tem que ser destacado que a solução de vórtice isolado não minimiza a energia

livre, pelo menos na aproximação de London. Comprovamos que, devido ao acoplamento ge-

ométrico, existe uma interação atrativa logarítmica entre vórtice e a disclinação a qual mantém

79

estas estruturas fortemente ligadas. Quanto maior for a distância que tentamos separar os dois

defeitos, maior vai ser a força de atração entre eles.

A construção dos diagramas de fase na aproximação de London nos permite uma boa

visualização de como ocorre a formação do estado supercondutor nemático e a desordenação do

mesmo. Os parâmetros que influenciam a ordem ou a desordem desse estado são a temperatura,

a rigidez da estrutura de stripes e a proliferação de defeitos topológicos, que são os vórtices

para supercondutores e as disclinações para os cristais líquidos nemáticos.

O estado supercondutor nemático pode desordenar-se em apenas duas situações: Via pro-

liferação de disclinações, o que produz uma transição supercondutor nemático/supercondutor

isotropico, ou pela proliferação de vórtices ligados às disclinações, o que produz uma transição

supercondutor nemático/metal isotrópico. Fica claro que estes resultados são consequência da

aproximação de London, já que se levarmos em conta flutuações dos módulos dos parâmetros

de ordem, o diagrama de fases poderia ser muito mais complexo.

Existem várias perguntas abertas sobre o supercondutor nemático, o que nos motiva para

definir futuras linhas de pesquisa. Para uma caracterização mais acurada do diagrama de fases,

deveriamos ir além da aproximação de London, ou seja, levar em conta as flutuações nos mó-

dulos dos parâmetros de ordem. Para isto teremos que minimizar a energia livre em função,

tanto dos módulos quanto das fases. Este será o próximo passo para completar a caracterização

termodinâmica deste novo estado supercondutor.

Se este estado supercondutor existir, deverá ter consequências experimentais muito claras.

Uma delas seria o comportamento da dinâmica dos vórtices. Por exemplo, se os vórtices são

ligados às disclinações, significa que uma rede de Abrikosov deveria ser também uma rede de

disclinações. Dado o caráter geométrico destas, deveria ser possível sua manipulação por meios

mecânicos. Portanto, uma possível linha de pesquisa é estudar os diferentes estados da matéria

de vórtices agora ligados as disclinações.

Outra linha de pesquisa será a determinação das propriedades eletrônicas deste estado. Es-

tudaremos o espectro fermiônico na presença de flutuações do parâmetro de ordem supercondu-

tor nemático. Este cálculo é importante, já que a dispersão eletrônica e a forma da superfície de

Fermi são observáveis típicos em experiências de ARPES (“Angle resolved photoemission”).

80

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