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CURSO ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO P/ BACENPROFESSOR: VÍTOR MENEZES

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Aula 1 – Estruturas lógicas. Associação de informações. Verdade/mentira

I. PROPOSIÇÕES.........................................................................................................................................2

1. Reconhecimento de proposições.............................................................................................................2

2. Proposições compostas e conectivos lógicos . .........................................................................................8

3. Tabela verdade dos conectivos . ........................................................................................................... 13

4. Ordem de precedência entre os conectivos . . ....................................................................................... 33

5. Condição necessária e suficiente. . ....................................................................................................... 35

6. Outros conectivos lógicos . ................................................................................................................... 37

II. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA. . ................................................................................ 43

1. Tautologia . .......................................................................................................................................... 43

2. Contradição . ........................................................................................................................................ 44

3. Contingência. ....................................................................................................................................... 44

III. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS. ................................................................................................................ 47

1. Primeira equivalência: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q) . . ................................................................................. 48

2. Segunda equivalência: ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q) . . ................................................................................. 49

3. Terceira equivalência: p→ q ⇔ (~p) ∨ q. . ......................................................................................... 50

4. Quarta equivalência: p→ q ⇔ (~q)→ (~p) . . ..................................................................................... 53

5. Outros exercícios sobre equivalências. . . .............................................................................................. 54

IV. ASSOCIAÇÃO DE INFORMAÇÕES. . .................................................................................................... 64

V. VERDADE E MENTIRA. .......................................................................................................................... 75

1. Exercícios do primeiro tipo.................................................................................................................... 76

2. Exercícios do segundo tipo. .................................................................................................................. 88

VI. QUADRO RESUMO . .......................................................................................................................... 93

VII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO. . ............................................................................................. 94

VIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO. ..................................................................................... 113


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I. PROPOSIÇÕES

1. Reconhecimento de proposições Proposição é um conjunto de palavras (ou símbolos) que exprimem um pensamento desentido completo e que pode ser julgado em verdadeiro (V) ou falso (F).

Exemplo:

P: A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial.

Sabemos que esta proposição é verdadeira. É comum utilizarmos letras para representarproposições. Acima teríamos a proposição “P”.

Outro exemplo:

Q: Fernando Henrique Cardoso é o atual presidente do Brasil.

Sabemos que esta proposição é falsa.

Então é isso. Sempre que tivermos um conjunto de palavras e for possível julgar emverdadeiro ou falso, pronto, temos uma proposição.

Uma coisa importante: uma proposição só pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Não temuma terceira opção!

E uma proposição será só verdadeira ou só falsa (não dá para ser verdadeiro e falso ao mesmotempo).

É claro que, em contextos diferentes, a mesma proposição pode ter valores lógicos distintos.Assim, a proposição Q acima, em 1999, seria verdadeira. Em 2011, é falsa. Mas, em um dadocontexto, a proposição assume um valor lógico único: ou é verdadeira, ou é falsa.

Mais um exemplo:

A lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850.

A gente até pode não saber se a lei Eusébio de Queirós foi assinada mesmo em 1850 ou não. Concorda?

Agora, o simples fato de não sabermos isso, não nos impede de afirmar que estamos diante deuma proposição.

Por quê?

Porque é possível julgá-la em verdadeiro ou falso.

Ou é verdade que a lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850 (proposição verdadeira), ou éfalso que a lei foi assinada naquele ano (proposição falsa).

Não tem outra opção: ou isso é verdadeiro ou é falso.

E mais: não podemos ter as duas situações simultaneamente.

É impossível que a lei tenha sido assinada em 1850 e, além disso, não tenha sido assinada em 1850.

O mais comum é que a gente relacione proposições a frases. Isso é feito porque, de fato,frases escritas são os exemplos mais corriqueiros de proposições.

Mas, como dissemos no começo, uma proposição pode ser qualquer outro conjunto desímbolos que possua um significado, e que pode ser julgado em verdadeiro ou falso.


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Exemplo:

62 >

Estamos afirmando que o número dois é maior que o número 6. Temos símbolos numéricos, oque não nos impede de dizer que isto é uma proposição. No caso, é uma proposição falsa.

De forma geral, as proposições são frases declarativas. Declaramos algo, declaração esta quepode ser verdadeira ou falsa.

Existem alguns tipos de frase que não são consideradas proposições, justamente porque nãopodem ser julgadas em verdadeiro ou falso.

Exemplo:

Que dia é hoje?

Temos uma pergunta. Não foi feita qualquer declaração. A pessoa apenas quer umainformação, sobre a data atual. Isso não pode ser julgado em verdadeiro ou falso.

Outro exemplo:

Saia do meu quarto!

Temos uma ordem, uma frase imperativa. Também não pode ser julgada em verdadeiro oufalso.

Estes exemplos não são proposições lógicas porque não podem ser nem verdadeiros nemfalsos.

Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta oufunção proposicional.

Exemplo:

05 =−x

Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possíveldescobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, 05 =−x .

Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada.

“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores.

Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela temum termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.

Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro ou falso, não éuma proposição.

Às vezes, podemos ficar em dúvida se uma sentença é ou não proposição. Isso ocorre porconta das múltiplas funções da linguagem.

O autor Irving Copi, de forma simplificada, aponta três funções básicas da linguagem:informativa (transmite informações), expressiva (expressa sentimentos) e diretiva (tem opropósito de “causar ou impedir uma ação manifesta”; exemplos: ordens, pedidos).

A nossa matéria trataria apenas da primeira forma de utilização da linguagem (informativa),que se dá por meio de proposições e argumentos lógicos, que podem ser verdadeiros oufalsos, válidos ou inválidos.

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Evidentemente, esta divisão simplória não pode ser mecanicamente aplicada em qualquercaso. É comum que textos tenham, simultaneamente, mais de uma função (pode-se informar eexpressar sentimentos ao mesmo tempo; pode-se tentar convencer e informar ao mesmotempo etc.). Além disso, uma mesma frase, em um dado contexto, pode ter uma funçãoinformativa, em outro contexto, uma função expressiva, e em outro contexto, uma funçãodiretiva.

Exemplificando, a frase “Você sabia que João foi aprovado no concurso do ICMS/DF?”poderia, dependendo do contexto, ter uma função informativa. Quem diz a frase, no fundo,poderia estar apenas querendo informar que João foi aprovado. A frase seria, portanto, umaproposição, apesar de se tratar de uma interrogação.

Apesar da complexidade da matéria, as provas de concurso cobram este assunto de maneirabem simplória. A questão típica relaciona diversas frases. Em seguida, temos que identificarquais delas são proposições. Para tanto, seguimos o resumo abaixo:

⇒

ATENÇÃO:Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, asexpressões de desejo, as expressões de sentimentos, as interjeições, oraçõesimperativas, e aquelas que contenham variáveis (sentenças abertas). Ressalva: é possível transformar uma sentença aberta em proposição por meioda inclusão de quantificadores (matéria da aula 2).

Pelo que vimos acima, podemos concluir que este resumo é extremamente simplório e não dáconta das nuances existentes no uso da linguagem, envolvendo o contexto em que éempregada e suas utilizações com funções múltiplas (diretiva, informativa e expressiva).Contudo, para concurso público, este quadrinho é mais que suficiente.

EC 1. MRE 2008 [CESPE]

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —, ou falsas — F—, mas não cabem a elas ambos os julgamentos.

As proposições simples são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, eas proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A∧B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nosdemais casos, será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A forV, e valor lógico V se A for F. A expressão A∨B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F seambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B tem valorlógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintesleituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição necessária para A”.

Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em que algumassão premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, sãoobrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas.

Considerando as informações acima, julgue o item abaixo.

1. Considere a seguinte lista de sentenças:

I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.


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III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são,respectivamente, x e y.

IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é umaproposição.

Resolução. A sentença I é uma pergunta. Perguntas, exclamações, ordens, desejos, expressões desentimentos e/ou opinião, tudo isso não pode ser classificado como proposição. São todosexemplos de frases que não podem ser julgados em verdadeiro ou falso, não sendoclassificados como proposição.

Na sentença II temos uma expressão de sentimento, de opinião sobre o Palácio do Itamaraty.Alguém está dizendo expressando sua opinião de que o Palácio é belo. Novamente, não éproposição.

Na sentença III, temos duas variáveis (x e y).

Quando temos variáveis, estamos diante de uma sentença aberta, que não pode ser julgada emverdadeiro ou falso.

Logo, não é uma proposição.

Como já dissemos, as sentenças com variáveis são chamadas de sentenças abertas. Às vezes,em vez de variáveis “x”, “y”, “z”, as questões de concursos utilizam palavras que passam aidéia de indeterminação.

Exemplo: “Ele foi eleito, pela FIFA, o melhor jogador de futebol do mundo em 2005”.

A palavra “ele” dá o teor de indefinição. Não sabemos quem é ele. Ou seja, temos umavariável. A sentença acima é aberta, podendo, dependendo de quem for “ele”, ser julgada emverdadeiro (caso ele seja o Ronaldinho Gaúcho) ou falso (caso “ele” seja qualquer outrapessoa). Certamente, se, pelo contexto, “ele” for uma determinada pessoa, não há maisvariáveis; passamos a ter uma proposição.

Na sentença IV, temos outra expressão de opinião. Também não é proposição.

Gabarito: errado.

Agora, uma observação. Note que as sentenças II e IV, dependendo do contexto, poderiam servistas como proposições.

Para melhor entendimento, vamos focar na sentença II. Temos uma função expressiva, pois apessoa nos passa o seu sentimento quanto à beleza do palácio. Mas também temos umafunção informativa. Somos informados que o prédio foi construído no século XIX.

E agora vem o mais importante: na hora da prova, não é para sair brigando com o enunciado.Não! Faça aquilo que o examinador quer que você faça.


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O adjetivo “bela” não está aí à toa. Este adjetivo está aí justamente para remeter a umaexpressão de sentimento/opinião. Se o examinador fez questão de colocar o adjetivo “bela”, éporque ele quer que você classifique a frase como “não proposição”. Pronto. Simples assim.Se ele quisesse que tal frase fosse proposição, ele certamente tiraria o adjetivo “bela”.

Para a sentença IV os comentários são análogos. Somos informados que o Barão foi umdiplomata e, além disso, há uma expressão de sentimento/opinião quanto à sua notabilidade.A palavra “notável” está lá justamente para nos remeter à função expressiva. Logo, não éproposição.

EC 2. FINEP 2009 [CESPE]

Acerca de proposições, considere as seguintes frases:

I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.

II O que é o CT-Amazônia?

III Preste atenção ao edital!

IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursosdo fundo setorial verde-amarelo.

São proposições apenas as frases correspondentes aos itens

a) I e IV.

b) II e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) I, II e IV.

Resolução A frase II é uma pergunta, não podendo ser julgada em V ou F. A frase III é uma ordem, quetambém não é proposição. Logo, são proposições as frases I e IV.

Gabarito: A

EC 3. TRT 17 – 2009 [CESPE]

Julgue o item a seguir:

Na sequência de frases abaixo, há três proposições.

- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil?

- O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas.

- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES.

- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES.

Resolução


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Observem que a primeira sentença é uma pergunta, que não pode ser julgada em verdadeiroou falso. Logo, não é proposição.

As demais sentenças são proposições, pelo que o item é verdadeiro.

Gabarito: certo

EC 4. BB/2007 [CESPE]

Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está o tempohoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segundanão pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letrasmaiúsculas do alfabeto — A, B, C, etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e Bforem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e Bfor F, caso contrário é V.

Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

1. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O valor de 734 =+ .

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?

Resolução “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

É uma oração declarativa, mas não pode ser classificada em verdadeiro ou falso.

Suponhamos que a frase seja verdadeira. Neste caso, concluímos que é verdade que a frase dentro das aspas é mentira.

Ou seja, supor que a frase é verdadeira nos leva a concluir que ela é mentirosa.

Diferentemente, se supormos que a frase é falsa, vamos concluir que ela é verdadeira.

Qualquer que seja o valor lógico atribuído, chegaremos a uma contradição.

Portanto, não é possível julgá-la em verdadeiro ou falso. Por este motivo, não é umaproposição.

Vamos para a próxima frase:


Temos variáveis. Trata-se de uma sentença aberta. Logo, não é proposição.

Em seguida temos:

O valor de 734 =+ .


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Estamos declarando que o valor da conta acima é igual a 7. Trata-se de uma proposição. Nocaso, sabemos que é uma proposição falsa, pois o resultado da soma seria 5 (e não 7).

Na sequencia:

“Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira”

Nova frase declarativa. É uma proposição.

Por fim:

O que é isto?

É uma frase interrogativa e, portanto, não é uma proposição.

O item está errado porque há exatamente duas proposições.

Gabarito: errado

2. Proposições compostas e conectivos lógicos Geralmente simbolizamos proposições por letras do alfabeto.

P: A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial.

Q: Fernando Henrique Cardoso é o atual presidente do Brasil.

As duas proposições acima são simples. Elas não podem ser divididas em outras proposiçõesmenores.

Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos outra proposição, maior,chamada de proposição composta. Exemplo:

R: Pedro é alto.

S: Júlio é baixo.

Acima temos duas proposições simples. Podemos juntá-las por um conectivo, formando umaproposição composta.

T: Pedro é alto e Júlio é baixo.

Observem que a proposição T é formada pelas proposições simples R e S, unidas peloconectivo e. Além do conectivo e há diversos outros:

· conjunção: e – símbolo: ∧

· disjunção inclusiva: ou - símbolo: ∨

· condicional: se... então - símbolo: →

· bicondicional: se e somente se – símbolo: ↔

· disjunção exclusiva: “ou... ou“ – símbolo: ∨

Além disso, é importante saber que existe a negação, que pode ser simbolizada por “~” ou por “¬ ”


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Várias questões de prova pedem que a gente transforme uma frase escrita para a simbologialógica, ou vice versa.

EC 5. CGE PB 2008 [CESPE]

A controladoria geral (CG) de determinado estado realizou e concluiu, em 2007, 11 auditoriasoperacionais e 42 inspeções; emitiu 217 pareceres técnicos, sendo 74 referentes a licitações deobras, 68 referentes a análises de prestação de contas, 71 referentes a análises de rescisão decontrato de trabalho; o restante desses pareceres referiam-se a orientações e outros assuntos.

Considere que letras maiúsculas do alfabeto simbolizam proposições e que os símbolos ¬, ∧ , ∨ , → representam, respectivamente, os conectores não, e, ou, se ... então. Nessa situação,assinale a opção correspondente à expressão que representa simbolicamente a proposição: “Ocorpo técnico da CG não auxiliou o Ministério Público Estadual e gerou quatro relatórios”.

a) (¬A)→B

b) (¬A)∨B

c) ¬(A→B)

d) (¬A)∧B

e) ¬(A∧B)

Resolução: Nesta questão, nós temos a seguinte frase:

“O corpo técnico da CG não auxiliou o Ministério Público Estadual e gerou quatro relatórios”

Agora temos que saber qual o conectivo foi utilizado para juntar as proposições.

Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples.

(O corpo técnico da CG não auxiliou o Ministério Público Estadual) e (gerou quatro relatórios).

Reparem que as duas parcelas (ou ainda, as duas proposições simples), foram unidas por um“e”.

Além disso, na primeira parcela há uma negação. A alternativa que contempla essa estrutura éa “D”.

Ou seja, caso representemos as proposições simples por:

A: O corpo técnico da CG auxiliou o Ministério Público Estaudal

B: O corpo técnico da CG gerou quatro relatórios

Então teremos que a proposição composta apresentada pode ser indicada por:

(¬A)∧B

Gabarito: D


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EC 6. STF 2008 [CESPE]

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→ ” e “¬ ” representem os conectivoslógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” podeser representada simbolicamente por )( RP ¬∧ .

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode serrepresentada simbolicamente por SQ → .

3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é umaconseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamentepor PRQ →∧ )( .

Resolução. Primeiro item.

Temos:

“Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro”

Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples:

(Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro)

As duas parcelas são unidas pela palavrinha “mas”, que acrescenta uma informação. Ela temum papel análogo ao do “e”. É como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadãonão se sente seguro.

Além disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negação.

Portanto, a proposição mencionada pode ser representada por:

)( RP ¬∧

Segundo item.

A sentença é:

Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego).

Em símbolos:

SQ →

Afirmativa correta.


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Terceiro item.

A proposição é:

“O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado”.

Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples:

((O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma conseqüência de, (nesse país, o direito ser respeitado).

A expressão “é uma conseqüência”, remete ao condicional (se... então).

Podemos reescrever a frase assim:

Se (nesse país, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e (todos os trabalhadores têm emprego)).

Em símbolos, ficamos com:

)( SQP ∧→

Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.

Gabarito: certo, certo, errado

EC 7. Sebrae 2008 [CESPE]

Julgue os itens a seguir:

1. A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto éfrancês” poderia ser representada por uma expressão do tipo P→ [(¬Q)∧(¬R)].

Resolução: Nesta proposição temos um condicional escrito em ordem inversa. Colocando na ordemnormal, temos:

Se (Alberto é francês), então é norte-americano) e ((João não (Lucas não é brasileiro).

Vamos dar nomes às proposições simples:

P: Alberto é francês

Q: João é norte-americano

R: Lucas é brasileiro

A simbologia para a proposição composta ficaria:

P→ [(¬Q)∧(¬R)]

Que é exatamente o que afirmou o item.

Gabarito: Certo.


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EC 8. TRT 1ª Região 2008 [CESPE]

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, mas não se admitem os julgamentos V e F simultaneamente. As letras maiúsculas doalfabeto, A, B, C etc., são freqüentemente utilizadas para representar proposições simples e,por isso, são denominadas letras proposicionais. Alguns símbolos lógicos utilizados paraconstruir proposições compostas são: “¬” (não) – usado para negar uma proposição; “∧” (e) – usado para fazer a conjunção de proposições; “∨” (ou) – usado para fazer a disjunção deproposições; “→ ” (implicação) – usado para relacionar condicionalmente as proposições, istoé, “A→B” significa “se A então B”. A proposição “¬A” tem valor lógico contrário ao de A; aproposição “A∨B” terá valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; aproposição “A∧B” terá valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F;a proposição “A→B” terá valor lógico F quando A for V e B for F, caso contrário serásempre V.

Considerando as definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadase a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opçãocorrespondente à simbolização correta dessa proposição.

A) ¬(A ∧B)

B) (¬A) ∨ (¬B)

C) (¬A) ∧ (¬B)

D) (¬A) →B

E) ¬[A ∨ (¬B)]

Resolução: Reescrevendo a frase:

(Antônio não é desembargador) e (Jonas não é juiz).

Sejam A e B as proposições a seguir:

A: Antônio é desembargador.

B: Jonas é juiz.

Representando a proposição composta em símbolos:

(¬A) ∧ (¬B)

Gabarito: C

EC 9. SEBRAE 2010 [CESPE]

A proposição “Se você é cliente, cadastre-se no sítio www.fgjkh.com.br ou procure a suaseguradora” estará corretamente simbolizada na forma A→ [B∨C], desde que A, B e C sejamconvenientemente escolhidas.

Resolução.


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Sejam:

A: você é cliente

B: cadastre-se no sítio www.fgjkh

C: procure a seguradora.

Em símbolos:

)( CBA ∨→

Gabarito: certo.

EC 10. PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO]

“O projeto será bem-sucedido se ou o processo de desenvolvimento é o Processo Unificadoou a linguagem utilizada é Java.”

Uma possível tradução da sentença acima para a lógica de predicados de primeira ordem é

(A) (Sp → JI) ↔ (Sp →Ud)

(B) Sp ↔(Ud ∨ JI)

(C) Sp ↔(JI∨ Ud)

(D) (Ud∨ JI)↔ Sp

(E) (JI∨ Ud) →Sp

Resolução. Na minha opinião, a questão está imprecisa. Observe que a frase contém a expressão “ou...ou”, o que corresponde a um “ou exclusivo”. Só que nenhuma das alternativas traz o “ouexclusivo”. Só podemos concluir que a questão pretendeu trabalhar com o “ou inclusivo”.

A frase pode ser representada assim:

Se (o processo de desenvolvimento é o processo unificado ou a linguagem utilizada é Java) então (o projeto será bem sucedido).

Em símbolos:

( ) rqp →∨

Esta estrutura está representada na letra E.

Gabarito: E

3. Tabela verdade dos conectivos Devemos ter muito claro em nossa cabeça a tabela-verdade de cada conectivo. Uma tabela-verdade é uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposições simplespara ver quais são os resultados das proposições compostas.

Para entendermos como funciona a tabela para cada conectivo, veremos exercícios maissimples, por mim elaborados (exercícios propostos – sigla EP). Em seguida, veremos asquestões de concurso.


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EP 1 João vai viajar. Antes de pegar a estrada, passou na oficina para que fosse feita umarevisão nos freios e na suspensão de seu carro.

No dia seguinte, João vai à oficina buscar seu carro. Em cada uma das situações abaixo, comoJoão classificaria o atendimento da oficina?

a) foram checados os freios e a suspensão

b) foram checados só os freios; a suspensão não foi checada

c) foi checada só a suspensão; os freios não foram checados

d) não foi checada a suspensão; os freios também não foram checados

Resolução: O que João quer é realizar uma viagem segura. Ele só estará seguro se os dois itensmencionados forem checados. Não adianta nada estar com os freios bons e a suspensão ruim.João continuará correndo risco de acidente. Da mesma forma, não é seguro ele viajar com asuspensão em ordem se os freios não estiverem ok.

Deste modo, a única situação em que João vai aprovar o atendimento da oficina será na letra“a”, em que os dois itens são checados. Em qualquer outra hipótese, o atendimento terá sidofalho.

João só estará satisfeito com o atendimento quando os dois itens forem checados (suspensão efreios). Ele só estará satisfeito com o atendimento quando for checado o freio e também forchecada a suspensão.

Analogamente, uma proposição com o conectivo “e” só será verdadeira quando todas as suas“parcelas” forem verdadeiras. Ou ainda, quando todos os seus termos forem verdadeiros.

⇒

ATENÇÃO:Existe apenas uma situação em que a conjunção é verdadeira: quando todas assuas “parcelas” são verdadeiras (ou ainda, quando todas as proposiçõessimples são verdadeiras). Em outras palavras: para que a proposição composta seja verdadeira, asproposições simples devem ser conjuntamente verdadeiras (por isso o nome:conjunção)

EP 2 Hoje é feriado e Maria quer fazer um almoço especial. Para tanto, incumbiu José, seumarido, de ir comprar a “mistura”.

Como eles moram numa cidade pequena, Maria sabe que muitos estabelecimentos comerciaisestarão fechados (ou seja, José pode ter dificuldades para “cumprir sua missão”).

Por isso ela deixou opções para ele: José pode comprar carne ou peixe.

Em cada uma das situações abaixo, como Maria avaliaria o cumprimento da tarefa de José?

a) José comprou a carne, mas não comprou o peixe.


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b) José comprou o peixe, mas não comprou a carne.

c) José comprou a carne e o peixe.

d) José não comprou nem carne nem peixe.

Resolução: A ideia de Maria é ter algo pra fazer de almoço. Se o José comprar qualquer um dos dois itens(peixe ou carne), terá cumprido sua tarefa com êxito e Maria poderá fazer o almoço.

Assim, nas letras “a” e “b”, Maria ficará satisfeita com José, tendo em vista que ele comproupelo menos uma das duas opções de mistura. O almoço estará garantido.

Na letra “c” José teve, igualmente, êxito. Comprou ambos: peixe e carne. Maria não só poderáfazer o almoço de hoje como também já poderá planejar o almoço do dia seguinte.

Só na letra “d” é que Maria ficará insatisfeita com seu marido. Na letra “d”, José voltou paracasa de mãos abanando. José voltou sem nada e o almoço ficou prejudicado.

Neste exemplo, José precisava comprar a carne ou o peixe. Isto significa que ele precisavacomprar pelo menos um dos dois. Poderia ser só a carne, só o peixe, ou ambos, carne e peixe.

A única situação em que José não cumpre sua tarefa é aquela em que ele não compra nada:nem carne nem peixe.

Analogamente, uma proposição com o conectivo “ou” só será falsa se todas as suas “parcelas”forem falsas (ou ainda: se todas as proposições simples que a compõem forem falsas).

⇒

ATENÇÃO:Existe apenas uma situação em que a disjunção é falsa: quando todas as suas“parcelas” são falsas (ou ainda, quando todas as proposições simples sãofalsas). Em outras palavras, a proposição composta será verdadeira mesmo que asproposições simples sejam separadamente (ou disjuntamente) verdadeiras, ouseja, mesmo que apenas uma delas seja verdadeira.

EP 3 Augusto contratou um seguro de carro. O seguro protegia contra batidas. Assim, seAugusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização.

Como Augusto avaliaria a seguradora em cada situação abaixo:

a) Augusto bate o carro e a seguradora paga a indenização

b) Augusto bate o carro e a seguradora não paga a indenização

c) Augusto não bate o carro e a seguradora paga a indenização

d) Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização

Resolução.


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Na letra “a”, temos a situação normal de contrato. Augusto bateu o carro e a seguradora pagaa indenização. A seguradora cumpriu com seu papel e Augusto ficará satisfeito com o serviçoprestado pela seguradora.

Na letra “b”, Augusto bateu novamente o carro. A seguradora deveria pagar o seguro.Deveria, mas não o fez. Augusto certamente ficará insatisfeito com a seguradora, podendoacionar o Procon, a justiça, etc.

Na letra “c”, temos uma situação até meio irreal. Augusto nem bateu o carro e a seguradoraestá dando dinheiro para ele. Ô seguradora boa, hein! Podemos pensar que se trata de umprêmio, ou desconto, alguma vantagem. Seria a situação em que as seguradoras premiam bonsclientes. Na letra “c”, novamente o Augusto ficará satisfeito com o atendimento daseguradora. Muito satisfeito, por sinal.

Na letra “d”, Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização. Augusto tem odireito de ficar insatisfeito? Não, não tem. A seguradora não tinha obrigação de pagarindenização nenhuma. Afinal de contas, Augusto não bateu o carro.

Na letra “d”, Augusto não tem motivo algum para dizer que a seguradora prestou um malserviço. Portanto, ele, não tendo motivos concretos para fazer uma avaliação negativa, diriaque a Seguradora presta um bom serviço (ou seja, presume-se que seja uma boa empresa, atéprova em contrário).

Observe a situação inicial. Temos exatamente uma frase com “se... então”. Se Augusto bater ocarro, então a seguradora paga a indenização. Vamos dividir esta frase em duas “parcelas”. Aprimeira parcela se refere a Augusto bater o carro. A segunda se refere à seguradora pagar aindenização.

A única possibilidade de Augusto ficar insatisfeito ocorre quando a primeira “parcela”acontece (ou seja, quando ele bate o carro) e a segunda “parcela” não acontece (ou seja,quando a seguradora não paga a indenização).

De modo análogo, uma proposição: se “p”, então “q”, só é falsa quando “p” é verdadeiro e“q” é falso.

Como os alunos costumam ter um pouco de dúvidas neste conectivo condicional, vejamosoutro exemplo.

EP 4 Júlia, hoje pela manhã, disse à sua amiga: hoje, se fizer sol, eu vou ao clube.

Ao final do dia, temos as situações descritas abaixo. Em cada uma delas, avalie se Júlia dissea verdade ou se Júlia mentiu.

a) fez sol e Júlia foi ao clube.

b) fez sol e Júlia não foi ao clube.

c) não fez sol e Júlia foi ao clube.

d) não fez sol e Júlia não foi ao clube.

Resolução:


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Na letra “a” fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela de fato foi aoclube, então ela disse a verdade.

Na letra “b”, novamente, fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como elanão foi ao clube, ela mentiu.

Nas letras “c” e “d”, não fez sol. Ora, Júlia não prometeu nada para o caso de não fazer sol. Ocompromisso dela era apenas para o caso de fazer sol. Ela assumiu um compromisso de,fazendo sol, ir ao clube.

Ora, se não fez sol, então Júlia está liberada de seu compromisso. Ela não prometeu nada casochovesse, ou ficasse nublado.

Portanto, não interessa o que ela tenha feito nas letras “c” e “d”. Você não pode dizer que elamentiu.

Se considerarmos que a situação inicial é composta de duas “parcelas”, teríamos o seguinte:primeira parcela – fazer sol; segunda parcela – Júlia ir ao clube.

Novamente, a única situação em que dizemos que Júlia mente ocorre quando a primeiraparcela acontece (ou seja, faz sol) e a segunda não acontece (Júlia não vai ao clube).

De modo análogo, uma proposição com o conectivo “se... então” só é falsa quando a primeiraproposição for verdadeira e a segunda for falsa.

⇒ ATENÇÃO:Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeiraproposição for verdadeira e a segunda, falsa.

RESUMINDO TUDO! Sejam duas proposições simples P e Q. As tabelas verdades das proposições compostas são:

Tabela verdade do conectivo e: P Q QP ∧V V VV F F

F V FF F F

Tabela verdade do conectivo ou: P Q QP∨ V V V V F VF V VF F F

Tabela verdade do conectivo “se ... então”: P Q QP →V V V V F F


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F V VF F V

Nas tabelas verdades acima, apresentamos qual o valor lógico de cada uma das proposiçõescompostas, conforme o valor lógico de P e Q.

Por fim, falta ver a tabela verdade da negação. A negação tem a propriedade de transformar oque era verdadeiro em falso (e vice versa).

Q Q¬V FF V

Por enquanto, vamos ficar só com estes conectivos acima estudados. O bicondicional e adisjunção exclusiva, por serem pouco exigidos em prova, serão vistos posteriormente.

Para praticar, vejamos alguns exercícios.

EC 11. INSS 2008 [CESPE]

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”,denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V.Uma expressão da forma ¬P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P∨Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demaiscasos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C,que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro seráextraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partirda Constituição Federal, julgue os itens a seguir.

1. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, aproposição B→C é V.

2. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (¬A)∨(¬C) tem valor lógico F.

Resolução.

Para a resolução da questão, o candidato precisaria lembrar alguma coisinha do artigo 5º daCF. Vamos reproduzir alguns de seus incisos:

XXXII – o Estado promoverá, na forma da lei, a defesa do consumidor;

XLII – a prática do racismo constitui crime inafiançável e imprescritível, sujeito à pena dereclusão, nos termos da lei;


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LII – não será concedida extradição de estrangeiro por crime político ou de opinião.

Deste modo, temos condições de saber se as proposições A, B e C são verdadeiras ou falsas.

A: Falsa

B: Verdadeira

C: Falsa

Vamos ao primeiro item:

Queremos saber o valor lógico do condicional:

Se B então C.

Sabemos que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Esta é a única situação emque o condicional é falso.

Segundo item:

Sabemos que A é falsa. Logo, a negação de A é verdadeira.

Sabemos que C é falsa. Logo, a negação de C é verdadeira.

A ¬ : verdadeira

C¬ : verdadeira

A proposição solicitada foi: (¬A)∨ (¬C).

Temos um “ou” em que as duas “parcelas” são verdadeiras, o que faz com que a proposiçãocomposta seja verdadeira.

Gabarito: errado, errado.

EC 12. PRONIMP 2007/1 [CESGRANRIO]

Cada um dos cartões abaixo tem uma letra em uma das faces e um número na outra.

Considere a afirmação: “Se, em algum cartão, houver um número par, então, na outra face,haverá uma vogal.”

Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa:

(A) é necessário virar somente o cartão com a letra A.

(B) é necessário virar somente o cartão com a letra B.

(C) é necessário virar os dois cartões.

(D) é necessário virar o cartão com a letra A e, dependendo do que apareça no verso, seránecessário ou não virar o cartão com a letra B.


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(E) não é necessário virar cartão algum.

Resolução. O condicional é:

“Se, em algum cartão, houver um número par, então, na outra face, haverá uma vogal.”

Este condicional só será falso se a primeira parcela for verdadeira e a segunda for falsa.

Ou seja, esse condicional só será falso se houver alguma carta com um número par de umlado e uma consoante do outro lado.

Deste modo, o único cartão que precisamos virar é o que contém a letra B. Neste caso, asegunda parcela do condicional seria falsa. Caso, do outro lado, exista um número par, aprimeira parcela do condicional seria verdadeira. Primeira parcela verdadeira e segundaparcela falsa fazem com que o condicional seja falso.

Caso do outro lado exista um número ímpar, a frase é verdadeira.

Por isso devemos virar a carta com a letra B. A informação sobre o que há do outro lado dacarta nos indicará se a proposição é verdadeira ou falsa.

Quanto ao cartão com a letra A, não adianta nada virá-lo. Não interessa o que há do outrolado. A segunda parcela do condicional já é verdadeira (pois temos uma vogal). Isso jágarante o condicional verdadeiro. Ou seja, virando o cartão A, nós nunca conseguiríamosapontar que a frase é falsa.

Gabarito: B

EC 13. TCE RO 2007 [CESGRANRIO]

Os amigos André, Carlos e Sérgio contavam histórias acerca de suas incursões futebolísticas. André e Sérgio mentiram, mas Carlos falou a verdade. Então, dentre as opções seguintes,aquela que contém uma proposição verdadeira é:

(A) Se Carlos mentiu, então André falou a verdade.

(B) Se Sérgio mentiu, então André falou a verdade.

(C) Sérgio falou a verdade e Carlos mentiu.

(D) Sérgio mentiu e André falou a verdade.

(E) André falou a verdade ou Carlos mentiu.

Resolução. Letra A.

Se Carlos mentiu, então André falou a verdade.

A primeira parte do condicional é falsa. Logo, de cara, o condicional já é verdadeiro. Poucoimporta o conteúdo da segunda parcela.

Gabarito: A


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EC 14. PREVIC 2010 [CESPE]

Se a proposição P for falsa, então a proposição será uma proposição verdadeira.

Resolução. De fato, em um condicional, quando a primeira parcela é falsa, o condicional será verdadeiro,independente do valor lógico da segunda parcela.

Gabarito: certo. (gabarito preliminar)

EP 5 Construa a tabela verdade para a proposição abaixo:

rqp →∧ ) (

Resolução.

Vamos começar pela proposição p. Ela pode ser verdadeira ou falsa.

Fixado o valor lógico de p, vamos para q. Em cada uma das situações acima, podemos ter qsendo verdadeiro ou falso.

Isto está representado no diagrama abaixo.

E, para cada combinação de valores lógicos de p e q, temos duas possibilidades para r:verdadeiro ou falso. Veja diagrama abaixo:


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Ou seja, há 8 cominações possíveis de valores lógicos para p, q e r.

Uma forma sistemática de abranger todos eles é assim. Para a proposição r, trocamos o valorlógico de linha em linha.

rV FV FV FV F

Pronto. Fomos alternando os valores lógicos. Primeiro V, depois F, depois V, depois F.

Ok, agora vamos para a proposição q. Vamos alternando os valores lógicos de duas em duaslinhas.

q rV VV F F VF FV VV F F V


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F F

Primeiro colocamos V e V. Depois F e F. Depois V e V. E assim por diante.

E o jeito de fazer é sempre assim, vamos sempre dobrando.

Vamos agora para a proposição p. Novamente dobramos. Alternamos os valores lógicos de 4em 4 linhas.

p q rV V VV V FV F VV F F F V VF V FF F VF F F

Observem que:

- para “p”, alternamos o valor lógico a cada 4 linhas

- para “q”, alternamos o valor lógico a cada 2 linhas

- para “r”, alternamos o valor lógico a cada 1 linha.

Esta é uma forma sistemática de abranger todos os casos possíveis. No fundo, simplesmentetransformamos o diagrama em uma tabela.

E isso ajuda a lembrar que a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposiçõessimples terá n2 linhas.

Exemplo: se a proposição for composta por 2 proposições simples, ela terá 422 = linhas.

Se a proposição for composta por 3 proposições simples, a tabela verdade terá 823 = linhas.

Se a proposição for composta por 4 proposições simples, a tabela verdade terá 1624 = linhas.

Viu? Vai sempre dobrando (4, 8, 16, 32, ...)

⇒ ATENÇÃO:Se uma proposição é composta por n proposições simples, sua tabela verdadeterá 2n linhas.

Agora que já conseguimos relacionar todas as combinações de valores lógicos para p, q e r,podemos continuar montando a tabela verdade.

A proposição composta é:

rqp →∧ )(

O parêntesis nos indica que devemos, primeiro, fazer o “e”.


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p q r qp ∧V V VV V FV F VV F F F V V F V F F F VF F F

Para tanto, consultamos as colunas p e q.

Quando p e q são verdadeiros, a conjunção também é verdadeira.p q r qp ∧V V V VV V F VV F VV F F F V V F V F F F VF F F

Em qualquer outro caso, ou seja, quando pelo menos uma das parcelas é falsa, a conjunçãoserá falsa (em vermelho o que preenchemos agora, em azul o que já havia sido preenchido).

p q r qp ∧V V V VV V F VV F V FV F F FF V V FF V F FF F V FF F F F

Pronto. Já fizemos a parcela que está entre parêntesis.

Agora podemos finalmente fazer a coluna da proposição composta desejada.p q r qp ∧ rqp →∧ )(V V V V V V F V V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F

Temos um condicional. Suas parcelas são:

1ª parcela: qp ∧


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2ª parcela: r

O condicional só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa.

Em qualquer outro caso, o condicional é verdadeiro.

p q r qp ∧ rqp →∧ )(V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V

Pronto. Montamos a tabela-verdade da proposição composta rqp →∧ )( .

Para praticar, vejamos alguns exercícios de concursos.



1. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela verdade da proposição P→ [Q∨R].

Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta.


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2. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela verdade referente àproposição P∧[Q→R].


Resolução. Primeiro item.

Note que a tabela-verdade do enunciado tem apenas 7 linhas (faltou uma linha). Este fato,contudo, não fez com que a banca anulasse o item.

A ideia aqui, para ganhar tempo, é não preencher a tabela inteira. P Q R RQ∨ ( )RQP ∨→ V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Antes de iniciarmos, é conveniente frisar a forma como foi construída a tabela. Observemque, para a proposição R, o valor lógico vai alternando de linha em linha. Para a proposiçãoQ, o valor lógico muda de 2 em 2 linhas. Para P o valor lógico muda de 4 em 4 linhas. Isso éuma forma sistemática de abranger todas as combinações de valores lógicos das trêsproposições. Caso tivéssemos uma quarta proposição, seus valores lógicos seriam trocados acada 8 linhas. Sempre assim, sempre dobrando.

Isso até ajuda a lembrar que uma tabela-verdade precisa sempre ter 2n linhas, onde n é onúmero de proposições simples. Se for uma proposição simples, a tabela terá 2 linhas. Seforem 2 proposições simples, a tabela terá 4 linhas, e assim por diante, sempre dobrando.


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Continuando a questão.

Na última coluna, temos um condicional. Sua primeira parcela é P e sua segunda parcela é RQ∨ .

O único caso em que o condicional é falso é quando a primeira parcela é verdadeira e asegunda é falsa. Logo, o condicional só será falso quando:

P: Verdadeiro

RQ∨ : Falso

A segunda parcela do condicional é: RQ∨ . Temos um “ou”. Ele só será falso quando Q e Rforem falsas. Logo, o único caso que o nosso condicional é falso é quando:

P: Verdadeiro

Q : Falso

R : FalsoP Q R RQ∨ ( )RQP ∨→ V V V V V F V F V V F F F F F V V F V F F F V F F F

Se este é o único caso de falso, todas as demais linhas do condicional são verdadeiras. P Q R RQ∨ ( )RQP ∨→ V V V V V V F VV F V VV F F F F F V V V F V F V F F V V F F F V

A última coluna dada no item foi preenchida de forma correta.

Segundo item.

Novamente, vamos tentar não preencher a tabela inteira.


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P Q R RQ → ( )RQP →∧V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Na última coluna, temos um “e”, formado por duas parcelas. A primeira é P e a segunda é RQ → .

Quando a primeira parcela é falsa, o “e” ´já é falso. Nem precisamos olhar o que acontececom a outra parcela.

P Q R RQ → ( )RQP →∧V V V V V F V F V V F F F V V F F V F F F F V F F F F F

Para ficar bem claro, vou colocar um tracejado para indicar que não nos interessa o queacontece com RQ → quando P é falso.

P Q R RQ → ( )RQP →∧V V V V V F V F V V F F F V V ----- F F V F ---- F F F V ---- F F F F ---- F

Nas demais linhas, P é verdadeiro. Assim, o valor lógico do “e” vai depender da segundaparcela ( RQ → ).

Na segunda parcela, temos um condicional. Ele só será falso quando (fazendo com que o “e” seja falso), quando Q for verdadeiro e R for falso.


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P Q R RQ → ( )RQP →∧V V V V V F F F V F V V F F F V V ----- F F V F ---- F F F V ---- F F F F ---- F

Nos demais casos, a proposição dada na última coluna será verdadeira. P Q R RQ → ( )RQP →∧V V V V V V F F F V F V V V F F V F V V ----- F F V F ---- F F F V ---- F F F F ---- F

A última coluna dada na questão não foi preenchida de forma correta.

Gabarito: certo, errado.


Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “∨”, “∧”, “→ ” e “¬”representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. Asproposições são julgadas como verdadeiras – V – ou como falsas – F. Com base nestasinformações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional.

1. A última coluna da tabela-verdade corresponde à proposição QRP →∧ ) ( P Q R RP ∧V V V V V V F VV F V F V F F VF V V F F V F V F F V F F F F V

2. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição ( ) )( RQP →∨¬ P Q R P ¬ RQ → V V V V


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V V F FV F V V V F F VF V V V F V F VF F V VF F F V

Resolução: Primeiro item.

Novamente, a ideia é não preencher a tabela inteira. Vamos preencher o necessário pararesponder à questão.

P Q R RP ∧ QRP →∧ )(V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Na última coluna temos um condicional. O único caso em que ele é falso é quando a primeiraparcela é verdadeira e a segunda é falsa.

RP ∧ : verdadeira

Q: Falsa

QRP →∧ )( : Falsa

A primeira parcela é composta por um “e”. Para que a primeira parcela seja verdadeira, P e R devem ser verdadeiros.

P: verdadeiro

R: verdadeiro

Q: Falsa

QRP →∧ )( : Falsa

Logo, o único caso em que o condicional é falso é quando P é verdadeiro, R é verdadeiro e Q é falso.

P Q R RP ∧ QRP →∧ )(V V V V V F V F V V F V F F F V V F V F


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P Q R RP ∧ QRP →∧ )(F F V F F F

Deste modo, em todas as outras linhas da última coluna o valor lógico será V. P Q R RP ∧ QRP →∧ )(V V V V V V F V V F V V F V F F V F V V V F V F V F F V V F F F V

Observem que a última coluna não corresponde ao fornecido no enunciado. O item estáerrado.

Segundo item. P Q R P¬ RQ → ( ) )( RQP →∨¬V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Na última coluna temos um “ou”. Ele só será falso quando as duas parcelas forem falsas. Ouseja, ( ) )( RQP →∨¬ é falso se:

P¬ é falso (logo P é verdadeiro)

)( RQ → é falso

Na segunda parcela do “ou” temos um condicional. Ele só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Ou seja, o condicional só é falso quando:

Q é verdadeiro

R é falso

Portanto, a proposição ( ) )( RQP →∨¬ só será falsa se:

P é verdadeiro

Q é verdadeiro

R é falso P Q R P¬ RQ → ( ) )( RQP →∨¬V V V


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V V F F F F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Vimos que o caso acima é o único em que a proposição ( ) )( RQP →∨¬ é falsa. Em todos os demais casos, ela é verdadeira.

P Q R P ¬ RQ → ( ) )( RQP →∨¬V V V V V V F F F F V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F V

A última coluna ficou exatamente como informado no enunciado. Item correto.

Gabarito: errado certo


Considerando as proposições simples que compõem a frase “A música nos conecta a nósmesmos, aos outros e à alma do Brasil”, é correto afirmar que a tabela-verdade da proposiçãoreferente a essa frase tem 8 linhas.

Resolução:

Note que a frase é composta de três proposições simples. Reescrevendo a frase, para ficarmais claro:

(A música nos conecta a nós mesmos) e (a música nos conecta aos outros) e (a música nosconecta à alma do Brasil).

Havendo três proposições simples, a tabela verdade da proposição composta terá 23 = 8linhas.

Gabarito: certo.


O número de linhas da tabela-verdade da proposição é inferior a 6.

Resolução. A proposição é composta por três proposições simples. Logo, a tabela verdade terá 23 linhas.


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Oito não é inferior a seis. O item está errado. 2 8

Gabarito: errado. (gabarito preliminar)

4. Ordem de precedência entre os conectivos Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parêntesis ou colchetes para indicarqual tem precedência.

Como exemplo, considere as duas proposições abaixo:

)( RQP ∨∧

RQP ∨∧( )

Na primeira delas, o “ou” tem prioridade, por causa dos parêntesis. Primeiro fazemos “Q ouR”. Depois, pegamos o resultado disso e fazemos a conjunção com P.

Na segunda proposição, a conjunção tem preferência. Primeiro fazemos “P e Q”. Depoispegamos o resultado disso e fazemos a disjunção com R.

Há situações em que os parêntesis são omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem deprecedência entre os conectivos. A ordem é:

1º: operador “não”

2º: conectivo “e”

3º: conectivo “ou”

4º: conectivo “se então”

Quando a frase está escrita em linguagem comum (em vez da utilização da simbologialógica), não há como colocar parêntesis para indicar qual conectivo deve ser feito primeiro.Neste caso, seguimos a ordem acima indicada.

EC 19. MPOG 2009 [ESAF]

Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.

b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.

c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.

e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Resolução: Letra A

Temos um condicional:


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1ª parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro)

2ª parcela: Londres é a capital da França (falso)

Quando a primeira parcela do condicional é verdadeira e a segunda é falsa, o condicional éfalso.

Letra B.

Outro condicional em que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Proposiçãofalsa.

Letra C.

A proposição em questão é:

Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

Temos um “e” e um “ou”. Seguindo a ordem de precedência, primeiro fazemos o “e”. Depois fazemos o “ou”. Colocando parêntesis, ficaria assim:

(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da França.

A proposição é composta por um “ou”.

Primeira parcela: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França)

Segunda parcela: Paris é a capital da França.

Observem que a segunda parcela do “ou” é verdadeira. Isto já é suficiente para que aproposição inteira seja verdadeira.

Achamos a alternativa correta.

Gabarito: C

⇒

ATENÇÃO:Ordem de precedência entre os conectivos:1 – operador “não” 2 – e 3 – ou 4 – se... então

EC 20. TCE RN 2009 [CESPE]

Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentementedas valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição DCBA ∧→∨ será sempre verdadeira.


35


Resolução: Notem que a questão não usou parêntesis para indicar o que deve ser feito primeiro.

Conhecendo a ordem de precedência entre os conectivos, já sabemos que a proposição dada é:

)() D( CBA ∧→∨

Sabemos que B é falso e D é verdadeiro. Com isso, temos:

)() V( CFA ∧→∨

Na primeira parcela do condicional temos a disjunção entre a proposição A e algo que é falso. Portanto, o valor lógico da disjunção vai depender do valor lógico de A.

Se A for verdadeiro, a disjunção é verdadeira. Contrariamente, se A for falso, a disjunção éfalsa.

Ficamos com:

)()( VCA ∧→

Na segunda parcela do condicional temos uma conjunção entre a proposição C e algo que éverdadeiro. Logo, o valor lógico da conjunção dependerá de C.

)()( CA →

Esta proposição acima pode sim ser falsa. Basta que A seja verdadeiro e C seja falso.

Assim, quando A é verdadeiro, B é falso, C é falso e D é verdadeiro, a proposição DCBA ∧→∨ é falsa.

Gabarito: errado

5. Condição necessária e suficiente

Num condicional QP → , nós temos alguns nomes especiais.

A proposição P é dita antecedente. Por sua vez, a proposição Q é o conseqüente.

Mais alguns nomes.

Num condicional QP → , verdadeiro, dizemos que P é condição suficiente para Q. E Q écondição necessária para P.

p q → Se p, então q

p é condição suficiente para q

q é condição necessária para p

Para não confundir quem é necessário e quem é suficiente, uma dica.

Observe a proposição.

Se p, então q.

A palavrinha “Se” começa com “S”. E suficiente também começa com “s”.

A dica é: a proposição que estiver perto do “s” é a condição suficiente.


36


Essa nomenclatura pode confundir muita gente. Esse “necessário” e “suficiente” não tem nadaa ver com o uso rotineiro de tais palavras. Vocês não podem associá-los a uma relação decausa e conseqüência.

Esta nomenclatura se refere ao comportamento dos valores lógicos na tabela-verdade.

Observe a tabela para a proposição “se p, então q”: P Q QP →V V V V F FF V VF F V

Como nossa proposição composta é verdadeira, vamos ignorar a segunda linha.

Analisando as linhas remanescentes, temos o seguinte:

- em todas as linhas em que P é verdadeiro, Q também é; ou seja, na tabela-verdade, P ser verdadeiro é suficiente para Q também ser;

- em todas as linhas em que Q é falso, P também é; logo, para que P seja verdadeiro, énecessário que Q também seja (embora isso não seja suficiente).

Deste modo, as expressões “condição necessária” e “condição suficiente” apenas se referemao comportamento dos valores lógicos na tabela verdade. Apenas isso.

⇒

ATENÇÃO:Na proposição “ qp → ”, dizemos que “p” é condição suficiente para “q”.Dizemos também que “q” é condição necessária para “p”.

Mais nomes: - “p” é o antecedente - “q” é o consequente


Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”.

Desse modo:

a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.

d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.


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e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Resolução. Neste condicional, temos:

Se (o dia está bonito), então (não chove).

A proposição “o dia está bonito” está próxima do “S”, de suficiente. Portanto:

- o dia estar bonito é condição suficiente para não chover.

- não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

Gabarito: A

6. Outros conectivos lógicos Agora que já praticamos os conectivos mais cobrados em prova (condicional, disjunção econjunção), chegou a hora de estudarmos os dois conectivos restantes:

Disjunção exclusiva (“ou... ou”) Nós já estudamos o “ou” (disjunção inclusiva). Pois bem, existe outro conectivo que é bemparecido com ele. É o “ou... ou”. Agora são dois “ou’s”, colocados na mesma proposição. É ochamado “ou exclusivo”. Seu símbolo é: ∨ .

A tabela verdade do “ou exclusivo” é: P Q QP∨ V V F V F VF V VF F F

A tabela acima é quase igual à tabela do “ou inclusivo”. A única diferença se dá na primeiralinha. Quando as duas proposições simples são verdadeiras, a proposição composta é falsa.

Vamos analisar apenas as linhas da tabela verdade em que a proposição composta éverdadeira.

P Q QP∨ V V F V F VF V VF F F

Nessas linhas, o fato de uma proposição simples ser verdadeira exclui a possibilidade da outra também ser. Por isso o nome “exclusivo”. Podemos pensar que está excluído o caso em que asduas proposições são verdadeiras.

Vejamos um exemplo, sem tabelas-verdade. A ideia é entendermos o que representa oconectivo “ou... ou”.


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EP 6 Inácio é um veterinário. Num dado dia, ele recebe dois cães, gravemente feridos (Alfae Beta, ambos vítimas de atropelamento). Os dois precisam de pronto atendimento. Docontrário, irão falecer.

Inácio não tem outros veterinários para lhe auxiliar, só tendo condições de atender a um doscães por vez. Avalie o comportamento de Inácio nas situações abaixo.

a) Inácio atende Alfa e o salva; Beta não é atendido e morre.

b) Inácio atende Beta e o salva; Alfa não é atendido e morre.

c) Inácio tenta atender os dois ao mesmo tempo. Acaba não conseguindo atender nenhum doscães de forma adequada e ambos morrem.

d) Inácio não atende a nenhum dos dois e ambos morrem.

Resolução:

Na letra “a”, Inácio agiu corretamente. Ele não teria como atender os dois cães. Ele escolheu ocão Alfa e o salvou. Era o máximo que ele poderia fazer naquelas condições. Pelo menos umdos cães foi salvo. Na letra “a”, dizemos que Inácio agiu de forma adequada, dadas asrestrições que ele tinha.

Pelo mesmo raciocínio, na letra “b” também dizemos que Inácio agiu de forma adequada. Elesó teria condições de salvar um cão. Ele escolheu Beta e o fez.

Na letra “c” Inácio não foi um bom profissional. Tentou atender aos dois cães, o que ele jásabia que não seria possível. Consequentemente, nenhum cão foi atendido de forma adequadae ambos morreram.

Na letra “d” Inácio também agiu de forma inadequada. Ao não atender nenhum dos cães, elesimplesmente não salvou Alfa nem Beta (quando era possível salvar um dos dois).

Podemos dizer que ou Inácio atende Alfa ou Inácio atende Beta. As únicas formas de ele agircorretamente são quando ele atende só o Alfa ou só o Beta. Dividindo a frase em duas partes,teríamos: primeira parte – atender Alfa; segunda parte – atender Beta.

O comportamento de Inácio só é adequado quando a primeira parte acontece (atende Alfa) e asegunda não (não atende Beta). Outra forma de seu comportamento ser adequado é quando aprimeira parte não acontece (não atende Alfa) e a segunda parte acontece (atende Beta).

De modo análogo, uma proposição com o conectivo “ou ... ou” só é verdadeira quando umtermo é verdadeiro e o outro é falso. Qualquer outra situação implica em proposição falsa.

É muito importante saber diferenciar a disjunção exclusiva (ou ... ou) da disjunção inclusiva.

As tabelas-verdades de ambas são quase iguais. A diferença se dá apenas quando os doistermos são verdadeiros.


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Na disjunção inclusiva, os dois termos verdadeiros implicam em proposição verdadeira. É sólembrar do exemplo do José, que poderia comprar carne ou peixe. Quando as duas parcelasacontecem (ou seja, quando ele compra carne e peixe), ele cumpriu sua missão (pois Mariapoderá fazer o almoço). José agiu de maneira satisfatória.

Na disjunção exclusiva, se os dois termos são verdadeiros, temos uma proposição falsa. É sólembrar do exemplo do Inácio. Inácio deveria atender ou Alfa ou Beta. Quando as duasparcelas acontecem (ou seja, quando ele atende os dois cães), aí ele não agiu de formasatisfatória (pois ambos, Alfa e Beta, morrem).

Bicondicional (se e somente se)

Seu símbolo é: “↔ ”

Sua tabela verdade é: p q p ↔ q V V VV F F F V F F F V

Então, para que o “se, e somente se” seja verdadeiro, ou as duas proposições são verdadeirasou as duas são falsas.

Um exemplo para vocês gravarem a tabela verdade do bicondicional é o que segue:

EP 7 Rosa foi ao médico, pois está sentindo dores. O médico faz alguns exames, para ver seela está doente ou não, e, se necessário, receita um medicamento.

Como Rosa avaliaria a qualidade do médico em cada uma das hipóteses abaixo?

a) Rosa estava doente e o médico receitou um remédio.

b) Rosa estava doente e o médico não receitou um remédio.

c) Rosa não estava doente e o médico receitou um remédio.

d) Rosa não estava doente e o médico não receitou um remédio.

Resolução.

Na letra “a”, Rosa estava realmente doente. O médico detectou a doença e receitou umremédio. É exatamente o que se espera de um bom médico. Nesta situação, Rosa diria que seumédico realizou um bom atendimento.

Na letra “b”, Rosa estava doente. O médico, contudo, não detectou a doença e não receitouremédio algum. Para Rosa, ele certamente não foi um bom médico.


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Na letra “c”, Rosa não estava doente. Ainda sim o médico receitou um remédio. Sabemos queos remédios não podem ser usados indiscriminadamente, quando a pessoa está saudável. Amedicação desnecessária pode causar diversos efeitos negativos. Deste modo, na letra “c”Rosa diria que se trata de um médico ruim, que receitou remédios desnecessariamente.

Na letra “d”, Rosa não estava doente. O médico percebeu isso e não receitou remédio algum.Talvez só tenha recomendado descanso, repouso, algo do gênero. Mas agiu corretamente, aonão prescrever nenhuma medicação. Foi um bom médico.

Podemos dizer que o médico deve receitar um remédio se e somente se Rosa estiver doente.

Separando a frase acima em duas parcelas, temos: primeira parcela – o médico receita o remédio; segunda parcela – Rosa está doente.

O médico só será qualificado como um bom médico se as duas parcelas ocorrerem ou se asduas não ocorrerem.

Caso uma das parcelas ocorra e a outra não, então ele será um médico ruim.

De forma análoga, uma proposição com o conectivo “se e somente se” só será verdadeira casoos dois termos sejam verdadeiros ou caso os dois termos sejam falsos.

Se um dos termos for verdadeiro e o outro for falso, então a proposição com “se e somente se”será falsa.

A disjunção exclusiva e o bicondicional, de forma geral, são pouco exigidos em concursos.

EC 22. SEFAZ MG 2005 [ESAF]

O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragãodesaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentandocompreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluircorretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluircorretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluircorretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as trêsperguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não

b) Não, não, sim

c) Sim, sim, sim

d) Não, sim, sim

e) Sim, não, sim


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Resolução. Vamos dar nomes às proposições. A proposição d (de dragão) será:

d: O dragão desaparecerá amanhã.

A proposição a (de Aladim) será:

a: Aladim beijou a princesa ontem

A afirmação do mago é:

ad ↔

Item 1.

A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparece amanhã. Logo:

d: Verdadeiro

ad ↔ : Falso

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja falso,a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim não beijou a princesaontem.

Item 2.

A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparece amanhã. Logo:

d: Verdadeiro

ad ↔ : Verdadeiro

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou aprincesa ontem.

Item 3.

A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Logo:

a: Falso

ad ↔ : Falso

Uma das parcelas do bicondicional é falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragão desaparecerá amanhã.

As respostas às três perguntas são: não, sim, sim.

Gabarito: D


( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨

Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a proposição acima é verdadeira?


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(A) V, V, V, V, V

(B) V, F, V, F, F

(C) F, F, V, F, F

(D) F, V, F, V, F

(E) F, F, V, V, V

Resolução. A proposição dada foi:

( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨

Temos um bicondicional.

Sua primeira parcela é: ( ))()( srqp ∧→∨ .

¬ Sua segunda parcela é: t

Letra A. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V V V V V

A proposição t é verdadeira. Nesse caso, ~t é falso. Para que o bicondicional seja verdadeiro,sua primeira parcela deve ser falsa. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V V V V V F

Observando os valores de r e s, temos:

sr ∧ : Verdadeiro p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V V V V V V F

Isso já garante que o condicional abaixo seja verdadeiro. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V V V V V V V F

Como as duas parcelas do bicondicional têm valores lógicos diferentes, o bicondicional éfalso. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V V V V V V V F F

Letra B. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V F V F F V

Temos que qp∨ é verdadeiro e sr ∧ é falso. Isto faz com que ( ))()( srqp ∧→∨ seja falso.


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p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V F V F F V F F V

As duas parcelas do condicional têm valores lógicos diferentes. Logo, o bicondicional é falso. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨V F V F F V F F V F

Letra C. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨F F V F F V

Temos que qp∨ é falso, o que faz com que ( ))()( srqp ∧→∨ seja verdadeiro. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨F F V F F F V V

As duas parcelas do bicondicional têm valores lógicos iguais, o que faz com que obicondicional seja verdadeiro. p q r s t qp∨ sr ∧ ( ))()( srqp ∧→∨ ~t ( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨F F V F F F V V V

Gabarito: C

II. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

1. Tautologia Trata-se de uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos V,independente dos valores lógicos que assumem suas proposições de origem.

Exemplo: Ou chove ou não chove.

Temos duas parcelas

1) Chove (p)

2) Não chove (~p)

A tabela-verdade desta afirmação fica assim:

p ~p p ∨ ~p V F V F V V

Só temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lógicos de “p”. Por isso, a afirmação “Ou chove ou não chove” é uma tautologia.


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2. Contradição Trata-se de uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos F,independente dos valores lógicos das proposições que lhe dão origem.

Exemplo: )(~ pp ∧ .

A tabela-verdade desta proposição composta fica: p ~p p ∧ ~p V F F F V F

Observem a última coluna (destacada em vermelho). A proposição composta é sempre falsa,não interessa o que ocorra com as proposições simples.

3. Contingência Há uma contingência quando não temos nem uma tautologia nem uma contradição, ou seja,quando a tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor dasproposições que dão origem à sentença em análise.

Exemplo: p ↔ q p q p ↔ qV V VV F F F V F F F V

O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas são ou ambasverdadeiras ou ambas falsas) quanto falso (quando uma parcela é verdadeira e a outra é falsa).Com isso, o “se, e somente se” não é nem uma tautologia, nem uma contradição. É umacontingência.

A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e acontradição são exceções.


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⇒

ATENÇÃO:Tautologia: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógicoV Contradição: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valorlógico F. Contingência: proposição composta que apresenta tabela verdade com valoreslógicos V e F


1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que osvalores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros.

2. Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a últimacoluna dessa tabela corresponderá à expressão ( )[ ] [ ]PQQP →∨¬∧ .

P Q Q¬ ( )[ ]QP ¬∧ PQ → V V V V F V F V F F F V

Resolução:

Primeiro item.

O item afirma que a tautologia é verdadeira apenas quando as proposições simples são todasverdadeiras. Ou pelo menos era isso que o item queria ter afirmado. Na minha opinião, aredação da questão poderia ter sido um pouquinho mais clara.

Analisando o item, temos que a tautologia é sempre verdadeira, independente dos valoreslógicos das proposições simples. Item errado.

Segundo item. P Q Q¬ ( )[ ]QP ¬∧ PQ → ( )[ ] [ ]PQQP →∨¬∧V V V F F V F F

Uma forma mais rápida de resolver é utilizando as ferramentas da álgebra de proposições,matéria que não veremos neste curso, por ser pouco cobrada em prova.

Vamos para a nossa solução usual.

Na última coluna, temos um “ou”. Ele só será falso quando todas as parcelas forem falsas.

1ª parcela: ( )[ ]QP ¬∧


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2ª parcela: [ ]PQ →

Vamos tentar fazer com que as duas parcelas acima sejam falsas, ao mesmo tempo.

Na segunda parcela, temos um condicional. Ele só será falso quando Q for verdadeiro e P forfalso.

Q: verdadeiro

P: falso

[ ]PQ → : falso

Este é o único caso em que a segunda parcela da disjunção será falsa.

Agora vamos para a primeira parcela. Temos uma conjunção. A primeira parcela daconjunção é P, que, como vimos acima, é falso. Logo, a conjunção inteira será falsa.

Q: verdadeiro

P: falso

( )[ ]QP ¬∧ : falso

Vamos preencher a tabela: P Q Q¬ ( )[ ]QP ¬∧ PQ → ( )[ ] [ ]PQQP →∨¬∧V V V F F V F F F F F F

Em qualquer outra situação, PQ → será verdadeiro, o que faz com que a disjunção seja verdadeira.

P Q Q¬ ( )[ ]QP ¬∧ PQ → ( )[ ] [ ]PQQP →∨¬∧V V V V F V F V F F F F F F V

A última coluna informada no comando da questão está correta.

Gabarito: errado, certo.


A proposição é uma tautologia.

Resolução.

Na próxima aula, veremos uma forma bem mais rápida de resolvermos este tipo de questão.Veremos que este condicional não pode ser associado a um argumento válido. Portanto, estecondicional não é tautológico.

Enquanto ainda não estudamos esta matéria, vamos nos ater à tabela verdade.

Primeiro preenchemos as colunas das proposições simples.


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P Q V V V F F V F F

A única situação em que o condicional é falso ocorre quando:

- o antecedente é verdadeiro

- o conseqüente é falso.

Observe a linha em vermelho abaixo: P Q V V V F V F F V F F

Nesta linha, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. Logo, o condicional é falso. P Q V V V F V F F F V F F

Se este condicional fosse tautológico, ele só apresentaria valores lógicos V na última coluna.Contudo, já sabemos que, pelo menos na segunda linha, o valor lógico é F. Logo, não é umatautologia.

Item errado.

Gabarito: errado. (gabarito preliminar)

III. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Existem algumas proposições compostas que apresentam tabelas verdades idênticas. Quandoisso acontece, dizemos que as proposições envolvidas são equivalentes.

Em outras palavras, duas proposições compostas são equivalentes quando apresentam sempreo mesmo valor lógico, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que ascompõem.

Quando duas proposições p, q são equivalentes escrevemos p q⇔ .

É possível construirmos inúmeras equivalências lógicas. Para concursos, eu creio que quatrodelas são especialmente importantes:

· ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

· ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

· p → q ⇔ (~p) ∨ q

· p → q ⇔ (~q) → (~p)


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Vamos focar na primeira equivalência lógica: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q).

Para comprovar que estas duas proposições são equivalentes, basta fazer as respectivas tabelasverdades.

Vamos lá!

Vamos começar com a tabela-verdade de “~(p ∧ q)” p q p ∧ q ~(p ∧ q) V V V F V F F V F V F V F F F V

Agora vamos para a tabela verdade de (~p) ∨ (~q)p ~p q ~q (~p) ∨ (~q)V F V F F V F F V V F V V F V F V F V V

Observem as últimas colunas, destacadas em vermelho.

Elas são idênticas!!!

Por isso dizemos que as proposições “~(p ∧ q)” e “(~p) ∨ (~q)” são equivalentes.

Usando um procedimento semelhante, podemos verificar que todas as demais equivalênciasapresentadas estão corretas.

Muito bem. Vamos agora ver questões de concurso sobre cada uma das equivalências acimamencionadas.

1. Primeira equivalência: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)



A proposição ¬(P∧Q) é equivalente à proposição (¬P)∨ (¬Q).

Resolução: Lembrando a primeira equivalência apresentada foi:

~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

Na primeira proposição nós temos a negação de uma conjunção.

Na segunda proposição, nós temos a disjunção de duas negações.

Dando exemplos com frases fica mais fácil.

P: Não é verdade que: Pedro é alto e Júlio é rico.

Olhem a estrutura desta proposição. Temos uma negação, que incide sobre o conectivo “e”.

P: Não é verdade que ((Pedro é alto) e (Júlio é rico).


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A proposição equivalente seria:

Q: (Pedro não é alto) ou (Júlio não é rico)

Em outras palavras: A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlionão é rico”.

Com isso, nós dizemos que, para negar um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos oconectivo por um “ou”.

Visto isso, voltemos à questão.

Foi dada a seguinte proposição:

¬(P∧Q)

Temos justamente a negação de um conectivo “e”.

Para achar a sua equivalência, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por um “ou”.

Fica assim:

(¬P)∨ (¬Q).

Gabarito: Certo.

⇒

ATENÇÃO:Para negar um “e”: - negamos cada uma das parcelas;- trocamos o “e” por um “ou”.Resultado:

~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

2. Segunda equivalência: ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

EC 27. SEFAZ SP 2009 [ESAF]

A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

Resolução: A segunda equivalência lógica importante que mencionamos é:

~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)


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Ou seja, para negar um “ou” lógico, nós devemos fazer um “e” da negação de cada parcela.

Ou ainda: para negar um “ou”, nós negamos cada parcela e trocamos o “ou” por um “e”.

Exemplo: A negação de “O governo aumenta os juros ou a inflação sobe” é “O governo nãoaumenta os juros e a inflação não sobe”.

Nesta questão, temos:

Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra.

Queremos negar esta frase.

A proposição original é composta de um “Ou”, com duas parcelas.

1ª parcela: Milão é a capital da Itália.

2ª parcela: Paris é a capital da Inglaterra.

Negando as parcelas:

Negação da 1ª parcela: Milão não é a capital da Itália

Negação da 2ª parcela: Paris não é a capital da Inglaterra.

Agora juntamos as duas coisas, trocando o conectivo “ou” por “e”. Fica assim:

Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

Gabarito: A

⇒

ATENÇÃO:Para negar um “ou”: - negamos cada uma das parcelas;- trocamos o “ou” por um “e”.Resultado:

~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

3. Terceira equivalência: p → q ⇔ (~p) ∨ q

EC 28. CGU 2008 [ESAF]

Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Doponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.


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e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Resolução:

A terceira equivalência lógica importante é: p → q ⇔ (~p) ∨ q

Exemplo: Dizer que “Se os juros baixam então eu compro um carro novo” é o mesmo quedizer (em termos lógicos) que “Os juros não baixam ou eu compro um carro novo”.

Para conferir a equivalência, montemos as tabelas-verdade.

Iniciemos com o condicional, que já conhecemos. p q p → qV V VV F F F V VF F V

Do outro lado da igualdade temos um “ou”.

p ~p q (~p) ∨ qV F V V V F F F F V V V F V F V

Vejam que as colunas correspondentes às proposições compostas, destacadas em vermelho,são idênticas. Por isso as proposições em questão são equivalentes.

⇒

ATENÇÃO:Podemos trocar um condicional por um “ou”. Basta negar a primeira parcela emanter a segunda. Ou seja:

qp → equivale a q)p ∨(~

Voltemos à questão da ESAF.

Vamos ver a afirmação do economista:

“A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”

Podemos observar que a frase do economista usa o conectivo “ou”. Olhando para asalternativas, percebemos que todas elas apresentam condicionais. Neste momento, já devemosficar atentos para a equivalência que relaciona o condicional com o “ou” (disjunção). Vamosrevê-la:

p → q ⇔ (~p) ∨ q

O que estes símbolos me dizem?


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Que podemos trocar um condicional por um “ou”. Bata negar a primeira parcela e manter asegunda.

E é exatamente isso que vamos fazer.

Vamos negar a primeira parcela e vamos manter a segunda.

Vamos ver quais são as parcelas da nossa afirmação:

Primeira parcela: A inflação não baixa (~p)

Segunda parcela: A taxa de juros aumenta (q)

Reparem que a afirmação do enunciado tem exatamente a forma do “ou” na propriedade:

A inflação não baixa = (~p)

ou a taxa de juros aumenta = q

Podemos usar imediatamente a equivalência que aprendemos:

p → q = (~p) ∨ q A figura abaixo detalha a equivalência:

Assim:

A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. ((~p) ∨ q)

É dizer a mesma coisa que:

Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. (p → q)

Gabarito: D


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4. Quarta equivalência: p → q ⇔ (~q) → (~p)

EC 29. Polícia Federal 2009 [CESPE]

As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra nãoserá bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarraserá bem-sucedida” são equivalentes.

Resolução: Outra equivalência lógica importante é a seguinte.

qp → é equivalente a )(~)(~ pq →

Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

Exemplo: Dizer “Se baixam os juros então a inflação sobe” é o mesmo que dizer, em termoslógicos, que “Se a inflação não sobe então os juros não baixam”.

Do lado esquerdo da igualdade temos o condicional a que estamos acostumados.p q p → q V V V V F F F V V F F V

Do lado direito temos outro condicional.

(~q) → (~p). p ~p q ~q (~q) → (~p) V F V F V V F F V F F V V F V F V F V V

Vejam que as últimas colunas, em vermelho, são idênticas, mostrando que as proposições sãoequivalentes.

⇒

ATENÇÃO:Num condicional podemos inverter as parcelas e, em seguida, nega-las. Ou seja:

qp → equivale a )(~)(~ pq →

Um outro exemplo bem legal.

Lembram daquela propaganda que aparece toda hora na televisão? As frases ditas são:

Se beber, então não dirija.

Se for dirigir, então não beba.


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É claro que a ideia da propaganda é reforçar, ao máximo, que bebida e direção não combinam.Mas, em termos lógicos, não seria necessário que as duas frases fossem ditas. Isto porque elassão equivalentes!!!

Olhem só:

Se beber, então não dirija.

Temos:

- primeira parcela: beber

- segunda parcela: não dirigir.

Agora vamos trocar a ordem das parcelas, negando-as. Ficamos com:

- primeira parcela: dirigir.

- segunda parcela: não beber.

Ok, sabendo desta equivalência lógica, podemos retomar a questão do CESPE.

A proposição dada foi:

“Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida”.

Para achar a equivalência, negamos as parcelas e fazemos a inversão. Ficaria assim:

“Se a operação agarra for bem sucedida, então o delegado prenderá o chefe da quadrilha.”

O enunciado apenas fez as negações, sem promover a inversão das parcelas. Por isso o itemestá errado.

Gabarito: errado.

5. Outros exercícios sobre equivalências. Agora que já estudamos as equivalências, vamos ver mais exercícios, mas desta vez semsepará-los em tópicos, para que vocês tentem descobrir qual equivalência usar.


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EC 30. INEP 2008 [CESGRANRIO]

Admita verdadeira a declaração: “se A é C, então B não é C”.

Conclui-se corretamente que

(A) se B é C, então A não é C.

(B) se B é C, então A é C.

(C) se B não é C, então A não é C.

(D) se B não é C, então A é C.

(E) se A não é C, então B é C.

Resolução. Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

Ou seja, “se A é C, então B não é C” é equivalente a “se B é C, então A não é C”.

Gabarito: A

EC 31. TJ RO 2008 [CESGRANRIO]

Considere verdadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”.

Com base na declaração, é correto concluir que, se

(A) x é ímpar, então y é par.

(B) x é ímpar, então y é ímpar.

(C) y é ímpar, então x é par.

(D) y é par, então x é par.

(E) y é par, então x é ímpar.

Resolução.


A negação de “x é par” é “x é ímpar”.

A negação de “y é ímpar” é “y é par”.

Logo, são equivalentes as duas frases abaixo:

“Se x é par, então y é ímpar”.

“Se y é par, então x é ímpar”

Gabarito: E Observação: na verdade, dizer que a negação de “x é par” é “x é ímpar” não é correto.

Um número que não seja par não precisa, necessariamente, ser ímpar.

Exemplo: o número √2 não é par. Mas isso não nos permite afirmar que seja ímpar.


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Contudo, não estamos aqui para brigar com a questão. Nunca faça isso. Imprecisões, falhas,erros, todos nós cometemos, e não é diferente com qualquer banca examinadora. Por isso,faça sempre o que o examinador quer que você faça.


Considerando verdadeira a declaração “Se x > 0, então y = 1”, qual a conclusão correta?

(A) Se y ≠ 1, então x < 0.

(B) Se y ≠ 1, então x ≤ 0.

(C) Se y ≠ 1, então x = 0

(D) Se y = 1, então x > 0.

(E) Se y = 1, então x ≤ 0.

Resolução. Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

A negação de 0 >x é 0≤x .

A negação de 1 =y é 1≠y

Logo, “Se x > 0, então y = 1” é equivalente a “Se 1≠y , então 0≤x ”.

Gabarito: B


Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q suas respectivas negações. Em cada uma dasopções abaixo, há duas proposições compostas, formadas por p e q. As duas proposiçõescompostas são equivalentes em

Resolução. Podemos trocar um condicional por um “ou”. Basta negar a primeira parcela e manter asegunda. Logo:

pq → equivale a pq∨~


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Num “ou”, a ordem das parcelas não altera o resultado.

pq∨~ equivale a qp ~∨

Portanto:

pq → equivale a qp ~∨

Gabarito:D


Qual é a negação de “Márcio fala francês e não fala inglês” ?

(A) Márcio não fala francês ou não fala inglês.

(B) Márcio não fala francês ou fala inglês.

(C) Márcio não fala francês e não fala inglês.

(D) Márcio não fala francês e fala inglês.

(E) Márcio fala francês ou não fala inglês.

Resolução.

A proposição é:

(Márcio fala francês) e (não fala inglês).

Para negar um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficaria assim:

(Márcio não fala francês) ou (fala inglês).

Gabarito: B

EC 35. Enap 2006 [ESAF]

Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo quedizer:

a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

Resolução:

Temos a seguinte proposição:

“Ana não é alegre ou Beatriz é feliz”

Temos um “ou” no enunciado e condicionais nas alternativas.


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Podemos trocar um “ou” por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter asegunda.

As partes da afirmação do enunciado são:

Primeira parcela: Ana não é alegre (~p)

Segunda parcela: Beatriz é feliz (q)

Fazendo a equivalência, temos:

Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. (p → q)

Gabarito: C


A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.

d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.

e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.

Resolução. A proposição original contém uma conjunção.

(Maria comprou uma blusa nova) e (foi ao cinema com José).

Para negarmos um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficamoscom:

(Maria não comprou uma blusa nova) ou (não foi ao cinema com José).

Gabarito: A

EC 37. AFRFB 2009 [ESAF]

Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendoassim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Resolução.


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Na verdade, a questão está mal escrita.

O que a banca queria era que o candidato marcasse a alternativa com uma proposiçãoequivalente à dada no comando da questão.

Vamos então fazer isso.

Vamos dar nomes às proposições simples.

p: Chove

q: neva

r: o chão fica molhado.

Representando a proposição dada por meio de símbolos:

rqp →∨ )(


Logo:

rqp →∨ )( ⇔ )(~~ qpr ∨→

Ficamos com a seguinte proposição, que é equivalente àquela dada pelo enunciado:

)(~~ qpr ∨→

Podemos trabalhar mais um pouco com esta proposição.

Na sua segunda parcela, temos a negação de um “Ou”. Para negar um “ou”, negamos cadaparcela e trocamos o conectivo por um “e”.

Logo, chegamos à seguinte proposição:

)(~)(~~ qpr ∧→

Em palavras, temos:

Se o chão não fica molhado, então não chove e não neva.

Ou ainda:

Se o chão fica seco, então não chove e não neva.

Isso está expresso na letra E, que foi dada como gabarito.


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Gabarito: E


Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem, julgue o item que se segue.

As proposições “Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes.

Resolução. A proposição dada foi:

“Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário”

Temos um condicional. Suas parcelas são:

1ª parcela: Mário é assessor de Pedro.

2ª parcela: Carlos é cunhado de Mário.

Para achar a equivalência, podemos negar as parcelas e, em seguida, invertê-las.

negação da 1ª parcela: Mário não é assessor de Pedro.

negação da 2ª parcela: Carlos não é cunhado de Mário.

Invertendo:

“Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro”.

Gabarito: certo


Texto I

Uma sentença que possa ser julgada como verdadeira — V — ou falsa — F — é denominada proposição. Para facilitar o processo dedutivo, as proposições são freqüentementesimbolizadas. Considere como proposições básicas as proposições simbolizadas por letrasmaiúsculas do alfabeto, tais como, A, B, P, Q, etc. Proposições compostas são formadasusando-se símbolos lógicos. São proposições compostas expressões da forma P ∨ Q que têmvalor lógico V somente quando P e Q são V, caso contrário vale F, e são lidas como “P e Q”;expressões da forma P∧ Q têm valor lógico F somente quando P e Q são F, caso contráriovalem V, e são lidas como “P ou Q”; expressões da forma P→Q têm valor lógico F somentequando P é V e Q é F, caso contrário valem V, e são lidas como “se P então Q”. Expressõesda forma ¬P simbolizam a negação de P, e são F quando P é V, e é V quando P é F.

Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valoreslógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por [ ])( QP ¬→¬ possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a) QP ∨¬ )(

b PQ →¬ ) (


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c) [ ])()( QP ¬∧¬¬

d) [ ])( Q¬¬ P →

e) QP ∧

Resolução: Outro exercício de equivalências lógicas.

Vamos partir da proposição dada no comando da questão.

[ ])( QP ¬→¬

Não aprendemos como negar um condicional, mas sabemos como transformar um condicionalem “ou”. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

[ ])( QP ¬→¬ equivale a ( )[ ])( QP ¬∨¬¬

O símbolo que usamos para indicar equivalência é: ⇔

[ ])( QP ¬→¬ ⇔ ( )[ ])( QP ¬∨¬¬

Agora temos uma negação de um “ou”. Verificando as alternativas, não há nenhuma quecontemple a proposição acima. Precisamos trabalhar um pouco mais.

Já aprendemos como negar um “ou”. Basta negar cada parcela e trocar o conectivo por um“e”:

[ ])( QP ¬→¬ ⇔ QP ∧

Ah, agora sim. A alternativa “E” contempla justamente a proposição acima. Ela é a resposta.

Então temos mais uma equivalência lógica. Sabemos que:

[ ])( QP ¬→¬ equivale a QP ∧

Se você quiser gravar mais essa equivalência, fique à vontade. Eu, particularmente, só gravoas quatro que vimos inicialmente. As demais que caem em concurso, geralmente, sãofacilmente obtidas a partir delas. Considerando que daria para ficar montando inúmerasequivalências, creio que só é produtivo gravar as principais.

Gabarito: E

EC 40. TRE MA 2009 [CESPE]

Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação daproposição “Mário é contador e Norberto é estatístico.”

A Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico.

B Mário não é contador e Norberto não é estatístico.

C Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico.

D Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

E Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.


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Resolução: Outra questão que cobra exatamente a mesma equivalência da questão anterior.

Foi dada a seguinte proposição:

Mário é contador e Norberto é estatístico.

Queremos negar esta proposição, que apresenta o conectivo “e”. Para tanto, negamos cadaparcela e trocamos o conectivo por um “ou”. Ficamos com:

A negação de “Mário é contador e Norberto é estatístico”

é igual a:

“Mário não é contador ou Norberto não é estatístico.”

Ok, fizemos a negação. Só que, nas alternativas, nenhum traz a resposta a que chegamos. Precisamos trabalhar mais um pouco.

Podemos trocar um “ou” por um “condicional”. Basta negar a primeira parcela e manter asegunda. Temos:

“Mário não é contador ou Norberto não é estatístico.”

é equivalente a:

“Se Mário é contador, então Norberto não é estatistico”

Isso está exposto na letra D.

Gabarito: D

EC 41. CAPES 2008 [CESGRANRIO]

Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. A negação daproposição composta qp ~→ é

(A) ~p → ~q

(B) ~p → q

(C) p → q

(D) p ∧ ~q

(E) p ∧ q

Resolução.

( )qp ~~ →

Podemos trocar o condicional por um “ou”. Basta negar a primeira parcela e manter asegunda.

( )qp ~~~ ∨

Para negar um “ou”, nós negamos cada parcela e trocamos o “ou” por um “e”.


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( )qp ∧

Gabarito: E

EC 42. IPEA 2008 [CESPE]

Considere a afirmação X seguinte, que pode ser V ou F: “Se Maria for casada, então ela viráde vestido branco”. Tendo como base o texto, essa afirmação e as possíveis valorações V ou Fdas proposições simples que a compõem, julgue os itens seguintes.

1. Independentemente de X ser V ou F, a proposição “Se Maria não vier de vestido branco,então ela não é casada” será sempre V.

2. Se as proposições “Maria é casada” e “Maria não virá de vestido branco” forem ambas V,então X será F.

3. Se a proposição “Maria é casada” for F, então, independentemente de X ser V ou F, aproposição “Se Maria não for casada, então ela não virá de vestido branco” será sempre F.

4. As tabelas-verdade das proposições “Se Maria não vier de vestido branco, então ela não écasada” e “Se Maria é casada, então ela virá de vestido branco” são iguais.

Resolução: Primeiro item.

A proposição X é:

X: Se Maria for casada, então ela virá de vestido branco.

Num condicional, podemos inverter a ordem das parcelas e nega-las. Assim, esta proposição X é equivalente a:

Se ela não vier de vestido branco, então ela não é casada.

Como as duas proposições são equivalentes, elas terão sempre o mesmo valor lógico (quepode ser verdadeiro ou falso, dependendo se Maria é de fato casada ou não e se o vestido é defato branco ou não).

E só sabemos isso: que ambas são equivalentes. Não temos condições de afirmar se sãoverdadeiras ou falsas, como pretendeu o item.

Segundo item.

Somos informados que:

Maria é, de fato, casada.

Maria não virá de vestido branco.

A nossa proposição X é:

X: Se Maria for casada, então ela virá de vestido branco.

Sua primeira parcela é verdadeira e sua segunda parcela é falsa. Esta é a única situação emque o condicional é falso.


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Terceiro item.

É informado que:

Maria não é casada.

A proposição a ser analisada é:

Se Maria não for casada, então ela não virá de vestido branco.

O antecedente é verdadeiro. O conseqüente, este nós não sabemos se é verdadeiro ou falso. Deste modo, não temos como saber o valor lógico do condicional. Não podemos afirmar que éverdadeiro (o que ocorreria se ela realmente não vier de vestido branco) ou que é falso (o queocorreria se ela vier de vestido branco).

Quarto item.

As duas proposições dadas são equivalentes. Suas tabelas verdade são, realmente, iguais. Basta lembrar que, num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

Gabarito: errado, certo, errado, certo.

EC 43. Petrobras 2010 [CESGRANRIO]

Dos slogans abaixo, o que é equivalente a “Se beber, então não dirija” é

(A) “Se não dirigir, então beba”.

(B) “Não beba nem dirija”.

(C) “Não beba ou não dirija”.

(D) “Se não beber, então dirija”.

(E) “Beba e não dirija”.

Resolução. A partir de um condicional, podemos montar duas equivalências.

- Primeira: trocamos o condicional por um “ou”. Basta negar a primeira parcela e manter asegunda:

Não beba ou não dirija.

- Segunda: invertemos as parcelas, fazendo as negações:

Se dirigir, não beba.

Gabarito: C

IV. ASSOCIAÇÃO DE INFORMAÇÕES

Sempre que os editais contemplam proposições, as provas cobram, “no pacote”, alguns tiposde exercícios diferentes dos que vimos acima. São exercícios em que temos que associarinformações (exemplo: temos um engenheiro, um matemático e um arquiteto, um baiano, umcarioca e um catarinense etc, e temos que saber quem é quem). Outro tipo de exercício é o


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“verdade/mentira”. Há uma pessoa que sempre mente, outra que sempre diz a verdade, e vocêtem que saber quem é quem.

Não há o que mencionar de teoria para resolver estas questões. Por isso, vamos direto para aresolução dos exercícios.


Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder ExecutivoFederal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delastomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado paraprovidências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de ÉticaProfissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada porexatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitudeA3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão contempladasna tabela a seguir, em que cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com umacoluna, foi preenchida com V (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha ter tomado aatitude representada na coluna, ou com F (falso), caso contrário.


1 A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP.

2 A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diantede filas ou de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos serviços.

3 Se P for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas serencaminhado para providências” e Q for a proposição “Renata buscou evitar situaçõesprocrastinatórias”, então a proposição P→ Q tem valor lógico V.

Resolução.

Este é um típico exercício de associação de informações. Temos três servidoras e cada umadelas tomou uma atitude. Temos que saber quem tomou qual atitude (ou seja, temos queassociar cada atitude a uma servidora).

Para tanto, o CESPE fornece uma tabelinha útil para fazemos as associações.

Observem a letra V da tabela:


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Ela nos indica que a proposição correspondente é verdadeira. Ou seja, Renata tomou a atitudeA3.

Analogamente, a letra F indica que Roberta não tomou a atitude A1.

Ok, agora voltemos à atitude A3, tomada por Renata.

Como cada atitude só foi tomada por uma única servidora, já podemos concluir que maisninguém tomou a atitude A3.

Agora observem a linha correspondente a Roberta. Já sabemos que ela não tomou as atitudesA1 e A3. Logo, para Roberta só sobrou a atitude A2.

Podemos concluir que a atitude A2 não foi tomada por qualquer outra mulher.

Observem a linha de Rejane. Para ela só sobrou a atitude A1.


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Pronto. Já preenchemos todas as células. Agora podemos julgar os itens.

O primeiro item afirma que a atitude de Roberta fere o CEP.

Já sabemos que Roberta tomou a atitude A2 (alterou texto de documento oficial que deveriaapenas ser encaminhado para providências).

Certamente a questão pretendeu misturar a cobrança de raciocínio lógico com código de éticado servidor público, matéria na qual este professor é um completo ignorante. Contudo, usandoo bom senso, não parece razoável que tal atitude seja correta. Podemos afirmar que, de fato,fere o tal do CEP.

De todo modo, para “me garantir”, pesquisei no site da presidência e achei o código de ética(decreto 171/94). A seção III do capítulo I do Anexo do decreto traz uma série de vedações aoservidor. Uma delas é alterar ou deturpar o teor de documentos que deva encaminhar paraprovidências, que foi exatamente o que Roberta fez. Item certo.

O segundo item afirma que a atitude de Rejane está de acordo com o CEP.

Rejane tomou a atitude A1 (deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam aoseu alcance). Novamente usando o bom senso, parece algo que fere o CEP. O item estariaerrado.

E, consultando o CEP, esta atitude é realmente vedada (anexo, capítulo I, seção III, XV, “e”).

O terceiro item afirma que a proposição P→ Q é verdadeira.

O antecedente é:

P: “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências”.

Isto é falso, pois Rejane, na verdade, deixou de utilizar avanços técnicos e científicos. Oantecedente é falso, o que faz com que o condicional seja verdadeiro.

O item está certo.

Gabarito: certo, errado, certo


Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, ado outro é branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur está


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com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio sãobrancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo,

a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.

b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta.

c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca.

d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca.

e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.

Resolução: Precisamos relacionar cada menino à uma bicicleta e a uma bermuda. Bicicleta bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur Júlio Marcos

Comecemos a leitura do enunciado:

1. Somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta

Ainda não podemos marcar nenhuma célula tendo com base esta informação.

Avançando para a segunda frase, temos:

2. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas.

Marcando as células correspondentes: Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur Júlio F FMarcos

Na seqüência do enunciado, temos:

3. Marcos está com bermuda azul.

Marcando a célula correspondente (novas marcações em vermelho, marcações antigas empreto): Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur Júlio F F Marcos V


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Podemos descartar as células que associam a bermuda azul a qualquer outro menino. Alémdisso, podemos descartar as células que associam Marcos a qualquer outra bermuda. Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur F Júlio F F F Marcos V F F

Notem que a bermuda branca só pode ser de Artur. Vamos marcar a célula correspondente. Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur F V Júlio F F F Marcos V F F

Podemos descartar a célula que associa Artur a qualquer outra bermuda. Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur F F V Júlio F F F Marcos V F F

Agora sim, já podemos voltar na informação 1.


Como já sabemos que a bermuda de Artur é branca, podemos concluir que a bicicleta de Arturtambém é branca.

Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca

Artur F F V F F V Júlio F F F

Marcos V F F

Podemos descartar as células que associam a bicicleta branca a qualquer outro menino. Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur F F V F F V Júlio F F F Marcos F V F F

Observem que a bermuda preta só pode ser de Júlio. Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca Artur F F V F F V Júlio F F V F Marcos F V F F

E agora? Acabaram-se as informações, mas ainda não preenchemos a tabela inteira.

O que fazer? É que, neste exercício, a informação 1 pode ser usada novamente. Voltemos aela:


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Conclusão: Se Marcos está com bermuda azul, então sua bicicleta não é azul. Para Júlio a conclusão é semelhante: se sua bermuda é preta, então sua bicicleta não é preta.

Bicicleta Bermuda Azul Preta Branca Azul Preta Branca

Artur F F V F F V Júlio V F F F V F

Marcos F V F V F F

Pronto. Agora sim conseguimos preencher tudo.

A bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca.

Gabarito: C

Na verdade, não é obrigatório o preenchimento da tabela. A tabela existe para ajudar aorganizarmos as informações. Só isso.

Em muitos casos, as bancas não colocam enunciados grandes, com muitas informações.

Nestes casos, a tabela acaba sendo dispensável.

Ora, se temos poucas informações, não é difícil organizarmos as ideias sem tabela. Acabasendo mais rápido dispensarmos o seu preenchimento.

EC 46. TCU 2008 [CESPE]

Mateus, Marcos, Pedro e Paulo são funcionários do TCU e encontram-se uma vez por mêspara exercitarem seus dotes musicais. Nesse quarteto, há um guitarrista, um flautista, umbaterista e um baixista, e cada um toca somente um instrumento. Nesse grupo de amigos, tem-se um auditor (AUD), um analista de controle externo (ACE), um procurador do MinistérioPúblico (PMP) e um técnico de controle externo (TCE), todos com idades diferentes, de 25,27, 30 e 38 anos. Além disso, sabe-se que:

Mateus não tem 30 anos de idade, toca guitarra e não é procurador do Ministério Público;

o baterista é o analista de controle externo, tem 27 anos de idade e não é Marcos;

Paulo é técnico de controle externo, tem 25 anos de idade e não é flautista;

o procurador do Ministério Público não é baixista e não se chama Pedro;

o auditor tem 38 anos de idade e não é baixista.

Algumas das informações acima apresentadas estão contempladas na tabela a seguir, em quecada célula corresponde ao cruzamento de uma linha com uma coluna preenchida com S(sim), no caso de haver uma afirmação, e com N (não), no caso de haver uma negação.


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Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que

1. Mateus tem 38 anos de idade.

2. Paulo é o baixista.

3. Pedro tem 25 anos de idade.

4. o auditor é o flautista.

5. o procurador do Ministério Público é Mateus.

Resolução:

Para mostrar como a tabela é desnecessária, não vamos utilizá-la.

Todas as proposições fornecidas são compostas com o conectivo “e”. Como são proposiçõesfornecidas pelo enunciado, para gente, todas elas são verdadeiras. Sabemos que umaproposição com o conectivo “e” só é verdadeira quando todas as suas parcelas sãoverdadeiras.

Vejamos as informações:

1 - Mateus não tem 30 anos de idade, toca guitarra e não é procurador do Ministério Público.

2 - o baterista é o analista de controle externo, tem 27 anos de idade e não é Marcos;


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3 - Paulo é técnico de controle externo, tem 25 anos de idade e não é flautista;

4 - o procurador do Ministério Público não é baixista e não se chama Pedro;

5 - o auditor tem 38 anos de idade e não é baixista.

O analista de controle externo não pode ser Marcos (por causa da informação 2). Também nãopode ser Mateus, pois este toca guitarra (e o analista toca bateria). O analista também nãopode ser Paulo, pois ele é técnico de controle externo (ver informação 3). Portanto, o analistasó pode ser Pedro.

Pedro: analista, baterista, 27 anos.

O procurador do MP não é Mateus (ver informação 1). Também não é Pedro (que é analista) nem Paulo (que é técnico). Logo, o procurador só pode ser Marcos.

Marcos é o procurador.

Para Mateus só sobrou o cargo de auditor.

Mateus é o auditor.

Mateus não tem 30 anos (ver informação 1). Mateus não tem 27 anos (pois Pedro é que temessa idade). E Mateus não tem 25 anos (pois Paulo tem essa idade – ver informação 3). Logo,Mateus só pode ter 38 anos.

Mateus: auditor, 38 anos, guitarrista

Paulo não é flautista (ver informação 4). Também não é guitarrista nem baterista (instrumentos de Mateus e Pedro). Portanto, Paulo só ser baixista.

Paulo: técnico, 25 anos, baixista

Para Marcos só sobra a flauta e a idade de 30 anos.

Marcos: procurador, flauta, 30 anos.

Pronto, fizemos todas as associações. Nem precisou de tabela, pois eram poucas informaçõespara se analisar.

Ok, agora vamos julgar os itens.

Primeiro item: correto. Realmente Mateus tem 38 anos.

Segundo item: correto. Paulo é o baixista.

Terceiro item: errado. Pedro tem 27 anos.

Quarto item: errado. O auditor toca guitarra.

Quinto item: errado. Mateus é auditor.

Gabarito: Certo, Certo, Errado, Errado, Errado.


Em uma rua há apenas três casas: uma azul, outra branca e a terceira, verde. Paulo mora emuma delas, mas não é na branca. José mora em uma delas, mas não é a verde. Roberto moraem uma delas, mas não é nem na azul e nem na verde.


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Pode-se afirmar que

(A) José mora na casa verde.

(B) José mora na casa branca.

(C) Paulo mora na casa azul.

(D) Paulo mora na casa verde.

(E) Paulo mora na casa branca.

Resolução. Vamos começar da última frase, que é a mais fácil de ser analisada (pois já nos fornececonclusões imediatas):

Roberto mora em uma delas, mas não é nem na azul e nem na verde.

Logo, Roberto mora na casa branca.

Roberto: casa branca Próxima frase:

José mora em uma delas, mas não é a verde.

Assim, José não mora na casa verde nem na branca (ocupada por Roberto). José só podemorar na casa azul.

José: casa azul. Para Paulo só sobra a casa verde.

Paulo: casa verde

Gabarito: D

EC 48. BACEN 2009 [CESGRANRIO]

Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana, Henrique, Pedro, Luís e Rogério.

Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte:

• a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel;

• Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar;

• Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado;

• Maria não é a esposa de Pedro.

Considere a(s) afirmativa(s) a seguir.

I - Rogério é o marido de Ana.

II - Luís é o marido de Isabel.

III - Pedro é o marido de Joana.

Está(ão) correta(s) somente a(s) afirmativa(s)


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(A) I.

(B) I e II.

(C) II.

(D) II e III.

(E) III.

Resolução. Temos que associar cada mulher ao seu marido. Isabel Joana Maria Ana Henrique Pedro Luis Rogério

A informação 1 nos diz que a esposa de Henrique dança com o marido de Isabel.

Assim, se descobrirmos quem está dançando, saberemos quem é a esposa de Henrique e quemé o marido de Isabel.

Henrique não está dançando com a sua esposa (ver informação 1).

Rogério também não está dançando, pois ele está conversando com Ana à beira do bar(informação 2).

Pedro também não está dançando, pois ele toca piano (informação 3).

O único homem restante é Luís. É ele quem está dançando. Logo, Luis é marido de Isabel. Isabel Joana Maria Ana

Henrique F Pedro F Luis V F F F

Rogério F

Agora vamos tentar descobrir quem é a mulher que está dançando, e que é esposa deHenrique.

Ela não pode ser Ana, que está sentada ao bar (informação 2). Também não pode ser Maria,sentada ao piano (informação 3).

Isabel Joana Maria Ana Henrique F F F

Pedro F Luis V F F F

Rogério F

Por exclusão, a esposa de Henrique é Joana. Isabel Joana Maria Ana

Henrique F V F F Pedro F F Luis V F F F

Rogério F F


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A informação 4 nos diz que Maria não é esposa de Pedro. Isabel Joana Maria Ana

Henrique F V F F Pedro F F F Luis V F F F

Rogério F F

Por exclusão, Maria só pode ser esposa de Rogério. Isabel Joana Maria Ana

Henrique F V F F Pedro F F F Luis V F F F

Rogério F F V F

Finalmente, Pedro é marido de Ana. Isabel Joana Maria Ana

Henrique F V F F Pedro F F F V Luis V F F F

Rogério F F V F

Os casais são:

- Henrique e Joana

- Pedro e Ana

- Luis e Isabel

- Rogério e Maria

Logo, a única informação correta é a II.

Gabarito: C

V. VERDADE E MENTIRA Neste tipo de exercício temos o seguinte:

· Um tipo de pessoa que sempre diz a verdade

· Um tipo de pessoa que sempre mente

· Um tipo de pessoa que pode tanto mentir quanto falar a verdade (este terceiro tipo depessoa não está presente em todos os problemas)

Geralmente pretende-se descobrir informações como:

· Quem está mentindo e quem está dizendo a verdade;

· Quantas pessoas estão mentindo e quantas estão dizendo a verdade;

· Outras informações, independentemente de quem esteja mentindo e de quem estejadizendo a verdade.

As provas costumam colocar dois tipos de problema de “mentira e verdade”. No primeiro tipode problema, cada uma das pessoas que mente/fala a verdade faz uma declaração sobre suaprópria natureza ou sobre a natureza de outra pessoa. Geralmente a resolução do problema


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passa por uma consideração inicial sobre uma das pessoas (ou seja: damos um “chute”, paratermos um ponto de partida).

No segundo tipo de problema, é possível detectarmos as chamadas “respostas-chave”. Sãorespostas que, de imediato, nos permitem tirar conclusões úteis.

1. Exercícios do primeiro tipo.


Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixascontém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, umdiamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Caixa 3: “O livro está aqui.”

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe,ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa quecontém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nascaixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.

b) o livro, o diamante, a caneta.

c) o diamante, a caneta, o livro.

d) o diamante, o livro, a caneta.

e) o livro, a caneta, o diamante.

Resolução:

Aqui não temos exatamente pessoas que mentem/falam a verdade. Temos inscrições que podem ser verdadeiras ou falsas. Mas a ideia de resolução é a mesma.

Dados do exercício:

· A caixa com o diamante tem inscrição verdadeira

· A caixa com a caneta tem inscrição falsa

· A caixa com o livro tem uma inscrição que pode ser verdadeira ou falsa

Nossa lista de conclusões, inicialmente, está em branco. Conclusões

E vamos ao nosso “chute inicial”. Vamos supor que a inscrição da caixa 1 seja verdadeira.


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ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.

A primeira informação dada foi:

1. Inscrição da caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Análise: Sabemos que a caixa 1 é verdadeira (essa é nossa premissa). Conclusão: o livro estána caixa 3. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.1ª conclusão O livro está na caixa 3

Segunda informação:

2. Inscrição da caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Até daria para, já agora, tirarmos uma conclusão sobre esta informação acima. Mas vamosdeixá-la para depois. Vocês verão que, com isso, nossa análise ficará bem fácil.

Terceira informação:

3. Inscrição da caixa 3: “O livro está aqui.”

Análise: sabemos que, realmente, o livro está na caixa 3 (ver 1ª conclusão). Portanto, ainscrição da caixa 3 é verdadeira.

Observem que foi mais fácil passar direto para a informação 3, pois ela, a exemplo dainformação 1, já analisada, também se refere à caixa 3. E para a caixa 3 nós já temos umaconclusão. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira

Como as inscrições das caixas 1 e 3 são verdadeiras, nenhuma delas contém a caneta (pois acaixa com a caneta tem inscrição falsa). A caixa com a caneta só pode ser a caixa 2.Conclusão: a caixa 2 contém a caneta e tem uma inscrição falsa.

ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa.

Por exclusão, a caixa 1 contém o diamante.


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ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa. 5ª conclusão O diamante está na caixa 1

Agora sim, vamos voltar à segunda informação.


Análise: agora que já descobrimos o que tem em cada caixa, fica fácil dizer que estaafirmação acima é falsa (pois, de acordo com a 5ª conclusão, na caixa 1 está o diamante). E,realmente, era para ser uma informação falsa, pois a inscrição da caixa 2 é falsa (ver 3ªconclusão).

Reparem que não chegamos a nenhum absurdo.

O conteúdo de cada caixa é:

· Caixa 3: livro

· Caixa 2: caneta

· Caixa 1: diamante.

Gabarito: C

Aí vem a pergunta: mas Professor, e se a gente tivesse chutado que a inscrição da caixa 1 éfalsa?

Bom, aí chegaríamos a um absurdo.

Caso esta fosse nossa hipótese, teríamos: ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa

Primeira informação:

1. Inscrição da caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Análise: Sabemos que a inscrição da caixa 1 é falsa. Conclusão: o livro não está na caixa 3. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa1ª conclusão O livro não está na caixa 3

Novamente, vamos pular a segunda informação.



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3. Inscrição da caixa 3: “O livro está aqui.”

Análise: Sabemos que o livro não está na caixa 3. Portanto, a inscrição da caixa 3 também éfalsa. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa

Como as caixas 1 e 3 são falsas, nenhuma delas pode ser a caixa que contém o diamante (poisa caixa com o diamante tem uma inscrição verdadeira). Logo, o diamante só pode estar nacaixa 2. Conclusão: o diamante está na caixa 2 e a caixa 2 tem uma inscrição verdadeira. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira



Análise: sabemos que a caixa 2 é verdadeira. Então, de fato, a caneta está na caixa 1. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira5ª conclusão A caneta está na caixa 1

Por exclusão, a caixa 3 só pode conter o livro. ConclusõesHipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira5ª conclusão A caneta está na caixa 1 6ª conclusão O livro está na caixa 3

E chegamos a uma contradição. Nossa primeira conclusão foi de que o livro não está na caixa 3. E nossa última conclusão foi que o livro está na caixa 3. Esta situação é absurda. E sóchegamos a uma situação absurda quando a hipótese inicial é errada!


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EC 50. MTE 2006 [ESAF]

Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Emcada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa – em uma delas encontra-seLuís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma dassalas existe uma inscrição, a saber:

Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”

Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”

Sala rosa: “Luís está aqui”.

Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a inscriçãona porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana concluicorretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente,

a) Diana, Luís, Carla

b) Luís, Diana, Carla

c) Diana, Carla, Luís

d) Carla, Diana, Luís

e) Luís, Carla, Diana

Resolução: Reparem como este exercício é similar ao anterior. Muda a situação e os nomes, mas éidêntico!!

Dados do enunciado:

· A inscrição da sala de Diana é verdadeira

· A inscrição da sala de Carla é falsa

· A inscrição da sala de Luís pode ser verdadeira ou falsa

Hipótese: a inscrição da sala verde é falsa (apenas para começar de maneira diferente de comocomeçamos a questão anterior). ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa


1. Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”

Análise: Sabemos que a inscrição da sala verde é falsa. Conclusão: Luís não está na sala deporta rosa.


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ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa1ª conclusão Luís não está na sala de porta rosa


2. Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”

A exemplo do que fizemos no exercício anterior, vamos pular a segunda informação. Por quê?Porque a terceira informação também se refere à sala de porta rosa, para a qual já temos umaconclusão. A terceira informação é mais fácil de ser analisada neste momento.

3. Sala rosa: “Luís está aqui”.

Análise: Sabemos que Luís não está na sala rosa. Logo, a inscrição da sala rosa é falsa. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa1ª conclusão Luís não está na sala de porta rosa2ª conclusão A inscrição da sala rosa é falsa

As salas verde e rosa têm inscrições falsas. Nenhuma delas pode ser a sala de Diana, pois asala de Diana tem uma inscrição verdadeira. Diana só pode estar na sala azul. Conclusão: asala azul tem uma inscrição verdadeira e é a sala de Diana. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa 1ª conclusão Luís não está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é falsa 3ª conclusão Diana está na sala azul 4ª conclusão A inscrição da sala azul é verdadeira

Voltemos agora à segunda informação.


Análise: Sabemos que a inscrição da sala azul é verdadeira. Conclusão: realmente Carla estána sala verde. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa 1ª conclusão Luís não está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é falsa 3ª conclusão Diana está na sala azul 4ª conclusão A inscrição da sala azul é verdadeira5ª conclusão Carla está na sala verde

Por exclusão, Luis só pode estar na sala rosa


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ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é falsa 1ª conclusão Luís não está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é falsa 3ª conclusão Diana está na sala azul 4ª conclusão A inscrição da sala azul é verdadeira5ª conclusão Carla está na sala verde 6ª conclusão Luis está na sala rosa

E chegamos a uma contradição. Nossa primeira conclusão foi que Luís não está na sala deporta rosa. Nossa última conclusão foi que Luís está na sala de porta rosa. Isto é absurdo.Precisamos mudar nossa hipótese inicial.

Hipótese: a inscrição da sala verde é verdadeira. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é verdadeira


1. Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”

Análise: Sabemos que a inscrição da sala verde é verdadeira. Conclusão: Luís está na sala deporta rosa. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é verdadeira1ª conclusão Luís está na sala de porta rosa

Vamos novamente pular a 2ª informação.


3. Sala rosa: “Luís está aqui”.

Análise: Sabemos que Luís está na sala rosa. Logo, a inscrição da sala rosa é verdadeira. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é verdadeira1ª conclusão Luís está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é verdadeira

As salas verde e rosa têm inscrições verdadeiras. Nenhuma delas é a sala de Carla, pois a salade Carla tem uma inscrição falsa. Carla só pode estar na sala azul. Conclusão: a sala azulcontém uma inscrição falsa e é a sala de Carla.


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ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é verdadeira1ª conclusão Luís está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é verdadeira3ª conclusão Carla está na sala azul 4ª conclusão A inscrição da sala azul é falsa

Por exclusão, Diana está na sala verde. ConclusõesHipótese A inscrição da sala verde é verdadeira1ª conclusão Luís está na sala de porta rosa 2ª conclusão A inscrição da sala rosa é verdadeira3ª conclusão Carla está na sala azul 4ª conclusão A inscrição da sala azul é falsa 5ª conclusão Diana está na sala verde

Voltemos agora à segunda informação.


Análise: Sabemos que Carla está na sala azul. Logo, a inscrição da sala 2 é falsa. Realmente,era para ser uma inscrição falsa, conforme 4ª conclusão.

E não chegamos a nenhum absurdo.

Gabarito: C

EC 51. TCE AC 2009 [CESPE]

Leonardo, Caio e Márcio são considerados suspeitos de praticar um crime. Ao sereminterrogados por um delegado, Márcio disse que era inocente e que Leonardo e Caio nãofalavam a verdade. Leonardo disse que Caio não falava a verdade, e Caio disse que Márcionão falava a verdade. A partir das informações dessa situação hipotética, é correto afirmar que

a) os três rapazes mentem.

b) dois rapazes falam a verdade.

c) nenhuma afirmação feita por Márcio é verdadeira.

d) Márcio mente, e Caio fala a verdade.

e) Márcio é inocente e fala a verdade.

Resolução.

As declarações dos três homens são:

Márcio: eu sou inocente; Leonardo não fala a verdade; Caio não fala a verdade.

Leonardo: Caio não fala a verdade.

Caio: Márcio não fala a verdade.


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Agora vamos ao nosso “chute”. Vamos lançar uma hipótese qualquer, que nos dê um ponto departida.

Chute inicial: Márcio fala a verdade.

Pronto. Agora temos algo em que nos basear.

Vamos criar uma lista com todas as conclusões a que formos chegando.

Conclusões

1 Márcio fala a verdade

Na verdade, essa não é realmente uma conclusão. É só um chute, uma hipótese.

Partindo desse nosso chute, e analisando a declaração de Márcio, podemos concluir que:

· Leonardo mente

· Caio mente

Conclusões


2 Leonardo mente

3 Caio mente

Agora vamos analisar a declaração de Leonardo.

Leonardo: Caio não fala a verdade.

Como Leonardo mente (ver segunda conclusão), então a sua declaração é falsa. Logo, Caiofala a verdade.

Conclusões


2 Leonardo mente

3 Caio mente

4 Caio fala a verdade

E chegamos a uma contradição. As conclusões 3 e 4 são contraditórias. Isso só ocorreu porquenosso chute inicial foi errado. Ele deve ser alterado.

Alterando nossa hipótese inicial, concluímos que, na verdade, Mário mente. Temos querecomeçar a análise novamente, desde o início.

Conclusões

1 Márcio mente

Analisando a frase de Caio, concluímos que ele fala a verdade ao afirmar que Márcio mente.

Conclusões

1 Márcio mente



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Vamos analisar a frase de Leonardo. Ele afirma que Caio mente, o que não é correto. Logo,Leonardo mente.

Conclusões

1 Márcio mente


3 Leonardo mente

Falta analisar a frase de Márcio. Ele afirma, entre outras coisas, que Caio mente, o que não é correto. Logo, Márcio mente, o que está de acordo com nossa primeira conclusão. Nãochegamos a uma contradição. Essa é a resposta correta: apenas Caio fala a verdade.

E agora um detalhe importante: sabemos que Márcio mente porque pelo menos uma de suasinformações é falsa. É como se ele tivesse nos informado uma proposição com o conectivo“e”. Se pelo menos uma das parcelas for falsa, a frase inteira é falsa.

As três informações que ele dá são:

· Mário é inocente – não sabemos se a informação é correta.

· Leonardo mente – esta informação é correta

· Caio mente – esta informação é errada

Sabemos que a última informação é falsa, o que faz com que Márcio seja mentiroso. As demais informações até podem ser verdadeiras (e a segunda, de fato, é).

Gabarito: D


Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha àqual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam.Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse:Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra dacontradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram.

Resolução.

Novamente, vamos adotar a tática do “chute inicial”. Vamos chutar que Carlos diz a verdade.

Chute inicial: Carlos diz a verdade.

Conclusões

1 Carlos fala a verdade

Na verdade, isso não é bem uma conclusão, é só um chute.

Partindo disso, analisando a frase de Carlos, podemos concluir que José também diz averdade.


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Conclusões


2 José fala a verdade.

Agora analisamos a frase de José.

José afirma que os dois têm naturezas opostas. Mas isso é mentira, conforme nossasconclusões acima. Logo, José está mentindo.

Conclusões


2 José fala a verdade.

3 José mente

Observem que as conclusões 2 e 3 são contraditórias. Isso só aconteceu porque nosso chute inicial foi errado.

Vamos mudar nosso chute. Vamos considerar que Carlos mente.

Conclusões

1 Carlos mente

Analisando a frase de Carlos, concluímos que José também é mentiroso.

Conclusões

1 Carlos mente

2 José mente

Agora vamos analisar a frase de José. Ele afirma que os dois são de tipos opostos, o que é mentira, conforme nosso quadro acima. Concluímos que José está mentindo, o que tambémestá de acordo com nosso quadro acima. Não chegamos a nenhuma contradição. Esta é aresposta correta: os dois mentem.

Gabarito: certo.


Alberto, Bruno e Cláudio são três irmãos e fazem as seguintes declarações:

Alberto: eu sou o mais velho dos três irmãos.

Bruno: eu não sou o mais velho dos três irmãos.

Cláudio: eu não sou o mais novo dos três irmãos.

Sabendo-se que apenas uma das declarações é verdadeira, conclui-se que

(A) Alberto é mais velho do que Bruno.

(B) Alberto é mais velho do que Cláudio.

(C) Bruno é mais velho do que Cláudio.

(D) Cláudio é mais velho do que Bruno.


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(E) as informações são insuficientes para que se conclua quem é o mais velho.

Resolução. Primeiro chute: Alberto é o mais velho.

Nessa situação, tanto Alberto quanto Bruno falariam a verdade. Mas o enunciado diz que sóum dos irmãos fala a verdade. Logo, nosso chute foi errado.

Segundo chute: Cláudio é o mais velho.

Nessa situação, Bruno e Cláudio falariam a verdade. Mas o enunciado diz que só um dosirmãos fala a verdade. Logo, nosso chute foi errado.

Terceiro chute: Bruno é o mais velho.

Nesta situação, Alberto e Bruno mentem. Logo, é possível que apenas um dos irmãos diga averdade. Basta que Cláudio seja verdadeiro para que tenhamos um único irmão dizendo averdade.

Sabendo que Cláudio diz a verdade, temos: 1 Só Cláudio fala a verdade

Bruno diz que ele não é o mais velho. Como ele é mentiroso (pois o único verdadeiro é Cláudio), então Bruno é o mais velho. 1 Só Cláudio fala a verdade 2 Bruno é o mais velho

Cláudio diz não ser o mais novo. Como Cláudio diz a verdade, então ele não é o mais novo.Logo, Cláudio só pode ser o irmão “do meio”. 1 Só Cláudio fala a verdade 2 Bruno é o mais velho 3 Cláudio é o do meio

Por exclusão, Alberto é o mais novo. 1 Só Cláudio fala a verdade 2 Bruno é o mais velho 3 Cláudio é o do meio 4 Alberto é o mais novo.

Alberto afirma ser o mais velho, o que é mentira. E, de fato, Alberto era para ser mentiroso.

Não chegamos a nenhuma contradição. Esta é a resposta correta.

Logo: Alberto é o mais novo; Cláudio é o do meio; Bruno é o mais velho.

Gabarito: C


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Afonso, Bernardo e Carlos são amigos. Um deles é brasileiro, outro argentino e o terceiro,uruguaio.

Somente uma das afirmativas a seguir é verdadeira.

I - Afonso é brasileiro.

II - Bernardo não é brasileiro.

III - Carlos não é uruguaio.

É correto afirmar que

(A) Afonso é brasileiro e Carlos é argentino.

(B) Afonso é argentino e Bernardo é uruguaio.

(C) Afonso é uruguaio e Bernardo é argentino.

(D) Bernardo é brasileiro e Carlos é argentino.

(E) Bernardo é argentino e Carlos é uruguaio.

Resolução. Primeiro chute: Afonso é brasileiro. Neste caso, as informações I e II são verdadeiras, o quecontradiz o enunciado.

Segundo chute: Carlos é brasileiro. Neste caso, as informações II e III são verdadeiras, o quecontradiz o enunciado.

Terceiro chute: Bernardo é brasileiro. Neste caso, as informações I e II são falsas. A únicaverdadeira só pode ser a informação III.

Conclusão:

Bernardo é brasileiro. Como Carlos não é uruguaio (ver informação III), então ele só pode ser argentino.

Carlos: argentino

Para Afonso só sobra ser uruguaio.

Afonso: uruguaio

Gabarito: D

2. Exercícios do segundo tipo

EC 55. MPU 2004 [ESAF]

Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duasaldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, masfalam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que oshabitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem.Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam“sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual


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significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-sea ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?

– Milango –, responde o jovem.

– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.

– Milango –, tornou o jovem a responder.

– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.

– Nabungo –, disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que

a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.

c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

Resolução: Observe atentamente a terceira pergunta. Sócrates pergunta ao jovem se ele é da aldeia maior.Acontece que os habitantes da aldeia maior sempre mentem. Portanto, perguntar ao jovem seele é da aldeia maior é o mesmo que perguntar: Você é mentiroso?

Neste exercício, a resposta a esta pergunta é uma “resposta chave”. Por quê? Porque ela vaipermitir que tiremos uma conclusão imediata, como veremos a seguir.

A pergunta é: jovem, você é mentiroso?

Se o jovem só disser a verdade, ele responderá que não, ele não é mentiroso. Ele estará sendosincero ao responder negativamente.

Se o jovem for mentiroso, ele também responderá “não”. Ele estará mentindo. Ele dirá quenão é mentiroso, embora o seja.

Deste modo, não importa se o jovem é verdadeiro ou mentiroso. Ele, com certeza, responderáque “não”.

⇒

ATENÇÃO Perguntas do tipo: “você é mentiroso?” Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. Ela sempre responderá: NÃO

Continuando com o problema. Sabemos que a resposta à terceira pergunta é: não. Disto,tiramos duas conclusões imediatas:

· Nabungo = não

· Milango = sim


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Com estas informações, podemos analisar as demais respostas do jovem. Ele faz as seguintesafirmações:

· O homem é de uma aldeia maior que a da mulher (ver primeira resposta)

· A aldeia do jovem é maior que a do homem (ver segunda resposta)

· O jovem é da aldeia menor (ver terceira resposta)

O enunciado deixa bem claro que só existem duas aldeias: a maior e a menor (ou ainda: agrande e a pequena). Portanto, fica evidente que o jovem está mentindo. Não é possível queele seja da aldeia pequena e, ao mesmo tempo, sua aldeia seja maior que a do homem.

Conclusão: o jovem mente e, consequentemente, é da aldeia grande.

Já sabendo que o jovem é da aldeia grande, vamos analisar a segunda resposta.

Na segunda resposta, o jovem afirma que sua aldeia é maior que a aldeia do homem. Ou seja,ele afirma que o homem é da aldeia pequena.

Como o jovem é mentiroso, então, na verdade, o homem é da aldeia grande.

Já sabendo que o homem e o jovem são da aldeia grande, vamos analisar a primeira resposta.

Na primeira resposta, o jovem afirma que a aldeia do homem é maior que a aldeia da mulher. Ou seja, ele afirma que a mulher é da aldeia pequena.

Como o jovem é mentiroso, então a mulher é da aldeia grande.

Gabarito: E


Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelosverdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem averdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com umgrupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. Oprofessor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é.Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintesrespostas:

Alfa: “Beta é mentimano”

Beta: “Gama é mentimano”

Gama: “Delta é verdamano”

Delta: “Épsilon é verdamano”

Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:

a) Delta

b) Alfa

c) Gama


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d) Beta

e) Épsilon

Resolução: Observe a resposta de Gama. Ela é uma resposta chave.

Só existe 1 verdamano. Este verdamano, quando for se referir a qualquer outro habitante, vai,corretamente, informar que se trata de um mentimano.

Conclusão: um verdamano nunca vai apontar para um outro habitante e dizer que se trata deum verdamano (já que só ele é verdamano, de acordo com o enunciado).

Portanto, a partir da resposta de Gama, concluímos que ele é mentiroso.

Ora, se Gama é mentiroso, então Beta diz a verdade, uma vez que Beta afirma que Gama émentimano.

Logo, o verdamano é Beta.

Gabarito: D

Interessante notar que este exercício poderia ser resolvido de forma análoga aos primeirosexercícios que estudamos sobre verdade e mentira.Poderíamos fazer duas hipóteses: 1 – Alfaé mentiroso; 2 – Alfa é verdadeiro.

Em seguida, veríamos qual dessas duas hipóteses nos conduz a um absurdo e qual delas trazum resultado coerente. Daria certo do mesmo jeito.

A vantagem da resolução que identifica a “resposta chave” é ganhar tempo, uma vez quenenhuma hipótese precisa ser testada.

EC 57. MPU 2004/2 [ESAF]

Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e osde tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, estáexaminando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –,fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Elepergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve aresposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.

Gama: “Beta está mentindo”.

Delta: “Gama está mentindo”.

Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluircorretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.


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Resolução: Dr. Turing perguntou a Alfa se ele é mentiroso. A resposta a esta pergunta é uma resposta“chave”.

Mesmo sem que ele tenha ouvido o que o andróide disse, pôde concluir que a resposta foi“não”. A resposta para este tipo de pergunta é sempre “não” (não importa se o indivíduosempre mente ou sempre diz a verdade).

Disto, temos:

· Beta diz que Alfa respondeu “sim”. Sabemos que Alfa respondeu “não”. Conclusão: Betaestá mentindo.

· Gama diz que Beta está mentindo. Sabemos que Beta realmente está mentindo.Conclusão: Gama diz a verdade.

· Delta diz que Gama está mentindo. Sabemos que Gama diz a verdade. Conclusão: Deltaestá mentindo

· Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Não temos como concluir nada.

Agora vem o grande detalhe desta questão! Não se pediu para identificar quem mente equem diz a verdade. A pergunta foi: quantos são os andróides do tipo V. Apenas isto. Nãoprecisamos descobrir quais são eles.

Entre os andróides Beta, Gama e Delta, apenas Gama diz a verdade.

Faltam ainda os andróides Alfa e Épsilon para gente analisar.

Se Alfa for do tipo V, então Épsilon mentiu. Conclusão: Épsilon é do tipo M.

Caso contrário, se Alfa for do tipo M, então Épsilon disse a verdade. Conclusão: Épsilon é dotipo V.

Tanto em um caso como no outro, Alfa e Épsilon são de tipos diferentes. Um deles é V e ooutro é M. Não sabemos quem é quem.

Portanto, são dois andróides do tipo V. Um deles é Gama. O outro é Alfa ou Épsilon.

Gabarito: B


Em um país distante, há 2 cidades: V e M, cujos habitantes têm hábitos curiosos. Oshabitantes da cidade V só falam a verdade, enquanto os habitantes da cidade M semprementem. Uma mesma pergunta foi feita a duas pessoas, uma da cidade V e outra da cidade M.Sabendo que as respostas foram diferentes, assinale a possível pergunta.

(A) Vocês vêm da mesma cidade?

(B) Você só fala a verdade?

(C) Você, em alguma circunstância, mente?

(D) Você é da cidade dos que mentem?

(E) Você é de outra cidade que não a cidade dos que mentem?


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Resolução. Letra A.

O habitante de V disse a verdade, informando que eles vêm de cidades diferentes.

O habitante de M mentiu, informando que eles vêm da mesma cidade.

As duas respostas são diferentes.

Pronto. Achamos a alternativa correta.

Letra B.

O habitante de V disse a verdade, informando que ele só fala a verdade.

O habitante de M mentiu, informando que ele só fala a verdade.

As duas respostas são iguais.

Letra C.

Mesma idéia da letra B. Os dois vão dizer que não mentem.

Letra D.

Mesma idéia da letra B. Os dois vão dizer que não são da cidade M.

Letra E.

Mesma idéia da letra B. Os dois vão dizer que são da cidade V.

Gabarito: A

Encerramos aqui nossa aula.

Bons estudos!

Vítor.

VI. QUADRO RESUMO

Tipo de questão Dicas para resolver

Identificar, dentre as frases apresentadas,quais são proposições.

- Proposições podem ser julgadas em V ou F.

- Lembrar que não são proposições: frasesexclamativas, interrogativas, opinativas, asexpressões de desejo, as expressões desentimentos, as interjeições, oraçõesimperativas, e aquelas que contenham


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Tipo de questão Dicas para resolver variáveis (sentenças abertas).

Transformar proposições representadas nasimbologia lógica para frases escritas (evice-versa)

Lembrar dos símbolos dos conectivos:

Conjunção: e – símbolo: ∧

Disjunção inclusiva: ou - símbolo: ∨

Condicional: se... então - símbolo: →

Negação: “~” ou “¬ ”

Julgar uma proposição composta Conectivo “e”: só é verdadeiro se as duasparcelas forem verdadeiras.

Conectivo “ou”: só é falso se as duasparcelas forem falsas.

Conectivo “se...então”: só é falso se aprimeira parcela for falsa e a segunda forverdadeira.

Precedência: não, e, ou, se... então.

Completar uma tabela-verdade

Encontrar equivalências lógicas ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

p → q ⇔ (~p) ∨ q

p → q ⇔ (~q) → (~p)

)(~)(~ qpqp ∧⇔→

Verdade/mentira Lançar uma hipótese inicial (“chute”). Emseguida, analisar todas as informações doenunciado. Verificar se há contradição. Sehouver, precisa alterar o chute.

Associação de informações Montar tabela abarcando todas aspossibilidades. Ler informações doenunciado. Preencher tabela.

VII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO

EC 1. MRE 2008 [CESPE]

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —, ou falsas — F—, mas não cabem a elas ambos os julgamentos.

As proposições simples são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, eas proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A∧B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nosdemais casos, será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A forV, e valor lógico V se A for F. A expressão A∨B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F seambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B tem valor


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lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintesleituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição necessária para A”.

Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em que algumassão premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, sãoobrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas.

Considerando as informações acima, julgue o item abaixo.

1. Considere a seguinte lista de sentenças:

I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são,respectivamente, x e y.

IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é umaproposição.

EC 2. FINEP 2009 [CESPE]

Acerca de proposições, considere as seguintes frases:

I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.

II O que é o CT-Amazônia?

III Preste atenção ao edital!

IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursosdo fundo setorial verde-amarelo.

São proposições apenas as frases correspondentes aos itens

a) I e IV.

b) II e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) I, II e IV.

EC 3. TRT 17 – 2009 [CESPE]


Na sequência de frases abaixo, há três proposições.

- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil?

- O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas.

- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES.

- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES.


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EC 4. BB/2007 [CESPE]

Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está o tempohoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segundanão pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letrasmaiúsculas do alfabeto — A, B, C, etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e Bforem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e Bfor F, caso contrário é V.

Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

1. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”


O valor de 734 =+ .

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?

EC 5. CGE PB 2008 [CESPE]

A controladoria geral (CG) de determinado estado realizou e concluiu, em 2007, 11 auditoriasoperacionais e 42 inspeções; emitiu 217 pareceres técnicos, sendo 74 referentes a licitações deobras, 68 referentes a análises de prestação de contas, 71 referentes a análises de rescisão decontrato de trabalho; o restante desses pareceres referiam-se a orientações e outros assuntos.

Considere que letras maiúsculas do alfabeto simbolizam proposições e que os símbolos ¬, ∧ , ∨ , → representam, respectivamente, os conectores não, e, ou, se ... então. Nessa situação,assinale a opção correspondente à expressão que representa simbolicamente a proposição: “Ocorpo técnico da CG não auxiliou o Ministério Público Estadual e gerou quatro relatórios”.

a) (¬A)→B

b) (¬A)∨B

c) ¬(A→B)

d) (¬A)∧B

e) ¬(A∧B)


Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→ ” e “¬” representem os conectivoslógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente.



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1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” podeser representada simbolicamente por )( RP ¬∧ .

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode serrepresentada simbolicamente por SQ → .

3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é umaconseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamentepor PRQ →∧ )( .



1. A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto éfrancês” poderia ser representada por uma expressão do tipo P→ [(¬Q)∧(¬R)].


Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, mas não se admitem os julgamentos V e F simultaneamente. As letras maiúsculas doalfabeto, A, B, C etc., são freqüentemente utilizadas para representar proposições simples e,por isso, são denominadas letras proposicionais. Alguns símbolos lógicos utilizados paraconstruir proposições compostas são: “¬” (não) – usado para negar uma proposição; “∧” (e) – usado para fazer a conjunção de proposições; “∨” (ou) – usado para fazer a disjunção deproposições; “→ ” (implicação) – usado para relacionar condicionalmente as proposições, istoé, “A→B” significa “se A então B”. A proposição “¬A” tem valor lógico contrário ao de A; aproposição “A∨B” terá valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; aproposição “A∧B” terá valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F;a proposição “A→B” terá valor lógico F quando A for V e B for F, caso contrário serásempre V.

Considerando as definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadase a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opçãocorrespondente à simbolização correta dessa proposição.

A) ¬(A ∧ B)

B) (¬A) ∨ (¬B)

C) (¬A) ∧ (¬B)

D) (¬A) →B

E) ¬[A ∨ (¬B)]


A proposição “Se você é cliente, cadastre-se no sítio www.fgjkh.com.br ou procure a suaseguradora” estará corretamente simbolizada na forma A→ [B∨C], desde que A, B e C sejamconvenientemente escolhidas.


“O projeto será bem-sucedido se ou o processo de desenvolvimento é o Processo Unificadoou a linguagem utilizada é Java.”

Uma possível tradução da sentença acima para a lógica de predicados de primeira ordem é


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(A) (Sp → JI) ↔ (Sp →Ud)

(B) Sp ↔(Ud ∨ JI)

(C) Sp ↔(JI∨ Ud)

(D) (Ud∨ JI)↔ Sp

(E) (JI∨ Ud) →Sp


Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”,denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V.Uma expressão da forma ¬P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P∨Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demaiscasos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C,que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro seráextraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partirda Constituição Federal, julgue os itens a seguir.

1. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, aproposição B→C é V.

2. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (¬A)∨(¬C) tem valor lógico F.


Cada um dos cartões abaixo tem uma letra em uma das faces e um número na outra.

Considere a afirmação: “Se, em algum cartão, houver um número par, então, na outra face,haverá uma vogal.”

Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa:

(A) é necessário virar somente o cartão com a letra A.

(B) é necessário virar somente o cartão com a letra B.

(C) é necessário virar os dois cartões.

(D) é necessário virar o cartão com a letra A e, dependendo do que apareça no verso, seránecessário ou não virar o cartão com a letra B.


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(E) não é necessário virar cartão algum.

EC 13. TCE RO 2007 [CESGRANRIO]

Os amigos André, Carlos e Sérgio contavam histórias acerca de suas incursões futebolísticas. André e Sérgio mentiram, mas Carlos falou a verdade. Então, dentre as opções seguintes,aquela que contém uma proposição verdadeira é:

(A) Se Carlos mentiu, então André falou a verdade.

(B) Se Sérgio mentiu, então André falou a verdade.

(C) Sérgio falou a verdade e Carlos mentiu.

(D) Sérgio mentiu e André falou a verdade.

(E) André falou a verdade ou Carlos mentiu.


Se a proposição P for falsa, então a proposição será uma proposição verdadeira



1. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela verdade da proposição P→ [Q∨R].


2. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela verdade referente àproposição P∧[Q→R].


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Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “∨”, “∧”, “→ ” e “¬”representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. Asproposições são julgadas como verdadeiras – V – ou como falsas – F. Com base nestasinformações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional.

1. A última coluna da tabela-verdade corresponde à proposição QRP →∧ ) ( P Q R RP ∧V V V V V V F VV F V F V F F VF V V F F V F V F F V F F F F V

2. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição ( ) )( RQP →∨¬ P Q R P ¬ RQ → V V V V V V F FV F V V V F F VF V V V F V F VF F V VF F F V


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Considerando as proposições simples que compõem a frase “A música nos conecta a nósmesmos, aos outros e à alma do Brasil”, é correto afirmar que a tabela-verdade da proposiçãoreferente a essa frase tem 8 linhas.


O número de linhas da tabela-verdade da proposição é inferior a 6.


Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.

b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.

c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.

e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.


Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentementedas valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição DCBA ∧→∨ será sempre verdadeira.


Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”.

Desse modo:

a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.

d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.

e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

EC 22. SEFAZ MG 2005 [ESAF]

O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragãodesaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentandocompreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluircorretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluircorretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluircorretamente que o dragão desaparecerá amanhã?


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O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as trêsperguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não

b) Não, não, sim

c) Sim, sim, sim

d) Não, sim, sim

e) Sim, não, sim


( ) )()()( tsrqp ¬↔∧→∨

Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a proposição acima é verdadeira?

(A) V, V, V, V, V

(B) V, F, V, F, F

(C) F, F, V, F, F

(D) F, V, F, V, F

(E) F, F, V, V, V


1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que osvalores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros.

2. Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a últimacoluna dessa tabela corresponderá à expressão ( )[ ] [ ]PQQP →∨¬∧ .

P Q Q¬ ( )[ ]QP ¬∧ PQ → V V V V F V F V F F F V


A proposição é uma tautologia.



A proposição ¬(P∧Q) é equivalente à proposição (¬P)∨ (¬Q).

EC 27. SEFAZ SP 2009 [ESAF]

A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.


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d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.


Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Doponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.


As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra nãoserá bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarraserá bem-sucedida” são equivalentes.

EC 30. INEP 2008 [CESGRANRIO]

Admita verdadeira a declaração: “se A é C, então B não é C”.

Conclui-se corretamente que

(A) se B é C, então A não é C.

(B) se B é C, então A é C.

(C) se B não é C, então A não é C.

(D) se B não é C, então A é C.

(E) se A não é C, então B é C.

EC 31. TJ RO 2008 [CESGRANRIO]

Considere verdadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”.

Com base na declaração, é correto concluir que, se

(A) x é ímpar, então y é par.

(B) x é ímpar, então y é ímpar.

(C) y é ímpar, então x é par.

(D) y é par, então x é par.

(E) y é par, então x é ímpar.


Considerando verdadeira a declaração “Se x > 0, então y = 1”, qual a conclusão correta?

(A) Se y ≠ 1, então x < 0.

(B) Se y ≠ 1, então x ≤ 0.


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(C) Se y ≠ 1, então x = 0

(D) Se y = 1, então x > 0.

(E) Se y = 1, então x ≤ 0.


Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q suas respectivas negações. Em cada uma dasopções abaixo, há duas proposições compostas, formadas por p e q. As duas proposiçõescompostas são equivalentes em


Qual é a negação de “Márcio fala francês e não fala inglês” ?

(A) Márcio não fala francês ou não fala inglês.

(B) Márcio não fala francês ou fala inglês.

(C) Márcio não fala francês e não fala inglês.

(D) Márcio não fala francês e fala inglês.

(E) Márcio fala francês ou não fala inglês.

EC 35. Enap 2006 [ESAF]

Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo quedizer:

a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.


A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.


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d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.

e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.

EC 37. AFRFB 2009 [ESAF]

Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendoassim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.


Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem, julgue o item que se segue.

As proposições “Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes.


Texto I

Uma sentença que possa ser julgada como verdadeira — V — ou falsa — F — é denominada proposição. Para facilitar o processo dedutivo, as proposições são freqüentementesimbolizadas. Considere como proposições básicas as proposições simbolizadas por letrasmaiúsculas do alfabeto, tais como, A, B, P, Q, etc. Proposições compostas são formadasusando-se símbolos lógicos. São proposições compostas expressões da forma P ∨ Q que têmvalor lógico V somente quando P e Q são V, caso contrário vale F, e são lidas como “P e Q”;expressões da forma P∧ Q têm valor lógico F somente quando P e Q são F, caso contráriovalem V, e são lidas como “P ou Q”; expressões da forma P→Q têm valor lógico F somentequando P é V e Q é F, caso contrário valem V, e são lidas como “se P então Q”. Expressõesda forma ¬P simbolizam a negação de P, e são F quando P é V, e é V quando P é F.

Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valoreslógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por [ ])( QP ¬→¬ possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a) QP ∨¬ )(

b PQ →¬ ) (

c) [ ])()( QP ¬∧¬¬

d) [ ])( Q¬¬ P →

e) QP ∧

EC 40. TRE MA 2009 [CESPE]

Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação daproposição “Mário é contador e Norberto é estatístico.”


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A Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico.

B Mário não é contador e Norberto não é estatístico.

C Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico.

D Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

E Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.


Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. A negação daproposição composta qp ~→ é

(A) ~p → ~q

(B) ~p → q

(C) p → q

(D) p ∧ ~q

(E) p ∧ q

EC 42. IPEA 2008 [CESPE]

Considere a afirmação X seguinte, que pode ser V ou F: “Se Maria for casada, então ela viráde vestido branco”. Tendo como base o texto, essa afirmação e as possíveis valorações V ou Fdas proposições simples que a compõem, julgue os itens seguintes.

1. Independentemente de X ser V ou F, a proposição “Se Maria não vier de vestido branco,então ela não é casada” será sempre V.

2. Se as proposições “Maria é casada” e “Maria não virá de vestido branco” forem ambas V,então X será F.

3. Se a proposição “Maria é casada” for F, então, independentemente de X ser V ou F, aproposição “Se Maria não for casada, então ela não virá de vestido branco” será sempre F.

4. As tabelas-verdade das proposições “Se Maria não vier de vestido branco, então ela não écasada” e “Se Maria é casada, então ela virá de vestido branco” são iguais.

EC 43. Petrobras 2010 [CESGRANRIO]

Dos slogans abaixo, o que é equivalente a “Se beber, então não dirija” é

(A) “Se não dirigir, então beba”.

(B) “Não beba nem dirija”.

(C) “Não beba ou não dirija”.

(D) “Se não beber, então dirija”.

(E) “Beba e não dirija”.


Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delastomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;


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A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado paraprovidências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de ÉticaProfissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada porexatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitudeA3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão contempladasna tabela a seguir, em que cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com umacoluna, foi preenchida com V (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha ter tomado aatitude representada na coluna, ou com F (falso), caso contrário.


1 A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP.

2 A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diantede filas ou de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos serviços.

3 Se P for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas serencaminhado para providências” e Q for a proposição “Renata buscou evitar situaçõesprocrastinatórias”, então a proposição P→ Q tem valor lógico V.


Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, ado outro é branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur estácom bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio sãobrancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo,

a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.

b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta.

c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca.

d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca.

e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.

EC 46. TCU 2008 [CESPE]

Mateus, Marcos, Pedro e Paulo são funcionários do TCU e encontram-se uma vez por mêspara exercitarem seus dotes musicais. Nesse quarteto, há um guitarrista, um flautista, umbaterista e um baixista, e cada um toca somente um instrumento. Nesse grupo de amigos, tem-se um auditor (AUD), um analista de controle externo (ACE), um procurador do MinistérioPúblico (PMP) e um técnico de controle externo (TCE), todos com idades diferentes, de 25,27, 30 e 38 anos. Além disso, sabe-se que:


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Mateus não tem 30 anos de idade, toca guitarra e não é procurador do Ministério Público;

o baterista é o analista de controle externo, tem 27 anos de idade e não é Marcos;

Paulo é técnico de controle externo, tem 25 anos de idade e não é flautista;

o procurador do Ministério Público não é baixista e não se chama Pedro;

o auditor tem 38 anos de idade e não é baixista.

Algumas das informações acima apresentadas estão contempladas na tabela a seguir, em quecada célula corresponde ao cruzamento de uma linha com uma coluna preenchida com S(sim), no caso de haver uma afirmação, e com N (não), no caso de haver uma negação.

Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que

1. Mateus tem 38 anos de idade.

2. Paulo é o baixista.

3. Pedro tem 25 anos de idade.

4. o auditor é o flautista.

5. o procurador do Ministério Público é Mateus.


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Em uma rua há apenas três casas: uma azul, outra branca e a terceira, verde. Paulo mora emuma delas, mas não é na branca. José mora em uma delas, mas não é a verde. Roberto moraem uma delas, mas não é nem na azul e nem na verde.

Pode-se afirmar que

(A) José mora na casa verde.

(B) José mora na casa branca.

(C) Paulo mora na casa azul.

(D) Paulo mora na casa verde.

(E) Paulo mora na casa branca.

EC 48. BACEN 2009 [CESGRANRIO]

Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana, Henrique, Pedro, Luís e Rogério.

Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte:

• a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel;

• Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar;

• Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado;

• Maria não é a esposa de Pedro.

Considere a(s) afirmativa(s) a seguir.

I - Rogério é o marido de Ana.

II - Luís é o marido de Isabel.

III - Pedro é o marido de Joana.

Está(ão) correta(s) somente a(s) afirmativa(s)

(A) I.

(B) I e II.

(C) II.

(D) II e III.

(E) III.


Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixascontém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, umdiamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Caixa 3: “O livro está aqui.”


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Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe,ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa quecontém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nascaixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.

b) o livro, o diamante, a caneta.

c) o diamante, a caneta, o livro.

d) o diamante, o livro, a caneta.

e) o livro, a caneta, o diamante.

EC 50. MTE 2006 [ESAF]

Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Emcada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa – em uma delas encontra-seLuís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma dassalas existe uma inscrição, a saber:

Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”

Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”

Sala rosa: “Luís está aqui”.

Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a inscriçãona porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana concluicorretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente,

a) Diana, Luís, Carla

b) Luís, Diana, Carla

c) Diana, Carla, Luís

d) Carla, Diana, Luís

e) Luís, Carla, Diana

EC 51. TCE AC 2009 [CESPE]

Leonardo, Caio e Márcio são considerados suspeitos de praticar um crime. Ao sereminterrogados por um delegado, Márcio disse que era inocente e que Leonardo e Caio nãofalavam a verdade. Leonardo disse que Caio não falava a verdade, e Caio disse que Márcionão falava a verdade. A partir das informações dessa situação hipotética, é correto afirmar que

a) os três rapazes mentem.

b) dois rapazes falam a verdade.

c) nenhuma afirmação feita por Márcio é verdadeira.

d) Márcio mente, e Caio fala a verdade.

e) Márcio é inocente e fala a verdade.


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Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha àqual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam.Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse:Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra dacontradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram.


Alberto, Bruno e Cláudio são três irmãos e fazem as seguintes declarações:

Alberto: eu sou o mais velho dos três irmãos.

Bruno: eu não sou o mais velho dos três irmãos.

Cláudio: eu não sou o mais novo dos três irmãos.

Sabendo-se que apenas uma das declarações é verdadeira, conclui-se que

(A) Alberto é mais velho do que Bruno.

(B) Alberto é mais velho do que Cláudio.

(C) Bruno é mais velho do que Cláudio.

(D) Cláudio é mais velho do que Bruno.

(E) as informações são insuficientes para que se conclua quem é o mais velho.


Afonso, Bernardo e Carlos são amigos. Um deles é brasileiro, outro argentino e o terceiro,uruguaio.

Somente uma das afirmativas a seguir é verdadeira.

I - Afonso é brasileiro.

II - Bernardo não é brasileiro.

III - Carlos não é uruguaio.

É correto afirmar que

(A) Afonso é brasileiro e Carlos é argentino.

(B) Afonso é argentino e Bernardo é uruguaio.

(C) Afonso é uruguaio e Bernardo é argentino.

(D) Bernardo é brasileiro e Carlos é argentino.

(E) Bernardo é argentino e Carlos é uruguaio.

EC 55. MPU 2004 [ESAF]

Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duasaldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, masfalam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que oshabitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem.Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam


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“sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qualsignifica “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-sea ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?

– Milango –, responde o jovem.

– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.

– Milango –, tornou o jovem a responder.

– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.

– Nabungo –, disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que

a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.

c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.


Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelosverdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem averdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com umgrupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. Oprofessor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é.Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintesrespostas:

Alfa: “Beta é mentimano”

Beta: “Gama é mentimano”

Gama: “Delta é verdamano”

Delta: “Épsilon é verdamano”

Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:

a) Delta

b) Alfa

c) Gama

d) Beta

e) Épsilon

EC 57. MPU 2004/2 [ESAF]

Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e osde tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, estáexaminando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –,


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fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Elepergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve aresposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.

Gama: “Beta está mentindo”.

Delta: “Gama está mentindo”.

Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluircorretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.


Em um país distante, há 2 cidades: V e M, cujos habitantes têm hábitos curiosos. Oshabitantes da cidade V só falam a verdade, enquanto os habitantes da cidade M semprementem. Uma mesma pergunta foi feita a duas pessoas, uma da cidade V e outra da cidade M.Sabendo que as respostas foram diferentes, assinale a possível pergunta.

(A) Vocês vêm da mesma cidade?

(B) Você só fala a verdade?

(C) Você, em alguma circunstância, mente?

(D) Você é da cidade dos que mentem?

(E) Você é de outra cidade que não a cidade dos que mentem?

VIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO

1 errado

2 a

3 certo

4 errado

5 d

6 certo certo errado

7 certo

8 c

9 certo

10 errado

11 errado errado

12 b

13 a

14 certo (preliminar)

15 certo errado

16 errado certo

17 certo

18 errado (preliminar)

19 c

20 errado

21 a

22 d

23 c

24 errado certo

25 errado (preliminar)

26 certo

27 a

28 d

29 errado

30 a

31 e

32 b

33 d

34 b

35 c

36 a

37 e

38 certo

39 e


114


40 d

41 e

42 errado certo erradocerto

43 c

44 certo errado certo

45 c

46 certo certo erradoerrado errado

47 d

48 c

49 c

50 c

51 d

52 certo

53 c

54 d

55 e

56 d

57 b

58 a

raci (2)

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