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No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni sutratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o porcualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registrou otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares delcopyright.

DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,por Lincoyán Portus GovindenDERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A.Avenida de las Américas,46-41.. Santafé de Bogotá D.C., Colombia

Editora: Emma Ariza Herrera

4723567890ISBN: 958-600-596-8

9012345687

S: ,:rlprimieron 3000 ejemplares en el nres de febrero de 2005,1'::3so por Quebecor World Bogotá S.A.--r-:Sra en Colombia- Printed in Colombia

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ffrsfumm m ffm #s'd$xrfm r#ard#ev

Como cualquier actividad científica, las matemáticas financieras evolucionan, utilizan

nuevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicaciones, se profundizan

los conceptor, ui.ur,.., y resiriccion", du t.tt definiciones y teoremas' Por otra parte, las

d.iversas áisciplinas qué utilizan las matemáticas financieras imponen variaciones en el

iu"g""¡" y, dé u.rr"ráo con el principio de universalidad, es necesario que un texto de

estJnaiuialeza utilice el léxico actualizado y apropiado'E4 esta cuarta edición se han introdutidb importantes variaciones en cuanto a las

definicitnes, formulación de teoremas y léxico utilizado en ediciones anteriores' La mo-

derna notación estándar (X/Y, i%,n) t" Ltiliru como herramienta necesaria desde el capí-

tulo tercero, no como alternativa. Respecto a la extensión, se ha ampliado y actualizado, el

contenido de los diferentes capítulosl por otra parte, se suprimieron los de probabilid-a-

des y tablas de mortalidad, anualidadls y pagós contingentes, y seguros; éstos se refe-

rían, en forma resumida, a conocimientos que en la actualidad se estudian en forma

exhaustiva en carreras profesionales específicas y en cursos de posgrado.

Los actuales estudiantes se forman en el mundo de los juegos electrónicos, calcu-

Iadoras, microcomputadores y computadores y, es natural-dentro de su realidad- que

Ia tendencia sea utilizarlo, ".t

,rr, ámbitos de tiabajo. En este curso se estudian los fun-

damentos teóricos de las matemáticas financierat, lu lógicu de sus diferentes métodos

de trabajo y los recursos para calcular y obtener las soluciones para los problemas' En este

orden de id,eas, uno de l,os objetivos propue$tos es que el estudiante adquiera destreza

en la interpretación y mane¡o de las áefiniclones, teóremas y fórmulas; obtenga la sufi-

ciente pericia en el uso de sus instrumentos de apoyo para qu.e en sus actividades pro-

fesionáles pueda, con bases sólidas, afrontar con éxito situaciones nuevas/ programar

con fundamentos y seguridad sus trabajos, y crear nuevos sistemas y modelos matemá-ticos que transformen y modernicen constantemente los temas de esta materia.

Én lo que se refieie a tablas de factores de interés compuesto y anualidades, no esnecesario incluirlas. Los estudiantes, mediante calculadora o microcomputado¡, pueden

obtener directamente estos factores o calcularlos con las fórmulas adecuadas y manejan-do con destreza su equipo. La meta es que el estudiante adquiera una formación global lomás completa posible y tenga dominio en el manejo de las fórmulas y medios de cálculo;con este propósito en mente, se han gradualizado los ejemplos, ejercicios y problemasdel texto. No obstante lo anteriot y con un claro objetivo didáctico, se incluyen en formaparcial las tablas de factores, para que los estudiantes conozcan su estructura, las apli-qnen y desarrollen habilidad para su manejo. Siempre se utilizarán tablas en diferentes

ictividades, como un medio seguro y rápido para obtener resultados; a los futuros profe-

sionales les corresponderá crearlas y para ello deben asimilar Ios conocimientos necesa-rios.

Agradecimientos muy especiales para los profesores que hicieron llegar sus obser-vaciones y críticas constructivas, las cuales sirvieron para mejorar el contenido de estaedición. Es importante que en el futuro se mantenga esta amable y estrecha relación.

El autor agradece su colaboración y aportes a Ia economista colombiana doctora

Inés Cabrera Bedoya, a Ia economista chilena doctora MónicaPazTorres Cariola y al inge-niero Rolando Portus Valdivia.

Lincoyán Portus Goainden

Contenido

vPrefacio a Ia cuarta ediciÓn

0 ALGUNos FUNDAMENTos uernuÁrtcos

0.lAproximaciones.0.2operacionescondecimales,utilizandopotenciasdel'0.0.3 Tabras .on ru"ror"r-urrtáror. o.¿ pt"ó."iánaüdad. 0.5 Proporciones' 0'6 Tanto

por ciento. o.z^iár"*" det binomilS.;;;;;il"t. 0.9'Propiedades de los

logaritmos "" ";;"

ió. ó.10 progresión uiii*¿ti.u. 011 Progresión geométrica'

1 INTEnÉs stuprn

objetivo.l.l lntroducción'l.ZDefiniciones.1'3Cálculodelinterés.1.4Interpre-tación del factor k en la fórmula 1.;;n;i".i¿" entre el interés comercial y el

interés r"uf. f .ip"i"r*ir,u.iO., del tiempo. 1.7 Tablas para el cálculo del tiempo y

para las "q.,i";;;;

áecimales. 1fiá;;;i"; mo¿iti.a¿as para el cáIculo del

interés ,i*pr"li.l'ü"nio. 1.10 Valoiactual o valor presente á" ''tttu deuda' L'11

Cálculo de intereses por medio ¿" iu¡fur. 1.12 Gráiicas o diasramas del interés

simple. r.rg g;acio,ies d",,uro,", "|"i"Ju.'t",.

t'tlt) inoirinal anticipada y

vencida y ,urur?.iivás. r.rs prouiá*ur resueltos. l'.16 Problemas proPuestos'

1.17 Acti;idades de consulta'

2 COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS

objetivo.2'lDescuentobancario.2.2F6rmliaparaelcálculodeldescuentoban-cario. Z.3Fórmula para el .,rufo. fiqíiaá

"" "ii"t."ento bancarto' 2'4 Relación

"t6

46

MATEMATICAS FINANCIERAS

entre el descuento bancario y el descuento racional o matemático. 2.5 Pagos des-pués de la fecha de vencimiento. 2.6 Comisiones .2.7 Yaiaciones del valor líqui-do y de la tasa de interés en el descuento bancario. 2.8 Descuentos comerciales.2.9 Yalor neto de una factura. 2.10 Descuentos por pronto pago. 2.1.1. Descuentosen cadena o en serie. 2.12Tasas escalonadas. 2.13 Modificación de las tasas esca-lonadas para evitar la inversión de las categorías de valores. 2.14 Problemas re-sueltos. 2.15 Problemas propuestos.2.1.6 Actividades de consulta.

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO 69

Objetivo. 3.1 Introducci6n.3.2 Pago de los intereses de un pagaré en fraccionesdel plazo de la deuda. 3.3 Descuento bancario con pagos anticipados de los inte-reses en fracciones del plazo. 3.4 Pagos parciales. 3.5 Ventas a plazos. 3.6 Tasa deinterés en ventas a plazos. 3.7 Problemas resueltos. 3.8 Problemas propuestos.3.9 Actividades de consulta.

INTERÉS COMPUESTO 93

Objetivo. 4.1 Introducciín.4.2 Monto o valor futuro a interés compuesto. 4.3Comparación entre interés simple e intetés compuesto. 4.4Tasa nominal, tasaefectiva y tasas equivalentes. 4.5 Cálculo del valor futuro para n mayor que 50.4.6 Valor futuro compuesto con periodos de capitalizaciín fraccionados.4.T CáI-culo de la tasa de interés compuesto. 4.8 Un caso paradójico.4.9 Cálculo del tiem-po. 4.10 Crecimiento natural e interés compuesto.4.11 Problemas resueltos.4.12Problemas propuestos. 4.13 Actividades de consulta.

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COUT'UESTO 123

Objetivo. 5.L lntroducción.5.2 Cálculo del valor actual. 5.3 Valor actual para va-lores de n mayores que el máximo de la tabla.5.4 Valor actual al interés compues-to con periodos de capitalización fraccionarios.5.5 Descuento a interés compuesto.5.6 Valor presente de una deuda que devenga intereses.5.7 Ecuaciones de valo-res equivalentes. 5.8 Problemas resueltos.5.9 Problemas propuestos. 5.10 Attivi-dades de consulta.

ANUALIDADES

Objetivo. 6.1 Introducci6n.6.2 Clasificación de las anualidades. 6.3 Anualidadesciertas. 6.4 Anualidades eventuales o contingentes. 6.5 Valor de las anualidades.6.6 Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinariasinmediatas. 6.7 Problemas resueltos (primer grupo). 6.8 Problemas propuestos.6.9 Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. 6.10 Cálculo deltiempo o plazo de una anualidad. 6.11 Cálculo de la tasa de interés de una anua-lidad simple cierta ordinaria.6.l2Problemas resueltos (segundo grupo).6.L3 Pro-blemas propuestos. 6.L4 Actividades de consulta.

t41

CONTENIDO

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS 773

Objetivos. 7.1 Anualidades anticipadas.T.ZSímbolos utilizados en las anualida-

des anticipa das.7.3Valor futuro y valor presente de las anualidades simples cier-

tas anticipadas. 7.4 Problemas resueltos. 7.5 Problemas propuestos. 7,6 Actividades

de consulta. 7.7 Anualidades diferidas.7.8 Valores de las anualidades diferidas

simples ciertas.7.9 Problemas resueltos. 7.10 Problemas ProPuestos' 7.11 Activi-

dades de consulta.

206RENTAS PERPETUAS .\

Objetivo. 8.1 Introducción. 8.2 Símbolos utilizados en las \tas perpetuas- 8.3

Val'ores de las rentas perpetuas simples.8.4 Capitalización. 8.\postos capitaliza-

dos. 8.6 Costos equivalentes. 8.7 Problemas resueltos. 8.8 Problemas propuestos'

8.9 Actividades de consulta.

ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL 224

Obietivo. 9.1 Introducci6n.9.2 Símbolos utilizados en las anualidades genera-

tes. q.g Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad sim-

ple.9.4 Valor futuro y valor presente de las anualidades generales ciertas

órdinarias. 9.5 Cálcutode la renta de una anualidad generalcierta ordinaria.9.6

Problemas resueltos. 9.7 Problemas propuestos. 9.8 Cálculo del tiempo o plazo

de una anualidad general. 9.9 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad

general. 9.10 Problemas propuestos. 9.11. Anualidades generales-anticipadas. 9.12

Éroblemas resueltos. 9.1á Problemas propuestos. 9.14 Anualidades variables. 9.15

Gradientes. 9.16 Gradiente aritmético. 9.17 Gradiente geométrico. 9.18 Anuali-

dades continuas. 9.L9 Anualidades a intereses continuos. 9.20 Anualidades a in-

terés continuo con Pagos en flujo continuo. 9.21 Problemas resueltos.9'22

Probleinas propuestos. 9.23 Actividades de consulta.

279

Objetivo. 10.1 Introducción. 10.2 Sistemas de amortización. 10.3 Cálculo de los

val-ores de las amortizaciones. 10.4 Cálculo del saldo insoluto. 1.0.5 ReservaF Paraatender rentas cuyos pagos son variables. 10.6 Ventas a plazos. 10.7 Derechos

sobre un bien pagado por cuotas. 10.8 Captación de ahorro y_ préstamos para

adquisición de bienes raíces. 10.9 Problemas resueltos. 10.10 Problemas propues-

tos. 10.11 Actividades de consulta'

11 FONDO DE AMORTIZACIÓN

Objetivo.11.l. Introdu cci6n.11..2Cálculo de los valores de un fondo de amortiza-

ciOn. f t.g Cálculo de Io acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier

fecha. 11.4 Cálculo del plazo de una deuda. 11.5 Fondos de amortización con

aportes variables. 11.6 Pioblemas resueltos. 11.7 Problemas proPuestos. 11.8 Ac-

tividades de consulta.

314

10

12

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

DEPRECIACIÓNY AGOTAMIENTO 330

objetivo. 12.1 Introdu cc\6n.LZ.ZCálculo de los cargos periódicos por deprecia-

ción. 12.3 Depreciación por fondo de amo,rtiza ciAi n'+Método de la suma de

dígitos o enteros qrr" -J."rponde1.1 los años de duración del activo. L2.5 Méto-

do de depreciación p"t pttt'""ta¡e fijo o de variación geométrica' 12'6 Método de

depreciación con intere^ses sobré la inversión. 12.7 Recuperación de la inversión

enbienesagotables. l2.8Problemasresueltos. l2.gProblemasPropuestos. l2. l0Act iv idades de consulta '

13 BONOS 344

ob ¡e t i vo . l 3 . l l n t roducc ión ' l 3 .2De f i n i c i ones . l 3 .3Prec iode losbonosenunafecha de pago de interés o cupón. 13.4 Valor de un bono en l ibros. 13.5 Precio de

Iosbonoscompradosen t re fechas< lecupón .13 .6Co t i zac iónde losbonosen losmercados de valores. 13.7 Rendimiento áe las inversiones en bonos' 13'8 EI inte-

r é s o r c l i n a r r o y e l i n t e r é s r e a l e n l a T I R d e u n b o n o . l 3 . g B o n o s s e r i a d o s . l 3 . l 0Bonosdeanua l i dad . l 3 . l lBonoscon fechaopc iona l< le redenc ión ,73 .72Bonosamort izadosporsor teo. l3 ' l3Bonosdevalorconstante. l3 . l4Problemasresuel-tos. 13.15 Problemas propuestos' 13'16 Actividades de consulta'

14 DESVALORIZACIÓN MONETARTA 37'] '

ob je t i vo . l 4 . l l n t roducc ión .14 .2 Índ i cesdep rec ios . l a .3 . }n5 idenc iade ladesva -l o r i zac ión " , . 1 * i , - ' t " , " sessob rep rés tamos .1¿ .aRen tab i l i dadde losaho r rosens i t uac ióndec iesva lo r i zac iónmone ta r i a ' l 4 .5Prob lemas resue l t os .14 .6Prob le -maSpropuestos. l4 .TCorrecciónmonetar iayunidade.s.devalorconstante. l4 . t }Relac iónentre laamort izac ióndelospréstamosgnu{dl jesdevalorconstantey los ing resosde losdeudo res " . . . ' ^us i t uac iónde in f l ac ión .14 .9Prob lemas re .sue'ltos. 14.10 I 'rclblemas proPuestos' 14'11 actividades de consulta'

Respuestas a los problemas de número impar 398

Tablas 401

lndice 431'