UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOINSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS

Ç>K. ... ---'

EMPOSITRONS

ALCALINOS

ANIQUILAÇÃO DE

METAIS

OSCAR HIPOLITO

- B 1 "0, I

.' 'S .:.. u s p'_

\ ~ "tcriai. l------------

Tese apresentada aoInstituto de Física e Quimica de São

Carlos, USp, para obtenção do titulo

de Doutor em Ciências (F r S I C A ) •

DEPARTAMENTO DE FlslCA E C1~NCIA DOS MATERIAIS

1973

Quero expressar ao Prof. Roberto Leal

Lobo e Silva Filho meus agradecimentos p~

la orientação, apoio e incentivo constan­

tes que dispensou na realização deste tra

balho.

Ao Prof. Silvestre Ragusa; pelas va­

liosas discussões, muito obrigado.

Agradeço tambem ao Sr. Antonio Gallo

pelo excelente trabalho de datilografia,

ao Paulo R. S. Beatrice p~la presteza com

que executou os desenhos e ao Centro de

Processamento de Dados, Campus de são Car

los, pelos cálculos efetuados.

Este trabalho foi realizado sob o patroc!uio dos segui~

tes ôrgaos:

FAPESP, CNPq, CAPES, CAPES!F.FORD, BNDEjFUNTEC, OEA e FULBRIGHT.

CONTRIBUIÇÕES .~RIGINAIS

As contribuições deste trabalho-

sao as seguintes:

a. O estudo comparativo da interação ô tridimensicnal em um...

gas

de Fermi, usando a aproximação do campo auto-consistente e o

método de função de Green.

b. O cálculo numérico das razões de aniquilaçeo de positrons em

metais alcalinos, utilizando um potencial efetivo eletron-pcs!

tron obtido pelo metodo da transformação canônica.

c. O estudo da formação de positrônio, a partir do potencial efe-

tivo mencionado acima, e sua contribuição para a razão de ani-

quilação obtida atraves de um cálculo variacional.

d. A -introdução de um novo modelo para a interpretação da-

razeo

de aniquilação de positrons em metais alcalinos de baixa densi

d ad e. •

RESUMO

Estudamos o problema de um potencial tridimensional ô-~

trativo embebido em um gás de Fermi. Calculamos a função de corr~

lação exata gás-impureza em um formalismo de funçã9 de Green. Os

resultados são comparados com aqueles obtidos na aproximação do

campo auto-consistente (SCA). Analisamos o limite de validade da

SCA e discutimos o problema do crescimento anBmalo da razão de a-

niquilação de positrons em metais de baixa densidade.

Usando como interação eletron-positron um potencial efe

tivo obtido pelo metodo da transformação canônica, calculamos nu-

mericamente as razões de aniquilação de positrons em metais alca-

linos. Analisamos tambem, para essa interação efetiva, a possibi-

lidade de formação de positrônio como função da densidade dos me-

tais.

Admitindo a existência de positrônio em metais de baixa

densidade, r > 4,5, apresentamos uma nova interpretação para ass

razões de aniquilação em metais alcalinos. A justificação desse

modelo é baseada em argumentos microsc~picos e em dados experimc~

tais. Nosso modelo concorda muito bem com os resultados experimen, -tais.

ABSTRACT

An attractive tridimensional ô-function potential is

introduced in a Fermi gas. The contribution to the gas-impurity

correlation functlon of bound states is calculated exactly in a

Green's function formalism. The exact results are compared with

those obtained in the seIf consistent field a '0'0 roxima ti on (fCA).

The range of validity of the SCA is analysed and tne problem

of the anomalous enhancement of the positron anriihilation rate

for a low density electron gas is discussed.

Positron annihilation rates in metaIs are calculated

using the effective electron-positron interaction obtained by

the canonical transformation method. The possibility Df forma-

tion of positronium fo~ 5uch interaction is discussed. An altar

native interpretation ror the positron annihilation rates in

alkali metaIs is presentec assuming the existence o~ positronium

even at metallic densities. This assumption is discussed based

on microscopic arguments. The model fits very nicely the expe-

mental points.

tNDICE

pig.

PREFÃCIO IV

CAPÍTUL2-l - lNTRODUÇÃO Ã ANIQUILAÇÃO DE POSITRONS EM METAIS

ALCALINOS 1

1.1 - Regras de seleç~o para a aniquilaç~o de positrons

1.2 - Medidas da vida nédia

1.3 - Correlação angular de dois fótons

1.4 - Teoria de aniquilação de positrons em metais

CAPíTULO 2 - POSITRÔNIO E ESTADOS LIGADOSv- -4> -" _

2.1 - O poteucial ô para partículas livres

~2.2 - Aproximação do campo auto-consistente

3

5

8

11

21

24

27

2.3 - Hetodo de f " n ro -a() d '" G"'e '" "'P " r a " "'0 to <> n ,. ';a 1 ~- -- "::'; '"-' •..' .•... '- "'" ~ • I;'· •••"'-&- _.L. .... ''''

2,4 - Discu5são e comparação dos resultados. Caso das partí-

culas com interaçao 41

CAP!TUL9 ~ - FORMAÇÃO DE POSITRÔNIO E TEORIA DE

DE POSITRONS EM METAIS ALCALINOS

ANIQUILACÃO---44

3. 1 Metodo da transformação canônica 45

3.2 - Interação efetiva eletron-positron

3.3 - Razão de aniquilação de positrons

3.4 - Cálculo numérico de À

3.5 - For~ação de positrô~io

47

51

53

58

CAPITULO 4 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 68----- ,_ " ' .. -.;.'""~.'" ,. '.", "

AP~NDICE A

A.I Fua.ção de Green

A.2 Aproximação de Hartree

A.3 Aproxima%ão de Hartree-Fock

A.4 - Aproximação RPA

APÊND.IC,E .a,

AP~NDICE C

...Intesração

APÊNDICE D

- Equação integral - solução numérica

LISTA DE FIGURAS•

BIBLIOGRAFIA

FIGURAS

70

72

75

76

78

79

82

85

89

93

95

-_._-~-_.- ---- ,,'-- -~-_. -- ~_._-- -

PREFÃCIO

o estudo do comportamento de positrons em um gis de el~

trons de condução se constitui, provavelmente, no problema

...,. ...fundamental da f~s~ca de pos~trons lentos.

Em metais alcalinos, a distribuição de Fermi dos

mais

ele-

trons de condução tem sido obtida de forma clara atravis de medi-

das de corralação angular dos fotons emitidos na aniquilação dos

positrons. Para esses metais, a aniquilação ocorre exclusivamente

com os elétrons de condução. Esse fato ê entendido considerando-

se que os "cores" iônicos são pequenos e, sendo positivamente car

regados, repelem o positron.

o comportamento de um positron em um gás de Fermi ê es-

sencialmente um problema de muitos corpos que apesar de ter sido

objeto de muitos trabalhes experimentais e teoricos não esta to-

talmente esclarecido.

Utilizando as tecnicas de muitos corpos, varios traba-

lhos teoricos foram realizados para calcular as razões de aniqui-

lação em metais alcalinos. Dentre os trabalhos que melhores resul

tados apresentaram podemos citar os de Kahana (15), Sj81ander e

Stott (26) e Bhattacharyya e Sil1g'vi (5).

Neste trabalho, apresentamos uma contribuiçio para o en

tendimento do comportamento do positron em metais alcalino3, pro-

pondo uma nova interpretação p~ra a ra~ão de aniquilação em me-

tais de baixa densidade, onde as teolias apresentam falhas.

v

Com o intuito de esclarecer o p~oblema da exist~ncia e

cãlculo de estados ligados em metais, estudamos inicialmente o

problema de um gãs de Fermi livre interagindo com uma impurezatr~

presentada por um potencial tridimensional ô-atrativo. No forma-

lismo de função de Greencalculamos exatamente as contribuições,

tanto dos estados ligados quanto dos estados de espalhamento para

a função de correlação gãs-impureza. Os resultados são comparados

com aqueles obtidos para a part{cula livre e para um gis de Fermi

na aproximação do campo auto-consistente, SCA, de Singwi et aI

(25). A região de validade da SCA é também analisada. Concluindo

esse estudo discutiffios rapidamente o caso de um gas de Fermi com

interaçao.

Tendo em mente que o estado ligado, positrônio, deve e-

xistir em metais de baixa densidade, usamos o metode.. ,

var~aCl.onaJ.

para determinar sua contribuição ã razão de aniquilação. O c.ãlcu-

10 é efetuado usando como interação eletron-positron o potencial

e"fetivo obtido por L. G. de Freitas (11) atraves do metodo da trms

formação canônica. Obtivemos como resultados: uma indicação da

formação de positrônio em metais de densidade r , no mínimo,maiors

que 6; as razões de aniquilação em boa concordância com os dados

experimentais na regiao

baixas densidades.

de r s < : e, um crescimento anômalo em

Considerando que esse metodo apresenta as mesmas falhas

que as outras teorias,construimos então um modelo onde a aniquil~

ção em metais de baixa densidade ~ devida a aniquilaç~o do posi-

tr;nio livre mais a aniquilaç~o dos el~trons livres de Sommerfeld.

VI

Nossos resultados concordam plenamente com os dados experimentais.

Na região de altas densidades as teorias existentes são satisfatõ

rias, mostrando que os estados de espalhamento descrevem correta­

mente a aniquilação.

Os assuntos estao discutidos na seguinte ordem: no Capí

tulo 1 apresentamos um resu~o da aniquilação de positrons em me­

tais, particularmente nos alcalinos. As regras de seleção na ani­

quilação, os métodos experimentais de medidas de vida média e cor

relação angular, bem como as teorias mais fundamentais, são apre­

sentados.

No Capítulo 2 discutimos a interação tridimensional é-a

trativa embebida em um gis de Fermi. Analisamos as soluç~e~ exa­

tas, obtidas na aproximação do campo auto-consistente (SCA) e no

formalismo de f'lnção de Green. Os resultados numericos são compa­

rado~ e mostrados em grificos.

~ - .. -No Cap~tulo 3 calcula~os as razoes de an~qu~laçao em m~

tais alcalinos, assumindo uma interação efetiva elêtron-positron,

derivada pelo método da transformação canônica e analisamos a po~

sibilidade da formação de positrônio para essa interação. Propo­

mos uma interpretação alternativa para as raz;es de aniquilação

em metais de baixa densidade, admitindo a existência de positrô­

nio e baseando-nos nas medidas experimentais de correlação angu-

lar.

No Caprtulo 4 apresentamos as conclus~es e algumas su-

gestoes para trabalhos futuros.

VII

No Apêndice A resumimos o cálculo da função de Green de

~ -uma partlcula e as aproximaçoes de Hartree, Hartree-Fock e RPA.

A bibliografia e as figuras estão situadas no final do

trabalho.

CAPiTULO 1

INTRODUÇÃO Ã ANIQUILAÇÃO DE POSITRONS EM METAIS

ALCALINOS

A existência do positron como a antipartícula do ele-

tron e uma consequência fundamental da teoria de Dirac. Após sua

descoberta por Anderson (1) em 1932, foram realizadas muitas exp~

riêucias para comprovar as predições da teoria tais como, a igual

dade entre as massas de repouso do eletron e do positron, a ani-

qui1ação do par eletron-positron com a emissão de dois raios-y,c~

da um de energia2

mc = 511 keV, etc.

Em 1949, Shearer e Deutsch (23), investigando a aniqui-

lação de positrons em gases diluídos verificaram que o decaimento

não era proporcional ã pressão do gás, o que contrariava a teo-

ria. A explicação era que a aniquilação ocorria em um sistema li-

gado, o positr;nio, um sistema idêntico ao átomo de hidrogênio,o~

de o positron ocupa o lugar do próton.

Os trabalhos em aniquilação de positrons em gases con-

tribuiram consideravelmente para que o processo de aniquilação

fosse usado como uma tecnica nas investigações das interações dos

positrons com a materia. As primeiras experiências em sólidos fo-

ram realizadas por De Benedetti e Richings (9) e Bell e Graham

(4). Uma das grandes virtudes do uso de positrons como uma tecni-

ca e que um positron de alta energia pode penetrar no interio~ da

2

amostra e se tornar um membro real de seu sistema eletrônico.

Fundamentalmente hi dois tipos de experiincias com POS1­

trons interagindo com R mat~ria,a saber,medidas da vida midia dos

positrons e medidas da correlação angular dos fótons emitidos na

sua aniquilação. Em metais, as medidas da vida media dão informa­

ções sobre a interação do positron com os eletrons enquanto em ou

tras substâncias, obtêm-se informações sobre os processos de co1i

sões,como por exemplo,a seção de choque de espa1hamento medio do

positron pelos átomos. As medidas de correlação angular revelam a

distribuição de momentos dos eletrons na materia o que e de gran­

de interesse no estudo da superfície de Fermi dos metais.

Uma limitação no uso de positrons para estudar a estrutu

ra eletrônica dos sólidos deve-se ao fato de que a forte intera-

ção coulombiana do positron modifica as funções de onda dos ele

trons.

Neste capítulo limitaremos a discussão ã aniquilação em

dois fótons, pois, alem de conter, em princípio,todas as informa

ções do sistema, e o processo de aniquilação observado nos metais.

Faremos uma breve revisão da aniquilação de

em sólidos, particularmente em metais. Na seção 1.1

positrons

descrevemos

as regras de seleção da aniquilação; na seção 1.2 apresentamos as

medidas experimentais da vida m~dia dos positrons em sólidos; na

seçao 1.3 ê feito um estudo da correlação angular dos fótons erei-

tidos na 8niqui18ç~o: especialmente a correlaç~o angular de

f~tons, e na seç~o 1.4 damos um breve resumo das teorias de

quilação em metais.

dois

an~-

3

1.1 - Regras de seleção para a aniquilação de positrons

(31)

Um par elêtron-positron pode aniquilar-se emitindo

dois, tris ou mais f6tons. Para que haja conservação de energia e

momento, a aniquilação em um f6ton se di na presença de uma ter-

ceira partícula. A aniquilação de um par elêtron-positron ligado,

em repouso, em dois f6tons de mesmo comprimento de onda e cami-

nhando em sentidos opostos, se di com uma vida média da ord~m de

-10 .. - .... - .10 sego A an1qu1laçao em tres fotons ocorre em um tempo ma~or,

-7 . - .- 10 seg., p01S o processo e de ordem ma1S alta.

Consideremos dois fôtons de igual comprimento de onda

propagando-se em sentidos opostos ao longo do eixo z. Para esse

. h- d 4'. RRs1stema a quatro esta os pOSS1ve1S; ~ , 'LI..l~ ,

.RL\fJ

,LR1j.I ,

onde

o primeiro índice se refere ã polarização circular do fôton prop~

gando-se na direção +z, e o segundo índice ao outro fôton. Esqu~

matizando, temos:

,RR1j.'

~~

1/JL1. '.J!RL

("'40 ~ç~.....,...~v ~ •.1/JLR

o comportamento desses estados sob uma rotaçao de um an

guIo 0, em torno do eixo z, uma rotaçao de 1800, Re' em tor-

no do eixo x e uma inversão, P, estão resumidos nns Tabelas I e 11.

4

Tabela I - Autovalores das rotaçoes Ra e Re e da inver­

são P para os estados dos dois fótons

\)!RR I LL_.1j;~~ _ tyLLI + 1J!..,. •....

R

1 1a

Re

1 1

p

1 -11j;RL

2iae

1

-2iae

1 .

Tabela 11 - Momento angular J e paridade P dos

dos dois fótons

estados

~

O

12,4,6,... 3,5,7 , •••.-

,-,.,._~,~ljJRR + ljJLL

~~1)iRR + ljJLL,

ljJRL,lpLR ~IRL,LRpar

'pr ibida. ,\li

...

ljJRR _ \)!LLproibidaljJRR _ 1jJLL

proibidal.mpar

Como partículas e antipartículas (fermions) têm parida-

des opostas, a paridade intrtnseca do par eletron-positron,no es-

tada fundamental,~ ... -e lmpar com a convençao de que o vacuo tenha p~

ridade par. O par el~tron-positYon tanto no estado singlete (spin

zero) como no estado tríplete (spin 1) tem paridade ímpar. Entre-

tanto, como mostram as Tabelas acima, o estado triplete n~o pode

decair em dois fotons pois nao conserva momento angular, enquanto

que o estado singlete pode decair em dois fôtons sem violar as re

5

- . -. ~ .gras de se1eçac. O estado trlp1ete podera decalr no mlnlmo em tres

fotons atraves de interações de ordem mais alta e então terá vida

media mais longa.

A razão de decaimento do estado siug1ete, X ,s

fôtons e igual a

10 -1X = 0,804 x 10 segs

em dois

e para o triplete, XI'decaindo em

-tres fôtcns

6= 7,2 x 10

-1seg

1.2 - Medidas da vida media

As primeiras medidas de vida media de positrons foram

realizadas pcr Bell e Graham (4) utilizando um par de espectrôme-

tros 'de raios 8 colocados extremidade a extremidade como esquema-

tizado na Figura 1. Os positrons emitidos pela fonte passam pelo

cristal de estilbene acusando um tempo zero em um circuito de coin

cidência ao qual os dois contadores de cintilação estao conecta -

dos. Ao passar pelo espectrôrnetro esquerdo, os positrons alem de

serem selecionados erroenergia e trajetória, são focalizados na

fenda do diafragma central que separa os espectrometros.

Removendo a amostra, os positrons chocam-se diretamente

com o cristal cintilador direito e os dois contadores ac~onam o

circuito de coincidência. As medidas da razão da contagem da coi~

cidência como uma função do tempo de atraso inserido no circuito

6

de coincidência, são usadas para determinar a curva de

de coincidência P(x).

resolução

Quando a amostra for colocada em sua posição, os posi-

trons serao absorvidos por ela e o contador da direita detetarâ u

ma fração dos fótons da aniquilação. Consequentemente o circuito

de coincidência irâ registrar atrasos na coincidência resultando

em uma curva transladada para a direita cem relação a P(x).

o deslocamento no pico da curva de resolução de coinci-

dência d~ a vida m~dia do positron na amostra. Na Figura 2 mostr~

mos a curva obtida para o alumínio a qual e uma curva típica para

metais e cristais iônicos. Essa curva de resolução n~o ~ suficien

te para indicar se a aniquilação de positrons segue ou nao uma

lei exponencial simples.

Em contraste com isso, na curVa áe resolução de coinci-

dência para o quartzo fundido, Figura 3, hi uma cauda bem defini-

da correspondendo a um decaimento exponencial, de vida media mais

. ~ .longa que a do alurr.~n1o.

A curva e vista naturalmente como tendo duas componen-

tes, a saber, uma de vida media ~l ~ 3,5-10

x 10 seg e a outra,um

-Q

decaimento aparentemente exponencial, de vida media T2~1,8 x 10 ~

sego Esses valores são obtidos da seguinte maneira. Da inclinação

da cauda e do conhecimento da curva padrão P(x) podemos calcular

a parte da curva de resolução devida somente a T2 (linha interrom

pida na Figura 3); aparte associade com a vida media curta TI

obtida por subtração (linha pontilhada na Figura 3).

-e

7

A vida media curta, Ll' e característica de metal homo-

geneo, enquanto que a vida média longa, TZ' e caracterizada pela

aniquilação na superfície, bem como pelos defeitos na rede, em me

tais. As razões de aniquilação, isto-e, o inverso da vicia meàia,

para os metais alcalinos Li, Mg, Na, K, Rb e Cs caem em uma curva

suave, Figura 7, que se aproxima da razão de aniquilação do posi-

trônio para os metais de baixa densidade eletrônica.

Weisberg e Berko (32) repetinào, com maior precisao,. as

medidas em metais alcalinos, obtiveram uma boa concordância com

as vidas medias curtas determinadas anteriormente por Bell e Jor-

gensen (3). Entretanto, o Li apresentou vida média longa com uma

intensidade de 0,6%, uma ordem de grandeza mais baixa

Ref. (3).

que a da

Em halogenetos alcalinos os positrons decaem em pelo me

nos dois processos diferentes (6). A vida media curta, LI ~ 2 x

seg, é atribuída i aniquilação dos positrons quando li-vres. A vida media longa,

-10LZ ~ 4 a 8 x 10 seg, ocorre com

uma.

intensidade entre 25 e 85% e é correlacionada. com a densidade mo-

1 b "'t-.:" -. decular. O servou-se que o queocl~ng magnetlco a componente

é muito menor que aquele esperado quando se atribui essa compone~

uma vezte ao decaimento do positrônio. Esse fato reforçou mais

que um sistema ligado tem as mesmas propriedades do positrônio

vre e, não pode existir em halogenetos alcalinos.

, .J.l

8

1.3 - Correlação angular de dois fõtons

A correlação angular de dois fótons emitidos na aniqui

1ação de positrons em sólidos foi primeiramente discutida por De

Benedetti, Cowan, Konneker e Primakoff (8) em 1949. Daí para fre~

te, um grande n~mero de trabalhos apareceu. Os mais extensivos ex

perimentos usando metais foram realizados por Stewart (12,27,28)e

pelo grupo de De Benedetti (16,17).

Resumiremos aqui as ideias centrais do metodo de corre-

lação angular de dois fõtons.

Se c sistema eletron-positron estivesse em repouso OS

dois f~tons sairiam exatamente opostos e poderiam ser detetados

por dois contadores, montados entre duas fendas em um plano hori-

zontal. Entretanto, na aaiquilação,o par tem, em geral,IDomento não

nulo· implicando em um certo ângulo entre os fõtons emitidos. Um

dos contadores pode-se mover verticalmente e a curva de coincidên

cia irã indicar o número de pares com uma certa componente do mo-

mento ao longo do eixo vertical, z.

Se o par que se aniquilar tiver momento p-an-

guIo entre os fótons serã e : p/me. A componente z do momento po-

derã então ser obtida em termos da distância d entre os contado -

res e da altura do contador móvel, como sendo

p = 2 me (~)z d (1.3.1)

Definindo p(r) como a distribuição de probabilidade de

9

encontrar ure par de fôtons com momento entre e e e + de, a

da contagem p (p ) será entãoo z

00

= ! p(p) 2rrp dI'o _

onde

A eq. (1.3.2) pode ser escrita como

-razao

(1.3.2)

00

= 2rr f P (p) P d PPz

(1.3.3)

2com p 2 2 () -.-.= p + P . Se p p for uma funçao ~sotrop~ca, entaoz

pode ser encontrado como sendo

1-2II P z

dPo(pz)

dpz

= const d1(z)-. z - d ZU - (1.3.4)

onde 1(z), raz~o da contagem, i uma funçio da elevaçio z do conta

dor e e proporcional a p (p ). Combinando a eo. (1.3.1) com a eq.o z .

(1.3.4) podemos determinar a densidade p.

De acordo com a teoria de Sommerfeld, a curva da razao

da contagem como funçio do ângulo entre os fótons

invertida que podemos obter da eq. (1.3.3) como

-c uma parábola

p (p ) =o z

10

o para p ~ pz F

0.3.5)

Lang e De Benedetti (16) analisando as curvas de corre-

lação angular distinguiram entre metais para os quais a curva de

distribuição angular consiste em uma parabola invertida com uma

cauda para ingules grandes e metais em que a curva se aproxima me

lhor a uma gaussiana.

Nas figuras 4, 5 e 6 mostramos tanto as densidades de

momentos p(E) quanto as distribuiç;es de momentos, N(E),

das como

:lcfini-

Esses resultados são notáveis por mostrar que os fótons

t~m tima distribuição de momento de el~trons livres superposta a ~

ma distribuição achatada. Isso implica que a maior parte dos posi

trons se aniquilam com el~trons livres e com aproximadamente ames

ma probabilidade.

Em metais de grande IIgaussiana", a maior parte da"

gau~

siana" e atribuida ã aniquilação dos positrons com el~trons do

"core". Entretanto, não ha uma correspondência direta entre a pa!.

te parabólica e a aniquilação com os elétrons de condução, bem co

mo entre a componente "gaussiana" e a aniquilação com eletrons do

"core".

Como a distância que o positron penetra no interior da

11

materia e limitada pelo valor da blindagem da carga nuclear, en-

tão, ele tera maior chance de penetrar no "core" de um metal mono

valente do que em um material de valência mais alta, como o carbo

no, por exemplo. Acontece, porem, que exatamente nos metais alca-

linos a correlação angular e melhor explicada em termos da teoria

do eletron livre. As camadas internas contribuem apenas para as

pequenas caudas da distribuiçio, que são insignificantes nesses

metais. Consequentemente, a aniquilação com elétrons do "core"não

dã uma explicação das grandes caudas encontradas em alguns elemen

tos da Figura 4 e em todos da Figura 5.

Weisberg e Berko (32) analisando as medidas

tais das razoes de aniquilação nos metais K, Rb e Cs

experimen-

concluiram

que uma parte apreciável da componente "gaussiana." desses metais

deveria ser c1",vido a aniquilaç.;o na banda de conc1nção,

palavras, a "gaussiana" e muito grande para ser devida

aniquilação com eletrons do "core".

Em outras

somente a

Como vamos mostrar no Capitulo 3, acreditamos na forma-

çao de positrônio nesses metais e ele seria responsável pela maior

contribuição da razão de aniquilação.

'1.4 - Teorias de aniquilação de positrons em metais

As teorias de aniquilação de posítrons em metais, parti

cularmente em metais alcalinos, tem sido muito elaboradas recente

mente e oS resultados obtidos concordam razoavelmente bem com oS

dados experimentais.

12

o ponto de partida para o cálculo da razão de aniquila-

çao em metais foi a teoria de elétron livre de Sommerfeld. Nesse

teoria um metal se distingue do outro apenas pela densidade ele-

trônica que, convenientemente~ ê especificada por rs' uma grande-

za adimensional definida como r = r /a , onde rs o o o

media entre os elétrons e a o raio de Bohr.o

...e a distância

Como foi discutido por Ferrell (10), a razão de aniqui-

lação de positrons e proporcional ã c.ensiàade de eletrons em tor-

no do positron, tomando-se a media sobre todas as posiç;es dos p~

sitrons. A razão de aniquilação À, é obtida entno como

onde

1À = 7; Àpos

nnpos

(1.4.1)

e

Àpo:::

-1seg

npos = 1/8rr3ao

sao a razão de aniquilação e a densidade do positrônio, respecti-

vamente. n e a densidade dos el~trons em torno do positron e o fa

tor 1/4 vem da media e~ spin) relembrando que a aniquilação am

dois fõtons ocorre no estado singlete.

Na teoria de Sommerfeld, a densidade de elétrons ê

3-. 3/ 4rr a o

3r s (1.4.2)

resultando para a razao de . 'la'-ao Àan~qul.'S Somm , o valor

13

À - ~ 9 -1Somm - 3 x 10 segr s(1.4.3)

Os valores teoricos obtidos da eq. (1.4.3) para varios

metais estao muito abaixo dos dados experimentais, como mostra a

Figura 7. Essencialmente a falha dessa teoria consiste em conside

rar a densidade dos eletrons em torno do positron como sendo a

densidade media. Na realidade a densidade em torno do positron de

ve ser muito maior do que a densidade eletrônica media, devido a

atraçao coulombiana positron-eletrons.

O calculo da polarização do gás de eletrons em torno do

positron e inerentemente um problema quântico de muitos corpos

que deve levar em consideração, alem da atração eletron-positron,

os seguintes efeitos: a interação coulombiana elétron-eletron, o

princIpio de incerteza de Heisenberg e o principio de exclusão de

Pauli ..

A inclusão de tais efeitos na teoria foi realizada por

Ferrell (10) seguindo o trabalho de Bohm e Pines (7) para o gas

de eletrons. Aqui, a interação coulombiana de longo alcance ê re-

movida restando uma parte de curto alcance que e suficientemente

fraca, possibilitando que o problema seja tratado em termos da teo

ria de perturbação.

A parte de curto alcance da interação coulombiana ele-

tron-positron e a mesma, exceto em sinalt que aquela entre

trons da Ref. (7), sendo dada por

ele-

H (r) =c.a -

14

4n e2----r

p

eiE':: (1.4.4)

onde p e o número de onda critico de Bohm e Pines, acima do qual-c

não há oscilação no gás, e ~ e a coordenada relativa do par.

Introduzindo as coordenadas do positron e do elétron,

Io e Il' a funç~o de onda do par, em primeira ordem de perturba-.ção, pode ser escrita como

1/1 + ljJo 1

~

E>Ec

\~l + E \> PF

-ir' (:0 - :1)e2 2 1/1 o

P (p + E • El)

(1.4.5)

onde. 1/10' a funç~o de onda de ordem zero, é um produto de

planas para o positron e o eletron. Os limites do somatõrio

ondas

cor-

respondem às restrições à interação de curto alcance e ao princí-

pio de exclusão de Pauli.

A densidade de elétrons em torno do positron (r 1=r )- -o

entao obtida e consequentemente a razão de aniquilação e determi-

nada. Os resultados desses cálculos apesar de indicarem que a co~

reçao estava na direçao certa, mostraram que a razão de aniquila

ç~o para elétrons rápidos era da ordem de 10 a 20% maior do que

para eletrons lentos. Isso contradiz a expectativa desde que quan- -to mais lentos forem os eletrons, mais defletidos eles serão pelo

Kahana

15

campo coulombiano. Essa teoria falha porque trata a interação co-

mo uma perturbação, subestimando a blindagem eletrônica do posi-

trono

A primeira teoria bem sucedida para a aniquilação de p~

sitrons em metais de alta densidade, r < 4, e devida as

(15). A teoria consiste em determinar a função de correlação do

par elêtron-positron atraves de uma equação de dois corpos que con

tenha tanto a interação coulombiana blindada quan~~ o

de exclusão de Pauli.

....pl'lnClplo

A função de correlação do par elêtron-posi~ron ê defini

da como

g (x - x )ep -e -p

(1.4.6)

+( ) - .. bonde ~ ~et e, no formallsmo de Helsen crg, o operador que crla

elétrons enquanto ~ +(x t) cria positrons. Essa função da a densi-. -p ~

dade eletrônica em x quando um positron se encontrar em x .-e -p

g (x - x ) está relacionada com a função deep -e -p

G , do par elétron-positron pela expressãoep

Green,

2= (-i) G (x t, x t

ep -e -p

+x t-e

+x t )-p

(1.4.7)

onde, por definição

G (xl,x2;x~. x~)e p J_ t:.

(1.4.8)

16

T em (1.4.8) ê o operador cronológico que ordena os operadores de

campo em ordem decrescente no tempo.

A densidade eletrônica n em torno do positron...e dada

pelo limite da função de correlação do par e1êtron-positron,

g (x - x )ep -e -p

quando

x - x ~ O-e -p

Se as interaçoes forem des-prezadas (teoria de Sonmerfe1d)

Gep

aparece como

G (x. ,x2ep 1

(1.4.9)

onde

0.4.10)

sao as funç;es de Green para o el~tron e positron livres,respecti

vamente.

As equações de movimento para o sistema com interação a

copIam a função de Green do par elêtron-positrcn às funções que

envolvem uma, duas ou tr~s partIculas. Entretanto restringiremos

nossa atençao à equação integral para Gep na sua forma maisS1m-

17

pIes. Formalmente temos

(1.4.11)

I ê escolhido como sendo a interação efetiva e1êtron-p~

sitron. dado por

(1.4.12)

com u(x1 - x2) satisfazendo a seguinte equação integral

o ox v (xl-y) G (y,y') G (y,y') u(y'-x2)ee e p

(1.4.13)

onde v ~ - v e o potencial coulombiano eletron-elétron.ee ep

Introduzindo as transformadas de Fourier, a eq. (1.4.13)

pode ser escrita como

u (w) = v /E(p,W)·E E-

(1.4.14)

E(E,W) == 1 + 2 v Q (w) (1.4.15)E E

1 o

oQ (tu) == -.- Jdq dE G (tll+E) G (E)

P (2IT)4 - g+Eg

(1.4.16)

18

onde E(E,w) i a constante die1itrica do gis de e1itrons.

Conhecida a funçio de Green do par e1itron-positron, ob

tem-se entio a densidade de elitrons em torno do positron

n = (_i)2 f dx lim- +t '-+ tG (xt,

ep -xt ' , xt') (1.4.17)

o cálculo numerico da razão de aniquilação foi entao e-

fetuado, utilizando como interação o potencial cou10mbiano b1inda

do pela constante die1etrica do R P A. Os resultados obtidos es-

tão em boa concordância com os dados experimentais na região de

alta densidade. N~ região de baixa densidade, essa teoria supere~

tima a blindagem da interação acarretando em um crescimento anoca

10 da razão de aniquilação. Ver Figura 7.

Em 1972, SjH1ander e Stott (26) apresentaram uma exten-

sao da teoria do campo auto-consistente de Singwi et aI (25) para

calcular a densidade da carga induzida em torno de uma partícula

carregada em um gês de eletrons. Na seção 2.2 apresentamos um bre

ve resumo dessa aproximação.

A aplicação desse mitodo na determinação da densidade!

letrônica em torno do positron e consequenternente da razão de ani

quilaçio apresentou as mesmas falhas, como nas mais convencionais

aproximações de matriz T, isto ê, mostra um aumento anômalo na re

giio de baixa densidade, Figura 7. Por oucro lado, essa

também não prevê a existência de estado ligado.

teoria

19

Em um trabalho mais recente, Bhattacharyya e Singwi (5)

usaram a genera1izaç~o de Sj~lander e Stott com a funçio de corre

1ação do par,

g (~(, x ; t)ep -e -p

sendo dada por

g (x, x ; t)ep -e -p

e'" g (x -x )

ep -e -p+ an d e

dn gep (~e -~p)

0.4.18)

e - - --onde g (x - x ) e a funçao de correlacao estatica, de

ep -e -p •equilI-

brio, n ~ a densidade de elitrons e a ~ um parimetro. Para a = O,

obt~m-se o trabalho de Sj6lander e Stott.

O ponto importante a ser notado nessa nova formulação e

que ela contim explicitamente os efeitos da função de correlação

de três~ ~

part1culas atraves da derivada da função de correlação de

~duas part1culas (30).

Os resultados obtidos para a razão de aniquilação de p~

sitrons em metais alcalinos concordam muito bem com os dados exp~

rimentais, como mostra a Figura 7. Entretanto, essa teoria está

sujeita a duas críticas fundamentais. A primeira delas é-

a prova-

vel inexistência de estado ligado em baixa densidade e a outra-e

relativa ao parimetro ~ que foi ajustado para que os resultados

concordassem com os dados experimentais. O parimetro a foi esco-

lhiclo nesse c~lculo como sendo a = 0,11 contrariando os resulta-·

GOS previstos por Vashishta e Singwi (30), no qual eles mostr~m

queª depende de

20

r e deve satisfazer a inigualdades

1 > a(r ) > 1/2s 0.4.19)

CAPÍTULO 2

POSITRÔNIO E ESTADOS LIGADOS

o problema de muitas partículas tem sido a grande difi-

culdade para o entendimento da física da matéria condensada. Hã

muitos anos que ele vem sendo objeto de uma extensa

(21) •

literatura

Muitas técnicas teóricas foram elaboradas, tais como

funções de Green, gráficos, teoria do campo auto-consistente e ou

tras, contribuindo substancialmente para se entender reeIhor os sis

temas de muitas partIculas. Uma das teorias mais bem sucedidas no

tratamento de líquidos quânticos ê a teoria da aproximação do can

po auto-consistente, desenvolvida por Singwi et a1 (25), que abr~

viaremos como SCA (Self Consistent Approximation). Relembramos que

a teoria de Singwi é uma das muitas teorias de aproximação de ca~

po auto-consistente mas, como seus resultados para o gis de elé-

trons são extremamente bons,ela será assunto de discussão

trabalho.

neste

A hipótese considerada na SCA tem sido discutida sob di

ferentes formas. Entretanto, damos uma breve explicação do meto­

do, usando a hipótese original que nos parece a mais intuitiva. A

idéia central consiste em considerar que campos macroscôpicos de

longo alcance, bem como as funções de correlação que os geram,pos

sam ser tratados semiclassicamente.

22

fun~ão

distrtbuição d.e uma partlcula, d·~sacoplamos,. e essa ê a hipótese,

a funç.ão .distribuição de duas partíc~las em um produto de funções

'•.•..• - .'" ··.··_c. '. ~ .. -

de dlstrlbulçao de uma partlcula~,vezes a funçao de correlaçao es-

tática g(r)

Esse d~sacop 14mento deixa p~ra .g(r) Ul1laequação

gral que pode ser resolvida numeric~mente.

inte-

Sj8~ander e Stott estenderam aSCA para o caso da inte­

ração de um gis d~ el~trons com impurezas. O mitodo ~ muito atra-

ente por~m,como mencionam os autores, não fo.i bem sucedido no tra

tament:o de impurezas positivas e de massa infinita. Por outro la-

do, a razão de aniquilação de positron em metais alcalinos sofreu

tatnb~m das mesm4s falhas, como nas mai.s convencionais aproxima-

ções de matriz T, isto ~, ela mostra um crescimento anômalo na re

gião de baixa densidade (26).

Pouco tempo após o trabalho de Sj81ander e Stott, nhat-

tacharyya e Singwi (5) calcularam outra vez a razão de aniquila~o

de positrons em metais alcalinos obtendo, atrav~s de uma hipótese

ligeiranente diferente, uma excelente concordância cornos

experimantais. Entre~anto, não ficou claro se a teoria

dados

pode ou

n;o englobar es~ados ligadoS e. de uma maóeira mais geral, quando

23

a SCA seria correta, mesmo na aus;ncia de estados ligados.

Com o objetivo de esclarecer alguns desses problemas,d~

cidimos escolher um sistema muito simples; um gis de Fermi com um

potencial fixo dado por uma funç~o 6 atrativa - na pritica o po­

tencial de uma impareza pode ser idealizado como uma função ê. A

razão para essa escolha se prende ã possibilidade de encontrarmos

soluç~es fechadas para a densidade de part{culas induzidas em tor

no do potencial.

Um problema bem conhecido do potencial ê atrativo tridi

mensional ê que ele deve ser renormalizado para que tenhamos re­

sultados finitos. O procedimento para a renormalizaçio bem como

a solução para partículas livres, estão descritos na seção 2.1.

Na seção 2.2, apresentamos uma ripida explicação da SCA,

a renormalização ê dis~utida outra vez e uma solução fechada para

a densidade de partículas e encontrada.

Na seção 2.3 tratamos o problemá pelo método de funç;es

de Green e encontramos uma soluç~o exata. Discutimos quatro possf

veis casos para o potencial ê renormalizado e mostramos que a so­

lução para estado ligado esti fora do escopo da SCA. Entretanto,

para potenciais fracos e repulsivos a SCA ~ correta e mais, nesse

caso, ela ~ exata en primeira ordem na interaç~o. Em uma região

intcrmediiria a SCA não ê exata, mas pode ser considerada uma boa

~ -aproximaçao se a cOLtribuiçao do estado ligado nao for p~cponde --

rante. O caso de um sistema de Fermi com interaçio ~ rapidamente

discutido na seção 2.4, onde os resultados são analisados.

24

Os resultados num~ricos tanto para a SCA quanto para R

solução exata da função de Green são comparados e mostrados em grã

ficos.

2.1 - O potencial o para partículas livres

A existência de estados ligados para potencial ê atrati

vo tridimensional ~ bem conhecida na literatura. GUtting~r et aI

(13) mostraram que o problema do estado ligado está essencialmen-

te relacionado a efeitos de ressonância e que, para um potencial

ê atrativo tridimensional, a existência do estado ligado requer ~

ma intereç~o que, em um processo limite vã a zero, de tal maneira

que os estados de ressonância sejam preservados.

Nesta seção recalculamos esses resultados com o intuito

de tornar a exposição completa e, ao meSmo tempo, introduzir o

processo de renormalização que será efetuado outras vezes

trabalho.

neste·

Consideremos entao uma particula sem spin, na presença

de um potencial atrativo muito localizado ~(r), de intensidade A,-----------_------.....--

que ~ colocado no ponto r = 0, dado por uma função ê, como

<jJ(r) == A ó(r)

Em um sistema de unidadm em que 2m = ~ ~ 1, a

(2.1.1)

equaçao

de SchrSdinger para aquela partIcula,no espaço de coordenadas e

dada por

(2.1.2)

25

Reescrevendo a eq. (2.1.2) no espaço de momentos,obtemos

para ~(p) a expressao

A L:~(Et)

1./! (p) =

p'"

- E - PL

(2.1.3)

Somando os dois membros da eq. (2.1.3) para todo p, obte

mes uma equação implícita para a energia E dada por

1A

= L: -!p E .- P

(2.1.4)

Como vemos, o lado direito dessa equação i divergente

para todo E. Entretanto, essa diverg~ncia pode ser eliminada adi-

cionando e subtraindo ã eq. (2.1.4) um termo da forma

K

í:P

Entao, podemos reescrever a eq. (2.1.4) em termos de uma

intcraçao rcnorma1izada, S, definida como

1:. +A

KL:

p=o

1K

E1

2"=)' ~ ::::: -

~ 2 2 SP

p"'O P (E - P )

(2.1.5)

onde K -+ o::: no final dos cálculos.

, 1 " ' , d -1' -La CULdnco as lntcgrals em E essa u t~ma cquaçao, en-

contraDOS para a ener~ia E do estado ligedo a seguinte expressão

1 1L_ K-'r 2

A 2n .

26

(.2\E 1m) +

(2.1.6)

forma que

Efetuando agora o processo limite A -+ O e K -+ 00 de tal

1im [~ +A -+ O K-+co

KJ = i (2.1.7)

onde l/a ~ finito e positivo, determinamos o valor da energia E1

para o estado ligado

E _-16 rr2t - .,.,a'"

(2.1.8)

Se p < O, a eq. (2.1.5) não admite solução para estado ligado.

Na Figura 8 mostramos esquematicamente a SGlução grâfi-

ca da eq. (2.1.5) para a > o.

Com a finalidade de verificar a possibilidade de resso-

nância, definimos em um poço quadrado um potsncial de alcance l/K

como sendo

\

1 3V =-2 A K (2.1.9)

tao

o vetor de onda kt no interior desse potencial sera en-

k ::": (E - V)1/2 = (E - 2AK3)1/2

Requerendo que um comprimento de onda esteja

(2.1.10)

contido

n esse po ten cial, isto ê, que 2T! / k -} 1/ K , en c~)l1t r amos ifi ed i a t ame n-

te Que essa condição combinada com a eq. (2.1.10) implicam em

27

2AK/2II -+-1

'" /22 1 - ,Essa forma de obter esse ~l~lte, AK rr -+ - , e preclsamente ca-

r a c t e r i z a d a p o r 1 / f3 n a e q • (2. 1 • 7 ) , i s t o ê, 1 / l3= 1 im( l/A + K / 2rr 2). V e -

mos então que os estados de ressonância são preservados no proce~

so limite, eq. (2.1.7), com l/e sendo uma medida da proximidade p~

ra a ressonincia. Quando 11S + O temos seguramente uma ressonan-

cia verdadeira.

2.2 - Aproximaç~o do campo auto-consistente.......... ...--r_-Recentemente Singwi etal (25) desenvolveram um novo

tratamento para a função dielêtrica de metais, nu região de densi

dade dos metais alcalinos (1 :!: r ~ 6). Nessa teoria as3 cor-r.'.ela-

são calculadas de uma forma auto-consistcnte~ resultando para a

ft1nçao dieletrica uma funcional da função de auto-correlação g(r)

do gás de elétron~.

A hip~tese, no caso semi-clássico, ê substituir a fun-

çao distribuIção de duas partrculas, na equação de Liouvil1e,pela

funçao de.•.

uma p,'lrtJ..cula,--,,---------------_ ...--.:-./

1 t ) = fi (r s P \t )~ - -

(2.2.1)

o que torna passIvel obter um esquema

ç~o de correlaçio gCE) como S~ segue.

fechado calcular a. fun.

28

A transformada de Fourier de g(r)-l ê

i [8 (~ ) - 1 ] (2 • 2 • 2 )

onde p é a densidade media do fluido e S(g) o fator de estrutura

estitica. O fator de estrutura esti relacionado coma suscetibili

dade do fluido atraves da relação

S(g)1

TI p(2.2.3)

Com a hip~tese usada acima a suscetibilidade do fluido

-e

X (q, w)_ o -- 1 - 'Hq)· X (Q,0\)- ()-

(2.2.4)

onde X (q,lll)é a scscetibilidade do sistema sem interaçao) cem ao -

mesma massa, densidzde e estatística daquele em consideracio.~(q), -e o Rotencial auto-consistente, dado por

1);('1.) ~(g) + 1:p

eig' g . g ,2

q<P (g ') [s (g .-S t )

~lJ

(2.2.5)

onde </>(g) ê o potencial nu de interação parlícula-partícula.

A suscetibilidade passa a ser agora uma funcion~l de

S(g) feehendo então o esquema.

A SCA representa um aperfeiçoamento substancial na teo-

ria do gis de elétrons, explicando, a partir de primeiros princr-

pios, muitos resultados experimentais, como podemos verificar pe-

lo g r a n d e n ti 1<1 e r o de t r a b a 1110 s q 1.1 e usa m e s S .fi t e o r i a c omo p o n.t o d e

partida (20,24,26).

29

SjHlander e Stott (26) estenderam a teoria para o caso

de diferentes partículas ~ e ~, e em ~m procedimento auto-consis-

- - ab .tente calcularam a funçao de correlaçao g (!). Essa nova aprox1-

- - .. ~maçao pode ser ut1l~zada para tratar part1culas de massas finita

ou infinita, bem como carregadas, positiva ou negativamente.

Se um dos sistemas, b por exemplo, for muito diluído e

tiver uma massa muito grande, o cálculo torna-se muito simplific~

do e a variação da densidade <pa(g» do sistema ~ em torno da pa~

tícula b é determinada, no espaço de momentos, simplesmente co~o

a ab a<p Cg» = 1jJ (g) X (g,o) (2.2.6)

valorou ainda, explicitando o

a<p (g»

de Xa(g,o)

:= ~~.~ab(g) X~(g,o)aa a

1 ~ 1jJ (q ) Xo (q , o)" -(2.2.7)

onde X8(q,o) é a suscetibilidade do sistema a sem interaçio e0--

ab ) -. - .1jJ (g e a 1nteraçao Buto-cons1stente dada por

:= <j>ab (g) + JdS' 9.' g'

(2IT) 3 ~. -qr- ab ly (g-g') (2.2.8).-J

ab -. - - aby (g) esta relac10nada com a funçao de correleçao g (E) pela ex

-pressao

aby (g) = J (2.2.9)

e ~ab(s) e a transformada de Fourier do potencial de interaçao en

tre partículas a e b.

30

A densid~de de partIculas a induzida, epa(E», esti di-

retamente reln~icnada com a função através

da densi.dade d~ por

que no espaço de momentos fica sendo

(2.2.10)

(2.2.11)

Para atacar o problema que n;s nos propuzemos dis6utir,

assumimos uma interação ó atrativa tridimensíoual entre as partí-

culas a e b e. - .•.

desprezamos as lnteraçoes entre as partlcu1as ~.

Admitindo um potencial ó atrativo de intensidade A en-

tre a e b, obtE'mos, a !)8rtir da eq. (2.2.11) a seg1Jip.te

para a densidade induzida

-equ8çaC'

epa(q» = A X8(q,0) [1 +- o -

2dp p

(2.2.12)

Essa equaçao pode ser agora resolvida algebricamente,

Integrando em ~ ambos os membros e reagrupando os termos, obtemos

o seguinte resultado

a<p (gh 1

A1 f , L

ap p a ( ,'x' DO). o ,-' (2.2.13)

31

Como ve~os, o segundo termo do denominador da-

equaçao

(2.2.13) diverge no limite de p grande visto que para esse limite

xa(p,c) vai como l/p2. Entretanto, essa diverg~ncia pode ser eli­o -

minada seguindo o mesmo procedimento da seç~o anterior, renormali

zando o pot2ncial.

Definimos ent~o o potencial renormalizado, S, como sen-

do

1 _ 113 - A

1- -'.;--2H - p ao

.KJ

o d 2 a· )p p xotp,o (2.2.1.4)

de modo que no final dos calculas faremos A ~ O e K-~ ~ de tal ma

neira que llS seja finito.

Ficamos, entio, com uma densidade de partrculas a indu-

zida dada por

aPodemos calcular agora <P (E» tomando a

de Fourier inversa da eq. (2.2.15). Obtemos

(2 • 2 • 1 5 )

transformada

<p8'(r»

3S Pp

.- -·-2--2Il r

(2.2.16)

onde q est~ sendo tomado em unidades do momento de Permi, PF' e r

em termos de l!p~.~

Para explicitar a depend;ncia em r da densidade induzi-

da, s c p a ré, ;',10 S o lado ci i r e i t o da e q. (2 . 2 . 16 ) em duas p a :1.' te s , que

t~m diferentes co~portanentcs em r, corno

-8a<p (1.'"» =

onde

3D" T• t

-- -"" - f2n ':'r

32

5011 qrdq ------ +

q

(2.2.17)

o primeiro termo do lado direito da equaç~o(2.2.l7) di-

verge como l/r quando r + O enquanto que o segundo termo

comportado para todo r.

-e bem

Finalmente podemos obter uma expressão para a função de

- ab() , 'd d 'd' 'd 'd d 'dcorrelaçao g E, Lnserln o a enSL aue Ln UZ1 a, etermLna a p~

Ia eq.(2.2.17), na eq.(2.2.10). Ficamos então com

33

gab(r)

S PF TS P",se n (qr) r xi.'l (q ,o)+ T ]

=1----+ rfdq q

4II C

')..,

--:rr

2 TI <,-

pC' r L c "qPo o

(2.2.18)

Calculãmos numericamente abC ) - ,g E para U'lJ gas de FermL sem

interaçâo. O c~lculo foi feito para v;rias densidades do gis e na

Figura 9 mostramos o resultado de [g8bCE) - l]/BPF versus PFr pa­

ra r = 4.s

Para grandes valores de r, gsb (E) e.xibe um comportamen-'

to o,;cilatõrio -, • 1 ' 9 d' dque esta lnser~QO na Flgura , expan 1 o duas vc-

zes horizontalmente e quarent& vezes verticalmente.'""--------------, -,-------------'

As curvas para outras densidades tanto quanto para um

gas de Fermi com interaçâo coulombiana blindada foram emitidas u-

33

ma vez que nao diferem substancialmente daquela da Figura 9.

2.3 - ~~todo rle funç~o de Green para o potencial 6

Um problema tipico da teoria quântíca de uma partícula

~ o problema de uma part{cula livre colocada em um potencial 10-

cal ~(E)' A aproximaç;o de funç;o de Green ~ a t~cnica tc6rica co

nhecida de maior sucesso para tratar tal problema. Em geral p6de-

mos resolver, formalmente, a equaçao pera a funç;o de Green de um

sistema arbitrário, usando a equaçao de Dyson,

G = G + G l: Go o

a saber,

(2.3.1)

- .... -onde Go e o propagador para a part1.cula l1.vre e l: e a soma de to

dos os gr~ficos irredutíveis da auto-energia, isto-e, todos aque-

Ias que nao podem ser diviãidos em dois, por um corte na linha de

uma partícula. No caso simples de um potencial externo agindo em

um conjunto de partículas sem interaç~o a equaçio de Dyson se re-

duz ao proble~a de uma partícula, onde Go ê o propagador

considerado no meio n~o perturbado c sem interaçio.

A equaçao de Dyson fica ent~o em uma forma simples

livre

G ::.:G + G <p Go o

q~e co~responQe a conhecida s~rie de perturbaçao

. -, - d d •Wlgner atraves ao meto o o reSOivcnte.

de

(2.3.2)

Brillouin-

Cons~d~remos agora um ~otenciol ~ atrativo agindo em um

~ ..-. - . - ~, ....gas 00 reY8L se~ luteraçao. Locallzemos esse pocenclal no porto

34

r = O.

Resolveremos agora esse problewa usando a equaç~o de Dy

son para a funç;o de Green exata do gis, em termos da funç~o de

Gr~cn da partícula

sem interação

livre, G (r,r' ,E), do meio n~o perturbado0-- e

G (r,r' ,E)0--.L r; . dr" G (r,r",E) Q (r")0-- G(::",::',E)

(2.3.3)

onde

e

(2.3.4)

com

G (r,r' ,E)0--

ip. (r-r')e - ~.­- ..--...E-E + l.fI

E P

(2.3.5)

fiE

Y) > O seP > PF

== - fi se P < PF

A equação (2.3.3) pode ser reescrita na forma

G (r,r' ,E) + A G (r,O,E)0--' 0-

(2.3.6)

de onde obtcnos

(2.3.7)

Substituindo eSse vala;: de G(O,~' ,E) na eq. (2.3.6) encontramos

35

G (r,r' ,E) +0--

A G (r,O,E) G (O,r' ,E)o - 0-l-A G (O,O,E)o

(2.3.8)

Estamos interessados na variação da densidade do gás d!

vi do ao potencial externo, isto ê, queremos encontrar óG(E,E,E),

que pode ser obtido diretamente da eq.(2.3.8), corno

= G(r.r,E) - G (r,r,E)- - 0--

=A G (r,O,E) G (O,r,E)o - 0-

l-A G (O,O,E)o(2.3.9)

corno sendo

Definindo af,ora a transformada de Fourier de óG(~,~,E)

ôG(g,E) = f -iq rdr e -'- ôG(E,~,E) (2.3.10)

e resolvendo essa integral, com óG(r,r,E) dado pela eq. (2.3.9),

obtemos

ÓG(g,E) = fG (p+q,E) G (p,E)o-'~ 0-

I í A - G ( ° ,° ,E)o

(2.3.11)

onde G (p,E) e a transformada de Fourier de G (r - r' ,E).o - o - -

o denominador do segundo membro da eq.(2.3.11) pode ser

calculado, notando que para E real, G (O,O,E) ê obtido a partiro

da eq.(2.3.5) como sendo

G (O,O,E)o= f

dp

(211 ) 3

1+ P f

E N(E )E

dE E---( E - L--)E p E

(2.3.12)

36

onde P significa a parte principal da integral, N(E) e a densida-

de de estados~

que para partlculas serrospin ê dado por

N (E) (2.3.13)

e 0E é definido como

ó = 1E pélra E > E

F

=-1 fora dessa região.

No caso em que E for complexo, mantemos G (O,O,E)em suao

representaçao complexa como dada pela eq. (2.3.5), para E = E'.

Por outro lado observamos que G (O,O,E) diverge da mes­o

ma forma que as divergências encontradas nas seções 1 e 2. Para e

liminar essa divergência seguimos aqui o mesmo processo de renor-

malização das seções anteriores, definindo o potencial renorma1i-

zado, 13, como

113

=

1im [1A-+O K-+oo A +(2.3.14)

A eq. (2.3.11) pode entao, ser reescrita na seguinte for

ma

dE 1 1 .J . E E + ln

') E - E + 1. n ,- p+q p+q(2rr)~ E E _

1 __ 1. Õ rr N(E)x E T~ E, p

1 _ P J dE -, ---,- -- ,

ê P Ep(I~-Ep) (2.3.15)- -

37

A partir desse valor de ÓG(~,E) podemos agora encontrar

a densidade induzida que e dada por

<p (g) > = -i f dE óG(q,E)2rr -(2.3.16)

onde a integral deve ser calculada para todos os E's.

Se S > O, a integração ê efetuada fechando o contorno na

metade superior do plano complexo, evitando o corte O < E < EF

circundando o polo E~, como mostra a Figura 10. Se l/S < O,

e-

nao

haverá polo e a integração será efetuada somente em torno do cor-

te.~

Com S > O, a contribuição de C2 a <P (9»' 11, ê--.,

1 =100

fo

-f(g, E~)

N(E )~

dE 2P (E -E )- ~ p

(2.3.17)

onde

e

f(g,E) =

00

fo dE~

N(E )~

(E::'E-T(E"=E~~)~ ~+9

(2.3.18)

E ~ = - 1611 2 / S 2 (2.3.19)

As integrais que aparecem nas equações (2.3.17)e (2.3.18)

bem como a determinação da energia do estado ligado E podem ser~

ca1culadás exatamente cono est~ mostrado no Ap~ndice B. A equaçio

(2.3.17) é então reescrita na forma

I,.l

38

tg-l (2IEQ,ll/2 ]q )

(2.3.20)

o cálculo de 12, a integral em torno do corte, está mos

trado no Apêndice C. Sua contribuição para a densidade induzida

<p (q» ê

12 = i P f; dEE N(EE) [

+ (2.3.21)

onde n(E ) = 1 para E < E e n(E ) = O para E > E , foi introE E EF E E EF

duzido para evitar uma restrição expl!cita na região da integral

em E .E

Agora que determinamos a densidade induzida de partícu-

la6- de Fermi devido ao potencial ê atrativo, vamos examiná-Ia em

detalhe como função do potencial renormalizado B. Consideremos os

seguintes casos:

CASO I

?

Jl / 6/ g r a n d e

A. 1/12 > O._..--__.~---

< p (q »=

32 rI 2 f (q ,(1_) = 8:1 \~~_qg '- 2

_ t -1g (2.3.22)

39

Aqui a contribuição mais importante para o aumento na

densidade das partículas ê do estado ligado, uma vez que as ou-

tras contribuiç~es são de ordem mais elevada em S.~

Analisando a eq. (2.3.22) vemos que para grandes q's,

<p(g» vai como l/q resultando para a densidade em torno da impu­

reza uma diverg~ncia da forma l/r2• Esse resultado limite ê o mes

mo que obtivemos na seção 1 para o problema de uma partícula.

A função de correlação g(E) para-

esse caso e

g (:!) - 1 = (2.3.23)

ou, explicitamente

f

(2.3.24)

com <p(g)~ dado pela eq.(2.3.22), e Po sendo a densidade de equi­

líbrio das partículas.

Efetuando a integral que aparece na eq.(2.3.24) obtemos

o que resulta em

1 +2 exp(-8ITr/s)r

(2.3.25)

f dr Po [g(r) - 1J = 1

que ê a contribuição do estado ligado.

(2.3.26)

40

B. l/S < O

ou ainda

co

/0 dE N(E)E E

n(E ) - n(E + )E E 9E - E

E E+9

(2.3.27)

(2.3.28)

Neste caso nio temos a 60ntribuiçio do estado ligado. A

penas os estados de espa1hamento são importantes e a teoria da

SCA de Singwi é exata em primeira ordem em S. A divergência de

g(E) para r + O é da forma l/r, idêntica àquela obtida na equação

(2.2.17). Na Figura 9 mostramos um traçado de g(r) para r = 4.s

CASO 11

A.1/ B >O~'... ,','''''

=§~rll-(g)] + _2_ p

n(E )

<p(g»

-1co E

tgLco dEp N(E )q S L 2 q S SIT2- E

x

1

(2.3.29)E' - E E E+9.

ou,

efetuando a integraçio

=.ê2!.{

Ll} - tg

-1

(811 ] 1

2PF/q

<p(q»

q-s> + 211fdx- qS o

1 \ 1 + x I

(2.3.30)x - tr. } x I 1 - X I

41

Como vemos, temos agora duas contribuiç~es para g(!), ~

ma devida ao estado ligado e outra aos estados de

Ambas as contribuiç~es são da mesma ordem, l/S.

espa1hamento.

A contribuição do estado ligado e da mesma forma que a-

que1a do Caso I-A, porem, a dos estados de espa1hamento difere da

que1a da teoria de Singwi. A diferença se prende ao fato de que

no Caso I a matriz T e essencialmente independente das energias

das ondas espalhadas enquanto que neste caso a matriz T efetiva ê

dependente da energia, o que invalida então a aproximação simples

do potencial efetivo.

g(E) tem um comportamento duplo a saber, a

do estado ligado predominando para pequenos r's,indo

contribuição

2como l/r , e

a contribuição das ondas de espa1hamento indo como l/r nesse limi

te. Ver Figura 11.

B. 1/B < O

<p (g» ---4qB

(2.3.31)

Aplicam-se aqui os mesmos comentários do caso anterior,

II.A, com a ressalva que não há contribuição do estado ligado.

2.4 - Discussao e comparação dos resultados. Caso das

~ .-part~culas com ~nteraçao

Resumimos aqui os resultados que encontramos nas seç~es

42

anteriores. A aproximaçao do campo auto-consistente de Singwi e

outros n;o leva em consideraç~o os estados ligados para o poten-. ,cial que escolhemos. Acreditamos, entretanto, que ~sso'seja verda

\ )

de para um potencial qualqu~.

A SCA ê correta para energias tais que a matriz T seja

aproximadamente independente da energia. No caso em que a matriz

T seja dependente da energia seus resultados

vamente corretos.

~ .-Poder~amos esperar que a ~nteraçao

são apenas qualitati

~ ~part~cula-part~cula

minimizasse as imperfeições da teoria e evitasse a formação de um

estado ligado., Acreditamos contudo, que nossas conclusões

ainda as mesmas e, no caso do potencial 0, a substituição

~(g) = 6 por

seriam

de

cp(q) (2.4.1)

nao afeta essencialmente nossos resultados. N6s poderIamos ter

partido desde. ~ .

o ~n~c~o com um potencial blindado l(g) mas esse

procedimento, no nosso ponto de vista, complicaria os cálculos

tornando obscuras as interpretações. De passagem, queremos regis-

trar que a forma corycta de E(g) seria a função dieletrica partí­

cula-carga de prova que na teoria de Singwi e dada por

c(q,o) == 1 - \)J(q) X (q,o)- - 0-

onde 1fJ(g) está dado pela eq.(2.2.5). A forma e as

(2.4.2)

propriedades

dessa função dieletrica são discutidas no trabalho de Lobo (19).

43

o problema do aumento anômalo da razão de aniquilação

de positron para baixas densidades do gás de elétrons pode ser d~

vido a não aplicabilidade da teoria da aproximação do campo auto­

consistente para tais densidades. Esse problema é objeto de dis-

- - . '"

cussao do prox~mo cap~tulo.

Um resultado anômalo,tambem,e o obtido por Sj~lander e

Stott no caso de uma interação coulombiana atrativa entre uma im­

pureza de massa infinita e o gás de eletrons. Acreditamos, outra

vez, que estados ligados ou potenciais efetivos dependentes da e­

nergia possam ser responsáveis pelos resultados incorretos obti-

dos.

CAPÍTULO 3

FORMAÇÃO DE POSITRÔNIO E TEORIA DE ANIQUILAÇÃO

DE POSITRONS EM METAIS ALCALINOS

Como discutimos no Capítulo 1, seçao 1.4, os calculos

teóricos da razão de aniquilação de positrons em metais alcalinos

tim apresentado resultados satisfatórios para metais de alta den-

sidade, falhando porem na região de baixa densidade •

.,. - - . -Neste cap~tulo efetuamos um calculo numer~co da razao

de aniquilação de positrons em metais, usando como interação e1ê-

tron-positron, um potencial efetivo que foi obtido pelo metodo da

transformação canônica (11). Para esse potencial efetivo, discuti

mos tambem a possibilidade de formação de positrônio e apresenta-

mos ainda uma nova interpretação para a razão de aniquilação de

posi~rons em metais alcalinos, admitindo a existência de positrô-

nio em metais de baixa densidade.

Na seção 3.1 discutimos o metodo da transformação•...

cano-

nica com a finalidade de obter a interação efetiva eletron-posi-

tron na seçao 3.2; na seção 3.3 apresentamos o calculo numerico

das razões de aniquilação; na seção 3.4 discutimos a possibilida-

de de formação de positrônio como função da densidade dos elê-

trons de condução e apresentamos uma nova interpretação para a ra

zão de aniquilação de positrons em metais; na seção ~prescnt=

mos algumas conclu~,

~~

do tipo

45

3.1 - M~todo da transformaç~o can;nica

Consideremos um sistema descrito por uma hami1toniana H

H = H + V + H.o ~ (3.1.1)

onde H ~ um termo de ordem zero, V uma interação externa e H.o ~

corresponde às interações do próprio sistema.

A equaç~o de Schr8dinger dependente do tempo ê

(H + V + H.) 1/Jo ~ (3.1.2)

V poderá ser redescrito em outros termos se efetuarmos

uma transformação can;nica de H. Seja U um operador unitário dado

por

U '" e-i S

onde S ~ hermitiano.

Multiplicando a eq. (3.1.2) por U e definindo ~'

sendo

1/J' = u1/J

obtemos

(" , ").) • .L • .J

como

(3.1.4)

éli ti Tt w' = H' ,I.' == U [H - -ti ~ 1 U+ 1lJ'. 't' at j , = {H + i [H, S ]+

1+2T + ••• }

(3.1.5)

46

o método da transformação canônica consiste em determi-

nar S tal que a hamiltoniana transformada H' não contenha termos

em primeira ordem na interação externa V. Essa condição será sa-

tisfeita se S for tal que

(3.1.6)

resultando entao para H'-

a expressao

...- 11 [~ sJ +d t ' (3.1.7)

que começa com termos de ordem zero, H + H., e continua com ter-o 1

mos em segunda ordem em V (se S for de primeira ordem em V). Isso

é equivalente a ter redescrito V por interações efetivas de segu~

da ordem (termos de ordem mais alta são usualmente desprezados).

Suponhamos agora que pudessemos obter uma hamiltoniana

lI, que não contivesse os termos H. mas sim um V mOdificado,V,1 tal

que a mesma transformaçao canônica S produzisse o mesmo efeito,i~

to ê, suponharaos

e

H = H + Vo (3.1.8)

H'lJi' _ i 11

(3.1.9)-I - -

d d" - d d d ...on e a m1t1mos que li, nao epen a e V em pr1me1ra ordem, 1stO e,

H'

47

é da forma

- aH' = H + termos de 2- ordemo

~ - ;Isto sendo poss~ve1, H tera os mesmos efeitos sobre ~

(primeira ordem em V) com a hami1toniana primitiva H. Os efeitos

de H. estao agora contidos diretamente na interação blindada V.~

H poderá ser determinado facilmente invertendo a equa-

ção (3.1.9),

de onde obtemos

Ho - i

(3.1.10)

. [ ] asV = -~ Ho'S + ~ ãt

ou,

d-a e q. (3 • 2 • 6 )

V

= V +i[Hi'S] (3.1.11)

(3.1.12)

Dessa forma, com uma expansão em V podemos obter S pela

eq.(3.1.6) e consequentemente encontrar a interação blindada V a-

traves da eq.(3.1.12).

3.2 - Interação efetiva eletron-positron

Consideremos um sistema consistindo de um positron embe

bido em um gas de elétrons. A hamiltoniana desse sistema;e dada

48

por

e-e e-pH. + H.l. l. (3.2.1)

e - -onde H e a parte do eletrono

interação elétron-elétron e

sitron.

livre, HP do positron livre, H7-e deo l.

H7-P a parte de interação elétron-po­l.

Os termos da eq. (3.2.1) podem ser escritos no formalis

mo de segunda quantização como

He =~EeC+Ckoo kokoko

HP

~EP += akoakoo kcr

kcr(3.2.2)

(3.2.3)

e-e 1 +1L vk

~ noH.

- -~ vk Pk Pk - '2l.

2 gk - - - k -g

(3.2.4)e-p

V(u)+ +

CH. ::~ C a aso'l. r+u o s-u o'ror

su - -' --'--- - - 00'(3.2.5)

onde

P -!s

(3.2.6)

e a flutuaç~o da densidade de elétrons e

ongü

+= C

goC

~o(3.2.7)

o n~mero de ocupaçio do estado com momento ~~ e spin o.

49

são, respectivamente,os operado-

res de criaçao e destruição de um elétron (positron) no estado de

momento ~k e spin a.

vk e V(u) sao as transformadas de Fourier das

ç~~ el~tron-elétron e elétron-positron respectivamente.

intera -

Nosso problema se resume em determinar uma transforma -

çao canônica S de tal forma que a nova hamiltoniana não contenha,

.. d e-pem pr~me~ra or em o termo H .•~

A transformação S é obtida a partir da eq.(3.l.6), que

para esse caso é dada por

H~-P +~ s J - in-ª..§. = O

ôt(3.2.8)

O modo mais simples de encontrar S é considerá-Ia em u-

ma forma com coeficientes a determinar. Desde que o termo

- e-pcontem os mesmos tipos de operadores que H. , a eq. (3.2.8)~

satisfeita se S também contiver os mesmos operadores.

-sera

Entao, procuramos uma transformação canônica S da forma

s i L:

r s u-ao'-

as, a'

(3.2.9)

onde os bIs sao coeficientes a ser determinados.

Como mostra L. G. de Freitas(ll), uma solução auto-con-

50

sistente pode ser encontrada assumindo uma forma especial para os

b's dada por

(3.2.10)

onde

+ EPg.'

o

vk n9,'_~(3.2.11)

com ~' = ~ + 9, - 9,'. ~k ~ o potencial co~lombiano blindadoe

-e

responsável pela renormalização das energias dos el~trons na apr~

ximaçao blindada de Hartree-Fock.

A expressão para a interação efetiva eletron-positron e

entao obtida, após algumas manipulações algebricas, como

onde

4He2 -o(Q) [ 1 _ .!.1 - ~ XK _ 4

Q -

o

- nk + g,oL

ko

Q2(­2kF + + Q2 l]

(3.2.12)

(3.2.13)

A massa finita do positron e levada em consideração em

um termo de recuo que aparece no denominador da eq. (3.2.13) como

uma variaçao na energia cinetica do positron correspondendo PQr-

r--~-'.~"'."..- !;'~~:

l;~~,~••.'.~

. - [; I

51

tanto a uma suscetibilidade eletrônica dependente da frequência.

3.3 - Razao de aniquilação de positrons

o cálculo da razão de aniquilação reduz-se essencialmen

te em determinar a densidade de elétrons em torno do positron que

é obtida como

I1);E(~'~) j2(3.3.1)

onde 1); (x,x) são as funções de onda do par eletron-positron.E - -

Usando o formalismo de matriz T e admitindo que o posi-

tron tenha momento inicial zero*, podemos encontrar as funções de

onda 1); (x,x) resolvendo a equação de SchrHdinger para o sistema ep - - -

letron-positron interagindo via potencial dado pela eq. (3.2.l2).~

ma dificuldade que aparece ê devido ao potencial de interação ser

não-local como podemos verificar transformando a interação efeti-

va

H. t =~n (3.3.2)

para o espaço de coordenadas, onde H. fica sendo~nt

H. = f~nt dr dr' dr"L V(g,~)g~

iQ. (r"-r')e - - -

iK. (r - r ') ,I,+ (r ") ,i, ( r " )~I+ (r ' ) 1); (r')x e - - - ~e _ ~e _ p _ p_

(3.3.3)

* O posItron é considerado termalizado nú aniqu~Iaçao (18).

52

Contudo, essa dificuldade pode ser contornada fazendo-

se uma aproxlmaçao de tal forma que o potencial torne-se local. A

aproximação mais simples é admitir

(3.3.4)

que corresponde considerar a suscetibi1idade elétrica independen-

te da frequência, na expressão do potencial efetivo.

Nesse formalismo, e com essa aproximação, as funções de

onda W do par eletron-positron obedecem a equação de Lippmann­pH

Schwinger que, no espaço de momentos, e dada por

o o -Ed~' 9,,0

(l-n ,)(1-0 )E 9,,0

E, - EE,~ E,O

°E'+g,e"+g' ljJp(e",~')(3.3.5)

onde o termo(1 - n ,)(1 - o ) ê zero se p' < PF ou se q = O, oE ~,o - - -

que corresponde ao principio de exclusão de Pauli, proibindo tran

siçoes para estados ocupados.

à densidade de elétrons em torno do positron,-

equaçao

(3.3.1), devemos acrescentar a contribuição correspondente ao plã~

mon que, dos trabalhos de Ferrell e Kahana, é relativamente pequ~

na.

Uma vez obtida a densidade eletrônica em torno do posi-

tron podemos determinar Ent~o, a raz~o de aniquilação , por com-

paração com a d~nsidade e razão de aniquilação do positrônio,Ref.

53

(10), como sendo

1À = 7;

n" .. roo _ .

Àpos1tro . npositron10(3.3.6)

onde o fator 1/4 vem da media feita sobre os spins, re1embrando

que a aniquilação de positrons, com a emissão de dois raios-y, 0-

corre no estado singlete.

3.4 - Cãlculo- .

numer1CO de À

Para calcular numericamente a razio de aniquilação À,

reduzimos a equação integral, eq.(3.3.5),a uma forma mais conve-

niente, tomando seu limite para volume infinito. Então, a equação

(3.3.5) pode ser reescrita como

(3.4.1)

onde e(p'-PF) e uma função degrau, sendo igual a 1 para p' > PF e

zero fora dessa região, e

1+- E

1:,0

1-- 3

(2rr) EE',E-E'

x

f q '> PF

dg'

( 2rr ) 3V(p'-q') X (q')

- - E-(3.4.2)

Na obtenção da eq. (3.4.1) consideramos explicitamente a

conservaçao de momento e suprimimos a notação para momento do po-

sitron.

54

Inicialmente notamos que a eq.(3.4.2) pode ser resolvi-

da numericamente com relativa facilidade se considerarmos o ele-

dodeFermi,isto-

OadmitirmosXo(~')

tron nocentro mar e,e= e

depender

apenas do modulode~' .Paravaloresdepf.Oasituação

-simples,

-procedendo trabalhodeKahananao etao porem, comono

(15), tomamos a media angular da eq.(3.4.2), que e

_ I- 4IT f dQp

-3 -

( 2II ) E, P _ P ,E ' __- Ê

~,o

com

1f dQ1

+(2II ) 3

PÊ~' ,E-E'

- E12,0

dq'

2 -(3.4.3)x f

q' Vo(p',q') xp(q')

Vo(p',q')_ I- 4IT f dQ ,

q- q' I)

"..,

(3.4.4)

o cálculo numerico da eq. (3.4.3) foi efetuado para-

va-

rias densidades eletrônicas, na região dos metais alcalinos.Em ca

da densidade o cálculo foi processado para três valores do momen-

to do eletron, p = 0,3 PF ; 0,5 PF e 0,7 PF' Esse cálculo foi re~

lizado em um computador IBM-1130. Os detalhes da solução numerica

discutimos no Apêndice D.

A partir das soluç~es para ~ , calculamos o fator de aup

mento €(y), y = P/PF' que e uma medida do acrescimo da densidade

55

dos elétrons em torno do positron.

E (y) =2

11/1 (x,x) \ + Ep1ãsmonE - -(3.4.5)

E(Y) foi determinado para cada densidade e momento do

os resultados obtidos estão indicados na Tabela 1.

e1etron e

Finalmente, determinamos a razão de aniquilação

do uma média sobre o mar de Fermi .dada por

toman

onde

À = 3 RO f 1o

12,0= --3- xr s

9 -110 seg

(3•4•6)

( 3 • 4 • 7)

é a razão de aniquilação de Sommerfe1d.

A integral na eq. (3.4.6) poderia ser resolvida numerica

mente, contudo preferimos seguir o trabalho de Kahana

E (y) como sendo

2 4a+by +cy

e assumir

(3.4.8)

onde a, b e c são constantes que foram determinadas dos dados da

Tabela 1. e que são listadas na Tabela 2.

A possibilidade de aniquilação envolvendo eletron de mo

mento p > PF foi artificialmente exclufda nesse trabalho. Tais es

tados de momento poderiam estar populados devido a interação de e

létrons com a rede ou pelas interaç~es elétron-elétron no gás.

56

Tabela 1 - Fator de aumento E(y) como função de

y = p/PF para vários valores de rs

r y = 0,3y = 0,5y = 0,7s

2

3,6943,8214,051

3

6,6306,9177,449

4

12,41513,11214,449

5

25,42627,40131,373

6

61,93269,36785,707

Tabela 2 - Razões de aniquilação de positrons em

metais de diferentes densidades obti-

das a partir do fator de aumento de-

pendente do momento, s(y) = a+by2+cy4

r a bc À

s 009-1seg )

2

3,5690,6Lf50,3986,190

3

6,3801,4061,0473,409

4

11,881 3,2692,9782,835

5

24,127 8,61410,3443,238

6

57,94727,60953,1045,40LI

57

Os resultados numéricos que obtivemos para a

razao de aniquilação como função da densidade eletrônica

sao mostrados na Figura 12.

do.-

gas

Se compararmos com os resultados existentes na 1iteratu

ra, vemos que obtivemos valores maiores para a razão de aniqui1a-

çao na regiao de densidade metálicas. Nossos resultados, para a1-

tas densidades, estão ã meia distância entre os resultados exper~

mentais e aqueles estimados, subtraindo a contribuição dos e1ê-

trons do "core". Na região de baixa densidade (r >s 4,5), nossos

resultados apresentam o mesmo crescimento anômalo, como em outras

teorias, embora a razao de crescimento seja ligeiramente

nes te trabalho.

menor

Observando os valores experimentais, traçados na Figura

12, notamos que eles convergem para a razão de aniquilação do po-

s i t r ô n ia 1i v r e9 -1

(2,01 x 10 seg ). Se considerarmos um gás muito

• .,. - • -,J •d~lu~do, essa convergenc~a e fac~lmente entend~da desde que um

par elétron-positron ligado é esperado estar presente e sua

tribuição para À seria a mais importante.

con-

A aproximaçao de matriz T que usamos neste trabalho nao

permite a formação de estados ligados. Dessa forma acreditamos

que o crescimento anômalo da razão de aniquilação previsto

seja devido ã não aplicabilidade da teoria em regioes de

densidade onde os estados ligados devem estar presentes.

aqui

baixa

58

3.5 - Formação de positrônio

Os resultados da seção anterior mostram-nos que, se a a

niquilação do positron se der por estados de espalhamento, o sis-

tema eletron-positron em um metal não formara um estado ligado a-

na logo ao positrônio. Porem,- . ~

sabemos que em um gas d~lu~do o est~

do ligado estara presente, devendo ser, portanto, a parte que mais

contribuira para a razão de aniquilação. Assim sendo e necessario

determinar em que densidade do gas existira o positrônio e como e

le pode influenciar a razão de aniquilação.

O positrônio em um metal pode ser descrito por um esta-

do ligado da equação de Schr~dinger para a função de onda efetiva

do par eletron-positron.

Investigamos R possibilidade da existincia de

nio em metais como função da densidade dos eletrons de

positrô-

condução

bem como apresentamos uma nova interpretação para a razão de ani-

quilação na região de baixa densidade.

Nossos calculos são muito simples, reduzindo-se a um

calculo variacional para a energia de um par eletron-positron. Co

mo função variacional escolhemos uma função de onda do estado s

parametrizada, que no espaço de coordenadas tem a forma

1/;(r) e - Br (3.5.1)

onde B é tratado como um parâmetro variavel.

59

A hamiltoniana do sistema eletron-positron e

2

H = ....L. + Ver)2m* .... (3.5.2)

onde a massa reduzida, ê metade da massa do eletron,-

r e a se

paração eletron-positron e Ver) a interação efetiva dada por

(3.5.3)

com V(g), independente da frequência, obtido da eq.(3.2.12)

sendo

como

4II e 2 1= - -Z c(q)

q ....(3.5.4)

onde c(~) ê a constante dieletrica dada pela eq.(D.lO) do Apêndi-

ce D.

A energia E do par eletron-positron ê

E =J 1jJ;c(r) H 1jJ(r) dr- --J 1jJ* (:) 1jJ(:) d r

(3.5.5)

que, sem dificuldades, pode ser escrita na forma

dR dQ e-2 Rx R ~en Q F 1Q e:(Q) J

(3.5.6)

onde

0,33 r s

x = R = r PF Q

60

com E em unidades de e2/a •o

Como podemos verificar a integral em Q na eq.(3.5.6) di

verge no limite Q + 00. Contudo tal divergência será eliminada se

somarmos e subtrairmos o termo assint5tico, resultando para E a

-expressao

24 ,x TI x 3E=-t----4x f2 T 2

TI T

dR e-2 Rx R

dQ sen QQ

R 1(-E(Q) - l)} (3.5.7)

A determinação numerica de E foi realizada como função

de 6, para uma dada densidade do metal. As integrais em R e Q da

eq.(3.5.7) foram calculadas numericamente pelo metodo de integra-

ção de Gauss com 40 pontos.

Mostramos na Figura 13 a energie em unidades de

como função de S/PF para virias densidades, indicando um

2/.e d.o'

limite

superior para a existência de estado ligado que corresponde a

r s= 6.

A razao de aniquilação do estado ligado ê obtida compa-

rando a densidade dos eletrons em torno do positron com aquela do

positronio livre. Dessa forma obtemos

À _ 1- 7; 2

\

livre!À • ~.

pos~tron~o

(3.5.8)

Na Figura 14 mostramos a contribuição do positrônio-a

61

razao de aniquilação, para várias densidades. Comq vemos, o va-

lor do positrônio livre é atingido no limite de muito baixa densi

dade.

Em nossos cálculos evitamos o problema da ortogonalida-

de entre o eletron ligado e os restantes elétrons de condução ad-

mitindo que todos os momentos estio presentes na funçio de

do estado ligado. Admitir que a função de onda do estado

onda

ligado

e Kahanaocupe apenas momentos p > PF' como no trabalho de Held

(14), nio ê uma aproximação muito boa uma vez que as funções de

onda dos elétrons de condução também se acomodam ao estado ligado

modificando a constante dieletrica local o que torna o cálculo 111

correto.

Desde que o cálculo que efetuamos foi um cálculo varia-

cional, nós não excluimos a possibilidade da existência de

dos ligados, para densidades mais altas do que r = 6, oss

esta-

quais

dariam a mais importante contribuição para a razão de aniquilação

em tais regiões. Em outras palavras, esse modelo ê ainda insufi-

ciente para descrever o comportamento da razão de aniquilação pa-

ra r > 4s .

Reexaminando ent.ao, cuidadosamente as razoes de aniqui-

laçao de positrons em metais alcalinos, obtidas experimentalmente

por Weisberg e Berko (32), vemos que elas convergem rapidamente

para a razao de aniquilação do positrônio livre. Admitindo que e~

se comportamento não seja uma coincidência e com o intuito de com

preendê-lo, nós voltamos a explorar a possibilidade da

de positrônio em metais.

formação

62

Podemos considerar dois aspectos, a saber: os resulta-

dos experimentais de Weisberg e Berko e os resultados obtidos

teoricamente no trabalho de Held e Kahana no qual a existência

de positr~nio s6 ocorreria em regi~es de r > 8,5.s

Analisando inicialmente o trabalho te6rico,construimos

um modelo simples para verificar qualitativamente a

da aproximação macrosc6pica utilizada.

validade

Na Figura 15 mostramos a distribuição eletr~nica ;-(r)

em torno de um positron (curvas 2), para três densidade metâ1i-

cas, calculada por Sj~lander e Stott. Para o positr~nio, a dis­

tribuição e1etr~nica g+-(r) ê dada por (curvas 1)

+-g (r) - 1 = J1J;(r) \2

no

(3.5.9)

onde

1J;(r) = (_l~_) 1/28lI a 3

o

-r/2a oe (3.5.10)

e a densidade do eletron em torno do positron,

no = 3/ 4lI a 3o

3r s (3.5.11)

onde

+-Com esses valores, g (r) fica sendo

3+ r - O'. qF r r- s s

g (r) = 1 + - e.6 (3.5.12)

O'. = (4/911)1/3

63

Como podemos verificar pelas figuras, para r pequenos

o aumento da densidade de eletrons em torno do positron e muito

maior na teoria do campo auto-consistente do que para o positrô-

nio livre. Isso quer dizer que muitas cargas circundam o posi-

tron, blindando-o efetivamente e prevenindo portanto a formação

de um positrônio. Para r - 4, as duas correlações são aproxima­s

daNente as mesmas ficando difícil decidir se os estados de espa-

lhamento estariam ainda predominando sobre um estado ligado. Com

a exclusão (devido ã ortogonalidade e neutralidade do positrônio)

de muitas das partículas quase-livres das vizinhanças do posi-

tron, formar-se-a um par eletron-positron ligado que interage a-

traves de um potencial coulombiano ligeiramente modificado por

alguns elétrons quase-livres,restantes nas vizinhanças do posi-

trônio.+-

Na Tabela 3 comparamos os valores de g (o) obtidos na

SCA com aqueles do estado ligado, eq.(3.5.12). Para r > 4 os va8+- - -

tores de g (o) calculados na SCA nao 8ao, entretanto,

desde que esse metodo falha nessa região de densidade.

corretos

Se isso for verdadeiro, a aproximação do potencial blill

dado falhara, uma vez que ela e uma aproximação macroscópica.

Consequentemente um outro modelo devera ser considerado.

Admitimos que a aproximação macroscopica seja valida

na regiao de r onde a função de correlação eletron-eletron,g(r),s

seja grande (= 1) para r igual ao raio ~ do positrônio livre.

Quando g(a)«l, um pcsitrônio livre poderá ser formado desde que

nenhum outro el~tron estara nas vizinhanças daquele a ser ligado

obtidas

4 ê muito interes

64

ao positron. Dessa forma encontramos que a aproximação macroscópi

ca seria válida para r < 4, tomando para g(r) as curvass

da aproximaçao do campo auto-consistente como mostradas na Figura

16.

- - +-Tabela 3 - Funçao de correlaçao, g (o), calculada

em torno do positron para várias densi-

dades eletrônicas.

SSCA -g .r gSCAg . Est.L~8·

sEst.L~g.

gSCA

2,0

3,782,33 0,38

3,0

6,705,50 0,18

li, °12,9011,60 0,10

4,5

18,3015,10 0,17

5,0

26,3020,80 0,20

6,0

95,4036,00 0,62

A região de densidade eletrônica r s

sante desde que nessa região teoria e experiência começam a diver

gir,em muitas das teorias. Experimentalmente, Weisbe~ e Berko, a

partir das curvas de correlaç~o angular para dois f~tons,determi-

naram as raz;es de aniquilação para o K, Rb e Cs. Seus resultados

mostram que a contribuição da componente gaussiana das curvas de

correlação angular, ê muito grande para ser devida somente aos e-

65

létrons de "core". Uma grande parte da gaussiana, assumem

corresponde ã aniquilação com eletrons de condução.

eles,

Varlashkin e Stewart (29) investigaram a distribuição

de momentos dos fôtons emitidos na aniquilação de positrons em so

luções litio-amônia, para duas concentraçoes, 2,39 e 19,1%, do me

tal. Os resultados obtidos não indicaram nenhuma dependência com

a densidade de elétrons livres. As medidas de correlação angular

são as mesmas para as duas concentrações do metal. Os autores a-

tribuem essa não dependência com a concentração do metal ã forma-

ção de estado ligado. Como mostramos na Figura 17f as curvas de

correlação angular para o potássio e o cesio se assemelham muito

-. - .,.. - ...a obt~da para a soluçao l~t~o-amon~a, suger~ndo-nos que nesses me

tais o positrônio esteja presente.

Considerando-se esses resultados, construímos um modelo

para a razão de aniquilação na região de r > 4. Admitimos a naos

aplicabilidade da aproximação macroscópica e consideramos que o

positrônio livre esteja presente nessa região de densidade. Então,

a aniquilação é essencialmente a soma das contribuições de dois

mecanismos possíveis, a saber: a razão de aniquilação do positrô-

nio livre ~ , mais a razão de aniquilação com os elétrons livres,o

considerados como no modelo de Sommerfeld, uma vez que o positrô--

nia sendo neutro não haverá atração coulombiana com os

de condução restantes.

eletrons

1\1 • -"essa reg1.ao À será dado por

À = Ào + 12,0 x 1093r s

(3.5.13)

66

A utilização do modelo de Sommerfeld na região onde e-

xiste positrônio deve-se aos seguintes fatos:

1) o modelo nao e correto para explicar a aniquilação de posi-

trons em metais porque não leva em consideração a interação

coulombiana entre o positron e os elétrons de condução;

2) por outro lado, se o positrônio já existe no metal, os ele-

trons de condução veem-no como um átomo neutro, e o modelo de

So~merfeld pode agora ser aplicado desde que a restrição 1) deixa

de existir.

Em altas densidades as teorias existentes concordam mu~

to bem com os resultado& '~perimentais sendo portanto correto o

mecanismo de espalhament0 ~ara r < 4. Em baixas densidades nossos

modelo alGm de reproduzir os pontos experimentais converge natu-

ralmente para o positrônio livre. A região intermediária pode ser

entenâida como sendo resultado tanto do mecanismo de espalhamento

quanto do positrônio.

Então, unimos lentamente as curvas para altas e baixas

densidades e mostramos as raz~es de aniquilação para todas as deu

sidades metálicas na Figura 18.

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Neste trabalho estudamos o problema do potencial ê-atr~

tivo tridimensional em um gás de Fermi sem interação. O problema

foi discutido na aproximaçao do campo auto-consistente (SCA) e no

formalismo de funções de Green. Nesse formalismo obtivemos resul-

tados exatos para a função de correlação que foram comparados aos

da SCA e aos resultados para partícula livre.

Analisamos a região de validade da SCA e concluímos que

sua validade se restringe ã região onde o potencial efetivo

essa aproximação não permite a formação de estado ligado e que

-e es-

sencialmente independente da energia. Concluímos também que, se

nosso tratamento for estendido a outros potenciais, a SCA conti-

nuari sendo correta se o sistema se encontrar longe do estado li-

gado e, melhor ainda, para potenciais fortes e repulsivos. Por o~

tro lado, mostramos que não ê permissível adicionar os resultados

do estado ligado e da SCA visto que na região onde ambos aparecem

a matriz T ê dependente da energia e a SCA falha.

Julgamos que o crescimento anômalo da razão de aniquil~

çao de positrons em um gis de elétron de baixa densidade pode ser

devido a i~aplicabilidade da aproximação auto-consistente em tais

densidades. A exist~ncia de um estado ligado ou de um potencial ~

fetivo dependente da energia poderi.am ser responsiveis pelos re-

sultados incorretos.

68

Com o objetivo de determinar a contribuiç~o do positrB-

nio ã raz~o de aniquilação, estudamos a possibilidade de sua for-

maçao em metais. Encontramos, atraves de um cálculo variacional,

usando como inte.ração eletron-positron um potencial efetivo deri-

vado do metodo da transformação canBnica, que o positrBnio se fo~

mará em um metal de densidade r >s 6. Entretanto, esse cálculo

não exclui a possibilidade da existência do positrônio em regiões

de maior densidade.

As razões de aniquilação em metais foram tambem determi

nadas, usando o mesmo potencial efetivo. Nossos resultados concar

dam muito bem com os dados experimentais na região r < 5 e apre­s

sentam o mesmo crescimento anômalo em baixa densidade.

Admitindo, porem, a existência de positrônio em metais

de densidade r > 4,5, propuzcmas um modelo para interpretar a ras

zão de aniquilação nessa região de densidade. Essa suposição ê ba

seada em argumentos microscópicos e em dados experimentais.

Consideramos que a razão de aniquilação e dada pela ra-

zao de aniquilação do positrônio livre mais a razão de aniquila-

çao de positrons com os eletrons livres de Sommerfeld. Nossos re-

sultados concordam plenamente com os dados experimentais.

Com relaç~o a este trabalho, podemos sugerir alguns no-

vos problemas, a saber:

a. Inti.·oduzir de. ~ .~n~c~o a matriz T de espalhamento na teoria do

campo auto-consistente. A interação efetiva poderia ser

dependente da energia, eliminando a deficiência discutida

entao

neste

69

trabalho.

b. Estudar o problema do estado ligado em líquidos quânticos para

outros potenciais, tais como, o coulombiano, puro ou blindado,

esfera dura, Lennard-Jones~ etc., tanto na aproximação do campo

auto-consistente quanto no formalismo de função de Green.

c. A solução do problema da aniquilação de positrons em metais aI

calinos continua, no entanto, incompleta, particularmente na

região de densidades intermediárias. O metodo variacional, espe­

cialmente para o cálculo de funções de onda, deixa muito a dese­

jar e o problema da ortogonalidade entre os estados ligados e de

espalhamento e de solução extremamente difícil.

APÊNDICE A

A.I - Função de Green..•

As propriedades de um sistema de muitas partrculas-

sao

convenientemente descritas no formalismo de segunda quantização

em termos dos operadores de campo, criação e destruição,

representaçao de Heisenberg são dados por

++iE t

+1jJ (!,t)=L

<p (r)epCP -

-PP -

e -iE t1jJ (! ,t)

--1:<p (r)ep

C-P - PP

•..

que na

(A.l.l)

(A.l.2)

+ - - -onde C e C sao operadores criaçao e destruiçao de partículas,

<p (r) .são funções de onda de uma partícula

2ma em que ~ = 2m ~ 1.

2 .e E = P , em um s1step

A função de Green de uma partícula G(x1,xi), i definida

como

(A.l.3)

definida

por

(A.1.4)

71

onde a media e tomada sobre o estado fundamental do sistema, x =

g (~,t) e T e o operador cronológico de Wick que aplicado a um

produto de operadores, arranja-os, da esquerda para a direita, em

ordem decrescente no tempo, como por exemplo

onde o sinal superior refere-se a bósons e o inferior a fermions.

Suponhamos agora, que ~ seja a função de onda do esta­o

do fundamental de um sistema de fermions sem interação. Neste ca-

s o,+

C ~ = OE o

C ~ = O~ o

para p < PF

para p > PF

(A.l.5)

A função de Green, para uma partícula desse sistema,

iV < q, \T {o

-iEp(tl-ti) c· C+ } \~o >x e - E E(A.l.6)

No limit2 de volume infinito e de acordo com a equação

(A.1.5), podemos reescrever a eq.(A.1.6) como

72

dE

= - i f (2II) 3

onde e(t), função

(A. 1 • 7 )

degrau, e

e(t-t')00

= - f_oodw

2n i-iw(t-t')ew + ill (A.1.8)

n é um infinitesimal positivo.

Combinando as equações (A.I.8) com (A.l.7), obtemos

f00

f-00

dE2IT

iE'(~l-~i)e-iE(t -t')1 1e

[e (p ­x E - E}2

+

e(PF - p) ]E - Ep - ill(A.1.9)

resultando

G (p,E) =o -e (P-PF)E-E +ill

1:

+ e (PF-p)E-E -in

P(A.I.lO)

A.2 - Aproxim2ção de Hartree

Consideremos um sistema de partfculas que se interagem

v~a um potencial v. A equação de movimento para a função de Green

73

d ~ .­e uma part1cula desse s1stema e

(i a~l + Vi) G(xl,xi) =

(A.2.1)

onde a notaçao+ ... + -

X2 s1gn1f1ca que o tempo t2 e ligeiramente maior

De forma análoga podemos obter uma equação de movimento

de G2 envolvendo G3 ' uma de

te.envolvendo G4

e assim sucessivamen

A eq. (A.2.1) determina G em termos de G2 que, em geral,

ê impossivel de ser conhecida exatamente. As aproximações para G2

podem ser motivadas fisicamente pela interpretação dos propagado-

res de G(~l,xi) e G2(xlx2;xix;).

Esquematicamente podemos representar G(xl,xi) e

'G2(x1x2;xix;) da seguinte forma

x I

Como primeira aproximaçao podemos desprezar a correla-

çao entre &s partlculas, isto ê, admitir que elas se propagam pe-

10 meio, completamente independentes umas das úutras. Esta aproxi

74

mação corresponde a

=

x'1=

,x2

(A.2.2)

Substituindo a eq. (A.2.2) na eq. (A.2.1), obtemos uma e-

+ i fd~2 v(~1-~2) G(x2,x;) lG(x1,xi) =

~

reescrita como

(A.2.3)

<n(~2» a eq.(A.2.3) pode ser

f

(A.2.4)

dx v(x -x ) < n(x ) >-2 -1 -2 -2 (A. 2. 5)

ê o chamado campo auto-consistente de Hartree e-~ o campo médio

75

gerado por todas as outras partículas no sistema. Vemos entao que

a aproximaçio de Hartree descreve o sistema de muitas~

partl.culas

como um conjunto de partículas independentes, cada uma movendo-se

em um campo media produzido pelas outras.

A aproximaçio de Hartree e muito menos trivial se o sis

tema de partículas estiver em um potencial externo U (x). Nesseext -

caso, as partículas movem-Se como partículas independentes

potencial efetivo Uef(~l) dado por

em um

= Uext(~l) + f

(A.2.6)

A.3 - Aproximação de Hartree-Fock

A aproximaçao de Hartree-Fock consiste em levar em con-

sideração a identidade das partículas na função de Green de duas

~partl.culas, como sendo

G2(xlx2;xix2)

=

x~: 'II: xl

x" .,.

LX2

I

x1------') XlXlI

Xl

~---."

2

'> x I .--.,.-----

• x2

2

x 1

(A.3.1)

76

A equaçao para G(xl,xi) e então obtida

a eq.(A.3.1) na eq. (A.2.l). Encontramos

substituindo

(A.3.2)

onde

é (x -x ) !-1 -2

+ i (A.3.3)

ê o potencial auto-consistente, interpretado corno um potencial me

dia atraves do qual as partículas se movem. Observe que a introdu

çao do termo de troca em G2 resultou em um potencial U, não local

no espaço.

, • J 'c' • - dConcLu1uuO, ver1L1camos que as ap~OX1maçoes e Hartree

e Hartree-Fock descrevem as partículas movendo-se independetemen-

te unas das octras em um potencial media.

A.4 - Aproximaçaa RPA,-~,.~----------------

A aproximacao de Hartree dependente do tempo, lineariza. -da no campo externo e chamada RPA ( randam phase approximation).

Nesta aproximaçao o potencial efetivo ê dado por

Uext(~l·t) + ! d?5 2 v (?51 -:: 2) < n (:= 2 ' t »

(A.4.l)

77

ou

Uef(E,w) = Uext(e,w) + v(E) <n(E,w»

onde a densidade <n(r,w» ê

(A.4 • 2)

<n(e,w» (A.4.3)

com xO(e,w) sendo a polarizabilidsde livre.

A partir das equações (A.4.2) e (A.4.3) determinamos a

constante dieletrica E(E,w), como sendo

(A.4.4)

Podemos entao dizer que a diferença entre o RPA e a a-

proximação de Hartree-Fock e que, no RPA o sistema responde ao

campo efetiVo enquanto em HF o sistema responde ao campo externo.

Em ambos os casos, a resposta é dada em ter.mos de polarizabilida-

de livre.

APÊNDICE B

B.l - Determinaçio da energia, El' do estado ligado

- .,-A variaçao da densidade de partlcu1as éG(g,E),

ao potencial externof ê dada pela eq. (2.3.15) como sendo

devido

éG(g,E) = J

x

I13 - P J

1

dEE

EN(E )P

E (E-E )E E

- i

(B.Ll)

Notamos que, para 8 > O a integral na eq. (B.I.I) tem um

pala na região de E real e negativa. A energia, Et' associada a

esse pala ê obtida quando

IE N(E)

- - J

dEP E

Q, E. = O

(B.L2)8 (E Q, - EE)- E

onde N (E ) = _1-\E \1/2 (B.L3)E 4112

p,J

i a densidade de estados para particulas sem spin. Com esse va-

lar de N(E ) a eq. (B.l.2) pode ser reescrita na formaE

1S

00

f dx- 00

1, + 2J.. X

(B.L4)

79

Essa última integral é agora facilmente calculada por

resíduos, fechando o contorno de integração na metade

do plano complexo, envolvendo o polo x = i.

Obtemos então o valor para E~ dado por

superior

ER, (B.l.S)

B.2 - Cálculo exato de f(g,Et)

Estamos interessados em obter a solução da integral da-

da pela eq.(2.3.18) cuja expressão, para E = ER,' é

CX>

= fo

dE1:

(B.2.1)

Reescrevendo essa equação em termos de E e g,

com

ficamos

dE 1

~ 2 [ 2J(2TI) (E R,-p) E R,-(E+g)

(B.2.2)

Efetuando a integração da parte angular e

que o integrando é uma função par de p, a eq. (B.2.2)

-expressao

verificando

reduz-se a

1-2

16TI q

f- CX>

dp R,n

2\E I + (p - q)Q,

2\ER,\ + (p + q)

(B.2.3)

80

Para obtermos uma simplificação nos cálculos, usamos a

seguinte igualdade

00

J- 00 dx ~ ~n r 1+(x_y)2] =l+x L

00!- 00

(B.2.4)

Essa igualdade ~ facilmente verificada. Basta efetuar-

mos a integraçio, por partes, de cma das integrais que obteremos

a outra.

Usando, entao, essa relação escrevemos a eq.(B.2.3) na

forma

onde

I(q,E )- 9.,

(B.2.5)

00

= !- 00

(B.2.6)

o valor dessa última integral é obtido tomando inicial-

mente a derivada em g, I'(g,E9.,)' de I(g,E9.,) que encontramos ser

I'(g,EQ,)

co

= f -2p(p-a)dp ,00 ( jE Q, 1+ p 2 ) r \E 9., 1+ ( p - q )

(B.2.7)

Essa integral ê agora resolvida por r.esíduos.Fechando o

contorno deintcgraçaoTI"metadesuper1.ordoplanocomplexo,en-, Cl.

volvendo

ospolosE:=i IE 9., 11/2 eE=q+i\EtI1/2, encontramos

o

seguinte resultado para I' Cg.,EQ,)'

81

-4rr \E \Q,-2

4 \E I + qQ,

(B.2.8)

I(g,EQ,) e determinado, integrando a eq.(B.2.8) com a

condição I(O,EQ,) = O dada pela eq.(B.2.6). Obtemos dessa forma

2rr _12\E \1/2tg Q,

q _rr2(B.2.9)

Finalmente a eq. (B.2.5) para f(<J..,EQ.) fica sendo

f(g,Et) = 1 -1 2lE 11/24 II q (tg Q, rrq - 2')

(B.2.l0)

APÊNDICE C

12, a integral em E de êG(q,E) calculada ao longo das

curvas C3 e C4 mostradas na Figura 10, é dada por

onde ôG(S,E), para E complexo, é

(C.l)

00

= !o

x

1i3 - J

dER

1EN(E}

E

E (E - ER E

(C.2)

-* -e ôG (g,E) e seu complexo conjugado.

Inserindo a eq.(C.2) na eq.(C.l) obtemos

N(E )

I =-i EF dE EF . [ EJ 2IT J dE 2~Im E E2 o o p - + ~n

- E E

1~ írr N(E) Jx

inE - E + 1E+~

E+~- - P(E)S

(C.3)

onde

P(E) "" P J dEE

E N(E )E

E (E---':-E-)E E

(C.4)

P significa a parte principal da integral.

83

Sendo P(E) = ° para E > 0, o cálculo da integral em E

da eq. (C.3) resulta

E r 1 1/BI = P J F dE N(Ep) E - E 1 + rr2 N2(E )2 o

~ - L p ~+9 2" E- f31

1/e

+ E T 2 2 (E )E +q - P - + TI N "E+qP - 2 _.- - B

E+ f F

o(c.S)

A eq~(C.5) pode ser reescrita como

1 coI = - P f

2 e odE

E

n(E )p

N (E)[ _ E ) [i.. +E (E p+q eE __

+

E N (E)

+ 'p f 00 d E N (Ep ) f F dE ( E _ E ) (E _ E--+ - )o ~ _ o E Eg

x 1[~ + rr2 N2(E)]6 -

(c.6)

Desde que o integrando da última integral em E na eq.(C.6) ê u­E

ma função analítica de E exceto no eixo real, a parte princi­p

84

pal

dessa integral êzero.Portanto,a eq. (C.6)fica simplesmen-

te reduzida a

[ n(E )

1co P

I = - PfdE N(E) -

2 So

E E' (E - E ) [ ~ + rr 2 N 2 (E )]E E+9 l3 E

(C.7)

APÊNDICE D

Cálculo numérico da equação integral

Xp(r)-1- f

-- 4 II

112 o-I-

(2TI ) 3

fdn f dp p V (r,p)x (p)

p E- E o p

E d:-EE,o

(D.l)onde1

Jdnp V( iE-e I)Vo(r,p) = 4 TI

1

JIr+p I

=I \dk V(k) k(D. 2)2 r p

r-p

-e e

E e calculado na aproximação de Hartree-Pockp*

dado por (31)

blindada

EP

42 4 T Pp

p + --- -_. (A - B)3 2p

(D. 3)

onde

1 [2 2 2 lA = 2 .p /(PF + PFT) J

1[22 2 2JB = 2 P /(PF + P + PFT)

T = 2/rr a PF - 0,33 ro ' - s

(D. 4)

(D. 5)

(D. 6)

----- ?* Estamos usando unidadesem que fl- = 2m = 1.

86

Efetuando as integrais angulares que aparecem

na eq. (D.l) e tomando os momentos em unidades do momento de Fer-

mi, obtemos

X (r) =p

1 1(2~ 2'"r p

Ir+p I k V(k)J I I dk 2 2r-p k2+~(k)+r +~(r)-P -t:,(p)

1 _1_ J+ -~2 2rp2rr

Ir+p I

\r-p Idk

k22-n- ---2

k +â(k)+r +â(r)-p -â(p)

onde

(lO

x -21 J dp fr 1Ir+p I __

dk k V(k)p Xp(p)\r-p I

(D • 7 )

V(k) = p.,., V(k) , e /:,J.'

a correção de auto-energia, é dada por

2

4 T PFâ(p) = --3-- -Z (A - B)

P

(D. 8)

A interação efetiva eletron-positron dada pela equação

(3.2.12), pode ser reescrita, em unidades de PF' como

(2rr) 2 T -L-V(k) 2 s(k)k

com

(D. 9)

s(k)2

k +t::.(k)+2k2

k +â(k)-2k

k2 ]+ 2) (D.lO)l+kFT

87

Selecionando uma grade de pontos (r,p) e efetuando nu-

mericamente, pelo método de Gauss-Legendre (22), a integral em

P, transformamos a eq.(D.7) em um sistema de equações lineares

dado por

q222

q +~(q)+r +~(r)-p -~(p)

dqIr+p I

Ir-p I

n~ { "( p) - _1_ ~ . O' J" ó r, . 2 2 w~ ,~

i=l ~ 8rr p r

x J

Ir+ p. I~

Ir- Pi Idk k V(k)} x (p.)

p ~= 1 I

(2rr7 2P r

x fIr+p I

Ir-p Idk

k V(k)

2 2 2-k +~(k)+r +6(r)-p +~(p)

(D • 11 )

onde os argumentosp. são zeros dos polinômios de Legcndre,P (p),~ n

p (p) =n1

2n In.(D • 12 )

e os coeficientes w. são~

wi

22(1 - p.)~

= n2[Pn_l(Pi)Ji

(D • 13)

A grade consistiu de 60 pontos selecionados em um in-

tervalo de 1 a 41 sendo, devido ao comportamento assint~tico da

solução, isto ê,

X (r) --- 1/r4p r-+oo(D.14

88

mais refinada para pequenos valores de retomamos 40 pontos no in

tervalo de 1 a 5).

A partir dos X (r.), solução do sistema de equações lip 1neares, calculamos numericamente a integral

! 41

12 -

dr r X (r)p (D. 15)

A integral de r = 41 a r + 00 foi estimada a partir da eq. (D.14).

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Par de espectrômetros idênticos operados com as bobi-

nas focalizadoras em serie. Os positrons emergindo a-

traves do cristal de stilbene do contador da esquerda,mostrado am

pliado em (b), são selecionados em energia e trajetória pelo es-

pectrômetro esquerdo. Os positrons que passam pela fenda no dia-

fragma central chocam-se com a amostra que e colocada em frente

ao contador da direita, ampliadO em (c). Os contadores são conec­

tados a um circuito de coincidência cujo tempo de resolução 2T ­o-9

= 2 x 10 sego Ref. (27).

Figura 2 - Curvas de resolução de coincidência para o alumínio. A

curva deslocada (círculos pretos) foi obtida com a a­

mostra em frente ao contador e a curva padrão P(x) com a amostra

removida, sendo os positrons detetados diretamente pelo contador.

Ref. (27).

Figura 3 - Curvas de resolução de coincidência para o quartzo fu~

dido. A curva obtida em laboratório e comparada com a

curva padrão P(x).

----~--_._---

90

Figura 4 - Densidades e distribuições de momentos, N(~) e

dos fôtons da aniquilação de positrons nos metais alca

linos, Li, Na, K, Rb e Cs. Ref. (27)"

Figura 5 - Densidades e distribuições de momentos, N(~) e

dos fótons emitidos na aniquilação de positrons nos me

tais nobres, Cu, Ag e Au. Ref. (27).

Figura 6 - Densidades e distribuições de momentos, N(E) e

dos fótons emitidos na aniquilação de positrons nos me

tais alcalinos terrosos, Be, Mg, Ca, Sr e Ba. Ref. (27).

Figura 7 - Razao de aniquilação de positrons , como função da

densidade eletrônica r , obtida por diferentes teorias.s

Figura 8 - Esquema da solução grafica da eq. (2.1.5) para S > O.Os

dois membros da equação são traçados como função de E.

As interseções indicam as energias dos estados de espalhamento p~

ra E > O e a energia do estado ligado para E < O.

91

. r ab ] / -Figura 9 - Lg (r) - 1 SPF como funçao de PFr para rs = 4. A pa~

te inserida que estÁ expandida X2 ho~izontalmente e X40

verticalmente, mostra o comportamento oscilatôrio da função de cor

relação para grandes r.

Figura 10 - Contorno de integraçâo para o cÁlculo da densidade in-

duzida <p(q» dado pela eq.(2.3.16).

Figura 11 - [g(r) - 1 ] SPF como função de PFr. A curva 1 e a con­

tribuição do estado ligado para SPF ~ SITr e a curva 2

e a contribuição dos estados de espalhamento.

Figura 12 - Razao de aniquilação de positrons em metais como fun-

ção da densidade. Os resultados indicados como sendo de

Kahana foram calculados por n6s usando sua teoria.

Figura 13 - Energia, em unidades at&micas2 -

(e /a ), como funçaoode

S/PF para várias densidades metálicas. O cálculo da e-

nergia foi realizado usando o metodo variacional.

92

Figura 14 - Razão entre a densidade de e1etrons em torno do posi-

tron e a densidade do positrônio 1ivre·como função de

-r(-r :: 0,33 r ).s

- - +-Figura 15 - Funçao de corre1açao g (r) versus PFr para rs = 2, 3

e 4. As curvas 1 foram calculadas para o positrônio e

as curvas 2 foram obtidas na Ref. (26).

Figura 16 - Função de correlação g(r) versus PFr para rs = 2, 3 e

4, obtidas na Ref. (25). a é o raio do positrônio.

Figura 17 - Correlação angular dos fõtons emitidos na aniquilação

de positrons em amônia lIquida, soluç;es de lftio-amô

nia, K e Cs. são tambem mostradas as distribuições angulares que

seriam esperadas para positrons aniquilando-se com eletrons li-

- - - - ~vres em um gas de mesma concentraçao eletronica das soluçoes 11-

tio-amônia.

Figura 18 - Razao de aniquilação de positrons em metais alcalinos

versus a densidade eletrônica.

BIBLIOGRAFIA

1 - ANDERSON,C.A. - Phys. Rev. i!., 405 (1932).

2 - ANTONIEWICZ,P.R.eKLEINMAN,L. - Phys. Rev. !. !. 2808 (1970).

3 - BELL,R.E. e JORGENSEN,M.H. - Cano J. PhYs. l§., 652 (1960).

4 - BELL,R.E. e GRAHAM,R.L. - Phys. Rev. ~. 644 (1952).

5 - BHATTACHARYYA.P. e SINGWI,K.S. - Phys. Rev. Let. ~, 1, 22

(1972) .

6 - BISI,A., FIORENTINI,A. e ZAPPA,L. - Phys. Rev ..134, A328

(1964) .

7 - BO liH , D . e P IN E S ,D. - Phy s. R eV. 22, 609 (1953).

8 - DE BENEDETTI,S., COWAN,C.E., KONNEKER,W.R.e PRIMAKOFF,H.

Phys. Rev. 22, 205 (1950).

9 - DE BENEDETTI,s.e RICHINGS,H.J. - Phys. Rev. ~, 377 (1952).

10 - FERRELL,R. - Rev. Mod. Phys. ~, 308 (1956).

11 - FREITAS,L.G.de - Tese de Doutoramento, Universidade de são

Paulo, EESC, são Carlos (1971).

12 - GREEN, R.E.e STEHART,A.T. - Phys. Rcv.~, 486 (1955).

13 - GUTTINGER,W., SEKINE,K. e SWIECA,J.A. - Nuc. Phys. il, 3, 417

(1965) .

14 - HELD,A.e KAHANA,S. - Cano J. Phys. 42, 1908 (1964).

15 - KARANA,S. - Phys. Rev. 12~, 1622 (1963).

16 - LANG,G.e DE BENEDETTI.S. - Phys. Rev. 108,914 (1957).

17 - LANG,G., DE BENEDETTI,s.e SMOLUCHOHSKI,R. - Phys. Rev.~,596

(1955).

94

18 - LEE-WHITING,G.E. - Phys. Rev. ~, 1557 (1955).

19 - LOBO,R. - A ser publicado.

20 - LOBO,R., SINGWI,K.S.e TOSI,M.P. - Phys. Rev. 186, 2, 470

(1969) •

21 - PINES,D. - "The Many Body Problem", Benjamin, N.York (1961).

22 - SCHEID,F. - "Theory and Problem of Numerical Analysis"

(Schaum's Outline Series), McGraw-Hill Book Company, New

York, Cap.15 (1968).

23 - SHEARER~J.W.e DEUTSCH,M. - Phys. Rev. ~, 642 (1949).

24 - SINGWI,K.S., SJ~LANDER,A., TOSI,M.P.e LAND,R.H. - Phys. Rev.

Bl, 1044 (1970).

25 - SINGWI,K.S., TOSI,M.P., LAND,R.H.e SJaLANDER,A. - Phys. Rev.

176,589 (1968).fi

26 - SJOLANDER,A.e STOTT,M. - Phys. Rev. ~, 2109 (1972).

27 - -STE\JART,A.T..- Cano J. Phys. 12.,168 (1957).

28 - STEWART,A.T. - Phys. Rev. ~, 594 (1955).

29 - VARLASHKIN,P.G.e STEWART,A.T., in Positron Annihi1ation

(Stewart,A.T. and Roel1is,L.0.,Eds.), Academic Press, New

York 313-316 (1967).

30 - VASHISHTA,P.e SINGlH,K.S. - Phys. Rev. B§.~ 875 (1972).

31 - HALLACE ,P .R ., in So1id St ate P11Ysic5 l2. (Sei t z ,F .an c1 Tu m bulI,

D. Eds.), Academic Press, New York 1-69 (1960).

32 - HEISHERG,H.e BERKO,S •. - Phys. Rev. 15f., 249 (1967).

33 - ZH1AN,J .M. - "Elcments af Advanced Quantum Theoryfl~Cambridge

University Press (1969).

95

BOBINASFOCAL IZADORAS

[8J----~[8JI LJ ~ b

b?f. !~"'-~~-~-~----:-...~--o.._~ _ e?i"'. ' i~ U n - - - _ .• --/if-/':=:11............• - - - - .., , L.......--:::.J..........

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96

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Energia - uma partícula movimentando-se

Figura - 4

99

Energia - uma particula movimentando- se

Figura -- 5

100

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\.' o Contribuiçõo (estimada) apenas o I'AI 9~ dos ele trons de conduçõo

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Figura - 12

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Figura - 15

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G NH3 puroO 19.1 Mole - % LiNH3D. 2.39 Mole - % Li N H3I Li parábola dos eletrons livresn 19.1 % parábola dos eletrons livres

(EF =0.9IeV):m: 2.39 % paróbola dos eletrons livres

(EF =0.25eV)

•..... K ..­

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-

2 3 4 5 6 7 8 9 to

ângulo entre os fótons ( milirradianos )

Figura - 17

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