Quantificadores, Predicados e

ValidadeMatemática Computacional

Prof. Aristóteles Meneses

Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Quantificadores, Predicados e Validade

• Quantificadores: são frases do tipo “para todo”, ou “para cada”, ou “para algum”, isso é, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, tem uma determinada propriedade. O quantificador universal é simbolizado por ∀, e se lê ”para todo”, “para qualquer” ou “para cada”.

• Predicados: é a propriedade de uma determinada sentença. A notação é P (x).

• Observe a sentença: “Para todo x, x > 0”• Essa é uma proposição verdadeira sobre os

inteiros positivos.• Ela contém o quantificador - Para todo x , e o

predicado é x > 0. Logo a sentença acima pode ser simbolizada por:

• (∀ x )(x > 0), mas como x > 0 é o predicado, podemos colocar ainda numa forma mais geral:

• (∀ x )(Px)

• O Valor lógico dessa expressão depende do domínio dos objetos sobre os quais estamos nos referindo, isso é, a coleção de objetos dentre os quais x pode ser escolhido. Essa coleção se chama domínio de interpretação, ou conjunto universo.

• Exemplo 1:

• Se o conjunto universo consiste em todos os livros em sua biblioteca municipal.

• Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.

• Logo (∀ x )(Px) diz que:” todos os livros em sua biblioteca municipal têm capa vermelha”.

• É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa interpretação, deve ser falso.

• Exemplos 2:• Qual o valor lógico da expressão (∀ x )(Px) nas duas

interpretações:• A)(Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto

universo é o conjunto de todos os botões de ouro. (verdadeira)

• B) (Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. (falsa)

• Quantificador existencial: é simbolizado por ∃, e se lê “existe”, “há pelo menos um”, “existe algum” ou “para algum”.

• Exemplo 3:• Se o conjunto universo consiste em todos os livros

em sua biblioteca municipal. • Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.• Logo (∃ x )(Px) diz que: „em sua biblioteca

municipal tem pelo menos um livro de capavermelha‟.

É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa interpretação, deve ser verdadeiro.

• Os predicados que vimos envolvem propriedades de uma única variável, são os predicados unários. Mas eles podem ser binários, se envolvem duas variáveis, ternários, envolvendo propriedades de três variáveis e assim por diante.

• Exemplo: Na expressão: (∀ x) (∃ y) Q(x,y) que é lida como “para todo x existe um y tal que Q(x,y)”, há dois predicados para as duas variáveis da propriedade binária.

ATENÇÂO: a ordem dos quantificadores é muito importante, ela altera a interpretação.

• O QUE É NECESSÁRIO PARA UMA INTERPRETAÇÃO:

• 1º) Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo, que precisa incluir pelo menos um objeto.

• 2º) A especificação de uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado na expressão.

• 3º) A atribuição de um objeto particular no conjunto universo para cada símbolo constante na expressão.

• “SÍMBOLOS DE AGRUPAMENTO”, como parênteses ou colchetes, identificam o escopo de um quantificador, a parte da fbf à qual o quantificador se aplica.

• Exemplo 4:

• 1) P (x) v Q (x) não tem quantificadores• 2) (∀ x)[P ( x) →Q( x)] o escopo do quantificador é P(x)

→ Q(x)• 3) (∀ x)((∃ y)[ P ( x, y) ∧ Q( x, y)] →R( x)) o escopo de

(∃y ) é P(x,y)∧ Q( x,y),e o escopo de (∀ x) é a expressão inteira entre parênteses.

• 4) (∃x ) S ( x ) ∨ (∀y) T(y ) o escopo de (∃x ) é S(x) e o escopo de (∀ y) é T(y).

• Exemplo 5:• Na fbf (∀ x )(∃y )[ S ( x , y ) ∧L ( y , a )]• Considere a interpretação onde o conjunto

universo consiste em todas as cidades do Brasil, • S(x,y) é a propriedade “x e y estão no mesmo

estado”• L(y,z) é a propriedade “o nome da cidade y

começa com a mesma letra que a cidade z”e é atribuído o valor Alfenas a a.

• Logo a interpretação da fbf inteira é que “para qualquer cidade x existe uma cidade no mesmo estado que começa com a letra A”. Com essa interpretação, a fbf é verdadeira.

TRADUÇÃO• Muitas declarações em português podem ser

expressas como fbfs predicadas.• Exemplo:• “Todo papagaio é feio”• Significa, de fato, que “Dada uma coisa, se é um

papagaio, então é feio”.• Denotando por P(x) a frase “x é um papagaio” e por

F(x) “x é feio”, a proposição pode ser simbolizada como:

• (∀ x) [P(x) → F(x)]• A fbf (∀ x) [P(x) ∧ F(x)] seria uma tradução

incorreta, pois diz que “Dado x, x é papagaio e é feio”.

• ATENÇÃO: ∀ e → estão quase sempre juntos.

Analogamente, “Existe um papagaio feio”

Significa que “Existe alguma coisa que é, ao mesmo tempo, papagaio e feio”.

Simbolizando:

(∃ x) [P(x) ∧ F(x)]

ATENÇÃO: ∃ e ∧ estão quase sempre juntos.

Os advérbios “só”, “somente” e “apenas” são particularmente problemáticos, pois sua colocação em uma sentença pode alterar completamente o significado.

Observe as três sentenças abaixo:

Elas podem ser reescritas como:

João ama apenas Maria Se João ama alguma coisa, então essa coisa é Maria.

Apenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria, então essa coisa é João.

João apenas ama Maria Se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor.

Dados:A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y”

Observe a tabela abaixo:

Declaração em Português

Proposição intermediária

Fbf

1. Todos os cachorrosperseguem todos os coelhos.

Dada uma coisa qualquer, sefor um cachorro, então, para qualquer outra coisa, se essa outra coisa for um coelho, então o cachorro vai persegui-lo.

(∀ x)[A( x) → (∀ y) (B( y) → C ( x, y))

2. Alguns cachorros perseguem todos os coelhos.

Existe uma coisa que é um cachorro e, para qualquer outra coisa, se essa coisa é um coelho, então ocachorro o persegue.

(∃ x)[A( x) ∧ (∀ y) (B( y) → C ( x, y))]

3. Apenas cachorros perseguem coelhos

Para qualquer coisa, se é um coelho, então, se alguma coisa o persegue, essa coisa é um cachorro.

(∀ y)[B( y) → (∀ x)(C( x, y) → A( x))

A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y”

Validade• O valor lógico de uma fbf proposicional depende

dos valores lógicos atribuídos às letras de proposição. O valor lógico de uma fbf predicada depende da interpretação. Portanto, escolher uma interpretação para uma fbf predicada é análogo a escolher valores lógicos para um fbf proposicional.

• Uma fbf predicada é válida se ela é verdadeira para todas as interpretações possíveis.

• Se pudermos encontrar uma única interpretação de modo que a fbf tenha o valor falso ou não tenha valor lógico, então a fbf não é válida.

• Não existe algoritmo para determinar se uma fbfpredicada é válida.

Exemplos: Vamos agora tentar

determinar a validade:

• 1. (∀ x ) P ( x ) →(∃ x ) P ( x ) (é válida)Se todo elemento do conjunto universo tem uma determinada propriedade, então existe um elemento do conjunto que tem essa propriedade. Logo sempre que o antecedente for verdadeiro o consequente também o é, o condicional é verdadeiro.

• 2. (∀ x ) P ( x ) →P ( a )(é válida)

Como todo elemento do conjunto universo tem uma determinada propriedade, e a é um elemento particular do conjunto universo, portanto ele tem a propriedade que todos os elementos têm.

• 3. (∀ x )[ P ( x ) ∧Q ( x )] ↔(∀ x ) P ( x ) ∧(∀ x ) Q ( x )(é válida)

Se P e Q forem verdadeiras para todos os elementos do domínio, então P é verdadeira para todos os elementos e Q é verdadeira para todos os elementos, e vice-versa.( ↔ ; V V = V ou F F = V)

• 4. (∃x ) P ( x ) →(∀ x ) P ( x )(não é válida)Por exemplo, como a interpretação onde o domínio é o conjunto dos inteiros e P(x) significa que x é par, é verdade que existe um inteiro par, mas é falso que todos os inteiros são pares. O antecedente do condicional é verdadeiro e o conseqüente é falso. Logo o condicional é falso.

( → ; V F = F )