Lógica de Predicados

Decidibilidade, Corretude,

Completude, Consistência

Como avaliar sistemas de dedução?? Avaliação do algoritmo

Finitude Complexidade

Avaliação da capacidade de inferência Qualidade: Consistência Eficiência: Completude

Avaliação do algoritmo de dedução Análise de lógicas Finitude = Decidibilidade

Tem a ver com teoria da computação Computabilidade, Máquinas de Turing, funções

recursivas, ...

Análise para métodos de dedução Correção Completude Consistência

Computabilidade Intuitivamente uma função é dita

computável se é possível calcular seu valor, dado qualquer elemento do seu domínio

Será toda função, bem definida, computável?

NEM SEMPRE!!!

Decidibilidade Caso particular de computabilidade

quando a função só admite dois valores É possível resolver um problema

algoritmicamente (insolubilidade)? Quando se fala se um problema é solúvel

tem-se um problema de decidibilidade Trata-se de saber se um algoritmo acaba

Devolvendo uma resposta, no nosso caso, T ou F

Há lógicas que são assim!!

Complexidade Computabilidade diz respeito a se um

problema pode ou não ser resolvido Complexidade diz respeito à

quantidade de recursos necessários para resolver um problema

Os recursos (normalmente) são: Memória Tempo

Porém... Complexidade não será analisada nesse curso

E para sistemas de dedução? Desejamos que nossos sistemas de

dedução tenham certas propriedades...

Quais??

Relembrando conceitos Tautologia Teorema Contradição

Avaliando sistemas de dedução

Queremos que o nosso sistema de dedução hipotético SD seja correto, completo e consistente

Que danado é isso???

Correto Correto:

Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de

sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças!

Seja realmente dedutível a partir de S!

Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!

Completo e Consistente Completo:

Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD

Consistente: Não seja possível gerar contradições

usando SD

Teorema da corretude Um sistema de dedução SD é correto se

satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo

Se H é conseqüência lógica de um

conjunto de hipóteses a partir de SD, H é realmente conseqüência lógica de

Se ├SD H, então ├ H SD só deduz fórmulas corretas!!

Teorema da correção (cont.) Outra forma de dizer:

Se H é um teorema em SD (├SD H) então H é uma tautologia

Intuitivamente, se H é dedutível a partir de nenhuma sentença, H não depende de nenhuma

interpretação para ser sempre verdadeira!

Teorema da completude Um sistema de dedução SD é completo se

satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo

Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses , H também é conseqüência lógica de a partir de SD

Se ├ H, então ├SD H Toda fórmula dedutível também é

dedutível por SD!!

Teorema da completude (cont.)

Outra forma de dizer: Se H é uma tautologia então H é um teorema em SD (├SD H)

Intuitivamente, se H é sempre verdadeira, ela deve ser dedutível sem nenhuma premissa H não depende de nenhuma

interpretação de nenhuma sentença para ser sempre verdadeira!

Teorema da Consistência Um sistema de dedução SD é

consistente sse não é possível deduzir usando SD duas fórmulas que se contradizem

Não é possível ├SD H e ├SD H

Prova de Consistência Se ├SD H, pelo teorema da correção H é tautologia H é contraditória Não é possível ├SD H,

pois H seria uma tautologia Não é possível que H e H sejam

tautologias

Consistência e satisfatibilidade

Um conjunto de fórmulas é consistente sse não existir uma fórmula H de forma a

├ H e ├ H Não é possível deduzir H e H a partir de

Teorema da Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas é consistente sse for satisfatível

Demonstração em 2 passos Se um conjunto de fórmulas é

consistente então não existe uma fórmula H de forma a ├ H e ├ H

Se não existir uma fórmula H de forma a ├ H e ├ H então é consistente

Demonstração do passo 1 Se é consistente então não é possível

├ H e ├ H Se, por absurdo, for insatisfatível

Não existe I que satisfaz e I[H] = F e I[H] = F

Pelos teoremas da correção e completude ├ H e ├ H, que é uma contradição!

Demonstração do passo 2 Se é satisfatível então

existe I que satisfaz Se, por absurdo, for inconsistente

Existe H tal que ├ H e ├ H Pelo teorema da correção

H e H são conseqüências lógicas de Como I que satisfaz

I[H] = I[H] = T, que é uma contradição!

Métodos vistos Dedução natural Tableaux semânticos Resolução

Corretude, completude e consistência?

A Dedução natural é Correta

Se H é um teorema em DN (├DN H) então H é uma tautologia. Isto é verdade?

Para toda interpretação I, se I satisfaz e├ H, então I[H]=T

Logo, não existe I que satisfaz e I[H]=F

Se é vazio (teorema), I satisfaz H e I[H]=T para todo I

Então H é uma tautologia

Dedução natural Consistente

Não é possível introduzir “passos inválidos” numa prova por DN

Completa Regras de introdução e eliminação

são completas para Lógica Proposicional

Métodos por refutação Tableaux semânticos e Resolução Corretos: Se H é um teorema em DN (├T H)

então H é uma tautologia. Isto é verdade?

O próprio método de prova foi feito para provar tautologias

Métodos por refutação Consistência depende de corretude Ver prova em [Fitting 90] Um conjunto arbitrário de fórmulas

proposicionais S pode ser uma propriedade consistente proposicional sse Não contiver contradições Não for vazio ou infinito ...

Uma fórmula de S é satisfatível Tableaux semânticos e expansões por

resolução são propriedades consistentes proposicionais