1 bcc 101– matemática discreta predicados, quantificadores
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BCC 101– Matemática Discreta
Predicados, Quantificadores
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Lógica de PredicadosConsidere o seguinte argumento:
H1: Todo homem é mortal
H2: Sócrates é homem C: Sócrates é mortal
Esse parece ser um raciocínio válido.Como podemos representá-lo?
H1, H2 ⊢ CVemos que não é possível deduzir C de
H1 e H2, usando a lógica proposional…. mas o argumento parece correto
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Lógica de Predicados
A lógica proposcional não é capaz de representar adequadamente informações contendo “todos”, “algum”, “somente um” …
Afirmações desse tipo ocorrem frequentemente em matemática: Todo número primo, exceto 2, é impar Todo múltiplo de 4 é par Todo número inteiro maior que 1 ou é
primo ou é um produto de primos
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Lógica de PredicadosA Lógica de Predicados estende a
Lógica proposicional, possibilitando abstração e quantificação sobre variáveis.
Considere as seguintes proposições: 2 é primo 3 é primo 4 é primo
Vamos estender nossa linguagem da lógica de modo que possamos escrever: P(x) : x é primo
P(2) P(3) P(4)
P(x) é um predicado
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O que é um Predicado?Um predicado especifica uma propriedade
de um objeto ou uma relação entre objetos:P(x) : x é um número primoD(x,y) : x é divisível por y
Um predicado pode ser visto como uma coleção parametrizada de proposições
Uma proposição diferente para cada combinação de valores para as variáveis
Universo de discurso: valores que as variáveis podem ter
P(x) = x é primo Universo de discurso: N = {0,1,2,…} Qual o significado de P(3) ? E de P(10) ?
D(x,y) = x é divisível por y Universo de discurso: N x N Qual o significado de D(10,4) ? D(10,2)? D(12,3) ?
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Exemplos
Analise a forma lógica das seguintes sentenças:
x é um número primo e y ou z é divisível por x P(x) ( D(y,x) D(z,x) )
x é homem e y é mulher e x gosta de y, mas y não gosta de x H(x) M(y) G(x,y) G(x,y)
O quadrado de x é menor que 9 e maior que 3 x2 < 9 x2 > 3
Note que y { x | x2 < 9 } é o mesmo que y2 < 9
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— Quantificador Universal, Para todo
x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é
uma fórmula
x.f(x) é verdadeira se f(x) é verdadeira para todo valor de x no universo de discurso
x.f(x) é falsa se existe algum valor de x no universo de discurso para o qual f(x) é falsa
É equivalente a formar o E lógico de todos os f(x)’s
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— Quantificador Universal, Para todo
Exemplo – Seja P(x) = x é primo
Considere o universo de discurso {2, 5, 17}x.P(x) é equivalente a P(2) P(5) P(17)x.P(x) é verdadeiro
Suponha que o universo de discurso é todo o conjunto de números naturais: {0,1,2,3,4, … }Existem valores que x pode assumir no
universo de discurso, para os quais P(x) é falso: por exemplo, P(4) é falso
Portanto, x.P(x) é falso
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— Quantificador Existencial, Existe
x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é
uma fórmula.
x.f(x) é verdadeira se existe pelo menos um valor de x no universo de discurso para o qual a fórmula f(x) é verdadeira.
x.f(x) é falsa se x.f(x) é verdadeira.
É equivalente a formar o Ou Lógico de todos os f(x)’s
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— Quantificador Existencial, Existe
Exemplo – Seja H(x) = x é homem
Considere o universo {Maria, Paulo, João}x.H(x) é equivalente a H(Maria) H(Paulo)
H(João)x.H(x) é verdadeira
Considere que um universo que consiste apenas de mulheresNesse caso, não existe nenhum valor de x
para o qual P(x) é verdadeiro Portanto, x.H(x) é falso
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Universo Vazio
Qual o significado de x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é verdadeira Isso é compatível com o fato de que o é
uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true.
Qual o significado de ∃x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é falsa Isso é compatível com o fato de que o ∃ é
uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.
Exercícios
Seja P(x) = x == x2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:
P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y) x.P(x) x.P(x) x. P(x)
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Fórmulas com vários quantificadores
Seja N o universo de discurso N = {0, 1, 2, 3, … }
e seja R (x,y ) = “x < y ”.
Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número
maior y Verdadeiro ou falso?
Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x Verdadeiro ou falso? 13
Quantificadores aninhados
Fórmula Quando é verdadeira Quando é falsa
x. y. P(x,y)y. x. P(x,y)
P(x,y) é verdadeira, para todo par de valores (x,y)
Existe um par de valores (x,y) para o qual P(x,y) é falso
x. y. P(x,y) Para cada x existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro
Existe um x para o qual P(x,y) é falso, para todo y
y. x. P(x,y) Existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro para todo x
Para todo y existe um x tal que P(x,y) é falso
x. y. P(x,y) y. x. P(x,y)
Existe um par (x,y) tal que P(x,y) é verdadeiro
P(x,y) é falso para todo par de valores (x,y)
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Exercícios Traduza as seguintes frases para fórmulas da
Lógica de Predicados, supondo:
G(x,y) = x gosta de y
João gosta de todo mundo
Todo mundo gosta de João
Maria gosta de alguém
Maria não gosta de ninguém
João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta
Todo mundo gosta de alguém
Ninguém gosta de todo mundo15
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Variáveis livres e variáveis ligadas
Uma ocorrência de variável em uma fórmula é dita livre, se ela não ocorre no escopo de nenhum quantificador. Caso contrário, a ocorrência da variável é dita ligada.
(x. (∃y. G(x,z) H(y))) x e y são variáveis ligadas e z é uma variável livre(x. F(x, y) G(y)) K(x) a ocorrência de x em F(x,y) é ligada e em K(x) é livre
O significado de uma fórmula depende apenas do significado de suas variáveis livres
Variáveis livres e ligadas
variáveis ligadas podem ser renomeadas sem que isso altere o valor da expressão
(∀x. x > 0 ∨ x < 0 ⇒ x2 > 0) = (∀y. y > 0 ∨ y < 0 ⇒ y2 > 0)
um nome de variável ligada pode ser reusado em diferentes escopos:
(∀k . 0 ≤ k < 3 ⇒ k ≤ 2)∧(∃k .1 ≤ k < 5 ⇒ k2 = 4)
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Lógica de Predicados – sintaxe formal
A sintaxe da linguagem da Lógica de Predicados é dividida em 2 categorias: Termos: denotam objetos do universo
de discurso Fórmulas: denotam valores lógicos (T
ou F)
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Lógica de Predicados – termos
O conjunto de termos T é definido como: Seja V um conjunto de variáveis que
denotam objetos do universo de discurso. Então V ⊆ T;
Seja c uma constante que denota um objeto do universo de discurso. Então c ∈T;
Seja f uma função n-ária sobre termos, e sejam t1, … tn termos. Então f(t1,…,tn) ∈ T
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Lógica de Predicados – termos
Seja um universo que consiste de todos os estados e cidades brasileiras. Então Ouro Preto é uma constante que
representa um objeto desse universo. Se capital é uma função que retorna a
capital de um estado, então capital(Minas Gerais) representa o mesmo que Belo Horizonte.
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Lógica de Predicados – fórmulas
O conjunto de termos F é definido como: true, false ∈ F ; Se p é um predicado n-ário e sejam t1, … tn
termos. Então p(t1,…,tn) ∈ F Se f ∈ F então ¬f∈ F Se f1, f2 ∈ F então f1 ∘ f2∈ F, onde
∘ ∈ {∧,∨, ➝, =} Se x∈V e f ∈ F então ∀x.f∈ F e ∃x.f∈ F
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Lógica de Predicados – Semântica
Para dar semântica para uma fórmula devemos interpretá-la de acordo com o universo de discurso.
∃x.∀y. M(x,f(y)) é verdadeira?
Qual é o universo de discurso? Qual é a interpretação para a função f? Qual é o significado do predicado M?
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Exercícios
Q(1,1) P(2,0) y.Q(1,y) x.Q(x,2) y.Q(2,y)
x.Q(x,y) ?
x. y. Q(x,y) x. y.Q(x,y) x. y. Q(x,y) y. x. Q(x,y) y. x. Q(x,y) x. y. Q(x,y)
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Seja Q(x,y) = x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:
Exercícios
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Considere o universo de discurso N e os seguintes predicados e funções: par(x): x é um número par impar(x): x é um número impar s: N -> N retorna o sucessor do número
dado
Qual é o valor verdade das seguintes fórmulas:
∀n. par(n) ∨ impar(n) ∀n. par(n) ➝ impar(s(n)) ¬∃n. par(n) ∧ impar(n)
O Arquipélago dos Knights e Knaves
Abercombie visitou uma vez o arquipélago de ilhas dos
Knights e Knaves, onde todos os Knights sempre falam
verdade e todos os Knaves sempre mentem.
Na primeira ilha que Abercombie visitou, todos os
habitantes disseram a mesma coisa: "Todos nós desta
ilha somos do mesmo tipo". O que você pode concluir
sobre o tipo dos habitantes da ilha?
CS 1813 Discrete Mathematics, Univ OklahomaCopyright © 2000 by Rex Page
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