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Lógica de Primeira Ordem -3

Métodos de Prova com QuantificadoresProvas Formais com QuantificadoresFormas especiais de quantificação

Referência: Language, Proof and LogicJon Barwise e John Etchemendy, 1999

Capítulos: 12, 13, 14

Lógica de Primeira Ordem-2

Passos de prova com e

De uma condição universal, inferir que se verifica para um objecto específico: eliminação do universal

– De x P(x) inferir P(c)

Da verificação de uma condição para um objecto particular, inferir uma condição existencial: introdução do existencial

– De P(c) inferir x P(x)

Validade destes passos: depende de convenção da LPO– um nome denota sempre um objecto


Método da instanciação existencial

Partindo de asserção existencial:– criar um nome para o objecto a que se refere a quantificação– remover a quantificação

Uso no raciocínio comum– criar alcunha para objecto que se procura– raciocinar como se este fosse conhecido

Efeito: eliminação do existencial

Essencial: nome introduzido não pode estar a ser usado para outro objecto


Prova condicional geral Raciocinar acerca de um objecto arbitrário de certo tipo Provar uma afirmação universal sobre objectos desse tipo Exemplo:

Todos os alunos com boa nota a Programação sabem programarTodos os alunos do 3º ano tiveram boa nota a ProgramaçãoComo concluir que todos os alunos do 3º ano sabem programar?

Escolhe-se um aluno do 3º ano qualquer, chamemos-lhe Zé. Pela 2ª premissa, o Zé teve boa nota a programação. Então pela 1ª premissa o Zé sabe programar. Como o Zé é um aluno arbitrário do 3º ano, conclui-se que todos estes sabem programar.


S(x), P(x) e Q(x): wff’s1. Instanciação Existencial

Tendo provado x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c)

2. Condicional geralPara provar x (P(x) Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c)

3. Generalização universalPara provar x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c)

Métodos de prova com quantificadores


Regras de inferência para

Eliminação do universal

x P(x)P(c)

Introdução do universal

P(c)

x P(x)

Generalização universalInstanciação universal

x: qualquer variávelc: qualquer constanteP(c): resultado de substituir x

por c em P(x)

c: constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida

c


Prova Condicional geral Equivalente a prova com

introdução de universal:

P(c) Q(c)

P(c) Q(c)

x (P(x) Q(x))

c

Prova condicional geral

Interesse: tornar provas formais mais semelhantes às informais

P(c) Q(c)

x (P(x) Q(x))

c


Exemplo

1. x (R(x) S(x))2. x R(x) 3.

4. R(d) S(d) Elim: 15. R(d) Elim: 26. S(d) Elim: 4,5

7. x S(x) Intro: 3-6

d

Qualquer prova condicional geral (método efectivamente usado em provas informais) pode ser vista como a combinação de uma

prova condicional com uma generalização universal


Regras de inferência para

Introdução do existencial

P(c)x P(x)

Eliminação do existencial x P(x) P(c) Q Q

x: qualquer variávelc: qualquer constanteP(c): resultado de substituir x

por c em P(x)

c: constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida, em particular em Q

(Semelhante a eliminação da disjunção)

c


Exemplo

1. x (Cube(x) Large(x))2. x (Large(x) LeftOf(x,c))3. x Cube(x)

4. Cube(e) 5. Cube(e) Large(e) Elim: 16. Large(e) Elim: 5,47. Large(e) LeftOf(e,c) Elim: 28. LeftOf(e,c) Elim: 7,69. Large(e) LeftOf(e,c) Intro: 6,810. x (Large(x) LeftOf(x,c)) Intro: 9

11. x (Large(x) LeftOf(x,c)) Elim: 3, 4-10

e


Exemplo elaborado1. x P(x)

2. x P(x) 3.

4. P(c)5. x P(x) Intro: 3

6. Intro: 5, 27. P(c) Intro: 4-68. P(c) Elim: 7

9. x P(x) Intro: 3-810. Intro: 9, 1

11. x P(x) Intro: 2-1012. x P(x) Elim: 11

c

* Intro como estratégia geral: não funciona pq (1) não permite obter directamente P(c); usar contradição, com (1), via generalização universal; para provar P(c) usa-se a contradição


Exemplo

Premissas:1.xyz ((Blabla(x,y) Blabla(y,z)) Blabla(x,z))2.xy(Blabla(x,y) Blabla(y,x))3.xyBlabla(x,y) Conclusão: xBlabla(x,x) “Prova”:

– Instanciação existencial de 3: b e c arbitrários tais que Blabla(b,c)– De 2: Blabla(c,b)– Aplicando 1, com x=z=b e y=c: Blabla(b,b)– Sendo b arbitrário, por generalização universal: xBlabla(x,x)

Onde está errada?


Métodos de prova

Nos métodos de prova para quantificadores– rever interacções entre métodos que introduzem novos nomes

x(Rapaz(x) y(Menina(y) Gosta(x, y)))y(Menina(y) x(Rapaz(x) Gosta(x, y)))

2. é consequência lógica de 1. ???–assumir 1; prova condicional geral:

Assumir e: rapaz qualquer por 1., e gosta de alguma menina;

seja f uma menina de quem e gosta e escolhido arbitrariamente, todos

os rapazes gostam de f–generalização existencial, existe alguém de quem todos gostam

1. é consequência lógica de 2.–assumir 2; nome c para menina–Prova condicional geral para 1:

Assumir d: rapaz qualquer todos os rapazes gostam de c, d

gosta de c generalização existencial, d

gosta de alguém d é arbitrário, 1 é verdadeiro


Restrição aos métodos de prova Prova condicional geral de x[P(x) Q(x)]

– Usa-se P(c) e prova-se Q(c) – Problema surge quando Q(c) menciona algum objecto cuja escolha

depende do objecto c Como garantir correcção?

– Exigir que Q(c) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c)

Generalização universal: xP(x) a partir de P(a)

– Exigir que P(a) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após P (c)

Assumir xy R(x, y)e “provar” yx R(x, y)

–nome c para objecto arbitrário– y R(c, y)– d tal que R(c, d)

– yx R(x, y) por generalização existencial

como c é arbitrário: x R(x, d)


Revisão dos métodos de prova com quantificadores

S(x), P(x) e Q(x) são wff’s1. Instanciação Existencial

–Tendo provado x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c)

2. Prova condicional geral–Para provar x (P(x) Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c)–Garantir que Q não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c)

3. Generalização universal–Para provar x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c) –Garantir que S não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de S(c)


ExemploProvar: Há um número infinito de primos

xy(y x Prime(y))

Assumir: n arbitrário Provar: Existe um primo maior ou igual a nk: produto de todos os primos menores que nTodos os primos menores que n dividem k com resto 0m = k+1Todos os primos menores que n dividem m com resto 1m, como todos os inteiros, pode ser factorizado em primosp: factor primo de mp tem de ser maior ou igual a n

Generalização existencial: existe um primo que é maior ou igual a nComo n é arbitrário: para todo o n existe um primo maior ou igual a n


Prova Formal: exemploProvas no sistema F: facilitam a verificação das restrições no uso dos nomes nas provas com quantificadores

1. xy R(x,y)2.

3. y R(c,y) Elim: 1 4. R(c,d)

5. R(c,d) Reit: 3

6. R(c,d) Elim: 3, 4- 57. x R(x,d) Intro: 2 -68. yx R(x,y) Intro: 7

d

cErro:

No passo 6, d é usado fora da subprova onde foi introduzido


Exemplo

Constantes novas

usadas só dentro das provas onde estão definidas

1. yx R(x,y)

2. x R(x,d)

3.

4. R(c,d) Elim: 2 5. y R(c,y) Intro: 4

6. xy R(x,y) Intro: 3-5

7. xy R(x,y) Elim: 1, 2-6

c

d d c


!

Quantificador de existência e unicidadeExiste 1 e 1 só objecto que satisfaz P

x[P(x) y(P(y) y=x)]Abreviatura: xP(x) Variante para n objectosExistem exactamente n objectos que satisfazem P!n xP(x) São abreviaturas, não quantificadores novos

– LPO: expressões para quantificadores numéricos pouco sugestivas Tarski’s World: apenas


Problema

Dar expressões em LN para as fórmulas seguintes. (Ver quais das expressões são logicamente equivalentes)xBlop(x)xy[Blop(y) y=x]xy[Blop(y) y=x]xy[(Blop(x) Blop(y)) x=y]

xy[(Blop(x) Blop(y)) x=y]


Métodos de prova com afirmações numéricas

Métodos e regras básicas para quantificadores: suficientes Afirmações numéricas: pouco sugestivas em LPO

– Regras específicas clarificam significado Exemplo:

Há exactamente 2 salas de aula, e cada uma tem exactamente 3 computadores. Todo o computador está numa sala de aula. Provar que existem exactamente 6 computadores

Existem no máximo 6:–Todo o computador tem de estar numa sala de aula–Cada sala tem no máximo 3 –Existem no máximo 6 nas duas salas

Existem pelo menos 6:–Cada sala tem pelo menos 3 (Suposição: nenhum computador pode estar em 2 salas)–Há pelo menos 6 nas duas salas

Existem exactamente 6


Provar !n xP(x)

x[Par(x) Primo(x)]

Existem pelo menos n objectos que satisfazem P(x)Existem no máximo n objectos que satisfazem P(x)

Existência:2 é par e é primoPor generalização existencial: x[Par(x) Primo(x)]

Unicidade:Provar que para todo o x, se x é par e é primo então x=2(Prova condicional geral)Supor que x é primo e parComo x é par, é divisível por 2 Como x é primo, só é divisível por si e pela unidadeEntão x =2


LPO: Limites da expressividade

Construções de LN que não se captam em LPO– se… então tem usos que não são funcionais na verdade

Quantificações diversas– As expressáveis: requerem circunlóquios– Não expressáveis: a maioria…, muitas…, poucos…, bastantes…,

significado vago precisando o significado: ainda não é expressável

Formas singulares e pluraisTodos os alunos podem ter 18 a TC2Qualquer aluno pode ter 18 a TC2

Uso do tempo verbal e da referência no espaço– Em LPO: domínio intemporal de relações imutáveis


LPO: Limites da expressividade

Modalidades:– pode ser…, deve ser…, poderia ter sido…,

Extensões da LPO: têm soluções para as limitações Exemplo(14.33):

Do facto Poucos cubos são grandespode concluir-se Poucos cubos são cubos grandes?

Exemplo(14.34):Do facto Poucos cubos são grandespode concluir-se Poucos objectos grandes são cubos?

Exemplo(14.56):Serão equivalentes Sou capaz de comer cada uma das maçãs da taçae Sou capaz de comer todas as maçãs da taça?


Sintaxe versus semântica Noções semânticas

–indivíduo–relação–mundo, modelo, estrutura–verdade–satisfação–consequência lógica–fórmula válida

Noções sintácticas–símbolo de indivíduo–predicado–conectiva–quantificador–frase–fórmula bem formada–variável livre e ligada–regra de inferência–fórmula provável

1 lógica de primeira ordem -3 métodos de prova com quantificadores provas formais com...

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